Kuinka ymmärtää funktioita ja niiden kuvaajia. Funktiokaavioiden rakentaminen. Kotangenttifunktion ominaisuudet

The menetelmällinen materiaali on viitteellinen ja kattaa laajan valikoiman aiheita. Artikkeli tarjoaa yleiskatsauksen tärkeimpien perusfunktioiden kaavioista ja tarkastelee niitä tärkein kysymys – kuinka rakentaa kaavio oikein ja NOPEASTI. Tutkimuksen aikana korkeampi matematiikka perusfunktioiden kuvaajia tuntematta on vaikeaa, joten on erittäin tärkeää muistaa, miltä paraabelin, hyperbelin, sinin, kosinin jne. kaaviot näyttävät, muistaaksesi joitain funktioarvoja. Puhumme myös joistakin päätoimintojen ominaisuuksista.

En väitä aineistojen täydellisyyttä ja tieteellistä perusteellisuutta, vaan painotetaan ennen kaikkea käytäntöä - niitä asioita, joilla täytyy kohdata kirjaimellisesti joka vaiheessa, missä tahansa korkeamman matematiikan aiheessa. Kaavioita nukkeille? Voit sanoa niin.

Yleisön lukijoiden pyynnöstä napsautettava sisällysluettelo:

Lisäksi aiheesta on erittäin lyhyt abstrakti
– hallitse 16 tyyppistä kaaviota tutkimalla KUUSI sivua!

Vakavasti, kuusi, jopa minä itse yllätyin. Tämä tiivistelmä sisältää parannettua grafiikkaa ja on saatavana nimellistä maksua vastaan, demoversio on katsottavissa. Tiedosto on kätevä tulostaa niin, että kaaviot ovat aina käsillä. Kiitos projektin tukemisesta!

Ja aloitamme heti:

Kuinka rakentaa koordinaattiakselit oikein?

Käytännössä opiskelijat laativat kokeet lähes aina erillisiin vihkoihin, jotka on vuorattu häkkiin. Miksi tarvitset ruudullisia merkintöjä? Loppujen lopuksi työ voidaan periaatteessa tehdä A4-arkeille. Ja häkki on tarpeellinen vain piirustusten laadukkaan ja tarkan suunnittelun vuoksi.

Mikä tahansa funktiokaavion piirustus alkaa koordinaattiakseleilla.

Piirustukset ovat kaksi- ja kolmiulotteisia.

Tarkastellaanpa ensin kaksiulotteista tapausta karteesinen suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit:

1) Piirrämme koordinaattiakselit. Akseli on ns x-akseli , ja akseli y-akseli . Pyrimme aina piirtämään niitä siisti ja ei kiero. Nuolet eivät myöskään saa muistuttaa Papa Carlon partaa.

2) Allekirjoitamme akselit isoilla kirjaimilla "x" ja "y". Älä unohda allekirjoittaa akseleita.

3) Aseta asteikko akseleita pitkin: piirrä nolla ja kaksi ykköstä. Piirustusta tehtäessä kätevin ja yleisin mittakaava on: 1 yksikkö = 2 solua (piirros vasemmalla) - pidä siitä kiinni, jos mahdollista. Ajoittain kuitenkin tapahtuu, että piirustus ei mahdu muistikirjan arkille - sitten pienennämme mittakaavaa: 1 yksikkö = 1 solu (piirros oikealla). Harvoin, mutta tapahtuu, että piirustuksen mittakaavaa on pienennettävä (tai lisättävä) vielä enemmän

ÄLÄ kirjoita konekiväärillä ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Sillä koordinaattitaso ei ole Descartesin muistomerkki, eikä opiskelija ole kyyhkynen. Laitamme nolla Ja kaksi yksikköä akseleita pitkin. Joskus sijasta yksiköitä, on kätevää "tunnistaa" muita arvoja, esimerkiksi "kaksi" abskissa-akselilla ja "kolme" ordinaatta-akselilla - ja tämä järjestelmä (0, 2 ja 3) asettaa myös yksilöllisesti koordinaattiruudukon.

Piirustuksen arvioidut mitat on parempi arvioida ENNEN piirustuksen tekemistä.. Joten jos tehtävä edellyttää esimerkiksi kolmion piirtämistä, jonka kärjet ovat , , , niin on melko selvää, että suosittu mittakaava 1 yksikkö = 2 solua ei toimi. Miksi? Katsotaanpa asiaa - tässä sinun on mitattava viisitoista senttimetriä alaspäin, ja ilmeisesti piirustus ei mahdu (tai tuskin mahdu) muistikirjan arkille. Siksi valitsemme heti pienemmän mittakaavan 1 yksikkö = 1 solu.

Muuten, noin senttimetrejä ja muistikirjan soluja. Onko totta, että 30 muistikirjan solussa on 15 senttimetriä? Mittaa viivaimella muistivihkosta kiinnostuksen kohteeksi 15 senttimetriä. Neuvostoliitossa tämä oli ehkä totta ... On mielenkiintoista huomata, että jos mittaat nämä samat senttimetrit vaaka- ja pystysuunnassa, tulokset (soluissa) ovat erilaisia! Tarkkaan ottaen nykyaikaiset muistikirjat eivät ole ruudullisia, vaan suorakaiteen muotoisia. Se voi tuntua hölmöltä, mutta esimerkiksi ympyrän piirtäminen kompassilla tällaisissa tilanteissa on erittäin hankalaa. Ollakseni rehellinen, sellaisina hetkinä alkaa miettiä toveri Stalinin oikeellisuutta, joka lähetettiin leireille hakkeroimaan tuotannossa, puhumattakaan kotimaisesta autoteollisuudesta, putoavista lentokoneista tai räjähtävistä voimalaitoksista.

Laadusta puheen ollen tai lyhyt suositus paperitavaroista. Toistaiseksi suurin osa myytävistä muistikirjoista, sanomatta huonoja sanoja, ovat täydellisiä peikkoja. Siitä syystä, että ne kastuvat, eikä vain geelikynistä, vaan myös kuulakärkikynistä! Säästä paperilla. Selvitystä varten ohjaus toimii Suosittelen käyttämään Arkangelin sellu- ja paperitehtaan muistikirjoja (18 arkkia, häkki) tai Pyaterochkan, vaikka se on kalliimpaa. On suositeltavaa valita geelikynä, halvinkin kiinalainen geelitäyttö on paljon parempi kuin kuulakärkikynä, joka joko tahraa tai repii paperia. Ainoa "kilpaileva" kuulakärkikynä muistissani on Erich Krause. Hän kirjoittaa selkeästi, kauniisti ja vakaasti - joko täydellä varrella tai melkein tyhjällä.

Lisäksi: artikkelissa käsitellään suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän näkemystä analyyttisen geometrian silmin Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta, yksityiskohtaiset tiedot koordinaattineljänneksistä löytyvät oppitunnin toisesta kappaleesta Lineaariset epäyhtälöt.

3D kotelo

Se on melkein sama täällä.

1) Piirrämme koordinaattiakselit. Vakio: soveltaa akselia – suunnattu ylöspäin, akseli – suunnattu oikealle, akseli – alaspäin vasemmalle tiukasti 45 asteen kulmassa.

2) Allekirjoitamme akselit.

3) Aseta asteikko akseleita pitkin. Skaalaa akselia pitkin - kaksi kertaa vähemmän kuin asteikko muilla akseleilla. Huomaa myös, että oikeassa piirustuksessa käytin epästandardia "serifiä" akselilla (tämä mahdollisuus on jo mainittu edellä). Minun näkökulmastani se on tarkempi, nopeampi ja esteettisempi - sinun ei tarvitse etsiä kennon keskikohtaa mikroskoopilla ja "veistää" yksikköä suoraan alkuperään asti.

Kun teet 3D-piirustuksen uudelleen - aseta mittakaava etusijalle
1 yksikkö = 2 solua (piirros vasemmalla).

Mitä varten nämä kaikki säännöt ovat? Säännöt on olemassa rikottavaksi. Mitä minä nyt teen. Tosiasia on, että artikkelin myöhemmät piirustukset teen Excelissä ja koordinaattiakselit näyttävät virheellisiltä. oikea muotoilu. Voisin piirtää kaikki kaaviot käsin, mutta niiden piirtäminen on todella pelottavaa, koska Excel on haluton piirtämään niitä paljon tarkemmin.

Kuvaajat ja alkeisfunktioiden perusominaisuudet

Lineaarinen funktio saadaan yhtälöstä . Lineaarinen funktiokaavio on suoraan. Suoran rakentamiseksi riittää, että tietää kaksi pistettä.

Esimerkki 1

Piirrä funktio. Etsitään kaksi pistettä. On edullista valita nolla yhdeksi pisteeksi.

Jos sitten

Otamme toisen kohdan, esimerkiksi 1.

Jos sitten

Tehtäviä valmisteltaessa pisteiden koordinaatit kootaan yleensä taulukkoon:

Ja itse arvot lasketaan suullisesti tai luonnoksella, laskimella.

Kaksi pistettä löytyy, piirretään:

Piirustusta laadittaessa allekirjoitamme aina grafiikan.

Ei ole tarpeetonta muistaa lineaarisen funktion erikoistapauksia:

Huomaa, kuinka laitoin kuvatekstit, allekirjoitukset eivät saa olla moniselitteisiä piirustusta tutkittaessa. Tässä tapauksessa oli erittäin epätoivottavaa laittaa allekirjoitusta viivojen leikkauspisteen viereen tai oikeaan alareunaan kaavioiden väliin.

1) Muodon () lineaarifunktiota kutsutaan suoraksi suhteelliseksi. Esimerkiksi, . Suoran verrannollisuuden graafi kulkee aina origon kautta. Siten suoran linjan rakentaminen yksinkertaistuu - riittää, että löytää vain yksi piste.

2) Muodollinen yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, erityisesti itse akseli on annettu yhtälöllä. Funktion kuvaaja rakennetaan välittömästi, ilman pisteitä. Toisin sanoen merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "y on aina yhtä suuri kuin -4, millä tahansa x:n arvolla."

3) Muotoinen yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, erityisesti itse akseli on yhtälöllä annettu. Myös funktion kuvaaja rakennetaan välittömästi. Merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "x on aina, millä tahansa y:n arvolla, yhtä suuri kuin 1."

Jotkut kysyvät, miksi muistaa 6. luokka?! Näin se ehkä onkin, vain harjoitteluvuosien aikana tapasin parikymmentä opiskelijaa, jotka olivat hämmentyneitä tehtävästä rakentaa graafi, kuten tai .

Suoran viivan piirtäminen on yleisin toimenpide piirustuksia tehtäessä.

Suoraa käsitellään yksityiskohtaisesti analyyttisen geometrian aikana, ja halukkaat voivat viitata artikkeliin Tason suoran yhtälö.

Neliöfunktiokaavio, kuutiofunktiograafi, polynomigraafi

Paraabeli. Neliöfunktion kuvaaja () on paraabeli. Mieti kuuluisaa tapausta:

Muistetaan joitain funktion ominaisuuksia.

Joten, ratkaisu yhtälöimme: - tässä pisteessä sijaitsee paraabelin kärki. Miksi näin on, voidaan oppia derivaatta käsittelevästä teoreettisesta artikkelista ja oppitunnista funktion ääripäistä. Sillä välin laskemme vastaavan y:n arvon:

Huippupiste on siis pisteessä

Nyt löydämme muita pisteitä, samalla kun käytämme röyhkeästi paraabelin symmetriaa. On huomattava, että toiminto – ei ole tasainen, mutta kukaan ei kuitenkaan kumonnut paraabelin symmetriaa.

Missä järjestyksessä jäljellä olevat pisteet löydetään, luulen, että se selviää finaalipöydästä:

Tätä rakennusalgoritmia voidaan kuvaannollisesti kutsua "sukkulaksi" tai "edestakaisin" -periaatteeksi Anfisa Chekhovan kanssa.

Tehdään piirustus:

Tarkastetuista kaavioista tulee mieleen toinen hyödyllinen ominaisuus:

Neliöfunktiolle () seuraava pitää paikkansa:

Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin.

Jos , niin paraabelin haarat on suunnattu alaspäin.

Käyrästä saa syvällistä tietoa oppitunnilla Hyperbola ja parabola.

Kuutioparaabeli saadaan funktiolla . Tässä koulusta tuttu piirros:

Luettelemme funktion tärkeimmät ominaisuudet

Funktiokaavio

Se edustaa yhtä paraabelin haaroista. Tehdään piirustus:

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Tässä tapauksessa akseli on vertikaalinen asymptootti hyperbolakaaviolle osoitteessa .

On SUURI virhe, jos annat piirustusta tehdessäsi huolimattomuudesta leikkaamaan kaavion asymptootin kanssa.

Myös yksipuoliset rajat, kerro meille, että hyperboli ei ole rajoitettu ylhäältä Ja ei rajoitettu alhaalta.

Tutkitaan funktiota äärettömyydessä: eli jos alamme liikkua akselia pitkin vasemmalle (tai oikealle) äärettömään, niin "peleistä" tulee hoikka askel äärettömän lähellä lähestyy nollaa, ja vastaavasti hyperbelin haarat äärettömän lähellä lähestyä akselia.

Eli akseli on horisontaalinen asymptootti funktion kuvaajalle, jos "x" pyrkii plus tai miinus äärettömyyteen.

Toiminto on outo, mikä tarkoittaa, että hyperboli on symmetrinen origon suhteen. Tämä tosiasia on ilmeinen piirroksesta, lisäksi se voidaan helposti tarkistaa analyyttisesti: .

Muodon () funktion kuvaaja edustaa hyperbelin kahta haaraa.

Jos , Hyperbola sijaitsee ensimmäisessä ja kolmannessa koordinaattineljänneksessä(katso kuva yllä).

Jos , Hyperbola sijaitsee toisessa ja neljännessä koordinaattineljänneksessä.

Hyperbolin asuinpaikan määriteltyä säännöllisyyttä ei ole vaikea analysoida graafien geometristen muunnosten näkökulmasta.

Esimerkki 3

Muodosta hyperbelin oikea haara

Käytämme pistemäistä rakennusmenetelmää, mutta arvot on edullista valita siten, että ne jakautuvat kokonaan:

Tehdään piirustus:

Hyperbolan vasemman haaran rakentaminen ei ole vaikeaa, tässä vain funktion omituisuus auttaa. Karkeasti sanottuna, pisteviivaisessa rakennustaulukossa, lisää henkisesti miinus jokaiseen numeroon, laita vastaavat pisteet ja piirrä toinen haara.

Tarkat geometriset tiedot tarkasteltavasta viivasta löytyvät artikkelista Hyperbola ja parabola.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta

Tässä kappaleessa tarkastelen välittömästi eksponentiaalista funktiota, koska korkeamman matematiikan ongelmissa 95%:ssa tapauksista esiintyy eksponentti.

Muistutan teitä, että - tämä on irrationaalinen luku: , tätä vaaditaan rakennettaessa kaaviota, jonka itse asiassa rakennan ilman seremonioita. Kolme pistettä varmaan riittää:

Jätetään funktion kuvaaja toistaiseksi rauhaan, siitä myöhemmin.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Periaatteessa funktioiden kaaviot näyttävät samalta jne.

Minun on sanottava, että toinen tapaus on vähemmän yleinen käytännössä, mutta sitä esiintyy, joten katsoin tarpeelliseksi sisällyttää se tähän artikkeliin.

Logaritmisen funktion kuvaaja

Tarkastellaan funktiota, jolla on luonnollinen logaritmi .
Piirretään viiva:

Jos olet unohtanut mikä logaritmi on, katso koulun oppikirjoja.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Verkkotunnus:

Arvoalue: .

Funktiota ei ole rajoitettu ylhäältä: , vaikkakin hitaasti, mutta logaritmin haara nousee äärettömään.
Tutkimme funktion käyttäytymistä lähellä nollaa oikealla: . Eli akseli on vertikaalinen asymptootti funktion kuvaajalle, jossa "x" pyrkii nollaan oikealla.

Muista tietää ja muistaa logaritmin tyypillinen arvo: .

Pohjimmiltaan logaritmin käyrä kannassa näyttää samalta: , , (desimaalilogaritmi kantaan 10) jne. Samalla mitä suurempi pohja, sitä litteämpi kaavio on.

Emme käsittele tapausta, jota en muista, kun viimeksi rakensin kaavion sellaisella pohjalla. Kyllä, ja logaritmi näyttää olevan erittäin harvinainen vieras korkeamman matematiikan ongelmissa.

Kappaleen lopuksi sanon vielä yhden tosiasian: Eksponentiaalinen funktio ja logaritminen funktioovat kaksi keskinäistä käänteisiä funktioita . Jos katsot tarkasti logaritmin kuvaajaa, voit nähdä, että tämä on sama eksponentti, vain se sijaitsee hieman eri tavalla.

Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Miten trigonometrinen piina alkaa koulussa? Oikein. Sinistä

Piirretään funktio

Tätä linjaa kutsutaan sinusoidi.

Muistutan, että "pi" on irrationaalinen luku: ja trigonometriassa se häikäisee silmissä.

Toiminnon tärkeimmät ominaisuudet:

Tämä toiminto on kausijulkaisu jaksolla. Mitä se tarkoittaa? Katsotaanpa leikkausta. Sen vasemmalla ja oikealla puolella täsmälleen sama kaavion pala toistuu loputtomasti.

Verkkotunnus: , eli mille tahansa "x":n arvolle on olemassa siniarvo.

Arvoalue: . Toiminto on rajoitettu: , eli kaikki "pelit" ovat tiukasti segmentissä .
Tätä ei tapahdu: tai tarkemmin sanottuna tapahtuu, mutta näillä yhtälöillä ei ole ratkaisua.

Kansallinen tutkimusyliopisto

Soveltavan geologian laitos

Essee korkeammasta matematiikasta

Aiheesta: "Perustoiminnot,

niiden ominaisuudet ja kaaviot"

Valmistunut:

Tarkistettu:

opettaja

Määritelmä. Kaavan y=a x (jossa a>0, a≠1) antamaa funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi funktioksi, jonka kanta on a.

Muotoillaan tärkeimmät ominaisuudet eksponentti funktio:

1. Määritelmäalue on kaikkien joukko (R). todellisia lukuja.

2. Arvoalue on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko (R+).

3. Kun a > 1, funktio kasvaa koko reaaliviivalla; klo 0<а<1 функция убывает.

4. On funktio yleisnäkymä.

Funktion muotoa y(х)=х n , jossa n on luku ОR, kutsutaan potenssifunktioksi. Luku n voi saada erilaisia ​​arvoja: sekä kokonaisluku- että murtoluku, sekä parillinen että pariton. Tästä riippuen tehotoiminnolla on eri muoto. Harkitse erikoistapauksia, jotka ovat potenssifunktioita ja heijastavat tämäntyyppisten käyrien pääominaisuuksia seuraavassa järjestyksessä: tehofunktio y \u003d x² (funktio, jolla on parillinen eksponentti - paraabeli), potenssifunktio y \u003d x³ (funktio parittomalla eksponentilla - kuutioparaabeli) ja funktiolla y \u003d √ x (x potenssilla ½) (funktio murto-eksponentilla), funktio negatiivisella kokonaislukueksponentilla (hyperbola).

Virtatoiminto y=x²

1. D(x)=R – funktio on määritelty koko numeeriselle akselille;

2. E(y)= ja kasvaa välissä

Virtatoiminto y=x³

1. Funktion y \u003d x³ kuvaajaa kutsutaan kuutioparaabeliksi. Tehofunktiolla y=x³ on seuraavat ominaisuudet:

2. D(x)=R – funktio on määritelty koko numeeriselle akselille;

3. E(y)=(-∞;∞) – funktio ottaa kaikki arvot määrittelyalueellaan;

4. Kun x=0 y=0 – funktio kulkee origon O(0;0) kautta.

5. Funktio kasvaa koko määrittelyalueen yli.

6. Funktio on pariton (symmetrinen origon suhteen).

Riippuen x³:n edessä olevasta numeerisesta kertoimesta, funktio voi olla jyrkkä/tasainen ja kasvaa/laskeva.

Potenttifunktio negatiivisella kokonaisluvulla:

Jos eksponentti n on pariton, niin tällaisen potenssifunktion kuvaajaa kutsutaan hyperboliksi. Potenttifunktiolla, jolla on negatiivinen kokonaislukueksponentti, on seuraavat ominaisuudet:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) mille tahansa n:lle;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) jos n on pariton luku; E(y)=(0;∞) jos n on parillinen luku;

3. Funktio pienenee koko määritelmän alueella, jos n on pariton luku; funktio kasvaa välillä (-∞;0) ja pienenee välillä (0;∞), jos n on parillinen luku.

4. Funktio on pariton (symmetrinen origon suhteen), jos n on pariton luku; funktio on parillinen, jos n on parillinen luku.

5. Funktio kulkee pisteiden (1;1) ja (-1;-1) läpi, jos n on pariton luku ja pisteiden (1;1) ja (-1;1) läpi, jos n on parillinen luku.

Potenttifunktio murto-osalla

Potenssifunktiolla, jolla on muodon (kuva) murto-eksponentti, on kuvassa esitetyn funktion käyrä. Potenttifunktiolla, jossa on murto-osollinen eksponentti, on seuraavat ominaisuudet: (kuva)

1. D(x) ОR, jos n on pariton luku ja D(x)= , välillä xО , välillä xО [-3;3]

Logaritmisella funktiolla y \u003d log a x on seuraavat ominaisuudet:

1. Määritelmäalue D(x)н (0; + ∞).

2. Arvoalue E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funktio ei ole parillinen eikä pariton (yleinen).

4. Funktio kasvaa aikavälillä (0; + ∞), kun a > 1, pienenee (0; + ∞), jos 0< а < 1.

Funktion y = log a x kuvaaja saadaan funktion y = a x graafista käyttämällä symmetriamuunnosta suoran y = x ympärillä. Kuvassa 9 on piirretty logaritmisen funktion kuvaaja arvolle a > 1 ja kuvassa 10 arvolle 0< a < 1.

Funktioita y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x kutsutaan trigonometrisiksi funktioiksi.

Funktiot y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ovat parittomia ja funktio y \u003d cos x on parillisia.

Funktio y \u003d sin (x).

1. Määritelmäalue D(x) ОR.

2. Arvoalue E(y) О [ - 1; 1].

3. Funktio on jaksollinen; pääjakso on 2π.

4. Funktio on pariton.

5. Funktio kasvaa intervalleilla [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ja pienenee intervalleilla [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Funktion y \u003d sin (x) kaavio on esitetty kuvassa 11.

Perusfunktiot, niiden luontaiset ominaisuudet ja vastaavat graafit ovat yksi matematiikan perusteista, samanlainen kuin kertolaskun merkitys. Perustoiminnot ovat perusta, tuki kaikkien teoreettisten kysymysten tutkimiselle.

Alla olevassa artikkelissa on keskeistä materiaalia perustoimintojen aiheesta. Esittelemme termejä, annamme niille määritelmiä; Tutkitaan yksityiskohtaisesti jokaisen tyyppisiä perusfunktioita ja analysoidaan niiden ominaisuuksia.

Seuraavat perustoiminnot erotetaan toisistaan:

Määritelmä 1

• vakiofunktio (vakio);
• n:nnen asteen juuri;
• teho toiminto;
• eksponentti funktio;
• logaritminen funktio;
• trigonometriset funktiot;
• veljelliset trigonometriset funktiot.

Vakiofunktio määritellään kaavalla: y = C (C on jokin reaaliluku) ja sillä on myös nimi: vakio. Tämä funktio määrittää, vastaako jokin riippumattoman muuttujan x todellinen arvo muuttujan y samaa arvoa – arvoa C .

Vakion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora viiva, joka kulkee pisteen läpi, jolla on koordinaatit (0, C). Selvyyden vuoksi esitämme vakiofunktioiden y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 kaaviot (merkitty piirustuksessa vastaavasti mustalla, punaisella ja sinisellä).

Määritelmä 2

Tämä perusfunktio määritellään kaavalla y = x n (n - luonnollinen luku enemmän kuin yksi).

Tarkastellaan kahta funktion muunnelmaa.

1. N:nnen asteen juuri, n on parillinen luku

Selvyyden vuoksi osoitamme piirustuksen, joka näyttää tällaisten funktioiden kaaviot: y = x, y = x 4 ja y = x 8. Nämä toiminnot on värikoodattu: musta, punainen ja sininen.

Samanlainen näkymä parillisen asteen funktion kaavioista indikaattorin muille arvoille.

Määritelmä 3

Funktion n:nnen asteen juuren ominaisuudet, n on parillinen luku

• määritelmäalue on kaikkien ei-negatiivisten reaalilukujen joukko [0, + ∞) ;
• kun x = 0, funktio y = x n:n arvo on nolla;
• annettu toiminto - toiminto yleinen muoto (ei parillinen eikä pariton);
• alue: [ 0 , + ∞) ;
• tämä funktio y = x n, jossa juurikasvun parilliset eksponentit koko määritelmän alueella;
• funktiolla on ylöspäin suuntautuva kupera koko määrittelyalueen yli;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion kuvaaja parilliselle n:lle kulkee pisteiden (0 ; 0) ja (1 ; 1) kautta.

1. N:nnen asteen juuri, n on pariton luku

Tällainen funktio on määritelty koko reaalilukujoukolle. Tarkastellaan selvyyden vuoksi funktioiden kuvaajia y = x 3, y = x 5 ja x 9. Piirustuksessa ne on merkitty väreillä: käyrien musta, punainen ja sininen väri.

Muut funktion y = x n juuren eksponentin parittomat arvot antavat samanmuotoisen kaavion.

Määritelmä 4

Funktion n:nnen asteen juuren ominaisuudet, n on pariton luku

• määritelmäalue on kaikkien reaalilukujen joukko;
• tämä funktio on outo;
• arvoalue on kaikkien reaalilukujen joukko;
• funktio y = x n juuren parittomilla eksponenteilla kasvaa koko määritelmän alueella;
• funktiolla on koveruus välissä (- ∞ ; 0 ] ja konveksius välillä [ 0 , + ∞) ;
• käännepisteellä on koordinaatit (0 ; 0) ;
• ei ole asymptootteja;
• parittoman n:n funktion kuvaaja kulkee pisteiden (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) ja (1 ; 1) kautta.

Virtatoiminto

Tehofunktio määritellään kaavalla y = x a .

Kuvaajan tyyppi ja funktion ominaisuudet riippuvat eksponentin arvosta.

• kun potenssifunktiolla on kokonaislukueksponentti a, niin potenssifunktion kuvaajan muoto ja sen ominaisuudet riippuvat siitä, onko eksponentti parillinen vai pariton, ja myös siitä, mikä etumerkki eksponentilla on. Tarkastellaanpa kaikkia näitä erikoistapauksia yksityiskohtaisemmin alla;
• eksponentti voi olla murto-osa tai irrationaalinen - tästä riippuen myös graafien tyyppi ja funktion ominaisuudet vaihtelevat. Analysoimme erikoistapauksia asettamalla useita ehtoja: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• potenssifunktiolla voi olla nolla eksponentti, analysoimme myös tätä tapausta tarkemmin alla.

Analysoidaan tehofunktiota y = x a, kun a on pariton positiivinen luku esimerkiksi a = 1 , 3 , 5 ...

Selvyyden vuoksi osoitetaan tällaisten potenssifunktioiden kaaviot: y = x (kaavion musta väri), y = x 3 (kaavion sininen väri), y = x 5 (kaavion punainen väri), y = x 7 (vihreä kaavio). Kun a = 1, saamme lineaarinen funktio y=x.

Määritelmä 6

Potenttifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on pariton positiivinen

• funktio kasvaa x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funktio on konveksi x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja kovera x ∈ [ 0 ; + ∞) (lukuun ottamatta lineaarista funktiota);
• käännepisteellä on koordinaatit (0 ; 0) (pois lukien lineaarifunktio);
• ei ole asymptootteja;
• funktion välityspisteet: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analysoidaan tehofunktiota y = x a kun a on parillinen positiivinen luku, esimerkiksi a = 2 , 4 , 6 ...

Selvyyden vuoksi osoitamme tällaisten tehofunktioiden kaaviot: y \u003d x 2 (kaavion musta väri), y = x 4 (kaavion sininen väri), y = x 8 (kaavion punainen väri). Kun a = 2, saadaan neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöparaabeli.

Määritelmä 7

Potenssifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on parillinen positiivinen:

• määritelmän alue: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• pienenevä x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funktio on kovera x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion läpäisypisteet: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Alla olevassa kuvassa on esimerkkejä eksponentiaalisista funktiokaavioista y = x a, kun a on pariton negatiivinen luku: y = x - 9 (kaavion musta väri); y = x - 5 (kaavion sininen väri); y = x - 3 (kaavion punainen väri); y = x - 1 (vihreä kaavio). Kun a \u003d - 1, saamme käänteisen suhteellisuuden, jonka kaavio on hyperbola.

Määritelmä 8

Potenttifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on pariton negatiivinen:

Kun x \u003d 0, saadaan toisen tyyppinen epäjatkuvuus, koska lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Siten suora x = 0 on pystysuora asymptootti;

• alue: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio pienenee x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funktio on konveksi x ∈ (- ∞ ; 0) ja kovera x ∈ (0 ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kun a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funktion läpäisypisteet: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Alla olevassa kuvassa on esimerkkejä potenssifunktiokaavioista y = x a, kun a on parillinen negatiivinen luku: y = x - 8 (kaavio musta); y = x - 4 (kaavion sininen väri); y = x - 2 (kaavion punainen väri).

Määritelmä 9

Potenttifunktion ominaisuudet, kun eksponentti on jopa negatiivinen:

• määritelmän alue: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kun x \u003d 0, saadaan toisen tyyppinen epäjatkuvuus, koska lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Siten suora x = 0 on pystysuora asymptootti;

• funktio on parillinen, koska y (- x) = y (x) ;
• funktio kasvaa x ∈ (- ∞ ; 0) ja pienenee x ∈ 0; +∞ ;
• funktio on kovera x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti on suora y = 0, koska:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kun a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funktion läpäisypisteet: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Kiinnitä heti alusta alkaen huomiota seuraavaan seikkaan: siinä tapauksessa, että a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, jotkut kirjoittajat ottavat tämän potenssifunktion määrittelyalueena intervallin - ∞; + ∞ , mikä edellyttää, että eksponentti a on redusoitumaton murtoluku. Tällä hetkellä useiden algebraa ja analyysin alkua koskevien opetusjulkaisujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita, joissa eksponentti on argumentin negatiivisten arvojen pariton nimittäjä murto-osa. Edelleen pidämme kiinni juuri sellaisesta asennosta: otamme joukon [ 0 ; +∞) . Suositus opiskelijoille: Ota tässä vaiheessa selvää opettajan näkökulmasta erimielisyyksien välttämiseksi.

Joten katsotaanpa tehofunktiota y = x a, kun eksponentti on rationaalinen tai irrationaalinen luku edellyttäen, että 0< a < 1 .

Havainnollistetaan kaavioilla tehofunktioita y = x a, kun a = 11 12 (kaavio musta); a = 5 7 (kaavion punainen väri); a = 1 3 (kaavion sininen väri); a = 2 5 (kaavion vihreä väri).

Eksponentin a muut arvot (olettaen 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Määritelmä 10

Tehofunktion ominaisuudet arvossa 0< a < 1:

• alue: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funktio kasvaa x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funktiolla on konveksius x ∈ (0 ; + ∞) ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;

Analysoidaan tehofunktiota y = x a, kun eksponentti on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen luku edellyttäen, että a > 1 .

Havainnollistetaan tehofunktion kuvaajia y = x a tietyissä olosuhteissa tällaisten funktioiden esimerkissä: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (kuvaajien musta, punainen, sininen, vihreä väri, vastaavasti) .

Muut eksponentin a arvot ehdolla a > 1 antavat samanlaisen kuvan kaaviosta.

Määritelmä 11

Tehofunktion ominaisuudet > 1:

• määritelmän alue: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• alue: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• funktio kasvaa x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funktio on kovera x ∈ (0 ; + ∞) (kun 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion läpäisypisteet: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Kun a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, joidenkin tekijöiden teoksissa on näkemys, että määritelmäalue tässä tapauksessa on väli - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) sillä ehdolla, että eksponentti a on redusoitumaton murtoluku. Tällä hetkellä kirjoittajat opetusmateriaaleja algebran ja analyysin alun mukaan potenssifunktioita, joiden eksponentti on murto-osan muodossa, ja jonka nimittäjä on pariton, argumentin negatiivisilla arvoilla EI OLE MÄÄRITELTY. Edelleen noudatamme juuri tällaista näkemystä: otamme joukon (0 ; + ∞) niiden potenssifunktioiden alueeksi, joissa on negatiivinen murtoluku. Ehdotus opiskelijoille: Selvennä opettajasi näkemystä tässä vaiheessa erimielisyyksien välttämiseksi.

Jatkamme aihetta ja analysoimme tehofunktiota y = x a edellyttäen: - 1< a < 0 .

Tässä on piirros seuraavien funktioiden kaavioista: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (mustat, punaiset, siniset, vihreät viivat, vastaavasti ).

Määritelmä 12

Tehofunktion ominaisuudet -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kun -1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• alue: y ∈ 0 ; +∞ ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• ei ole käännepisteitä;

Alla olevassa kuvassa on kaavioita potenssifunktioista y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (musta, punainen, sininen, vihreät värit käyrät, vastaavasti).

Määritelmä 13

Tehofunktion ominaisuudet a< - 1:

• määritelmän alue: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kun a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• alue: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• funktio pienenee arvolle x ∈ 0; +∞ ;
• funktio on kovera arvolle x ∈ 0; +∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti - suora y = 0;
• funktion kulkupiste: (1 ; 1) .

Kun a \u003d 0 ja x ≠ 0, saadaan funktio y \u003d x 0 \u003d 1, joka määrittää suoran, josta piste (0; 1) suljetaan pois (sovimme, että lauseke 0 0 ei ole mikä tahansa arvo).

Eksponentiaalisella funktiolla on muoto y = a x , missä a > 0 ja a ≠ 1 , ja tämän funktion kuvaaja näyttää erilaiselta kantaluvun a arvon perusteella. Ajatellaanpa erikoistapauksia.

Analysoidaan ensin tilanne, kun eksponentiaalisen funktion kantalla on arvo nollasta yhteen (0< a < 1) . Havainnollistava esimerkki ovat funktioiden kaaviot a = 1 2 (käyrän sininen väri) ja a = 5 6 (käyrän punainen väri).

Eksponentiaalifunktion kaavioilla on samanlainen muoto muille kantaarvon arvoille, mikäli 0< a < 1 .

Määritelmä 14

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, kun kantaluku on pienempi kuin yksi:

• alue: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• eksponentiaalinen funktio, jonka kantaluku on pienempi kuin yksi, pienenee koko määritelmän alueella;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti on suora y = 0 muuttujan x pyrkiessä + ∞ ;

Tarkastellaan nyt tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi (a > 1).

Havainnollistetaan tätä erikoistapausta eksponentiaalisten funktioiden y = 3 2 x (käyrän sininen väri) ja y = e x (käyrän punainen väri) kuvaajalla.

Muut kantaarvon arvot, jotka ovat suurempia kuin yksi, antavat samanlaisen kuvan eksponentiaalisen funktion kaaviosta.

Määritelmä 15

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, kun kantaluku on suurempi kuin yksi:

• määritelmäalue on koko joukko reaalilukuja;
• alue: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• eksponentiaalinen funktio, jonka kanta on suurempi kuin yksi, kasvaa x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funktio on kovera x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• vaaka-asymptootti - suora y = 0 muuttujan x pyrkiessä - ∞ ;
• funktion välityspiste: (0 ; 1) .

Logaritminen funktio on muotoa y = log a (x) , missä a > 0, a ≠ 1 .

Tällainen funktio määritellään vain argumentin positiivisille arvoille: x ∈ 0 ; +∞ .

Logaritmisen funktion kuvaajalla on eri muoto, joka perustuu kantaluvun a arvoon.

Mieti ensin tilannetta, kun 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Muut kantaarvon arvot, jotka eivät ole suurempia kuin yksi, antavat samanlaisen kuvan kaaviosta.

Määritelmä 16

Logaritmisen funktion ominaisuudet, kun kantaluku on pienempi kuin yksi:

• määritelmän alue: x ∈ 0 ; +∞ . Kun x pyrkii nollaan oikealta, funktion arvot pyrkivät + ∞;
• alue: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• logaritminen
• funktio on kovera arvolle x ∈ 0; +∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;

Analysoidaan nyt erikoistapaus, jossa logaritmisen funktion kanta on suurempi kuin yksi: a > 1 . Alla olevassa piirustuksessa on logaritmisten funktioiden y = log 3 2 x ja y = ln x graafit (kaavioiden sininen ja punainen väri).

Muut perusarvot, jotka ovat suurempia kuin yksi, antavat samanlaisen kuvan kaaviosta.

Määritelmä 17

Logaritmisen funktion ominaisuudet, kun kanta on suurempi kuin yksi:

• määritelmän alue: x ∈ 0 ; +∞ . Kun x pyrkii nollaan oikealta, funktion arvot pyrkivät - ∞;
• alue: y ∈ - ∞ ; + ∞ (koko joukko reaalilukuja);
• tämä funktio on yleisen muodon funktio (se ei ole pariton eikä parillinen);
• logaritminen funktio kasvaa arvolla x ∈ 0; +∞ ;
• funktiolla on konveksius arvolle x ∈ 0; +∞ ;
• ei ole käännepisteitä;
• ei ole asymptootteja;
• funktion välityspiste: (1 ; 0) .

Trigonometriset funktiot ovat sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Analysoidaan kunkin niistä ja vastaavista kaavioista ominaisuuksia.

Yleensä kaikille trigonometrisille funktioille on tunnusomaista jaksollisuusominaisuus, ts. kun funktioarvot toistetaan klo erilaisia ​​merkityksiä argumentit eroavat toisistaan ​​jakson f (x + T) = f (x) arvolla (T on jakso). Siten kohta "vähiten positiivinen jakso" lisätään trigonometristen funktioiden ominaisuuksien luetteloon. Lisäksi osoitamme ne argumentin arvot, joille vastaava funktio katoaa.

1. Sinifunktio: y = sin(x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan siniaaltoksi.

Määritelmä 18

Sinifunktion ominaisuudet:

• määritelmäalue: reaalilukujen koko joukko x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funktio katoaa, kun x = π k , missä k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• funktio kasvaa x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z ja pienennetään arvolle x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• sinifunktiolla on paikallinen maksimi pisteissä π 2 + 2 π · k ; 1 ja paikalliset minimit pisteissä - π 2 + 2 π · k ; -1, k∈Z;
• sinifunktio on kovera, kun x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z ja konveksi kun x ∈ 2 π k ; π + 2 πk, k ∈Z;
• ei ole asymptootteja.

1. kosinifunktio: y=cos(x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan kosiniaaltoksi.

Määritelmä 19

Kosinifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• pienin positiivinen jakso: T \u003d 2 π;
• alue: y ∈ - 1 ; 1;
• tämä funktio on parillinen, koska y (- x) = y (x) ;
• funktio kasvaa x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z ja pienenevä x ∈ 2 π · k ; π + 2 πk, k ∈Z;
• kosinifunktiolla on paikalliset maksimit pisteissä 2 π · k ; 1 , k ∈ Z ja paikalliset minimit pisteissä π + 2 π · k ; -1, k∈z;
• kosinifunktio on kovera, kun x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ja kupera kun x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• käännepisteillä on koordinaatit π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z
• ei ole asymptootteja.

1. Tangenttifunktio: y = t g (x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan tangentoidi.

Määritelmä 20

Tangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , missä k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• Tangenttifunktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajalla lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Siten viivat x = π 2 + π · k k ∈ Z ovat pystysuuntaisia ​​asymptootteja;
• funktio katoaa, kun x = π k k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• alue: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio kasvaa -π 2 + π · k; π2 + πk, k∈Z;
• tangenttifunktio on kovera x ∈ [ π · k ; π 2 + π k), k ∈ Z ja konveksi x ∈ (- π 2 + π k ; π k ], k ∈ Z ;
• käännepisteillä on koordinaatit π k; 0, k ∈ Z;

1. Kotangenttifunktio: y = c t g (x)

Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan kotangentoidiksi. .

Määritelmä 21

Kotangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ (π k ; π + π k) , missä k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);

Kotangenttifunktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajalla lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Siten suorat x = π k k ∈ Z ovat pystysuuntaisia ​​asymptootteja;

• pienin positiivinen jakso: T \u003d π;
• funktio katoaa, kun x = π 2 + π k k ∈ Z (Z on kokonaislukujen joukko);
• alue: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio on pienenevä x ∈ π · k ; π + πk, k ∈Z;
• kotangenttifunktio on kovera x ∈ (π k ; π 2 + π k ], k ∈ Z ja konveksi x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ) , k ∈ Z ;
• käännepisteillä on koordinaatit π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z;
• ei ole vinoja ja vaakasuuntaisia ​​asymptootteja.

Käänteiset trigonometriset funktiot ovat arksini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti. Usein nimessä olevan etuliite "kaari" vuoksi käänteisiä trigonometrisiä toimintoja kutsutaan kaarifunktioiksi. .

1. Arksinifunktio: y = a r c sin (x)

Määritelmä 22

Arsinifunktion ominaisuudet:

• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• arcsinifunktio on kovera arvolle x ∈ 0; 1 ja kupera x ∈ - 1 ; 0;
• käännepisteillä on koordinaatit (0 ; 0) , se on myös funktion nolla;
• ei ole asymptootteja.

1. Arccosine-toiminto: y = a r c cos (x)

Määritelmä 23

Arccosine-funktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - 1 ; 1;
• alue: y ∈ 0 ; π;
• tämä funktio on yleismuotoinen (ei parillinen eikä pariton);
• funktio pienenee koko määritelmän alueella;
• arkosiinifunktio on kovera x ∈ - 1 : lle ; 0 ja kupera x ∈ 0 ; 1;
• käännepisteillä on koordinaatit 0 ; π2;
• ei ole asymptootteja.

1. Arktangenttifunktio: y = a r c t g (x)

Määritelmä 24

Arktangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• alue: y∈ - π2; π2;
• tämä funktio on pariton, koska y (- x) = - y (x) ;
• funktio kasvaa koko määritelmän alueella;
• arctangenttifunktio on kovera x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja konveksi x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• käännepisteellä on koordinaatit (0; 0), se on myös funktion nolla;
• vaakasuuntaiset asymptootit ovat suoria viivoja y = - π 2 x → - ∞ ja y = π 2 x → + ∞ (kuvan asymptootit ovat vihreitä viivoja).

1. Kaaren kotangenttifunktio: y = a r c c t g (x)

Määritelmä 25

Kaaren kotangenttifunktion ominaisuudet:

• määritelmän alue: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• alue: y ∈ (0 ; π);
• tämä toiminto on yleistä tyyppiä;
• funktio pienenee koko määritelmän alueella;
• kaarikotangenttifunktio on kovera x ∈ [ 0 ; + ∞) ja kupera x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• käännepisteen koordinaatit ovat 0 ; π2;
• vaakasuuntaiset asymptootit ovat suoria viivoja y = π kohdassa x → - ∞ (vihreä viiva piirustuksessa) ja y = 0 kohdassa x → + ∞.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tietoa perusfunktiot, niiden ominaisuudet ja graafit yhtä tärkeää kuin kertotaulukon tunteminen. Ne ovat kuin perustus, kaikki perustuu niihin, kaikki rakentuu niistä ja kaikki laskeutuu heihin.

Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät perusfunktiot, annamme niiden kaaviot ja annamme ne ilman johtamista ja todisteita. perusfunktioiden ominaisuudet kaavan mukaan:

• funktion käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla, vertikaaliset asymptootit (katso tarvittaessa artikkelin funktion raja-arvojen luokittelu);
• parillinen ja pariton;
• kuperuus (kuperuus ylöspäin) ja koveruus (kuperuus alaspäin) -välit, taivutuspisteet (katso tarvittaessa artikkelifunktio kupera, kuperasuunta, taivutuspisteet, kupera ja taivutusehdot);
• vinot ja vaakasuorat asymptootit;
• erikoispisteitä toiminnot;
• joidenkin funktioiden erityisominaisuudet (esimerkiksi trigonometristen funktioiden pienin positiivinen jakso).

Jos olet kiinnostunut tai, voit mennä näihin teorian osiin.

Perustoiminnot ovat: vakiofunktio (vakio), n:nnen asteen juuri, potenssifunktio, eksponentiaalinen, logaritminen funktio, trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Sivulla navigointi.

Pysyvä toiminto.

Vakiofunktio on annettu kaikkien reaalilukujen joukolle kaavalla , jossa C on jokin reaaliluku. Vakiofunktio antaa jokaiselle riippumattoman muuttujan x todelliselle arvolle saman riippuvan muuttujan y arvon - arvon С. Vakiofunktiota kutsutaan myös vakioksi.

Vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora, joka kulkee pisteen läpi, jonka koordinaatit (0,C) . Esitetään esimerkiksi kaavioita vakiofunktioista y=5 , y=-2 ja , jotka alla olevassa kuvassa vastaavat mustaa, punaista ja sinistä viivaa.

Vakiofunktion ominaisuudet.

• Määritelmäalue: koko joukko reaalilukuja.
• Vakiofunktio on tasainen.
• Arvoalue: joukko, joka koostuu yhdestä luvusta C .
• Vakiofunktio on ei-nouseva ja ei-laskeva (siksi se on vakio).
• Ei ole mitään järkeä puhua vakion kuperuudesta ja koveruudesta.
• Asymptoottia ei ole.
• Funktio kulkee koordinaattitason pisteen (0,C) läpi.

N:nnen asteen juuri.

Tarkastellaan perusalkeisfunktiota, joka saadaan kaavalla , jossa n on yhtä suurempi luonnollinen luku.

N:nnen asteen juuri, n on parillinen luku.

Aloitetaan n:nnestä juurifunktiosta juurieksponentin n parillisille arvoille.

Esimerkiksi annamme kuvan, jossa on kuvia funktioiden kaavioista ja , ne vastaavat mustia, punaisia ​​ja sinisiä viivoja.

Parillisen asteen juuren funktioiden kaavioilla on samanlainen muoto indikaattorin muille arvoille.

Parillisen n:n n:nnen asteen juuren ominaisuudet.

N:nnen asteen juuri, n on pariton luku.

N:nnen asteen juurifunktio ja juurin n pariton eksponentti määritetään koko reaalilukujoukolle. Esitämme esimerkiksi funktioiden kuvaajia ja , musta, punainen ja sininen käyrät vastaavat niitä.

Muilla juurieksponentin parittomilla arvoilla funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Parittoman n:n n:nnen asteen juuren ominaisuudet.

Virtatoiminto.

Tehofunktio annetaan muodon kaavalla.

Harkitse potenssifunktion kuvaajien tyyppiä ja potenssifunktion ominaisuuksia eksponentin arvosta riippuen.

Aloitetaan potenssifunktiolla, jossa on kokonaislukueksponentti a . Tässä tapauksessa potenssifunktioiden kuvaajien muoto ja funktioiden ominaisuudet riippuvat parillisesta tai parittomasta eksponentista sekä sen etumerkistä. Siksi tarkastelemme ensin potenssifunktioita eksponentin a parittomille positiivisille arvoille, sitten parillisille positiivisille, sitten parittomille negatiivisille eksponenteille ja lopuksi parillisille negatiivisille a.

Murto- ja irrationaalisten eksponentien potenssifunktioiden ominaisuudet (sekä tällaisten potenssifunktioiden kuvaajien tyyppi) riippuvat eksponentin a arvosta. Tarkastelemme niitä ensinnäkin, kun a on nollasta yhteen, toiseksi, kun a on suurempi kuin yksi, kolmanneksi, kun a on miinus yhdestä nollaan, ja neljänneksi, kun a on pienempi kuin miinus yksi.

Tämän alaosan lopuksi kuvataan täydellisyyden vuoksi potenssifunktio, jonka eksponentti on nolla.

Potenssifunktio parittomalla positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on pariton positiivinen eksponentti, eli a=1,3,5,… .

Alla olevassa kuvassa on kaavioita tehofunktioista - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä a=1 on lineaarinen funktio y=x.

Parittoman positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio jopa positiivisella eksponentilla.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jolla on parillinen positiivinen eksponentti, eli a=2,4,6,… .

Otetaan esimerkkinä tehofunktioiden kuvaajat - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva. Kohdalle a=2 meillä on neliöfunktio, jonka kuvaaja on neliöllinen paraabeli.

Parillisen positiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio parittoman negatiivisen eksponentin kanssa.

Katso eksponentiaalisen funktion kaavioita eksponentin parittomille negatiivisille arvoille, eli \u003d -1, -3, -5, ....

Kuvassa on esimerkkinä eksponentiaalisten funktioiden kuvaajia - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva, - vihreä viiva. Meillä on a=-1 käänteinen suhteellisuus, jonka kaavio on hyperbeli.

Parittoman negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Tehofunktio, jossa on parillinen negatiivinen eksponentti.

Jatketaan tehofunktioon a=-2,-4,-6,….

Kuvassa on kaavioita potenssifunktioista - musta viiva, - sininen viiva, - punainen viiva.

Parillisen negatiivisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet.

Potenssifunktio, jolla on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti, jonka arvo on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi.

Huomautus! Jos a on positiivinen murto-osa, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät väliä potenssifunktion alueena. Samalla määrätään, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa käsittelevien oppikirjojen ja analyysin alkujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen pariton nimittäjällä. Noudatamme juuri tällaista näkemystä, eli pidämme joukona potenssifunktioiden alueita, joilla on positiivinen murtoluku. Kannustamme oppilaita saamaan opettajasi näkökulman tähän hienovaraiseen kohtaan erimielisyyksien välttämiseksi.

Tarkastellaan potenssifunktiota, jossa on rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a ja .

Esitämme tehofunktioiden kuvaajia kohdissa a=11/12 (musta viiva), a=5/7 (punainen viiva), (sininen viiva), a=2/5 (vihreä viiva).

Potenssifunktio, jonka ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi.

Harkitse tehofunktiota, jolla on ei-kokonaisluku rationaalinen tai irrationaalinen eksponentti a , ja .

Esitetään kaavojen antamien potenssifunktioiden kuvaajat (musta, punainen, sininen ja vihreä viivat).

Muille eksponentin a arvoille funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Tehofunktion ominaisuudet kohteelle .

Potenssifunktio, jonka todellinen eksponentti on suurempi kuin miinus yksi ja pienempi kuin nolla.

Huomautus! Jos a on negatiivinen murtoluku, jolla on pariton nimittäjä, niin jotkut kirjoittajat pitävät väliä . Samalla määrätään, että eksponentti a on redusoitumaton murto-osa. Nyt monien algebraa käsittelevien oppikirjojen ja analyysin alkujen kirjoittajat EIVÄT MÄÄRITÄ potenssifunktioita eksponentin muodossa argumentin negatiivisten arvojen pariton nimittäjällä. Noudatamme juuri tällaista näkemystä, eli pidämme joukkona potenssifunktioiden alueita, joilla on murto-osa negatiivinen eksponentti. Kannustamme oppilaita saamaan opettajasi näkökulman tähän hienovaraiseen kohtaan erimielisyyksien välttämiseksi.

Siirrymme tehofunktioon , jossa .

Saadaksemme hyvän käsityksen tehofunktioiden kaaviotyypeistä annamme esimerkkejä funktioiden kaavioista (musta, punainen, sininen ja vihreä käyrä).

Eksponentin a , potenssifunktion ominaisuudet.

Potenttifunktio, jonka reaalieksponentti ei ole kokonaisluku, joka on pienempi kuin miinus yksi.

Annetaan esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista for , ne on kuvattu mustilla, punaisilla, sinisillä ja vihreillä viivoilla.

Potenttifunktion ominaisuudet, jonka negatiivinen eksponentti on pienempi kuin miinus yksi.

Kun a=0 ja meillä on funktio - tämä on suora, josta piste (0; 1) on jätetty pois (lausekkeelle 0 0 sovittiin, ettei se anna mitään merkitystä).

Eksponentti funktio.

Yksi perusfunktioista on eksponentiaalinen funktio.

Kuvaaja eksponentiaalisesta funktiosta, jossa ja saa eri muodon kantaluvun a arvosta riippuen. Selvitetään se.

Tarkastellaan ensin tapausta, jossa eksponentiaalisen funktion kanta ottaa arvon nollasta yhteen, eli .

Esitämme esimerkiksi eksponentiaalisen funktion kaaviot, kun a = 1/2 - sininen viiva, a = 5/6 - punainen viiva. Eksponentiaalisen funktion kaavioilla on samanlainen ulkoasu muille välin kantaarvon arvoille.

Eksponentiaalisen funktion ominaisuudet, jonka kanta on pienempi kuin yksi.

Siirrymme tapaukseen, jossa eksponentiaalisen funktion kanta on suurempi kuin yksi, eli .

Esittelemme kuvaajia eksponentiaalisista funktioista - sininen viiva ja - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, eksponentiaalisen funktion kuvaajat näyttävät samanlaisilta.

Eksponentiaalisen funktion, jonka kanta on suurempi kuin yksi, ominaisuudet.

Logaritminen funktio.

Seuraava perusalkeisfunktio on logaritminen funktio , jossa , . Logaritminen funktio on määritetty vain positiiviset arvot argumentti, eli puolesta .

Logaritmisen funktion kuvaaja saa eri muodon kantaluvun a arvosta riippuen.

Aloitetaan tapauksesta, jolloin .

Esitämme esimerkiksi logaritmisen funktion kaaviot, kun a = 1/2 - sininen viiva, a = 5/6 - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka eivät ylitä yhtä, logaritmisen funktion kaaviot näyttävät samanlaisilta.

Logaritmisen funktion, jonka kanta on pienempi kuin yksi, ominaisuudet.

Jatketaan tapaukseen, jossa logaritmisen funktion kanta on suurempi kuin yksi ().

Esitetään logaritmisten funktioiden kaaviot - sininen viiva, - punainen viiva. Muille kantaarvon arvoille, jotka ovat suurempia kuin yksi, logaritmisen funktion kuvaajat näyttävät samanlaisilta.

Logaritmisen funktion, jonka kanta on suurempi kuin yksi, ominaisuudet.

Trigonometriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat.

Kaikki trigonometriset funktiot (sini, kosini, tangentti ja kotangentti) ovat perusalkeisfunktioita. Nyt tarkastelemme niiden kaavioita ja luettelemme niiden ominaisuudet.

Trigonometrisilla funktioilla on käsite jaksollisuus(funktioarvojen toistuminen argumentin eri arvoille, jotka eroavat toisistaan ​​jakson arvon mukaan , jossa T on piste), joten trigonometristen funktioiden ominaisuuksien luetteloon on lisätty kohde "pienin positiivinen ajanjakso". Lisäksi jokaiselle trigonometriselle funktiolle ilmoitamme argumentin arvot, joissa vastaava funktio katoaa.

Nyt käsitellään kaikki trigonometriset funktiot järjestyksessä.

Sinifunktio y = sin(x) .

Piirretään sinifunktion kaavio, sitä kutsutaan "sinifunktioksi".

Sinifunktion y = sinx ominaisuudet.

Kosinifunktio y = cos(x) .

Kosinifunktion kaavio (jota kutsutaan "kosiniksi") näyttää tältä:

Kosinifunktion ominaisuudet y = cosx .

Tangenttifunktio y = tg(x) .

Tangenttifunktion kaavio (jota kutsutaan "tangentoidiksi") näyttää tältä:

Funktioominaisuudet tangentti y = tgx .

Kotangenttifunktio y = ctg(x) .

Piirretään kaavio kotangenttifunktiosta (sitä kutsutaan "kotangentoidiksi"):

Kotangenttifunktion ominaisuudet y = ctgx .

Käänteiset trigonometriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat.

Käänteiset trigonometriset funktiot (arksini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti) ovat perusalkeisfunktioita. Usein etuliitteen "kaari" vuoksi käänteisiä trigonometrisiä funktioita kutsutaan kaarifunktioiksi. Nyt tarkastelemme niiden kaavioita ja luettelemme niiden ominaisuudet.

Arksifunktio y = arcsin(x) .

Piirretään arsinifunktio:

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. koulutusinstituutiot.
• Vygodsky M.Ya. Perusmatematiikan käsikirja.
• Novoselov S.I. Algebra ja alkeisfunktiot.
• Tumanov S.I. Algebra. Opas itseopiskeluun.