Қисық сызықты интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздігі потенциал өрісі қисық сызықты интегралдың потенциалды өрісті есептеуде декарттық координаталардағы потенциалды есептеу. Екінші текті қисық сызықты интегралдың интеграл жолынан тәуелсіздігінің шарттары

Дәріс 4

Тақырыбы: Грин формуласы. Тәуелсіздік шарттары қисық сызықты интегралинтеграция жолынан.

Грин формуласы.

Грин формуласы жазықтықтағы тұйық Г контуры үстіндегі қисық сызықты интеграл мен осы контурмен шектелген аймақтағы қос интеграл арасындағы байланысты орнатады.

Тұйық контурдың бойындағы қисық интеграл Г таңбасымен белгіленеді Жабық контур Г осы контурдың қандай да бір В нүктесінен басталып, В нүктесінде аяқталады. Тұйық контур бойындағы интеграл В нүктесін таңдауға тәуелді емес.

Анықтама 1. Г контурының өтуі кезінде D аймағы сол жақта қалса, Г контурының өтуі оң деп саналады. G + - контур G оң бағытта, G - - контур теріс бағытта айналып өтеді, яғни. қарама-қарсы бағытта

G+

X= x 1 (y)

X= x 2 (y)

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Қарастырыңыз қос интеграл

Сол сияқты дәлелденген:

(1) және (2) теңдіктерінен біз мынаны аламыз:

Демек,

Жасалған болжамдар бойынша Грин формуласы дәлелденді.

Ескерту 1. Грин формуласы D аймағының Г шекарасы екі нүктеден көп нүктеде 0X немесе 0Y осіне параллель кейбір түзу сызықтармен қиылысатын болса, жарамды болып қалады. Сонымен қатар, Грин формуласы n қосылған аймақтар үшін де жарамды.

Қисық сызықты интегралдың жазықтықтағы интегралдау жолынан тәуелсіздігінің шарттары.

Бұл бөлімде қисық сызықты интеграл интегралдау жолына тәуелді емес, интегралдаудың бастапқы және соңғы нүктелеріне тәуелді болатын жағдайларды анықтаймыз.

1-теорема. Қисықсызықты интеграл үшін жай байланысқан домендегі интеграция жолына тәуелді емес, осы домендегі кез келген тұйық кесінді тегіс контурдан алынған бұл интегралдың нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеу: Қажеттілік.Берілген: интеграция жолына тәуелді емес. Кез келген тұйық кесінді тегіс контурдың қисық сызықты интегралы нөлге тең екенін дәлелдеу қажет.

Қарастырылып отырған D аймағында еркін кесінді-тегіс тұйық контур Γ алынсын.Γ контурында біз еркін В және С нүктелерін аламыз.

Ол интеграциялық жолға тәуелді болмағандықтан, онда

, яғни.

Адекваттылық. Берілген: Қисықсызықты интеграл кез келген тұйық кесінді-тегіс контур бойымен нөлге тең.

Интегралдың интегралдау жолына тәуелді еместігін дәлелдеу талап етіледі.

В және С нүктелерін қосатын екі кесінді-тегіс контурдың үстіндегі қисық сызықты интегралды қарастырайық. Шарты бойынша:

Анау. қисық сызықты

интеграл интегралдау жолына тәуелді емес.

2-теорема.Жартылай туындыларымен бірге және жай байланысқан D облысында үзіліссіз болсын. Қисық сызықты интеграл интегралдау жолынан тәуелсіз болуы үшін D облысында сәйкестендіру қажет және жеткілікті.

Дәлелдеу: жеткіліктілік.Берілген: . Оның интеграциялық жолға тәуелді еместігін дәлелдеу талап етіледі. Бұл үшін мынаны дәлелдеу жеткілікті кез келген тұйық кесінді-тегіс контур бойымен нөлге тең. Грин формуласы бойынша бізде:

Қажеттілік.Берілген: 1-теорема бойынша қисық сызықты интеграл интегралдау жолына тәуелді емес. Мұны дәлелдеу талап етіледі

Домен оның шекарасы қосылған жиын болса, жай қосылған деп аталады. Домен n-қосылған деп аталады, егер оның шекарасы n-қосылған жиындарға бөлінсе.

Түсініктеме. Грин формуласы көбейтілген қосылған домендер үшін де дұрыс.

Интеграл (A, B – D нүктесінен кез келген нүктелер) интегралдау жолынан тәуелсіз болуы үшін (бірақ тек бастапқы және соңғы A, B нүктелерінде) кез келген тұйық қисық бойымен (кез келген қисық бойымен) қажет және жеткілікті. контур) D-де жатқанда интеграл нөлге тең =0 болды

Дәлелдеу (қажет). (4) интегралдау жолынан тәуелсіз болсын. D аймағында жатқан ерікті С контурын қарастырып, осы контурда екі ерікті А, В нүктелерін таңдаңыз. Сонда C қисығын екі қисық AB=G2 , AB=G1 , C=Г - 1 + G2 бірігуі ретінде көрсетуге болады.

Теорема 1. Қисықсызықты интеграл D интегралдау жолынан тәуелсіз болуы үшін қажет және жеткілікті

аймағында D. Жеткілікті. Егер қанағаттандырылса, кез келген С контуры үшін Грин формуласы болады осыдан қажетті бекіту леммадан кейін келеді. Қажеттілік. Лемма бойынша кез келген контур үшін = 0. Содан кейін, осы контурмен шектелген D аймағы үшін Жасыл формулаға сәйкес = 0. Орташа мән бойынша теорема=mDor==0. Шектеуге өтіп, контурды бір нүктеге дейін қысқарта отырып, біз оны осы нүктеде аламыз.

Теорема 2. (4) қисық сызықты интеграл D-да интегралдау жолынан тәуелсіз болуы үшін Pdx+Qdy интегралының D облысындағы кейбір u функциясының толық дифференциалы болуы қажет және жеткілікті. du = Pdx+Qdy. Адекваттылық. Орындалсын, содан кейін қажеттілік. Интеграл интегралдау жолынан тәуелсіз болсын. D облысындағы кейбір А0 нүктесін бекітеміз және u(A) = u(x,y)= функциясын анықтаймыз

Бұл жағдайда

XО (xО). Осылайша, =P туындысы бар. Сол сияқты =Q екенін тексереміз. Жасалған болжамдар бойынша u функциясы үздіксіз дифференциалданатын болып шығады және du = Pdx+Qdy.

32-33. 1-ші және 2-ші текті қисық сызықты интегралдардың анықтамасы

Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интеграл (1-ші түр)

К тегіс қисығының AB доғасының нүктелерінде f(x, y) функциясы анықталған және үздіксіз болсын. Доғаны t0..tn нүктелері арқылы n элементар доғаға ерікті түрде бөлейік. доға. Әрбір элементар доғаға ерікті N(k,k) нүктесін алайық және осы нүктені санға көбейтейік. доғаның ұзындығын үш интегралдық қосынды жасаймыз:

1 =f(k,k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k,k)yk, мұндағы хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1

max(lk)  0 болған жағдайда доғаның ұзындығы бойынша 1-ші текті қисық сызықты интегралды 1 интегралдық қосындысының шегі деп атайды.

Егер   0 кезінде интегралдық қосындының шегі 2 немесе 3 болса, онда бұл шек шақырылады. 2-ші түрдегі қисық сызықты интеграл, l = AB қисығы бойындағы P(x,y) немесе Q(x,y) функциялары және былай белгіленеді:
немесе

сомасы:
+
2-ші текті жалпы қисық сызықты интегралды деп атайды және келесі таңбамен белгілейді:
бұл жағдайда f(x,y), P(x,y), Q(x,y) функциялары l = AB қисығы бойынша интегралданатын деп аталады. l қисығының өзі контур деп аталады немесе А интегралдау арқылы – бастапқы, В – интегралдаудың соңғы нүктелері, dl – доға ұзындығының дифференциалы, сондықтан 1-ші текті қисық сызықты интеграл деп аталады. қисық доғаның үстіндегі қисық сызықты интеграл, ал екінші түрі - функцияның үстінде..

Қисық сызықты интегралдардың анықтамасынан 1-ші текті интегралдардың l қисығының А және В нүктелерінен немесе В мен А нүктелерінен өтетін бағытына тәуелді емес екендігі шығады. АВ бойынша 1-ші текті қисық сызықты интеграл:

, 2-ші текті қисық сызықты интегралдар үшін қисық сызықтың өту бағытының өзгеруі таңбаның өзгеруіне әкеледі:

Егер l тұйық қисық болса, яғни t.В А нүктесімен сәйкес келсе, онда тұйық контурды айналып өтуге арналған екі мүмкін бағыттың ішінде l, контурдың ішінде жатқан аймаққа қатысты солға қарай қалатын бағыт. ??? оң деп аталады. айналма жолды жасау, яғни қозғалыс бағыты сағат тіліне қарсы. Айналманың қарама-қарсы бағыты теріс деп аталады. Оң бағытта өтетін l тұйық контур бойымен қисық сызықты интегралды АВ мына таңбамен белгіленеді:

Кеңістіктік қисық үшін 1-ші текті 1 интеграл дәл осылай енгізіледі:

және 2-ші текті үш интегралдар:

соңғы үш интегралдың қосындысы деп аталады. 2-ші текті жалпы қисық сызықты интеграл.

1-ші текті қисық сызықты интегралдардың кейбір қолданылуы.

1.Интеграл
- доғаның ұзындығы АВ

2. 1-ші текті интегралдың механикалық мағынасы.

Егер f(x,y) = (x,y) материал доғасының сызықтық тығыздығы болса, онда оның массасы:

3. Материалдық доғаның массалар центрінің координаталары:

4. Айналу басы мен осьтеріне қатысты xy жазықтығында жатқан доғаның инерция моменті ox, oy:

5. Бірінші текті интегралдың геометриялық мағынасы

z = f(x,y) функциясының xy жазықтығында жатқан материал доғасының барлық нүктелерінде f(x,y)>=0 ұзындығының өлшемі болсын, онда:

, мұнда S - цилиндрлік беттің ауданы, мысық оксиге, шығысқа перпендикулярдан тұрады. АВ қисығының M(x, y) нүктелерінде.

2-ші текті қисық сызықты интегралдардың кейбір қолданылуы.

L шекарасы бар D жазық ауданының ауданын есептеу

2. Қуат жұмысы. Материалдық нүкте күштің әсерінен В-ден С-ге қарай өтетін үздіксіз жазық ВС қисығы бойымен қозғалсын, осы күштің жұмысы:

2-ші текті қисық сызықты интегралды қарастырайық, мұндағы Л- қисық сызықтарды қосу нүктелері МЖәне Н. Функцияларға рұқсат етіңіз P(x, y)Және Q(x, y)кейбір доменде үздіксіз ішінара туындылары бар D, ол бүкіл қисықты қамтиды Л. Қарастырылған қисық сызықты интеграл қисық пішініне тәуелді болмайтын жағдайларды анықтайық. Л, бірақ тек нүктелердің орналасқан жерінде МЖәне Н.

Екі ерікті қисық сызыңыз MPNЖәне MQN, аумақта жатыр Dжәне қосу нүктелері МЖәне Н(Cурет 1).

М НКүріш. 1. П

Осыны делік, яғни

Сосын қайда Л- қисық сызықтардан құралған тұйық контур MPNЖәне NQM(демек, оны ерікті деп санауға болады). Сонымен, 2-ші текті қисық сызықты интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздік шарты кез келген тұйық контур үстіндегі мұндай интегралдың нөлге тең болуы шартына тең.

Теорема 1.Кейбір аймақтың барлық нүктелеріне рұқсат етіңіз Dфункциялары үздіксіз P(x, y)Және Q(x, y)және олардың жартылай туындылары және . Содан кейін кез келген жабық цикл үшін Л, аумақта жатыр D, шарты

Облыстың барлық нүктелерінде = болуы қажет және жеткілікті D.

Дәлелдеу .

1) Жеткілікті: шарт = орындалсын. Ерікті тұйық циклды қарастырайық Лоблыста D, аумақты шектеу С, және ол үшін Грин формуласын жазыңыз:

Сонымен, жеткіліктілігі дәлелденді.

2) Қажеттілік: ауданның әрбір нүктесінде шарт орындалды делік D, бірақ бұл аймақта кем дегенде бір нүкте бар, онда - ≠ 0. Мысалы, нүктеде болсын. P(x0, y0)-> 0. Теңсіздіктің сол жағында үздіксіз функция болғандықтан, ол оң болады және кейбір шағын ауданда кейбір δ > 0-ден үлкен болады. D'қамтитын нүкте Р. Демек,

Демек, Грин формуласы бойынша біз мынаны аламыз, мұнда L`- аумақты шектейтін контур D'. Бұл нәтиже шартқа қайшы келеді. Демек, = аймақтың барлық нүктелерінде D, ол дәлелдеуге тиіс болды.

Ескерту 1 . Сол сияқты, үш өлшемді кеңістік үшін қисық сызықты интегралдың тәуелсіздігі үшін қажетті және жеткілікті жағдайларды дәлелдеуге болады.

интеграция жолынан мыналар табылады:

Ескерту 2. (28/1.18) шарттар орындалғанда өрнек Pdx+Qdy+Rdzкейбір функцияның толық дифференциалы Және. Бұл қисық сызықты интегралдың есебін мәндер арасындағы айырмашылықты анықтауға дейін азайтуға мүмкіндік береді. Жәнебастап интегралдау контурының соңында және бастапқы нүктелерінде

Сонымен қатар, функция Жәнеформуласы арқылы табуға болады

қайда ( x0, y0, z0)– ауданнан нүкте D, а Cерікті тұрақты болып табылады. Шынында да, функциялардың ішінара туындылары екенін тексеру оңай Және(28/1.19) формуласымен берілген P, QЖәне Р.

Қисықсызықты интегралды қарастырайық

кейбір тегіс қисық бойымен алынған Лқосу нүктелері МЖәне Н. функциялары деп есептейміз P(x, y)Және Q(x, y)қарастырылатын аймақта үздіксіз ішінара туындылары бар D. Жазылған қисық сызықты интеграл қандай жағдайда қисық пішініне тәуелді болмайтынын анықтайық. Л, бірақ тек бастапқы және соңғы нүктелердің орнына байланысты МЖәне Н.

Екі ерікті қисықты қарастырайық MPNЖәне MQN, қарастырылатын аумақта жатыр Dжәне қосу нүктелері МЖәне Н. Болсын

(1)

Сонда қисық сызықты интегралдардың 1 және 4 қасиеттеріне сүйене отырып, бізде:

анау. тұйық контур интегралы Л

Соңғы формулада қисық сызықты интеграл тұйық контур бойынша алынады Л, қисық сызықтардан тұрады MPNЖәне NQM. Бұл схема Лерікті деп санауға болатыны анық.

Осылайша, шарттан:

кез келген екі M және N нүктелері үшін қисық сызықты интеграл оларды қосатын қисықтың пішініне тәуелді емес, тек осы нүктелердің орнына байланысты болады, ол былай: Не кез келген тұйық контурдағы қисық сызықты интеграл нөлге тең .

Керісінше де дұрыс:

егер кез келген тұйық контурдағы қисық сызықты интеграл нөлге тең болса, онда бұл қисық интеграл кез келген екі нүктені қосатын қисықтың пішініне тәуелді емес, бірақ олардың позициясына ғана байланысты ұпай . Шынында да, теңдік (2) теңдікті білдіреді (1)

Теорема

P(x, y), Q(x, y) функциялары олардың жеке туындыларымен бірге және кейбір D облысының барлық нүктелерінде үзіліссіз болсын. Сонда осы аймақта жатқан кез келген тұйық контур L қисық сызықты интеграл нөлге тең болуы үшін, яғни. дейін

(2΄)

теңдігі қажет және жеткілікті

D барлық нүктелерінде.

Дәлелдеу

Ерікті тұйық циклды қарастырайық Лоблыста Dжәне ол үшін Грин формуласын жазамыз:

Егер (3) шарт орындалса, сол жақтағы қос интеграл бірдей нөлге тең, демек,

Осылайша, сәйкестік(3) шарты дәлелденді.

Дәлелдейік енді қажеттілікбұл шарт, яғни. кез келген тұйық қисық үшін (2) теңдігі орындалатынын дәлелдейміз Лоблыста D, онда (3) шарты осы аймақтың әрбір нүктесінде орындалады.

Керісінше, (2) теңдік орындалды деп есептейік, яғни,

және шарт (3) орындалмайды, яғни.

кем дегенде бір сәтте. Мысалы, бір сәтте бізде теңсіздік пайда болсын

Өйткені теңсіздіктің сол жағында үздіксіз функция, онда ол нүктені қамтитын кейбір жеткілікті аз ауданның барлық нүктелерінде оң және кейбір саннан үлкен болады. Айырманың осы аймағындағы қос интегралды алайық. Ол болады оң мән. Шынымен,

Бірақ Грин формуласына сәйкес, соңғы теңсіздіктің сол жағы аймақтың шекарасындағы қисық сызықты интегралға тең, ол болжам бойынша нөлге тең. Демек, соңғы теңсіздік (2) шартқа қайшы келеді, сондықтан оның кем дегенде бір нүктеде нөлден айырмашылығы бар деген болжам дұрыс емес. Демек, осыдан шығады

ауданның барлық нүктелерінде D.

Осылайша, теорема толығымен дәлелденді.

Оқу кезінде дифференциалдық теңдеулершарттың орындалғаны дәлелденді

өрнекке тең pdf + Qdyкейбір функцияның толық дифференциалы u(x, y), яғни.

Бірақ бұл жағдайда вектор

функция градиенті бар u(x, y);

Функция u(x, y), градиенті векторына тең, деп аталады потенциалбұл вектор.

Соны дәлелдеп көрейік бұл жағдайда қисық сызықты интеграл M және N нүктелерін қосатын кез келген L қисығы бойымен функция мәндерінің және осы нүктелердегі айырмашылыққа тең:

Дәлелдеу

Егер Рdx + Qdyфункцияның толық дифференциалы болып табылады u(x, y), онда қисық сызықты интеграл пішінді қабылдайды

Бұл интегралды есептеу үшін жазамыз параметрлік теңдеулерқисық Лқосу нүктелері МЖәне Н:

Жақшадағы өрнек функциясы болып табылады тқатысты функцияның толық туындысы болып табылады т. Сондықтан

Көріп отырғанымыздай толық дифференциалдың қисық сызықты интегралы интегралдау орындалатын қисықтың пішініне тәуелді емес.

Осылайша:

екінші текті қисық сызықты интегралдар үшін тәуелсіздік шарттарыинтеграциялық жолдың пішінінен мыналар табылады:

Кейбір аймақта болса P(x, y)Және Q(x, y) үздіксізолардың және -мен бірге, содан кейін:

1. ауданда D пішінге тәуелсізинтеграциялық жолдар, егер оның мәндері барлық мүмкін кесінді тегіс қисықтардың бойында болсаберілген аймақта жатқан және ортақ басы мен ортақ аяғы бар бірдей.

2. кез келген тұйық қисық бойымен интеграл Лаймақта жатыр D - нөл.

3. мұндай функция бар u(x, y), ол үшін өрнек pdx+qdyжалпы дифференциал бар, яғни.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. осы салада, шарт қанағаттандырылатын еді

ауданның әрбір нүктесінде D.

Интегралдау контурына тәуелді емес интегралды есептеу

Ең тиімді интегралдау жолы ретінде буындары Ox және Oy осьтеріне параллель болатын және нүктелерін қосатын сынық сызықты таңдау керек.

интеграл P(x, y)dx + Q(x, y)dyбұл шарттарда толық дифференциалкейбір функция u= u(x, y)анау.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Функция u(x, y)(антитуынды) сынық сызық бойынша сәйкес қисық сызықты интегралды есептеу арқылы табуға болады, мұнда кез келген қозғалмайтын нүкте, B(x, y)айнымалы нүкте, ал нүктенің координаттары бар XЖәне . Содан кейін бізде және dy = 0, және бізде бар x = constЖәне dx = 0.

Біз келесі формуланы аламыз:

Сол сияқты, біз алатын үзік сызық арқылы біріктіру

Мысалдар

1. Есептеу

Бұл интеграл интегралдау контурына тәуелді емес, өйткені

Интегралдау жолы ретінде байланыстары координат осьтеріне параллель болатын сынық сызықты таңдайық. Бірінші бөлімде:

Екінші бөлімде:

Демек,

2. Антитуындыны табыңыз u, Егер

Контур болсын TOүзілген сызық болып табылады OMN. Содан кейін

3. Егер болса табыңыз

Мұнда бастапқы нүктені алу мүмкін емес, өйткені функцияның осы нүктесінде P(x, y)Және Q(x, y)анықталмаған, сондықтан бастапқы нүкте үшін, мысалы, . Содан кейін

4. Эллипспен қоршалған ауданды табыңыз

XOU жазықтығында орналасқан және тұйық С сызығымен шектелген фигураның ауданы формула бойынша есептеледі.

мұндағы С контуры оң бағытта айналып өтеді.

Қисық сызықты интегралды алмастыру арқылы анықталғанға айналдырамыз

Параметр т 0-ден 2π аралығында болады.

Осылайша

3. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңіз ЛЕгер Лциклоид доғасы болып табылады

«ҚЫСҚЫСЫЗЫҚ ИНТЕГРАЛ» ТАҚЫРЫП БОЙЫНША ТАПСЫРМА

1 нұсқа

Мұндағы L – XOY жазықтығына жататын A (0;-2) және В (4;0) түзу кесіндісі.

L:OAB полисызығы бойымен, мұндағы O(0,0), A(2,0), B(4,5). Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

Координаталар бойынша, егер L I-ші ширекте жатқан эллипс доғасы болса.

Мұндағы L – төбелері А(1,1), В(2,2), С(1,3) болатын үшбұрыштың контуры. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

, және оны табыңыз.

7. Күш өрісі координаталар басынан оның әсер ету нүктесінің қашықтығына тең және координаталар басына бағытталған F(x,y) күшімен құрылады. Қозғалысқа жұмсалған өріс күшінің жұмысын табыңыз материалдық нүкте(2; 4) нүктесінен (4; 4) нүктесіне дейінгі y 2 \u003d 8x парабола доғасының бойындағы бірлік массасы.

2-нұсқа

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L – O (0; 0) және А (1; 2) нүктелерін қосатын түзу кесіндісі.

2. Қисықсызықты интегралды есептеңдер , егер L параболаның А(-1;1) нүктесінен В(1,1) нүктесіне дейінгі доғасы болса. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L шеңбер доғасы болса 1 және 2 шаршыларда жатыр. Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз , мұндағы L - контурды сағат тіліне қарсы айналып өткен кезде OX осінің сызығы мен сегменті арқылы құрылған контур.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Күш өрісінің әрбір нүктесінде күш ординатаның теріс жартылай осінің бағытына ие және әсер ету нүктесінің абциссасының квадратына тең. Бірлік массаны парабола бойымен (1,0) нүктесінен (0,1) нүктесіне жылжытқандағы дала жұмысын табыңыз.

3-нұсқа

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

1. Мұндағы L – парабола арқылы қиылған параболаның доғасы.

2. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L түзу кесінді болса, А (0,1), В (2,3) нүктесінің қосылымы. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Егер L циклоидтың бірінші доғасының доғасы болса, қисық сызықты интегралды есептеңіз.Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз Мұндағы L – эллипс Контурды сағат тіліне қарсы айналдыру.

5. Интеграл үшін интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздік шарты орындалатынын анықтаңыз. , және оны табыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Материалдық нүктені эллипстің жоғарғы жартысы бойымен жылжытқандағы күш жұмысын есептеңіз А нүктесінен (а, 0), В нүктесіне (-а, 0).

4-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

1. Мұндағы L – шаршының контуры

2. Қисық сызықты интегралды есептеңіз, егер L А нүктесінің параболасының доғасы (0,0), В (1,1) нүктесіне. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L эллипстің жоғарғы жартысы болса Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз, мұндағы L – төбелері А (1; 0), В (1; 1), С (0,1) болатын үшбұрыштың контуры. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

5. Интеграл үшін интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздік шарты орындалғанын анықтаңыз және оны табыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Шеңбердің әрбір нүктесінде координаталық осьтерге проекциялары болатын күш әсер етеді. Материалдық нүктені шеңбер бойымен жылжытқанда күштің атқаратын жұмысын анықтаңыз. Неліктен жұмыс нөлге тең?

5-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L – 0 (0,0) және А (4; 2) нүктелерін қосатын түзу кесінді.

2. Қисық сызықты интегралды есептеңіз, егер L қисық сызықты A(0,1) нүктесін, В нүктесіне (-1,e) қосатын доға болса. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Егер L шеңбердің 1-ші ширегі болса, қисық сызықты интегралды есептеңдер. Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз мұндағы L - контур, шектелген және контурды сағат тіліне қарсы айналдырыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Өріс радиустың бағытымен бұрыш жасайтын күшпен / / = бағытымен - оны қолдану нүктесінің векторымен қалыптасады. Массасы m материалдық нүктені дөңгелек доғаның бойымен (a, 0) нүктесінен (0, а) нүктесіне жылжытқандағы дала жұмысын табыңыз.

6-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L - I ширекте жатқан шеңбердің төрттен бір бөлігі.

2. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L ABC сынық сызығы болса, A(1;2), B(1;5), C(3;5). Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Егер L шеңбердің жоғарғы жартысы болса, қисық сызықты интегралды есептеңіз Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз мұндағы L - контур, шектеулі , Контурды сағат тіліне қарсы айналып өту.

5. Интеграл үшін интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздік шарты орындалғанын анықтаңыз және оны табыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Күштің әсер ету нүктесі эллипстің төрттен бір бөлігін сағат тіліне қарсы сипаттайтын болса, басына бағытталған серпімділік күшінің жұмысын табыңыз. I квадрантта жатыр. Бұл күштің шамасы нүктенің бас нүктесінен қашықтығына пропорционал.

7-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L – параболаның (1, 1/4) нүктесінен (2;1) нүктесіне дейінгі бөлігі.

2. Қисықсызықты интегралды есептеңдер мұндағы L – В(1;2) және В (2;4) нүктелерін қосатын түзу кесінді. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Егер L циклоидтың бірінші доғасы болса, қисық сызықты интегралды есептеңіз Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Масса бірлігінің материалдық нүктесі ось координатасындағы проекциялары болатын күштің әсерінен шеңбер бойымен қозғалады. . Әр шеңбердің басындағы күшті салыңыз. Контур бойынша жұмысты табыңыз.

8-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L – төбелері 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2) нүктелеріндегі тіктөртбұрыштың контуры.

2. Егер L параболаның А (0;0) нүктесінен В (1;2) нүктесіне дейінгі доғасы болса, қисық сызықты интегралды есептеңіз. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L шаршыда жатқан шеңбердің бөлігі болса 1. Контурдың сағат тілімен өтуі.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз, мұндағы L – төбелері А (0; 0), В (1; 0), С (0; 1) үшбұрыштың контуры.Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

5. Интеграл үшін интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздік шарты орындалғанын анықтаңыз және оны табыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Материалдық нүкте эллипс бойымен қозғалады мәні нүктенің эллипс центріне дейінгі қашықтығына тең және эллипс центріне қарай бағытталған күштің әсерінен. Нүкте бүкіл эллипсті айналып өтетін болса, күштің атқаратын жұмысын есептеңіз.

9-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L – нүктелер арасында жатқан параболаның доғасы

A , B (2; 2).

2. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L А(5;0) және В(0,5) нүктелерін қосатын түзудің кесіндісі болса. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L эллипс доғасы болса сәйкес нүктелер арасында Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, L - шеңбер болатын интегралды есептеңіз. Контурды сағат тіліне қарсы айналдырыңыз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Қисықтың әрбір нүктесіне күш қолданылады, оның координаталық осьтердегі проекциялары М (-4; 0) нүктесінен қисық бойымен бірлік массаның материалдық нүктесін жылжытқанда күштің жұмысын анықтаңыз. N нүктесіне (0; 2).

10-нұсқа.

1. Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеңдер (декарттық координаталар).

Мұндағы L – А нүктелерін қосатын түзу кесіндісі

2. А(1;0) нүктесінен В(е,5) дейінгі қисық доғасы L болса, қисық сызықты интегралды есептеңіз. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

3. Қисықсызықты интегралды есептеңдер егер L 1U шаршыда жатқан шеңбер доғасы болса. Контурды сағат тілімен айналдырыңыз.

4. Грин формуласын қолданып, интегралды есептеңіз, мұндағы L – төбелері А (1; 0), В (2; 0), С (1; 2) үшбұрыштың контуры. Контурды сағат тіліне қарсы айналып өтіңіз.

6. Берілген өрнек U(x,y) функциясының толық дифференциалы екенін тексеріп, оны табыңыз.

7. Түзудің әрбір нүктесіне проекциялары координаталық осьтерге күш әсер етеді Материалдық нүктені түзу бойымен M (1; 0) нүктесінен N (0; 3) нүктесіне жылжытқанда күштің атқаратын жұмысын есептеңдер.

Интеграция жолынан 2-ші түрі

2-ші түрдегі қисық сызықты интегралды қарастырайық, мұндағы L - M және N нүктелерін қосатын қисық. P(x, y) және Q(x, y) функцияларының кейбір D облысында үзіліссіз ішінара туындылары болсын, онда қисық L толығымен жатыр.Қарап жатқан қисық интеграл L қисығының пішініне тәуелді емес, тек M және N нүктелерінің орналасуына байланысты болатын шарттарды анықтайық.

D аймағында жататын және M мен N нүктелерін қосатын екі ерікті MSN және MTN қисығын салайық (14-сурет).

Айталық, бұл

мұндағы L - MSN және NTM қисықтарынан тұратын тұйық контур (демек, оны ерікті деп санауға болады). Сонымен, 2-ші текті қисық сызықты интегралдың интегралдау жолына тәуелсіз болу шарты кез келген тұйық контурдағы мұндай интеграл нөлге тең болу шартына тең.

5-теорема (Жасыл теорема). P(x, y) және Q(x, y) функциялары және олардың дербес туындылары u кейбір D облысының барлық нүктелерінде үздіксіз болсын. Содан кейін D облысында жататын кез келген тұйық контур L шартты қанағаттандыру үшін

D доменінің барлық нүктелерінде = болуы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеу.

1) Жеткілікті: шарт = орындалсын. S аймағын шектейтін D аймағындағы ерікті тұйық L контурын қарастырып, оның Жасыл формуласын жазыңыз:

Сонымен, жеткіліктілігі дәлелденді.

2) Қажеттілік: шарт D аймағының әрбір нүктесінде орындалды делік, бірақ бұл аймақта кем дегенде бір нүкте бар, онда - ? 0. Мысалы, P(x0, y0) нүктесінде бізде: - > 0. Теңсіздіктің сол жағында үздіксіз функция болғандықтан, ол оң және кейбіреулерінен үлкен бола ма? > 0 P нүктесі бар кейбір шағын D` аймағында. Сондықтан,

Демек, Грин формуласы бойынша біз оны аламыз

мұндағы L` - D` аймағын шектейтін контур. Бұл нәтиже шартқа қайшы келеді. Демек, дәлелденуі тиіс D доменінің барлық нүктелерінде =.

Ескертпе 1. Сол сияқты үш өлшемді кеңістік үшін қисық сызықты интегралдың тәуелсіздігінің қажетті және жеткілікті шарттары болатынын дәлелдеуге болады.

интеграция жолынан мыналар табылады:

Ескертпе 2. (52) шарттарда Pdx + Qdy + Rdz өрнегі кейбір u функциясының толық дифференциалы болып табылады. Бұл қисық сызықты интегралды есептеуді интегралдау контурының соңындағы және бастапқы нүктелеріндегі мәндері арасындағы айырмашылықты анықтауға дейін азайтуға мүмкіндік береді, өйткені

Бұл жағдайда және функциясын формула арқылы табуға болады

мұндағы (x0, y0, z0) – D нүктесі, ал С – ерікті тұрақты. Шынында да, (53) формуламен берілген функцияның жеке туындылары P, Q және R-ге тең екенін тексеру оңай.

10-мысал

2-ші түрдегі қисық сызықты интегралды есептеңіз

(1, 1, 1) және (2, 3, 4) нүктелерін қосатын ерікті қисық бойымен.

Шарттардың (52) орындалғанына көз жеткізейік:

Демек, функция бар. Оны x0 = y0 = z0 = 0 орнатып (53) формула бойынша табайық. Содан кейін

Осылайша, және функциясы ерікті тұрақты мүшеге дейін анықталады. С = 0, онда u = xyz алайық. Демек,