Манекендерге арналған қисық сызықты интегралдар. Бірінші текті қисық сызықты интеграл (доғаның ұзындығы бойынша). Қисық декарттық тікбұрышты координаттарда берілген

орындық» Жоғары математика»

Қисық сызықты интегралдар

Нұсқаулар

Волгоград

UDC 517.373(075)

Рецензент:

Қолданбалы математика кафедрасының аға оқытушысы Н.И. Кольцова

Редакциялық-баспа кеңесінің шешімімен басылады

Волгоград мемлекеттік техникалық университеті

Қисық сызықты интегралдар: әдіс. нұсқаулар / құрастыр. Андреева М.И.

О.Е. Григорьев; ВолгГТУ. - Волгоград, 2011. - 26 б.

Әдістемелік нұсқаулар «Қисық сызықты интегралдар және олардың өріс теориясына қолданылуы» тақырыбы бойынша жеке тапсырмаларды орындауға арналған нұсқаулық болып табылады.

Әдістемелік нұсқаулардың бірінші бөлімінде жеке тапсырмаларды орындау үшін қажетті теориялық материал қамтылған.

Екінші бөлімде тақырып бойынша жеке тапсырмаларға енгізілген тапсырмалардың барлық түрлерін орындау мысалдары қарастырылады, бұл жақсы ұйымдастыруға ықпал етеді. өзіндік жұмысстуденттер мен тақырыпты табысты меңгеру.

Әдістемелік нұсқау бірінші және екінші курс студенттеріне арналған.

© Волгоград штаты

Техникалық университет, 2011

1. 1-ТҮРДІ ҚЫСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛ

1-ші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы

È AB– жазықтық доғасы немесе кеңістіктік бөлік-тегіс қисық Л, f(П) - осы доғада берілген үздіксіз функция, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А н – 1 , А н = Б ABЖәне ПиÈ ішінара доғаларындағы ерікті нүктелер А и – 1 А и, олардың ұзындығы D мен мен (мен = 1, 2, …, n

сағ n® ¥ және макс D мен мен® 0, ол È доғасының қалай болатынына байланысты емес ABнүктелер А и, сондай-ақ ұпай таңдаудан Пиішінара доғалар бойынша È А и – 1 А и (мен = 1, 2, …, n). Бұл шек функцияның бірінші түрінің қисық сызықты интегралы деп аталады f(П) қисық бойымен Лжәне белгіленеді

1-ші текті қисық сызықты интегралды есептеу

1-ші текті қисық сызықты интегралдың есебін белгілі бір интегралдың есебіне келтіруге болады. әртүрлі жолдаринтегралдау қисығын орнату.

Егер доғасы È ABжазықтық қисығы мұндағы теңдеулер арқылы параметрлік түрде берілген x(т) Және ж(т т, және x(т 1) = x А, x(т 2) = x B, Бұл

Қайда - қисық доға ұзындығының дифференциалы.

Ұқсас формула кеңістіктік қисықтың параметрлік спецификациясы жағдайында орын алады Л. Егер доғасы È ABқисық Л, және теңдеулерімен берілген x(т), ж(т), z(т) параметрдің үздіксіз дифференциалданатын функциялары болып табылады т, Бұл

мұндағы қисық доға ұзындығының дифференциалы.

В Декарттық координаталар

Егер доғасы È ABжазық қисық Лтеңдеуімен берілген Қайда ж(x

және қисық сызықты интегралды есептеу формуласы:

È доғасын көрсеткенде ABжазық қисық Лтүрде x= x(ж), ж Î [ ж 1 ; ж 2 ],
Қайда x(ж) үздіксіз дифференциалданатын функция,

Және қисық сызықты интегралформула бойынша есептеледі

(1.4)

Полярлық теңдеумен интегралдау қисығын анықтау

Егер тегіс қисық болса Лтеңдеуімен берілген полярлық жүйекоординаттар r = r(j), j О , мұндағы r(j) үздіксіз дифференциалданатын функция болса, онда

Және

(1.5)

1-ші текті қисық сызықты интегралдың қолданылуы

1-ші типті қисық сызықты интегралдың көмегімен мыналар есептеледі: қисық доғасының ұзындығы, цилиндрлік бет бөлігінің ауданы, массасы, статикалық моменттері, инерция моменттері және ауырлық центрінің координаталары. берілген сызықтық тығыздығы бар материал қисығының.

1. Ұзындығы лжазық немесе кеңістіктік қисық Лформуласы бойынша табылады

2. Параллель осі бар цилиндрлік бет бөлігінің ауданы унциягенератрикс және жазықтықта орналасқан XOYнұсқаулық Лұшақтың арасында орналасқан XOYжәне теңдеу арқылы берілген бет z = f(x; ж) (f(П) ³ 0 үшін П Î Л), тең

(1.7)

3. Масса мматериалдық қисық Лсызықтық тығыздығы m( П) формуласымен анықталады

(1.8)

4. Осьтерге қатысты статикалық сәттер ӨгізЖәне Ойжәне жазық материал қисығының ауырлық центрінің координаталары Лсызықтық тығыздығы m( x; ж) сәйкесінше мынаған тең:

(1.9)

5. Жазықтықтарға қатысты статикалық моменттер Окси, Oxz, Ойзжәне сызықтық тығыздығы m( x; ж; z) мына формулалармен анықталады:

(1.11)

6. Жазық материал қисығы үшін Лсызықтық тығыздығы m( x; ж) осьтерге қатысты инерция моменттері Өгіз, Ойжәне сәйкесінше координаталар бастауы:

(1.13)

7. Кеңістіктік материал қисығының инерция моменттері Лсызықтық тығыздығы m( x; ж; z) координаталық жазықтықтарға қатысты формулалар арқылы есептеледі

(1.14)

координаталық осьтерге қатысты инерция моменттері:

(1.15)

2. 2-ТҮРДІ ҚЫСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛ

2-ші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы

È ABбөлік-тегіс бағытталған қисық доғасы болып табылады Л, = (а х(П); а ж(П); а з(П)) үздіксіз векторлық функция, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А н – 1 , А н = Б– доғаның ерікті түрде бөлінуі ABЖәне Пиішінара доғалардағы ерікті нүктелер болып табылады А и – 1 А и. D координаталары бар вектор болсын x i, Д y i, Д z i(мен = 1, 2, …, n), және векторлардың скаляр көбейтіндісі және ( мен = 1, 2, …, n). Сонда интегралдық қосындылар реттілігінің шегі болады

сағ n® ¥ және max ÷ ç ® 0, бұл доғаның қалай бөлінетініне байланысты емес ABнүктелер А и, сондай-ақ ұпай таңдаудан Пиішінара доғалар бойынша È А и – 1 А и
(мен = 1, 2, …, n). Бұл шек функцияның 2-ші түрінің қисық сызықты интегралы деп аталады ( П) қисық бойымен Лжәне белгіленеді

Векторлық функция жазық қисық сызықта берілген жағдайда Л, сол сияқты бізде:

Интегралдау бағыты өзгерген кезде 2-ші текті қисық сызықты интеграл таңбасын өзгертеді.

Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар қатынас арқылы байланысады

(2.2)

мұндағы – бағытталған қисыққа жанаманың бірлік векторы.

2-ші текті қисық сызықты интегралды пайдаланып, қозғалыс кезіндегі күштің жұмысын есептеуге болады материалдық нүктеқисық доғаның бойымен L:

Тұйық қисық айналасындағы оң бағыт МЕН,жай байланысқан аймақты шектейді Г, сағат тіліне қарсы бағытта қарастырылады.

Тұйық қисық үстіндегі 2-ші типті қисық сызықты интеграл МЕНайналым деп аталады және белгіленеді

(2.4)

2-ші текті қисық сызықты интегралды есептеу

2-ші текті қисық сызықты интегралдың есебі анықталған интегралдың есебіне келтіріледі.

Интегралдау қисығының параметрлік спецификациясы

Егер È ABбағытталған жазықтық қисығы теңдеулер арқылы параметрлік түрде берілген, мұндағы X(т) Және ж(т) параметрдің үздіксіз дифференциалданатын функциялары болып табылады т, содан соң

Ұқсас формула кеңістіктік бағытталған қисықтың параметрлік спецификациясы жағдайында орын алады Л. Егер доғасы È ABқисық Л, және теңдеулерімен берілген параметрдің үздіксіз дифференциалданатын функциялары болып табылады т, Бұл

Жазық интеграция қисығының айқын спецификациясы

Егер доғасы È AB Лмұндағы теңдеумен декарттық координатада берілген ж(x) үздіксіз дифференциалданатын функция болса, онда

(2.7)

È доғасын көрсеткенде ABтегіс бағытталған қисық Лтүрде
x= x(ж), ж Î [ ж 1 ; ж 2], қайда x(ж) - үздіксіз дифференциалданатын функция, формула

(2.8)

Функцияларға рұқсат етіңіз туындыларымен бірге үздіксіз болады

тегіс жабық аумақта Г, кесінді-тегіс жабық өздігінен ажырайтын оң бағытталған қисықпен шектелген МЕН+ . Сонда Грин формуласы орындалады:

Болсын Гбетімен жай байланысқан аймақ болып табылады және

= (а х(П); а ж(П); а з(П))

осы аймақта көрсетілген векторлық өріс болып табылады. Өріс ( П) егер мұндай функция бар болса, потенциал деп аталады У(П), Не

(П) = дәреже У(П),

Векторлық өріс потенциалының қажетті және жеткілікті шарты ( П) келесідей көрінеді:

шірік ( П) =, мұндағы (2.10)

(2.11)

Егер векторлық өріс потенциал болса, онда 2-ші түрдегі қисық сызықты интеграл интегралдау қисығына тәуелді емес, тек доғаның басы мен соңының координаталарына тәуелді болады. М 0 М. Потенциал У(М) векторлық өрістің тұрақты мүшесіне дейін анықталады және формула бойынша табылады

(2.12)

Қайда М 0 Мқозғалмайтын нүктені қосатын ерікті қисық болып табылады М 0 және айнымалы нүкте М. Есептеулерді жеңілдету үшін біріктіру жолы ретінде үзік сызықты таңдауға болады М 0 М 1 М 2 Мкоординат осьтеріне параллель сілтемелермен, мысалы:

3. тапсырмалардың мысалдары

1-жаттығу

Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеңіз

мұндағы L - қисық доғасы, 0 ≤ x ≤ 1.

Шешім.(1.3) формула бойынша, қисық анық берілген тегіс жазықтық жағдайында бірінші текті қисық сызықты интегралды анықталған интегралға келтіру:

Қайда ж = ж(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 – доға теңдеуі Линтегралдау қисығы. Бұл мысалда Бұл функцияның туындысын табамыз

және қисық доға ұзындығының дифференциалы Л

содан кейін осы өрнектің орнына орнына ж, Біз алып жатырмыз

Қисықсызықты интегралды анықталғанға түрлендіреміз:

Бұл интегралды алмастыру арқылы есептейміз. Содан кейін
т 2 = 1 + x, x = т 2 – 1, dx = 2т дт; сағ x= 0 т= 1; А x= 1 сәйкестік. Трансформациялардан кейін біз аламыз

2-тапсырма

1-ші текті қисық сызықты интегралды есептеңіз доғада Лқисық Л:x= cos 3 т, ж= күнә 3 т, .

Шешім.Өйткені Лпараметрлік түрде берілген тегіс жазық қисық доғасы болса, онда 1-ші текті қисық сызықты интегралды белгілі бірге келтіру үшін (1.1) формуланы қолданамыз:

.

Бұл мысалда

Доға ұзындығының дифференциалын табыңыз

Табылған өрнектерді (1.1) формулаға қойып, есептейміз:

3-тапсырма

Түзу доғасының массасын табыңыз Лсызықтық m жазықтығымен.

Шешім.Салмағы мдоғалар Лтығыздығы m ( П) (1.8) формуласымен есептеледі.

Бұл қисық сызықтың кеңістіктегі параметрлік берілген тегіс доғасы үстіндегі 1-ші текті қисық сызықты интегралы, сондықтан ол 1-ші текті қисық сызықты интегралды анықталған интегралға келтіру формуласы бойынша (1.2) есептеледі:

Туындыларды табайық

және доға ұзындығының дифференциалы

Бұл өрнектерді массаның формуласына ауыстырамыз:

4-тапсырма

1-мысал 2-ші текті қисық сызықты интегралды есептеңдер

доғада Лқисық 4 x + жнүктесінен 2 = 4 А(1; 0) нүктеге дейін Б(0; 2).

Шешім.жалпақ доға Лжанама түрде белгіленеді. Интегралды есептеу үшін оны өрнектеген ыңғайлы xарқылы ж:

және 2-ші текті қисық сызықты интегралдың айнымалыға қатысты анықталған интегралға айналуының (2.8) формуласы бойынша интегралды табыңдар. ж:

Қайда а х(x; ж) = xy – 1, а ж(x; ж) = xy 2 .

Қисықтың орнатылуын ескере отырып

(2.8) формула бойынша аламыз

2-мысал. 2-ші текті қисық сызықты интегралды есептеңдер

Қайда Л- үзік сызық ABC, А(1; 2), Б(3; 2), C(2; 1).

Шешім. Қисықсызықты интегралдың аддитивтік қасиеті бойынша

Интегралдық мүшелердің әрқайсысы (2.7) формула бойынша есептеледі.

Қайда а х(x; ж) = x 2 + ж, а ж(x; ж) = –3xy.

Түзу сегментінің теңдеуі AB: ж = 2, ж¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Осы өрнектерді (2.7) формулаға қойып, мынаны аламыз:

Интегралды есептеу үшін

түзудің теңдеуін жаз BCформула бойынша

Қайда x B, у Б, x C, у C– нүкте координаталары БЖәне МЕН. Біз алып жатырмыз

ж – 2 = x – 3, ж = x – 1, ж¢ = 1.

Алынған өрнектерді формулаға (2.7) ауыстырамыз:

5-тапсырма

Доғаның 2-ші текті қисық сызықты интегралын есептеңіз Л

0 ≤ т ≤ 1.

Шешім. Интегралдау қисығы теңдеулер арқылы параметрлік берілгендіктен x = x(т), y=y(т), т Î [ т 1 ; т 2], қайда x(т) Және ж(т) үздіксіз дифференциалданатын функциялар тсағ т Î [ т 1 ; т 2], содан кейін екінші текті қисық сызықты интегралды есептеу үшін қисық сызықты интегралды жазықтықта параметрлік берілген қисық үшін анықталғанға келтіру үшін (2.5) формуласын қолданамыз.

Бұл мысалда а х(x; ж) = ж; а ж(x; ж) = –2x.

Қисықтың орнатылуын ескере отырып ЛБіз алып жатырмыз:

Табылған өрнектерді (2.5) формулаға қойып, анықталған интегралды есептейміз:

6-тапсырма

1-мысал C + Қайда МЕН : ж 2 = 2x, ж = x – 4.

Шешім.Белгі C+ контурдың оң бағытта, яғни сағат тіліне қарсы жүріп өткенін көрсетеді.

Есепті шешу үшін Жасыл формуланы (2.9) қолдануға болатынын тексерейік

Функциялардан бері а х (x; ж) = 2ж – x 2 ; а ж (x; ж) = 3x + жжәне олардың жартылай туындылары тегіс жабық аймақта үздіксіз Г, контурмен шектелген C, онда Грин формуласы қолданылады.

Қосарланған интегралды есептеу үшін ауданды сызыңыз Г, қисықтардың доғаларының қиылысу нүктелерін бұрын анықтаған ж 2 = 2xЖәне
ж = x- контурды құрайтын 4 C.

Теңдеулер жүйесін шешу арқылы қиылысу нүктелерін табамыз:

Жүйенің екінші теңдеуі теңдеумен тең x 2 – 10x+ 16 = 0, қайдан x 1 = 2, x 2 = 8, ж 1 = –2, ж 2 = 4.

Сонымен, қисықтардың қиылысу нүктелері: А(2; –2), Б(8; 4).

Ауданнан бері Г– ось бағыты бойынша түзетіңіз Өгіз, содан кейін қос интегралды қайталанатынға дейін азайту үшін доменді жобалаймыз Гоське Ойжәне формуланы қолданыңыз

.

Өйткені а = –2, б = 4, x 2 (ж) = 4+ж, Бұл

2-мысалТұйық контур бойынша 2-ші текті қисық сызықты интегралды есептеңіз Қайда МЕН- төбелері бар үшбұрыштың контуры А(0; 0), Б(1; 2), C(3; 1).

Шешім.Белгілеу үшбұрыштың контуры сағат тілімен өтетінін білдіреді. Қисық сызықты интеграл тұйық контур бойымен алынған жағдайда Грин формуласы пішінді алады.

Ауданды сызыңыз Гберілген контурмен шектелген.

Функциялар және ішінара туындылар және аймақта үздіксіз Г, сондықтан Грин формуласын қолдануға болады. Содан кейін

Аймақ Госьтердің ешқайсысының бағыты бойынша дұрыс емес. Түзу сегментін сызыңыз x= 1 және елестетіңіз Гтүрде Г = Г 1 È Г 2, қайда Г 1 және Г 2 аймақ ось бағыты бойынша дұрыс Ой.

Содан кейін

Қос интегралдың әрқайсысын азайту үшін Г 1 және Г 2 Қайта пайдалану үшін формуланы қолданамыз

Қайда [ а; б] – аудан проекциясы Dоське Өгіз,

ж = ж 1 (x) төменгі шектегіш қисық теңдеуі,

ж = ж 2 (x) жоғарғы шекті қисық сызығының теңдеуі болып табылады.

Облыс шекараларының теңдеулерін жазайық Г 1 және табыңыз

AB: ж = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; AD: , 0 ≤ x ≤ 1.

Шекараның теңдеуін құрастыр BCаймақтар Г 2 формуланы қолдану

BC: мұндағы 1 ≤ x ≤ 3.

DC: 1 ≤ x ≤ 3.

7-тапсырма

1-мысалЖұмыс күшін табыңыз Л: ж = x 3 нүктесінен М(0; 0) нүктеге дейін Н(1; 1).

Шешім. Материалдық нүктені қисық доға бойымен жылжытқандағы айнымалы күштің жұмысы Л(2.3) формуласымен (қисық бойындағы функцияның екінші түрінің қисық сызықты интегралы ретінде) анықталады. Л) .

Векторлық функция теңдеу арқылы берілгендіктен және жазықтыққа бағытталған қисық доғасы теңдеу арқылы анық анықталған. ж = ж(x), x Î [ x 1 ; x 2], қайда ж(x) үзіліссіз дифференциалданатын функция, онда (2.7) формула бойынша

Бұл мысалда ж = x 3 , , x 1 = x М = 0, x 2 = x Н= 1. Сондықтан

2-мысал. Жұмыс күшін табыңыз материалдық нүктені түзу бойымен жылжытқанда Л: x 2 + жнүктесінен 2 = 4 М(0; 2) нүктеге Н(–2; 0).

Шешім. (2.3) формуланы қолданып, аламыз

.

Бұл мысалда қисық доғасы Л(È М.Н) канондық теңдеумен берілген шеңбердің төрттен бір бөлігі x 2 + ж 2 = 4.

Екінші текті қисық сызықты интегралды есептеу үшін шеңбердің параметрлік сипаттамасына өту ыңғайлы: x = Р cos т, ж = Ркүнә тжәне (2.5) формуласын қолданыңыз

Өйткені x= 2cos т, ж= 2күн т, , , Біз алып жатырмыз

8-тапсырма

1-мысал. Контур бойымен векторлық өрістің циркуляциялық модулін есептеңіз Г:

Шешім.Тұйық контур бойымен векторлық өрістің циркуляциясын есептеу Г(2.4) формуласын қолданамыз

Кеңістіктік векторлық өріс пен кеңістіктік тұйық контур берілгендіктен Г, содан кейін қисық сызықты интегралды жазудың векторлық түрінен координаталық түрге өтіп, аламыз

Қисық Гекі беттің қиылысуы ретінде анықталады: гиперболалық параболоид z=x 2 – ж 2 + 2 және цилиндр x 2 + ж 2 = 1. Қисық сызықты интегралды есептеу үшін қисық сызықтың параметрлік теңдеулеріне өту ыңғайлы. Г.

Цилиндрлік беттің теңдеуін былай жазуға болады:
x= cos т, ж= күнә т, z = z. үшін өрнек zпараметрлік теңдеулерде қисық ауыстыру арқылы алынады x= cos т, ж= күнә тгиперболалық параболоид теңдеуіне z= 2 + cos2 т– күнә 2 т= 2 + cos2 т. Сонымен, Г: x= cos т,
ж= күнә т, z= 2 + cos2 т, 0 ≤ т≤ 2p.

Олар енгізілгендіктен параметрлік теңдеулерқисық Гфункциялары
x(т) = cos т, ж(т) = күнә т, z(т) = 2 + cos 2 тпараметрдің үздіксіз дифференциалданатын функциялары болып табылады тсағ тн , онда (2.6) формуласы бойынша қисық сызықты интегралды табамыз.

Интеграция ауданы жазықтықта жатқан қандай да бір қисық кесінді болған жағдайда. Қисықсызықты интегралдың жалпы жазылуы келесідей:

Қайда f(x, ж) екі айнымалының функциясы болып табылады және Л- қисық, сегмент бойынша ABинтеграция жүзеге асады. Егер интеграл бірлікке тең болса, онда қисық сызықты интеграл ұзындығына теңдоғалары AB .

Әдеттегідей интегралдық есептеулерде қисық сызықты интеграл өте үлкен нәрсенің кейбір өте кішкентай бөліктерінің интегралдық қосындыларының шегі ретінде түсініледі. Қисық сызықты интегралдар жағдайында не қорытындыланады?

Жазықтықта сегмент болсын ABкейбір қисық Л, және екі айнымалының функциясы f(x, ж) қисық нүктелерінде анықталады Л. Қисықтың осы сегментімен келесі алгоритмді орындайық.

1. Бөлу қисығы ABнүктелері бар бөлігінде (төмендегі суреттер).
2. Әр бөлікте нүктені еркін таңдаңыз М.
3. Таңдалған нүктелердегі функцияның мәнін табыңыз.
4. Функция мәндерін көбейтіңіз
   • жағдайда бөліктердің ұзындығы бірінші текті қисық сызықты интеграл ;
   • бөлшектердің корпустағы координат осіне проекциялары екінші текті қисық сызықты интеграл .
5. Барлық көбейтінділердің қосындысын табыңыз.
6. Қисықтың ең ұзын бөлігінің ұзындығы нөлге ұмтылған жағдайда табылған интегралдық қосындының шегін табыңыз.

Егер бұл шектеу болса, онда бұл интегралдық қосындының шегі және функцияның қисық сызықты интегралы деп аталады f(x, ж) қисық бойымен AB .

бірінші түрі

Қисық сызықты интегралдық жағдай
екінші түрі

Келесі белгіні енгізейік.

Ммен ( ζ мен; η и)- әрбір бөлімде координаттары таңдалған нүкте.

fмен ( ζ мен; η и)- функция мәні f(x, ж) таңдалған нүктеде.

Δ смен- қисық сегментінің бөлігінің ұзындығы (бірінші текті қисық сызықты интеграл жағдайында).

Δ xмен- қисық кесінді бөлігінің оське проекциясы Өгіз(екінші текті қисық сызықты интеграл жағдайында).

г= maxΔ сменқисық сегменттің ең ұзын бөлігінің ұзындығы.

Бірінші текті қисық сызықты интегралдар

Интегралдық қосындылардың шегі туралы жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, бірінші текті қисық сызықты интеграл былай жазылады:

.

Бірінші текті қисық сызықты интегралдың барлық қасиеттері бар анықталған интеграл. Дегенмен, бір маңызды айырмашылық бар. Белгілі бір интеграл үшін интегралдау шектері ауыстырылғанда таңба керісінше өзгереді:

Бірінші текті қисық сызықты интеграл жағдайында қисық нүктелерінің қайсысы маңызды емес. AB (Анемесе Б) кесіндінің басын және қай аяғын қарастырыңыз, яғни

.

Екінші текті қисық сызықты интегралдар

Интегралдық қосындылардың шегі туралы айтылғандарға сүйене отырып, екінші текті қисық сызықты интеграл былай жазылады:

.

Екінші текті қисық сызықты интегралда қисық кесіндінің басы мен соңы кері ауыстырылғанда интегралдың таңбасы өзгереді:

.

Екінші текті қисық сызықты интегралдың интегралдық қосындысын құрастыру кезінде функцияның мәндері fмен ( ζ мен; η и)қисық кесінді бөліктерінің оське проекциясына да көбейтуге болады Ой. Содан кейін интегралды аламыз

.

Практикада әдетте екінші текті қисық сызықты интегралдардың бірігуі қолданылады, яғни екі функция f = П(x, ж) Және f = Q(x, ж) және интегралдар

,

және осы интегралдардың қосындысы

шақырды екінші текті жалпы қисық сызықты интеграл .

Бірінші текті қисық сызықты интегралдарды есептеу

Бірінші текті қисық сызықты интегралдарды есептеу анықталған интегралдарды есептеуге дейін қысқарады. Екі жағдайды қарастырайық.

Жазықтықта қисық берілген болсын ж = ж(x) және қисық сегмент ABайнымалыны өзгертуге сәйкес келеді xбастап абұрын б. Содан кейін қисық нүктелерінде интеграл f(x, ж) = f(x, ж(x)) («y» «x» арқылы өрнектелуі керек) және доғаның дифференциалы ал қисық сызықты интегралды формула бойынша есептеуге болады

.

Егер интегралды интегралдау оңайырақ болса ж, онда қисық теңдеуінен өрнектеу керек x = x(ж) («х» арқылы «у»), мұндағы және интеграл формула бойынша есептеледі

.

1-мысал

Қайда AB- нүктелер арасындағы түзу кесіндісі А(1; −1) және Б(2; 1) .

Шешім. Түзу теңдеуін құрастыр AB, формуланы пайдалана отырып (берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі А(x1 ; ж 1 ) Және Б(x2 ; ж 2 ) ):

Түзу теңдеуінен өрнектейміз жарқылы x :

Содан кейін және қазір біз интегралды есептей аламыз, өйткені бізде тек «x» қалды:

Кеңістікте қисық берілген болсын

Содан кейін қисық нүктелерінде функция параметр бойынша өрнектелуі керек т() және доғаның дифференциалы , сондықтан қисық сызықты интегралды формула бойынша есептеуге болады

Сол сияқты жазықтықта қисық берілген болса

,

онда қисық сызықты интеграл формула бойынша есептеледі

.

2-мысалҚисықсызықты интегралды есептеңіз

Қайда Л- шеңбер сызығының бөлігі

бірінші октантта орналасқан.

Шешім. Бұл қисық шеңбер сызығының төрттен бірі, жазықтықта орналасқан z= 3. Ол параметр мәндеріне сәйкес келеді. Өйткені

содан кейін доғаның дифференциалы

Интегралды параметр арқылы өрнектеп көрейік т :

Енді бізде параметр арқылы көрсетілген барлық нәрсе бар т, біз осы қисық сызықты интегралдың есебін азайта аламыз анықталған интеграл:

Екінші текті қисық сызықты интегралдарды есептеу

Бірінші текті қисық сызықты интегралдардағы сияқты, екінші текті интегралдарды есептеу анықталған интегралдарды есептеуге дейін қысқарады.

Қисық декарттық тікбұрышты координаттарда берілген

Жазықтықтағы қисық «х» арқылы өрнектелетін «y» функциясының теңдеуі арқылы берілсін: ж = ж(x) және қисық доғасы ABөзгеріске сәйкес келеді xбастап абұрын б. Содан кейін «у» арқылы «х» өрнегін интегралға ауыстырамыз және осы «у» өрнегінің «х»-ке қатысты дифференциалын анықтаймыз: . Енді бәрі «x» арқылы өрнектелгенде, екінші текті қисық сызықты интеграл анықталған интеграл ретінде есептеледі:

Сол сияқты, қисық «y» арқылы өрнектелетін «x» функциясының теңдеуі арқылы берілгенде, екінші текті қисық сызықты интеграл есептеледі: x = x(ж) , . Бұл жағдайда интегралды есептеу формуласы келесідей:

3-мысалҚисықсызықты интегралды есептеңіз

, Егер

A) Л- түзу кесінді О.А, Қайда ТУРАЛЫ(0; 0) , А(1; −1) ;

б) Л- парабола доғасы ж = x² бастап ТУРАЛЫ(0; 0) дейін А(1; −1) .

а) түзу кесіндінің қисық сызықты интегралды есептеңіз (суреттегі көк). Түзу теңдеуін жазып, «У»-ді «Х» арқылы өрнектеп көрейік:

.

Біз алып жатырмыз dy = dx. Бұл қисық сызықты интегралды шешеміз:

б) егер Л- парабола доғасы ж = x², аламыз dy = 2xdx. Интегралды есептейміз:

Жаңа ғана шешілген мысалда біз екі жағдайда бірдей нәтиже алдық. Және бұл кездейсоқ емес, заңдылықтың нәтижесі, өйткені бұл интеграл келесі теореманың шарттарын қанағаттандырады.

Теорема. функциялары болса П(x,ж) , Q(x,ж) және олардың жартылай туындылары , - аймақта үздіксіз Dфункциялары және осы аймақтың нүктелерінде ішінара туындылары тең, онда қисық сызықты интеграл түзу бойындағы интегралдау жолына тәуелді емес Лаймақта орналасқан D .

Қисық параметрлік түрде берілген

Кеңістікте қисық берілген болсын

.

және ішінде интегралдық функцияларалмастырушы

осы функциялардың параметр арқылы өрнектері т. Қисық сызықты интегралды есептеу формуласын аламыз:

4-мысалҚисықсызықты интегралды есептеңіз

,

Егер Л- эллипс бөлігі

шартқа сай ж ≥ 0 .

Шешім. Бұл қисық эллипстің жазықтықта орналасқан бөлігі болып табылады z= 2 . Ол параметрдің мәніне сәйкес келеді.

қисық сызықты интегралды анықталған интеграл ретінде көрсетіп, оны есептей аламыз:

Қисықсызықты интеграл берілген және Л- тұйық сызық, онда мұндай интегралды тұйық контур үстіндегі интеграл деп атайды және оны пайдаланып есептеу оңайырақ Грин формуласы .

Қисық сызықты интегралдарды есептеудің қосымша мысалдары

5-мысалҚисықсызықты интегралды есептеңіз

Қайда Л- оның координаталық осьтермен қиылысу нүктелерінің арасындағы түзу кесіндісі.

Шешім. Түзудің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтайық. Түзуді теңдеуге ауыстыру ж= 0, аламыз, . Ауыстыру x= 0, аламыз, . Осылайша, осьпен қиылысу нүктесі Өгіз - А(2; 0) , осімен Ой - Б(0; −3) .

Түзу теңдеуінен өрнектейміз ж :

.

, .

Енді қисық сызықты интегралды белгілі интеграл ретінде көрсетіп, оны есептеуге кірісеміз:

Интегралда факторды таңдаймыз , оны интегралдық таңбадан шығарамыз. Алынған интегралда біз қолданамыз дифференциал белгісінің астына әкелужәне ақырында біз аламыз.

Дәріс 5 1-ші және 2-ші текті қисық сызықты интегралдар, олардың қасиеттері ..

Қисық сызықтың массасы туралы есеп. 1-ші текті қисық сызықты интеграл.

Қисық сызықтың массасы туралы есеп.Бөлшек-тегіс материал қисығының әрбір нүктесінде L: (АВ) оның тығыздығы берілсін. Қисық сызықтың массасын анықтаңыз.

Біз жазық аймақтың массасын анықтаған кездегідей әрекет етеміз ( қос интеграл) және кеңістіктік дене (үш еселі интеграл).

1. L доға аймағын элементтерге – элементар доғаларға бөлуді осы элементтерде ортақ ішкі нүктелер болмайтындай етіп ұйымдастырыңыз және ( шарты А )

3. Интегралдық қосындыны тұрғызайық , мұндағы доғаның ұзындығы (әдетте доға мен оның ұзындығы үшін бірдей белгілеулер енгізіледі). Бұл қисық массасы үшін шамамен алынған мән. Жеңілдету мынада: біз доғаның тығыздығын әрбір элементте тұрақты деп есептедік және элементтердің шектеулі санын қабылдадық.

Шарт бойынша шекке өту (жағдайы В ), интегралдық қосындылардың шегі ретінде бірінші текті қисық сызықты интегралды аламыз:

.

Болмыс теоремасы.

Функция бөліктік тегіс L доғасында үзіліссіз болсын. Сонда бірінші текті қисық сызықты интеграл интегралдық қосындылардың шегі ретінде болады.

Түсініктеме.Бұл шектеу тәуелді емес

Бірінші текті қисық сызықты интегралдың қасиеттері.

1. Сызықтық
а) суперпозиция қасиеті

б) біртектілік қасиеті .

Дәлелдеу. Теңдіктердің сол жағындағы интегралдар үшін интегралдық қосындыларды жазып алайық. Интегралдық қосындыдағы мүшелер саны шекті болғандықтан, теңдіктердің оң жақтары үшін интегралдық қосындыларға көшейік. Содан кейін біз шекке өтеміз, теңдіктегі шекке өту теоремасы бойынша біз қажетті нәтиже аламыз.

2. Аддитивтілік.
Егер , Бұл = +

3. .Міне, доғаның ұзындығы .

4. Егер теңсіздік доғада орындалса, онда

Дәлелдеу. Интегралдық қосындылар үшін теңсіздікті жазып, шекке көшейік.

Атап айтқанда, бұл мүмкін екенін ескеріңіз

5. Бағалау теоремасы.

Ондай тұрақтылар болса, онда

Дәлелдеу. Теңсіздікті интегралдау (4-қасиет), аламыз . 1-қасиет бойынша тұрақтыларды интегралдар астынан шығаруға болады. 3-қасиетті пайдаланып, қажетті нәтижені аламыз.

6. Орташа теорема(интегралдың мәні).

Нүкте бар , Не

Дәлелдеу. Функция тұйық шектелген жиында үздіксіз болғандықтан, оның инфимумы бар және жоғарғы жиегі . теңсіздік орындалды. Екі жағын L-ге бөлсек, аламыз . Бірақ саны функцияның төменгі және жоғарғы шекаралары арасында орналасқан. Функция тұйық L жиынында үздіксіз болғандықтан, функция белгілі бір нүктеде бұл мәнді қабылдауы керек. Демек, .

Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу.

L доғасын параметрлендіреміз: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). А нүктесіне t 0, ал В нүктесіне t 1 сәйкес болсын. Сонда бірінші текті қисық сызықты интеграл белгілі бір интегралға ( - доға ұзындығының дифференциалын есептеу үшін 1 семестрден белгілі формула):

Мысал.Біртекті (тығыздығы k-ға тең) спиральдың бір айналымының массасын есептеңіз: .

2-ші текті қисық сызықты интеграл.

Күш жұмысының мәселесі.

1. АВ аймағы-доғасын элементтерге – элементар доғаларға бөлуді осы элементтердің ішкі ортақ нүктелері болмайтындай етіп ұйымдастырыңыз және ( шарты А )

2. Бөлімнің элементтеріне «белгіленген нүктелер» M i белгілейміз және олардағы функцияның мәндерін есептейміз.

3. Интегралдық қосындыны құрастыр , мұндағы вектор -доғаның астына орналасқан хорда бойымен бағытталған.

4. Шарт бойынша шекке өту (жағдайы В ), интегралдық қосындылардың (және күш жұмысының) шегі ретінде екінші текті қисық сызықты интегралды аламыз:

. Жиі атайды

Болмыс теоремасы.

Векторлық функция кесінді тегіс L доғасында үзіліссіз болсын. Сонда екінші текті қисық сызықты интеграл интегралдық қосындылардың шегі ретінде болады.

.

Түсініктеме.Бұл шектеу тәуелді емес

А шарты орындалған кезде бөлімді таңдау әдісі

Бөлім элементтеріндегі «белгіленген нүктелерді» таңдау,

B шарты орындалған кезде, бөлімді нақтылау әдісі

2-ші текті қисық сызықты интегралдың қасиеттері.

1. Сызықтық
а) суперпозиция қасиеті

б) біртектілік қасиеті .

Дәлелдеу. Теңдіктердің сол жағындағы интегралдар үшін интегралдық қосындыларды жазып алайық. Интегралдық қосындыдағы мүшелер саны шекті болғандықтан, скаляр көбейтіндінің қасиетін пайдалана отырып, теңдіктердің оң жақтары үшін интегралдық қосындыларға көшеміз. Содан кейін біз шекке өтеміз, теңдіктегі шекке өту теоремасы бойынша біз қажетті нәтиже аламыз.

2. Аддитивтілік.
Егер , Бұл = + .

Дәлелдеу. Бөлім элементтерінің ешқайсысында (бастапқыда және бөлім нақтыланған кезде) бір уақытта L 1 және L 2 элементтері болмайтындай L доменінің бөлімін таңдайық. Мұны болмыс теоремасы (теоремаға ескерту) арқылы жасауға болады. Әрі қарай дәлелдеу 1-бөлімдегідей интегралдық қосындылар бойынша жүзеге асырылады.

3. Бағдарлылық.

= -

Дәлелдеу. Доғалық интеграл –L, яғни. доғаны айналып өтудің теріс бағытында интегралдық қосындылар шегі бар, оның шарттарында орнына () болады. Скалярлық көбейтіндіден және шекті мүшелердің қосындысынан «минусты» шығарып, шекке өтіп, қажетті нәтиже аламыз.

16.3.2.1. Бірінші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы.Айнымалылар кеңістігіне рұқсат етіңіз x,y,z функция анықталған бөліктік-тегіс қисық берілген f (x ,ж ,z ).Нүктелері бар қисық сызықты бөліктерге бөліп, әрбір доғаға ерікті нүктені таңдап, доғаның ұзындығын тауып, интегралдық қосындыны құрайық. Егер қисық сызықты доғаларға бөлу әдісіне немесе нүктелерді таңдауға тәуелді емес үшін интегралдық қосындылар тізбегінің шегі болса, онда функция f (x ,ж ,z ) қисық интегралданатын деп аталады, ал бұл шектің мәні бірінші текті қисық сызықты интеграл немесе функцияның доғасының ұзындығы бойынша қисық сызықты интеграл деп аталады. f (x ,ж ,z ) қисық бойымен және (немесе ) арқылы белгіленеді.

Болмыс теоремасы.Егер функция f (x ,ж ,z ) бөліктік тегіс қисық сызықта үздіксіз болса, онда ол осы қисыққа қатысты интеграл болады.

Тұйық қисық жағдай.Бұл жағдайда бастапқы және соңғы нүктелер ретінде қисық сызықтың ерікті нүктесін алуға болады. Тұйық қисық бұдан былай шақырылады контуржәне арқылы белгіленеді МЕН . Интеграл есептелетін қисықтың тұйық болуы әдетте интегралдық таңбадағы шеңбермен белгіленеді: .

16.3.2.2. Бірінші текті қисық сызықты интегралдың қасиеттері.Бұл интеграл үшін барлық алты қасиет белгілі, қос, үштік интеграл, бастап сызықтықбұрын орташа мән теоремасы. Оларды тұжырымдаңыз және дәлелдеңіз өз бетінше. Алайда жетінші, жеке меншік осы интеграл үшін де дұрыс:

Бірінші текті қисық сызықты интегралдың қисық бағытына тәуелсіздігі:.

Дәлелдеу.Бұл теңдіктің оң және сол жағындағы интегралдар үшін, қисық сызықтың кез келген бөлімі және нүктелерді таңдау үшін интегралдық қосындылар бірдей (әрқашан доғаның ұзындығы), сондықтан олардың шектері -де тең.

16.3.2.3. Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу. Мысалдар.Қисық параметрлік теңдеулер арқылы берілсін, мұнда үздіксіз дифференциалданатын функциялар және қисық сызықтың бөлінуін анықтайтын нүктелер параметрдің мәндеріне сәйкес болсын, яғни. . Содан кейін (13.3. Қисық ұзындықтарды есептеу бөлімін қараңыз) . Орташа мән теоремасы бойынша мынандай нүкте бар. Осы параметр мәнінен шығатын нүктелерді таңдайық: . Сонда қисық сызықты интегралдың интегралдық қосындысы анықталған интегралдың интегралдық қосындысына тең болады. , демек, теңдікте шегіне өтіп, біз аламыз

Осылайша, бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу параметр бойынша анықталған интегралды есептеуге дейін қысқарады. Егер қисық параметрлік түрде берілсе, онда бұл өту қиындық туғызбайды; сапа берілсе ауызша сипаттауқисық болса, онда негізгі қиындық қисыққа параметрді енгізу болуы мүмкін. Мұны тағы да атап өтеміз интеграция әрқашан параметрді арттыру бағытында жүзеге асырылады.

Мысалдар. 1. Есептеңіз, мұнда спиральдың бір айналымы

Мұнда анықталған интегралға көшу есептерді тудырмайды: , және -ді табамыз.

2. және нүктелерін қосатын кесіндінің үстіне бірдей интегралды есептеңіз.

Мұнда қисық сызықтың тікелей параметрлік анықтамасы жоқ, т.б AB параметрін енгізу керек. Түзудің параметрлік теңдеулері түзудің нүктесі болып табылатын бағыттаушы вектор болып табылады. Нүкте ретінде нүктені, бағыттаушы вектор ретінде векторды аламыз:. Нүкте мәнге сәйкес келетінін көру оңай , нүкте мәнге сәйкес келеді , сондықтан .

3. Цилиндрдің жазықтықпен қимасының бөлігі қай жерде екенін табыңыз z =x +1, бірінші октантта жатыр.

Шешімі:Шеңбердің параметрлік теңдеулері – цилиндрдің бағыттаушы пішіні бар x =2cosj, ж =2sinj, содан бері z=x +1, содан кейін z = 2cosj+1. Сонымен,

Сондықтан

16.3.2.3.1. Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу. Жалпақ корпус.Егер қисық қандай да бір координаталық жазықтықта жатса, мысалы, жазықтық Оху , және , онда, қарастыру функциясы арқылы беріледі X параметр ретінде интегралды есептеу үшін келесі формуланы аламыз: . Сол сияқты, қисық теңдеу арқылы берілсе, онда .

Мысал.Есептеңіз, мұндағы төртінші ширекте жатқан шеңбердің төрттен бір бөлігі.

Шешім. 1. Қарастыру X параметр ретінде, сондықтан аламыз

2. Параметр ретінде айнымалыны алсақ сағ , содан кейін және .

3. Әрине, шеңбердің әдеттегі параметрлік теңдеулерін алуға болады : .

Егер қисық полярлық координаттарда берілсе, онда , және .

1-ші түрі.

1.1.1. 1-ші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы

Ұшаққа жіберіңіз Оксиберілген қисық (L).Қисықтың кез келген нүктесін алайық (L)үздіксіз функция анықталады f(x;y).Доғаны сындырайық ABсызықтар (L)нүктелер A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bқосулы nерікті доғалар P i -1 P iұзындығымен ( i = 1, 2, n) (27-сурет)

Біз әр доға бойынша таңдаймыз P i -1 P iерікті нүкте M i (x i ; y i) ,функцияның мәнін есептеңіз f(x;y)нүктесінде М и. Интегралдық қосынды шығарайық

Мейлі, қайда.

λ→0 (n→∞), қисық қалай бөлінгеніне тәуелсіз ( Л) элементар бөліктерге емес, нүктелерді таңдаудан М и 1-ші текті қисық сызықты интегралфункциясынан f(x;y)(доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интеграл) және белгілеңіз:

Түсініктеме. Сол сияқты функцияның қисық сызықты интегралының анықтамасын енгіземіз f(x;y;z)кеңістіктік қисық бойымен (L).

физикалық мағынасы 1-ші текті қисық сызықты интеграл:

Егер (L) -сызықтық жазықтықпен жазық қисық болса, онда қисық массасын мына формула бойынша табады:

1.1.2. 1-ші текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері:

3. Интеграция жолы болсаболатындай бөліктерге бөлінеді және бір ортақ нүктесі бар болса, онда .

4. 1-ші текті қисық сызықты интеграл интегралдау бағытына тәуелді емес?

5. , мұндағы қисық сызықтың ұзындығы.

1.1.3. 1-ші текті қисық сызықты интегралды есептеу.

Қисық сызықты интегралдың есебі анықталған интегралдың есебіне келтіріледі.

1. Қисық сызық болсын (L)теңдеуімен берілген. Содан кейін

Яғни, доғаның дифференциалы формула бойынша есептеледі.

Мысал

Нүктеден түзу кесіндісінің массасын есептеңіз A(1;1)Нүктеге B(2;4),Егер .

Шешім

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі: .

Сонда түзудің теңдеуі ( AB): , .

Туындыны табайық.

Содан кейін. = .

2. Қисық сызық болсын (L)параметрлік түрде орнатыңыз: .

Сонда , яғни доғаның дифференциалы формула бойынша есептеледі.

Қисықты орнатудың кеңістіктік жағдайы үшін: .Содан кейін

Яғни, доғаның дифференциалы формула бойынша есептеледі.

Мысал

Қисықтың доғасының ұзындығын табыңыз , .

Шешім

Доғаның ұзындығын формула бойынша табамыз: .

Ол үшін доғаның дифференциалын табамыз.

, , туындыларын табыңдар.Онда доғаның ұзындығы: .

3. Қисық сызық болсын (L)полярлық координаталар жүйесінде берілген: . Содан кейін

Яғни, доғаның дифференциалы формула бойынша есептеледі.

Мысал

0≤ ≤ түзу доғасының массасын есептеңіз, егер болса.

Шешім

Доғаның массасын мына формула бойынша табамыз:

Ол үшін доғаның дифференциалын табамыз.

Туындыны табайық.

1.2. 2-ші текті қисық сызықты интеграл

1.2.1. 2-ші текті қисық сызықты интегралдың анықтамасы

Ұшаққа жіберіңіз Оксиберілген қисық (L). Болсын (L)үздіксіз функция берілген f(x;y).Доғаны сындырайық ABсызықтар (L)нүктелер A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bнүктеден бағытта АНүктеге INқосулы nерікті доғалар P i -1 P iұзындығымен ( i = 1, 2, n) (Cурет 28).

Біз әр доға бойынша таңдаймыз P i -1 P iерікті нүкте M i (x i ; y i), функцияның мәнін есептеңіз f(x;y)нүктесінде М и. Интегралдық қосындыны шығарайық, мұндағы - доға проекциясының ұзындығы P i -1 P iоське Өгіз. Егер проекция бойынша қозғалыс бағыты осьтің оң бағытымен сәйкес келсе Өгіз, содан кейін доғалардың проекциясы қарастырылады оң, әйтпесе - теріс.

Мейлі, қайда.

Егер интегралдық қосындының шегі болса λ→0 (n→∞), бұл қисықтың қалай бөлінгеніне байланысты емес (L)элементар бөліктерге емес, нүктелерді таңдаудан М иәрбір элементар бөлікте, онда бұл шек деп аталады 2-ші текті қисық сызықты интегралфункциясынан f(x;y)(координатаның үстіндегі қисық сызықты интеграл X) және белгілеңіз:

Түсініктеме. y координатасының үстіндегі қисық сызықты интеграл осылайша енгізіледі:

Түсініктеме.Егер (L)тұйық қисық болса, онда оның үстіндегі интеграл белгіленеді

Түсініктеме.қосулы болса ( Л) бірден үш функция берілген және осы функциялардың интегралдары бар, , ,

содан кейін өрнек: ++ деп аталады 2-ші текті жалпы қисық сызықты интегралжәне жазыңыз:

1.2.2. 2-ші текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері:

3. Интегралдау бағыты өзгерген кезде 2-ші текті қисық сызықты интеграл таңбасын өзгертеді.

4. Егер интегралдау жолы , және бір ортақ нүктесі болатындай бөліктерге бөлінген болса, онда

5. Егер қисық ( Л) жазықтықта жатыр:

Перпендикуляр ось О, онда =0 ;

Перпендикуляр ось Ой, Бұл;

Перпендикуляр ось Оз, содан кейін =0.

6. Тұйық қисық үстіндегі 2-ші типті қисық сызықты интеграл бастапқы нүктені таңдауға байланысты емес (қисық сызықтың бағытына ғана байланысты).

1.2.3. 2-ші текті қисық сызықты интегралдың физикалық мағынасы.

Жұмыс Абірлік массаның материалдық нүктесін нүктеден жылжытқандағы күштер Мнүктесіне Нбойымен ( М.Н) мынаған тең:

1.2.4. 2-ші текті қисық сызықты интегралды есептеу.

2-ші текті қисық сызықты интегралдың есебі анықталған интегралдың есебіне келтіріледі.

1. Қисық ( Л) теңдеуімен берілген.

Мысал

Қай жерде есептеңіз ( Л) - үзік сызық OAB: О(0;0), А(0;2), В(2;4).

Шешім

Содан бері (29-сурет), содан кейін

1) Теңдеу (OA): , ,

2) Түзу теңдеуі (AB): .

2. Қисық сызық болсын (L)параметрлік орнату: .

Түсініктеме.Кеңістіктік жағдайда:

Мысал

Есептеу

қайда ( AB)-сегментінен A(0;0;1)бұрын B(2;-2;3).

Шешім

түзудің теңдеуін табайық ( AB):

Түзу теңдеуінің параметрлік көрінісіне көшейік (AB). Содан кейін.

нүкте A(0;0;1)сәйкестік параметрі ттең: демек t=0.

нүкте B(2;-2;3)сәйкестік параметрі т, тең: сондықтан, t=1.

Көшіп жатқанда АКімге IN,параметр т 0-ден 1-ге дейін өзгереді.

1.3. Грин формуласы. L ) соның ішінде M(x; y; z)осьтермен Өгіз, ой, Оз