Mikä on puolisuunnikkaan keskiviivan pituus. Trapetsi. Ominaisuudet, ominaisuudet, alue. Puolisuunnikkaan keskiviiva - materiaalit matematiikan tenttiin valmistautumiseen. Trapetsin ominaisuuksien tutkimisen metodologian pääperiaatteet

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Kutsutaan nelikulmiota, jolla on vain kaksi yhdensuuntaista sivua trapetsi.

Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia sivuja kutsutaan sen perusteita, ja niitä puolia, jotka eivät ole yhdensuuntaisia, kutsutaan sivut. Jos sivut ovat yhtä suuret, tällainen puolisuunnikkaan on tasakylkinen. Kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan puolisuunnikkaan korkeudeksi.

Puolisuunnikkaan keskiviiva

keskiviiva on jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan sivujen keskipisteet. Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhdensuuntainen kantansa kanssa.

Lause:

Jos yhden sivun keskikohdan leikkaava viiva on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa, niin se puolittaa puolisuunnikkaan toisen sivun.

Lause:

Keskiviivan pituus on yhtä suuri kuin sen kantakohtien pituuksien aritmeettinen keskiarvo

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN keskiviiva, AB ja CD - pohjat, AD ja BC - sivut

MN=(AB+DC)/2

Lause:

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on yhtä suuri kuin sen kantojen pituuksien aritmeettinen keskiarvo.

Päätehtävä: Todista, että puolisuunnikkaan keskiviiva jakaa janan, jonka päät ovat puolisuunnikkaan kannan keskellä.

Kolmion keskiviiva

Janaa, joka yhdistää kolmion kahden sivun keskipisteet, kutsutaan kolmion keskiviivaksi. Se on yhdensuuntainen kolmannen sivun kanssa ja sen pituus on puolet kolmannen sivun pituudesta.
Lause: Jos suora, joka leikkaa kolmion yhden sivun keskipisteen, on yhdensuuntainen annetun kolmion toisen sivun kanssa, niin se puolittaa kolmannen sivun.

AM = MC ja BN = NC =>

Kolmion ja puolisuunnikkaan keskiviivan ominaisuuksien käyttäminen

Segmentin jakaminen tiettyyn määrään yhtä suuria osia.
Tehtävä: Jaa segmentti AB 5 yhtä suureen osaan.
Ratkaisu:
Olkoon p satunnainen säde, jonka origo on piste A ja joka ei ole suoralla AB. Asetamme syrjään peräkkäin 5 yhtä suurta segmenttiä p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Yhdistämme A 5:n B:hen ja piirrämme kohtien A 4 , A 3 , A 2 ja A 1 kautta viivat, jotka ovat yhdensuuntaisia A 5 B:n kanssa. Ne leikkaavat AB:n kohdissa B 4 , B 3 , B 2 ja B 1 . Nämä pisteet jakavat segmentin AB 5 yhtä suureen osaan. Todellakin, puolisuunnikkaasta BB 3 A 3 A 5 näemme, että BB 4 = B 4 B 3 . Samalla tavalla puolisuunnikkaan B 4 B 2 A 2 A 4 saadaan B 4 B 3 = B 3 B 2

Kun puolisuunnikkaan B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Sitten B 2 AA 2:sta seuraa, että B 2 B 1 = B 1 A. Lopuksi saamme:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
On selvää, että jotta jana AB voidaan jakaa toiseen määrään yhtä suuria osia, meidän on projisoitava sama määrä yhtä suuria segmenttejä säteelle p. Ja jatka sitten edellä kuvatulla tavalla.

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Puhumme erityisesti yleiset piirteet ja puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ominaisuudet, samoin kuin puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän ominaisuudet. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta harkittujen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään asiat päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä puolisuunnikkaan on ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa (nämä ovat kannat). Ja kaksi eivät ole yhdensuuntaisia - nämä ovat sivut.

Puolisuunnikkaan korkeus voidaan jättää pois - kohtisuorassa pohjaan nähden. Keskiviiva ja diagonaalit piirretään. Ja myös mistä tahansa puolisuunnikkaan kulmasta on mahdollista piirtää puolittaja.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi, piirrä ACME-suunnikkaan lukemisen aikana paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että jana XT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: XT \u003d (a - b) / 2.
Edessämme on sama ACME trapetsi. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja IOC, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. K kolmion samankaltaisuuskerroin ilmaistaan puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
Kolmioiden AOE ja IOC pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
Kaikki samat puolisuunnikkaan, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjäsegmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus sisältää diagonaalien rakentamisen. Joten jos jatkamme AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat jossain vaiheessa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden läpi. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se liittää yhteen puolisuunnikkaan O diagonaalien leikkauspisteen, pisteen, jossa X:n ja T:n kantojen sivujen jatkeet ja keskipisteet leikkaavat.
Piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta segmentin, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T sijaitsee KM:n pienemmällä pohjalla, X - suuremmalla AE:llä). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OH = KM/AE.
Ja nyt diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään segmentti, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Voit selvittää janan pituuden käyttämällä kaavaa 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva samansuuntaisesti sen kantaan nähden.

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajan ominaisuus

Valitse mikä tahansa puolisuunnikkaan kulma ja piirrä puolittaja. Otetaan esimerkiksi puolisuunnikkaan ACME kulma KAE. Kun rakentaminen on valmis, voit helposti nähdä, että puolittaja katkaisee alustasta (tai sen jatkeesta suoralla viivalla itse kuvan ulkopuolella) sivun kanssa samanpituisen segmentin.

Puolisuunnikkaan kulman ominaisuudet

Kumman kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
Yhdistä puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, TX-segmentin pituus on helppo laskea kannan pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Jos puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi vedetään yhdensuuntaisia viivoja, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkinen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

SISÄÄN tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen kulmat ovat yhtä suuret missä tahansa kannassa.
Rakenna nyt trapetsi uudelleen, jotta on helpompi kuvitella, mistä on kyse. Katso tarkkaan AE:n kantaa - M:n vastakkaisen kannan kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviiva ovat yhtä suuret.
Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
Ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan lähellä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa 180 0 on tämän edellytys.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
Piirrä viiva TX uudelleen puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samaan aikaan TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
Tällä kertaa alemmaksi suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a) korkeudelle puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä. Saat kaksi leikkausta. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a+b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Koska puhumme jo ympyrään kirjoitetusta puolisuunnikasta, katsotaanpa tätä asiaa yksityiskohtaisemmin. Erityisesti missä on ympyrän keskipiste suhteessa puolisuunnikkaan. Myös tässä on suositeltavaa olla liian laiska ottamaan kynän ja piirtämään mitä alla käsitellään. Joten ymmärrät nopeammin ja muistat paremmin.

Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan diagonaalin kaltevuuskulman mukaan sivulle. Esimerkiksi lävistäjä voi nousta puolisuunnikkaan yläreunasta suorassa kulmassa sivuun nähden. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa rajatun ympyrän keskipisteen tarkalleen keskeltä (R = ½AE).
Diagonaali ja sivu voivat kohdata alla terävä kulma- silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuren pohjan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivusivun välillä on tylppä kulma.
Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MY.
Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Huomaat helposti, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde löytyy kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R \u003d AE / 2 * sinAME. Vastaavasti kaava voidaan kirjoittaa kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
Tapa kaksi: löydämme rajatun ympyrän säteen kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit piirtää ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Siitä lisää alla. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ACME:n kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: tuohon puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa.
Ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste, joka on piirretty puolisuunnikkaan, jakaa sivupuolen kahdeksi segmentiksi, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
Ja vielä yksi omaisuus. Piirrä tämä esimerkki itse, jotta et joutuisi hämmennyksiin. Meillä on vanha kunnon ACME puolisuunnikkaan ympyrän ympärille piirretty. Siihen piirretään diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien ja sivujen segmenteistä, ovat suorakaiteen muotoisia.
Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivuille) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikasta kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jonka yksi kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan yksi sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden.
Oikean kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

Luultavasti jo arvasit, että täällä tarvitaan jälleen ACME-pukupuolisuunnikasta - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä kärjestä M viiva MT, joka on yhdensuuntainen AK:n sivun kanssa (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että trapetsium ACME on tasakylkinen:

Piirretään aluksi suora МХ – МХ || KE. Saamme suuntaviivan KMHE (kanta - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Kävi ilmi, että kolmiot AKE ja EMA ovat yhtä suuret toistensa kanssa, koska AM \u003d KE ja AE on kahden kolmion yhteinen puoli. Ja myös MAE \u003d MXE. Voimme päätellä, että AK = ME, ja tästä seuraa, että puolisuunnikkaan AKME on tasakylkinen.

Toistettava tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, KA:n sivu, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että niiden summa on 1800. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan kulmien ominaisuuteen).

Harkitse nyt suorakaiteen muotoista ∆ANK:ta (luulen, että tämä kohta on ilmeinen lukijoille ilman lisätodisteita). Siitä löydämme puolisuunnikkaan KH korkeuden - kolmiossa se on jalka, joka sijaitsee vastapäätä kulmaa 30 0. Siksi KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan kaavasta: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Jälkisana

Jos tutkit tätä artikkelia huolellisesti ja harkiten, etkä ollut liian laiska piirtämään puolisuunnikkaita kaikille ylläoleville ominaisuuksille kynällä käsissäsi ja analysoimaan niitä käytännössä, sinun olisi pitänyt hallita materiaali hyvin.

Tietenkin täällä on paljon tietoa, vaihtelevaa ja joskus jopa hämmentävää: ei ole niin vaikeaa sekoittaa kuvatun puolisuunnikkaan ominaisuuksia piirretyn ominaisuuksiin. Mutta huomasit itse, että ero on valtava.

Nyt sinulla on yksityiskohtainen yhteenveto kaikesta yhteisiä ominaisuuksia puolisuunnikkaan muotoinen. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja piirteet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Tässä artikkelissa yritämme heijastaa puolisuunnikkaan ominaisuuksia mahdollisimman täydellisesti. Erityisesti puhumme puolisuunnikkaan yleisistä merkeistä ja ominaisuuksista sekä piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuuksista ja puolisuunnikkaan piirretystä ympyrästä. Käsittelemme myös tasakylkisen ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuuksia.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta harkittujen ominaisuuksien avulla auttaa sinua selvittämään asiat päässäsi ja muistamaan materiaalin paremmin.

Trapetsi ja kaikki-kaikki

Aluksi muistellaan lyhyesti, mikä puolisuunnikkaan on ja mitä muita käsitteitä siihen liittyy.

Joten puolisuunnikkaan on nelikulmainen kuvio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa (nämä ovat kannat). Ja kaksi eivät ole yhdensuuntaisia - nämä ovat sivut.

Puhumme nyt kaikkiin näihin elementteihin liittyvistä erilaisista ominaisuuksista ja niiden yhdistelmistä.

Puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuudet

Selvittääksesi, piirrä ACME-suunnikkaan lukemisen aikana paperille ja piirrä siihen diagonaalit.

Jos löydät kunkin lävistäjän keskipisteet (kutsutaanko näitä pisteitä X ja T) ja yhdistät ne, saat janan. Yksi puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista on, että jana XT on keskiviivalla. Ja sen pituus voidaan saada jakamalla emästen ero kahdella: XT \u003d (a - b) / 2.
Edessämme on sama ACME trapetsi. Lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Tarkastellaan kolmioita AOE ja IOC, jotka muodostuvat lävistäjien segmenteistä yhdessä puolisuunnikkaan kantojen kanssa. Nämä kolmiot ovat samanlaisia. K kolmion samankaltaisuuskerroin ilmaistaan puolisuunnikkaan kantaosien suhteena: k = AE/KM.
Kolmioiden AOE ja IOC pinta-alojen suhdetta kuvaa kerroin k 2 .
Kaikki samat puolisuunnikkaan, samat lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Vain tällä kertaa tarkastellaan kolmioita, jotka lävistäjäsegmentit muodostivat yhdessä puolisuunnikkaan sivujen kanssa. Kolmioiden AKO ja EMO pinta-alat ovat yhtä suuret - niiden pinta-alat ovat samat.
Toinen puolisuunnikkaan ominaisuus sisältää diagonaalien rakentamisen. Joten jos jatkamme AK:n ja ME:n sivuja pienemmän kannan suuntaan, niin ennemmin tai myöhemmin ne leikkaavat jossain vaiheessa. Piirrä seuraavaksi suora viiva puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden läpi. Se leikkaa kantat pisteissä X ja T.
Jos nyt pidennetään suoraa XT, niin se liittää yhteen puolisuunnikkaan O diagonaalien leikkauspisteen, pisteen, jossa X:n ja T:n kantojen sivujen jatkeet ja keskipisteet leikkaavat.
Piirrämme lävistäjien leikkauspisteen kautta segmentin, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat (T sijaitsee KM:n pienemmällä pohjalla, X - suuremmalla AE:llä). Diagonaalien leikkauspiste jakaa tämän segmentin seuraavassa suhteessa: TO/OH = KM/AE.
Ja nyt diagonaalien leikkauspisteen kautta piirretään segmentti, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen (a ja b) kanssa. Leikkauspiste jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan. Voit selvittää janan pituuden käyttämällä kaavaa 2ab/(a + b).

Trapetsin keskiviivan ominaisuudet

Piirrä puolisuunnikkaan keskiviiva samansuuntaisesti sen kantaan nähden.

Puolisuunnikkaan keskiviivan pituus voidaan laskea laskemalla yhteen jalkojen pituudet ja jakamalla ne kahtia: m = (a + b)/2.
Jos piirrät minkä tahansa janan (esimerkiksi korkeuden) puolisuunnikkaan molempien kannan läpi, keskiviiva jakaa sen kahteen yhtä suureen osaan.

Puolisuunnikkaan puolittajan ominaisuus

Puolisuunnikkaan kulman ominaisuudet

Kumman kahdesta valitsemasi sivun viereisestä kulmaparista tahansa, parin kulmien summa on aina 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
Yhdistä puolisuunnikkaan kantajen keskipisteet janalla TX. Katsotaanpa nyt puolisuunnikkaan pohjien kulmia. Jos kulmien summa jollekin niistä on 90 0, TX-segmentin pituus on helppo laskea kannan pituuksien eron perusteella jaettuna puoliksi: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Jos puolisuunnikkaan kulman sivujen läpi vedetään yhdensuuntaisia viivoja, ne jakavat kulman sivut suhteellisiksi segmenteiksi.

Tasakylkinen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan ominaisuudet

Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kulmat missä tahansa kantapäässä ovat yhtä suuret.
Rakenna nyt trapetsi uudelleen, jotta on helpompi kuvitella, mistä on kyse. Katso tarkkaan AE:n kantaa - M:n vastakkaisen kannan kärki projisoidaan tiettyyn pisteeseen viivalla, joka sisältää AE:n. Etäisyys kärjestä A kärjen M projektiopisteeseen ja tasakylkisen puolisuunnikkaan keskiviiva ovat yhtä suuret.
Muutama sana tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuuksista - niiden pituudet ovat yhtä suuret. Ja myös näiden diagonaalien kaltevuuskulmat puolisuunnikkaan pohjaan nähden ovat samat.
Ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan lähellä, koska nelikulmion vastakkaisten kulmien summa 180 0 on tämän edellytys.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuus seuraa edellisestä kappaleesta - jos ympyrä voidaan kuvata lähellä puolisuunnikasta, se on tasakylkinen.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuksista seuraa puolisuunnikkaan korkeuden ominaisuus: jos sen lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, korkeuden pituus on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta: h = (a + b)/2.
Piirrä viiva TX uudelleen puolisuunnikkaan kantajen keskipisteiden läpi - tasakylkisessä puolisuunnikkaan se on kohtisuorassa kantaan nähden. Ja samaan aikaan TX on tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetria-akseli.
Tällä kertaa alemmaksi suurempaan kantaan (kutsutaanko sitä a) korkeudelle puolisuunnikkaan vastakkaisesta kärjestä. Saat kaksi leikkausta. Yhden pituus löytyy, jos pohjan pituudet lasketaan yhteen ja jaetaan kahtia: (a+b)/2. Toisen saamme, kun vähennämme pienemmän suuremmasta kannasta ja jaamme tuloksena saadun eron kahdella: (a–b)/2.

Ympyrään piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Ympyrän keskipisteen sijainti määräytyy puolisuunnikkaan diagonaalin kaltevuuskulman mukaan sivulle. Esimerkiksi lävistäjä voi nousta puolisuunnikkaan yläreunasta suorassa kulmassa sivuun nähden. Tässä tapauksessa suurempi kanta leikkaa rajatun ympyrän keskipisteen tarkalleen keskeltä (R = ½AE).
Diagonaali ja sivu voivat kohdata myös terävässä kulmassa - silloin ympyrän keskipiste on puolisuunnikkaan sisällä.
Piirretyn ympyrän keskipiste voi olla puolisuunnikkaan ulkopuolella, sen suuren pohjan ulkopuolella, jos puolisuunnikkaan lävistäjän ja sivusivun välillä on tylppä kulma.
Puolisuunnikkaan ACME diagonaalin ja suuren pohjan muodostama kulma (kirjoitettu kulma) on puolet sitä vastaavasta keskikulmasta: MAE = ½ MY.
Lyhyesti kahdesta tavasta löytää rajatun ympyrän säde. Tapa yksi: katso tarkasti piirustustasi - mitä näet? Huomaat helposti, että diagonaali jakaa puolisuunnikkaan kahdeksi kolmioksi. Säde löytyy kolmion sivun suhteesta vastakkaisen kulman siniin kerrottuna kahdella. Esimerkiksi, R \u003d AE / 2 * sinAME. Vastaavasti kaava voidaan kirjoittaa kummankin kolmion mille tahansa sivulle.
Tapa kaksi: löydämme rajatun ympyrän säteen kolmion alueen läpi, jonka muodostavat puolisuunnikkaan lävistäjä, sivu ja kanta: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ominaisuudet

Voit piirtää ympyrän puolisuunnikkaan, jos yksi ehto täyttyy. Siitä lisää alla. Ja yhdessä tällä lukuyhdistelmällä on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, sen keskiviivan pituus saadaan helposti selville lisäämällä sivujen pituudet ja jakamalla saatu summa puoliksi: m = (c + d)/2.
Ympyrän ympärille piirretyn puolisuunnikkaan ACME:n kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa: AK + ME = KM + AE.
Tästä puolisuunnikkaan kantojen ominaisuudesta seuraa käänteinen väite: tuohon puolisuunnikkaan voidaan kirjoittaa ympyrä, jonka kantojen summa on yhtä suuri kuin sivujen summa.
Ympyrän, jonka säde on r, tangenttipiste, joka on piirretty puolisuunnikkaan, jakaa sivupuolen kahdeksi segmentiksi, kutsutaan niitä a:ksi ja b:ksi. Ympyrän säde voidaan laskea kaavalla: r = √ab.
Ja vielä yksi omaisuus. Piirrä tämä esimerkki itse, jotta et joutuisi hämmennyksiin. Meillä on vanha kunnon ACME puolisuunnikkaan ympyrän ympärille piirretty. Siihen piirretään diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä O. Kolmiot AOK ja EOM, jotka muodostuvat lävistäjien ja sivujen segmenteistä, ovat suorakaiteen muotoisia.
Näiden kolmioiden korkeudet laskettuna hypotenuusille (eli puolisuunnikkaan sivuille) osuvat yhteen piirretyn ympyrän säteiden kanssa. Ja puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin piirretyn ympyrän halkaisija.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ominaisuudet

Puolisuunnikasta kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jonka yksi kulmista on oikea. Ja sen ominaisuudet johtuvat tästä seikasta.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan yksi sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden.
Oikean kulman vieressä olevan puolisuunnikkaan korkeus ja sivu ovat yhtä suuret. Tämän avulla voit laskea suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen (yleinen kaava S = (a + b) * h/2) ei vain korkeuden, vaan myös oikean kulman vieressä olevan sivun kautta.
Suorakaiteen muotoiselle puolisuunnikkaan edellä kuvatut puolisuunnikkaan diagonaalien yleiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä.

Todisteet joistakin puolisuunnikkaan ominaisuuksista

Kulmien yhtäläisyys tasakylkisen puolisuunnikkaan pohjassa:

Luultavasti jo arvasit, että täällä tarvitaan jälleen ACME-pukupuolisuunnikasta - piirrä tasakylkinen puolisuunnikkaan. Piirrä kärjestä M viiva MT, joka on yhdensuuntainen AK:n sivun kanssa (MT || AK).

Tuloksena oleva nelikulmio AKMT on suunnikas (AK || MT, KM || AT). Koska ME = KA = MT, ∆ MTE on tasakylkinen ja MET = MTE.

AK || MT, joten MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Missä AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Todistamme nyt tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuuden (lävistäjän yhtäläisyys) perusteella, että trapetsium ACME on tasakylkinen:

Piirretään aluksi suora МХ – МХ || KE. Saamme suuntaviivan KMHE (kanta - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on tasakylkinen, koska AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, joten MAE = MXE.

Toistettava tehtävä

Puolisuunnikkaan ACME pohjat ovat 9 cm ja 21 cm, KA:n sivu, joka on 8 cm, muodostaa 150 0 kulman pienemmän pohjan kanssa. Sinun on löydettävä puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu: Huipulta K lasketaan korkeus puolisuunnikkaan suurempaan kantaan. Ja aloitetaan katsomaan puolisuunnikkaan kulmia.

Kulmat AEM ja KAN ovat yksipuolisia. Tämä tarkoittaa, että niiden summa on 1800. Siksi KAN = 30 0 (perustuen puolisuunnikkaan kulmien ominaisuuteen).

Puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan kaavasta: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Jälkisana

Nyt sinulla on yksityiskohtainen yhteenveto kaikista puolisuunnikkaan yleisistä ominaisuuksista. Sekä tasakylkisten ja suorakaiteen muotoisten puolisuunnikkaan erityiset ominaisuudet ja piirteet. Se on erittäin kätevä käyttää kokeisiin ja kokeisiin valmistautumiseen. Kokeile itse ja jaa linkki ystävillesi!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Planimetristen tehtävien ratkaisemisessa kuvion sivujen ja kulmien lisäksi muut suuret ovat usein aktiivisesti mukana - mediaanit, korkeudet, lävistäjät, puolittajat ja muut. Niiden joukossa on keskiviiva.
Jos alkuperäinen monikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen, mikä on sen keskiviiva? Tämä segmentti on osa suoraa viivaa, joka leikkaa keskellä olevan hahmon sivut ja on yhdensuuntainen kahden muun sivun - kannan - kanssa.

Kuinka löytää puolisuunnikkaan keskiviiva keskiviivan ja perusviivan kautta

Jos ylemmän ja alemman kannan arvot tunnetaan, lauseke auttaa laskemaan tuntematonta:

a, b - pohjat, l - keskiviiva.

Kuinka löytää puolisuunnikkaan keskiviiva alueen läpi

Jos lähdetiedot sisältävät kuvan alueen arvon, tämän arvon avulla on myös mahdollista laskea puolisuunnikkaan keskikohdan viivan pituus. Käytetään kaavaa S = (a+b)/2*h,
S - alue,
h - korkeus,
a, b - emäkset.
Mutta koska l = (a+b)/2, niin S = l*h, mikä tarkoittaa l=S/h.

Kuinka löytää puolisuunnikkaan keskiviiva pohjan läpi ja kulmat siinä

Figuurin suuremman pohjan pituus, sen korkeus, samoin kuin tunnettu tutkinnon mittaa kulmat sen kanssa, lauseke puolisuunnikkaan keskiviivan löytämiseksi näyttää tältä:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, kun taas
l on haluttu arvo,
a on suurempi kanta,
α, β ovat kulmat siinä,
h on kuvion korkeus.

Jos pienemmän kannan arvo tunnetaan (samoilla muilla tiedoilla), suhde auttaa löytämään keskipisteviivan:

l = b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l on haluttu arvo,
b on pienempi kanta,
α, β ovat kulmat siinä,
h on kuvion korkeus.

Etsi puolisuunnikkaan keskiviiva käyttämällä korkeutta, diagonaaleja ja kulmia

Harkitse tilannetta, jossa ongelman ehdot sisältävät kuvan diagonaalien arvot, kulmat, joita ne muodostavat risteäessään toistensa kanssa, sekä korkeuden. Voit laskea keskimääräisen rivin käyttämällä lausekkeita:

l=(d1*d2)/2h*sinγ tai l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l - keskiviiva,
d1, d2 - diagonaalit,
φ, γ ovat niiden väliset kulmat,
h on kuvion korkeus.

Kuinka löytää puolisuunnikkaan keskiviiva tasakylkiselle hahmolle

Jos peruskuvio on tasakylkinen puolisuunnikas, yllä olevilla kaavoilla on seuraava muoto.

Jos puolisuunnikkaan kantaosilla on arvoja, lausekkeessa ei tapahdu muutoksia.

l = (a + b) / 2, a, b - emäkset, l - keskiviiva.

Jos korkeus, pohja ja sen vieressä olevat kulmat tunnetaan, niin:

l=a-h*ctga,
l=b+h*ctga,

l - keskiviiva,
a, b ovat emäksiä (b< a),
α - kulmat siinä,
h on kuvion korkeus.

Jos puolisuunnikkaan sivu ja yksi kanta tunnetaan, voit määrittää halutun arvon lausekkeen avulla:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l - keskiviiva,
a, b ovat emäksiä (b< a),
h on kuvion korkeus.

Tunnetuilla korkeusarvoilla, diagonaaleilla (ja ne ovat yhtä suuret toistensa kanssa) ja niiden risteyksen seurauksena muodostuneilla kulmilla keskiviiva löytyy seuraavasti:

l=(d*d)/2h*sinγ tai l=(d*d)/2h*sinφ,

l - keskiviiva,
d - diagonaalit,
φ, γ ovat niiden väliset kulmat,
h on kuvion korkeus.

Kun tiedät kuvion alueen ja korkeuden, niin:

l=S/h,
S - alue,
h on korkeus.

Jos kohtisuoran korkeutta ei tunneta, se voidaan määrittää käyttämällä trigonometrisen funktion määritelmää.

h=c*sinα, joten
l=S/c*sinα,
l - keskiviiva,
S - alue,
c - puoli,
α-kulma pohjassa.