Шығару функциясын орнату тәсілдері. Функция. Функцияны орнату тәсілдері. Функцияның графигін салу кезінде ескеру қажет қасиеттері. Функцияны құрудың графикалық тәсілі

Дәріс: Функция туралы түсінік. Функцияның негізгі қасиеттері.

Дәріс беруші: Горячева А.О.

ТУРАЛЫ. : Х және У жиындарының арасындағы сәйкестік ережесі (заңы) деп аталады, оған сәйкес Х жиынының әрбір элементі үшін У жиынының бір және бір ғана элементі табылуы мүмкін.функциясы .

Функция анықталған деп саналады, егер:

X функциясының ауқымы белгіленген;

Y функциясы мәндерінің ауданы орнатылған;

Сәйкестік ережесі (заңы) белгілі және аргументтің әрбір мәні үшін функцияның тек бір мәнін табуға болатындай. Функцияның бірегейлігінің бұл талабы міндетті болып табылады.

ТУРАЛЫ. : y = f(x) функциясы анықталған х аргументінің барлық жарамды мәндерінің Х жиыны деп аталады.функция ауқымы .

Функция қабылдайтын барлық нақты y мәндерінің Y жиыны деп аталадыфункция диапазоны .

Функцияларды анықтаудың кейбір жолдарын қарастырайық.

Кестелік әдіс . Өте кең таралған, ол жеке аргумент мәндерінің және оларға сәйкес функция мәндерінің кестесін орнатудан тұрады. Функцияны анықтаудың бұл әдісі функцияның анықталу облысы дискретті ақырлы жиын болған кезде қолданылады.

Графикалық әдіс . y = f(x) функциясының графигі – координаталары берілген теңдеуді қанағаттандыратын жазықтықтағы барлық нүктелердің жиыны.

Функцияны көрсетудің графикалық тәсілі әрқашан аргументтің сандық мәндерін дәл анықтауға мүмкіндік бермейді. Дегенмен, оның басқа әдістерге қарағанда үлкен артықшылығы бар - көріну. Инженерлік және физикада функцияны орнатудың графикалық әдісі жиі қолданылады, ал график бұл үшін қол жетімді жалғыз әдіс болып табылады.

Аналитикалық әдіс . Көбінесе аргумент пен функция арасындағы байланысты белгілейтін заң формулалар арқылы нақтыланады. Функцияны анықтаудың бұл жолы аналитикалық деп аталады.

Бұл әдіс х аргументінің әрбір сандық мәніне у функциясының сәйкес сандық мәнін дәл немесе белгілі бір дәлдікпен табуға мүмкіндік береді.

ауызша жол . Бұл әдіс сол функционалдық тәуелділіксөздермен берілген.

1-мысал: E(x) функциясы х санының бүтін бөлігі. Жалпы, E(x) = [x] x-тен аспайтын ең үлкен бүтін санды білдіреді. Басқаша айтқанда, егер x = r + q болса, мұндағы r бүтін сан (теріс болуы мүмкін) және q = r интервалына жатады. E(x) = [x] функциясы = r интервалында тұрақты.

2-мысал: у = (х) функциясы – санның бөлшек бөлігі. Дәлірек айтқанда, y =(x) = x - [x], мұндағы [x] - x санының бүтін бөлігі. Бұл функция барлық x үшін анықталған. Егер x- ерікті сан, содан кейін оны x = r + q (r = [x]) түрінде көрсету, мұндағы r - бүтін сан және q - интервалда жатыр; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Функция қабылдайтын барлық x мәндерін табыңыз теріс мәндер(e-сурет):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) ж)

6. Функция теріс емес мән қабылдайтын барлық x мәндерін табыңыз (e-сурет):

1) (I-сурет).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

з) мен)

9. y аргументінің қандай мәндері үшін<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

к) л)

10. Х-тің қандай мәндерінде функцияның мәні оң болады (l-сурет)?

Функция ұғымы Функцияны анықтау жолдары Функция мысалдары Функцияның аналитикалық анықтамасы Функцияны графикалық жолмен анықтау Нүктедегі функцияның шегі Функцияны анықтаудың кестелік жолы Шекті теоремалар Шектің бірегейлігі Шекті болатын функцияның шектелуі шектеу Теңсіздіктегі шекке өту Функцияның шексіздіктегі шегі Шексіз аз функциялар Шексіз аз функциялардың қасиеттері

Функция ұғымы жиын ұғымы сияқты негізгі және түпнұсқа болып табылады. X нақты сандардың кейбір жиыны болсын. Егер қандай да бір заң бойынша әрбір x ∈ X-ке белгілі бір нақты у саны берілген болса, онда олар Х жиынында функция берілгенін айтып, жазады.Осылай енгізілген функция сандық деп аталады. Бұл жағдайда Х жиыны функцияның анықталу облысы деп, ал тәуелсіз х айнымалысы аргумент деп аталады. Функцияны көрсету үшін кейде сәйкестік заңын білдіретін символ ғана пайдаланылады, яғни f (x) n және jester орнына жай ғана /. Осылайша, функция беріледі, егер 1) анықтау облысы көрсетілген болса 2) ереже /, әрбір а мәніне тағайындайды: € X белгілі бір сан y \u003d / (x) - осы мәнге сәйкес функцияның мәні х аргументінің. / және g функциялары тең деп аталады, егер олардың анықтау облыстары сәйкес келсе және f(x) = g(x) теңдігі олардың ортақ облысындағы х аргументінің кез келген мәні үшін ақиқат болса. Сонымен, у функциялары тең емес; олар тек [O, I] интервалында тең. Функция мысалдары. 1. (o„) реті f(n) = an (n = 1,2,...) болатындай натурал сандар жиынында анықталған бүтін аргументтің функциясы болып табылады. 2. y = n функциясы? («en-факториалды» оқыңыз). Натурал сандар жиынында берілген: әрбір натурал n саны 1-ден n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісімен байланысты: сонымен қатар, 0! = 1. Белгілеу белгісі латынның signum – белгі сөзінен шыққан. Бұл функция бүкіл сандар жолында анықталған, оның мәндерінің жиыны үш саннан тұрады -1,0, I (1-сурет). y = |x), мұндағы (x) x нақты санның бүтін бөлігін білдіреді, яғни [x| - аспайтын ең үлкен бүтін сан Оқылады: - ойын antie x ”(fr. entier) тең. Бұл функция бүкіл сан осіне орнатылады және оның барлық мәндерінің жиыны бүтін сандардан тұрады (2-сурет). Функцияны анықтау әдістері Функцияны анықтау аналитикалық. y = f(x) функциясы аналитикалық түрде көрсетілген деп аталады, егер ол сәйкес мәнді алу үшін х-тің әрбір мәніне қандай амалдарды орындау керектігін көрсететін формула арқылы анықталса. ж. Мысалы, функция аналитикалық түрде беріледі. Бұл жағдайда функцияның облысы (егер ол алдын ала көрсетілмесе) х аргументінің барлық нақты мәндерінің жиыны ретінде түсініледі, ол үшін функцияны анықтайтын аналитикалық өрнек тек нақты және соңғы мәндерді қабылдайды. Осы мағынада функцияның анықталу облысы оның өмір сүру облысы деп те аталады. Функция үшін анықтау облысы сегмент болып табылады y - sin x функциясы үшін анықтау облысы бүкіл сандық ось болып табылады. Әрбір формула функцияны анықтай бермейтінін ескеріңіз. Мысалы, формула ешқандай функцияны анықтамайды, өйткені жоғарыда жазылған екі түбірде де нақты мәндер болатын x-тің бірде-бір нақты мәні жоқ. Функцияның аналитикалық тағайындалуы өте күрделі болып көрінуі мүмкін. Атап айтқанда, функция оның анықтау облысының әртүрлі бөліктерінде әртүрлі формулалар арқылы анықталуы мүмкін. Мысалы, функцияны келесідей анықтауға болады: 1.2. Функцияны көрсетудің графикалық жолы y = f(x) функциясы графикалық түрде көрсетілген деп аталады, егер оның кестесі көрсетілген болса, яғни. абсциссалары функцияның анықталу облысына жататын, ал ординаталары функцияның сәйкес мәндеріне тең xOy жазықтығындағы нүктелер жиыны (xy/(x)) (4-сурет). Әрбір функция үшін емес, оның графигін суретте бейнелеуге болады. Мысалы, Дирихле функциясы, егер x рационал болса, х иррационал болса, ZX \o, мұндай көрсетуге мүмкіндік бермейді. R(x) функциясы бүкіл сандық осьте берілген және оның мәндерінің жиыны 0 және 1 екі санынан тұрады. 1.3. Функцияны көрсетудің кестелік әдісі, егер аргументтің кейбір мәндері үшін функцияның сандық мәндерін қамтитын кесте берілсе, функция кестелік деп аталады. Функция кестеде анықталған кезде оның анықтау облысы тек кестеде көрсетілген x\t x2i..., xn мәндерінен тұрады. §2. Функцияның нүктедегі шегі Функцияның шегі ұғымы математикалық талдаудың негізгі орны болып табылады. f(x) функциясы кеңейтілген (Коши) нүктесінің өзін қоспағанда, xq нүктесінің кейбір Q төңірегінде анықталсын. А саны f(x) функциясының x0 нүктесіндегі шегі деп аталады, егер кез келген e > 0 саны үшін ерікті түрде кіші болуы мүмкін сан болса.<5 >0, шартты қанағаттандыратын барлық iGH.i^ x0 үшін теңсіздік ақиқат болатындай Функцияның анықтамасы Функцияның анықтамасы Функциялардың мысалдары Функцияның аналитикалық анықтамасы Функцияның графикалық анықтамасы Функцияның нүктедегі шегі Кестелік жол функцияны анықтаудың Шекті теоремалары Шектеудің бірегейлігі Шегі бар функцияның шектелуі Теңсіздіктегі шекке көшу Функцияның шексіздіктегі шегі Шексіз аз функциялар Шексіз аз функциялардың қасиеттері Белгі: Логикалық белгілердің көмегімен бұл анықтама өрнектеледі. төмендегідей.Мысалдар. 1. Нүктедегі функцияның шегінің анықтамасын пайдаланып, Функцияның барлық жерде анықталғанын көрсетіңіз, соның ішінде zo = 1 нүктесі: /(1) = 5. Кез келгенін алыңыз. |(2x + 3) - 5| теңсіздігі үшін орын алды, келесі теңсіздіктерді орындау керек Сондықтан, алсақ, бізде болады. Бұл 5 саны функцияның шегі екенін білдіреді: 2 нүктесінде. Функция шегінің анықтамасын пайдаланып, функция xo = 2 нүктесінде анықталмағанын көрсетіңіз. -Xq = 2 нүктесі, мысалы, х = 0 нүктесі жоқ ( 1, 5) аралықта, мұнда /(x) функциясы да анықталмаған. Ерікті c > 0 санын алып, |/(x) - 2| өрнегін түрлендіріңіз x f 2 үшін төмендегідей x b (1, 5) үшін теңсіздікті аламыз Бұдан 6 \u003d c алсақ, онда барлық x € (1,5) үшін шартқа байланысты теңсіздік ақиқат болатыны анық. А - 2 саны берілген функцияның нүктедегі шегі Функцияның нүктедегі шегі ұғымына оның графигіне сілтеме жасай отырып, геометриялық түсініктеме берейік (5-сурет). x үшін /(x) функциясының мәндері M \ M қисығы нүктелерінің ординаталарымен, x > ho үшін - MM2 қисығы нүктелерінің ординаталарымен анықталады. /(x0) мәні N нүктесінің ординатасымен анықталады. Бұл функцияның графигі M\MMg «жақсы» қисығын алып, қисықтағы M(x0, A) нүктесін нүктемен ауыстырсақ шығады. jV. f(x) функциясының xo нүктесінде шегі бар екенін көрсетейік, санына тең A (М нүктесінің ординатасы). Кез келген (еркін шағын) e > 0 санын алыңыз. Oy осіне A, A - e, A + e ординаталары бар нүктелерді белгілеңіз. y \u003d / (x) функциясының графигінің қиылысу нүктелерін P және Q арқылы белгілеңіз. ) y \u003d A - enu = A + e сызықтарымен.Осы нүктелердің абсциссалары сәйкесінше x0 - hx0 + hi болсын (ht > 0, /12 > 0). Суреттен (x0 - h\, x0 + hi) аралықтағы кез келген x Φ x0 үшін f(x) функциясының мәні арасында болатынын көруге болады. барлық x ⩽ x0 үшін шартты қанағаттандыратын теңсіздік ақиқат Біз орнатамыз Сонда интервал аралықта қамтылады, демек, теңсіздігі немесе, ол шартты қанағаттандыратын барлық x үшін де орындалатын болады Бұл дәлелдейді Осылайша, y функциясы = /(x) x0 нүктесінде А шегі бар, егер y = A - eny = A + e жолдарының арасындағы е-жолақ қаншалықты тар болса да, "5 > 0", яғни барлық х үшін y = / (x) функциясының графигі нүктесінің x0 нүктесінің тесілген маңы көрсетілген e-диапазонның ішінде. Ескертпе 1. b шамасы e-ге тәуелді: 6 = 6(e). Ескертпе 2. Функцияның Xq нүктесіндегі шегін анықтауда х0 нүктесінің өзі қарастырудан шығарылады. Осылайша, функцияның Hons нүктесіндегі мәні сол нүктедегі функцияның шегіне әсер етпейді. Оның үстіне функция Xq нүктесінде де анықталмауы мүмкін. Сондықтан, xo нүктесінің өзін қоспағанда, Xq нүктесінің маңайында тең болатын екі функция (олар болуы мүмкін әртүрлі мағыналар , олардың біреуі немесе екеуі бірге анықталмауы мүмкін), x - Xq үшін бірдей шегі бар немесе екеуінде де шектеу жоқ. Бұдан, атап айтқанда, xo нүктесіндегі бөлшектің шегін табу үшін бұл бөлшекті x = Xq кезінде жойылатын тең өрнектермен азайту заңды екендігі шығады. Мысал 1. /(x) = j функциясын табыңыз барлық х Ф 0 бірге тең, ал x = 0 нүктесінде ол анықталмаған. f(x) функциясын х 0 кезінде оған тең q(x) = 1 функциясымен ауыстырсақ, функция ұғымын аламыз Функцияны анықтау жолдары Функциялардың мысалдары Функцияның аналитикалық анықтамасы Функцияны графикалық жолмен анықтау А шегі. нүктедегі функция Функцияны анықтаудың кестелік жолы Шекті теоремалар Шектің бірегейлігі Теңсіздіктегі шекке шекті өтуі бар функцияның шектелуі Шексіз функцияның шегі Шексіз кіші функциялар Шексіз кіші функциялардың қасиеттері x = 0 шегі тең нөлге дейін: lim q(x) = 0 (оны көрсет!). Демек, lim /(x) = 0. Есеп. Теңсіздіктердің көмегімен тұжырымдаңыз (e -6 тілінде), бұл дегеніміз, /(n) функциясы x0 нүктесінің өзінен басқа, х0 нүктесінің кейбір Π маңайында анықталсын. Анықтама (Гейне). А саны х0 нүктесіндегі /(x) функциясының шегі деп аталады, егер x 6 P, zn / x0) аргумент мәндерінің кез келген (xn) тізбегі үшін x0 нүктесіне жинақталатын болса, сәйкес реттілік (/(xn)) функциясының мәндерінің саны А санына жинақталады. /(x) функциясының x0 нүктесінде шегі жоқ екенін анықтау қажет болғанда жоғарыдағы анықтаманы қолдану ыңғайлы. Ол үшін шегі жоқ қандай да бір ретті (/(xn)) табу немесе шектеулері әртүрлі екі ретті (/(xn)) және (/(x «n)) көрсету жеткілікті. мысалы, iiya / (x) = sin j (7-сурет) функциясының Х = О нүктесінен басқа БАРЛЫҚ ЖЕРДЕ анықталғанын көрсетіңіз, 7-суретте x = 0 нүктесінде шек жоқ. Екіні қарастырыңыз. реттіліктері (, x = 0 нүктесіне жинақталады. f(x) функциясының сәйкес реттілік мәндері әртүрлі шектерге жинақталады: реттілік (sinnTr) нөлге, ал реттілік (sin(5 + -)) бір Бұл x = 0 нүктесіндегі f(x) = sin j функциясының шегі жоқ екенін білдіреді. Ескертпе. Функция шегінің" нүктедегі екі анықтамасы да (Коши анықтамасы мен Гейне анықтамасы) эквивалентті. §3. Шектеу. теоремалар Теорема 1 (шектің бірегейлігі).Егер f(x) функциясының xo нүктесінде шегі болса, онда бұл шек бірегей болады. A lim f(x) = A болсын. B φ A санының болмайтынын көрсетейік. f(x) функциясының x0 нүктесіндегі x-x0 шегі. lim /(x) φ XO логикалық таңбаларының көмегімен былай тұжырымдалады: Алынған теңсіздікті пайдаланып, e = > 0 алайық. lim /(x) = A болғандықтан, таңдалған e > 0 үшін бар. 6 > 0, осылайша (1) қатынасынан x-тің көрсетілген мәндері үшін бізде бар Сонымен, қаншалықты аз болса да, x Φ xQ болатыны анықталды, сондықтан және бір уақытта ^ e Демек, анықтама. Теорема 2 (шегі бар функцияның шектелуі) болатындай M > 0 және 6 > 0 сандары болса, /(x) функциясы x0 нүктесінің маңайында шектелген деп аталады. Егер f(x) функциясы х0 нүктесінің маңайында анықталған болса және х0 нүктесінде шекті шегі болса, онда ол осы нүктенің кейбір маңайында шектелген. m Let Онда кез келген мысал үшін, e = 1 үшін, шартты қанағаттандыратын барлық x φ x0 үшін теңсіздік ақиқат болатындай 6 > 0 болады, біз әрқашан Let аламыз. Содан кейін интервалдың әрбір х нүктесінде бізде Бұл анықтамаға сәйкес f(x) функциясы көршілестікте шектелгенін білдіреді. Мысалы, /(x) = sin функциясы нүктенің маңайында шектелген, бірақ x = 0 нүктесінде шегі жоқ. Біз тағы екі теореманы тұжырымдаймыз, геометриялық мағынабұл жеткілікті анық. 3-теорема (теңсіздікте шекке өту). Егер /(x) ⩽ ip(x) x0 нүктесінің өзін қоспағанда, x0 нүктесінің кейбір маңайындағы барлық x үшін және x0 нүктесіндегі /(x) және ip(x) функцияларының әрқайсысының шегі бар болса. , содан кейін функциялар үшін қатаң теңсіздік олардың шектері үшін қатаң теңсіздікті білдірмейтінін ескеріңіз. Егер бұл шектеулер бар болса, онда біз тек айта аламыз Осылайша, мысалы, теорема 4 (шек) болған кезде теңсіздік функциялар үшін орындалады. аралық функция ). Егер Xq нүктесінің кейбір маңайындағы барлық х үшін, мүмкін x0 нүктесінің өзін қоспағанда (9-сурет) және xo нүктесіндегі f(x) және ip(x) функцияларының А шегі бірдей болса, онда x0 нүктесіндегі f (x) функциясының A мәнімен бірдей шегі бар. § 4. Функцияның шексіздік шегі /(x) функциясы не бүкіл нақты осьте, не кем дегенде үшін анықталсын. jx| шартын қанағаттандыратын барлық x > K кейбір K үшін > 0. Анықтама. А саны f(x) функциясының шегі деп аталады, өйткені x шексіздікке ұмтылады және олар кез келген e > 0 үшін jV > 0 саны бар болса, барлық х үшін |x| шартын қанағаттандыратындай етіп жазады. > X, теңсіздік ақиқат Осы анықтамадағы шартты сәйкесінше ауыстырсақ, біз анықтамаларды аламыз Осы анықтамалардан егер бір мезгілде және егер бір мезгілде Бұл факт геометриялық тұрғыдан мынаны білдіреді: y \ сызықтары арасындағы электрондық жолақ қаншалықты тар болса да, u003d A- euy \u003d A + e, x = N > 0 түзу болатыны сонша, оңға қарай y = /(x) функциясының графигі көрсетілген электрондық жолақта толығымен қамтылған (Cурет 10). ). Бұл жағдайда, олар x + oo үшін y \u003d / (x) функциясының графигі асимптотикалық түрде y \u003d A түзуіне жақындайды дейді. Мысал, / (x) \u003d jtjj- функциясы мына жерде анықталған. толық нақты ось және алымы тұрақты, ал бөлгіші |x| ретінде шексіз өсетін бөлшек. +oo. lim /(x)=0 деп күту заңды. Көрсетейік. М Шартқа бағынатын кез келген e > 0-ді алыңыз Қатынас орын алу үшін с немесе теңсіздігі қанағаттандырылуы керек, ол қайдан шыққанмен бірдей Осылайша. алсақ, аламыз. Бұл сан осы функцияның шегі екенін білдіреді, радикалды өрнек тек t ^ 1 үшін екенін ескеріңіз. Бұл жағдайда c теңсіздігі барлық жұп функцияның графигі y = автоматты түрде орындалады - түзу сызыққа асимптотикалық жақындайды. §5 дегенді білдіретін теңсіздіктерді пайдаланып тұжырымдаңыз. Шексіз шағын функциялар a(x) функциясы x0 нүктесінің өзінен басқа мүмкіндігін қоспағанда, x0 нүктесінің кейбір маңайында анықталсын. Анықтама. a(x) функциясы шексіз аз функция (b.m.f. деп қысқартылған) деп аталады, өйткені х0-ға ұмтылады, егер функцияның шекті шектелуінің бірегейлігі шегінде теңсіздіктегі шекке көшу шегі бар функцияның шексіздік шегі. Шексіз аз функциялар Шексіз аз функциялардың қасиеттері Мысалы, a(x) = x - 1 функциясы b. м.ф. x 1 үшін, өйткені lim(x-l) = 0. y \u003d x-1 1-1 функциясының графигі суретте көрсетілген. II. Жалпы, a(x)=x-x0 функциясы b-ның ең қарапайым мысалы болып табылады. м.ф. кезінде x-»ho. Функцияның нүктедегі шегінің анықтамасын ескере отырып, b-ның анықтамасы. м.ф. былай тұжырымдауға болады. Анықтама. a(x) функциясы x - * xo үшін шексіз аз деп аталады, егер кез келген t > 0 үшін «5 > 0 бар болса, шартты қанағаттандыратын барлық x үшін теңсіздік Анықтамада ақиқат функциялар болады. a(x) функциясы x -» oo үшін шексіз кіші деп аталады, егер онда a(x) функциясы сәйкесінше шексіз аз деп аталады, немесе үшін Мысалы, x -» oo үшін функция шексіз аз, өйткені lim j = 0. a (x ) = e~x функциясы х - * + oo сияқты шексіз кіші функция, өйткені келесіде біз, әдетте, функция шегіне қатысты барлық ұғымдар мен теоремаларды тек мынада қарастырамыз. нүктедегі функцияның шегінің жағдайына қатынасы, оқырманға өзі үшін сәйкес ұғымдарды тұжырымдау және ұқсас күн теоремаларын дәлелдеу үшін қалдырады. Шексіз аз функциялардың қасиеттері Теорема 5. Егер a(x) және P(x) - б. м.ф. x - * xo үшін, онда олардың a(x) + P(x) қосындысы да б.м. f. x -» ho. 4 Кез келген e > 0 мәнін алыңыз. a(x) - b.m.f. x -* xo үшін, онда "51 > 0 бар, сондықтан барлық x Φ xo үшін шартты қанағаттандыратын теңсіздік ақиқат болады. P(x) шарты бойынша да b.m.f. x ho үшін, сондықтан шартты қанағаттандыратын барлық χ φ ho үшін теңсіздік ақиқат болатындай болады 6 = min(«5j, 62) орнатайық. Сонда шартты қанағаттандыратын барлық x Ф ho үшін (1) және (2) теңсіздіктері бір уақытта ақиқат болады. Демек, бұл a(x) +/3(x) қосындысы b.m.f. xxq үшін. Түсініктеме. Теорема функциялардың кез келген шекті санының қосындысы үшін жарамды болып қалады, b. м.x zo. 6-теорема (шектелген функция бойынша b.m.f. көбейтіндісі). Егер a(x) функциясы b болса. м.ф. x -* x0 үшін және f(x) функциясы Xo нүктесінің маңайында шектелген, онда a(x)/(x) туындысы 6-ға тең. м.ф. x -» x0 үшін. Болжам бойынша f(x) функциясы x0 нүктесінің маңайында шектелген. Бұл кез келген e > 0 алайық, 0 және M > 0 сандары бар екенін білдіреді. Шарт бойынша 62 > 0 болатындықтан, |x - xol шартын қанағаттандыратын барлық x φ x0 үшін теңсіздік болады. ақиқат болсын |x - x0| шартын қанағаттандыратын барлық x f x0 ішінен i болсын, теңсіздіктер бір мезгілде ақиқат болады Сондықтан бұл a(x)/(x) көбейтіндісі b екенін білдіреді. м.ф. Мысалмен. y \u003d xsin - (12-сурет) функциясын a (ar) \u003d x және f (x) \u003d sin j функцияларының туындысы ретінде қарастыруға болады. a(a) функциясы b. м.ф. x үшін - 0 және f функциясы үш формуланы пайдаланады.

Егер х пен у арасындағы байланыс у-ға қатысты шешілетін формуламен берілсе, яғни. y \u003d f (x) пішініне ие болса, онда олар x функциясы анық берілген дейді, мысалы,. Егер x және y мәндері F(x, y) = 0 түріндегі қандай да бір теңдеумен байланысты болса, яғни. формулаға y қатысты рұқсат етілмейді, онда функция жасырын анықталған деп аталады. Мысалы,. Әрбір жасырын функцияны y \u003d f (x) түрінде көрсетуге болмайтынын ескеріңіз, керісінше, кез келген айқын функция әрқашан жасырын түрде ұсынылуы мүмкін:
. Функцияның аналитикалық спецификациясының тағы бір түрі параметрлік болып табылады, егер х аргументі мен у функциясы үшінші шама - t параметрінің функциялары болса:
, Қайда
, T кейбір интервал. Бұл әдіс механикада, геометрияда кеңінен қолданылады.

Аналитикалық әдіс – функцияны анықтаудың ең кең тараған тәсілі. Ықшамдық, берілген функцияға математикалық талдау аппаратын қолдану мүмкіндігі, аргументтің кез келген мәндері үшін функцияның мәндерін есептеу мүмкіндігі оның басты артықшылығы болып табылады.

4. Сөздік жол.Бұл әдіс функционалдық тәуелділіктің сөзбен берілуінен тұрады. Мысалы, E (x) функциясы х санының бүтін бөлігі, Дирихле функциясы, Риман функциясы, n!, r (n) - n натурал санының бөлгіштерінің саны.

5. Жартылай графикалық әдіс.Мұнда функция мәндері сегменттер түрінде, ал аргумент мәндері функцияның мәндерін көрсететін сегменттердің соңында сандар түрінде көрсетіледі. Мәселен, мысалы, термометрде сандары бар бөлінулері бірдей шкала бар. Бұл сандар аргументтің (температураның) мәндері болып табылады. Олар температураның өзгеруі нәтижесінде оның көлемдік кеңеюіне байланысты сынап бағанының графикалық ұзаруын (функция мәндерін) анықтайтын жерде тұрады.

«Функция» ұғымының классикалық анықтамаларының бірі сәйкестікке негізделген анықтамалар болып табылады. Біз мұндай анықтамалардың бірқатарын ұсынамыз.

Анықтама 1

Тәуелсіз айнымалының әрбір мәні тәуелді айнымалының бір мәніне сәйкес келетін қатынас деп аталады функциясы.

Анықтама 2

$X$ және $Y$ бос емес екі жиын берілсін. X$ ішіндегі әрбір $x\-ға бір және Y$-да бір ғана $y\ сәйкес келетін $f$ сәйкестігі деп аталады. функциясы($f:X → Y$).

Анықтама 3

$M$ және $N$ екі ерікті сандық жиын болсын. $f$ функциясы $M$-да анықталған деп айтылады, егер X$-дағы $x\-ның әрбір элементі $N$-дан бір және бір ғана элементпен байланысты болса, $N$-дан мәндерді қабылдайды.

Ұғым арқылы мынадай анықтама беріледі айнымалы. Айнымалы - бұл зерттеуде әртүрлі сандық мәндерді қабылдайтын шама.

Анықтама 4

$M$ $x$ айнымалысының мәндер жиыны болсын. Содан кейін, M$ ішіндегі әрбір $x\ мәні басқа айнымалының бір белгілі мәніне сәйкес келсе $y$ $M$ жиынында анықталған $x$ мәнінің функциясы болып табылады.

Анықтама 5

$X$ және $Y$ кейбір сандар жиыны болсын. Функция дегеніміз $(x,\y)$ сандарының реттелген жұптарының $f$ жиыны, осылайша $x\ in X$, $y\ in Y$ және әрбір $x$ осының тек бір жұбына тиесілі. орнатылған және әрбір $y$ кем дегенде бір жұпта болады.

Анықтама 6

Кез келген $f=$\left(x,\ y\right)$$ реттелген жұптардың $\left(x,\ y\right)$ жиыны, кез келген жұптар үшін $\left(x",\ y" \right)\f$ және $\left(x"",\ y""\right)\f$ ішінде $y"≠ y""$ шартынан $x"≠x""$ шығады. функция немесе дисплей деп аталады.

Анықтама 7

$f:X → Y$ функциясы - $f$ реттелген жұптардың $\left(x,\ y\right)\X\times Y$ ішінде $f$ жиыны, сондықтан кез келген $x\-де X$ элементі болады. $y\in Y$ бірегей элементі $\left(x,\ y\right)\in f$, яғни функция $\left(f,\ X,\ Y\right) нысандарының кортежі болып табылады. $.

Бұл анықтамаларда

$x$ тәуелсіз айнымалы болып табылады.

$y$ - тәуелді айнымалы.

$x$ айнымалысының барлық мүмкін мәндері функцияның облысы деп аталады, ал $y$ айнымалысының барлық мүмкін мәндері функцияның облысы деп аталады.

Функцияны анықтаудың аналитикалық тәсілі

Бұл әдіс үшін бізге аналитикалық өрнек ұғымы қажет.

Анықтама 8

Аналитикалық өрнек кез келген сандар мен айнымалылардағы барлық мүмкін болатын математикалық амалдардың туындысы болып табылады.

Функцияны орнатудың аналитикалық жолы – аналитикалық өрнекті пайдаланып орнату.

1-мысал

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Артықшылықтары:

Формулалар арқылы біз $x$ айнымалысының кез келген берілген мәні үшін функцияның мәнін анықтай аламыз;
Осылайша анықталған функцияларды математикалық талдау аппаратының көмегімен зерттеуге болады.

Минустары:

Аз көріну.
Кейде өте қиын есептеулерді орындауға тура келеді.

Функцияны анықтаудың кестелік тәсілі

Бұл орнату тәсілі тәуелсіз айнымалының бірнеше мәндері үшін тәуелді айнымалының мәндері жазылады. Мұның бәрі кестеге енгізіледі.

2-мысал

1-сурет.

Плюс:Кестеге енгізілген $x$ тәуелсіз айнымалының кез келген мәні үшін $y$ функциясының сәйкес мәні бірден танылады.

Минустары:

Көбінесе жоқ тапсырманы орындауфункциялар;
Аз көріну.

(Анықтамасы: X және Y сандық жиындар болсын. Егер қандай да бір f ережесі бойынша әрбір х X элементі y Y бірегей элементімен байланысқан болса, онда y=f(x) функциясы Х жиынында анықталған дейміз. x=D(f) – мән диапазоны y= ; x=(- )=R; E(f)= =)