Scăderea vibrațiilor. Formulele de bază în fizică sunt oscilațiile și undele. Ecuația vibrațiilor armonice

În realitate, oscilațiile libere apar sub acțiunea forțelor de rezistență. Forțele disipative conduc la o scădere a amplitudinii oscilației. Oscilațiile, a căror amplitudine devine mai mică în timp ca urmare a pierderilor de energie, se numesc amortizate.

Oscilații mecanice amortizate

DEFINIȚIE

Se numește mărimea fizică care caracterizează viteza de amortizare a oscilațiilor factorul de amortizare. Coeficientul de atenuare poate fi notat în diferite moduri: etc. Cu condiția ca forțele de frecare să fie proporționale cu viteza corpului:

unde - este coeficientul generalizat de frecare, coeficientul de amortizare este considerat egal cu:

unde este masa corpului care oscilează.

Ecuația diferențială a oscilațiilor în prezența amortizării va avea forma:

Ecuația de oscilație amortizată:

Unde este frecvența oscilațiilor amortizate, este amplitudinea oscilațiilor amortizate. este o valoare constantă care depinde de alegerea punctului de referință temporală.

Coeficientul de amortizare poate fi definit ca reciproca timpului () pentru care amplitudinile (A) scade de e ori:

unde este timpul de relaxare. Adică poți scrie:

Perioada oscilațiilor amortizate este egală cu:

cu rezistența nesemnificativă a mediului, dacă inegalitatea este satisfăcută: perioada de oscilație poate fi calculată folosind formula:

Pe măsură ce factorul de amortizare crește, perioada de oscilație crește. Trebuie remarcat faptul că conceptul de perioada de oscilații amortizate nu coincide cu conceptul de oscilații neamortizate, deoarece sistemul în prezența amortizarii nu revine niciodată la starea inițială. Perioada oscilațiilor amortizate este perioada minimă de timp în care sistemul trece de două ori de poziția de echilibru în aceeași direcție.

Odată cu creșterea coeficientului de atenuare al oscilațiilor, frecvența oscilațiilor scade. Dacă , atunci frecvența oscilațiilor amortizate va deveni egală cu zero, în timp ce perioada crește la infinit. Astfel de oscilații își pierd periodicitatea și se numesc aperiodice. Când coeficientul de amortizare este egal cu frecvența naturală a oscilațiilor, parametrii sistemului sunt numiți critici.

Coeficientul de amortizare a oscilației este legat de decrementul de amortizare logaritmică () prin expresia:

Oscilații electrice amortizate

Orice circuit electric care există în realitate are o rezistență activă, prin urmare, energia stocată în el în timp este cheltuită pe această rezistență, deoarece este încălzită.

În acest caz, coeficientul de atenuare pentru circuitul electric se calculează astfel:

unde R este rezistența, L este inductanța circuitului.

Frecvența în circuitul electromagnetic este reprezentată de formula:

Pentru un circuit RLC, rezistența critică () la care oscilațiile devin aperiodice este rezistența egală cu:

Unități de raport de amortizare

Unitatea de măsură de bază a coeficientului de atenuare în sistemul SI este:

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu	Care este coeficientul de amortizare dacă amplitudinea oscilațiilor pendulului în timpul t=10 s. scade de 4 ori?
Soluţie	Să notăm ecuația oscilațiilor amortizate ale pendulului: Conform uneia dintre definițiile coeficientului de atenuare: Hai sa facem calculele:
Răspuns

EXEMPLUL 2

Motivul pentru amortizare este că în orice sistem oscilator, pe lângă forța de restabilire, există întotdeauna alt fel, rezistenta aerului

etc., care încetinesc mișcarea. La fiecare leagăn, o parte este cheltuită pentru lucru împotriva forțelor de frecare. În cele din urmă, această muncă preia toată energia furnizată sistemului oscilator inițial.

Având în vedere, aveam de-a face cu oscilații naturale ideale, strict periodice. Descriind fluctuații reale cu ajutorul unui astfel de model, permitem în mod deliberat o inexactitate în descriere. Cu toate acestea, o astfel de simplificare este potrivită datorită faptului că pentru multe sisteme oscilatoare amortizarea oscilațiilor cauzate de frecare este cu adevărat mică: sistemul reușește să facă multe oscilații înainte ca acestea să scadă vizibil.

Curbe ale oscilațiilor amortizate

În prezența amortizarii, oscilația naturală (Fig. 1) încetează să mai fie armonică. Mai mult, oscilația amortizată încetează să mai fie un proces periodic - frecarea afectează nu numai amplitudinea oscilațiilor (adică determină amortizarea), ci și durata oscilațiilor. Pe măsură ce frecarea crește, timpul necesar sistemului pentru a finaliza o oscilație completă crește. Graficul oscilațiilor amortizate este prezentat în fig. 2.

Fig.1. Graficul oscilațiilor armonice libere

Fig.2. Graficul de oscilație degradată

O trăsătură caracteristică a sistemelor oscilatoare este că o frecare mică afectează perioada de oscilație într-o măsură mult mai mică decât amplitudinea. Această împrejurare a jucat rol imensîn îmbunătățirea ceasului. Primul ceas a fost construit de fizicianul și matematicianul olandez Christian Huygens în 1673. Anul acesta poate fi considerat data nașterii mișcărilor moderne de ceas. Mișcarea ceasurilor cu pendul nu este foarte sensibilă la modificările datorate frecării, care în cazul general depind de mulți factori, în timp ce viteza ceasurilor anterioare fără pendul era foarte dependentă de frecare.

În practică, este necesară atât reducerea, cât și creșterea atenuării oscilațiilor. De exemplu, atunci când se proiectează mecanisme de ceas, acestea urmăresc să reducă atenuarea oscilațiilor echilibratorului ceasului. Pentru a face acest lucru, axa balansierului este prevăzută cu vârfuri ascuțite care se sprijină pe rulmenți axiali conici bine lustruiți din piatră dură (agat sau rubin). Dimpotrivă, în multe dispozitive de măsurare este foarte de dorit ca partea mobilă a dispozitivului să fie instalată rapid în timpul procesului de măsurare, dar făcând un numar mare fluctuatii. Pentru a crește amortizarea în acest caz, se folosesc diverse amortizoare - dispozitive care măresc frecarea și, în general, pierderea de energie.

În sistemele oscilatorii reale, pe lângă forțele cvasi-elastice, există și forțe de rezistență ale mediului. Prezența forțelor de frecare duce la disiparea (disiparea) energiei și la scăderea amplitudinii oscilației. Prin încetinirea mișcării, forțele de frecare măresc perioada, adică. reduce frecvența oscilațiilor. Astfel de oscilații nu vor fi armonice.

Se numesc oscilații cu amplitudine în continuă scădere în timp datorită disipării energiei decolorare . La viteze suficient de mici, forța de frecare este proporțională cu viteza corpului și este îndreptată împotriva mișcării

unde r este coeficientul de frecare, care depinde de proprietățile mediului, de forma și dimensiunea corpului în mișcare. Ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate în prezența forțelor de frecare va avea forma:

sau
(21)

Unde
- coeficient de atenuare,

- frecventa circulara naturala a oscilatiilor libere in absenta fortelor de frecare.

Soluția generală a ecuației (21) în cazul amortizarii scăzute (
) este:

Diferă de armonica (8) prin faptul că amplitudinea oscilației:

(23)

este o funcție descrescătoare a timpului și a frecvenței circulare legate de frecvența naturală și factorul de amortizare raport:

. (24)

Perioada oscilațiilor amortizate este egală cu:

. (25)

Dependența deplasării X de t oscilații amortizate este prezentată în Fig.4.

C gradul de scădere a amplitudinii este determinat de coeficientul de atenuare .

Pe parcursul
amplitudinea (23) scade cu un factor de e ≈ 2,72. De data asta se numește degradare naturală timp de relaxare. Prin urmare, factorul de amortizare este reciproca timpului de relaxare:

.(26)

Rata de scădere a amplitudinii oscilațiilor se caracterizează prin scădere logaritmică de amortizare. Fie A(t) și A(t+T) amplitudinile a două oscilații succesive corespunzătoare punctelor de timp care diferă cu o perioadă. Apoi relatia:

(27)

numit scăderea amortizarii, care arată de câte ori scade amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada. Logaritmul natural al acestui raport este:

(28)

se numește factor de amortizare logaritmică. Aici, N e este numărul de oscilații efectuate în timpul în care amplitudinea scade cu un factor de e, adică. în timpul perioadei de relaxare.

Astfel, decrementul de amortizare logaritmică este cantitatea număr reciproc oscilații, după care amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor de e.

Rata de scădere a energiei sistemului oscilator este caracterizată de factorul de calitate Q. Factorul de calitate al sistemului oscilator- o valoare proporțională cu raportul dintre energia totală E(t) a sistemului oscilator și energia (- E) pierdut în perioada T:

(29)

Energia totală a sistemului oscilator la un moment arbitrar de timp și pentru orice valoare a lui X are forma:

(30)

Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii, energia oscilațiilor amortizate scade proporțional cu valoarea
, poti sa scrii:

. (31)

Apoi, conform definiției, expresia factorului de calitate al sistemului oscilator va arăta astfel:

Aici se ține cont că la atenuări mici (1): 1-a -2   ​​​​2.

Prin urmare, factorul de calitate este proporțional cu numărul de oscilații N e efectuate de sistem în timpul de relaxare.

Factorul de calitate al sistemelor oscilatoare poate varia foarte mult, de exemplu, factorul de calitate al unui pendul fizic este Q~ 10 2 , în timp ce factorul de calitate al unui atom, care este tot un sistem oscilator, ajunge la Q~ 10 8 .

În concluzie, observăm că atunci când coeficientul de amortizare β=ω 0, perioada devine infinită T =∞ (amortizare critică). Cu o creștere suplimentară a β, perioada T devine imaginară, iar atenuarea mișcării are loc fără oscilații, după cum se spune, aperiodic. Acest caz de mișcare este prezentat în Fig.5. Amortizarea critică (calmarea) are loc într-un timp minim și este importantă în instrumentele de măsură, de exemplu, în galvanometrele balistice .

ÎN FORŢAT VASCULAREA ȘI REZONAnță

Dacă o forță elastică F y \u003d -kX acționează asupra unui corp cu masa m, forța de frecare
și forța periodică externă
, apoi efectuează oscilații forțate. În acest caz, ecuația diferențială a mișcării are forma:

Unde
,
- coeficient de atenuare,
- frecvența naturală a vibrațiilor libere neamortizate ale corpului, F 0 - amplitudine, ω - frecvența forței periodice.

În momentul inițial de timp, munca forței exterioare depășește energia care este cheltuită la frecare (Fig. 6). Energia și amplitudinea oscilațiilor corpului vor crește până când toată energia transmisă de forța externă este cheltuită complet pentru a depăși frecarea, care este proporțională cu viteza. Prin urmare, se stabilește un echilibru în care suma energiei cinetice și potențiale este constantă. Această condiție caracterizează starea staționară a sistemului.

În această stare, mișcarea corpului va fi armonică cu o frecvență egală cu frecvența excitației externe, dar din cauza inerției corpului, oscilațiile acestuia vor fi deplasate în fază față de valoarea instantanee a periodicului extern. forta:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Spre deosebire de oscilațiile libere, amplitudinea A și faza  a oscilațiilor forțate nu depind de condițiile inițiale de mișcare, ci vor fi determinate doar de proprietățile sistemului oscilant, de amplitudinea și frecvența forței motrice:

, (35)

. (36)

Se poate observa că amplitudinea și defazarea depind de frecvența forței motrice (Fig. 7, 8).

O trăsătură caracteristică a oscilațiilor forțate este prezența rezonanței. Fenomen o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate atunci când frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a oscilațiilor libere neamortizate ale corpului ω 0 se numește rezonanță mecanică . Amplitudinea vibrației corpului la frecvența de rezonanță
atinge valoarea maximă:

(37)

În ceea ce privește curbele de rezonanță (vezi Fig. 7), să facem următoarele observații. Dacă ω → 0, atunci toate curbele (vezi și (35)) ajung la aceeași valoare limită diferită de zero
, asa numitul abatere statistică. Dacă ω→ ∞, atunci toate curbele tind asimptotic spre zero.

În condiția de amortizare scăzută (β 2 ‹‹ω 0 2), amplitudinea rezonantă (vezi (37))

(37a)

În această condiție, luăm raportul dintre deplasarea rezonantă și deviația statică:

din care se poate observa că creșterea relativă a amplitudinii oscilațiilor la rezonanță este determinată de factorul de calitate al sistemului oscilator. Aici, factorul de calitate este, de fapt, câștigul răspunsului
sistem iar la atenuare scăzută poate atinge valori mari.

Această împrejurare determină marea importanță a fenomenului de rezonanță în fizică și tehnologie. Este folosit dacă doresc să amplifice vibrațiile, de exemplu, în acustică - pentru a îmbunătăți sunetul instrumentelor muzicale, în ingineria radio - pentru a izola semnalul dorit de multe altele care diferă ca frecvență. Dacă rezonanța poate duce la o creștere nedorită a oscilațiilor, se folosește un sistem cu un factor de calitate scăzut.

VIBRAȚII CONEXE

Al doilea sistem oscilator, legat elastic de primul, poate servi ca sursă de forță periodică externă. Ambele sisteme oscilatorii pot acționa unul pe celălalt. Deci, de exemplu, cazul a două penduluri cuplate (Fig. 9).

Sistemul poate efectua atât oscilații în fază (Fig. 9b) cât și antifază (Fig. 9c). Astfel de oscilații se numesc tip normal sau mod normal de oscilație și sunt caracterizate de propria lor frecvență normală. Cu oscilații în fază, deplasarea pendulelor în orice moment X 1 \u003d X 2, iar frecvența ω 1 este exact aceeași cu frecvența unui singur pendul
. Acest lucru se datorează faptului că arcul ușor este în stare liberă și nu are niciun efect asupra mișcării. Cu oscilații antifază în orice moment - X 1 \u003d X 2. Frecvența unor astfel de oscilații este mai mare și egală cu
, întrucât arcul, care are rigiditatea k și realizează legătura, este întotdeauna în stare întinsă, apoi în stare comprimată.

L
Orice stare a sistemului nostru cuplat, inclusiv deplasarea inițială X (Fig. 9a), poate fi reprezentată ca o suprapunere a două moduri normale:

Dacă punem sistemul în mișcare din starea inițială X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

atunci deplasările pendulilor vor fi descrise prin expresiile:

Pe fig. 10 arată modificarea deplasării pendulelor individuale în timp.

Frecvența de oscilație a pendulelor este egală cu frecvența medie a două moduri normale:

, (39)

iar amplitudinea lor se modifică conform legii sinusului sau conului cu o frecvență mai mică egală cu jumătate din diferența de frecvență a modurilor normale:

. (40)

O modificare lentă a amplitudinii cu o frecvență egală cu jumătate din diferența dintre frecvențele modurilor normale se numește “ bate ” două vibrații cu aproape aceeași frecvență. Frecvența „bătăilor” este egală cu diferența de frecvențe ω 1 – ω 2, (și nu jumătate din această diferență), deoarece amplitudinea maximă 2A este atinsă de două ori într-o perioadă corespunzătoare frecvenței

Prin urmare, perioada de bătaie este egală cu:

(41)

Când pendulele bat, se face schimb de energie. Totuși, un schimb de energie complet este posibil numai atunci când ambele mase sunt aceleași și raportul (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) este egal cu un număr întreg. Un punct important de remarcat este că, deși pendulele individuale pot face schimb de energie, nu există nici un schimb de energie între modurile normale.

Prezența unor astfel de sisteme oscilante care interacționează între ele și sunt capabile să-și transfere energia unul altuia formează baza mișcării undei.

Un corp de material oscilant plasat într-un mediu elastic antrenează și pune în mișcare oscilativă particulele mediului adiacent acestuia. Datorită prezenței legăturilor elastice între particule, vibrațiile se propagă cu o viteză caracteristică unui mediu dat pe întregul mediu.

Procesul de propagare a vibrațiilor într-un mediu elastic se numește val .

Există două tipuri principale de unde: longitudinale și transversale. În unde longitudinale particulele de mediu oscilează de-a lungul direcției de propagare a undei și în transversal este perpendiculară pe direcția de propagare a undei. Nu orice mediu elastic poate propaga o undă transversală. O undă elastică transversală este posibilă numai în astfel de medii în care are loc deformarea elastică prin forfecare. De exemplu, numai undele elastice longitudinale (sunetul) se propagă în gaze și lichide.

Se numește locusul punctelor mediului, la care oscilația a atins un anumit moment în timp frontul de val . Frontul de undă separă partea din spațiu deja implicată în procesul undelor de zona în care oscilațiile nu au apărut încă. În funcție de forma frontului, undele sunt plane, sferice, cilindrice etc.

Ecuația pentru o undă plană care se propagă fără pierderi într-un mediu omogen este:
, (42)

unde ξ(X,t) este deplasarea particulelor mediului cu coordonatele X din poziția de echilibru la momentul t, A este amplitudinea,
- faza undei,
- frecvența circulară de oscilație a particulelor mediului, v - viteza de propagare a undelor.

Lungime de undă λ distanța dintre punctele care oscilează cu o diferență de fază de 2π se numește, cu alte cuvinte, lungimea de undă este calea parcursă de orice fază a undei într-o perioadă de oscilație:

viteza de fază, adică viteza de propagare a acestei faze:

λ / T (44)

numărul de undă este numărul de lungimi de undă care se potrivesc pe o lungime de 2π unități:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Înlocuind aceste notații în (42), ecuația de undă monocromatică care călătorește plană poate fi reprezentat ca:

(46)

Rețineți că ecuația de undă (46) prezintă o periodicitate dublă în coordonate și timp. Într-adevăr, fazele oscilațiilor coincid atunci când coordonatele se schimbă cu λ și când timpul se schimbă cu o perioadă T. Prin urmare, este imposibil să descrii grafic o undă pe un plan. Timpul t este adesea fix și dependența deplasării ξ de coordonatele X este prezentată pe grafic, i.e. distribuția instantanee a deplasărilor particulelor de mediu de-a lungul direcției de propagare a undei (Fig. 11). Diferența de fază Δφ a oscilațiilor punctelor mediului depinde de distanța ΔX \u003d X 2 - X 1 dintre aceste puncte:

(47)

Dacă unda se propagă opus direcției X, atunci ecuația de undă inversă se va scrie astfel:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

UNDELE STAȚIONARE sunt rezultatul unui tip special de interferență a undelor. Ele se formează atunci când două unde care călătoresc se propagă una spre alta cu aceleași frecvențe și amplitudini.

Ecuațiile a două unde plane care se propagă de-a lungul axei X în direcții opuse sunt:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Adunând aceste ecuații folosind formula sumei cosinusurilor și ținând cont de faptul că k = 2π / λ, obținem ecuația undei staționare:

. (50)

Multiplicatorul Cos ωt arată că oscilațiile de aceeași frecvență ω apar în punctele mediului cu amplitudine
, în funcție de coordonata X a punctului considerat. În punctele din mediu în care:
, (51)

amplitudinea oscilatiei atinge o valoare maxima de 2A. Aceste puncte sunt numite antinoduri.

Din expresia (51) se pot găsi coordonatele antinodului:
(52)

În punctele în care
(53) amplitudinea oscilației dispare. Aceste puncte sunt numite noduri.

Coordonatele nodului:
. (54)

R distanțele dintre antinodurile vecine și nodurile vecine sunt aceleași și egale cu λ/2. Distanța dintre nod și antinodul vecin este egală cu λ / 4. La trecerea prin nod, multiplicatorul
își schimbă semnul, astfel încât fazele oscilațiilor de pe părțile opuse ale nodului diferă prin π, i.e. punctele situate pe laturile opuse ale nodului oscileaza in antifaza. Punctele închise între două noduri învecinate oscilează cu amplitudini diferite, dar cu aceleași faze.

Distribuția nodurilor și antinodurilor într-o undă staționară depinde de condițiile care au loc la interfața dintre două medii, din care are loc reflexia. Dacă unda este reflectată dintr-un mediu mai dens, atunci faza oscilațiilor în locul unde este reflectată se schimbă în sens opus sau, după cum se spune, jumătate din undă se pierde. Prin urmare, ca urmare a adunării oscilațiilor de direcții opuse, deplasarea la limită este zero, adică. există un nod (fig. 12). Când o undă este reflectată de la granița unui mediu mai puțin dens, faza oscilațiilor la locul de reflexie rămâne neschimbată și se adaugă oscilații cu aceleași faze în apropierea graniței - se obține un antinod.

Într-o undă staționară, nu există mișcare de fază, nici propagare a undelor, nici transfer de energie, ceea ce este motivul pentru denumirea acestui tip de undă.

§6 Vibrații amortizate

Scăderea atenuării. Scădere logaritmică de amortizare.

Vibrațiile libere ale sistemelor tehnice în condiții reale apar atunci când asupra lor acționează forțe de rezistență. Acţiunea acestor forţe conduce la scăderea amplitudinii mărimii oscilante.

Oscilațiile, a căror amplitudine scade în timp din cauza pierderilor de energie ale unui sistem oscilator real, se numesc decolorare.

Cele mai frecvente cazuri sunt când forța de rezistență este proporțională cu viteza de mișcare.

Unde r- coeficient de rezistență mediu. Semnul minus arată astaF Cîndreptată în direcția opusă vitezei.

Să scriem ecuația oscilațiilor într-un punct care oscilează într-un mediu al cărui coeficient de rezistență ester. Conform celei de-a doua legi a lui Newton

unde β este factorul de amortizare. Acest coeficient caracterizează viteza de amortizare a oscilațiilor.În prezența forțelor de rezistență, energia sistemului oscilant va scădea treptat, oscilațiile se vor atenua.

- ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate.

La egalizarea oscilaţiilor amortizate.

ω - frecvența oscilațiilor amortizate:

Perioada de oscilații amortizate:

Oscilațiile amortizate, strict considerate, nu sunt periodice. Prin urmare, putem vorbi despre perioada oscilațiilor amortizate când β este mic.

Dacă atenuările sunt slab exprimate (β→0), atunci. oscilaţiile amortizate pot

fi considerate ca oscilații armonice, a căror amplitudine variază în funcție de o lege exponențială

În ecuația (1) A 0și φ 0 sunt constante arbitrare în funcție de alegerea momentului de timp, pornind de la care se consideră oscilațiile

Să considerăm o oscilație într-un timp τ, în care amplitudinea va scădea în e o singura data

τ - timpul de relaxare.

Factorul de amortizare β este invers proporțional cu timpul în care amplitudinea scade în e o singura data. Totuși, coeficientul de atenuare este insuficient pentru a caracteriza atenuarea oscilațiilor. Prin urmare, este necesar să se introducă o astfel de caracteristică pentru atenuarea oscilațiilor, care include timpul unei oscilații. O astfel de caracteristică este scăderea(în rusă: reducere) atenuare D, care este egal cu raportul amplitudinilor separate în timp de o perioadă:

Scădere logaritmică de amortizare este egal cu logaritmul D:

Scăderea amortizarii logaritmice este invers proporțională cu numărul de oscilații, drept urmare amplitudinea oscilației a scăzut în e o singura data. Decrementul de amortizare logaritmică este o valoare constantă pentru un sistem dat.

O altă caracteristică a sistemului oscilator este factorul de calitateQ.

Factorul de calitate este proporțional cu numărul de oscilații efectuate de sistem în timpul de relaxare τ.

Qsistemul oscilator este o măsură a disipării (disipării) relative a energiei.

Qsistemul oscilator se numește un număr care arată de câte ori forța elastică este mai mare decât forța de rezistență.

§7 Vibrații forțate.

Rezonanţă

Într-un număr de cazuri, devine necesar să se creeze sisteme care efectuează oscilații neamortizate. Este posibil să se obțină oscilații neamortizate în sistem dacă pierderile de energie sunt compensate acționând asupra sistemului cu o forță care se schimbă periodic.

Lăsa

Să scriem expresia pentru ecuația de mișcare punct material, efectuând o mișcare oscilatorie armonică sub acțiunea unei forțe motrice.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton:

(1)

Ecuația diferențială a oscilațiilor forțate.

Această ecuație diferențială este liniară neomogenă.

Soluția lui este egală cu suma solutie comuna ecuație omogenăși o soluție particulară a ecuației neomogene:

Să găsim o soluție particulară a ecuației neomogene. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuația (1) sub următoarea formă:

(2)

Vom căuta o soluție specială a acestei ecuații sub forma:

Apoi

Înlocuitor în (2):

deoarece efectuat pentru oricet, atunci egalitatea γ = ω trebuie să fie valabilă, prin urmare,

Acest număr complex este convenabil să se reprezinte în formă

Unde A este determinată prin formula (3 de mai jos), iar φ - prin formula (4), prin urmare, soluția (2), în formă complexă are forma

Partea sa reală, care a fost soluția ecuației (1), este egală cu:

Unde

(3)

(4)

Termenul Х o.o. joacă un rol semnificativ doar în stadiul inițial când se stabilesc oscilații până când amplitudinea oscilațiilor forțate atinge valoarea determinată de egalitate (3). În starea staționară, oscilațiile forțate apar cu o frecvență ω și sunt armonice. Amplitudinea (3) și faza (4) ale oscilațiilor forțate depind de frecvența forței motrice. La o anumită frecvență a forței motrice, amplitudinea poate atinge valori foarte mari. O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate atunci când frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului mecanic se numește rezonanţă.

Frecvența ω a forței motrice la care se observă rezonanța se numește rezonantă. Pentru a găsi valoarea lui ω res, este necesar să găsim condiția pentru amplitudinea maximă. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine condiția minimă pentru numitorul din (3) (adică, examinați (3) pentru un extremum).

Se numește dependența amplitudinii unei mărimi oscilante de frecvența forței motrice curba de rezonanță. Curba de rezonanță va fi cu atât mai mare, cu cât factorul de amortizare β este mai mic și, cu β în scădere, maximul curbelor de rezonanță se va deplasa spre dreapta. Dacă β = 0, atunci

ω res = ω 0 .

La ω→0 toate curbele ajung la valoarea- abatere statica.

Rezonanța parametrică apare atunci când o modificare periodică a unuia dintre parametrii sistemului duce la o creștere bruscă a amplitudinii sistemului oscilant. De exemplu, cabinele care fac „soarele” prin schimbarea poziţiei centrului de greutate al sistemului.(La fel şi în „bărci”.) Vezi §61 .t. 1 Saveliev I.V.

O scădere a energiei sistemului oscilator duce la o scădere treptată a amplitudinii oscilațiilor, deoarece

În acest caz, ei spun că fluctuațiile sunt amortizate .

O situație similară se dezvoltă în circuitul oscilator. Bobina reală, care face parte din circuit, are întotdeauna rezistență activă. Când curentul trece prin rezistența activă a bobinei, căldura Joule va fi eliberată. În acest caz, energia circuitului va scădea, ceea ce va duce la o scădere a amplitudinii oscilațiilor de sarcină, tensiune și curent.

Sarcina noastră- să afle după ce lege are loc scăderea amplitudinii oscilațiilor, după ce lege se modifică însăși valoarea oscilației, cu ce frecvență apar oscilațiile amortizate, cât timp oscilațiile „se estompează”.

§1 Amortizarea vibraţiilor în sistemele cu frecare vâscoasă

Să considerăm un sistem oscilator în care acționează forța de frecare vâscoasă. Un exemplu de astfel de sistem oscilator este un pendul matematic care oscilează în aer.

În acest caz, când sistemul este scos din echilibru de

asupra pendulului se vor acţiona două forţe: o forţă cvasielastică şi o forţă de rezistenţă (forţa de frecare vâscoasă).

A doua lege a lui Newton este scrisă în felul următor:

Știm că la viteze mici, forța de frecare vâscoasă este proporțională cu viteza de mișcare:

Atunci ecuația (2) va lua forma:

obținem ecuația mișcării sub următoarea formă:

unde d este coeficientul de amortizare, acesta depinde de coeficientul de frecare r,

w 0 - frecvența ciclică a oscilațiilor ideale (în absența frecării).

Înainte de a rezolva ecuația (3), luați în considerare circuitul oscilator. Rezistența activă a bobinei este conectată în serie cu capacitatea C și inductanța L.

Să scriem a doua lege a lui Kirchhoff

Luăm în considerare faptul că , , .

Atunci a doua lege a lui Kirchhoff ia forma:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la:

Să introducem notația

În sfârșit, obținem

Atenție la identitatea matematică ecuatii diferentiale(3) și (3’). Nu este nimic surprinzător. Am arătat deja identitatea matematică absolută a procesului de oscilație a pendulului și oscilații electromagneticeîn contur. În mod evident, procesele de amortizare a oscilațiilor în circuit și în sistemele cu frecare vâscoasă au loc și ele.

Rezolvând ecuația (3), vom obține răspunsuri la toate întrebările de mai sus.

Apoi pentru ecuația dorită (3) obținem rezultatul final

Este ușor de observat că sarcina unui condensator într-un circuit oscilator real se va schimba conform legii

Analiza rezultatului:

1 Ca urmare a acțiunii comune a forței cvasielastice și a forței de rezistență, sistemul Pot fi face o mișcare de oscilație. Pentru aceasta trebuie îndeplinită condiția w 0 2 - d 2 > 0. Cu alte cuvinte, frecarea în sistem trebuie să fie mică.

2 Frecvența oscilațiilor amortizate w nu coincide cu frecvența de oscilație a sistemului în absența frecării w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . De-a lungul timpului, frecvența oscilațiilor amortizate rămâne neschimbată.

Dacă coeficientul de amortizare d este mic, atunci frecvența oscilațiilor amortizate este apropiată de frecvența naturală w 0 .

4 Dacă w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

Prin substituție directă, este ușor de verificat că funcția (4) este într-adevăr o soluție a ecuației (3). În mod evident, suma a două funcții exponențiale nu este o funcție periodică. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că nu vor exista oscilații în sistem. După îndepărtarea sistemului din poziția de echilibru, acesta se va întoarce încet la el. Un astfel de proces se numește aperiodic .

§2 Cât de repede se degradează oscilațiile în sistemele cu frecare vâscoasă?

Scăderea amortizarii

Pentru oscilațiile electrice din circuit, coeficientul de atenuare depinde de parametrii bobinei: cu cât rezistența activă a bobinei este mai mare, cu atât amplitudinea sarcinii pe condensator, tensiunea și curentul scad mai repede.

Funcția este produsul dintre o funcție exponențială descrescătoare și o funcție armonică, deci functia nu este armonica. Dar are un anumit grad de „repetabilitate”, care constă în faptul că maximele, minimele, zerourile funcției apar la intervale regulate. Graficul funcției este o sinusoidă mărginită de doi exponenți.

Vă rugăm să rețineți că rezultatul nu depinde dacă luați în considerare două perioade consecutive - la începutul mișcării oscilatorii sau după ce a trecut ceva timp. Pentru fiecare perioadă, amplitudinea oscilațiilor se modifică nu aceeași dimensiune, dar acelasi numar de ori !!

Este ușor să vezi asta pentru orice intervale de timp diferite, amplitudinea oscilațiilor amortizate scade de același număr de ori.

Timp de relaxare

Se numește timpul de relaxare timpul în care amplitudinea oscilațiilor amortizate scade de e ori:

De aici este ușor de stabilit sens fizic coeficient de atenuare:

Astfel, factorul de amortizare este reciproca timpului de relaxare. Fie, de exemplu, în circuitul oscilator, coeficientul de amortizare este egal cu . Aceasta înseamnă că după un timp s amplitudinea oscilației va scădea cu e o singura data.

Scădere logaritmică de amortizare

Adesea, rata de amortizare a oscilațiilor este caracterizată de o scădere logaritmică a amortizarii. Pentru a face acest lucru, luați logaritmul natural al raportului amplitudinilor separate de o perioadă de timp.

Să aflăm semnificația fizică a decrementului de amortizare logaritmică.

Fie N numărul de oscilații efectuate de sistem în timpul de relaxare, adică numărul de oscilații în timpul cărora amplitudinea oscilației scade în e o singura data. Evident, .

Se poate observa că decrementul de amortizare logaritmică este inversul numărului de oscilații, după care amplitudinea scade în e o singura data.

Să presupunem, , aceasta înseamnă că după 100 de oscilații, amplitudinea va scădea cu e o singura data.

Factorul de calitate al sistemului oscilator

Pe lângă scăderea amortizarii logaritmice și timpul de relaxare, rata de amortizare a oscilațiilor poate fi caracterizată printr-o astfel de valoare ca factorul de calitate al sistemului oscilant . Sub factorul de calitate

Energia sistemului oscilator într-un moment arbitrar în timp este egală cu . Pierderea de energie într-o perioadă poate fi găsită ca diferența dintre energia la un moment dat și energia după un timp egal cu perioada:

functie exponentiala poate fi extins într-o serie<< 1. после подстановки получаем .

La retragere, am impus o restricție<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Formulele obtinute de noi pentru factorul de calitate al sistemului nu spun inca nimic. Să presupunem că calculele dau o valoare a factorului de calitate Q = 10. Ce înseamnă asta? Cât de repede se diminuează vibrațiile? Este bine sau rău?

Putem răspunde la întrebarea pusă mai devreme: N = 8.

Ce sistem oscilator este mai bun - cu un factor de calitate mare sau mic? Răspunsul la această întrebare depinde de ceea ce doriți să obțineți de la sistemul oscilant.

Dacă doriți ca sistemul să facă cât mai multe oscilații înainte de a se opri, factorul de calitate al sistemului trebuie crescut. Cum? Deoarece factorul de calitate este determinat de parametrii sistemului oscilator în sine, este necesar să alegeți corect acești parametri.

De exemplu, pendulul lui Foucault, instalat în Catedrala Sf. Isaac, trebuia să efectueze oscilații slab amortizate. Apoi

Cel mai simplu mod de a crește factorul de calitate al unui pendul este să-l faci mai greu.

În practică, adesea apar probleme inverse: este necesar să se stingă cât mai curând posibil oscilațiile care au apărut (de exemplu, oscilația săgeții unui instrument de măsurare, vibrațiile caroseriei mașinii, vibrațiile navei etc. .) dispozitivele care permit creșterea atenuării în sistem se numesc amortizoare (sau amortizoare). De exemplu, un amortizor auto în prima aproximare este un cilindru umplut cu ulei (un lichid vâscos), în care se poate mișca un piston cu un număr de găuri mici. Tija pistonului este conectată la caroserie, iar cilindrul este conectat la axa roții. Vibrațiile corpului care au apărut se sting rapid, deoarece pistonul în mișcare întâmpină multă rezistență în drumul său din fluidul vâscos care umple cilindrul.

§ 3 Amortizarea vibrațiilor în sistemele cu frecare uscată

Amortizarea oscilațiilor are loc fundamental diferit dacă forța de frecare de alunecare acționează în sistem. Ea este motivul opririi pendulului cu arc, care oscilează de-a lungul oricărei suprafețe.

Rețineți că în procesul de deplasare de la stânga la dreapta, forța de frecare este neschimbată în direcție și modul.

Acest lucru ne permite să afirmăm că în prima jumătate a perioadei pendulul cu arc se află într-un câmp de forță constant.

Când se deplasează în direcția opusă - de la dreapta la stânga - forța de frecare își va schimba direcția, dar pe parcursul întregii tranziții va rămâne constantă ca mărime și direcție. Această situație corespunde din nou oscilațiilor unui pendul într-un câmp de forță constant. Abia acum acest domeniu este diferit! S-a schimbat direcția. În consecință, poziția de echilibru la deplasarea de la dreapta la stânga sa schimbat și ea. Acum s-a deplasat la dreapta cu suma D l 0 .

Să descriem dependența coordonatei corpului de timp. Deoarece pentru fiecare jumătate a perioadei mișcarea este o oscilație armonică, graficul va fi jumătăți de sinusoide, fiecare dintre acestea fiind construită în raport cu poziția sa de echilibru. Vom efectua operația de „soluții de cusut”.

Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu specific.

Fie ca masa sarcinii atașate arcului să fie de 200 g, rigiditatea arcului să fie de 20 N/m, iar coeficientul de frecare dintre sarcină și suprafața mesei să fie 0,1. Pendulul a fost adus în mișcare oscilativă prin întinderea arcului

Spre deosebire de sistemele oscilatoare cu frecare vâscoasă, în sistemele cu frecare uscată, amplitudinea oscilațiilor scade în timp după o lege liniară - pentru fiecare perioadă scade cu două lățimi ale zonei de stagnare.

O altă trăsătură distinctivă este că oscilațiile în sistemele cu frecare uscată, chiar și teoretic, nu pot apărea la infinit. Ele se opresc de îndată ce corpul se oprește în „zona de stagnare”.

§4 Exemple de rezolvare a problemelor

Problema 1 Natura modificării amplitudinii oscilațiilor amortizate în sistemele cu frecare vâscoasă

Amplitudinea oscilaţiilor amortizate ale pendulului în timpul t 1 = 5 min a scăzut de 2 ori. În ce timp t 2 va scădea de 8 ori amplitudinea oscilației? După ce timp t 3 putem considera că oscilaţiile pendulului s-au oprit?

Soluţie:

Amplitudinea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă în timp

scade exponențial, unde este amplitudinea oscilației în momentul inițial de timp, este factorul de amortizare.

1 Să notăm legea modificării amplitudinii de două ori

2 Rezolvăm ecuații împreună. Luând logaritmul fiecărei ecuații, obținem

Împărțim a doua ecuație, nu prima și găsim timpul t 2

După transformări, obținem

Împărțiți ultima ecuație la ecuație (*)

Sarcina 2 Perioada de oscilații amortizate în sisteme cu frecare vâscoasă

Determinați perioada oscilațiilor amortizate ale sistemului T, dacă perioada oscilațiilor naturale T 0 \u003d 1 s și scăderea amortizarii logaritmice. Câte oscilații va face acest sistem înainte de a se opri complet?

Soluţie:

1 Perioada oscilațiilor amortizate într-un sistem cu frecare vâscoasă este mai mare decât perioada oscilațiilor naturale (în absența frecării în sistem). Frecvența oscilațiilor amortizate, dimpotrivă, este mai mică decât frecvența naturală și este egală cu , unde este coeficientul de amortizare.

2 Exprimați frecvența ciclică de-a lungul perioadei. și luați în considerare că decrementul de amortizare logaritmică este egal cu:

3 După transformări, obținem .

Energia sistemului este egală cu energia potențială maximă a pendulului

După transformări, obținem

5 Exprimăm coeficientul de atenuare în termeni de decrement logaritmic, obținem

Numărul de oscilații pe care sistemul le va face înainte de oprire este egal cu

Problema 3 Numărul de oscilații făcute de pendul până la înjumătățirea amplitudinii

Decrementul de amortizare logaritmic al pendulului este egal cu q = 3×10 -3 . Determinați numărul de oscilații complete pe care trebuie să le facă pendulul pentru ca amplitudinea oscilațiilor sale să scadă de 2 ori.

Soluţie:

3 Este ușor de observat că este decrementul logaritmic de amortizare. Primim

Aflarea numărului de vibrații

Sarcina 4 Factorul de calitate al sistemului oscilator

Determinați factorul de calitate al pendulului, dacă în timpul în care s-au făcut 10 oscilații, amplitudinea a scăzut de 2 ori. Cât durează până când pendulul se oprește?

Soluţie:

1 Amplitudinea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă scade exponențial cu timpul, unde este amplitudinea oscilațiilor în momentul inițial de timp, este coeficientul de amortizare.

Deoarece amplitudinea oscilației scade de 2 ori, obținem

2 Timpul de oscilație poate fi reprezentat ca produsul perioadei de oscilații cu numărul lor:

Înlocuiți valoarea de timp rezultată în expresia (*)

3 Este ușor de observat că este decrementul logaritmic de amortizare. Obținem decrementul de amortizare logaritmic egal cu

4 Factorul de calitate al sistemului oscilator

Energia sistemului este egală cu energia potențială maximă a pendulului

După transformări, obținem

Găsiți timpul după care vibrațiile se vor opri.

Sarcina 5 Vibrațiile unui magnet

Vasya Lisichkin, un experimentator binecunoscut în întreaga școală, a decis să facă figurina magnetică a eroului său literar favorit, Kolobok, să vibreze de-a lungul peretelui frigiderului. A atașat figurina de un arc cu rigiditatea k = 10 N/m, a întins-o cu 10 cm și a lăsat-o să plece. Câte oscilații va face omul de turtă dulce dacă masa figurinei este m = 10 g, coeficientul de frecare dintre figurină și perete este μ = 0,4 și poate fi smuls de perete cu forța F = 0,5 N .

Soluţie:

1 La trecerea din poziția extremă inferioară în poziția extremă superioară, când viteza sarcinii este îndreptată în sus, forța de frecare de alunecare este îndreptată în jos și este numeric egală cu . Astfel, pendulul cu arc se află într-un câmp de forță constant creat de forțele gravitaționale și de frecare. Într-un câmp de forță constant, pendulul își schimbă poziția de echilibru:

unde este întinderea arcului în noua „poziție de echilibru”.

2 La trecerea din poziția extremă superioară în poziția extremă inferioară, când viteza sarcinii este îndreptată în jos, forța de frecare de alunecare este îndreptată în sus și este numeric egală cu . Astfel, pendulul cu arc se află din nou într-un câmp de forță constant creat de forțele gravitaționale și de frecare. Într-un câmp de forță constant, pendulul își schimbă poziția de echilibru:

unde este deformarea arcului în noua „poziție de echilibru”, semnul „-” spune că în această poziție arcul este comprimat.

3 Zona de stagnare este limitată de deformații arcului de la - 1 cm la 3 cm și este de 4 cm.Mijlocul zonei de stagnare, în care deformarea arcului este de 1 cm, corespunde poziției sarcinii în care nu există frecare. forta. În zona de stagnare, forța elastică a arcului este mai mică în modul decât rezultanta forța maximă de frecare staticăși gravitația. Dacă pendulul se oprește în zona de stagnare, oscilațiile se opresc.

4 Pentru fiecare perioadă, deformarea arcului este redusă cu două lățimi ale zonei de stagnare, adică. cu 8 cm.După o oscilație, deformarea arcului va deveni egală cu 10 cm - 8 cm = 2 cm.Aceasta înseamnă că după o oscilație figura Kolobok intră în zona de stagnare și oscilațiile sale se opresc.

§5 Sarcini pentru soluție independentă

Testul „Vibrații amortizate”

1 Amortizarea vibrațiilor este înțeleasă ca...

A) scăderea frecvenței oscilațiilor; B) scăderea perioadei de oscilații;

C) scăderea amplitudinii oscilaţiilor; D) scăderea fazei oscilaţiilor.

2 Motivul pentru amortizarea vibrațiilor libere este

A) efectul asupra sistemului de factori aleatori care inhibă oscilaţiile;

B) acţiunea unei forţe externe în schimbare periodică;

C) prezenţa unei forţe de frecare în sistem;

D) o scădere treptată a forței cvasielastice, care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru.

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Nu se poate da un răspuns, deoarece ora este necunoscută.

6 Două pendule identice, aflate în medii vâscoase diferite, oscilează. Amplitudinea acestor oscilații se modifică în timp, așa cum se arată în figură. Care mediu are mai multă frecare?

7 Două pendule, aflându-se în același mediu, oscilează. Amplitudinea acestor oscilații se modifică în timp, așa cum se arată în figură. Care pendul are masa cea mai mare?

C) Este imposibil să dai un răspuns, deoarece scara nu este stabilită de-a lungul axelor de coordonate și este imposibil să se efectueze calcule.

8 Care figură arată corect dependența coordonatei oscilațiilor amortizate într-un sistem cu frecare vâscoasă în timp?

A) 1; B) 2; LA 3; D) Toate graficele sunt corecte.

9 Stabiliți o corespondență între mărimile fizice care caracterizează amortizarea oscilațiilor în sistemele cu frecare vâscoasă, și definirea și semnificația lor fizică. Umple tabelul

A) Acesta este raportul amplitudinilor oscilațiilor după un timp egal cu perioada;

B) Acesta este logaritmul natural al raportului amplitudinilor de oscilatie dupa un timp egal cu perioada;

C) Acesta este timpul în care amplitudinea oscilațiilor scade în e o singura data;

G) Această valoare este reciproca numărului de oscilații, pentru care amplitudinea oscilațiilor scade în e o singura data;

H) Această valoare arată de câte ori scade amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada oscilațiilor.

10 Faceți o afirmație corectă.

Bunătatea înseamnă...

A) raportul dintre energia totală a sistemului E crescută cu un factor de 2p la energia W disipată într-o perioadă;

B) raportul amplitudinilor după o perioadă de timp egală cu perioada;

C) numărul de oscilații pe care sistemul le face în momentul în care amplitudinea scade de e ori.

Factorul de calitate este calculat conform formulei...

Factorul de calitate al unui sistem oscilator depinde de...

A) energia sistemului;

B) pierderi de energie pentru perioada;

C) parametrii sistemului oscilator și frecarea în acesta.

Cu cât factorul de calitate al sistemului oscilator este mai mare, cu atât...

A) oscilaţiile se diminuează mai lent;

B) fluctuațiile se degradează mai repede.

11 Pendulul matematic este pus în mișcare oscilatorie, deviând suspensia de la poziția de echilibru în primul caz cu 15°, în al doilea - cu 10°. În ce caz pendulul va face mai multe oscilații înainte de a se opri?

A) Când umerașul este deviat cu 15°;

B) Când umerașul este deviat cu 10°;

C) În ambele cazuri, pendulul va face același număr de oscilații.

12 bile cu aceeași rază sunt atașate la două fire de aceeași lungime - aluminiu și cupru. Pendulele sunt puse în mișcare oscilatoare, deviandu-le în aceleași unghiuri. Care dintre pendule va face cel mai mare număr de oscilații înainte de a se opri?

A) aluminiu; B) Cupru;

C) Ambele penduluri vor face același număr de oscilații.

13 Un pendul arc, situat pe o suprafață orizontală, a fost adus în oscilație prin întinderea arcului cu 9 cm.După efectuarea a trei oscilații complete, pendulul se afla la o distanță de 6 cm de poziția arcului neformat. Cât de departe de poziția arcului neformat va fi pendulul după următoarele trei oscilații?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm.