Квадрат теңдеудің түбірлері. Теңдеу және оның түбірлері: анықтамалар, мысалдар Қай теңдеудің түбірі жоқ

Теңдіктер түсінігін, атап айтқанда олардың бір түрі – сандық теңдіктерді зерттегеннен кейін тағы бір маңызды түр – теңдеулерге көшуге болады. Осы материал аясында біз теңдеу деген не және оның түбірін түсіндіріп, негізгі анықтамаларын тұжырымдап, береміз. әртүрлі мысалдартеңдеулер және олардың түбірін табу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Теңдеу туралы түсінік

Әдетте теңдеу ұғымы мектептегі алгебра курсының ең басында оқытылады. Содан кейін ол келесідей анықталады:

Анықтама 1

Теңдеубелгісіз саны бар теңдік деп аталады.

Белгісіздерді кішкентай латын әріптерімен белгілеу әдеттегідей, мысалы, t, r, m және т.б., бірақ көбінесе x, y, z қолданылады. Басқаша айтқанда, теңдеу оның жазылу формасын анықтайды, яғни белгілі бір пішінге келтіргенде ғана теңдік теңдеу болады – оның құрамында әріп болуы керек, оның мәнін табу керек.

Ең қарапайым теңдеулерге бірнеше мысал келтірейік. Бұл х = 5, у = 6 және т.б. түріндегі теңдіктер, сондай-ақ арифметикалық амалдарды қамтитын теңдіктер болуы мүмкін, мысалы, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

Жақша ұғымы зерттеліп болғаннан кейін жақшасы бар теңдеулер ұғымы пайда болады. Оларға 7 (x − 1) = 19 , x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3, т.б. кіреді. Табылатын әріп бірнеше рет болуы мүмкін, бірақ бірнеше, мысалы, x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 теңдеуі. Сондай-ақ белгісіздер тек сол жақта ғана емес, оң жақта немесе екі бөлікте де бір уақытта орналасуы мүмкін, мысалы, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 немесе 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Әрі қарай оқушылар тұтас, нақты, ұтымды ұғымдармен танысқаннан кейін, натурал сандар, сонымен қатар логарифмдер, түбірлер және дәрежелер, осы нысандардың барлығын қамтитын жаңа теңдеулер пайда болады. Біз мұндай өрнектердің мысалдарына жеке мақала арнадық.

7-сыныпқа арналған бағдарламада ең алдымен айнымалылар ұғымы пайда болады. Бұл қабылдауға болатын әріптер әртүрлі мағыналар(Қосымша мәліметтер алу үшін сандық, әріптік және айнымалы өрнектер туралы мақаланы қараңыз.) Осы тұжырымдамаға сүйене отырып, біз теңдеуді қайта анықтай аламыз:

Анықтама 2

теңдеумәні есептелетін айнымалыны қамтитын теңдік.

Яғни, мысалы, x + 3 \u003d 6 x + 7 өрнегі x айнымалысы бар теңдеу, ал 3 y - 1 + y \u003d 0 - y айнымалысы бар теңдеу.

Бір теңдеуде бір емес, екі немесе одан да көп айнымалы болуы мүмкін. Олар сәйкесінше екі, үш айнымалысы бар теңдеулер деп аталады және т.б. Анықтамасын жазайық:

Анықтама 3

Екі (үш, төрт немесе одан да көп) айнымалысы бар теңдеулер белгісіздердің тиісті санын қамтитын теңдеулер деп аталады.

Мысалы, 3, 7 x + 0, 6 = 1 түріндегі теңдік бір х айнымалысы бар теңдеу, ал x − z = 5 екі x және z айнымалысы бар теңдеу. Үш айнымалысы бар теңдеудің мысалы ретінде x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 болады.

Теңдеудің түбірі

Теңдеу туралы айтатын болсақ, бірден оның түбірі ұғымын анықтау қажет болады. Оның нені білдіретінін түсіндіруге тырысайық.

1-мысал

Бізге бір айнымалыны қамтитын теңдеу берілген. Егер белгісіз әріптің орнына санды қойсақ, онда теңдеу сандық теңдікке айналады - ақиқат немесе жалған. Сонымен, егер a + 1 \u003d 5 теңдеуінде біз әріпті 2 санымен ауыстырсақ, онда теңдік дұрыс емес болады, ал 4 болса, 4 + 1 \u003d 5 дұрыс теңдігін аламыз.

Бізді айнымалы шынайы теңдікке айналатын мәндер көбірек қызықтырады. Олар тамырлар немесе ерітінділер деп аталады. Анықтамасын жазып алайық.

Анықтама 4

Теңдеудің түбіріберілген теңдеуді шын теңдікке айналдыратын айнымалының мәнін ата.

Түбірді шешім деп те атауға болады немесе керісінше – бұл екі ұғым да бір мағынаны білдіреді.

2-мысал

Бұл анықтаманы нақтылау үшін мысал келтірейік. Жоғарыда a + 1 = 5 теңдеуін бердік. Анықтамаға сәйкес, бұл жағдайда түбір 4 болады, өйткені әріпті ауыстырған кезде ол дұрыс сандық теңдікті береді, ал екеуі шешім болмайды, өйткені ол қате 2 + 1 \u003d 5 теңдігіне сәйкес келеді.

Бір теңдеудің қанша түбірі болуы мүмкін? Әрбір теңдеудің түбірі бар ма? Осы сұрақтарға жауап берейік.

Бір түбірі жоқ теңдеулер де бар. Мысал 0 x = 5 болады. Біз шексіз көпті алмастыра аламыз әртүрлі сандар, бірақ олардың ешқайсысы оны жарамды теңдікке айналдырмайды, өйткені 0-ге көбейту әрқашан 0 береді.

Бірнеше түбірі бар теңдеулер де бар. Оларда шекті де, шексіз де болуы мүмкін көп санытамырлар.

3-мысал

Сонымен, x - 2 \u003d 4 теңдеуінде бір ғана түбір бар - алты, x 2 \u003d 9 екі түбір - үш және минус үш, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 үш түбір. - нөл, бір және екі, x=x теңдеуінде шексіз көп түбірлер бар.

Енді теңдеудің түбірлерін қалай дұрыс жазу керектігін түсіндіреміз. Егер олар болмаса, онда былай жазамыз: «теңдеудің түбірі жоқ». Сондай-ақ бұл жағдайда бос жиынның белгісін көрсетуге болады ∅ . Егер түбірлер болса, оларды үтірмен бөліп жазамыз немесе бұйра жақшаға алып жиынның элементтері ретінде көрсетеміз. Сонымен, кез келген теңдеудің үш түбірі болса - 2, 1 және 5, онда біз жазамыз - 2, 1, 5 немесе (- 2, 1, 5) .

Түбірлерді қарапайым теңдіктер түрінде жазуға рұқсат етіледі. Сонымен, егер теңдеудегі белгісіз y әрпімен белгіленсе, ал түбірлері 2 және 7 болса, онда y \u003d 2 және y \u003d 7 деп жазамыз. Кейде әріптерге жазылулар қосылады, мысалы, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Осылайша біз түбірлердің сандарын көрсетеміз. Егер теңдеудің шексіз көп шешімдері болса, онда жауапты сандық интервал ретінде жазамыз немесе жалпы қабылданған белгілерді пайдаланамыз: натурал сандар жиыны N, бүтін сандар - Z, нақты сандар - R деп белгіленеді. Айталық, егер кез келген бүтін сан теңдеудің шешімі болады деп жазу керек болса, онда x ∈ Z деп жазамыз, ал егер кез келген нақты сан біреуден тоғызға дейін болса, онда у ∈ 1, 9 болады.

Теңдеудің екі, үш немесе одан да көп түбірлері болса, әдетте олар түбірлер туралы емес, теңдеудің шешімдері туралы айтады. Бірнеше айнымалысы бар теңдеудің шешімінің анықтамасын тұжырымдаймыз.

Анықтама 5

Екі, үш немесе одан да көп айнымалысы бар теңдеудің шешімі бұл теңдеуді шынайы сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың екі, үш немесе одан да көп мәндері болып табылады.

Анықтаманы мысалдармен түсіндірейік.

4-мысал

Бізде x + y = 7 өрнегі бар делік, ол екі айнымалысы бар теңдеу. Біріншісінің орнына біреуін, екіншісінің екеуін ауыстырыңыз. Біз қате теңдік аламыз, яғни бұл мәндер жұбы бұл теңдеудің шешімі болмайды. Егер 3 және 4 жұбын алсақ, онда теңдік ақиқатқа айналады, бұл шешімді тапқанымызды білдіреді.

Мұндай теңдеулердің түбірі де болмауы мүмкін немесе олардың шексіз саны болуы мүмкін. Егер екі, үш, төрт немесе одан да көп мәндерді жазу керек болса, онда оларды үтір арқылы жақшаға бөліп жазамыз. Яғни, жоғарыдағы мысалда жауап (3 , 4) сияқты болады.

Тәжірибеде көбінесе бір айнымалысы бар теңдеулермен айналысуға тура келеді. Оларды шешу алгоритмін теңдеулерді шешуге арналған мақалада егжей-тегжейлі қарастырамыз.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Теңдіктер туралы жалпы түсінік алып, олардың бір түрімен - сандық теңдіктермен танысқаннан кейін, сіз практикалық тұрғыдан өте маңызды теңдіктің басқа түрі - теңдеулер туралы айта аласыз. Бұл мақалада біз талдаймыз теңдеу қандай, және теңдеудің түбірі деп нені атайды. Мұнда сәйкес анықтамаларды береміз, сонымен қатар теңдеулер мен олардың түбірлеріне әртүрлі мысалдар келтіреміз.

Бетті шарлау.

Теңдеу дегеніміз не?

Теңдеулермен мақсатты түрде танысу әдетте 2-сыныптағы математика сабақтарында басталады. Осы уақытта келесі теңдеудің анықтамасы:

Анықтама.

теңдеутабылуы керек белгісіз санды қамтитын теңдік.

Теңдеулерде белгісіз сандар әдетте шағын латын әріптерімен белгіленеді, мысалы, p, t, u, т.б., бірақ көбінесе x, y және z әріптері қолданылады.

Осылайша, теңдеу белгілеу формасы тұрғысынан анықталады. Басқаша айтқанда, теңдік белгіленген белгілеу ережелеріне бағынатын теңдеу болып табылады - онда мәнін табу қажет әріп бар.

Мұнда бірінші және ең көп мысалдар келтірілген қарапайым теңдеулер. x=8 , y=3 , т.б. сияқты теңдеулерден бастайық. Сандар мен әріптермен қатар арифметикалық амалдардың белгілерін қамтитын теңдеулер біршама күрделірек көрінеді, мысалы, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

Танысқаннан кейін теңдеулердің әртүрлілігі артады - жақшалары бар теңдеулер пайда бола бастайды, мысалы, 2 (x−1)=18 және x+3 (x+2 (x−2))=3 . Белгісіз әріп теңдеуде бірнеше рет пайда болуы мүмкін, мысалы, x+3+3 x−2−x=9 , ал әріптер теңдеудің сол жағында, оң жағында немесе екі жағында болуы мүмкін. теңдеу, мысалы, x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 немесе 3 x−4=2 (x+12) .

Одан әрі натурал сандарды зерттегеннен кейін бүтін сандармен, рационал, нақты сандармен танысады, жаңа математикалық объектілер: градустар, түбірлер, логарифмдер және т.б. зерттеледі, сонымен бірге осы заттарды қамтитын теңдеулердің жаңа түрлері көбірек пайда болады. Мысалдар мақаладан табуға болады. теңдеулердің негізгі түрлерімектепте оқыған.

7-сыныпта кейбір нақты сандарды білдіретін әріптермен бірге олар әртүрлі мәндерді қабылдай алатын әріптерді қарастыра бастайды, олар айнымалылар деп аталады (мақаланы қараңыз). Бұл жағдайда теңдеудің анықтамасына «айнымалы» сөзі енгізіледі және ол келесідей болады:

Анықтама.

Теңдеумәні табылатын айнымалысы бар теңдікті атаңыз.

Мысалы, x+3=6 x+7 теңдеуі x айнымалысы бар теңдеу, ал 3 z−1+z=0 — z айнымалысы бар теңдеу.

Сол 7-сыныпта алгебра сабақтарында олардың жазбаларында бір емес, екі түрлі белгісіз айнымалысы бар теңдеулермен кездесу өткізіледі. Олар екі айнымалысы бар теңдеулер деп аталады. Болашақта теңдеу жазбасында үш немесе одан да көп айнымалылардың болуына рұқсат етіледі.

Анықтама.

Бір, екі, үш және т.б. теңдеулер. айнымалылар- бұл олардың жазбасында сәйкесінше бір, екі, үш, ... белгісіз айнымалыларды қамтитын теңдеулер.

Мысалы, 3.2 x+0.5=1 теңдеуі бір х айнымалысы бар теңдеу, өз кезегінде x−y=3 түріндегі теңдеу x және y екі айнымалысы бар теңдеу болып табылады. Және тағы бір мысал: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Мұндай теңдеу x, y және z белгісіз үш айнымалысы бар теңдеу екені анық.

Теңдеудің түбірі қандай?

Теңдеудің түбірін анықтау теңдеуді анықтаумен тікелей байланысты. Біз теңдеудің түбірі не екенін түсінуге көмектесетін кейбір пайымдауларды орындаймыз.

Бізде бір әріпті (айнымалы) бар теңдеу бар делік. Егер осы теңдеудің жазбасына енгізілген әріптің орнына белгілі бір сан қойылса, онда теңдеу сандық теңдікке айналады. Оның үстіне алынған теңдік ақиқат та, жалған да болуы мүмкін. Мысалы, а+1=5 теңдеуіндегі а әрпінің орнына 2 санын қойсақ, онда 2+1=5 дұрыс емес сандық теңдік шығады. Бұл теңдеудегі а санының орнына 4 санын қойсақ, 4+1=5 дұрыс теңдігін аламыз.

Тәжірибеде, басым көпшілігінде теңдеуге ауыстыру дұрыс теңдік беретін айнымалының осындай мәндері қызығушылық тудырады, бұл мәндер осы теңдеудің түбірлері немесе шешімдері деп аталады.

Анықтама.

Теңдеудің түбірі- бұл әріптің (айнымалының) мәні, оны ауыстырғанда теңдеу дұрыс сандық теңдікке айналады.

Бір айнымалысы бар теңдеудің түбірі теңдеудің шешімі деп те аталатынын ескеріңіз. Басқаша айтқанда, теңдеудің шешімі мен теңдеудің түбірі бір нәрсе.

Бұл анықтаманы мысалмен түсіндірейік. Ол үшін a+1=5 жоғарыда жазылған теңдеуге қайтамыз. Теңдеудің түбірінің дауысты анықтамасы бойынша 4 саны бұл теңдеудің түбірі болып табылады, өйткені бұл санды а әрпінің орнына қойғанда 4+1=5 дұрыс теңдігін аламыз, ал 2 саны емес. оның түбірі, өйткені ол 2+1= 5 түріндегі қате теңдікке сәйкес келеді.

Осы кезде бірқатар табиғи сұрақтар туындайды: «Кез келген теңдеудің түбірі бар ма, ал берілген теңдеудің неше түбірі бар?»? Біз оларға жауап береміз.

Түбірлері бар теңдеу де, түбірі жоқ теңдеу де бар. Мысалы, х+1=5 теңдеуінің түбірі 4, ал 0 х=5 теңдеуінің түбірі жоқ, өйткені бұл теңдеуде х айнымалысының орнына қандай санды қойсақ та, қате 0= теңдігін аламыз. 5.

Теңдеудің түбірлерінің санына келетін болсақ, түбірі қандай да бір шекті (бір, екі, үш, т.б.) болатын теңдеулер де, түбірі шексіз көп теңдеулер де бар. Мысалы, x−2=4 теңдеуінің бір түбірі 6 , x 2 =9 теңдеуінің түбірлері екі −3 және 3 саны, x (x−1) (x−2)=0 теңдеуінде үш түбірлері 0 , 1 және 2 , ал x=x теңдеуінің шешімі кез келген сан, яғни оның түбірлерінің шексіз саны бар.

Теңдеу түбірлерінің қабылданған белгісі туралы бірнеше сөз айту керек. Егер теңдеудің түбірі болмаса, әдетте олар «теңдеудің түбірі жоқ» деп жазады немесе бос жиынның ∅ белгісін қолданады. Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар үтір арқылы жазылады немесе былай жазылады элементтерді орнатубұйра жақшада. Мысалы, егер теңдеудің түбірі −1, 2 және 4 сандары болса, онда −1, 2, 4 немесе (−1, 2, 4) деп жазыңыз. Теңдеудің түбірлерін жай теңдіктер түрінде жазуға да болады. Мысалы, теңдеуге х әрпі кірсе және бұл теңдеудің түбірі 3 және 5 сандары болса, онда x=3, x=5 деп жазуға болады және x 1 =3, x 2 =5 жазылулары жиі қосылады. сандарды теңдеудің түбірін көрсететіндей айнымалыға. Теңдеудің түбірлерінің шексіз жиыны әдетте түрінде жазылады, сонымен қатар мүмкін болса, N натурал сандар, Z бүтін сандар, R нақты сандар жиындарының белгіленуі қолданылады. Мысалы, егер х айнымалысы бар теңдеудің түбірі кез келген бүтін сан болса, онда y айнымалысы бар теңдеудің түбірлері 1-ден 9-ға дейінгі кез келген нақты сан болса, онда деп жаз.

Екі, үш және одан да көп айнымалысы бар теңдеулер үшін, әдетте, «теңдеу түбірі» термині пайдаланылмайды, мұндай жағдайларда олар «теңдеудің шешімі» деп аталады. Бірнеше айнымалысы бар теңдеулерді шешу қалай аталады? Тиісті анықтама берейік.

Анықтама.

Екі, үш және т.б. бар теңдеуді шешу. айнымалыларжұпқа, үшке және т.б. бұл теңдеуді шынайы сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәндері.

Түсіндіретін мысалдарды көрсетеміз. Екі айнымалысы бар теңдеуді қарастырайық x+y=7 . Бізде 1+2=7 теңдігі болған кезде х орнына 1 санын, у орнына 2 санын қоямыз. Әлбетте, бұл дұрыс емес, сондықтан x=1 , y=2 мәндері жазылған теңдеудің шешімі емес. Егер x=4 , y=3 мәндерінің жұбын алсақ, онда теңдеуге ауыстырғаннан кейін мынаған келеміз. шынайы теңдік 4+3=7, сондықтан айнымалы мәндердің бұл жұбы анықтамасы бойынша x+y=7 теңдеуінің шешімі болып табылады.

Бір айнымалысы бар теңдеулер сияқты бірнеше айнымалысы бар теңдеулердің түбірі болмауы мүмкін, түбірлердің шектеулі саны болуы мүмкін немесе шексіз көп түбірлері болуы мүмкін.

Жұптық, үштік, төрттік, т.б. айнымалы мәндер жиі қысқаша жазылады, олардың мәндері жақша ішінде үтірмен бөлінген. Бұл жағдайда жақшадағы жазылған сандар алфавиттік тәртіптегі айнымалыларға сәйкес келеді. Алдыңғы x+y=7 теңдеуіне оралу арқылы осы тармақты нақтылайық. Бұл теңдеудің шешімін x=4 , y=3 қысқаша (4, 3) түрінде жазуға болады.

Ең көп назар аударылған мектеп курсыматематика, алгебра және талдаудың бастамалары бір айнымалысы бар теңдеулердің түбірін табуға берілген. Бұл процестің ережелерін мақалада егжей-тегжейлі талдаймыз. теңдеулерді шешу.

Әдебиеттер тізімі.

• Математика. 2 ұяшық Прок. жалпы білім беруге арналған adj бар мекемелер. электронға. тасымалдаушы. Сағат 2-де 1-бөлім / [М. И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова және т.б.] – 3-бас. - М.: Білім, 2012. - 96 б.: сырқат. - (Ресей мектебі). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:оқулық 7 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 17-ші басылым. - М. : Білім, 2008. - 240 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М. : Білім, 2009. - 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Математикада теңдеулерді шешу ерекше орын алады. Бұл процестің алдында теорияны оқып-үйренудің көптеген сағаттары өтеді, оның барысында студент теңдеулерді шешуді, олардың формасын анықтауды және дағдыны толық автоматизмге жеткізуді үйренеді. Дегенмен, тамырларды іздеу әрқашан мағынасы жоқ, өйткені олар жай ғана болмауы мүмкін. Түбірлерді табудың арнайы әдістері бар. Бұл мақалада біз негізгі функцияларды, олардың анықтау облыстарын, сондай-ақ олардың түбірлері жоқ жағдайларды талдаймыз.

Қай теңдеудің түбірі жоқ?

Егер теңдеу бірдей ақиқат болатын нақты х аргументтері болмаса, теңдеудің түбірі болмайды. Маман емес адам үшін бұл тұжырым, көптеген математикалық теоремалар мен формулалар сияқты, өте анық емес және дерексіз болып көрінеді, бірақ бұл теорияда. Іс жүзінде бәрі өте қарапайым болады. Мысалы: 0 * x = -53 теңдеуінің шешімі жоқ, өйткені ондай х саны жоқ, оның нөлмен көбейтіндісі нөлден басқасын береді.

Енді біз теңдеулердің ең негізгі түрлерін қарастырамыз.

1. Сызықтық теңдеу

Теңдеу сызықтық деп аталады, егер оның оң және сол жақтары келесі түрде берілген сызықтық функциялар: ax + b \u003d cx + d немесе жалпыланған түрде kx + b \u003d 0. Мұндағы a, b, c, d - белгілі сандар, ал x - белгісіз мән. Қай теңдеудің түбірі жоқ? Сызықтық теңдеулердің мысалдары төмендегі суретте көрсетілген.

Негізінде, сызықтық теңдеулер жай ғана сандық бөлікті бір бөлікке және х мазмұнын екіншісіне ауыстыру арқылы шешіледі. mx \u003d n түріндегі теңдеу шығады, мұнда m және n - сандар, ал x - белгісіз. х-ті табу үшін екі бөлікті де m-ге бөлу жеткілікті. Сонда x = n/m. Негізінде сызықтық теңдеулердің бір ғана түбірі бар, бірақ түбірі шексіз көп немесе мүлде болмайтын жағдайлар да кездеседі. m = 0 және n = 0 болғанда, теңдеу 0 * x = 0 түрін алады. Мұндай теңдеудің шешімі абсолютті кез келген сан болады.

Бірақ қандай теңдеудің түбірі жоқ?

m = 0 және n = 0 үшін теңдеудің нақты сандар жиынынан түбірлері жоқ. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - бұл теңдеулердің түбірі жоқ.

2. Квадрат теңдеу

Квадрат теңдеу - бұл ax 2 + bx + c \u003d 0 үшін \u003d 0 түріндегі теңдеу. Ең көп таралғаны - дискриминант арқылы шешу. Дискриминантты табу формуласы квадрат теңдеу: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Әрі қарай, екі түбір бар x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 үшін теңдеудің екі түбірі, D = 0 үшін бір түбірі болады. Бірақ қандай квадрат теңдеудің түбірі жоқ? Квадрат теңдеудің түбірлерінің санын бақылаудың ең оңай жолы - функцияның графигі, ол парабола. a > 0 үшін тармақтар жоғары, а үшін< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Сондай-ақ, дискриминантты есептеместен түбірлердің санын визуалды түрде анықтауға болады. Ол үшін параболаның төбесін тауып, бұтақтардың қай бағытқа бағытталғанын анықтау керек. Шыңның x координатасын мына формула бойынша анықтауға болады: x 0 \u003d -b / 2a. Бұл жағдайда төбенің у координатасы х0 мәнін бастапқы теңдеуге жай ғана қою арқылы табылады.

x 2 - 8x + 72 = 0 квадрат теңдеуінің түбірі жоқ, өйткені оның теріс дискриминанты D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Бұл параболаның х осіне тимейтінін және функция ешқашан 0 мәнін алмайтынын білдіреді, демек теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

3. Тригонометриялық теңдеулер

Тригонометриялық функциялар тригонометриялық шеңберде қарастырылады, бірақ олар да бейнеленуі мүмкін Декарттық жүйекоординаттар. Бұл мақалада біз екі негізгі нәрсені қарастырамыз тригонометриялық функцияларжәне олардың теңдеулері: sinx және cosx. Бұл функциялар радиусы 1, |sinx| болатын тригонометриялық шеңберді құрайтындықтан және |cosx| 1-ден үлкен болуы мүмкін емес. Сонда қандай синкс теңдеуінің түбірі жоқ? Қарастырыңыз функция графигі sinx төмендегі суретте көрсетілген.

Функцияның симметриялы және қайталану периоды 2pi болатынын көреміз. Осыған сүйене отырып, бұл функцияның ең үлкен мәні 1, ал ең азы -1 болуы мүмкін деп айта аламыз. Мысалы, cosx = 5 өрнегінің түбірлері болмайды, өйткені ол абсолютті мәнде бірден үлкен.

Бұл тригонометриялық теңдеулердің ең қарапайым мысалы. Шын мәнінде, олардың шешімі көптеген беттерді алуы мүмкін, оның соңында сіз қате формуланы қолданғаныңызды түсінесіз және бәрін қайтадан бастау керек. Кейде, тіпті түбірлерді дұрыс тапқан кезде де, сіз ODZ шектеулерін ескеруді ұмыта аласыз, соның салдарынан жауапта қосымша түбір немесе интервал пайда болады және бүкіл жауап қатеге айналады. Сондықтан барлық шектеулерді қатаң сақтаңыз, өйткені барлық тамырлар тапсырманың көлеміне сәйкес келмейді.

4. Теңдеулер жүйесі

Теңдеулер жүйесі деп бұйра немесе шаршы жақшалармен біріктірілген теңдеулер жиынтығын айтады. Бұйра жақшалар барлық теңдеулердің бірлескен орындалуын білдіреді. Яғни, егер теңдеулердің кем дегенде біреуінің түбірі болмаса немесе екіншісіне қайшы келсе, бүкіл жүйенің шешімі болмайды. Шаршы жақшалар «немесе» сөзін білдіреді. Бұл жүйенің кем дегенде бір теңдеуінің шешімі болса, онда бүкіл жүйенің шешімі бар дегенді білдіреді.

c жүйесінің жауабы жеке теңдеулердің барлық түбірлерінің жиынтығы болып табылады. Ал бұйра жақшалары бар жүйелерде тек ортақ тамырлар бар. Теңдеулер жүйесі мүлдем басқа функцияларды қамтуы мүмкін, сондықтан бұл күрделілік қай теңдеудің түбірі жоқ екенін бірден айтуға мүмкіндік бермейді.

Проблемалық кітаптар мен оқулықтарда бар әртүрлі түрлерітеңдеулер: түбірлері бар және олар жоқ. Біріншіден, егер сіз тамыр таба алмасаңыз, олар мүлдем жоқ деп ойламаңыз. Мүмкін сіз бір жерде қателескен шығарсыз, онда шешіміңізді мұқият екі рет тексеру жеткілікті.

Біз ең негізгі теңдеулер мен олардың түрлерін қарастырдық. Енді қай теңдеудің түбірі жоқ екенін анықтауға болады. Көп жағдайда мұны істеу қиын емес. Теңдеулерді шешуде табысқа жету үшін тек зейін мен шоғырлану қажет. Көбірек жаттығыңыз, бұл материалды әлдеқайда жақсы және жылдам шарлауға көмектеседі.

Сонымен, теңдеудің түбірі болмайды, егер:

• В сызықтық теңдеу mx = n мәні m = 0 және n = 0;
• егер дискриминант нөлден кіші болса, квадрат теңдеуде;
• В тригонометриялық теңдеу cosx = m / sinx = n, егер |m| түріндегі > 0, |n| > 0;
• ең болмағанда бір теңдеудің түбірі болмаса және барлық теңдеулердің түбірі болмаса, төртбұрышты жақшалары бар теңдеулер жүйесінде бұйра жақшалары бар.

Квадрат теңдеуді қарастырайық:
(1) .
Квадрат теңдеудің түбірлері(1) формулалар бойынша анықталады:
; .
Бұл формулаларды келесідей біріктіруге болады:
.
Квадрат теңдеудің түбірлері белгілі болғанда, екінші дәрежелі көпмүшені көбейткіштердің көбейтіндісі (көбейткіш) ретінде көрсетуге болады:
.

Әрі қарай, біз мынаны санаймыз - нақты сандар.
Қарастырыңыз квадрат теңдеудің дискриминанты:
.
Егер дискриминант оң болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі түрлі нақты түбірі болады:
; .
Сонда квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу келесідей болады:
.
Егер дискриминант нөлге тең болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі еселі (тең) нақты түбірі болады:
.
Факторизация:
.
Егер дискриминант теріс болса, онда (1) квадрат теңдеудің екі күрделі конъюгаттық түбірі болады:
;
.
Мұндағы елестету бірлік, ;
және түбірлердің нақты және елес бөліктері:
; .
Содан кейін

.

Графикалық интерпретация

Функцияның графигін салсақ
,
ол парабола болса, онда графтың осімен қиылысу нүктелері теңдеудің түбірлері болады
.
Кезде, график абсцисса осін (осін) екі нүктеде қиып өтеді.
болғанда, график бір нүктеде х осіне тиеді.
болғанда, график х осінен өтпейді.

Төменде осындай графиктердің мысалдары берілген.

Квадрат теңдеулерге қатысты пайдалы формулалар

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

Түрлендірулерді орындаймыз және (f.1) және (f.3) формулаларын қолданамыз:




,
Қайда
; .

Сонымен, біз екінші дәрежелі көпмүшенің формуласын алдық:
.
Осыдан теңдеу екенін көруге болады

орындалады
Және .
Яғни және квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады
.

Квадрат теңдеудің түбірлерін анықтау мысалдары

1-мысал

(1.1) .

.
(1.1) теңдеуімен салыстыра отырып, коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Дискриминантты табу:
.
Дискриминант оң болғандықтан теңдеудің екі нақты түбірі болады:
;
;
.

Осыдан квадрат үшмүшенің көбейткіштерге ыдырауын аламыз:

.

y = функциясының графигі 2 x 2 + 7 x + 3х осін екі нүктеде кесіп өтеді.

Функцияның графигін салайық
.
Бұл функцияның графигі парабола. Ол х осін (осін) екі нүктеде кесіп өтеді:
Және .
Бұл нүктелер (1.1) бастапқы теңдеудің түбірлері болып табылады.

;
;
.

2-мысал

Квадрат теңдеудің түбірін табыңыз:
(2.1) .

Квадрат теңдеуді жалпы түрде жазамыз:
.
Бастапқы (2.1) теңдеуімен салыстыра отырып, коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Дискриминантты табу:
.
Дискриминант нөлге тең болғандықтан, теңдеудің екі еселі (тең) түбірі болады:
;
.

Сонда үшмүшені көбейткіштерге жіктеу келесідей болады:
.

y = x функциясының графигі 2 - 4 x + 4бір нүктеде x осіне тиеді.

Функцияның графигін салайық
.
Бұл функцияның графигі парабола. Ол бір нүктеде x осіне (осіне) тиеді:
.
Бұл нүкте (2.1) бастапқы теңдеудің түбірі болып табылады. Бұл түбір екі есе бөлінетіндіктен:
,
онда мұндай түбір еселік деп аталады. Яғни, олар екі бірдей түбір бар деп есептейді:
.

;
.

3-мысал

Квадрат теңдеудің түбірін табыңыз:
(3.1) .

Квадрат теңдеуді жалпы түрде жазамыз:
(1) .
Бастапқы (3.1) теңдеуді қайта жазайық:
.
(1)-мен салыстыра отырып, коэффициенттердің мәндерін табамыз:
.
Дискриминантты табу:
.
Дискриминант теріс, . Сондықтан нақты тамырлар жоқ.

Сіз күрделі түбірлерді таба аласыз:
;
;

Функцияның графигін салайық
.
Бұл функцияның графигі парабола. Ол абсциссаны (осьті) кесіп өтпейді. Сондықтан нақты тамырлар жоқ.

Нақты тамырлар жоқ. Күрделі тамырлар:
;
;
.