Жазық материалдардың беріктігінің күйі. жазықтық кернеу күйі. Тік бұрышты арқалықтың бұралуы
ТЕГІН СТРЕСС ЖАҒДАЙЫ
Дәріс 15
Барлық нүктелері жазық кернеу күйінде болатын құрылымның мысалы ретінде оның жазықтығында жатқан күштердің ұшына жүктелген жұқа пластинаны келтіруге болады. Пластинаның бүйір беттері кернеулерден бос болғандықтан, оның қалыңдығының аздығына байланысты, пластинаның ішінде оның бетіне параллель аймақтарда кернеулер елеусіз аз болады деп болжауға болады. Ұқсас жағдай, мысалы, жұқа қабырғалы профильді біліктерді және арқалықтарды тиеу кезінде туындайды.
Жалпы жағдайда, жазық кернеу күйі туралы айтқанда, біз бүкіл құрылымды емес, оның элементінің қарастырылатын нүктесін ғана айтамыз. Берілген нүктеде кернеу күйінің жазық болуының белгісі ол арқылы өтетін платформаның болуы, онда кернеулер жоқ. Мұндай нүктелер, атап айтқанда, дененің жүктемесіз сыртқы бетінің нүктелері болады, олар көп жағдайда қауіпті. Демек, стресс күйінің бұл түрін талдауға көңіл бөлінетіні түсінікті.
Элементар параллелепипедті жазық кернеулі күйде бейнелегенде, оны сызу жазықтығымен теңестіре отырып, оның түсірілген беттерінің бірін көрсету жеткілікті (15.1-сурет).Одан кейін элементтің жүктелген беттері көрсетілген шекаралармен сәйкестендіріледі. аумақ. Бұл ретте кернеулерді белгілеу жүйесі және белгі ережелері өзгеріссіз қалады – суретте көрсетілген кернеу күйінің құрамдас бөліктері оң. Ығысу кернеулерінің жұптасу заңын есепке алу
т xy =т yx, жазық кернеу күйі (PNS) үш тәуелсіз компоненттермен сипатталады - s x ,с у,т xy. .
ТЕГІЗ СТРЕСС КҮЙІНДЕГІ Көлбеу ӨСІМДІКТЕРДЕГІ СТРЕССТЕР
Суретте көрсетілген ͵ элементінен таңдап алайық. 15.1, үшбұрышты призма, оны сызба жазықтығына перпендикуляр көлбеу кесіндімен ойша кесетін xOy. Рампаның және байланысты осьтердің орналасуы x 1 , ж 1 бұрышы а көмегімен орнатылады, осьтер сағат тіліне қарсы бұрылғанда оны оң деп есептейміз.
Жоғарыда сипатталған жалпы жағдайға келетін болсақ, күріште көрсетілген. 15.2, кернеулерді бір нүктеде әрекет ететін деп санауға болады, бірақ әртүрлі бағытталған учаскелерде. Призманың тепе-теңдік шартынан көлбеу ауданға түсетін кернеулерді табамыз, оларды берілген кернеулер s арқылы өрнектейміз. x ,с у,т xyкоординаталық жазықтықтармен сәйкес келетін беттерде. Көлбеу бет аймағын белгілеңіз дА, онда координаталық беттердің аудандарын келесі түрде табуға болады:
dA x = dAөйткені а ,
dA y = dAкүнә а .
Призманың беттеріне әсер ететін күштерді оське проекциялаймыз x 1 және ж 1:
Ортақ фактор бойынша азайту дА, және істеу элементарлық түрлендірулер, Біз алып жатырмыз
Соны ескерсек
(15.1) өрнектерге келесі соңғы форма берілуі мүмкін:
Суретте. 15.3, түпнұсқамен бірге осьтер бойымен бағытталған шексіз аз элемент көрсетілген. x 1 , ж 1 . Оның беттеріндегі кернеулер осіне қалыпты x 1 (15.2) формулалар бойынша анықталады. Оське перпендикуляр беттегі қалыпты кернеуді табу ж 1 , a бұрышының орнына a + 90° мәнін қою өте маңызды:
Айналмалы координаттар жүйесіндегі және ығысу кернеулері x 1 ж 1 жұптасу заңына бағыну, яғни.
Қалыпты кернеулердің қосындысы, көлемдік кернеу күйінің талдауынан белгілі, оның инварианты болып табылады және бір координат жүйесін басқасымен ауыстырған кезде тұрақты күйінде қалуы керек. Мұны (15.2), (15.3) формулаларынан анықталған қалыпты кернеулерді қосу арқылы оңай тексеруге болады:
БАСТЫҚТЫ СТРЕССТЕР
Бұрын біз ығысу кернеулері жоқ аймақтарды негізгі аймақтар, ал оларға түсетін кернеулер негізгі кернеулер деп аталатынын анықтадық. Жазық кернеулі күйде негізгі аймақтардың бірінің орны алдын ала белгілі – ϶ᴛᴏ кернеуі жоқ аймақ, ᴛ.ᴇ. сызба жазықтығымен біріктірілген (15.1-суретті қараңыз). Оған перпендикуляр негізгі платформаларды табыңыз. Ол үшін (15.1) ығысу кернеуін нөлге теңестіреміз, одан аламыз
a 0 бұрышы нормальдың негізгі алаңға бағытын көрсетеді немесе негізгі бағыты, сондықтан ол аталады негізгі бұрыш.Қос бұрыштың тангенсі p/2 периоды бар периодты функция болғандықтан, бұрыш
a 0 + p/2 да негізгі бұрыш болып табылады. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, барлығы үш негізгі платформа бар және олардың барлығы өзара перпендикуляр. Жалғыз ерекшелік - бұл негізгі аймақтар үш емес, шексіз жиынтық - мысалы, жан-жақты қысу кезінде, кез келген таңдалған бағыт негізгі болған кезде және нүкте арқылы өтетін барлық аймақтарда кернеулер бірдей болса. .
Айта кету керек, негізгі кернеулерді табу үшін а 0 және мәндерін дәйекті түрде ауыстыра отырып, (15.2) формулалардың біріншісін қолдануға болады.
Бұл жерде ескерілген
Тригонометриялық функциялар(15.5) өрнектерді белгілі теңдік арқылы жоюға болады
Және де (15.4) формуланы ескеріңіз. Сосын аламыз
Формуладағы плюс таңбасы негізгі кернеулердің біріне, минус таңбасы екіншісіне сәйкес келеді. Оларды есептегеннен кейін s 1 алгебралық ең үлкен, ал s 3 алгебралық ең кіші кернеу екенін ескере отырып, s 1, s 2, s 3 негізгі кернеулер үшін қабылданған белгілерді қолдануға болады. Басқаша айтқанда, (15.6) өрнектерден табылған екі бас кернеу де оң болып шықса, біз аламыз.
Егер екі кернеу де теріс болса, бізде болады
Соңында, егер (15.6) өрнек кернеу мәндерін береді әртүрлі белгілер, онда бас кернеулер тең болады
НОРМАЛДЫ ЖӘНЕ ТАНГЕНТТЫ КЕРСІЛДЕРДІҢ ЕҢ ЖОҒАРЫ МӘНДЕРІ
Егер сіз осьті ойша айналдырсаңыз x 1 ж 1 және олармен байланысты элемент (15.3-суретті қараңыз), оның беттеріндегі кернеулер өзгереді және а бұрышының белгілі бір мәнінде қалыпты кернеу максимумға жетеді. Өзара перпендикуляр аудандардағы қалыпты кернеулердің қосындысы тұрақты болып қалатындықтан, кернеу қазіргі уақытта ең аз болады.
Тақталардың бұл орнын табу үшін экстремум үшін өрнекті a аргументінің функциясы ретінде қарастыру керек:
(15.2) жақшадағы өрнекті салыстыра отырып, біз қажетті аудандардағы ығысу кернеулері нөлге тең деген қорытындыға келеміз. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, қалыпты кернеулер негізгі учаскелерде дәл экстремалды мәндерге жетеді.
Ең үлкен ығысу кернеуін табу үшін осьтерді туралай отырып, негізгі аймақтарды бастапқы деп аламыз xЖәне жнегізгі сызықтармен. Енді а бұрышы s 1 бағытынан өлшенетін (15.1) формулалар келесідей болады:
Соңғы өрнектен ығысу кернеулерінің жетуі шығады ең жоғары мәндерсайттарда негізгілеріне 45 ° бұрылған кезде
sin2a = ±1. Олардың максималды мәні сол кезде болады
Формула (15.8) қашан да жарамды екенін ескеріңіз
ЖАЗАҚ СТРЕСС КҮЙІН ГРАФИКАЛЫҚ КӨРСЕТУ. МОРА ШЕҢБЕРЛЕРІ
Негізгіге қатысты белгілі бір α бұрышы арқылы бұрылған учаскедегі кернеулерді анықтайтын (15.7) формулалардың нақты геометриялық түсіндірмесі бар. Анықтылық үшін екі бас екпін де оң деп есептей отырып, келесі белгілерді енгіземіз:
Содан кейін (15.7) өрнектер өте танымал пішінді алады параметрлік теңдеуσ және τ координаталарындағы шеңберлер:
Белгілеудегі «α» индексі кернеулердің учаскеде екенін, берілген бұрышта түпнұсқаға бұрылғанын көрсетеді. Мән Ашеңбер центрінің σ осіндегі орнын анықтайды; шеңбердің радиусы Р. Суретте көрсетілген. 15.5, қалыптасқан дәстүр бойынша кернеулердің шеңбер диаграммасын оны ұсынған атақты неміс ғалымы Отто Мордың (1835 - 1918 ж. Тік осьтің бағыты белгіні ескере отырып таңдалады τ α (15.10). α бұрышының әрбір мәні өкілдік нүктеге сәйкес келеді Қ (σ α, τ α ) координаталары айналмалы аймақтағы кернеулерге тең шеңберде. Айналу бұрышы 90˚ айырмашылығы бар өзара перпендикуляр аудандар нүктелерге сәйкес келеді. ҚЖәне Қ' диаметрінің қарама-қарсы ұштарында жатыр.
Бұл жерде ескерілген
өйткені (15.2) және (15.7) формулалары бұрыш 90 0 өзгерген кезде осьтердің бірі бастапқы осімен бағытта сәйкес келетін, ал екіншісі бағыты бойынша қарама-қарсы болатын айналмалы координаталар жүйесінде ығысу кернеуінің белгісін береді ( 15.5-сурет)
Егер негізгі тораптар бастапқы тораптар ретінде әрекет етсе, ᴛ.ᴇ. σ 1 және σ 2 мәні белгілі, Мор шеңбері 1 және 2 нүктелерден оңай тұрғызылады. Шеңбердің центрінен көлденең оське 2а бұрыш жасай отырып, шеңбермен қиылысында тартылған сәуле болады. координаталары айналмалы аймақтағы қажетті кернеулерге тең болатын өкіл нүктесін беріңіз. Бұл жағдайда шеңбердің полюсі деп аталатын, одан сәулені а бұрышына бағыттау ыңғайлырақ. Шеңбердің радиусы мен диаметрі арасындағы айқын тәуелділіктен сызбада әріппен белгіленген полюс А, бұл жағдайда 2-тармақпен сәйкес келеді. Жалпы жағдайда полюс бастапқы аймақтарға нормальдардың қиылысында орналасады. Егер бастапқы сайттар негізгі болмаса, Мор шеңбері салынады келесідей: бейнелейтін нүктелер σ - t жазықтығына салынған Қ (σ x,т xy) Және Қ’(σ ж,-т xy) тік және көлденең бастапқы учаскелерге сәйкес. Нүктелерді түзу сызықпен қоса отырып, σ осімен қиылысында біз шеңбердің ортасын табамыз, содан кейін дөңгелек диаграмманың өзі салынады. Шеңбердің көлденең осімен қиылысуы негізгі кернеулердің мәнін береді, ал радиус ең үлкен ығысу кернеуіне тең болады. Суретте. 15.7 негізгі болып табылмайтын бастапқы учаскелерде салынған Мор шеңберін көрсетеді. Полюс Абастапқы тораптарға нормальдардың қиылысында орналасқан Қ.АЖәне Қ’А. Рэй AM, полюстен горизонталь осіне а бұрышымен жүргізілген, шеңбермен қиылысында өкілдік нүктені береді. М(σ a ,t a), оның координаттары бізді қызықтыратын аймақтағы кернеулер. Полюстен 1 және 2 нүктелеріне түсірілген сәулелер a 0 және 0 +90 0 бас бұрыштарын көрсетеді. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, Мор шеңберлері жазықтық кернеу күйін талдауға арналған ыңғайлы графикалық құрал болып табылады.
б) 45 0-ге бұрылған ͵ элементінің шетіндегі кернеуді (15.1) арқылы табамыз.
Перпендикуляр учаскедегі қалыпты кернеу
(a = 45 0 +90 0) тең болады
в) (15.8) бойынша ең үлкен ығысу кернеулерін табамыз.
2. Графикалық шешім.
Нүктелерді көрсету арқылы Мор шеңберін тұрғызайық Қ(160,40) және Қ’ (60, -40)
Шеңбер полюсі Абастапқы тораптарға нормальдардың қиылысында табыңыз.
Шеңбер көлденең осьті 1 және 2 нүктелерінде кесіп өтеді. 1 нүкте негізгі кернеуге σ 1 = 174 МПа, 2 нүкте негізгі кернеу σ 2 = 46 МПа мәніне сәйкес келеді. Полюстен тартылған сәуле А 1 және 2 нүктелері арқылы бас бұрыштардың мәнін көрсетеді. Түпнұсқаға 45 0 бұрылған учаскедегі кернеулер бейнелеуші нүктенің координаталарына тең. Мполюстен тартылған сәулемен шеңбердің қиылысында орналасқан А 45 0 бұрышта. Көріп отырғаныңыздай, кернеу жағдайын талдау есебінің графикалық шешімі аналитикалық есеппен сәйкес келеді.
Пластинаның жазықтығында жатқан күштердің әсерінен жұқа пластинаны қарастырайық (2.12-сурет). Бұл жазықтықта координаталар жүйесін (х, у) орналастырамыз. Пластинаның соңғы (алдыңғы) беттері кернеусіз, сондықтан
Кернеу векторлары және бір жазықтықта жатады, ал кернеу күйі жазық деп аталады. Пластинаның барлық нүктелері жазық кернеу күйінде екенін ескеріңіз. Жалпы жағдайда «жазықтық кернеу күйі» түсінігі құрылымдық элементтің қарастырылатын нүктесін білдіреді.
Егер берілген А нүктесінде (қалыпты және тангенциалды) кернеулер болмайтын аймақ болса, онда нүктедегі кернеу күйі жазық болады. Мысалы, бөлшектің бос бетінің нүктелерінде (2.13-сурет) кернеу күйі жазық болады (А нүктесіндегі z осі бетке нормаль бойымен бағытталған).
Жазық кернеу күйінің ерекше маңыздылығы көбінесе «қауіпті нүктелер» болып табылатын құрылымдық элементтер бетінің нүктелерінде жүзеге асатындығына байланысты. (беттік қабаттағы кернеулер ең жоғары нүктелер).
Жазық кернеу күйіндегі қиғаш аймақтардағы кернеулер. Пластина жазықтығына перпендикуляр қиғаш аймақтардағы кернеулерді зерттейік (2.14-сурет).
Күріш. 2.12. Жазықтық кернеу күйі
Күріш. 2.13. Бөлшектің бос бетінің нүктелеріндегі жазық кернеу күйі
"Көлбеу" немесе "көлбеу" учаске шартты термині учаскенің нормальы таңдалған координаталар жүйесінің осьтерінің ешқайсысымен сәйкес келмейтінін білдіреді.
BC аймағында v х осімен а бұрыш жасайтын нормаль, нормаль және ығысу кернеулері әрекет етеді. Кернеулер пластинаның h қалыңдығына, шеткі беттерге біркелкі бөлінеді ABC элементіжүктелмеген. Ең жақын міндет - ABS элементінің тепе-теңдік шарттарынан шамаларды анықтау. Барлық күштерді қалыпты v бағытына жобалай отырып, біз табамыз
Элементке әсер ететін массалық күштер,
кішіліктің екінші ретті күштері болып табылады және олар (15) теңдеуде жоқ. Мұны суреттен ескере отырып. 2.14 келесі
қатынасынан аламыз (15)
Барлық күштерді вектордың бағыты бойынша жобалай отырып, біз табамыз
(17) және (19) формулалар қиғаш аймақтағы қалыпты және ығысу кернеулерінің мәнін береді.
Ескертпелер. 1. (15) және (18) теңдеулерін шығару кезінде тепе-теңдік шарттары кернеулер үшін емес (мұндай шарттар жоқ!), элементтің беттеріндегі әсер етуші күштер үшін қарастырылатынын қатаң түсіну керек.
2. Элементар көлемнің беттеріндегі кернеулер (2.14-сурет) біркелкі бөлінеді. Қиғаш ауданды элементар параллелепипедтегі қиғаш қима ретінде қарастыруға болады (2.15-сурет), параллелепипедтің көлеңкелі бөлігінің тепе-теңдік шарттарынан бірдей нәтижелер (17) және (19) теңдіктері шығады.
3. Белгілі бір белгі ережесі қабылданған белгісіз векторлық шамаларды шығару кезінде оң бағытталған деп қабылдау керек. Мысалы, күріш. 2.14 созылу кернеуі ретінде бағытталған.
Серпімділік теориясының негіздері
Дәріс 4
Серпімділік теориясының жазықтық мәселесі
слайд 2
Серпімділік теориясында практикалық қолдану мағынасында маңызды және сонымен бірге шешімнің математикалық жағын айтарлықтай жеңілдетуге мүмкіндік беретін есептердің үлкен класы бар. Жеңілдету мынада: бұл есептердегі дененің координаталық осінің бірін, мысалы, z осін алып тастауға болады және барлық құбылыстарды жүктелген дененің x0y бір координаталық жазықтығында болып жатқан деп санауға болады. Бұл жағдайда кернеулер, деформациялар және орын ауыстырулар екі координатаның – х және у функциялары болады.
Екі координатта қарастырылатын есеп деп аталады серпімділік теориясының жазықтық мәселесі.
термині бойынша серпімділік теориясының жазықтық мәселесі» екі физикалық әртүрлі есептерді біріктіріп, өте ұқсас математикалық қатынастарға әкеледі:
1) жазық деформацияланған күй (жазықтық деформация) есебі;
2) жазық кернеу күйінің мәселесі.
Бұл есептер көбінесе бір геометриялық өлшем мен қарастырылатын денелердің басқа екі өлшемі арасындағы елеулі айырмашылықпен сипатталады: бірінші жағдайда үлкен ұзындық және екінші жағдайда шағын қалыңдық.
Жазық деформация
Деформация жазық деп аталады, егер дененің барлық нүктелерінің орын ауыстырулары бір жазықтықта тек екі бағытта болуы мүмкін және осы жазықтықтың нормаль координатасына тәуелді болмаса, яғни.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)
Жазық деформация осі z осіне параллель болатын ұзын призматикалық немесе цилиндрлік денелерде болады, оның бойында бүйір бетке жүк әсер етеді, осы оське перпендикуляр және оның бойында шамасы өзгермейді.
Ұзын түзу бөгет пен жер асты туннельінің ұзын доғасында пайда болатын кернеулі деформация күйі жазық деформацияның мысалы болып табылады (4.1-сурет).
Сурет - 4.1. Жазық деформация бөгет корпусында және жер асты туннельінің қоймасында болады
слайд 3
(4.1) орын ауыстыру векторының құраушыларын Коши формулаларына (2.14), (2.15) қойып, мынаны аламыз:
(4.2)
z осі бағытында сызықтық деформациялардың болмауы қалыпты кернеулердің пайда болуына әкеледі σ z . ε z деформациясы үшін Гук заңының формуласынан (3.2) мынандай нәтиже шығады:
σ z кернеуінің өрнегі осыдан алынады:
(4.3)
Бұл қатынасты Гук заңының алғашқы екі формуласына қойып, мынаны табамыз:
(4.4)
слайд 4
(4.2) − (4.4) және (3.2) формулаларды талдаудан да мынадай қорытынды шығады:
Осылайша, жазық деформация жағдайында серпімділіктің үш өлшемді теориясының негізгі теңдеулері айтарлықтай жеңілдетілген.
Үш Навье дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуінен (2.2) тек екі теңдеу қалды:
(4.5)
ал үшіншісі тұлғаға айналады.
Бағыт косинусы бүйір бетінің барлық жерінде n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0 болғандықтан, (2.4) бетіндегі үш шарттан тек екі теңдеу ғана қалады:
(4.6)
мұндағы l, m - сыртқы нормальдың бағыт косинустары vконтур бетіне;
X, Y, X v, Ы vдене күштерінің құрамдастары және сәйкесінше х және у осьтеріндегі сыртқы беттік жүктемелердің қарқындылығы болып табылады.
слайд 5
Алты Коши теңдеуі (2.14), (2.15) үшке азайтылды:
(4.7)
(2.17), (2.18) алты Сент-Венан деформациясының үзіліссіздігі теңдеулерінен бір теңдеу қалады:
(4.8)
ал қалғандары сәйкестендіруге айналады.
Гук заңының (3.2) алты формуласынан (4.2), (4.4) ескере отырып, үш формула қалады:
Бұл қатынастарда икемділік теориясында дәстүрлі жазба түрі үшін жаңа серпімді тұрақтылар енгізіледі:
слайд 6
Жазықтық кернеу күйі
Жазық кернеу күйі сол призмалық дененің ұзындығы қалған екі өлшеммен салыстырғанда аз болған кезде пайда болады. Бұл жағдайда ол қалыңдық деп аталады. Денедегі кернеулер xOy координаталық жазықтықта екі бағытта ғана әсер етеді және z координатасына тәуелді емес. Мұндай дененің мысалы ретінде пластина жазықтығына параллель күштермен бүйір беті (қабырға) бойымен жүктелген және оның қалыңдығына біркелкі бөлінген қалыңдығы h жұқа пластина болып табылады (4.2-сурет).
4.2-сурет - Жұқа пластина және оған қолданылатын жүктемелер
Бұл жағдайда жазықтық деформация мәселесіне ұқсас жеңілдетулер де мүмкін. Пластинаның екі жазықтығындағы кернеу тензорының σ z , τ xz , τ yz құраушылары нөлге тең. Пластина жұқа болғандықтан, олар пластинаның ішінде де нөлге тең деп есептей аламыз. Сонда кернеу күйі тек z координатасына тәуелді емес σ x, σ y, τ xy құраушыларымен анықталады, яғни пластинаның қалыңдығы бойынша өзгермейді, тек x және y функциялары болып табылады.
Осылайша, жұқа пластинада келесі кернеу күйі пайда болады:
Слайд 7
Кернеулерге қатысты жазық кернеу күйі жазық деформациядан шарт бойынша ерекшеленеді
Сонымен қатар, Гук заңының (3.2) формуласынан (4.10) ескере отырып, ε z сызықтық деформациясы үшін оның нөлге тең еместігін аламыз:
Демек, пластинаның негіздері қисық болады, өйткені орын ауыстырулар болады 
z осі бойымен.
Бұл болжамдар бойынша негізгі жазық деформация теңдеулері: дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулер (4.5), беттік шарттар (4.6), Коши теңдеулері (4.7) және деформацияның үздіксіздігі теңдеулері (4.8) жазық кернеу есебінде бірдей пішінді сақтайды.
Гук заңының формулалары келесі формада болады:
(4.11) формулалары жазық деформацияға арналған Гук заңының (4.9) формулаларынан тек серпімділік тұрақтыларының мәндерімен ерекшеленеді: E және E 1 , vЖәне v 1 .
Слайд 8
Кері түрде Гук заңын келесідей жазуға болады:
(4.12)
Осылайша, осы екі есепті (жазықтық деформация және жазық кернеу күйі) шешу кезінде бірдей теңдеулерді қолдануға және есептерді икемділік теориясының бір жазық есебіне біріктіруге болады.
Серпімділік теориясының жазық есебінде сегіз белгісіз бар:
u және v орын ауыстыру векторының екі құрамдас бөлігі болып табылады;
– кернеу тензорының үш құрамдас бөлігі σ x , σ y , τ xy ;
деформация тензорының үш құрамдас бөлігі болып табылады ε x, ε y, γ xy.
Есепті шешу үшін сегіз теңдеу қолданылады:
– екі дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуі (4.5);
– үш Коши теңдеуі (4.7);
Гук заңының үш формуласы (4.9) немесе (4.11).
Сонымен қатар, алынған деформациялар деформацияның үздіксіздігі теңдеуіне (4.8) бағынуы керек, ал ішкі кернеулер мен сыртқы беттік жүктеменің X қарқындылығы арасындағы тепе-теңдік шарттары (4.6) дене бетінде орындалуы керек. v, Ы v.
Нүктеге жақын орналасқан денеден табанының бойында қалыпты және тангенциалдық кернеулер нөлге тең болатын шексіз кішкентай үшбұрышты призманы бөліп алайық.
Кез келген σ > 0 үшін белгі ережесі, егер қалыпты кернеулер учаскеден басқа жаққа бағытталған болса; t > 0, егер ол сызу жазықтығын сағат тілімен айналдыруға бейім болса; a > 0, bc бетін сағат тіліне қарсы, AC бетімен туралау үшін сүйір бұрыш арқылы бұру керек.
Призманың әрбір бетіне түсірілген нәтиже күшін табыңыз. Мұны істеу үшін сізге сәйкес кернеулерді беттің ауданына көбейту керек.
Бұл нәтижелі күштер нәтиже әрекетінің барлық шарттарын қанағаттандыруы керек. U және V осьтерін сызып, алты тепе-теңдік шартын орындаймыз.
åU =0 Ta + Fy cos a - Tx sin a - Fx sin a - Ty cos a
Ta + cos a (Fy - Ty) - sin a (Tx + Fx) (1)
åV = 0 Fa - Fx cos a+ Ty sin a - Fx cos a - Fy sin a
Fa -Fx + Tx cos a + (Ty - Fy sin a) = 0 (2)
å m 0 = 0 осіндегі нүктеге қатысты моменттердің қосындысы
å m 0 = 0 Tx dy/2 + Ty dx/2 = 0 (3)
Tx және Ty мәндерін ауыстырыңыз және екі бөлікті де dx/2 dy dz-ге бөліңіз
t x dx/2 dy dz + t y dx/2 dy dz = 0
Өзара перпендикуляр екі аудандағы ығысу кернеулері абсолютті мәні бойынша тең және таңбалары бойынша кері. Тәуелділік (4) ығысу кернеулерінің жұптасу заңы деп аталады. (4)-ден тангенциалдық кернеулер бағытталған немесе жоғарғы жағына қарай шығады тікбұрышнемесе одан.
Тәуелділікте (1) және (2) ауыстырып, t y мәнін - t h деп ауыстырсақ, сонымен қатар dx / ds \u003d sin a, және dy / ds \u003d cos a болатынын ескерсек, онда түрлендірулерден кейін біз мәндерді аламыз а бұрышында σ x және σ y алаңға қатысты бұрылған учаскедегі қалыпты және ығысу кернеулерінің.
σ a = σ x cos 2 a + σ y sin 2 a + tx sin2a (5)
t y = ((σ x σ y)/2) sin2a - tx cos2a (6)
Егер формула (5) a және a ¹ 90° мәніне ауыстырылса, онда біз аламыз
σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = const. (7)
Қорытынды:өзара перпендикуляр екі аудандағы қалыпты кернеулердің қосындысы тұрақты шама, яғни бірінші ауданда максималды қалыпты кернеулер болса, онда σ min оған перпендикуляр ауданда болады.
негізгі кернеулер. Негізгі шаршылар.
Инженерлік есептеулерде берілген нүкте арқылы өтетін барлық аудандар үшін кернеулерді анықтаудың қажеті жоқ. Олардың негізгі кернеулер деп аталатын σ max және σ min шекті мәндерін білу жеткілікті, ал олар әсер ететін аймақтар негізгі аймақтар деп аталады.
σ экстремалды мәнін алу үшін (5) өрнектің а бұрышына қатысты бірінші туындысын нөлге теңдеу керек.
Қорытынды:негізгі аудандарда ығысу кернеулері нөлге тең.
tg2a 0 = 
(8)
tg2a 0 = 
(9)
Негізгі платформалардың орнын анықтау үшін σ x және σ y әрекет ететін платформаларды, егер a 0 > 0 болса, сағат тіліне қарсы а 0 бұрышымен бұру керек.
(8) формуласынан 2a 0 –90°-тан 90°-қа дейін өзгереді, бұл дегеніміз - 45°£a 0 £45°, яғни айналу 45°-тан аспайтын бұрышта болуы мүмкін.
Негізгі кернеулерді анықтау кезінде (8) 0 мәнін (5) орнына қоюға немесе (6) және (9) тәуелділіктерінен алынған формуланы қолдануға болады.
(10)
Төтенше ығысу кернеулері.
Төтенше ығысу кернеулері әсер ететін аймақтар ығысу аймақтары деп аталады.
Шектен тыс ығысу кернеулерін анықтау үшін а бұрышына қатысты (6) бірінші туындысын нөлге теңестіру керек.
; 
; 
Теңдеудің екі жағын cos2a 1-ге бөліп, мынаны алыңыз:
(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0
tg2a 1 = 
(11)
Өте жоғары ығысу кернеуі бар жазықтықтың dx бар алаңға еңкею бұрышы сағат тіліне қарсы а 1 бұрышына бұрылуы керек.
(11) формуладан 1 және 1 +90 алуға болады, олар өзара перпендикуляр екі ауданмен анықталады. Олардың бірінде t max әрекет етеді, ал екіншісінде t min. Бірақ ығысу кернеулерінің жұптасу заңдарына сәйкес t max \u003d - t min. (8) мен (11) салыстырсақ, 1 ¹ a 0 +45° аламыз
Қорытынды:Негізгі отырғызу мен ығысу қонуы арасындағы 45° бұрыш
(6) формулаға ауыстыру σ x = σ max ; σy = σмин; t x = 0; a 1 = + 45° аламыз
= +
(12)
(12) мәнін (10) ауыстырамыз және түрлендірулерден кейін төтенше ығысу кернеулерінің кездейсоқ аймақтардағы кернеулерге тәуелділігін аламыз.
= +
1/2 
(13)
Мор шеңберлері.
Кейбір жазықтық кернеу күйі берілсін.
Тік бұрышты координаттар жүйесіндегі осы кернеу күйі үшін Мор шеңберін тұрғызайық.
Процедура:
1. d осінде dx максималды мәнін қалдырыңыз
2. t осіне ty мәнін салыңыз
3. қиылысында А нүктесін аламыз
4. ұқсас кейінге қалдыру) dу және tх; А нүктесі тік беттердің бойымен бағытты сипаттайды, В нүктесі - көлденеңінен.
5. А және В нүктелерін қосып, d осімен қиылысында О нүктесін аламыз
6. О нүктесінен шеңбердің центріндегідей шеңбер сызыңыз
7. OKW тікбұрышты үшбұрышынан шеңбердің радиусын анықтаңыз
R= 
Көлденең және тік аймақтардың шеңбермен қиылысында біз полюс деп атайтын С нүктесін аламыз.
Енді кез келген торапта бағытты анықтауға болады, ол үшін полюс арқылы шеңбермен қиылысқанша берілген учаскеге параллель түзу жүргізу керек.
M нүктесінің координаттары da және ta болады. Сондай-ақ кері есепті шешуге болады, яғни a бұрышын da және ta мәндерінен анықтауға болады.
ДЕФОРМАЦИЯЛАНҒАН КҮЙЛЕР («ТЕГІЗ МӘСЕЛЕ»)
Жазық кернеу және жазық деформация күйлері келесі белгілермен сипатталады.
1. Барлық кернеу құраушылары барлық компоненттерге ортақ координаттардың біріне тәуелді емес және ол өзгерген кезде тұрақты болып қалады.
2. Осы координатаның осіне нормаль жазықтықтарда:
а) ығысу кернеуінің құраушылары нөлге тең;
б) қалыпты кернеу не нөлге тең (жазықтық кернеу күйі), не басқа екі қалыпты кернеулердің қосындысының жартысына тең (жазықтық деформация күйі).
Жоғарыда айтылған ось үшін у осін алайық. Жоғарыда айтылғандардан бұл ось негізгі болатыны анық, яғни оны 2 индексімен де белгілеуге болады. Оның үстіне, , және у-ға тәуелді емес; бір уақытта, және , демек, және нөлге тең.
Жазық кернеулі күй үшін = 0. Жазық деформацияланған күй үшін (жазық деформацияланған күйдің бұл қасиеті төменде дәлелденетін болады).
Жазық кернеу мен жазық деформация күйлерінің арасындағы елеулі айырмашылықты әрқашан ескеру қажет.
Біріншісінде үшінші ось бағытында қалыпты кернеу жоқ, бірақ деформация бар, екіншісінде қалыпты кернеу бар, бірақ деформация жоқ.
Жазық кернеу күйі, мысалы, пластинадағы оның контурына пластина жазықтығына параллель және оның қалыңдығына біркелкі таралатын күштердің әсерінен болуы мүмкін (3.16-сурет). Бұл жағдайда пластинаның қалыңдығының өзгеруі маңызды емес және оның қалыңдығын бірлік ретінде қабылдауға болады. Жеткілікті дәлдікпен қаңылтыр материалдан цилиндрлік дайындаманы тарту кезінде фланецтің кернеу күйін тегіс деп санауға болады.
Ұзындығы үлкен цилиндрлік немесе призмалық дененің ұштарынан қашық орналасқан қималары үшін жазық деформацияланған күй қабылдануы мүмкін, егер денеге оның ұзындығы бойынша өзгермейтін және генераторларға перпендикуляр бағытталған күштер жүктелген болса. Тегіс деформацияланған күйде, мысалы, ұзындығы бойынша деформацияны елемеуге болатын кезде, арқалықты оның қалыңдығы бағытында бұзылуға ұшыраған деп санауға болады.
Жазық есеп үшін кернеу күйінің барлық теңдеулері айтарлықтай жеңілдетілген және айнымалылар саны азаяды.
Жазық есептің теңдеулерін мынаны ескере отырып, көлемді кернеу күйі үшін бұрын алынғандардан оңай алуға болады. 
\u003d 0 және \u003d 0 алу, өйткені көлбеу аймақтарды тек у осіне параллель деп санау керек, яғни жазық кернеу күйіндегі кернеулері жоқ немесе жазық деформацияланған күйдегі деформациялары жоқ аймақтар үшін қалыпты (3.17-сурет) ).
Қарастырылып отырған жағдайда
Нормалдан көлбеу аймақ пен ось (немесе ось, кернеу күйі 1 және 2 негізгі осьтерде берілген болса) арасындағы бұрышты (3.17-суретті қараңыз) арқылы белгілей отырып, , қай жерден .
Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, көлемдік кернеу күйі үшін сәйкес өрнектердегі (3.10) және (3.11) тікелей алмастырулар арқылы көлбеу аймақтағы қалыпты және ығысу кернеулерін аламыз (3.17-суретті қараңыз).
3.15-сурет. Жазық кернеу күйі (a), көлбеу платформадағы кернеу (b)
Қалыпты кернеу
ығысу кернеуі
. (3.41)
(3.41) өрнектен оның sin 2 \u003d 1, яғни \u003d 45 ° кезінде максимумы бар екенін байқау оңай:
. (3.42)
Негізгі кернеулердің шамасын (3.13) теңдеуді пайдаланып, ерікті осьтердегі құрамдас бөліктер арқылы көрсетуге болады, одан біз аламыз.
. (3.43)
Бұл жағдайда жазық кернеу күйі үшін = 0; тегіс керілген күй үшін
Негізгі осьтердегі кернеу күйін біле отырып, кез келген еркін координат осіне оңай ауысуға болады (3.18-сурет). Жаңа координаталар осі х осімен бұрыш жасасын, онда оны көлбеу ауданға нормаль деп есептей отырып, соңғысы үшін (3.40) теңдеуіне сәйкес аламыз.
бірақ ось үшін кернеу кернеу болып табылады, демек
бұл өрнекті келесідей түрлендіруге болады:
(3.44)
Жаңа ось 1 осіне бұрышпен (+90°) қисайтылады; сондықтан алдыңғы теңдеуде (+ 90°) ауыстырсақ, аламыз
(3.41) өрнектен кернеуді анықтаймыз:
. (3.46)
арқылы орташа кернеуді белгілеу, яғни қабылдау
, (3.47)
және (3.42) теңдеуін ескере отырып, кернеу құраушыларын бұрыштың функциясы ретінде өрнектейтін түрлендіру формулалары деп аталатын формулаларды аламыз:
(3.48)
Мор диаграммасын құру кезінде біз у осіне параллель аудандарды қарастыратындықтан (яғни, ось 2) бағыт косинусы әрқашан нөлге тең болатынын ескереміз, яғни бұрыш = 90 °. Демек, барлық сәйкес мәндер және оған = 0 ауыстырған кезде (3.36 b) теңдеуімен анықталған шеңберде орналасады, атап айтқанда:
, (3.49)
немесе (3.47) және (3.42) өрнектерін ескере отырып
. (3,49а)
Бұл шеңбер суретте көрсетілген. 3.19 және Мор диаграммасы. Шеңберде орналасқан кейбір Р нүктесінің координаталары сәйкес мәндерді анықтайды және Р нүктесін нүктемен байланыстырайық.Кесінділердің 0 2 P = екенін көру оңай;
Рр= , Ор= , демек, күнә 
= 
.
Алынған өрнектерді (3.48) теңдеулерімен салыстыра отырып, оны анықтауға болады
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Осылайша, бұрышпен анықталатын көлбеу аймақтың орнын біле отырып, кернеулердің мәндерін және осы аймақта әрекет етуді табуға болады.
3.17-сурет. Мор диаграммасы
,
онда OP сегменті толық кернеуді S өрнектейді.
Егер көлбеу бетіндегі кернеулер ескерілетін кернеулі дененің элементі негізгі кернеу оське параллель болатындай сызылған болса, онда осы көлбеу бетке түсірілген нормаль N, демек, кернеудің бағыты, СР сегментіне параллель болады.
P0 2 сызығын шеңбермен қиылысуға дейін жалғастыра отырып, P нүктесінде «басқа көлбеу аймақ үшін мәндердің екінші жұбын аламыз, онда» = + 90 °, яғни біріншіге перпендикуляр аудан үшін, нормаль бағытымен ". N және N нормалдарының бағыттары" сәйкесінше жаңа осьтердің бағыттары ретінде қабылдануы мүмкін: және , және кернеулер және " - сәйкесінше координаталық кернеулер үшін және. Осылайша анықтауға болады. (3.44) - (3.46) формулаларын қолданбай еркін осьтердегі кернеу күйі жұптасу заңы бойынша бір-біріне тең.
Кері есепті шешу қиын емес: екі өзара перпендикуляр облыстардағы берілген кернеулер үшін , және , t «(мұндағы t» = t) негізгі кернеулерді табыңыз.
n және координат осьтерін саламыз (3.19-сурет). Біз P және P нүктелерін «берілген кернеулерге сәйкес координаталармен және , және ,. PP кесіндісінің осімен қиылысуы Мор шеңберінің центрін анықтайды 0 2 диаметрі PP «= 2 31. Әрі қарай, егер осьтерді N, N» (немесе, бірдей нәрсе, , ) тұрғызамыз және фигураны осы осьтердің бағыттары кернеулердің бағыттарына параллель болатындай және берілген дененің қарастырылатын нүктесінде, содан кейін осьтердің бағыттарын айналдырамыз. және диаграмма негізгі осьтердің 1 және 2 бағытына параллель болады.
Жазық есептің дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуін (3.38) теңдеулерден аламыз, у-ға қатысты барлық туындылар нөлге тең, сонымен қатар нөлге тең және:
(3.50)
Жазық есептерге қатысты кейбір есептерді шығарғанда, кейде тікбұрышты координаталар орнына полярлық координаталарды қолдану ыңғайлы, нүктенің орнын радиус векторы мен полярлық бұрышпен, яғни радиус векторының осьпен жасайтын бұрышымен анықтайды.
Полярлық координаталардағы тепе-теңдік шарттарын сол шарттардан оңай алуға болады цилиндрлік координаталар, теңестіру
Және туындылардың тең екендігін ескерсек
(3.51)
Жазық есептің ерекше жағдайы – кернеулер координатаға да тәуелді емес (күштің оське қатысты симметриялы таралуы). Бұл жағдайда кернеулер мен кернеулерге қатысты туындылар жойылады, ал тепе-теңдік шарттары бір арқылы анықталады. дифференциалдық теңдеу
. (3.52)
Мұнда да күйзелістердің негізгі екені анық.
Мұндай кернеулі күйді цилиндрлік тостағанды баспай-ақ тарту кезінде дөңгелек дайындаманың фланеці үшін алуға болады.
Стресс күйінің түрі
Деформацияланатын дененің кез келген нүктесіндегі кернеу күйі үш негізгі қалыпты кернеулермен және негізгі осьтердің бағыттарымен сипатталады.
Кернеу күйінің үш негізгі түрі бар: көлемдік (үш осьтік), онда үш негізгі кернеу де нөлге тең емес, жазық (екі осьтік), негізгі кернеулердің біреуі нөлге тең және сызықтық (бір осьтік), онда тек бір негізгі кернеу нөлден ерекшеленеді.
Егер барлық қалыпты кернеулердің таңбалары бірдей болса, онда кернеу күйі бір атаумен, ал әр түрлі таңбалы кернеулер үшін қарама-қарсы деп аталады.
Осылайша, кернеу күйінің тоғыз түрі бар: төрт көлемді, үш жазық және екі сызықтық (3.18-сурет).
Деформацияланатын дененің кез келген нүктесінде негізгі осьтердің бағыттары мен негізгі қалыпты кернеулердің шамасы өзгеріссіз қалса, кернеу күйі біртекті деп аталады.
Кернеу күйінің түрі металдың құламай пластикалық деформациялану қабілетіне және берілген шаманың деформациясын жүзеге асыру үшін қолданылатын сыртқы күштің шамасына әсер етеді.
Сонымен, мысалы, бірдей көлемдік кернеу жағдайындағы деформация қарама-қарсы кернеу күйінің жағдайларына қарағанда көбірек күш жұмсауды талап етеді, басқалары тең.
Бақылау сұрақтары
1. Кернеу дегеніміз не? Нүктенің, жалпы дененің кернеулік күйін не сипаттайды?
2. Кернеу тензоры құраушыларының белгілеулерінде индекстер нені білдіреді?
3. Кернеу тензоры құраушыларына белгі ережесін беріңіз.
4. Көлбеу платформалардағы кернеулер үшін Коши формулаларын жазыңыз. Олардың қорытындысы қандай негізге алынған?
5. Кернеу тензоры дегеніміз не? Кернеу тензорының құрамдас бөліктері қандай?
6. Кернеу тензорының меншікті векторлары мен меншікті мәндері қалай аталады?
7. Бас кернеулер дегеніміз не? Неше?
8. Негізгі қалыпты кернеулерге индекстерді беру ережесін келтіріңіз.
9. Негізгі қалыпты кернеулер мен кернеу тензорының негізгі осьтерінің физикалық түсіндірмелерін беріңіз.
10. ОМД негізгі процестері үшін негізгі қалыпты кернеулердің диаграммаларын көрсетіңіз - илемдеу, тарту, престеу.
11. Кернеу тензорының инварианттары дегеніміз не? Неше?
12. Бұл не механикалық сезімкернеу тензорының бірінші инварианты?
13. Ығысу кернеулерінің қарқындылығы қалай аталады?
14..Негізгі ығысу кернеулері қандай? Олардың платформаларын табыңыз
15.. Деформацияланатын дененің қандай да бір нүктесінде негізгі ығысу кернеулерінің қанша аймағын көрсетуге болады?
16. Максималды ығысу кернеуі, ол әрекет ететін учаскедегі қалыпты кернеу қандай?
17. Осьтік симметриялы кернеу күйі дегеніміз не? Мысалдар келтіріңіз.
18. Негізгі OMD процестері үшін негізгі қалыпты кернеулердің диаграммаларын көрсетіңіз - илемдеу, тарту, престеу.
19. Кернелген жазықтық пен жазық деформацияланған күйге не ортақ және олардың айырмашылығы неде? Қарапайым ауысу осы күйлердің қайсысына жатады?
20. Бас координаталар жүйесінде сізге белгілі кернеу теориясының формулаларын келтіріңіз
21. Кернеу эллипсоиды дегеніміз не? Оның теңдеуін жазып, салу ретін көрсетіңіз. Гидростатикалық қысым, жазық және сызықтық кернеу күйлері үшін кернеу эллипсоидының пішіні қандай?
22. Негізгі қалыпты кернеулерді табу теңдеуін және негізгі осьтерді табуға арналған үш теңдеулер жүйесін жазыңыз. Т а.
23..Сфералық тензор және кернеу девиаторы дегеніміз не? Кернеу девиаторының екінші және үшінші инварианттарын есептеу үшін қандай шамалар қолданылады?
24. Кернеу тензоры мен кернеу девиаторының негізгі координат жүйелері сәйкес келетінін көрсетіңіз.
25. Неліктен кернеу қарқындылығы мен ығысу кернеуінің қарқындылығы ескеріледі? Оларды түсіндіріңіз физикалық мағынасыжәне геометриялық түсініктемелер береді.
26. Мор диаграммасы дегеніміз не? Негізгі шеңберлердің радиустары қандай?
27. Орташа кернеу өзгергенде Мор диаграммасы қалай өзгереді?
28. Октаэдрлік кернеулер дегеніміз не?
29. Кернеу күйіндегі дененің нүктесі арқылы қанша сипаттамалық аудан жүргізуге болады?
30. Көлемдік кернеу күйінің тепе-теңдік шарттары тікбұрышты координаталар, цилиндрлік және сфералық координаттарда.
31. Жазық есептің тепе-теңдік теңдеуі.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Илюшин А.А. Икемділік. Ч.И.М.-Л., ГТИ, 1948. 346 б. (33)
2. И.М.Павлов, «Пластика теориясындағы тензорлық көріністердің физикалық табиғаты туралы», Известия вузов. Қара металлургия», 1965 ж., No 6, 2-бет. 100–104.
3. В.В.Соколовский, пластикалық теориясы. М.," магистратура”, 1969. 608 б. (91)
4. М.В.Сторожев және Е.А.Попов, металды қысыммен өңдеу теориясы. М., «Инженерия», 1971. 323 б. (99)
5. С.П.Тимошенко, Серпімділік теориясы. Гостехиздат, 1934. 451 б. (104)
6. Шофман Л.А. Штамптау және престеу процесін есептеу негіздері. Мәшғиз, 1961. (68)
Жүктелуде...
