12 care este gradul de măsură a unui unghi. Măsura gradului unui unghi. Definiție. vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele

Măsura gradului unui unghi. Măsura radianilor unui unghi. Convertiți grade în radiani și invers.

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, am stăpânit numărarea unghiurilor pe un cerc trigonometric. Învățați cum să numărați unghiurile pozitive și negative. Am realizat cum să desenezi un unghi mai mare de 360 ​​de grade. Este timpul să ne ocupăm de măsurarea unghiurilor. Mai ales cu numărul „Pi”, care se străduiește să ne încurce în sarcini dificile, da ...

Sarcinile standard în trigonometrie cu numărul „Pi” sunt rezolvate destul de bine. Memoria vizuală ajută. Dar orice abatere de la șablon - dă jos pe loc! Pentru a nu cădea - a intelege necesar. Ceea ce vom face acum cu succes. Într-un fel - înțelegem totul!

Asa de, ce unghiurile conteaza? ÎN curs şcolar trigonometria folosește două măsuri: gradul de măsură a unui unghiȘi măsura în radian a unui unghi. Să aruncăm o privire asupra acestor măsuri. Fără asta, în trigonometrie - nicăieri.

Măsura gradului unui unghi.

Suntem cumva obișnuiți cu grade. Geometria, cel puțin, a trecut prin ... Da, și în viață ne întâlnim adesea cu expresia „întors la 180 de grade”, de exemplu. Gradul, pe scurt, un lucru simplu...

Da? Răspunde-mi atunci ce este o diplomă? Ce nu funcționează imediat? Ceva...

Gradele au fost inventate în Babilonul antic. A fost cu mult timp în urmă... acum 40 de secole... Și tocmai au venit cu asta. Au luat și au rupt cercul în 360 de părți egale. 1 grad este 1/360 dintr-un cerc. Si asta e. Poate fi rupt în 100 de bucăți. Sau până la 1000. Dar l-au spart în 360. Apropo, de ce exact cu 360? De ce 360 ​​este mai bun decât 100? 100 pare să fie cumva mai egal... Încercați să răspundeți la această întrebare. Sau slab împotriva Babilonului antic?

Undeva în același timp Egiptul antic chinuit de o altă problemă. De câte ori este mai mare circumferința unui cerc decât lungimea diametrului său? Și așa au măsurat, și așa... Totul s-a dovedit puțin mai mult de trei. Dar cumva s-a dovedit umplut, neuniform... Dar ei, egiptenii, nu sunt de vină. După ei, au suferit încă 35 de secole. Până când au demonstrat în sfârșit că oricât de fin tăiați cercul în bucăți egale, din astfel de bucăți de făcut neted lungimea diametrului este imposibilă... În principiu, este imposibil. Ei bine, de câte ori circumferința este mai mare decât diametrul, desigur. Aproximativ. 3.1415926... ori.

Acesta este numărul „Pi”. Asta e zguduit, atât de zdruncinat. După virgulă zecimală - un număr infinit de cifre fără nicio ordine ... Astfel de numere sunt numite iraționale. Acest lucru, apropo, înseamnă că din bucăți egale ale unui cerc, diametrul neted nu pliați. Nu.

Pentru utilizare practică, se obișnuiește să se rețină doar două cifre după virgulă zecimală. Tine minte:

Deoarece am înțeles că circumferința unui cerc este mai mare decât diametrul de ori "Pi", este logic să ne amintim formula pentru circumferința unui cerc:

Unde L este circumferința și d este diametrul acestuia.

Util în geometrie.

Pentru educatie generala Voi adăuga că numărul „Pi” se află nu numai în geometrie... În cele mai diverse secțiuni ale matematicii, și mai ales în teoria probabilităților, acest număr apare constant! De la sine. Dincolo de dorințele noastre. Ca aceasta.

Dar înapoi la grade. V-ați dat seama de ce în Babilonul antic cercul era împărțit în 360 de părți egale? Dar nu 100, de exemplu? Nu? BINE. Îți dau o versiune. Nu-i poți întreba pe vechii babilonieni... Pentru construcție, sau, să zicem, astronomie, este convenabil să împarți un cerc în părți egale. Acum află cu ce numere sunt divizibile complet 100, și care - 360? Și în ce versiune a acestor separatoare complet- Mai mult? Această diviziune este foarte convenabilă pentru oameni. Dar...

După cum sa dovedit mult mai târziu decât Babilonul Antic, nu tuturor le plac diplomele. Matematicilor superioare nu le plac... matematică superioară- doamna este serioasa, aranjata dupa legile naturii. Și această doamnă declară: "Astăzi ai rupt cercul în 360 de părți, mâine îl vei despărți în 100 de părți, poimâine în 245... Și ce să fac? Nu chiar..." A trebuit să mă supun. Nu poți păcăli natura...

A trebuit să introduc o măsură a unghiului care nu depinde de noțiunile umane. Întâlni - radian!

Măsura radianilor unui unghi.

Ce este un radian? Definiția radianului se bazează oricum pe un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul care taie un arc dintr-un cerc a cărui lungime este ( L) este egală cu lungimea razei ( R). Ne uităm la poze.

Un unghi atât de mic, aproape că nu există... Mutăm cursorul peste imagine (sau atingem poza de pe tabletă) și vedem aproximativ unul radian. L=R

Simte diferenta?

Un radian este mult mai mare decât un grad. De câte ori?

Să ne uităm la următoarea poză. Pe care am desenat un semicerc. Unghiul extins este, desigur, de 180 °.

Și acum voi tăia acest semicerc în radiani! Trecem cu mouse-ul peste imagine și vedem că 3 radiani cu o coadă se potrivesc la 180 °.

Cine poate ghici ce este această coadă de cal!?

Da! Această coadă este 0,1415926.... Bună Pi, încă nu te-am uitat!

Într-adevăr, sunt 3,1415926 ... radiani în 180 de grade. După cum vă puteți imagina, a scrie 3.1415926 tot timpul... este incomod. Prin urmare, în loc de acest număr infinit, ei scriu întotdeauna simplu:

Și iată numărul de pe internet

este incomod să scrii... Prin urmare, în text îl scriu pe nume - „Pi”. Nu te confunda...

Acum, este destul de semnificativ să scriem o egalitate aproximativă:

Sau egalitate exactă:

Determinați câte grade sunt într-un radian. Cum? Uşor! Dacă sunt 180 de grade în 3,14 radiani, atunci 1 radian este de 3,14 ori mai puțin! Adică împărțim prima ecuație (formula este, de asemenea, o ecuație!) La 3.14:

Acest raport este util de reținut. Există aproximativ 60° într-un radian. În trigonometrie, de multe ori trebuie să-ți dai seama, să evaluezi situația. Aici cunoștințele ajută foarte mult.

Dar principala abilitate a acestui subiect este transformarea gradelor în radiani și invers.

Dacă unghiul este dat în radiani cu numărul „pi”, totul este foarte simplu. Știm că „pi” radiani = 180°. Deci, înlocuim radianii „Pi” - 180 °. Obținem unghiul în grade. Reducem ceea ce este redus, iar răspunsul este gata. De exemplu, trebuie să aflăm cât gradeîn colțul „Pi”/2 radian? Aici scriem:

Sau, expresie mai exotică:

Ușor, nu?

Traducerea inversă este puțin mai complicată. Dar nu mult. Dacă unghiul este dat în grade, trebuie să ne dăm seama ce grad este în radiani și să înmulțim acel număr cu numărul de grade. Cât este 1° în radiani?

Ne uităm la formulă și realizăm că dacă 180° = „Pi” radiani, atunci 1° este de 180 de ori mai mic. Sau, cu alte cuvinte, împărțim ecuația (formula este și o ecuație!) La 180. Nu este nevoie să reprezentăm „Pi” ca 3.14, oricum se scrie întotdeauna cu o literă. Obținem că un grad este egal cu:

Asta e tot. Înmulțiți numărul de grade cu această valoare pentru a obține unghiul în radiani. De exemplu:

Sau, similar:

După cum puteți vedea, într-o conversație pe îndelete cu digresiuni lirice, s-a dovedit că radianii sunt foarte simpli. Da, iar traducerea este fără probleme... Și „Pi” este un lucru complet tolerabil... Deci de unde confuzia !?

Voi dezvălui secretul. Cert este că în funcțiile trigonometrice este scrisă pictograma grade. Mereu. De exemplu, sin35°. Acesta este sinusul 35 grade . Și pictograma radianilor ( bucuros) nu este scris! El este subînțeles. Fie lenea matematicienilor confiscate, fie altceva... Dar au decis să nu scrie. Dacă nu există pictograme în interiorul sinusului - cotangent, atunci unghiul - în radiani ! De exemplu, cos3 este cosinusul lui trei radiani .

Acest lucru duce la neînțelegeri ... O persoană vede „Pi” și crede că este de 180 °. Oricând și oriunde. Apropo, asta funcționează. Deocamdată, în timp ce exemplele sunt standard. Dar Pi este un număr! Cifra 3.14 nu este grade! Adică „Pi” radiani = 180°!

Încă o dată: „Pi” este un număr! 3.14. Irațional, dar un număr. La fel ca 5 sau 8. Puteți, de exemplu, să faceți aproximativ pași „Pi”. Trei pași și încă puțin. Sau cumpărați „Pi” kilograme de dulciuri. Dacă un vânzător educat este prins...

„Pi” este un număr! Ce, te-am prins cu fraza asta? Ai înțeles deja totul? BINE. Sa verificam. Imi puteti spune care numar este mai mare?

Sau ce este mai putin?

Aceasta este dintr-o serie de întrebări ușor nestandardizate care pot duce la stupoare...

Dacă și tu ai căzut în stupoare, amintește-ți vraja: „Pi” este un număr! 3.14. În primul sinus, se indică clar că unghiul - în grade! Prin urmare, este imposibil să înlocuiți „Pi” cu 180 °! Gradele „Pi” sunt de aproximativ 3,14 grade. Prin urmare, putem scrie:

Nu există simboluri în al doilea sinus. Deci acolo - radiani! Aici, înlocuirea „Pi” cu 180 ° va funcționa destul de bine. Convertind radiani în grade, așa cum este scris mai sus, obținem:

Rămâne să comparăm aceste două sinuri. Ce. ai uitat cum? Cu ajutorul unui cerc trigonometric, desigur! Desenăm un cerc, desenăm unghiuri aproximative de 60° și 1,05°. Ne uităm la sinusurile acestor unghiuri. Pe scurt, totul, ca la sfârșitul subiectului despre cercul trigonometric, este pictat. Pe un cerc (chiar și cel strâmb!) se va vedea clar că păcat60° semnificativ mai mult decât sin1.05°.

Vom face exact același lucru cu cosinus. Pe cerc desenăm unghiuri de aproximativ 4 gradeși 4 radian(Ține minte, cât este aproximativ 1 radian?). Cercul va spune totul! Desigur, cos4 este mai mic decât cos4°.

Să exersăm manipularea măsurilor de unghi.

Convertiți aceste unghiuri din grade în radiani:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Ar trebui să ajungeți cu aceste valori în radiani (în altă ordine!)

Apropo, am marcat special răspunsurile în două rânduri. Ei bine, să ne dăm seama care sunt colțurile din prima linie? Fie în grade sau în radiani?

Da! Acestea sunt axele sistemului de coordonate! Dacă te uiți la cercul trigonometric, atunci latura în mișcare a unghiului la aceste valori se potriveste chiar pe axa. Aceste valori trebuie cunoscute în mod ironic. Și am notat unghiul de 0 grade (0 radiani) nu degeaba. Și apoi unii nu pot găsi în niciun fel acest unghi pe cerc ... Și, în consecință, se confundă în funcțiile trigonometrice de zero ... Un alt lucru este că poziția laturii în mișcare la zero grade coincide cu poziția la 360 °, deci coincidențele pe cerc sunt tot timpul aproape.

În a doua linie sunt și unghiuri speciale... Acestea sunt 30°, 45° și 60°. Și ce este atât de special la ei? Nimic special. Singura diferență dintre aceste colțuri și toate celelalte este că ar trebui să știți despre aceste colțuri. Toate. Și unde sunt situate și care sunt aceste colțuri funcții trigonometrice. Să spunem valoarea sin100° nu trebuie sa stii. A păcat45°- te rog fii amabil! Acestea sunt cunoștințe obligatorii, fără de care nu există nimic de făcut în trigonometrie... Dar mai multe despre asta în lecția următoare.

Până atunci, să continuăm să exersăm. Convertiți aceste unghiuri din radiani în grade:

Ar trebui să obțineți rezultate ca acestea (într-o mizerie):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

S-a întâmplat? Atunci putem presupune că conversia gradelor în radiani și invers- nu mai este problema ta.) Dar translatarea unghiurilor este primul pas pentru înțelegerea trigonometriei. În același loc, mai trebuie să lucrați cu sinus-cosinus. Da, și cu tangente, și cotangente...

Al doilea pas puternic este capacitatea de a determina poziția oricărui unghi pe un cerc trigonometric. Atât în ​​grade, cât și în radiani. Chiar despre această abilitate, vă voi sugera plictisitor în toată trigonometria, da ...) Dacă știți totul (sau credeți că știți totul) despre cercul trigonometric și numărarea unghiurilor pe cercul trigonometric, îl puteți verifica afară. Rezolvați aceste sarcini simple:

1. În ce sferturi se încadrează colțurile:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Uşor? Noi continuăm:

2. În ce sfert cad colțurile:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

De asemenea, nicio problemă? Ei bine, uite...)

3. Puteți plasa colțuri în sferturi:

Ai fost capabil? Ei bine, dai..)

4. Pe ce axe va cădea colțul:

si colt:

Este si usor? Hm...)

5. În ce sferturi se încadrează colțurile:

Și a funcționat!? Ei bine, atunci chiar nu știu...)

6. Stabiliți în ce sfert se încadrează colțurile:

1, 2, 3 și 20 de radiani.

Voi da răspunsul doar la ultima întrebare (este puțin complicată) a ultimei sarcini. Un unghi de 20 de radiani va cădea în primul sfert.

Nu voi da restul răspunsurilor din lăcomie.) Just if you nu a decis ceva îndoială ca rezultat, sau cheltuită pentru sarcina nr. 4 mai mult de 10 secunde esti prost orientat intr-un cerc. Aceasta va fi problema ta în toată trigonometria. Este mai bine să scapi de el (o problemă, nu trigonometrie!) imediat. Acest lucru se poate face în subiectul: Lucrări practice cu un cerc trigonometric în secțiunea 555.

Spune cum să rezolvi astfel de sarcini simplu și corect. Ei bine, aceste sarcini sunt rezolvate, desigur. Și a patra sarcină a fost rezolvată în 10 secunde. Da, așa am decis că oricine poate!

Dacă sunteți absolut sigur de răspunsurile dvs. și nu sunteți interesat de modalități simple și fără probleme de a lucra cu radiani, nu puteți vizita 555. Nu insist.)

Buna înțelegere este suficientă motiv bun a trece peste!)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Unghiul este figura geometrică principală, pe care o vom analiza pe parcursul subiectului. Definiții, metode de setare, notare și măsurare a unghiului. Să analizăm principiile selectării colțurilor din desene. Întreaga teorie este ilustrată și are un numar mare de desene vizuale.

Colţ- o simplă figură importantă în geometrie. Unghiul depinde direct de definiția unei raze, care constă, la rândul său, din conceptele de bază ale unui punct, o dreaptă și un plan. Pentru un studiu amănunțit, trebuie să aprofundați subiectele linie dreaptă pe un plan - informații necesareȘi avion - informații necesare.

Conceptul de unghi începe cu conceptele de punct, plan și linie dreaptă descrise pe acest plan.

Definiția 2

Dată o linie a pe un plan. Indicați un punct O pe el. Linia este împărțită de un punct în două părți, fiecare având un nume Ray, iar punctul O este pornirea fasciculului.

Cu alte cuvinte, o grindă sau semilinie - este o parte a unei linii, formată din puncte ale unei linii date, situate pe aceeași parte față de punctul de plecare, adică punctul O.

Desemnarea fasciculului este permisă în două variante: una sau două litere mici litere mari alfabet latin. Când este notat cu două litere, fasciculul are un nume format din două litere. Să aruncăm o privire mai atentă asupra desenului.

Să trecem la conceptul de definire a unghiului.

Definiția 3

Colţ- aceasta este o figură situată într-un plan dat, formată din două raze nepotrivite care au o origine comună. colțul lateral este o grindă vârf- începutul comun al părţilor.

Există un caz în care laturile unui unghi pot acționa ca o linie dreaptă.

Definiția 4

Când ambele laturi ale unui unghi sunt situate pe aceeași linie dreaptă sau laturile sale servesc ca semilinii suplimentare ale unei linii drepte, atunci un astfel de unghi se numește dislocat.

Figura de mai jos arată un colț turtit.

Un punct de pe o dreaptă este vârful unghiului. Cel mai adesea, este notat cu punctul O.

Un unghi în matematică este notat cu semnul „∠”. Când laturile unui unghi sunt notate cu latină mică, atunci pentru definirea corectă a unghiului, literele sunt scrise pe rând, respectiv, în funcție de laturi. Dacă două laturi sunt notate k și h, atunci unghiul este notat ca ∠ k h sau ∠ h k .

Când există o desemnare cu majuscule, atunci, respectiv, părțile laterale ale colțului au denumirile O A și O B. În acest caz, unghiul are un nume de trei litere ale alfabetului latin, scrise pe rând, în centru cu un vârf - ∠ A O B și ∠ B O A . Există o desemnare sub formă de numere atunci când colțurile nu au nume sau litere. Mai jos este o poză unde căi diferite colțurile sunt marcate.

Un unghi împarte planul în două părți. Dacă unghiul nu este dezvoltat, atunci o parte a planului are numele zona colțului interior, celălalt - zona colțului exterior. Mai jos este o imagine care explică ce părți ale avionului sunt externe și care sunt interne.

Când este împărțită la un unghi drept pe un plan, oricare dintre părțile sale este considerată a fi interiorul unghiului drept.

Zona interioară a colțului este un element care servește pentru a doua definiție a colțului.

Definiția 5

colţ numit figură geometrică, constând din două raze necoincidente care au o origine comună și o regiune interioară corespunzătoare a unghiului.

Această definiție este mai riguroasă decât cea anterioară, deoarece are mai multe condiții. Nu este recomandabil să luăm în considerare ambele definiții separat, deoarece un unghi este o figură geometrică transformată folosind două raze care ies dintr-un punct. Când este necesar să se efectueze acțiuni cu un unghi, atunci definiția înseamnă prezența a două raze cu o origine comună și o regiune internă.

Cele două colțuri sunt numite legate de, dacă există o latură comună, iar celelalte două sunt semilinii complementare sau formează un unghi drept.

Figura arată că colțurile adiacente se completează unul pe celălalt, deoarece sunt o continuare unul celuilalt.

Definiția 7

Cele două colțuri sunt numite vertical, dacă laturile uneia sunt semilinii complementare ale celeilalte sau sunt prelungiri ale laturilor celeilalte. Figura de mai jos prezintă o imagine a colțurilor verticale.

La traversarea liniilor se obțin 4 perechi de unghiuri adiacente și 2 perechi de unghiuri verticale. Mai jos este prezentat în imagine.

Articolul prezintă definițiile unghiurilor egale și inegale. Vom analiza ce unghi este considerat mare, care este mai mic și alte proprietăți ale unghiului. Două cifre sunt considerate egale dacă, atunci când sunt suprapuse, coincid complet. Aceeași proprietate se aplică pentru compararea unghiurilor.

Date două unghiuri. Este necesar să ajungem la concluzia dacă aceste unghiuri sunt egale sau nu.

Se știe că vârfurile a două colțuri și partea primului colț se suprapun cu orice altă parte a celui de-al doilea. Adică, în caz de coincidență completă, atunci când unghiurile sunt suprapuse, laturile unghiurilor date vor coincide complet, unghiurile egal.

Este posibil ca atunci când suprapuneți părțile laterale să nu fie combinate, apoi colțurile inegal, mai mic din care constă dintr-un altul, și Mai multîncorporează un alt unghi complet. Mai jos sunt unghiuri inegale nealiniate atunci când sunt suprapuse.

Unghiurile dezvoltate sunt egale.

Măsurarea unghiurilor începe cu măsurarea laturii unghiului măsurat și a regiunii sale interioare, umplându-le cu unghiuri unitare, acestea sunt aplicate unul altuia. Este necesar să se numără numărul de colțuri stivuite, ele predetermină măsura unghiului măsurat.

O unitate de unghi poate fi exprimată în orice unghi măsurabil. Există unități de măsură general acceptate care sunt utilizate în știință și tehnologie. Ei sunt specializați în alte titluri.

Conceptul cel mai des folosit grad.

Definiția 8

un grad se numește unghi care are o sută optzecime dintr-un unghi îndreptat.

Notația standard pentru un grad este „°”, apoi un grad este 1°. Prin urmare, un unghi drept este format din 180 de astfel de unghiuri, constând dintr-un grad. Toate colțurile disponibile sunt stivuite strâns între ele, iar părțile laterale ale celuilalt sunt aliniate cu următoarea.

Se știe că numărul de grade dintr-un unghi este aceeași măsură a unghiului. Colțul dezvoltat are 180 de colțuri stivuite în compoziția sa. Figura de mai jos prezintă exemple în care unghiul este așezat de 30 de ori, adică o șesime din extins și de 90 de ori, adică jumătate.

Minutele și secundele sunt folosite pentru a determina cu precizie măsurătorile unghiului. Ele sunt utilizate atunci când valoarea unghiului nu este o desemnare a unui grad întreg. Astfel de părți ale unui grad vă permit să efectuați calcule mai precise.

Definiția 9

minut numită o șaizecime de grad.

Definiția 10

al doilea numit o şaizecime de minut.

Un grad conține 3600 de secunde. Minutele indică """, iar secundele """". Desemnarea are loc:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

iar notația pentru unghiul 17 grade 3 minute și 59 secunde este 17° 3 „59””.

Definiția 11

Să dăm un exemplu de notare a gradului de măsură a unui unghi egal cu 17 ° 3 "59" ". Intrarea are o altă formă 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Pentru a măsura cu precizie unghiurile, se folosește un dispozitiv de măsurare, cum ar fi un raportor. La desemnarea unghiului ∠ A O B și a gradului său de măsurare de 110 grade, se folosește o notație mai convenabilă ∠ A O B \u003d 110 °, care spune „Unghiul A O B este egal cu 110 grade”.

În geometrie, se folosește o măsură a unghiului din intervalul (0 , 180 ], iar în trigonometrie se numește o măsură de grad arbitrară unghiuri de rotire. Valoarea unghiurilor este întotdeauna exprimată numar real. Unghi drept este un unghi care are 90 de grade. Colt ascutit este un unghi care este mai mic de 90 de grade și bont- Mai mult.

Un unghi ascuțit este măsurat în intervalul (0, 90) , iar un unghi obtuz - (90, 180) . Trei tipuri de unghiuri sunt prezentate clar mai jos.

Orice măsură de grad a oricărui unghi are aceeași valoare. Un unghi mai mare, respectiv, are o măsură de grad mai mare decât unul mai mic. Gradul de măsurare a unui unghi este suma tuturor gradelor de măsură disponibile ale unghiurilor interioare. Figura de mai jos arată unghiul AOB, format din unghiurile AOC, COD și DOB. În detaliu, arată astfel: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Pe baza acestui fapt, se poate concluziona că sumă toate unghiurile adiacente este de 180 de grade deoarece toate formează un unghi extins.

De aici rezultă că orice unghiurile verticale sunt egale. Dacă luăm în considerare acest lucru cu un exemplu, obținem că unghiul A O B și C O D sunt verticale (în desen), atunci perechile de unghiuri A O B și B O C, C O D și B O C sunt considerate adiacente. Într-un astfel de caz, egalitatea ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° împreună cu ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° sunt considerate unic adevărate. Prin urmare avem că ∠ A O B = ∠ C O D . Mai jos este un exemplu de imagine și denumirea capturilor verticale.

Pe lângă grade, minute și secunde, se folosește o altă unitate de măsură. Se numeste radian. Cel mai adesea poate fi găsit în trigonometrie atunci când se desemnează unghiurile poligoanelor. Ceea ce se numește radian.

Definiția 12

Un unghi radian numit unghi central, care are lungimea razei cercului egal cu lungimea arcuri.

În figură, radianul este reprezentat ca un cerc, unde există un centru, indicat printr-un punct, cu două puncte de pe cerc legate și convertite în raze O A și O B. Prin definiție, acest triunghi A O B este echilateral, ceea ce înseamnă că lungimea arcului A B este egală cu lungimile razelor O B și Oh A.

Denumirea unghiului este luată drept „rad”. Adică, o intrare în 5 radiani este abreviată ca 5 rad. Uneori puteți găsi o denumire care are numele pi. Radianii nu depind de lungimea unui cerc dat, deoarece figurile au un fel de restricție cu ajutorul unui unghi și arcul său cu un centru situat la vârful unui unghi dat. Sunt considerate similare.

Radianii au aceeași semnificație ca și grade, doar că diferența este în mărimea lor. Pentru a determina acest lucru, este necesar să împărțiți lungimea calculată a arcului unghiului central la lungimea razei acestuia.

În practică, ei folosesc convertiți grade în radiani și radiani în grade pentru rezolvarea mai usoara a problemelor. Articolul specificat conține informații despre legătura dintre măsura gradului și radian, unde puteți studia în detaliu traducerile de la grad la radian și invers.

Pentru o reprezentare vizuală și convenabilă a arcurilor, unghiurilor, desenelor sunt utilizate. Nu este întotdeauna posibil să descrieți și să marcați corect un anumit unghi, arc sau nume. Unghiurile egale au denumirea sub forma aceluiași număr de arce și inegale sub forma unora diferite. Desenul arată desemnarea corectă a unghiurilor ascuțite, egale și inegale.

Când trebuie marcate mai mult de 3 colțuri, se folosesc denumiri speciale de arc, cum ar fi ondulat sau zimțat. Nu are atât de mult importanţă. Figura de mai jos arată denumirea acestora.

Desemnarea unghiurilor trebuie să fie simplă pentru a nu interfera cu alte valori. Când rezolvați o problemă, se recomandă să selectați doar colțurile necesare rezolvării, pentru a nu aglomera întregul desen. Acest lucru nu va interfera cu soluția și dovada și va oferi, de asemenea, un aspect estetic desenului.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Unghiurile sunt măsurate în diferite unități. Pot fi grade, radiani. Cel mai adesea, unghiurile sunt măsurate în grade. (Acest grad nu trebuie confundat cu o măsură a temperaturii, unde este folosit și cuvântul „grad”.)

1 grad este un unghi care este egal cu 1/180 dintr-un unghi îndreptat. Cu alte cuvinte, dacă luăm un unghi dezvoltat și îl împărțim în 180 de părți-unghiuri egale, atunci fiecare astfel de unghi mic va fi egal cu 1 grad. Mărimea tuturor celorlalte unghiuri este determinată de câte dintre aceste unghiuri mici pot fi plasate în interiorul unghiului măsurat.

Gradul este notat cu semnul °. Acesta nu este zero și nu litera O. Acesta este un simbol atât de special introdus pentru a indica un grad.

Astfel, un unghi drept este de 180°, un unghi drept este de 90°, unghiurile acute sunt mai mici de 90° și unghiurile obtuze sunt mai mari de 90°.

Sistemul metric folosește un metru pentru a măsura distanța. Cu toate acestea, sunt utilizate atât unități mai mari, cât și mai mici. De exemplu, centimetru, milimetru, kilometru, decimetru. Prin analogie cu aceasta, minutele și secundele se disting și în măsura gradului de unghiuri.

Un minut de grad este egal cu 1/60 de grad. Se notează printr-un singur semn”.

Un grad secundă este egal cu 1/60 dintr-un minut sau cu 1/3600 dintr-un grad. Al doilea este notat prin două semne „, adică „”.

În geometria școlii, grade minute și secunde sunt rareori folosite, dar trebuie să poți înțelege, de exemplu, o astfel de înregistrare: 35 ° 21 "45"". Aceasta înseamnă că unghiul este de 35 de grade + 21 de minute + 45 de secunde.

Pe de altă parte, dacă unghiul nu poate fi măsurat exact în grade întregi, atunci nu este necesar să introduceți minute și secunde. Este suficient să folosiți grade fracționale. De exemplu, 96,5°.

Este clar că minutele și secundele pot fi convertite în grade, exprimându-le în fracțiuni de grad. De exemplu, 30" este egal cu (30/60)° sau 0,5°. Și 0,3° este egal cu (0,3 * 60)" sau 18". Deci, utilizarea minutelor și secundelor este doar o chestiune de comoditate.

Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vârful unghiului și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului (Fig. 14). Dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare, atunci unghiul se numește unghi drept.

Un unghi este indicat fie prin indicarea vârfului său, fie prin indicarea laturilor sale, fie prin indicarea a trei puncte: un vârf și două puncte pe laturile unghiului. Cuvântul „unghi” este uneori înlocuit

Unghiul din figura 14 poate fi reprezentat în trei moduri:

Se spune că o rază c trece între laturile unui unghi dacă provine de la vârful său și intersectează un segment cu capete pe laturile unghiului.

În figura 15, raza c trece între laturile unghiului deoarece intersectează segmentul

În cazul unui unghi drept, orice rază care emană din vârful său și diferită de laturile sale trece între laturile unghiului.

Unghiurile se măsoară în grade. Dacă luați un unghi drept și îl împărțiți în 180 de unghiuri egale, atunci măsura gradului a fiecăruia dintre aceste unghiuri se numește grad.

Principalele proprietăți ale unghiurilor de măsurare sunt exprimate în următoarea axiomă:

Fiecare unghi are o anumită măsură de grad mai mare decât zero. Unghiul dezvoltat este de 180°. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.

Aceasta înseamnă că dacă raza c trece între laturile unghiului, atunci unghiul este egal cu suma unghiurilor

Măsura gradului unui unghi se găsește folosind un raportor.

Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Se numește un unghi mai mic de 90° unghi ascutit. Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește unghi obtuz.

Să formulăm principala proprietate de a înlătura colțuri.

Din orice semilinie într-un semiplan dat, se poate așeza un unghi cu o măsură dată de grad mai mică de 180 ° și doar unul.

Luați în considerare jumătatea liniei a. Îl extindem dincolo de punctul de plecare A. Linia dreaptă rezultată împarte planul în două semiplane. Figura 16 arată cum se folosește un raportor pentru a atrage de la semilinia a la semiplanul superior un unghi cu o măsură de grad dată de 60 °.

T. 1. 2. Dacă două unghiuri sunt puse deoparte dintr-o semi-linie dată într-un semiplan, atunci latura unghiului mai mic, care este diferită de semi-linia dată, trece între laturile unghiului mai mare. .

Fie unghiurile din semilinia dată a într-un semiplan și fie unghiul mai mic decât unghiul . Teorema 1.2 afirmă că raza trece între laturile unghiului (Fig. 17).

Bisectoarea unui unghi este o rază care provine din vârful său, trece între laturi și împarte unghiul la jumătate. În figura 18, raza este bisectoarea unghiului

În geometrie, există conceptul de unghi plan. Un unghi plan este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană din același punct. Aceste raze se numesc laturile unghiului. Există două colțuri plate cu laturi date. Se numesc figuranti. În figura 19, unul dintre colțurile plate cu laturile a și

Noțiuni de bază

Ca parte a problemei de măsurare a unghiurilor, în această secțiune vom lua în considerare câteva concepte legate de informațiile geometrice inițiale:

• colţ;
• unghi extins și nedezvoltat;
• grad, minut și secundă;
• gradul de măsurare a unui unghi;
• unghiuri drepte, acute și obtuze.

Un unghi este o astfel de figură geometrică, care este un punct (vertex) și două raze (laturi) care emană din acesta. Un unghi se numește desfășurat dacă ambele raze se află pe aceeași linie dreaptă.

Datorită gradului de măsurare a unui unghi, puteți măsura unghiuri. Măsurarea unghiurilor se realizează în mod similar cu măsurarea segmentelor. La fel ca la măsurarea segmentelor, la măsurarea unghiurilor, se folosește o unitate de măsură specială. Cel mai adesea este o diplomă.

Definiția 1

Gradul este o unitate de măsură. În geometrie, reprezintă unghiul față de care sunt comparate alte unghiuri. Gradul este egal cu $\frac(1)(180)$ din unghiul drept.

Acum putem defini măsura gradului unui unghi.

Definiția 2

Măsura gradului unui unghi este număr pozitiv, care indică de câte ori se încadrează un grad în unghiul dat.

Un raportor este folosit pentru a măsura unghiurile.

Un exemplu de înregistrare a unei măsuri de grad: $\angle ABC = 150^(\circ)$. În figură, această intrare înseamnă următoarele:

În formă orală, ei spun asta: „Unghiul ABC este de 150 de grade”.

Unele părți ale gradului au propriile lor nume speciale. Un minut se numește $\frac(1)(60)$ parte dintr-un grad, semnul $"$ este folosit pentru desemnare. O secundă se numește $\frac(1)(60)$ parte dintr-un minut, $"" $ este folosit pentru desemnare. Un exemplu de scriere a unui unghi în 75 de grade, 45 de minute și 28 de secunde: $75^(\circ)45"28""$.

Unghiurile egale sunt acele unghiuri ale căror grade sunt egale. În consecință, unghiurile pot fi comparate spunând că un unghi este mai mic decât celălalt sau un unghi este mai mare decât celălalt.

Definiția unghiului dezvoltat a fost dată mai sus. Cunoscând conceptul de măsură a gradului, putem descrie diferența dintre un unghi rotit și cel nedezvoltat. Unghiul drept este întotdeauna $180^(\circ)$. Un unghi necircumscris este orice unghi mai mic de $180^(\circ)$.

Există unghiuri drepte, acute și obtuze. Un unghi drept este $90^(\circ)$, un unghi ascuțit este mai mic de $90^(\circ)$, unul obtuz este mai mare de $90^(\circ)$ și mai mic de $180^(\circ)$.

Figura 4. Unghiuri drepte, acute și obtuze. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

ÎN Viata de zi cu zi există exemple despre necesitatea și importanța capacității de a măsura unghiuri și de a înțelege măsura gradului. Măsurarea unghiurilor este necesară în diverse studii, inclusiv în astronomie în determinarea poziției corpurilor cerești.

Pentru practică, încercați să desenați cel puțin trei colțuri desfăcute și unul răsucit în moduri diferite, măsurați unghiurile cu un raportor și notați aceste rezultate. Puteți seta numere aleatorii și puteți exersa acuratețea trasării unghiurilor cu un raportor, împărțindu-le cu o bisectoare (o bisectoare este o rază care emană din vârful unui unghi dat și împărțind unghiul la jumătate).

Exemple de sarcini

Exemplul 1

Sarcină. Există un desen:

Razele $DE$ și $DF$ sunt bisectoarele unghiurilor corespunzătoare $ADB$ și $BDC$. Este necesar să găsiți unghiul $ADC$ dacă $\angle EDF = 75^(\circ)$.

Soluţie. Deoarece unghiul $EDF$ conține jumătate din fiecare unghi $ADB$ și $BDC$, putem concluziona că $EDF$ este exact jumătate din unghiul $ADC$ însuși. Obținem calcule simple: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Răspuns: $150^(\circ)$.

Să luăm un alt exemplu interesant.

Exemplul 2

Sarcină. Dat un desen.

Unghiul $ABC$ este un unghi drept. Unghiurile $ABE$, $EBD$ și $DBC$ sunt egale. Este necesar să se găsească unghiul format de bisectoarele $ABE$ și $DBC$.

Soluţie. Deoarece $ABC$ este un unghi drept, înseamnă că este egal cu $90^(\circ)$. Unghi $\angle EBD=90/3=30^(\circ)$. Deoarece unghiurile $ABE$, $EBD$ și $DBC$ sunt egale, oricare dintre ele va fi egal cu $30^(\circ)$. Bisectoarea oricăruia dintre aceste unghiuri va împărți oricare dintre aceste unghiuri în două unghiuri egale cu $15^(\circ)$. Deoarece cele două jumătăți ale unghiurilor $ABE$ și $DBC$ aparțin unghiului dorit, putem afirma că unghiul dorit este egal cu $30+15+15=60^(\circ)$.

Răspuns. $60^(\circ)$

În acest articol, am dezvăluit pe deplin problema gradului de măsurare a unui unghi și a modului de măsurare a unghiurilor.