Полиноми. Факторизиране на полином: методи, примери. "прилагане на различни начини за разлагане на многочлен на множители" Примери за пресмятане по формули на квадрати

Раздели: Математика

Тип урок:

• според метода на провеждане - практическо занятие;
• с дидактическа цел - урок по прилагане на знания и умения.

Мишена:формират способността да факторизират полином.

Задачи:

• Дидактически: систематизира, разширява и задълбочава знанията, уменията на учениците, прилага различни методи за разлагане на полином на фактори. Да се ​​формира способността да се прилага разлагането на полином на фактори чрез комбинация от различни техники. Да се ​​прилагат знания и умения по темата: „Разлагане на многочлен на множители” за изпълнение на задачи от основно ниво и задачи с повишена сложност.
• Образователни: да развият умствена дейност чрез решаване на проблеми от различни видове, да се научат да намират и анализират най-рационалните начини за решаване, да допринесат за формирането на способността да обобщават изучените факти, ясно и ясно да изразяват своите мисли.
• Образователни: развиват умения за самостоятелна и екипна работа, умения за самоконтрол.

Методи на работа:

• глаголен;
• визуален;
• практичен.

Оборудване на урока:интерактивна бяла дъска или скоп, таблици със съкратени формули за умножение, инструкции, листовка за групова работа.

Структура на урока:

1. Организиране на времето. 1 минута
2. Формулиране на темата, целите и задачите на урока-практика. 2 минути
3. Преглед домашна работа. 4 минути
4. Актуализиране на основните знания и умения на учениците. 12 минути
5. Физкултминутка. 2 минути
6. Инструкции за изпълнение на задачите на семинара. 2 минути
7. Изпълнение на задачи по групи. 15 минути
8. Проверка и обсъждане на изпълнението на задачите. Анализ на работата. 3 минути
9. Поставяне на домашна работа. 1 минута
10. Резервни задачи. 3 минути

По време на часовете

1. Организационен момент

Учителят проверява готовността на класната стая и учениците за урока.

2. Формулиране на темата, целите и задачите на урока-практика

• Съобщение за последния урок по темата.
• Мотивация учебни дейностистуденти.
• Формулиране на целта и поставяне на целите на урока (заедно с учениците).

3. Проверка на домашните

На дъската има примери за решаване на домашни упражнения No 943 (a, c); № 945 (c, d). Пробите са направени от учениците от класа. (Тази група ученици беше идентифицирана в предишния урок, те формализираха решението си в междучасието). Учениците се подготвят да „защитят” решенията.

Учител:

Проверява домашните в ученическите тетрадки.

Кани учениците от класа да отговорят на въпроса: „Какви трудности предизвика заданието?“.

Предлага да сравни своето решение с решението на дъската.

Кани учениците на дъската да отговорят на въпросите, които учениците имаха на терен при проверка на образците.

Коментира отговорите на учениците, допълва отговорите, обяснява (ако е необходимо).

Обобщава домашното.

Ученици:

Представете домашното на учителя.

Сменяйте тетрадките (по двойки) и проверявайте помежду си.

Отговорете на въпросите на учителя.

Проверете решението си с мостри.

Те действат като опоненти, правят допълнения, корекции, записват различен метод, ако методът за решаване в тетрадката се различава от метода на дъската.

Поискайте необходимите обяснения на учениците, на учителя.

Намерете начини да проверите резултатите.

Участвайте в оценката на качеството на задачите на дъската.

4. Актуализиране на основните знания и умения на учениците

1. Устна работа

Учител:

Отговори на въпросите:

1. Какво означава да факторизираш полином?
2. Колко метода на разлагане знаете?
3. Как се казват?
4. Кое е най-често срещаното?

2. Полиномите са написани на дъската:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Учителкани учениците да факторизират полиноми № 1-3:

• I вариант - чрез изваждане на общ множител;
• II вариант - използване на формули за съкратено умножение;
• III вариант - по начин на групиране.

На един ученик се предлага да разложи на множители полином № 4 (индивидуална задача с повишена трудност, задачата се изпълнява на формат А 4). След това на дъската се появява примерно решение на задачи No 1-3 (изпълнено от учителя), примерно решение на задача No 4 (изпълнено от ученика).

3. Загрейте

Учителят дава инструкции за разлагане и избор на буквата, свързана с правилния отговор. Като добавите буквите, ще получите името на най-великия математик от 17 век, който има огромен принос в развитието на теорията за решаване на уравнения. (Декарт)

5. Физическо възпитание Учениците четат твърденията. Ако твърдението е вярно, тогава учениците трябва да вдигнат ръце, а ако не е вярно, тогава да седнат на бюрото. (приложение 2)

6. Инструкция за изпълнение на задачите от семинара.

На интерактивна дъска или отделен плакат, таблица с инструкции.

При разлагане на полином на множители трябва да се спазва следният ред:

1. поставете общия множител извън скоби (ако има такъв);

2. приложете формули за съкратено умножение (ако е възможно);

3. прилага метода на групиране;

4. проверка на резултата, получен чрез умножение.

Учител:

Предлага инструкции на учениците (подчертава стъпка 4).

Предлага изпълнение на работни задачи по групи.

Разпределя работни листове по групи, листове с копирна хартия за попълване на задачи в тетрадки и последващата им проверка.

Определя времето за работа по групи, за работа в тетрадки.

студенти:

Те четат инструкциите.

Учителите слушат внимателно.

Те са настанени на групи (по 4-5 души).

Подгответе се за практическа работа.

7. Изпълнение на задачи по групи

Работни листове със задачи за групи. (приложение 3)

Учител:

Ръководи самостоятелна работа в групи.

Оценява се способността на учениците за самостоятелна работа, умението за работа в група, качеството на оформянето на работния лист.

студенти:

Изпълнете задачи върху листове карбон, приложени в работна тетрадка.

Обсъдете рационални решения.

Подгответе работен лист за групата.

Подгответе се да защитите работата си.

8. Проверка и обсъждане на заданието

Отговори на бялата дъска.

Учител:

Събира преписи от решения.

Ръководи работата на учениците, отчитайки работните листове.

Предлага да извърши самооценка на работата си, да сравни отговорите в тетрадки, работни листове и образци на дъската.

Припомня критериите за оценяване на работата, за участие в нейното изпълнение.

Осигурява разяснения относно възникващи въпроси, свързани с решения или самооценка.

Обобщава първите резултати от практическата работа и размисъл.

Обобщава (съвместно с учениците) урока.

Казва, че окончателните резултати ще бъдат обобщени след проверка на копия от работата, извършена от учениците.

студенти:

Дайте копия на учителя.

Работните листове са прикрепени към дъската.

Отчитане на изпълнението на работата.

Извършване на самооценка и самооценка на изпълнението на работата.

9. Поставяне на домашна работа

Домашната работа е написана на дъската: No 1016 (a, b); 1017 (c, d); № 1021 (d, e, f)*

Учител:

Предлага да напише задължителната част от задачата у дома.

Дава коментар за изпълнението му.

Кани по-подготвените ученици да запишат № 1021 (d, e, f) *.

Казва ви да се подготвите за следващия урок за преглед

ПЛАН НА УРОКА

9 Цел на урока

създават условия за упражняване на уменията и способностите за разлагане на многочлен с различни методи.

10. Задачи:

Образователни

повторете алгоритмите на операциите: изваждане на общия множител от скобата, метод на групиране, формули за съкратено умножение.

изграждане на умения:

– прилагат знания по темата „факторизация на многочлен по различни начини“;

– изпълняват задачи според избрания метод на действие;

– изберете най-много рационален начинза рационализиране на изчисленията, трансформация на полиноми.

Образователни

да насърчава развитието на когнитивните способности, вниманието, паметта, мисленето на учениците чрез използване на различни упражнения;

развиват умения самостоятелна работаи групова работа; поддържат интереса на учениците към математиката

възпитатели

поддържат интереса на учениците към математиката

11. Оформен UUD

лични: осъзнаване на целта на дейността (очакван резултат), осъзнаване или избор на метод на дейност (Как ще го направя? Как ще получа резултата?), анализ и оценка на резултата; оценка на техните възможности;

Регулаторни: вземат предвид правилото при планиране и контролиране на начина на решаване, планиране, оценка на резултатите от работата;

Когнитивни: избор на най ефективни начинирешаване на проблеми, структуриране на знания;преобразуване на информация от една форма в друга.

Комуникативен: планиранеобразователно сътрудничество с учителя и връстниците, спазване на правилата за речево поведение, способност за изразяване иобосновават своята гледна точка, вземат предвид различните мнения и се стремят да координират различни позиции в сътрудничество.

12. Методи:

по източници на знания: вербални, визуални;

по отношение на природата познавателна дейност: репродуктивен, частично изследователски.

13. Форми на работа на студентите: фронтален, индивидуален, групов.

14. Необходимо Техническо оборудване: компютър, проектор, интерактивна дъска, раздавателни материали (лист за самоконтрол, карти със задачи), електронна презентация, изработена по програматамощностточка

15.Планирани резултати :

Лична възпитаване на чувство за самоуважение и взаимно уважение; развитие на сътрудничеството при работа в групи;

Метасубект развитие на речта; развитие на самостоятелността на учениците; развитие на внимание при търсене на грешки.

предмет развитие на умения за работа с информация, овладяване на решения

По време на часовете:

1. Поздрав към учениците. Проверка на готовността на класа за урока от учителя; организация на вниманието; урок за лист за оценкаПриложение 1 , прецизиране на критериите за оценка.

Проверка на домашните и актуализиране на знанията

2. 100 - 20s + s 2 = (10 + s) 2

3. с 2 - 81 \u003d (s - 9) (s + 9)

4. 6x 3 – 5 пъти 4 = х 4 (6x - 5)

5. ay - 3y - 4a + 12 \u003d y (a - 3) - 4 (a - 3)

6. 0,09x 2 - 0,25 г 2 \u003d (0,03x - 0,05y) (0,03x + 0,05y)

7. c (x - 3) -д(x - 3) \u003d (x - 3) (s -д)

8. 14x 2 - 7x \u003d 7x (7x - 1)

9. -1600 + а 12 = (40 + a 6 ) (40 - а 6 )

10,9x 2 – 24xy + 16y 2 = (3x - 4y) 2

11.8s 3 – 2s 2 + 4s - 1 =

2s 2 (4s - 1) + (4s - 1) = (4s - 1)2s 2

12. b 4 + с 2 – 2 b 2 c = (b – ° С) 2

(задачи за домашна работавзети от учебника, включват факторизиране различни начини. За да завършат тази работа, учениците трябва да си припомнят предишния изучен материал)

Отговорите, записани на слайда, съдържат грешки, учениците се научават да виждат начини и също така, забелязвайки грешки, запомнят начини за действие,

Учениците по групи след проверка на домашната работа дават точки за свършената работа.

2 РелеПриложение 2 (членовете на екипа се редуват да изпълняват задачата, докато стрелката свързва примера и начина, по който е разложен)

2а + 2б + а 2 +аб = (а + б) (2 + а)

9а 2 – 16б 2 = ( 3а - 4 b)(3a + 4b)

16а 2 - 8ab+b 2 = (4а – б) 2

7а 2 b-14ab 2 + 7ab = 7ab(a - 2b + 1)

а 2 + ab- a - ac- bc + c = (a + b - 1) (a - c)

25а 2 + 70ab + 49b 2 = ( 5а + 7 б) 2

5x 2 - 45 г 2 \u003d 5 (x - 3y) (x + 3y)

Не се факторизира

Метод на групиране

С помощта на слайда се проверява свършената работа и се обръща внимание на факта, че последният пример трябва да се комбинира с два метода на разлагане (поставяне в скоби на общия множител и формулата за съкратено умножение)

Учениците оценяват свършената работа, вписват резултатите в листовете за оценка, а също така формулират темата на урока.

3. Изпълнение на задачи (учениците са поканени да изпълнят задачата. Обсъждайки решението в група, момчетата стигат до извода, че са необходими няколко начина за факторизиране на тези полиноми. Екипът, който първи предложи правилното разлагане, има право да запише решението си на дъската, останалите го записват в тетрадка .. Екипът е установил работа в помощ на ученици, които се затрудняват да се справят със задачата)

5) 5м 2 + 5n 2 – 10 мин

9) 84 - 42y - 7xy + 14x

13) х 2 y+14xy 2 + 49 г 3

2) 3а 2 + 6ab + 3b 2

6) cx 2 – cy 2

10) -7б 2 – 14 пр.н.е. – 7в 2

14) 3ab 2 – 27а

3) х 3 – 4 пъти

7) -3x 2 + 12x - 12

11) 3x 2 - 3

15) -8а 3 б+56а 2 b 2 – 98аб 3

4) 3ab + 15b - 3a - 15

8) х 4 - х 2

12) ° С 4 - 81

16) 0 , 09т 4 - T 6

Факторизиране на полином

Изваждане на общия множител извън скоби

Метод на групиране

Формула за съкратено умножение

Обобщение на урока. Учениците отговарят на въпросите:Каква задача си поставихме? Успяхме ли да решим проблема си? как? Какви бяха резултатите? Как може да се разложи полином? За какви задачи могат да се приложат тези знания? Какво направи добре в клас? Върху какво още трябва да се работи?

По време на урока учениците се самооцениха, в края на урока те бяха помолени да съберат оценките и да дадат оценка в съответствие с предложената скала.

Заключителна дума на учителя: Днес в урока се научихме да определяме какви методи трябва да се прилагат, за да се факторизират полиноми. За консолидиране на свършената работа

Домашна работа: §19, #708, #710

Допълнителна задача:

Решете уравнението x 3 + 4x 2 = 9x + 36

Факторизацията на полиномите е трансформация на идентичността, в резултат на което полиномът се трансформира в произведение на няколко фактора - полиноми или мономи.

Има няколко начина за разлагане на полиноми.

Метод 1. Поставяне на общия множител в скоби.

Тази трансформация се основава на разпределителния закон на умножението: ac + bc = c(a + b). Същността на трансформацията е да се отдели общият фактор в двата разглеждани компонента и да се „извади“ от скобите.

Нека разложим на множители полинома 28x 3 - 35x 4.

Решение.

1. Намираме елементите 28x 3 и 35x 4 общ делител. За 28 и 35 ще бъде 7; за x 3 и x 4 - x 3. С други думи, нашият общ множител е 7x3.

2. Всеки от елементите представяме като произведение на фактори, един от които
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Поставяне на общия множител в скоби
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Метод 2. Използване на формули за съкратено умножение. „Майсторството“ на усвояването на този метод е да забележите в израза една от формулите за съкратено умножение.

Нека разложим полинома на множители x 6 - 1.

Решение.

1. Можем да приложим формулата за разликата на квадратите към този израз. За да направим това, представяме x 6 като (x 3) 2, а 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще приеме формата:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Към получения израз можем да приложим формулата за сбор и разлика на кубове:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Така,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групиране. Методът на групиране се състои в комбиниране на компонентите на полином по такъв начин, че да е лесно да се извършват операции с тях (събиране, изваждане, изваждане на общ множител).

Разлагаме полинома на множители x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Решение.

1. Групирайте компонентите по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. В получения израз изваждаме общите множители извън скоби: x 2 в първия случай и 5 във втория.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Изваждаме общия множител x - 3 и получаваме:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Така,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Да оправим материала.

Разложете полинома на множители a 2 - 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представяме монома 7ab като сумата 3ab + 4ab. Изразът ще приеме формата:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Нека отворим скобите и да получим:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Групирайте компонентите на полинома по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти. Получаваме:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Нека извадим общите фактори:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Нека извадим общия множител (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Така,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Полиномите са най-важният тип математически изрази. На базата на полиноми е построен набор от уравнения, неравенства и функции. Проблемите с различни нива на сложност често съдържат етапи на разнообразна трансформация на полиноми. Тъй като математически всеки полином е алгебрична сума от няколко мономи, най-фундаменталната и необходима промяна е трансформирането на полиномна серия в продукт на два (или повече) фактора. В уравнения, които имат способността да нулират една от частите, преобразуването на полинома в множители ви позволява да приравните част към нула и по този начин да решите цялото уравнение.

Предишните видео уроци ни показаха, че в линейна алгебраИма три основни начина за преобразуване на полиноми в фактори. Това е изваждане на общия множител извън скоби, прегрупиране според подобни термини, като се използват формули за съкратено умножение. Ако всички членове на полинома имат някаква обща основа, тогава тя може лесно да бъде извадена от скобите, оставяйки остатъка от деленията под формата на модифициран полином в скоби. Но най-често един фактор не отговаря на всички мономи, засягайки само част от тях. В този случай другата част от мономите може да има свои собствени общо основание. В такива случаи се използва метод на групиране - всъщност поставяне в скоби на няколко фактора и създаване на сложен израз, който може да бъде трансформиран по други начини. И накрая, има цял комплекс от специални формули. Всички те се формират чрез абстрактни изчисления, като се използва методът на най-простото умножение член по член. По време на изчисленията много елементи в първоначалния израз се редуцират, оставяйки малки полиноми. За да не извършвате обемни изчисления всеки път, можете да използвате готови формули, техните обратни версии или обобщени заключения на тези формули.

На практика често се случва в едно упражнение да се комбинират няколко техники, включително и от категорията на полиномните трансформации. Помислете за пример. Разложете на множители по бином:

Изваждаме общия множител 3 извън скоби:

3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)

Както можете да видите във видеото, вторите скоби съдържат разликата на квадратите. Прилагаме обратната формула за съкратено умножение, получавайки:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Друг пример. Нека трансформираме израз от формата:

18а2 - 48а + 32

Намаляваме числовите коефициенти, като поставяме двойката в скоби:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

За да се намери подходяща съкратена формула за умножение за този случай, е необходимо леко да коригирате израза, като приспособите формулата към условията:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Понякога формула в объркващ израз не се вижда толкова лесно. Човек трябва да приложи методите за разлагане на израза на съставните му елементи или да добави въображаеми двойки конструкции, като +x-x. Коригирайки израза, трябва да спазваме правилата за последователност на знаците и запазването на смисъла на израза. В същото време трябва да се опитате да приведете полинома в пълно съответствие с абстрактната версия на формулата. В нашия пример прилагаме формулата на квадрата на разликата:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Нека направим по-трудно упражнение. Нека факторизираме полинома:

U3 - 3y2 + 6y - 8

Като начало, нека извършим удобно групиране - първият и четвъртият елемент в една група, вторият и третият - във втората:

Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Обърнете внимание, че знаците във вторите скоби са обърнати, тъй като преместихме минуса от израза. В първите скоби можем да напишем:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Това ви позволява да приложите формулата за намалено умножение, за да намерите разликата на кубовете:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) \u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

Изваждаме общия фактор 3y от вторите скоби, след което изваждаме скобите (y - 2) от целия израз (бином), даваме подобни условия:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)

В общо приближение има определен алгоритъм на действия при решаването на такива упражнения.
1. Търсим общи множители за целия израз;
2. Групираме подобни мономи, търсим общи множители за тях;
3. Опитваме се да поставим в скоби най-подходящия израз;
4. Прилагаме формулите на съкратеното умножение;
5. Ако на някакъв етап процесът не върви, въвеждаме въображаема двойка изрази от формата -x + x или други самоотменящи се конструкции;
6. Даваме подобни условия, намаляваме ненужните елементи

Всички точки от алгоритъма рядко са приложими в една задача, но общият ход на решаване на всяко упражнение по тема може да се следва в даден ред.

Целта на урока:  формиране на умения за разлагане на полином на фактори по различни начини;  да се култивира точност, постоянство, усърдие, способност за работа по двойки. Оборудване: мултимедиен проектор, компютър, дидактически материали. План на урока: 1. Организационен момент; 2. Проверка на домашните; 3. Устна работа; 4. Учене на нов материал; 5. Физическо възпитание; 6. Затвърдяване на изучения материал; 7. Работа по двойки; 8. Домашна работа; 9. Обобщаване. Ход на урока: 1. Организационен момент. Разпределете учениците към урока. Образованието не се състои в количеството знания, а в пълното разбиране и умелото прилагане на всичко, което човек знае. (Георг Хегел) 2. Проверка на домашна работа. Анализ на задачи, при решаването на които учениците са имали затруднения. 3. Устна работа.  разложи на множители: 1) 2) 3) ; 4) .  Установете съответствие между изразите от лявата и дясната колона: a. 1. б. 2. c. 3. г. 4. г. 5. .  Решете уравненията: 1. 2. 3. 4. Учене на нов материал. За разлагане на полиноми на множители използвахме скоби, групиране и формули за съкратено умножение. Понякога е възможно да се факторизира полином чрез последователно прилагане на няколко метода. Трябва да започнете трансформацията, ако е възможно, като извадите общия множител извън скоби. За да разрешим успешно такива примери, днес ще се опитаме да разработим план за последователното им прилагане.

150 000₽ награден фонд 11 почетни документа Доказателство за публикация в медиите