12 mikä on kulman astemitta. Kulman astemitta. Määritelmä. voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin

Kulman astemitta. Kulman radiaanimitta. Muunna asteet radiaaneiksi ja päinvastoin.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Edellisellä oppitunnilla hallittiin trigonometrisen ympyrän kulmien laskeminen. Opit laskemaan positiivisia ja negatiivisia kulmia. Tajusi kuinka piirtää yli 360 asteen kulman. On aika käsitellä kulmien mittaamista. Varsinkin numerolla "Pi", joka pyrkii hämmentämään meitä vaikeissa tehtävissä, kyllä ​​...

Trigonometrian standarditehtävät numerolla "Pi" ratkaistaan ​​melko hyvin. Visuaalinen muisti auttaa. Mutta mikä tahansa poikkeama mallista - kaatuu paikan päällä! Jotta ei putoaisi - ymmärtää tarpeellista. Mitä teemme nyt onnistuneesti. Tietyssä mielessä - ymmärrämme kaiken!

Niin, mitä lasketaanko kulmat? SISÄÄN koulun kurssi trigonometria käyttää kahta mittaa: kulman astemitta Ja kulman radiaanimitta. Katsotaanpa näitä toimenpiteitä. Ilman tätä trigonometriassa - ei missään.

Kulman astemitta.

Olemme jotenkin tottuneet asteisiin. Geometria ainakin meni läpi... Kyllä, ja elämässä kohtaamme usein esimerkiksi lauseen "käännetty 180 astetta". Tutkinto, lyhyesti sanottuna, yksinkertainen asia ...

Joo? Vastaa sitten minulle mikä on tutkinto? Mikä ei toimi heti? Jotain...

Asteet keksittiin muinaisessa Babylonissa. Se oli kauan sitten... 40 vuosisataa sitten... Ja he vain keksivät sen. He ottivat ja rikkoivat ympyrän 360 yhtä suureen osaan. 1 aste on 1/360 ympyrästä. Ja siinä se. Voidaan jakaa 100 osaan. Tai 1000:lla. Mutta he rikkoivat sen 360:een. Muuten, miksi juuri 360:lla? Miksi 360 on parempi kuin 100? 100 näyttää olevan jotenkin tasaisempi... Yritä vastata tähän kysymykseen. Tai heikko Muinaista Babylonia vastaan?

Jossain samaan aikaan Muinainen Egypti kiusaa toinen asia. Kuinka monta kertaa ympyrän ympyrän ympärysmitta on suurempi kuin sen halkaisijan pituus? Ja niin he mittasivat, ja sillä tavalla ... Kaikki osoittautui hieman yli kolmeksi. Mutta jotenkin se osoittautui takkuiseksi, epätasaiseksi ... Mutta he, egyptiläiset, eivät ole syyllisiä. Heidän jälkeensä he kärsivät vielä 35 vuosisataa. Kunnes he vihdoin osoittivat, että ei väliä kuinka hienoksi leikata ympyrä yhtä suuriksi paloiksi, sellaisista kappaleista tehdä sileä halkaisijan pituus on mahdoton ... Periaatteessa se on mahdotonta. No, kuinka monta kertaa ympärysmitta on tietysti halkaisijaa suurempi. suunnilleen. 3,1415926... kertaa.

Tämä on numero "Pi". Se on takkuinen, niin takkuinen. Desimaalipilkun jälkeen - ääretön määrä numeroita ilman järjestystä ... Tällaisia ​​​​lukuja kutsutaan irrationaaleiksi. Tämä muuten tarkoittaa, että ympyrän halkaisija yhtä suurista kappaleista sileäälä taita. Ei koskaan.

Käytännössä on tapana muistaa vain kaksi numeroa desimaalipilkun jälkeen. Muistaa:

Koska olemme ymmärtäneet, että ympyrän ympärysmitta on suurempi kuin halkaisija "Pi" kertaa, on järkevää muistaa ympyrän kehän kaava:

Missä L on ympärysmitta ja d on sen halkaisija.

Hyödyllinen geometriassa.

varten Yleissivistävä koulutus Lisään, että luku "Pi" ei istu vain geometriassa ... Matematiikan monipuolisimmissa osissa ja erityisesti todennäköisyysteoriassa tämä luku esiintyy jatkuvasti! Itsestään. Toiveemme ulkopuolella. Kuten tämä.

Mutta takaisin asteisiin. Oletko ymmärtänyt, miksi muinaisessa Babylonissa ympyrä jaettiin 360 yhtä suureen osaan? Mutta ei esimerkiksi 100? Ei? OK. Annan sinulle version. Muinaisilta babylonilaisilta ei voi kysyä... Rakentamisen tai vaikkapa tähtitieteen kannalta on kätevää jakaa ympyrä yhtä suuriin osiin. Ota nyt selvää millä luvuilla on jaollinen täysin 100, ja mitkä - 360? Ja missä versiossa näistä jakajista täysin- enemmän? Tämä jako on erittäin kätevä ihmisille. Mutta...

Kuten kävi ilmi paljon myöhemmin kuin muinainen Babylon, kaikki eivät pidä tutkinnoista. Korkeampi matematiikka ei pidä niistä... korkeampi matematiikka- nainen on vakava, luonnonlakien mukaan järjestetty. Ja tämä nainen julistaa: "Tänään mursit ympyrän 360 osaan, huomenna jaat sen 100 osaan, ylihuomenna 245 osaan... Ja mitä minun pitäisi tehdä? Ei todellakaan..." Minun piti totella. Luontoa ei voi huijata...

Minun piti ottaa käyttöön kulman mitta, joka ei riipu ihmisen käsityksistä. Tavata - radiaani!

Kulman radiaanimitta.

Mikä on radiaani? Radiaanin määritelmä perustuu joka tapauksessa ympyrään. 1 radiaanin kulma on kulma, joka leikkaa kaaren ympyrästä, jonka pituus on ( L) on yhtä suuri kuin säteen pituus ( R). Katsomme kuvia.

Niin pieni kulma, sitä ei ole juuri ollenkaan... Siirrämme osoittimen kuvan päälle (tai kosketamme kuvaa tabletilla) ja näemme noin yhden radiaani. L=R

Tunne erilaisuus?

Yksi radiaani on paljon suurempi kuin yksi aste. Kuinka monta kertaa?

Katsotaanpa seuraavaa kuvaa. Johon piirsin puoliympyrän. Laajennettu kulma on tietysti 180° kooltaan.

Ja nyt leikkaan tämän puoliympyrän radiaaneiksi! Viemme hiiren kuvan päälle ja näemme, että 3 radiaania hännän kanssa mahtuu 180 °:een.

Kuka arvaa mikä tämä poninhäntä on!?

Joo! Tämä häntä on 0.1415926... Hei Pi, emme ole vielä unohtaneet sinua!

Todellakin, 180 asteessa on 3,1415926 ... radiaania. Kuten voit kuvitella, numeron 3.1415926 kirjoittaminen koko ajan... on hankalaa. Siksi tämän äärettömän luvun sijasta he kirjoittavat aina yksinkertaisesti:

Ja tässä on numero Internetissä

on hankala kirjoittaa ... Siksi tekstiin kirjoitan sen nimellä - "Pi". Älä hämmenny...

Nyt on varsin mielekästä kirjoittaa likimääräinen yhtäläisyys:

Tai tarkka tasa-arvo:

Määritä kuinka monta astetta on yhdessä radiaanissa. Miten? Helposti! Jos 3,14 radiaanissa on 180 astetta, niin 1 radiaani on 3,14 kertaa vähemmän! Eli jaamme ensimmäisen yhtälön (kaava on myös yhtälö!) luvulla 3,14:

Tämä suhde on hyödyllinen muistaa.Yhdessä radiaanissa on noin 60°. Trigonometriassa sinun on usein selvitettävä, arvioitava tilanne. Tässä tieto auttaa paljon.

Mutta tämän aiheen tärkein taito on muuntaa asteet radiaaneiksi ja päinvastoin.

Jos kulma annetaan radiaaneina numerolla "pi", kaikki on hyvin yksinkertaista. Tiedämme, että "pi" radiaanit = 180°. Joten korvaamme "Pi" radiaanit - 180 °. Saamme kulman asteina. Vähennämme vähennettyä, ja vastaus on valmis. Meidän on esimerkiksi selvitettävä kuinka paljon astetta nurkassa "Pi"/2 radiaani? Täällä kirjoitetaan:

Tai eksoottisempi ilmaisu:

Helppoa, eikö?

Käänteinen käännös on hieman monimutkaisempi. Mutta ei paljon. Jos kulma annetaan asteina, meidän on selvitettävä, mikä yksi aste on radiaaneina, ja kerrottava tämä luku asteiden määrällä. Mikä on 1° radiaaneina?

Katsomme kaavaa ja ymmärrämme, että jos 180° = "Pi" radiaanit, niin 1° on 180 kertaa pienempi. Tai toisin sanoen jaamme yhtälön (kaava on myös yhtälö!) 180:lla. "Pi:tä" ei tarvitse esittää muodossa 3.14, se kirjoitetaan joka tapauksessa aina kirjaimella. Saamme, että yksi tutkinto on yhtä suuri kuin:

Siinä kaikki. Kerro asteiden määrä tällä arvolla saadaksesi kulman radiaaneina. Esimerkiksi:

Tai vastaavasti:

Kuten näet, rauhallisessa keskustelussa lyyristen poikkeamien kanssa kävi ilmi, että radiaanit ovat hyvin yksinkertaisia. Kyllä, ja käännös on ilman ongelmia ... Ja "Pi" on täysin siedettävä asia ... Joten mistä se hämmennys on peräisin!?

Minä paljastan salaisuuden. Tosiasia on, että trigonometrisissa funktioissa astekuvake kirjoitetaan. Aina. Esimerkiksi sin35°. Tämä on sini 35 astetta . Ja radiaanikuvake ( iloinen) ei ole kirjoitettu! Hän on vihjattu. Joko matemaatikoiden laiskuuteen tarttui, tai jotain muuta... Mutta he päättivät olla kirjoittamatta. Jos sinin sisällä ei ole kuvakkeita - kotangentti, niin kulma - radiaaneina ! Esimerkiksi cos3 on kolmen kosini radiaaneja .

Tämä johtaa väärinkäsityksiin ... Henkilö näkee "Pi" ja uskoo, että se on 180 °. Milloin tahansa ja missä tahansa. Tämä muuten toimii. Toistaiseksi, vaikka esimerkit ovat vakioita. Mutta Pi on numero! Luku 3,14 ei ole astetta! Se on "Pi" radiaanit = 180°!

Jälleen kerran: "Pi" on numero! 3.14. Irrationaalista, mutta numero. Sama kuin 5 tai 8. Voit esimerkiksi ottaa noin "Pi"-askeleita. Kolme askelta ja vähän enemmän. Tai ostaa "Pi" kiloja makeisia. Jos koulutettu myyjä jää kiinni...

"Pi" on luku! Mitä, sainko sinut tällä lauseella? Oletko jo ymmärtänyt kaiken? OK. Tarkistetaan. Osaatko sanoa kumpi luku on suurempi?

Vai mikä on vähemmän?

Tämä on sarjasta hieman epätyypillisiä kysymyksiä, jotka voivat ajaa umpikujaan...

Jos myös jouduit umpikujaan, muista loitsu: "Pi" on numero! 3.14. Aivan ensimmäisessä sinissä on selvästi osoitettu, että kulma - asteina! Siksi on mahdotonta korvata "Pi" 180 °:lla! "Pi" astetta on noin 3,14°. Siksi voimme kirjoittaa:

Toisessa sinissä ei ole symboleja. Niin siellä - radiaaneja! Tässä "Pi":n korvaaminen 180 °:lla toimii melko hyvin. Muuntamalla radiaanit asteina, kuten yllä kirjoitettu, saamme:

On vielä verrattava näitä kahta siniä. Mitä. unohdin kuinka? Trigonometrisen ympyrän avulla tietysti! Piirrämme ympyrän, piirrämme likimääräiset kulmat 60° ja 1,05°. Katsomme näiden kulmien sinejä. Lyhyesti sanottuna kaikki, kuten trigonometrista ympyrää käsittelevän aiheen lopussa, on maalattu. Ympyrässä (jopa vinossa!) se näkyy selvästi sin60° huomattavasti enemmän kuin sin1,05°.

Teemme täsmälleen samoin kosinusten kanssa. Piirrämme ympyrään kulmat noin 4 astetta ja 4 radiaani(muista, mikä on noin 1 radiaani?). Ympyrä kertoo kaiken! Tietenkin cos4 on pienempi kuin cos4°.

Harjoitellaan kulmamittausten käsittelyä.

Muunna nämä kulmat asteina radiaaneiksi:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Sinun pitäisi päätyä näihin arvoihin radiaaneina (eri järjestyksessä!)

Muuten, olen erityisesti merkinnyt vastaukset kahdelle riville. No, selvitetään, mitkä kulmat ovat ensimmäisellä rivillä? Joko asteina tai radiaaneina?

Joo! Nämä ovat koordinaattijärjestelmän akselit! Jos katsot trigonometristä ympyrää, kulman liikkuvaa puolta näillä arvoilla sopii suoraan akseliin. Nämä arvot on tunnettava ironisesti. Ja panin merkille 0 asteen kulman (0 radiaania) ei turhaan. Ja sitten jotkut eivät löydä tätä kulmaa ympyrästä millään tavalla ... Ja vastaavasti he hämmentyvät nollan trigonometrisissa funktioissa ... Toinen asia on, että liikkuvan puolen sijainti nolla asteessa on sama kuin asema 360 °, joten yhteensattumat ympyrässä ovat koko ajan lähellä.

Toisella rivillä on myös erikoiskulmat... Nämä ovat 30°, 45° ja 60°. Ja mikä niissä on niin erikoista? Ei mitään erityistä. Ainoa ero näiden kulmien ja kaikkien muiden välillä on, että sinun pitäisi tietää näistä kulmista. Kaikki. Ja missä ne sijaitsevat ja mitkä ovat nämä kulmat trigonometriset funktiot. Sanotaanko arvo sin100° sinun ei tarvitse tietää. A sin45°- ole kiltti! Tämä on pakollista tietoa, jota ilman trigonometriassa ei ole mitään tekemistä ... Mutta lisää tästä seuraavassa oppitunnissa.

Siihen asti jatketaan harjoittelua. Muunna nämä kulmat radiaaneista asteina:

Sinun pitäisi saada tällaisia ​​​​tuloksia (sotkussa):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Tapahtui? Sitten voimme olettaa sen muuntaa asteet radiaaneiksi ja päinvastoin- ei enää sinun ongelmasi.) Mutta kulmien kääntäminen on ensimmäinen askel trigonometrian ymmärtämisessä. Samassa paikassa sinun on edelleen työskenneltävä sini-kosinien kanssa. Kyllä, ja tangenttien kanssa myös kotangentit ...

Toinen voimakas askel on kyky määrittää minkä tahansa kulman sijainti trigonometrisellä ympyrällä. Sekä asteina että radiaaneina. Tästä juuri tästä taidosta aion kyllästyttävästi vihjailla sinulle kaikessa trigonometriassa, kyllä...) Jos tiedät kaiken (tai luulet tietäväsi kaiken) trigonometrisesta ympyrästä ja kulmien laskemisesta trigonometrisellä ympyrällä, voit tarkistaa sen ulos. Ratkaise nämä yksinkertaiset tehtävät:

1. Mihin neljännekseen kulmat kuuluvat:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Helposti? Me jatkamme:

2. Millä neljänneksellä kulmat putoavat:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Ei myöskään ongelmaa? No katso...)

3. Voit sijoittaa kulmat neljään osaan:

Pystyisitkö? No, sinä annat..)

4. Mille akseleille kulma putoaa:

ja kulma:

Onko se myös helppoa? Hm...)

5. Mihin neljännekseen kulmat kuuluvat:

Ja se toimi!? No sitten en todellakaan tiedä...)

6. Määritä, mihin neljännekseen kulmat kuuluvat:

1, 2, 3 ja 20 radiaania.

Annan vastauksen vain viimeisen tehtävän viimeiseen kysymykseen (se on hieman hankala). 20 radiaanin kulma putoaa ensimmäiseen neljännekseen.

En anna muita vastauksia ahneudesta.) Vain jos sinä ei päättänyt jotain epäillä seurauksena tai käytetty tehtävään nro 4 yli 10 sekuntia olet huonosti suuntautunut ympyrässä. Tämä on ongelmasi kaikessa trigonometriassa. On parempi päästä eroon siitä (ongelma, ei trigonometria!) heti. Tämän voi tehdä aiheessa: Käytännön työ trigonometrisen ympyrän kanssa osiossa 555.

Se kertoo, kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​yksinkertaisesti ja oikein. No, nämä tehtävät on tietysti ratkaistu. Ja neljäs tehtävä ratkesi 10 sekunnissa. Kyllä, niin päätin, että kuka tahansa voi!

Jos olet täysin varma vastauksistasi etkä ole kiinnostunut yksinkertaisista ja vaivattomista tavoista työskennellä radiaanien kanssa, et voi käydä numerossa 555. En vaadi.)

Hyvä ymmärrys riittää hyvä syy Siirtyä eteenpäin!)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Kulma on tärkein geometrinen kuva, jota analysoimme koko aiheen ajan. Kulman määritelmät, asettamismenetelmät, merkintä ja mittaus. Analysoidaan nurkkien valinnan periaatteita piirustuksissa. Koko teoria on kuvattu ja on suuri määrä visuaalisia piirroksia.

Kulma- yksinkertainen tärkeä hahmo geometriassa. Kulma riippuu suoraan säteen määritelmästä, joka puolestaan ​​koostuu pisteen, suoran ja tason peruskäsitteistä. Perusteellista tutkimusta varten sinun on syvennettävä aiheisiin suora viiva tasossa - tarvittavat tiedot Ja lentokone - tarvittavat tiedot.

Kulman käsite alkaa tällä tasolla kuvatuilla pisteen, tason ja suoran käsitteillä.

Määritelmä 2

Annettu viiva a tasossa. Merkitse siinä jokin piste O. Viiva on jaettu pisteellä kahteen osaan, joilla jokaisella on nimi säde, ja piste O on säteen käynnistys.

Toisin sanoen palkki tai puoliviiva - se on osa suoraa, joka koostuu tietyn suoran pisteistä, jotka sijaitsevat samalla puolella lähtöpisteen eli pisteen O suhteen.

Säteen merkintä on sallittu kahdessa muunnelmassa: yksi pieni tai kaksi isot kirjaimet Latinalainen aakkoset. Kun se on merkitty kahdella kirjaimella, säteen nimi koostuu kahdesta kirjaimesta. Katsotaanpa piirrosta tarkemmin.

Siirrytään kulman määrittelyyn.

Määritelmä 3

Kulma- tämä on tietyssä tasossa oleva kuvio, jonka muodostaa kaksi yhteensopimatonta sädettä, joilla on yhteinen alkuperä. sivukulma on palkki kärkipiste- puolueiden yhteinen alku.

On tapaus, jossa kulman sivut voivat toimia suorana linjana.

Määritelmä 4

Kun kulman molemmat sivut sijaitsevat samalla suoralla tai sen sivut toimivat yhden suoran lisäpuolilinjoina, tällaista kulmaa kutsutaan ns. käyttöön.

Alla olevassa kuvassa on litistetty kulma.

Suoralla viivalla oleva piste on kulman kärki. Useimmiten se on merkitty pisteellä O.

Matematiikassa kulmaa merkitään merkillä "∠". Kun kulman sivut on merkitty pienellä latinalla, kulman oikeaa määrittelyä varten kirjaimet kirjoitetaan riviin, vastaavasti, sivujen mukaan. Jos kaksi sivua merkitään k ja h, niin kulma merkitään ∠ k h tai ∠ h k .

Kun merkintä on isoilla kirjaimilla, kulman sivuilla on vastaavasti nimet O A ja O B. Tässä tapauksessa kulman nimi on kolme latinalaisen aakkoston kirjainta kirjoitettuna peräkkäin, keskellä kärkipisteellä - ∠ A O B ja ∠ B O A . Numeroiden muodossa on nimitys, kun kulmissa ei ole nimiä tai kirjaimia. Alla kuva missä eri tavoilla kulmat on merkitty.

Kulma jakaa tason kahteen osaan. Jos kulmaa ei kehitetä, yhdellä tason osalla on nimi sisäkulman alue, toinen - ulkokulman alue. Alla on kuva, joka selittää, mitkä tason osat ovat ulkoisia ja mitkä sisäisiä.

Tasossa suoralla kulmalla jaettuna minkä tahansa sen osan katsotaan olevan suorakulman sisäosa.

Kulman sisäalue on elementti, joka palvelee kulman toista määritelmää.

Määritelmä 5

kulma nimeltään geometrinen kuvio, joka koostuu kahdesta yhteensopimattomasta säteestä, joilla on yhteinen alkulähde ja vastaava kulman sisäalue.

Tämä määritelmä on tiukempi kuin edellinen, koska siinä on enemmän ehtoja. Molempia määritelmiä ei kannata tarkastella erikseen, koska kulma on geometrinen kuvio, joka on muunnettu käyttämällä kahta yhdestä pisteestä lähtevää sädettä. Kun on tarpeen suorittaa toimintoja kulmalla, määritelmä tarkoittaa kahden säteen läsnäoloa, joilla on yhteinen alkuperä ja sisäinen alue.

Kaksi kulmaa kutsutaan liittyvät, jos on yhteinen puoli, ja kaksi muuta ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja tai muodostavat suoran kulman.

Kuvasta näkyy, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan, koska ne ovat jatkoa toisilleen.

Määritelmä 7

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuora, jos toisen sivut ovat toisen toisiaan täydentäviä puoliviivoja tai ovat toisen sivujen jatkeita. Alla olevassa kuvassa on kuva pystykulmista.

Linjojen ylittämisessä saadaan 4 paria vierekkäisiä ja 2 paria pystykulmia. Alla näkyy kuvassa.

Artikkelissa esitetään yhtäläisten ja epätasaisten kulmien määritelmät. Analysoimme, mikä kulma katsotaan suureksi, mikä pienemmäksi ja muut kulman ominaisuudet. Kaksi lukua katsotaan yhtäläisiksi, jos ne ovat päällekkäin asetettuina täysin yhteneväisiä. Sama ominaisuus pätee kulmien vertailuun.

Annettu kaksi kulmaa. On tarpeen tehdä johtopäätös, ovatko nämä kulmat yhtä suuret vai eivät.

Tiedetään, että kahden kulman kärjet ja ensimmäisen kulman sivu menevät päällekkäin toisen kulman minkä tahansa muun puolen kanssa. Eli täydellisen yhteensattuman tapauksessa, kun kulmat asetetaan päällekkäin, annettujen kulmien sivut osuvat täysin yhteen, kulmat yhtä suuri.

Voi olla, että päällekkäin asetettuna sivuja ei välttämättä yhdistetä, sitten kulmat epätasainen, pienempi joista koostuu toisesta, ja lisää sisältää täysin toisen kulman. Alla on epätasaiset kulmat, joita ei ole kohdistettu päällekkäin.

Kehittyneet kulmat ovat yhtä suuret.

Kulmien mittaus alkaa mitatun kulman sivun ja sen sisäalueen mittauksella, joka täytetään yksikkökulmilla, ne kohdistetaan toisiinsa. Pinottujen kulmien lukumäärä on laskettava, ne määrittävät mitatun kulman koon.

Kulmayksikkö voidaan ilmaista missä tahansa mitattavassa kulmassa. Tieteessä ja tekniikassa käytetään yleisesti hyväksyttyjä mittayksiköitä. He ovat erikoistuneet muihin nimikkeisiin.

Yleisimmin käytetty konsepti tutkinnon.

Määritelmä 8

yksi aste kutsutaan kulmaksi, jolla on satakahdeksaskymmenesosa suoristetusta kulmasta.

Asteen vakiomerkintä on "°", jolloin yksi aste on 1°. Siksi suora kulma koostuu 180 tällaisesta kulmasta, jotka koostuvat yhdestä astetta. Kaikki käytettävissä olevat kulmat pinotaan tiukasti toisiinsa ja edellisen reunat kohdistetaan seuraavan kanssa.

Tiedetään, että kulman asteiden lukumäärä on sama kulman mitta. Kehitetyssä kulmassa on koostumuksessaan 180 pinottua kulmaa. Alla olevassa kuvassa on esimerkkejä, joissa kulma on asetettu 30 kertaa, eli kuudesosa laajennetusta ja 90 kertaa, eli puolet.

Minutteja ja sekunteja käytetään kulmamittausten tarkkaan määrittämiseen. Niitä käytetään, kun kulman arvo ei ole kokonaisluku. Tällaisten tutkinnon osien avulla voit suorittaa tarkempia laskelmia.

Määritelmä 9

minuutti kutsutaan asteen kuudeskymmenesosaksi.

Määritelmä 10

toinen soitti yksi kuudeskymmenesosa minuutista.

Yksi tutkinto sisältää 3600 sekuntia. Minuutit merkitsevät """ ja sekuntia """. Nimitys tapahtuu:

1°=60"=3600", 1"=(160)°, 1"=60", 1""=(160)"=(13600)°,

ja kulman merkintä 17 astetta 3 minuuttia ja 59 sekuntia on 17° 3 "59"".

Määritelmä 11

Annetaan esimerkki kulman astemitan merkinnästä, joka on yhtä suuri kuin 17 ° 3 "59" ". Merkinnällä on toinen muoto 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Kulmien tarkkaan mittaamiseen käytetään mittauslaitetta, kuten astemittaria. Kun määritetään kulma ∠ A O B ja sen astemitta 110 astetta, käytetään kätevämpää merkintää ∠ A O B \u003d 110 °, joka kuuluu "Kulma A O B on 110 astetta."

Geometriassa käytetään kulman mittaa väliltä (0 , 180 ] ja trigonometriassa mielivaltainen astemitta ns. kääntökulmat. Kulmien arvo ilmaistaan ​​aina oikea numero. Oikea kulma on kulma, jossa on 90 astetta. Terävä kulma on kulma, joka on alle 90 astetta, ja tylsä- enemmän.

Terävä kulma mitataan välissä (0, 90) ja tylppä kulma - (90, 180) . Alla on selkeästi esitetty kolme eri kulmatyyppiä.

Jokaisella kulman astemitalla on sama arvo. Suuremmalla kulmalla on suurempi astemitta kuin pienemmällä. Yhden kulman astemitta on kaikkien käytettävissä olevien sisäkulmien astemittojen summa. Alla oleva kuva esittää kulmaa AOB, joka koostuu kulmista AOC, COD ja DOB. Yksityiskohtaisesti se näyttää tältä: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Tämän perusteella voidaan päätellä, että summa kaikki vierekkäiset kulmat ovat 180 astetta koska ne kaikki muodostavat laajennetun kulman.

Tästä seuraa, että mikä tahansa pystykulmat ovat yhtä suuret. Jos tarkastellaan tätä esimerkillä, saadaan, että kulma A O B ja C O D ovat pystysuorat (piirustuksessa), niin kulmien A O B ja B O C, C O D ja B O C katsotaan vierekkäisiksi. Tällöin yhtälöä ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° yhdessä ∠ C O D + ∠ B O C = 180 °:n kanssa pidetään yksiselitteisesti tosi. Tästä syystä meillä on, että ∠ A O B = ∠ C O D . Alla on esimerkki pystysaaliiden kuvasta ja merkinnöistä.

Asteiden, minuuttien ja sekuntien lisäksi käytetään toista mittayksikköä. Sitä kutsutaan radiaani. Useimmiten se löytyy trigonometriasta, kun määritetään monikulmioiden kulmia. Mitä kutsutaan radiaaniksi.

Määritelmä 12

Yksi radiaanikulma kutsutaan keskikulmaksi, jolla on ympyrän säteen pituus yhtä pitkä kuin pituus kaaria.

Kuvassa radiaani on kuvattu ympyränä, jossa on pisteellä osoitettu keskipiste, jossa kaksi ympyrän pistettä on yhdistetty ja muunnettu säteiksi O A ja O B. Määritelmän mukaan tämä kolmio A O B on tasasivuinen, mikä tarkoittaa että kaaren A B pituus on yhtä suuri kuin säteiden O B ja Oh A pituudet.

Kulman nimitys on "rad". Toisin sanoen 5 radiaanien merkintä on lyhenne 5 rad. Joskus voit löytää nimityksen, jolla on nimi pi. Radaanit eivät riipu tietyn ympyrän pituudesta, koska kuvioissa on jonkinlainen rajoitus kulman ja sen kaaren avulla, jonka keskipiste sijaitsee tietyn kulman kärjessä. Niitä pidetään samanlaisina.

Radiaaneilla on sama merkitys kuin asteilla, vain ero on niiden suuruudessa. Tämän määrittämiseksi on tarpeen jakaa keskikulman kaaren laskettu pituus sen säteen pituudella.

Käytännössä he käyttävät muuntaa asteet radiaaneiksi ja radiaanit asteiksi helpottamaan ongelmanratkaisua. Määritetyssä artikkelissa on tietoa astemitan ja radiaanin välisestä yhteydestä, jossa voit tutkia yksityiskohtaisesti käännöksiä asteesta radiaaniin ja päinvastoin.

Kaarien visuaaliseen ja kätevään kuvaamiseen käytetään kulmia, piirustuksia. Tiettyä kulmaa, kaaria tai nimeä ei aina ole mahdollista kuvata ja merkitä oikein. Samat kulmat on merkitty samankaltaisten kaarien muodossa ja epäyhtenäiset erilaisten kaarien muodossa. Piirustus näyttää terävien, yhtäläisten ja epätasaisten kulmien oikean merkinnän.

Kun yli 3 kulmaa on merkittävä, käytetään erityisiä kaarimerkintöjä, kuten aaltoileva tai rosoinen. Siinä ei ole niin paljon merkitys. Alla oleva kuva näyttää niiden nimeämisen.

Kulmien nimeämisen tulee olla yksinkertainen, jotta se ei häiritse muita arvoja. Tehtävää ratkaistaessa on suositeltavaa valita vain ratkaisemiseen tarvittavat kulmat, jotta koko piirustus ei sotkeudu. Tämä ei häiritse ratkaisua ja todistusta, ja antaa myös piirustukselle esteettisen ulkonäön.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kulmat mitataan eri yksiköissä. Se voi olla asteita, radiaaneja. Useimmiten kulmat mitataan asteina. (Tätä astetta ei pidä sekoittaa lämpötilan mittaan, jossa käytetään myös sanaa "aste".)

1 aste on kulma, joka on yhtä suuri kuin 1/180 suoristetusta kulmasta. Toisin sanoen, jos otamme kehittyneen kulman ja jaamme sen 180 yhtä suureen osaan-kulmaan, niin jokainen tällainen pieni kulma on yhtä suuri kuin 1 aste. Kaikkien muiden kulmien koko määräytyy sen mukaan, kuinka monta näistä pienistä kulmista voidaan sijoittaa mitatun kulman sisään.

Aste on merkitty merkillä °. Tämä ei ole nolla eikä O-kirjain. Tämä on sellainen erityinen symboli, joka on otettu käyttöön astetta kuvaamaan.

Siten suora kulma on 180°, suora kulma 90°, terävät kulmat ovat pienempiä kuin 90° ja tylpät kulmat ovat suurempia kuin 90°.

Metrijärjestelmä käyttää metriä etäisyyden mittaamiseen. Kuitenkin sekä suurempia että pienempiä yksiköitä käytetään. Esimerkiksi senttimetri, millimetri, kilometri, desimetri. Analogisesti tämän kanssa minuutit ja sekunnit erotetaan myös kulmien astemittauksessa.

Yksi asteminuutti on yhtä suuri kuin 1/60 astetta. Se on merkitty yhdellä merkillä".

Yksi astesekunti on yhtä suuri kuin 1/60 minuutista tai 1/3600 astetta. Toinen on merkitty kahdella merkillä ", eli "".

Koulugeometriassa asteminuutteja ja sekunteja käytetään harvoin, mutta täytyy pystyä ymmärtämään esimerkiksi tällainen ennätys: 35 ° 21 "45". Tämä tarkoittaa, että kulma on 35 astetta + 21 minuuttia + 45 sekuntia.

Toisaalta, jos kulmaa ei voida mitata tarkalleen kokonaisina asteina, minuutteja ja sekunteja ei tarvitse syöttää. Riittää käyttää murto-osia. Esimerkiksi 96,5°.

On selvää, että minuutit ja sekunnit voidaan muuntaa asteina ilmaistaen ne asteen murto-osina. Esimerkiksi 30" on (30/60)° tai 0,5°. Ja 0,3° on (0,3 * 60)" tai 18". Minuutien ja sekuntien käyttö on siis vain mukavuuskysymys.

Kulma on kuvio, joka koostuu pisteestä - kulman kärjestä ja kahdesta eri puoliviivasta, jotka lähtevät tästä pisteestä - kulman sivuista (kuva 14). Jos kulman sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja, kulmaa kutsutaan suoraksi kulmaksi.

Kulma osoitetaan joko osoittamalla sen kärki tai osoittamalla sen sivut tai osoittamalla kolme pistettä: kärki ja kaksi pistettä kulman sivuilla. Sana "kulma" korvataan joskus

Kuvan 14 kulma voidaan esittää kolmella tavalla:

Säteen c sanotaan kulkevan kulman sivujen välillä, jos se tulee kärjestään ja leikkaa jonkin segmentin kulman sivuilla olevien päiden kanssa.

Kuvassa 15 säde c kulkee kulman sivujen välillä, koska se leikkaa segmentin

Suoran kulman tapauksessa mikä tahansa sen kärjestä lähtevä ja sen sivuista erilainen säde kulkee kulman sivujen välillä.

Kulmat mitataan asteina. Jos otat suoran kulman ja jaat sen 180 yhtä suureen kulmaan, kunkin kulman astemitta kutsutaan asteeksi.

Kulmien mittausominaisuudet ilmaistaan ​​seuraavassa aksioomassa:

Jokaisella kulmalla on tietty aste, joka on suurempi kuin nolla. Kehitetty kulma on 180°. Kulman astemitta on yhtä suuri kuin niiden kulmien astemittojen summa, joihin se on jaettu minkä tahansa sen sivujen välistä kulkevalla säteellä.

Tämä tarkoittaa, että jos säde c kulkee kulman sivujen välillä, niin kulma on yhtä suuri kuin kulmien summa

Kulman astemitta löydetään astemittarilla.

Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi. Alle 90° kulmaa kutsutaan terävä kulma. Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi kulmaksi.

Muotoilkaamme kulmien purkamisen pääominaisuus.

Mistä tahansa puoliviivasta tiettyyn puolitasoon voidaan laskea kulma tietyllä astemitalla, joka on pienempi kuin 180 °, ja vain yksi.

Harkitse puoliviivaa a. Jatkamme sen aloituspisteen A ulkopuolelle. Tuloksena oleva suora jakaa tason kahteen puolitasoon. Kuvassa 16 näytetään, kuinka astelevyä käytetään kulmaviivan a ja ylemmän puolitason välillä asettamiseen tietyllä 60°:n astemitalla.

T. 1. 2. Jos kaksi kulmaa on asetettu sivuun annetusta puoliviivasta yhdessä puolitasossa, niin pienemmän kulman sivu, joka poikkeaa annetusta puoliviivasta, kulkee suuremman kulman sivujen välistä .

Antaa olla kulmat annetusta puoliviivasta a yhdeksi puolitasolle, ja kulma on pienempi kuin kulma . Lauseen 1.2 mukaan säde kulkee kulman sivujen välistä (kuva 17).

Kulman puolittaja on säde, joka tulee sen kärjestä, kulkee sivujen välillä ja jakaa kulman kahtia. Kuvassa 18 säde on kulman puolittaja

Geometriassa on tasokulman käsite. Tasokulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi eri sädettä, jotka lähtevät samasta pisteestä. Näitä säteitä kutsutaan kulman sivuiksi. Siinä on kaksi tasaista kulmaa tietyillä sivuilla. Niitä kutsutaan lisävarusteiksi. Kuvassa 19 yksi litteistä kulmista sivuilla a ja

Peruskonseptit

Osana kulmien mittauskysymystä tarkastelemme tässä osiossa useita geometriseen alkutietoon liittyviä käsitteitä:

• kulma;
• laajennettu ja kehittämätön kulma;
• aste, minuutti ja sekunti;
• kulman astemitta;
• oikeat, terävät ja tylpät kulmat.

Kulma on sellainen geometrinen kuvio, joka on piste (vertex) ja kaksi siitä lähtevää sädettä (sivua). Kulmaa kutsutaan levitetyksi, jos molemmat säteet ovat samalla suoralla.

Kulman astemittauksen ansiosta voit mitata kulmia. Kulmien mittaus suoritetaan samalla tavalla kuin segmenttien mittaus. Samoin kuin segmenttien mittauksessa, kulmien mittauksessa käytetään erityistä mittayksikköä. Useimmiten se on tutkinto.

Määritelmä 1

Aste on mittayksikkö. Geometriassa se edustaa kulmaa, jota vastaan ​​muita kulmia verrataan. Aste on yhtä suuri kuin $\frac(1)(180)$ suorasta kulmasta.

Nyt voimme määritellä kulman astemitan.

Määritelmä 2

Kulman astemitta on positiivinen luku, joka kertoo kuinka monta kertaa aste sopii annettuun kulmaan.

Kulmien mittaamiseen käytetään astemittaria.

Esimerkki astemitan tallentamisesta: $\angle ABC = 150^(\circ)$. Kuvassa tämä merkintä tarkoittaa seuraavaa:

Suullisessa muodossa he sanovat näin: "Kulma ABC on 150 astetta."

Joillakin tutkinnon osilla on omat erityisnimensä. Minuuttia kutsutaan $\frac(1)(60)$ asteen osaksi, $"$-merkkiä käytetään nimeämiseen. Sekuntia kutsutaan $\frac(1)(60)$ minuutin osaksi, $"" Merkintänä käytetään $. Esimerkki kulman kirjoittamisesta 75 asteessa, 45 minuutissa ja 28 sekunnissa: $75^(\circ)45"28""$.

Yhtäläiset kulmat ovat kulmia, joiden astemitat ovat yhtä suuret. Näin ollen kulmia voidaan verrata sanomalla, että yksi kulma on pienempi kuin toinen tai toinen kulma on suurempi kuin toinen.

Kehitetyn kulman määritelmä annettiin yllä. Kun tiedämme astemitan käsitteen, voimme kuvata kierretyn ja kehittymättömän kulman eroa. Suora kulma on aina $180^(\circ)$. Rajoittamaton kulma on mikä tahansa kulma, joka on pienempi kuin $180^(\circ)$.

On olemassa suorat, terävät ja tylpät kulmat. Suora kulma on $90^(\circ)$, terävä kulma on pienempi kuin $90^(\circ)$, tylppä kulma on suurempi kuin $90^(\circ)$ ja pienempi kuin $180^(\circ)$.

Kuva 4. Oikea, terävä ja tylpäkulmat. Author24 - online-vaihto opiskelijapaperit

SISÄÄN Jokapäiväinen elämä on esimerkkejä kulmien mittaamisen ja astemitan ymmärtämisen välttämättömyydestä ja tärkeydestä. Kulmien mittaaminen on tarpeen erilaisissa tutkimuksissa, mukaan lukien tähtitiede määritettäessä taivaankappaleiden sijaintia.

Harjoittelua varten yritä piirtää vähintään kolme auki taitettua kulmaa ja yksi eri tavoin käännetty kulma, mittaa kulmat astelevyllä ja kirjoita tulokset muistiin. Voit asettaa satunnaislukuja ja harjoitella kulmien piirtämisen tarkkuutta astelevyllä jakamalla ne puolittajalla (puolittaja on säde, joka lähtee tietyn kulman kärjestä ja jakaa kulman puoliksi).

Tehtäväesimerkkejä

Esimerkki 1

Tehtävä. Siellä on piirustus:

Säteet $DE$ ja $DF$ ovat vastaavien kulmien $ADB$ ja $BDC$ puolittajia. Kulma $ADC$ on löydettävä, jos $\angle EDF = 75^(\circ)$.

Ratkaisu. Koska kulma $EDF$ sisältää puolet kustakin kulmasta $ADB$ ja $BDC$, voimme päätellä, että $EDF$ on täsmälleen puolet itse kulmasta $ADC$. Saamme yksinkertaiset laskelmat: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Vastaus: $150^(\circ)$.

Otetaan toinen mielenkiintoinen esimerkki.

Esimerkki 2

Tehtävä. Annettu piirustus.

Kulma $ABC$ on suora kulma. Kulmat $ABE$, $EBD$ ja $DBC$ ovat yhtä suuret. On löydettävä puolittajien $ABE$ ja $DBC$ muodostama kulma.

Ratkaisu. Koska $ABC$ on suora kulma, se tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin $90^(\circ)$. Kulma $\angle EBD=90/3=30^(\circ)$. Koska kulmat $ABE$, $EBD$ ja $DBC$ ovat yhtä suuret, mikä tahansa niistä on yhtä suuri kuin $30^(\circ)$. Minkä tahansa näiden kulmien puolittaja jakaa minkä tahansa näistä kulmista kahdeksi kulmaksi, jotka ovat yhtä suuria kuin $15^(\circ)$. Koska kulmien $ABE$ ja $DBC$ kaksi puoliskoa kuuluvat haluttuun kulmaan, voimme väittää, että haluttu kulma on $30+15+15=60^(\circ)$.

Vastaus. 60 $^(\circ)$

Tässä artikkelissa olemme täysin paljastaneet kysymyksen kulman astemittauksesta ja kulmien mittaamisesta.