Цилиндрлік координаталардағы үш еселік интегралды есептеу мысалдары. Үш еселі интегралдар. Дене көлемін есептеу.Цилиндрлік координаталардағы үш еселік интеграл. II Цилиндрлік координаталардағы үш еселі интеграл

Үш еселі интегралды есептеу процедурасы қос интеграл үшін сәйкес операцияға ұқсас. Оны сипаттау үшін біз тұрақты үш өлшемді домен ұғымын енгіземіз:

Анықтама 9.1. S тұйық бетімен шектелген V үш өлшемді облыс регулярлы деп аталады, егер:

1. Oz осіне параллель және аймақтың ішкі нүктесі арқылы жүргізілген кез келген түзу S екі нүктеде қиылысады;
2. бүкіл V аймағы Окси жазықтығына дұрыс екі өлшемді D облысына проекцияланады;
3. Одан координаталық жазықтықтардың кез келгеніне параллель жазықтықпен кесілген V доменінің кез келген бөлігі 1) және 2) қасиеттеріне ие болады.

Жоғарыдан және төменнен z=χ(x, y) және z=ψ(x, y) беттерімен шектелген және Oxy жазықтығына дұрыс D облысына проекцияланған, оның ішінде x a-дан b-ге дейін өзгеретін дұрыс V аймағын қарастырайық, y=φ1(x) және y=φ2(x) қисықтарымен шектелген (1-сурет). V облысында үздіксіз f(x, y, z) функциясын анықтайық.

Анықтама 9.2. f(x, y, z) функциясының V облысы бойынша үш еселік интегралы мына түрдің өрнегі деп аталады:

Үш еселі интеграл қос интеграл сияқты қасиеттерге ие. Біз оларды дәлелсіз тізіп береміз, өйткені олар қос интеграл жағдайына ұқсас дәлелденген.

Үш еселі интегралды есептеу.

Теорема 9.1. f(x,y,z) функциясының дұрыс V облысы бойынша үш еселік интегралы сол облыстағы үш еселік интегралға тең:

. (9.3)

Дәлелдеу.

V аймағын координаталық жазықтықтарға параллель жазықтықтар арқылы n дұрыс облысқа бөлеміз. Сонда 1-қасиеттен бұл шығады

мұндағы f(x,y,z) функциясының анықталу облысы бойынша үш еселенген интегралы.

(9.2) формуланы пайдаланып, алдыңғы теңдікті келесі түрде қайта жазуға болады:

f(x,y,z) функциясының үздіксіздік шартынан осы теңдіктің оң жағындағы интегралдық қосындының шегі бар және үш еселі интегралға тең екендігі шығады. Содан кейін шегіне өтіп, біз аламыз:

Q.E.D.

Түсініктеме.

Қос интеграл жағдайына ұқсас, интегралдау ретін өзгерту үш еселік интегралдың мәнін өзгертпейтінін дәлелдеуге болады.

Мысал. Интегралды есептейік, мұнда V – төбелері (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) және (0, 0, 1) нүктелерінде болатын үшбұрышты пирамида. Оның Окси жазықтығына проекциясы төбелері (0, 0), (1, 0) және (0, 1) болатын үшбұрыш. Төменнен облыс z = 0 жазықтығымен, ал жоғарыдан - x + y + z = 1 жазықтығымен шектелген. Үш еселі интегралға көшейік:

Интегралдық айнымалыға тәуелді емес факторларды сәйкес интегралдың таңбасынан шығаруға болады:

Үш өлшемді кеңістіктегі қисық сызықты координаталар жүйесі.

1. Цилиндрлік координаттар жүйесі.

Р(ρ,φ,z) нүктесінің цилиндрлік координаталары осы нүктенің Окси жазықтығына проекциясының ρ, φ полярлық координаталары және осы z нүктесінің аппликациясы болып табылады (2-сурет).

Цилиндрлік координаттардан декарттық координаттарға түрлендіру формулаларын келесідей көрсетуге болады:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Сфералық координаталар жүйесі.

Сфералық координаттарда нүктенің кеңістіктегі орны сызықтық координат ρ – нүктеден декарттық координаталар жүйесінің (немесе сфералық жүйенің полюсіне) дейінгі қашықтық, φ – оң нүктелер арасындағы полярлық бұрышпен анықталады. Ox жартылай осі және нүктенің Oxy жазықтығына проекциясы, ал θ - оң ось Oz жарты осі мен OP кесіндісінің арасындағы бұрыш (3-сурет). Бола тұра

Сфералық координатадан декарттық координатаға өту формулаларын қоямыз:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Якобиан және оның геометриялық мағынасы.

Қосарланған интегралдағы айнымалылардың өзгеруінің жалпы жағдайын қарастырайық. Oxy жазықтығында L түзуімен шектелген D облысы берілсін делік, x және y жаңа u және v айнымалыларының бірмәнді және үздіксіз дифференциалданатын функциялары болсын:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Р΄(u, v) нүктесі D облысынан Р(х, y) нүктесіне сәйкес келетін Оuv тікбұрышты координаталар жүйесін қарастырайық. Мұндай нүктелердің барлығы Оuv жазықтығымен шектелген D΄ аймағын құрайды. L΄ сызығы. (9.6) формулалары D және D΄ облыстарының нүктелері арасында бір-бірден сәйкестік орнатады деп айта аламыз. Бұл жағдайда u = const және сызықтары

Ouv жазықтығындағы v = const Oxy жазықтығындағы кейбір сызықтарға сәйкес келеді.

u = const, u+Δu = const, v = const және v+Δv = const түзулерімен шектелген Оuv жазықтығында ΔS΄ төртбұрышты ауданды қарастырайық. Ол Окси жазықтығындағы ΔS қисық сызықты ауданға сәйкес болады (4-сурет). Қарастырылып отырған учаскелердің аудандары да ΔS΄ және ΔS арқылы белгіленеді. Бұл жағдайда ΔS΄ = Δu Δv. ∆S ауданын табайық. Осы қисық төртбұрыштың Р1, Р2, Р3, Р4 төбелерін белгілейік, мұндағы

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Кіші Δu және Δv өсімдерін сәйкес дифференциалдармен ауыстырайық. Содан кейін

Бұл жағдайда P1 P2 P3 P4 төртбұрышын параллелограмм деп санауға болады және оның ауданын аналитикалық геометрия формуласы арқылы анықтауға болады:

(9.7)

Анықтама 9.3. Анықтауыш функционалдық анықтауыш немесе φ(x, y) және ψ(x, y) функцияларының якобиандық деп аталады.

(9.7) теңдіктегі шекке өтіп, якобиялықтың геометриялық мағынасын аламыз:

яғни Якоб модулі ΔS және ΔS΄ шексіз шағын аудандардың аудандарының қатынасының шегі болып табылады.

Түсініктеме. Сол сияқты, якобиялық ұғымды және оның n өлшемді кеңістік үшін геометриялық мағынасын анықтауға болады: егер x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn болса. = φ(u1 , u2,…, un), онда

(9.8)

Бұл жағдайда Якоб модулі x1, x2,…, xn және u1, u2,…, un кеңістіктерінің шағын аймақтарының «көлемдерінің» қатынасының шегін береді.

Бірнеше интегралдардағы айнымалылардың өзгеруі.

Мысал ретінде қосарлы интегралды қолданып, айнымалылардың өзгеруінің жалпы жағдайын зерттейік.

D домені берілсін үздіксіз функция z = f(x, y), оның әрбір мәні D΄ облысындағы z = F(u, v) функциясының бірдей мәніне сәйкес келеді, мұндағы

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Интегралдық қосындыны қарастырайық

мұнда оң жақтағы интегралдық қосынды D΄ облысы бойынша қабылданады. шегіне өтіп, қос интегралдағы координаттарды түрлендіру формуласын аламыз.

Материалдық дене берілсін, ол массаға толтырылған P кеңістіктік облысы. Әрбір P € P нүктесінде массаның таралу тығыздығы белгілі болған жағдайда бұл дененің m массасын табу қажет. Р аймағын сәйкесінше көлемі бар қабаттаспайтын текше (яғни көлемі бар) бөліктерге бөлейік. Жартылай аймақтардың әрқайсысында ft* еркін P* нүктесін таңдаймыз. Шамамен ft* ішінара аймақтың шегінде тығыздық тұрақты және /*(P*) тең деп алайық. Сонда дененің осы бөлігінің Atk массасы Atpk жуық теңдігімен өрнектеледі және бүкіл дененің массасы шамамен тең болады Үш еселі интеграл Үш еселі интегралдың қасиеттері Үш есе интегралды декарттық координаттарда есептеу Үш есе интегралды есептеу цилиндрлік және сфералық координаттар жартылай аймақтардың диаметрлерінің ең үлкені d болсын, d - * 0 үшін қосындыда (1) шекті шегі бар, ол ft доменін ішінара ішкі домендерге бөлу әдісіне тәуелді емес немесе нүктелерді таңдау Р* € фут*, онда бұл шек берілген дененің массасы m ретінде қабылданады.Шектелген функция фут фут тұйық кубтық облыста қиылыспайтын n текше бөлікке анықталсын және олардың көлемдерін деп белгілейік, тиісінше. Әрбір ішінара P* ішкі доменінде біз ерікті түрде Pk(xk, yk, zk) нүктесін таңдап, интегралдық қосындыны құраймыз.Ішінара облыстардың диаметрлерінің ең үлкені d болсын.Анықтама. Егер d 0 үшін a интегралдық қосындыларының шегі болса, ол А облысын ішінара ішкі домендерге П* бөлу әдісіне де, Pk ∈ П* нүктелерін таңдауға да тәуелді емес болса, онда бұл шек үштік деп аталады. f(x) y, z) функциясының Q облысына қатысты интегралдарының саны және 6-теорема символымен белгіленеді. Егер f(x, y, z) функциясы Π тұйық кубтық облыста үздіксіз болса, онда ол осы доменде интегралды. Үш еселі интегралдардың қасиеттері Үш еселі интегралдардың қасиеттері қос интегралдардың қасиеттеріне ұқсас.Негізгілерін тізіп көрейік. Функциялар L кубтық облыста интегралданатын болсын. 1. Сызықтық. Бұл жағдайда функция Q облысында интегралданатын деп аталады. Осылайша, анықтама бойынша бізде дененің массасын есептеу мәселесіне оралсақ, шегі (2) p( функциясының үш еселі интегралы екенін ескереміз. P) P домені бойынша. Демек, Мұнда dx dy dz - көлем элементі dv in тікбұрышты координаталар. мұндағы a және (3 – ерікті нақты тұрақтылар. P облысындағы барлық жерде, онда 3. Егер P облысындағы f(P) = 1 болса, онда n мұндағы V – Q облысының көлемі. Егер f(P) функциясы f және M және t тұйық кубтық доменде үзіліссіз - оның ең үлкені және ең кіші мәнфутпен, онда V – фут ауданның көлемі. 5. Аддитивтілік. Егер ft домені жалпы ішкі нүктелері жоқ кубтық домендерге бөлінген болса және f(P) ft доменінде интегралданатын болса, онда f(P) әрбір доменде интегралданатын болады ft| және ft2 және 6. Орташа мән теоремасы. 7-теорема (орташа мән бойынша). Егер f(P) функциясы тұйық текше ft облысында үзіліссіз болса, онда формула ақиқат болатындай жұқа Pc ∈ ft болады, мұнда V – ft доменінің көлемі (домен қосылған жиын екенін еске түсірейік). § 7. Декарттық координаталардағы үш еселік интегралды есептеу Қос интегралды есептеудегі сияқты, мәселе қайталанатын интегралды есептеуге дейін жеткізіледі. Функция кейбір фут доменде үзіліссіз деп алайық. 1-ші жағдай. ft ауданы yOz жазықтығына i2 тіктөртбұрышқа проекцияланған тік бұрышты параллелепипед; Содан кейін біз аламыз Қос интегралды қайталанатын интегралды ауыстырып, ең соңында аламыз Осылайша, P ауданы тікбұрышты параллелепипед болған жағдайда, біз үштік интегралдың есебін үш жай интегралдың реттік есебіне келтірдік. Формула (2) тіктөртбұрыш қай жерде болса, солай қайта жазылуы мүмкін ортогональды проекция xOy жазықтығындағы параллелепипед Р. 2-ші жағдай. Енді оның шектейтін беті 5 Oz осіне параллель кез келген түзуді ең көбі екі нүктеде немесе бүтін кесіндінің бойымен қиып өтетіндей Q аймағын қарастырайық (22-сурет). Π облысын төменнен шектейтін 5 бетінің теңдеуі z = tpi(x, y) болсын, ал Π облысын жоғарыдан шектейтін S2 беті z = y теңдеуі болсын). S1 және S2 беттерінің екеуі де x0y жазықтығының бір облысына проекциялансын. Оны D деп, ал оны L арқылы шектейтін қисықты белгілейік. Q денесінің қалған 5 шекарасы генераторлары Oz осіне параллель болатын цилиндрлік беттің үстінде жатыр, ал бағыттаушы ретінде L қисығы бар. Содан кейін (3) формулаға ұқсастық арқылы xOy жазықтығының D аймағы болса, аламыз қисық сызықты трапеция, екі қисықпен шектелген болса, онда (4) формуладағы қос интегралды қайталанатынға келтіруге болады және ең соңында осы формуланы аламыз.Бұл формула (2) формуланың жалпылауы болып табылады. Сурет-23 Мысал. Жазықтықтармен шектелген тетраэдрдің көлемін есептеңіз Тетраэдрдің xOy жазықтығына проекциясы х 0-ден 6-ға дейін, ал қозғалмайтын х (0 ^ x ^ 6) кезінде у 0-ден өзгеретіндей түзулерден құрылған үшбұрыш. дейін 3 - | (Cурет 23). Егер х және у екеуі де бекітілген болса, онда нүкте жазықтықтан жазықтыққа тігінен жылжи алады және 0-ден 6-ға дейін өзгереді - x - 2y. Формула бойынша §8 аламыз. Үш еселі интегралды цилиндрлік және сфералық координаттарда есептеу Үш еселі интегралдағы айнымалылардың өзгеруі туралы мәселе қос интеграл жағдайындағыдай шешіледі. /(x, y, z) функциясы ft тұйық кубтық облыста үзіліссіз болсын, ал функциялар ft* тұйық кубтық облыста бірінші ретті жеке туындыларымен бірге үзіліссіз болсын. (1) функциялары бір жағынан ft* ауданының барлық rj, () нүктелері мен ft ауданының барлық нүктелері (x, y, z) арасында бір-бірден сәйкестікті орнатады деп алайық. басқа. Сонда үш еселі интегралдағы айнымалылардың өзгеру формуласы дұрыс – мұндағы функциялар жүйесінің якобині (1). Тәжірибеде үш еселі интегралдарды есептегенде тікбұрышты координаталарды цилиндрлік және сфералық координаталармен ауыстыру жиі қолданылады. 8.1. Үштік интеграл цилиндрлік координаталарЦилиндрлік координаталар жүйесінде Р нүктесінің кеңістіктегі орны үш p санымен анықталады, мұндағы р және (р - Р нүктесінің xOy жазықтығына Р1 проекциясының полярлық координаталары, ал z - нүктенің қосымшасы. P нүктесі (24-сурет) Цилиндрлік координаталар жүйесінде координат беттері үштік интеграл Үш еселік интеграл үш еселік интегралды декарттық координатада есептеу Үш еселік интегралды есептеу. цилиндрлік және сфералық координаталардағы интеграл сәйкесінше сипаттайды: осі Oz осімен сәйкес келетін дөңгелек цилиндрді, Oz осіне іргелес жартылай жазықтықты және xOy жазықтығына параллель жазықтықты Цилиндрлік координаттар келесі декарттық формулалармен байланысты (қараңыз). 24-сурет).4) Өрнекті цилиндрлік координаталардағы көлем элементі деп атайды. Көлем элементіне арналған бұл өрнекті геометриялық ойлардан да алуға болады. П облысын координаталық беттер бойынша элементар ішкі домендерге бөліп, алынған қисық призмалардың көлемдерін есептейік (25-сурет). Көбірек дегеннің шексіз аз мәнін жою екенін көруге болады жоғары тәртіп, біз аламыз Бұл цилиндрлік координаталардағы көлем элементі үшін келесі мәнді алуға мүмкіндік береді Мысал 1. Беттермен шектелген дененің көлемін табыңыз 4 Цилиндрлік координатада берілген беттердің теңдеуі болады ((3) формулаларды қараңыз). Бұл беттер теңдеулер жүйесімен (цилиндр), (жазықтық) 26-сурет және оның xOy жазықтығына проекциясы жүйемен сипатталатын r түзуінің бойымен қиылысады.Сонымен қажетті көлем (4) формула бойынша есептеледі. , онда. Сфералық координаталардағы үш еселік интеграл Сфералық координаталар жүйесінде P(x, y, z) нүктесінің кеңістіктегі орны үш санмен анықталады, мұндағы r - басынан нүктеге дейінгі қашықтық Ох осі мен арасындағы бұрыш. Р нүктесінің ОП радиус векторының xOy жазықтығына проекциясы, ал c - Oz осінен есептелетін P нүктесінің Oz осі мен ОП радиус векторының арасындағы бұрыш (27-сурет). Бұл түсінікті. Осы координаталар жүйесіндегі координаталар беттері: r = const - координаталар басының центрінде орналасқан шарлар; ip = const Oz осінен шығатын жарты жазықтықтар; c = const - Oz осі бар дөңгелек конустар. Күріш. 27 Суреттен сфералық және декарттық координаталар келесі қатынастар арқылы байланысқанын көруге болады (5) функциялардың якобисін есептейік. Бізде Сондықтан бар және (2) формула сфералық координаталардағы көлем элементі пішінін алады - Көлем элементінің өрнегін геометриялық ойлардан да алуға болады. Радиустары r және r + dr сфераларымен, β және β + d$ конустарымен және жарты жазықтықтармен шектелген кеңістіктегі элементар аймақты қарастырайық.Шамамен бұл аймақты қарастыруға болады. куб тәріздіөлшемдермен. Онда үш есе интегралдың қасиеттері Үш есе интегралдың декарттық координатадағы есебі Үш есе интегралдың цилиндрлік және сфералық координатадағы есебі. Үшінші теңдеуден өзгерген 9 бұрыштың шектерін табамыз: қайдан

Depositfiles сайтынан жүктеп алыңыз

Үштік интеграл.

Бақылау сұрақтары.

Үш еселі интеграл, оның қасиеттері.

Үш еселі интегралдағы айнымалылардың өзгеруі. Цилиндрлік координаталардағы үш еселік интегралды есептеу.

Сфералық координаталардағы үш еселік интегралды есептеу.

Функция болсын u= f(x,y,z) шектелген жабық доменде анықталған Вғарыш Р 3 . Ауданды бөлейік Вкездейсоқ қосулы nқарапайым жабық аймақтар В 1 , … ,В nкөлемі бар  В 1 , …,  В nтиісінше. Белгілеу гаймақтың ең үлкен диаметрі болып табылады В 1 , … ,В n. Әр ауданда В керікті нүктені таңдаңыз П к (x к , ж к ,z к) және құрастырыңыз интегралдық қосындыфункциялары f(x, ж,z)

С =

Анықтама.үштік интегралфункциясынан f(x, ж,z) аудан бойынша Винтегралдық қосындының шегі деп аталады
егер ол бар болса.

Осылайша,

(1)

Түсініктеме.Интегралдық қосынды Саймақтың қалай бөлінгеніне байланысты В және нүкте таңдау П к (к=1, …, n). Дегенмен, егер шектеу болса, онда бұл аймақтың қалай бөлінгеніне байланысты емес Вжәне нүкте таңдау П к. Егер қос және үш еселенген интегралдар анықтамаларын салыстыратын болсақ, онда олардан толық ұқсастықты байқау қиын емес.

Үш еселі интегралдың болуының жеткілікті шарты.Үштік интеграл (13) бар болса, функция f(x, ж,z) шектелген Вжәне үздіксіз В, ішінде орналасқан кесінді-тегіс беттердің шектеулі санын қоспағанда В.

Үш еселі интегралдың кейбір қасиеттері.

1) Егер МЕНонда ол сандық тұрақты болады

3) Аудан бойынша аддитивтілік. Егер аймақ В аймақтарға бөлінеді В 1 Және В 2, содан кейін

4) Дене көлемі Втең

(2 )

Декарттық координаталардағы үш еселік интегралды есептеу.

Болсын D дене проекциясы Вұшаққа xOy, беттер z=φ 1 (x,ж),z=φ 2 (x, ж) денені шектейді Втиісінше төмен және жоғары. Соны білдіреді

В = {(x, ж, z): (x, ж)D , φ 1 (x,ж)≤ z ≤ φ 2 (x,ж)}.

Біз мұндай денені шақырамыз z- цилиндрлік. Үштік интеграл (1) үстінде z- цилиндрлік дене Вқос және анықталған интегралдардан тұратын қайталанатын интегралға өту арқылы есептеледі:

(3 )

Бұл қайталанатын интегралда ішкі анықталған интегралайнымалы бойынша z, Сонымен бірге x, жтұрақты болып саналады. Содан кейін алынған функцияның аудан бойынша қос интегралы есептеледі D.

Егер В x-цилиндрлік немесе у-цилиндрлік дене болса, сәйкесінше формулалар дұрыс

Бірінші формулада D  дене проекциясы Вкоординаталық жазықтыққа yOz, ал екіншісінде - ұшақта xOz

Мысалдар. 1) Дене көлемін есептеңіз Вбеттермен шектелген z = 0, x 2 + ж 2 = 4, z = x 2 + ж 2 .

Шешім. Формула (2) бойынша үш еселі интегралды пайдаланып көлемді есептеңіз.

(3) формула бойынша қайталанатын интегралға көшейік.

Болсын D шеңбер x 2 +ж 2 ≤ 4, φ 1 (x , ж ) = 0, φ 2 (x , ж )= x 2 +ж 2. Содан кейін (3) формула бойынша аламыз

Бұл интегралды есептеу үшін полярлық координаталарға өтеміз. Сонымен қатар шеңбер Dжиынтыққа айналдырылады

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Дене В беттермен шектеледі z=y , z= -y , x= 0 , x= 2, у= 1. Есептеңіз

ұшақтар z=y , z = -yденені, тиісінше, төменнен және жоғарыдан, ұшақтарды шектеңіз x= 0 , x= 2 денені, тиісінше, артында және алдында және жазықтықты шектеңіз у=Оң жақта 1 шектеу. V-z-цилиндрлік дене, оның проекциясы Dұшаққа Хойтіктөртбұрыш болып табылады OABC. қояйық φ 1 (x , ж ) = -ж

Кеңістікте екі тік бұрышты координаталар жүйесі болсын және
, және функциялар жүйесі

(1)

кейбір аймақтардың нүктелері арасында бір-бірден сәйкестікті орнататын
Және
осы координаттар жүйелерінде. (1) жүйесінің функциялары бар деп есептейік
үздіксіз жартылай туындылар. Осы ішінара туындылардан құралған анықтауыш

,

функциялар жүйесінің (1) якобиандық (немесе якоби анықтаушысы) деп аталады. Біз соны болжаймыз
В
.

Жоғарыда келтірілген жорамалдарға сәйкес үштік интегралдағы айнымалылардың өзгеруінің келесі жалпы формуласы орындалады:

Қос интеграл жағдайындағы сияқты, жүйенің (1) бірлігі мен шарты
жеке нүктелерде, жеке сызықтарда және жеке беттерде бұзылуы мүмкін.

Әрбір нүкте үшін функциялар жүйесі (1).
бір нүктеге сәйкес келеді
. Бұл үш сан
нүктенің қисық сызықты координаталары деп аталады . Кеңістік нүктелері
, бұл координаттардың біреуі тұрақты болып қалатын болса, деп аталатынды құрайды. координаталық беті.

II Цилиндрлік координаталардағы үш еселі интеграл

Цилиндрлік координаталар жүйесі (CCS) жазықтықпен анықталады
, онда полярлық координаталар жүйесі және ось
осы жазықтыққа перпендикуляр. Цилиндрлік нүкте координаталары
, Қайда
– нүктенің полярлық координаталары – проекциялар т көзілдірік ұшаққа
, А нүктенің проекциялық координаталары болып табылады оське
немесе
.

Ұшақта
біз декарттық координаталарды әдеттегідей енгіземіз, қолданбалы осьті ось бойымен бағыттаймыз
CSK. Енді цилиндрлік координаталарды декарттық координаталармен байланыстыратын формулаларды алу қиын емес:

(3)

Бұл формулалар аумақты бүкіл кеңістікке салыстырады
.

Бұл жағдайда координаталық беттер болады:

1)
- осіне параллель генераторлары бар цилиндрлік беттер
, олардың бағыттаушылары жазықтықтағы шеңберлер
, нүктеде центрленген ;

2)

;

3)
- жазықтықтарға параллель жазықтықтар
.

Якобиялық жүйе (3):

.

ХҚКО жағдайындағы жалпы формула келесі формада болады:

Ескерту 1 . Цилиндрлік координаттарға өту интегралдау аймағы дөңгелек цилиндр немесе конус немесе революция параболоиды (немесе оның бөліктері) болса және бұл дененің осі қосымшаның осімен сәйкес келген жағдайда ұсынылады.
.

Ескерту 2. Цилиндрлік координаталарды жазықтықтағы полярлық координаталар сияқты жалпылауға болады.

1-мысал Функцияның үш еселі интегралын есептеңіз

аймақ бойынша
, ол цилиндрдің ішкі жағы
, конуспен шектелген
және параболоид
.

Шешім. Біз бұл аймақты §2, 6-мысалда қарастырдық және DPSC стандартты белгісін алдық. Бірақ бұл аймақта интегралды есептеу қиын. CSK-ге барайық:

.

Болжам
дене
ұшаққа
шеңбер болып табылады
. Сондықтан координат 0-ден өзгереді
, А – 0-ден Р. Ерікті нүкте арқылы
осіне параллель түзу сызыңыз
. Тікелей енгізу
конуста, бірақ параболоидта шығады. Бірақ конус
CSK теңдеуі бар
, және параболоид
- теңдеу
. Сонымен бізде бар

III Сфералық координаталардағы үш еселі интеграл

Сфералық координаталар жүйесі (SCS) жазықтықпен анықталады
, онда UCS көрсетілген және ось
, жазықтыққа перпендикуляр
.

Сфералық нүкте координаталары кеңістік сандар үштігі деп аталады
, Қайда нүктенің жазықтыққа проекциясының полярлық бұрышы
,- ось арасындағы бұрыш
және вектор
Және
.

Ұшақта
Декарттық координаталар осьтерімен таныстыру
Және
кәдімгі жолмен және қолданбалы ось осьпен үйлесімді
. Сфералық координаталарды декарттықпен байланыстыратын формулалар:

(4)

Бұл формулалар аумақты бүкіл кеңістікке салыстырады
.

Функциялар жүйесінің якобины (4):

.

Координаталық беттер үш топты құрайды:

1)
– бас басында центрленген концентрлік шарлар;

2)
- ось арқылы өтетін жарты жазықтықтар
;

3)
осі ось болып табылатын, басында шыңы бар дөңгелек конустар
.

Үш еселі интегралдағы SSC-ге өту формуласы:

Ескерту 3. SSC-ге көшу интеграция аймағы шар немесе оның бөлігі болған кезде ұсынылады. Бұл жағдайда сфераның теңдеуі
кіреді. Бұрын талқыланған ХҚКО сияқты, ХҚКО оське «байланған».
. Егер шардың центрі координат осінің бойымен радиуспен ығысқан болса, онда ось бойымен орын ауыстырумен ең қарапайым сфералық теңдеу алынады.
:

Ескерту 4. SSC жалпылауға болады:

Якобианмен
. Бұл функциялар жүйесі эллипсоидты аударады

параллелепипедке айналады

2-мысал Радиусты шар нүктелерінің орташа қашықтығын табыңыз оның орталығынан.

Шешім. Функцияның орташа мәнін еске түсірейік
облыста
- функцияның аудан көлеміне бөлінген ауданның үш еселі интегралы. Біздің жағдайда

Сонымен бізде бар

Ерікті үш еселі интегралдар шешімдерінің мысалдары.
Үш еселі интегралдың физикалық қолданылуы

Сабақтың 2-ші бөлімінде ерікті үш есе интегралдарды шешу әдістемесін пысықтаймыз. , оның интегралы үш айнымалының функциясыжалпы жағдайда ол аймақтағы тұрақты және үздіксізден ерекшеленеді; сонымен қатар үш еселі интегралдың физикалық қосымшаларымен танысады

Мен жаңадан келген келушілерге 1-ші бөлімнен бастауды ұсынамын, онда біз негізгі ұғымдарды қарастырдық үш еселі интеграл көмегімен дененің көлемін табу есебі. Қалғандары үшін мен аздап қайталауды ұсынамын үш айнымалының туынды функциялары, өйткені осы мақаланың мысалдарында біз кері операцияны қолданамыз - ішінара интеграцияфункциялары.

Сонымен қатар, тағы бір маңызды мәселе бар: егер сіз өзіңізді жақсы сезінбесеңіз, мүмкіндігінше бұл бетті оқуды кейінге қалдырған дұрыс. Мәселе тек есептеулердің күрделілігінің артатынында ғана емес - үш еселік интегралдардың көпшілігінде қолмен тексерудің сенімді әдістері жоқ, сондықтан оларды шаршаған күйде шешуді бастау өте қажет емес. Төмен тон үшін қолайлы бір нәрсені тезірек шешунемесе жай ғана үзіліс жасаңыз (шыдамын, күтемін =)), осылайша тағы бір рет үштік интегралды қырғынды жалғастыру үшін жаңа баспен:

13-мысал

Үштік интегралды есептеңіз

Іс жүзінде дене әріппен де белгіленеді , бірақ бұл өте жақсы нұсқа емес, өйткені «ve» көлемді белгілеу үшін «сақталған».

Не істеуге болмайтынын айтайын. Қолданудың қажеті жоқ сызықтық қасиеттеріжәне интегралды түрінде көрсетіңіз. Егер сіз шынымен қаласаңыз, мүмкін. Ақыр соңында, шағын плюс бар - жазба ұзақ болады, бірақ аз шатастырылады. Бірақ бұл әдіс әлі де стандартты емес.

Алгоритмде шешімдержаңалық аз болады. Алдымен сіз интеграция аймағымен айналысуыңыз керек. Дененің жазықтыққа проекциясы өте таныс үшбұрыш:

Дене жоғарыдан шектелген ұшақ, ол бастау арқылы өтеді. Алдын ала, айтпақшы, сізге қажет тексеруді ұмытпаңыз(ақыл-ой немесе жобада)бұл ұшақ үшбұрыштың бір бөлігін «кесіп тастайды» ма. Ол үшін оның координаталық жазықтықпен қиылысу сызығын табамыз, яғни. шешу ең қарапайым жүйе: - жоқ, берілген Түзу (сызбада емес)«өтеді», ал дененің жазықтыққа проекциясы шын мәнінде үшбұрыш.

Кеңістіктік сурет мұнда да күрделі емес:

Шын мәнінде, олармен ғана шектелуге болады, өйткені проекция өте қарапайым. …Жарайды, немесе жай ғана проекцияны салу, өйткені денесі де қарапайым =) Дегенмен, мүлде сурет салмау, бұл дұрыс емес таңдау екенін еске саламын.

Және, әрине, мен сізді соңғы тапсырмамен қуанта алмаймын:

19-мысал

Беттерімен шектелген біртекті дененің ауырлық центрін табыңыз, . Берілген дененің сызбаларын және оның жазықтықтағы проекциясын құрастыр.

Шешім: қалаған дене координаталық жазықтықтармен шектелген және кейінгі құрылыс үшін ыңғайлы жазықтық сегменттерде кездеседі: . Масштаб бірлігі ретінде «а» таңдап, үш өлшемді сызбаны жасайық:

Сызба ауырлық центрінің аяқталған нүктесін белгілеп қойған, алайда біз оны әлі білмейміз.

Дененің жазықтыққа проекциясы анық, бірақ соған қарамастан, оны аналитикалық жолмен қалай табуға болатынын еске сала кетейін - мұндай қарапайым жағдайлар әрқашан кездеспейді. Жазықтықтар қиылысатын түзуді табу үшін жүйені шешу керек:

1-ші теңдеудегі мәнді ауыстырамыз: және біз теңдеуді аламыз «жалпақ» түзу:

Дененің ауырлық центрінің координаталарын формулалар арқылы есептеңіз
, мұндағы дененің көлемі.