Вариациялық және статистикалық қатарларды құрастырыңыз. Вариациялық қатар. Іріктеменің статистикалық таралуы. Вариациялық қатардың негізгі сипаттамалары. Жұптастырылған студенттің t-тесті

Вариациялық қатар: анықтамасы, түрлері, негізгі сипаттамалары. Есептеу әдісі
медициналық және статистикалық зерттеулерде сән, медиана, арифметикалық орта
(Шартты мысалда көрсетіңіз).

Вариациялық қатар – зерттелетін белгінің бір-бірінен шамасы бойынша ерекшеленетін және белгілі бір ретпен (өсу немесе кему ретімен) орналасқан сандық мәндерінің тізбегі. Қатардың әрбір сандық мәні нұсқа (V) деп аталады, ал осы қатардың құрамында осы немесе басқа нұсқаның қаншалықты жиі кездесетінін көрсететін сандар жиілік (р) деп аталады.

Вариациялық қатардан тұратын бақылау жағдайларының жалпы саны n әрпімен белгіленеді. Зерттелетін белгілердің мағынасының айырмашылығын вариация деп атайды. Егер айнымалы белгінің сандық өлшемі болмаса, вариация сапалы, ал таралу қатары атрибутивтік деп аталады (мысалы, ауру нәтижесі, денсаулық жағдайы және т.б. бойынша бөлу).

Егер айнымалы белгі сандық өрнекке ие болса, мұндай вариацияны сандық, ал таралу қатарын вариациялық деп атайды.

Вариациялық қатарлар үзіліссіз және үздіксіз – сандық белгінің сипатына қарай, қарапайым және салмақты – нұсқаның пайда болу жиілігіне қарай бөлінеді.

Қарапайым вариациялық қатарда әрбір нұсқа тек бір рет кездеседі (p=1), салмақталғанда бір нұсқа бірнеше рет кездеседі (p>1). Мұндай сериялардың мысалдары кейінірек мәтінде талқыланады. Егер сандық атрибут үздіксіз болса, яғни. бүтін мәндердің арасында аралық бөлшек мәндері бар, вариациялық қатар үздіксіз деп аталады.

Мысалы: 10,0 - 11,9

14,0 - 15,9 және т.б.

Егер сандық белгі үзіліссіз болса, яғни. оның жеке мәндері (опциялары) бір-бірінен бүтін санмен ерекшеленеді және аралық бөлшек мәндері болмайды, вариациялық қатар үзіліссіз немесе дискретті деп аталады.

Жүрек соғу жиілігі туралы алдыңғы мысалдағы деректерді пайдалану

21 оқушы үшін вариациялық қатарды құрастырамыз (1-кесте).

1-кесте

Медицина студенттерін импульс жиілігі бойынша бөлу (bpm)

Осылайша, вариациялық қатарды құру дегеніміз бар сандық мәндерді (параметрлерді) жүйелеу, ретке келтіру, яғни. сәйкес жиіліктерімен белгілі бір ретпен (өсу немесе кему ретімен) орналасады. Қарастырылып отырған мысалда опциялар өсу ретімен орналастырылған және үзіліссіз (дискретті) бүтін сандар ретінде өрнектеледі, әрбір опция бірнеше рет кездеседі, яғни. біз салмақты, үзіліссіз немесе дискретті вариациялық қатармен айналысамыз.

Әдетте, егерде бақылаулар саны статистикалық популяция 30-дан аспаса, онда зерттелетін белгінің барлық мәндерін кестедегідей өсу ретімен вариациялық қатарға орналастыру жеткілікті. 1 немесе кему ретімен.

Сағат көп мөлшердебақылаулар (n>30), кездесетін нұсқалардың саны өте көп болуы мүмкін, бұл жағдайда интервал немесе топтастырылған вариациялық қатар құрастырылады, онда кейінгі өңдеуді жеңілдету және таралу сипатын нақтылау үшін нұсқалар топтарға біріктіріледі .

Әдетте топтық опциялардың саны 8-ден 15-ке дейін болады.

Олардың кем дегенде 5 болуы керек, өйткені. әйтпесе, ол тым өрескел, шамадан тыс үлкейту болады, бұл вариацияның жалпы көрінісін бұзады және орташа мәндердің дәлдігіне қатты әсер етеді. Топтық нұсқалардың саны 20-25-тен асса, орташа мәндерді есептеудің дәлдігі артады, бірақ атрибуттың вариациясының ерекшеліктері айтарлықтай бұрмаланып, математикалық өңдеу күрделенеді.

Топтастырылған серияларды құрастыру кезінде ескеру қажет

− нұсқа топтары белгілі бір ретпен орналастырылуы керек (өсу немесе кему);

- вариант топтарындағы интервалдар бірдей болуы керек;

− интервалдар шекараларының мәндері сәйкес келмеуі керек, өйткені жеке опцияларды қандай топтарға жатқызу анық болмайды;

- интервалдар шегін белгілеу кезінде жиналған материалдың сапалық ерекшеліктерін ескеру қажет (мысалы, ересектердің салмағын зерттеу кезінде 3-4 кг аралық қолайлы, ал балалар үшін алғашқы айлардағы өмір бойы ол 100 г аспауы керек.)

Емтихан алдында 55 медицина студенті үшін импульс жиілігі (минутына соғу саны) туралы деректерді сипаттайтын топтастырылған (интервалды) қатарды құрастырайық: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

Топтастырылған серияны құру үшін сізге қажет:

1. Интервалдың мәнін анықтау;

2. Вариант топтарының ортасын, басын және соңын анықтаңыз вариациялық қатар.

● (i) интервалының мәні күтілетін топтардың (r) санымен анықталады, олардың саны арнайы кесте бойынша бақылаулар санына (n) байланысты орнатылады.

Бақылау санына байланысты топтардың саны:

Біздің жағдайда 55 оқушыға 8-ден 10-ға дейін топ құруға болады.

(i) интервалының мәні мына формуламен анықталады -

i = Vmax-Vmin/r

Біздің мысалда интервалдың мәні 82-58/8= 3.

Егер интервал мәні болса бөлшек сан, нәтиже бүтін санға дейін дөңгелектенуі керек.

Орташа мәндердің бірнеше түрі бар:

● арифметикалық орта,

● геометриялық орта,

● гармоникалық орта,

● орташа квадрат,

● орташа прогрессивті,

● медиана

Медициналық статистикада арифметикалық орташа мәндер жиі қолданылады.

Орташа арифметикалық шама (M) – жалпы жиынтыққа тән типтік мәнді анықтайтын жалпылама шама. М-ті есептеудің негізгі әдістері: орташа арифметикалық әдіс және момент әдісі (шартты ауытқулар).

Орташа арифметикалық әдіс қарапайым арифметикалық ортаны және өлшенген арифметикалық ортаны есептеу үшін қолданылады. Орташа арифметикалық мәнді есептеу әдісін таңдау вариациялық қатардың түріне байланысты. Әрбір нұсқа тек бір рет кездесетін қарапайым вариациялық қатарда қарапайым арифметикалық орта мына формуламен анықталады:

мұндағы: М – орташа арифметикалық шама;

V – айнымалы мүмкіндіктің мәні (опциялар);

Σ - әрекетті көрсетеді - жинақтау;

n- жалпы саныбақылаулар.

Орташа арифметикалық мәнді есептеудің мысалы қарапайым. 35 жастағы 9 ер адамда тыныс алу жиілігі (минутына тыныс алу саны): 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18.

35 жастағы ерлердің тыныс алу жиілігінің орташа деңгейін анықтау үшін қажет:

1. Барлық опцияларды өсу немесе кему ретімен орналастырып, вариациялық қатар құрыңыз.Бізде қарапайым вариациялық қатар алдық, өйткені нұсқа мәндері тек бір рет орын алады.

М = ∑V/n = 171/9 = минутына 19 тыныс

Қорытынды. 35 жастағы ерлердің тыныс алу жиілігі минутына орта есеппен 19 тыныс алуды құрайды.

Егер нұсқаның жеке мәндері қайталанса, әрбір нұсқаны жолға жазудың қажеті жоқ, орын алатын нұсқаның өлшемдерін (V) тізіп, одан кейін олардың қайталану санын (p) көрсету жеткілікті. ). мұндай вариациялық қатар, мысалы, нұсқалары оларға сәйкес жиіліктер санына сәйкес өлшенеді, салмақты вариациялық қатар деп аталады, ал есептелген орташа мән орташа арифметикалық өлшенген болып табылады.

Орташа арифметикалық өлшенген мына формуламен анықталады: M= ∑Vp/n

мұндағы n – жиіліктер қосындысына тең бақылаулар саны – Σр.

Арифметикалық орташа мәнді есептеудің мысалы.

Ағымдағы жылдың бірінші тоқсанында учаскелік дәрігердің қабылдауында жедел респираторлық аурумен (ЖРВИ) ауыратын 35 науқастың мүгедектік ұзақтығы (күнмен): 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6 құрады. , 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6 , 7 күн.

Жедел респираторлық инфекциялармен ауыратын науқастарда мүгедектіктің орташа ұзақтығын анықтау әдістемесі келесідей:

1. Салмақты вариациялық қатарды құрастырайық, өйткені жеке нұсқа мәндері бірнеше рет қайталанады. Ол үшін барлық опцияларды сәйкес жиіліктерімен өсу немесе кему ретімен реттеуге болады.

Біздің жағдайда опциялар өсу ретімен орналасады.

2. Мына формула бойынша орташа арифметикалық өлшенгенді есептеңіз: M = ∑Vp/n = 233/35 = 6,7 күн

Жедел респираторлық инфекциялармен ауыратын науқастарды мүгедектік ұзақтығы бойынша бөлу:

Қорытынды. Жедел респираторлық аурулармен ауыратын науқастардың мүгедектік ұзақтығы орта есеппен 6,7 күнді құрады.

Режим (Mo) - вариациялық қатардағы ең көп таралған нұсқа. Кестеде келтірілген бөлу үшін режим 10-ға тең нұсқаға сәйкес келеді, ол басқаларға қарағанда жиі кездеседі - 6 рет.

Науқастарды аурухана төсегінде болу ұзақтығы бойынша бөлу (күнмен)

Кейде режимнің нақты мәнін анықтау қиынға соғады, өйткені зерттелетін деректерде «көбінесе» болатын бірнеше бақылаулар болуы мүмкін.

Медиана (Me) - вариациялық қатарды екі тең жартыға бөлетін параметрлік емес көрсеткіш: опциялардың бірдей саны медиананың екі жағында орналасқан.

Мысалы, кестеде көрсетілген үлестірім үшін медиана 10-ға тең, өйткені бұл мәннің екі жағында 14-ші нұсқада орналасқан, яғни. 10 саны осы қатарда орталық орынды алады және оның медианасы болып табылады.

Бұл мысалдағы бақылаулар саны жұп (n=34) екенін ескере отырып, медиананы келесідей анықтауға болады:

Мен = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17

Бұл қатардың ортасы 10 медианасына сәйкес келетін он жетінші нұсқаға келетінін білдіреді. Кестеде берілген үлестіру үшін орташа арифметикалық мән:

M = ∑Vp/n = 334/34 = 10,1

Сонымен, кестеден 34 бақылау үшін. 8, біз алдық: Mo=10, Me=10, орташа арифметикалық (M) 10,1. Біздің мысалда үш көрсеткіш те мүлдем басқа болса да, бір-біріне тең немесе жақын болып шықты.

Орташа арифметикалық шама - барлық әсерлердің нәтижелі сомасы; оның қалыптасуына барлық нұсқалар, соның ішінде экстремалды, берілген құбылыс немесе жиынтық үшін жиі атипті болып табылады.

Режим мен медиана, орташа арифметикалық мәннен айырмашылығы, айнымалы атрибуттың барлық жеке мәндерінің мәніне (экстремалды нұсқалардың мәндері және қатардың шашырау дәрежесі) тәуелді емес. Орташа арифметикалық бақылаулардың барлық массасын, режим мен медиана жалпы көлемін сипаттайды.

Топтастыру әдісі де өлшеуге мүмкіндік береді вариациябелгілердің (өзгермелілігі, ауытқуы). Популяция бірліктерінің салыстырмалы түрде аз санымен вариация популяцияны құрайтын бірліктердің реттелген қатары негізінде өлшенеді. Жол деп аталады дәрежеліегер бірліктер өсу (кему) сипатында орналасса.

Дегенмен, қажет болған кезде рейтингті сериялар өте индикативті болып табылады Салыстырмалы сипаттамаларвариациялар. Сонымен қатар, көп жағдайда белгілі бір қатар түрінде көрсету іс жүзінде қиын болатын көптеген бірліктерден тұратын статистикалық агрегаттармен айналысуға тура келеді. Осыған байланысты статистикалық мәліметтермен алғашқы жалпы танысу үшін және әсіресе белгілердің вариациясын зерттеуді жеңілдету үшін әдетте зерттелетін құбылыстар мен процестер топтарға біріктіріледі, ал топтастыру нәтижелері топтық кестелер түрінде құрастырылады. .

Егер топтық кестеде тек екі баған болса - таңдалған мүмкіндікке (параметрлер) және топтар санына (жиіліктер немесе жиіліктер) сәйкес топтар, ол деп аталады. таратуға жақын.

Таралу диапазоны -атрибуттың нұсқалары мен жиіліктерін қамтитын екі бағанасы бар топтық кестеде көрсетілетін бір атрибут бойынша құрылымдық топтастырудың қарапайым түрі. Көптеген жағдайларда мұндай құрылымдық топтастырумен, т.б. таралу қатарын құрастырумен бастапқы статистикалық материалды зерттеу басталады.

Бөлу қатары түріндегі құрылымдық топтастыру, егер таңдалған топтар тек жиіліктермен ғана емес, басқа статистикалық көрсеткіштермен де сипатталса, шынайы құрылымдық топтастыруға айналуы мүмкін. Тарату қатарларының негізгі мақсаты – белгілердің вариациясын зерттеу. Таралу қатарларының теориясы математикалық статистикамен егжей-тегжейлі әзірленген.

Тарату сериялары бөлінеді атрибутивті(атрибутивтік белгілер бойынша топтау, мысалы, халықтың жынысы, ұлты, отбасылық жағдайы және т.б. бойынша бөлінуі) және вариациялық(сандық белгілері бойынша топтастыру).

Вариациялық қатарекі бағанды ​​қамтитын топтық кесте: бір сандық атрибутқа және әр топтағы бірліктердің санына сәйкес бірліктерді топтастыру. Вариациялық қатардағы интервалдар әдетте тең және тұйық құрылады. Вариациялық қатар – жан басына шаққандағы орташа ақшалай кіріс бойынша Ресей халқының келесі топтамасы (3.10-кесте).

3.10-кесте

Ресей халқының 2004-2009 жж. жан басына шаққандағы орташа табысы бойынша бөлінуі

Вариациялық қатарлар өз кезегінде дискретті және интервалдық болып бөлінеді. Дискреттівариациялық қатар тар шектерде өзгеретін дискретті белгілердің нұсқаларын біріктіреді. Дискретті вариациялық қатарға мысал ретінде орыс отбасыларының балаларының санына қарай бөлінуін келтіруге болады.

Интервалвариациялық қатарлар кең ауқымда өзгеретін үздіксіз мүмкіндіктердің немесе дискретті мүмкіндіктердің нұсқаларын біріктіреді. Интервалдық қатар - жан басына шаққандағы орташа ақшалай кіріс бойынша Ресей халқының таралуының вариациялық қатары.

Дискретті вариациялық қатарлар практикада көп қолданылмайды. Сонымен қатар, оларды құрастыру қиын емес, өйткені топтардың құрамы зерттелетін топтастыру сипаттамаларына нақты ие болатын нақты нұсқалармен анықталады.

Интервалдық вариациялық қатарлар кең тараған. Оларды құрастыру кезінде топтардың саны, сондай-ақ белгіленетін интервалдардың мөлшері туралы қиын сұрақ туындайды.

Бұл мәселені шешу принциптері статистикалық топтастыруларды құру әдістемесі тарауында көрсетілген (3.3-тармақты қараңыз).

Вариациялық қатарлар әр түрлі ақпаратты ықшамдаудың немесе сығудың құралы болып табылады, олар вариацияның табиғаты туралы жеткілікті нақты пайымдаулар жасау үшін, зерттелетін жиынтыққа кіретін құбылыстардың белгілеріндегі айырмашылықтарды зерттеу үшін пайдаланылуы мүмкін. Бірақ маңыздывариациялық қатарлар - олардың негізінде вариацияның арнайы жалпылаушы сипаттамалары есептелінеді (7-тарауды қараңыз).

Математикалық статистикадағы тестті шешудің мысалы

1-тапсырма

Бастапқы деректер : 30 адамнан тұратын белгілі бір топтың студенттері «Информатика» курсы бойынша емтихан тапсырды. Оқушылар алған бағалар келесі сандар қатарын құрайды:

I. Вариациялық қатар құрастыру

II. Статистикалық ақпараттың графикалық көрінісі.

III. Үлгінің сандық сипаттамалары.

1. Арифметикалық орта

2. Геометриялық орта

3. Сән

4. Медиана

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Үлгі дисперсиясы

7. Вариация коэффициенті

8. Асимметрия

9. Асимметрия коэффициенті

10. Куртоз

11. Куртоз коэффициенті

2-тапсырма

Бастапқы деректер : белгілі бір топтың студенттері қорытынды тест жазды. Топ 30 адамнан тұрады. Оқушылардың жинаған ұпайлары келесі сандар қатарын құрайды

Шешім

I. Таңба әртүрлі мәндерді қабылдайтындықтан, біз оған интервалдық вариация қатарын саламыз. Ол үшін алдымен интервал мәнін орнатамыз h. Штургер формуласын қолданайық

Интервалдар шкаласын жасайық. Бұл жағдайда бірінші интервалдың жоғарғы шекарасы үшін формула бойынша анықталатын мәнді аламыз:

Кейінгі интервалдардың жоғарғы шекаралары келесі рекурсивті формуламен анықталады:

, Содан кейін

Біз интервалдар шкаласын құруды аяқтаймыз, өйткені келесі интервалдың жоғарғы шегі үлгінің максималды мәнінен үлкен немесе оған тең болды.
.

II. Интервалдық вариация қатарының графикалық көрінісі

III. Үлгінің сандық сипаттамалары

Үлгінің сандық сипаттамаларын анықтау үшін біз көмекші кестені құрастырамыз

1. Арифметикалық орта

2. Геометриялық орта

3. Сән

4. Медиана

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Үлгі дисперсиясы

6. Стандартты ауытқу үлгісі

7. Вариация коэффициенті

8. Асимметрия

9. Асимметрия коэффициенті

10. Куртоз

11. Куртоз коэффициенті

3-тапсырма

Шарт : амперметр шкаласының бөлінуінің мәні 0,1 А. Көрсеткіштер ең жақын бүтін бөлуге дейін дөңгелектенеді. Оқу кезінде 0,02 А-ден үлкен қателік шығу ықтималдығын табыңыз.

Шешім.

Дөңгелектеу қатесін кездейсоқ шама ретінде қарастыруға болады X, ол екі көршілес бүтін бөлімдер арасындағы аралықта біркелкі таратылады. Біркелкі таралу тығыздығы

,

Қайда
- мүмкін мәндерді қамтитын интервал ұзындығы X; осы аралықтан тыс
Бұл есепте мүмкін мәндерді қамтитын аралық ұзындығы X, 0,1-ге тең, сондықтан

Оқу қатесі (0,02; 0,08) интервалға қосылса, 0,02-ден асады. Содан кейін

Жауап: Р=0,6

4-тапсырма

Бастапқы деректер: қалыпты үлестірілген функцияның математикалық күтуі және стандартты ауытқуы Xсәйкесінше 10 және 2. Сынақ нәтижесінде болатын ықтималдықты табыңыз X(12, 14) интервалындағы мәнді қабылдайды.

Шешім.

формуланы қолданайық

Және теориялық жиіліктер

Х үшін оның математикалық күтуі M(X) және дисперсиясы D(X). Шешім. F(x) үлестірім функциясын табыңыз. кездейсоқ шама... іріктеу қатесі). Құрастырайық вариациялық қатарИнтервал ені болады: Әрбір мән үшін қатарЕсептеп көрейік, қанша...

Шарты:

Жұмысшылардың жас құрамы (ж.) туралы мәліметтер бар: 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28 , 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

1. 1. Интервалдық таралу қатарын құру.
   2. Серияның графикалық көрінісін құрастыру.
   3. Режим мен медиананы графикалық түрде анықтаңыз.

Шешімі:

1) Стерджесс формуласы бойынша популяцияны 1 + 3,322 lg 30 = 6 топқа бөлу керек.

Ең үлкен жас - 38, ең төменгі жас - 18.

Интервал ені Интервалдардың ұштары бүтін сандар болуы керек болғандықтан, біз жиынтықты 5 топқа бөлеміз. Интервал ені - 4.

Есептеулерді жеңілдету үшін деректерді өсу ретімен орналастырайық: 18, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 2 , 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 38, 38.

Жұмысшылардың жас бойынша бөлінуі

Графикалық түрде қатарды гистограмма немесе көпбұрыш түрінде көрсетуге болады. Гистограмма – бағаналы диаграмма. Бағанның негізі интервалдың ені болып табылады. Жолақтың биіктігі жиілікке тең.

Көпбұрыш (немесе тарату полигоны) жиіліктер графигі болып табылады. Оны гистограмма бойынша тұрғызу үшін тіктөртбұрыштардың жоғарғы жақтарының ортаңғы нүктелерін қосамыз. Шеткі х мәндерінен интервалдың жартысына тең қашықтықта х осіндегі көпбұрышты жабамыз.

Режим (Mo) - берілген популяцияда жиі кездесетін зерттелетін белгінің мәні.

Гистограммадан режимді анықтау үшін ең жоғары тіктөртбұрышты таңдап, осы тіктөртбұрыштың оң жақ төбесінен алдыңғы тіктөртбұрыштың жоғарғы оң жақ бұрышына сызық жүргізіп, модальдық тіктөртбұрыштың сол жақ төбесінен сызық сызу керек. келесі төртбұрыштың сол жақ төбесі. Осы түзулердің қиылысу нүктесінен х осіне перпендикуляр сызыңыз. Абцисса сән болады. Mo ≈ 27,5. Бұл бұл тұрғындардың ең көп таралған жасы 27-28 жас дегенді білдіреді.

Медиана (Me) – реттелген вариациялық қатардың ортасында орналасқан зерттелетін белгінің мәні.

Біз медиананы кумулят арқылы табамыз. Кумулят – жинақталған жиіліктердің графигі. Абциссалар қатардың нұсқалары болып табылады. Ординаттар жинақталған жиіліктер болып табылады.

Кумулят үшін медиананы анықтау үшін ордината осінің бойынан жинақталған жиіліктердің 50% сәйкес келетін нүктені (біздің жағдайда 15) табамыз, ол арқылы Ох осіне параллель түзу жүргіземіз және оған перпендикуляр жүргіземіз. х осі оның кумулятпен қиылысу нүктесінен. Абцисса медиана болып табылады. Мен ≈ 25,9. Бұл осы халықтағы жұмысшылардың тең жартысы 26 жасқа толмағандар деген сөз.

Жалпы белгінің болуы сипаттама немесе өлшеу нәтижелері болып табылатын статистикалық жиынтықты қалыптастырудың негізі болып табылады. ортақ ерекшеліктерізерттеу объектілері.

Статистиканың зерттеу пәні – өзгермелі (өзгеретін) белгілер немесе статистикалық белгілер.

Статистикалық белгілердің түрлері.

Таралу қатарлары атрибуттар қатары деп аталады.сапалы негізде салынған. Атрибутивтік- бұл аты бар белгі (мысалы, мамандық: тігінші, мұғалім, т.б.).
Тарату қатарын кесте түрінде орналастыру әдетке айналған. Кестеде. 2.8 таралу атрибуттар қатарын көрсетеді.
2.8-кесте – Ресей Федерациясының аймақтарының бірінің азаматтарына адвокаттар көрсететін заң көмегінің түрлерін бөлу.

Белгінің өзгеру сипатына қарай болады дискретті және интервалдық вариациялық қатарлар.
Дискретті вариациялық қатардың мысалы кестеде келтірілген. 2.9.
2.9-кесте – 1989 жылы Ресей Федерациясында жеке пәтерлерде орналасқан бөлмелер саны бойынша отбасыларды бөлу.

Вариациялық қатар

nжинақталған жиілік w i max деп аталады.
Атрибут дискретті айнымалы деп аталады, егер оның жеке мәндері (нұсқалары) бір-бірінен белгілі бір шекті шамамен (әдетте бүтін сан) ерекшеленетін болса. Мұндай белгінің вариациялық қатарын дискретті вариациялық қатар деп атайды.

Кесте 1. Жиіліктердің дискретті вариациялық қатарының жалпы көрінісі

Мүмкіндік мәндері	x i	x 1	x2	…	x n
Жиіліктер	м мен	м 1	м2	…	м н

Атрибут үздіксіз өзгеретін деп аталады, егер оның мәндері бір-бірінен ерікті түрде аз мөлшерде ерекшеленсе, яғни. белгі белгілі бір аралықта кез келген мәнді қабылдай алады. Мұндай белгі үшін үздіксіз вариациялық қатар интервалдық қатар деп аталады.

Кесте 2. Жиіліктердің интервалдық вариация қатарының жалпы көрінісі

Кесте 3. Вариациялық қатардың графикалық кескіндері

Қатар	Көпбұрыш немесе гистограмма		Эмпирикалық таралу функциясы
Дискретті
интервал

Бақылау нәтижелеріне қарап, әр нақты интервалға қанша нұсқалардың мәні түскені анықталады. Әрбір интервал оның бір ұшына жатады деп болжанады: не барлық жағдайларда сол жақ (жиірек), немесе барлық жағдайда оң жақ, ал жиіліктер немесе жиіліктер көрсетілген шекараларда қамтылған опциялардың санын көрсетеді. Айырмашылықтар a i – a i +1жартылай интервалдар деп аталады. Кейінгі есептеулерді жеңілдету үшін интервалдық вариациялық қатарды шартты дискреттімен ауыстыруға болады. Бұл жағдайда орташа мән мен-ші интервал опция ретінде қабылданады x i, және сәйкес интервал жиілігі м мен- осы интервалдың жиілігі үшін.
Вариациялық қатарларды графикалық бейнелеу үшін көпбұрыш, гистограмма, кумулятивтік қисық және эмпирикалық таралу функциясы жиі қолданылады.

Кестеде. 2.3 (1994 жылғы сәуірдегі жан басына шаққандағы орташа табыс мөлшері бойынша Ресей халқын топтастыру) ұсынылған. интервалдық вариациялық қатар.
Бөлу қатарын графикалық бейнелеу арқылы талдау ыңғайлы, ол сонымен қатар үлестірімнің пішінін бағалауға мүмкіндік береді. Вариациялық қатардың жиіліктерінің өзгеру сипатының көрнекі көрінісі арқылы берілген көпбұрыш және гистограмма.
Көпбұрыш дискретті вариациялық қатарларды көрсету кезінде қолданылады.
Мысалы, пәтерлердің түрлері бойынша тұрғын үй қорының бөлінуін графикалық түрде көрсетейік (2.10-кесте).
2.10-кесте – Қалалық аумақтың тұрғын үй қорын пәтерлердің түрлері бойынша бөлу (шартты сандар).

Күріш. Тұрғын үйді бөлу полигоны

Y осінде жиіліктердің мәндерін ғана емес, сонымен қатар вариациялық қатардың жиіліктерін де салуға болады.
Гистограмма интервалдық вариация қатарын көрсету үшін алынады. Гистограмманы құру кезінде абсцисса осіне интервалдардың мәндері, ал жиіліктер сәйкес интервалдарға салынған тіктөртбұрыштар арқылы бейнеленеді. Бағандардың биіктігі тең интервалдар болған жағдайда жиіліктерге пропорционалды болуы керек. Гистограмма - бұл қатар бір-біріне жақын жолақтар түрінде көрсетілген график.
Кестеде берілген интервалдық таралу қатарын графикалық түрде бейнелейік. 2.11.
Кесте 2.11 – Жанұяларды бір адамға шаққандағы тұрғын үй алаңының көлемі бойынша бөлу (шартты сандар).

N p / p	Бір адамға шаққандағы тұрғын үй көлемі бойынша отбасылар топтары	Тұрғын үй алаңының берілген көлемі бар отбасылар саны	Отбасылардың жинақталған саны
1	3 – 5	10	10
2	5 – 7	20	30
3	7 – 9	40	70
4	9 – 11	30	100
5	11 – 13	15	115
БАРЛЫҒЫ		115	----

Күріш. 2.2. Жанұялардың бір адамға шаққандағы тұрғын үй көлемі бойынша таралу гистограммасы

Жинақталған қатардың мәліметтерін пайдалана отырып (2.11-кесте) құрастырамыз бөлу жиынтық.

Күріш. 2.3. Жанұялардың бір адамға шаққандағы тұрғын үй көлемі бойынша жиынтық бөлінуі

Вариациялық қатарды кумулят түрінде көрсету, әсіресе, жиіліктері қатар жиіліктерінің қосындысының үлестері немесе пайыздарымен өрнектелетін вариациялық қатарлар үшін тиімді.
Вариациялық қатардың графикалық кескініндегі осьтерді кумулят түрінде өзгертсек, онда аламыз огиву. Суретте. 2.4 Кестедегі деректер негізінде құрастырылған огиваны көрсетеді. 2.11.
Гистограмманы тіктөртбұрыштардың қабырғаларының орта нүктелерін тауып, содан кейін осы нүктелерді түзулермен қосу арқылы таралу полигонына түрлендіруге болады. Алынған таралу полигоны күріште көрсетілген. 2.2 нүктелі сызық.
Тең емес интервалдардағы вариациялық қатардың таралу гистограммасын құру кезінде ордината осі бойынша жиіліктер емес, сәйкес аралықтарда белгінің таралу тығыздығы қолданылады.
Тарату тығыздығы - бірлік аралық еніне есептелген жиілік, яғни. бірлік интервалының мәніне әр топта қанша бірлік бар. Бөлу тығыздығын есептеу мысалы кестеде берілген. 2.12.
2.12-кесте – Кәсіпорындарды жұмысшылар саны бойынша бөлу (цифрлар шартты)

N p / p	Жұмысшылар саны, адам саны бойынша кәсіпорындардың топтары.	Кәсіпорындар саны	Интервал өлшемі, перс.	Таралу тығыздығы
	А	1	2	3=1/2
1	20-ға дейін	15	20	0,75
2	20 – 80	27	60	0,25
3	80 – 150	35	70	0,5
4	150 – 300	60	150	0,4
5	300 – 500	10	200	0,05
	БАРЛЫҒЫ	147	----	----

Вариациялық қатардың графикалық көрінісі үшін де қолдануға болады жиынтық қисық. Кумуляттың көмегімен (сомалардың қисығы) жинақталған жиіліктер қатары көрсетіледі. Жинақталған жиіліктер топтар бойынша жиіліктерді дәйекті түрде жинақтау арқылы анықталады және халықтың қанша бірлігінде қарастырылған мәннен аспайтын ерекшелік мәндері бар екенін көрсетеді.

Күріш. 2.4. Жанұяларды бір адамға шаққандағы тұрғын үй көлеміне қарай Ogiva бөлу

Интервалдық вариациялық қатардың кумулятын тұрғызған кезде қатардың нұсқалары абсцисса осі бойымен, ал жинақталған жиіліктер ордината осі бойымен сызылады.

Үздіксіз вариациялық қатар

Үздіксіз вариациялық қатар – сандық статистикалық белгі негізінде құрылған қатар. Мысал. Ағымдағы жылғы күзгі-қысқы кезеңде сотталғандардың ауыруының орташа ұзақтығы (адам шаққандағы күн):

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5