Paikallisten maksimi- ja minimipisteiden määrittäminen. Kuinka löytää funktion ääriarvo (minimi- ja maksimipisteet). Menetelmät funktion tutkimiseen

Yksinkertainen algoritmi äärimmäisyyksien löytämiseen..

• Funktion derivaatan löytäminen
• Yhdistämme tämän derivaatan nollaan
• Löydämme tuloksena olevan lausekkeen muuttujan arvot (muuttujan arvot, jossa derivaatta muunnetaan nollaksi)
• Näitä arvoja käyttämällä jaamme koordinaattiviivan intervalleiksi (älä unohda taitepisteitä, jotka on myös piirrettävä viivalla), kaikkia näitä pisteitä kutsutaan "epäilyttäväksi" pisteeksi ääripäälle
• Laskemme, mikä näistä intervalleista on positiivinen ja mikä negatiivinen. Tätä varten sinun on korvattava arvo väliltä derivaatta.

Ekstreemin kannalta epäilyttäviä kohdista on löydettävä . Tätä varten katsomme intervallejamme koordinaattiviivalla. Jos derivaatan merkki vaihtuu plussasta miinukseksi kulkiessaan jonkin pisteen läpi, niin tämä piste on enimmäismäärä, ja jos miinuksesta plussaan, niin minimi.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot, sinun on laskettava funktion arvo segmentin päissä ja ääripisteissä. Valitse sitten suurin ja pienin arvo.

Katsotaanpa esimerkkiä
Etsimme derivaatan ja rinnastamme sen nollaan:

Piirrämme saadut muuttujien arvot koordinaattiviivalle ja laskemme derivaatan etumerkin jokaiselle intervalleille. No, esimerkiksi ensimmäiseksi-2 , niin derivaatta on yhtä suuri-0,24 , otamme toisen0 , niin derivaatta on2 , ja kolmannen otamme2 , niin derivaatta on-0,24. Laitoimme asianmukaiset merkit.

Näemme, että kulkiessaan pisteen -1 kautta derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi, eli tämä on minimipiste, ja kun kuljetaan pisteen 1 kautta, se muuttaa etumerkin plussasta miinusmerkkiin, vastaavasti tämä on maksimipiste.

Toimintoarvot sekä maksimi- ja minimipisteet

Suurin funktion arvo

Pienin funktion arvo

Kuten kummisetä sanoi: "Ei mitään henkilökohtaista." Vain johdannaiset!

Tilastotehtävää 12 pidetään melko vaikeana, ja kaikki siksi, että kaverit eivät lukeneet tätä artikkelia (vitsi). Useimmissa tapauksissa syy on huolimattomuudesta.

12 tehtävää on kahta tyyppiä:

1. Etsi maksimi/minimipiste (pyydä löytääksesi "x"-arvot).
2. Etsi funktion suurin/pienin arvo (pyydä löytääksesi "y"-arvot).

Etsi maksimi/minimipiste

1. Vertaa se nollaan.
2. Löytyy tai löydetty “x” on minimi- tai maksimipisteet.
3. Määritä merkit intervallimenetelmällä ja valitse mikä piste tehtävässä tarvitaan.

Yhtenäiset valtiontutkintotehtävät:

Etsi funktion maksimipiste

• Otamme johdannaisen:

Etsi funktion minimipiste

• Muunnetaan ja otetaan derivaatta:

• Loistava! Ensin funktio pienenee, sitten kasvaa - tämä on minimipiste!

Etsi funktion suurin/pienin arvo

1. Ota ehdotetun funktion derivaatta.
   
2. Vertaa se nollaan.
   
3. Löytynyt "x" on minimi- tai maksimipiste.
   
4. Määritä merkit intervallimenetelmällä ja valitse mikä piste tehtävässä tarvitaan.
5. Tällaisissa tehtävissä on aina määritelty aukko: vaiheessa 3 löydetyt X:t on sisällytettävä tähän aukkoon.
6. Korvaa tuloksena oleva maksimi- tai minimipiste alkuperäiseen yhtälöön ja saamme funktion suurimman tai pienimmän arvon.

Yhtenäiset valtiontutkintotehtävät:

löytö korkein arvo toimii intervallilla [−4; −1]

Vastaus: -6

Etsi segmentin funktion suurin arvo

• Funktion suurin arvo on "11" maksimipisteessä (tässä segmentissä) "0".

Vastaus: 11

Johtopäätökset:

1. 70% virheistä johtuu siitä, että kaverit eivät muista mitä he vastasivat funktion suurin/pienin arvo tulee kirjoittaa "y", ja edelleen kirjoita maksimi/minimipiste “x”.
2. Derivaataan ei ole ratkaisua funktion arvoja löydettäessä? Ei hätää, korvaa aukon äärimmäiset kohdat!
3. Vastaus voidaan aina kirjoittaa numerona tai desimaalina. Ei? Mieti sitten esimerkkiä uudelleen.
4. Useimmissa tehtävissä saamme yhden pisteen ja laiskuus maksimi- tai minimitarkistus on perusteltua. Saimme yhden pisteen - voit kirjoittaa turvallisesti takaisin.
5. Ja täällä Sinun ei pitäisi tehdä tätä, kun etsit funktion arvoa! Tarkista, että tämä on oikea piste, muuten raon ääriarvot voivat olla suurempia tai pienempiä.

Maksimi on suurin määrä tai korkein raja, joka voidaan saavuttaa. Minimi on, kuten me kaikki hyvin tiedämme, maksimin suora vastakohta, ts. juuri tämä pieni määrä ja pienin raja. Sanat minimi ja maksimi sekä niiden johdannaiset löytyvät sellaisista ilmauksista ja lauseista kuin:

Ota kaikki irti viestinnästä.

Jotta voit oppia runon, sinun on luettava se vähintään 3-4 kertaa.

Maksimi, jonka hän voi tehdä, on...

Heillä on ainakin kaksi yhteistä ystävää.

Hän sai maksimipistemäärän.

Ota kaikki irti mahdollisuuksistasi!

Tämä on vähimmäisvaatimus, joka sinun on tiedettävä.

Elämisen palkka.

Minimi ilmanpaine.

Minimi/maksimi kylmä sää ..... vuoden ajan.

Tarvitset tämän työn suorittamiseen vähintään muutaman tunnin.

Käsitteet, kuten maksimi ja minimi, löytyvät myös erityisistä tieteellisistä termeistä. Esimerkiksi matematiikassa on sellainen käsite kuin funktion maksimi ja minimi.

Näin ollen matematiikassa funktion maksimiarvoa kutsutaan maksimiarvoksi. Tässä tapauksessa funktion maksimiarvo on suurempi kuin kaikki sen naapuriarvot. Funktion maksimi on sen arvo, kun arvo ensin kasvaa ja sitten alkaa välittömästi pienentyä, kun taas sillä on maksimi siinä paikassa, jossa funktion kasvu ja lasku siirtyvät yhdestä toiseen. Funktion minimi on vastaavasti funktion pienin arvo.

Funktion ensimmäistä derivaatta voidaan pitää positiivisena, jos se nousee, kun suurennamme muuttujaa, niin funktiota voidaan pitää positiivisena. Jos ensimmäinen muuttuja pienenee derivaatan kasvaessa, funktiota tulee pitää negatiivisena.

Derivaata on perusarvo, jota käytetään differentiaalilaskelmissa (derivaatojen ja differentiaalien tutkimus, jotka auttavat tutkimaan matemaattisia funktioita), se voidaan ymmärtää funktion muutosnopeudena tietyssä pisteessä. Mitä suurempi nopeus, sitä enemmän funktio muuttuu; mitä vähemmän, sitä hitaammin (tämä pätee kuitenkin vain, jos funktio on positiivinen). Siten funktion muutosnopeus tietyssä pisteessä määrittää sen kulmakertoimet ja kuperuudet. Muuttuja on määrä, joka voi muuttaa sen arvoa. Sitä merkitään x tai aika.

Muuttujaa voidaan pitää järjestelmän (sekä fyysisen että abstraktin) attribuuttina, joka voi muuttaa sen arvoa. Globaalimmassa mielessä muuttujaa voidaan kutsua ajaksi, lämpötilaksi ja yleensä koko elämäksi (ne voivat muuttua). Muuttujalla on monia arvoja, jotka se voi ottaa. Voimme olettaa, että tämä joukko on muuttuja.

Mitä tulee itse funktioon, sen on vaihdettava positiivisesta negatiiviseen arvoon nollan kautta. Siten sen muuttujan arvolla, jota funktion maksimi vastaa, sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Tämä funktion ominaisuus antaa meille mahdollisuuden määrittää x:n arvot, joilla funktio saavuttaa maksiminsa. Jos kuitenkin suurennamme muuttujaa ja samalla funktio ensin kasvaa ja sitten pienenee, sitten funktio muuttuessaan negatiivinen arvo positiiviseksi (kulkee nollan kautta), se ei saavuta maksimiarvoa, vaan päinvastoin vähimmäisarvoa. Vaikka loogisesti tämä voitaisiin pitää maksimiarvona (se sijaitsee funktion yläpisteessä).

Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan myös ääripisteiksi.

Niinpä sekä tavallisessa elämässä että matematiikassa maksimi ja minimi ovat kaksi äärimmäistä vastakohtaa, jotka tarkoittavat jotain suurinta ja jotain pienintä.

Tarkastellaan funktiota y = f(x), jota tarkastellaan välillä (a, b).

Jos on mahdollista osoittaa väliin (a, b) kuuluvan pisteen x1 b-naapuri siten, että kaikilla x:illä (x1, b) pätee epäyhtälö f(x1) > f(x), niin y1 = kutsutaan f1(x1). toiminnon maksimi y = f(x) katso kuva.

Merkitään funktion y = f(x) maksimi arvolla max f(x). Jos on mahdollista osoittaa väliin (a, b) kuuluvan pisteen x2 b-naapuri siten, että kaikille x:lle se kuuluu O:een (x2, 6), x ei ole yhtä suuri kuin x2, epäyhtälö pätee f(x2)< f(x) , niin y2= f(x2) kutsutaan funktion y-f(x) minimiksi (katso kuva).

Katso esimerkki maksimiarvon löytämisestä seuraavasta videosta

Minimi toiminnot

Merkitään funktion y = f(x) minimi arvolla min f(x). Toisin sanoen, funktion maksimi tai minimi y = f(x) nimeltään sen arvo, joka on suurempi (pienempi) kuin kaikki muut arvot, jotka hyväksytään riittävän lähellä annettua arvoa ja eroavat siitä.

Huomautus 1. Maksimitoiminto, jonka määrittelee epätasa-arvo, kutsutaan tiukaksi maksimiksi; ei-tiukka maksimi määräytyy epäyhtälöllä f(x1) > = f(x2)

Muistio 2. niillä on paikallinen luonne (nämä ovat funktion suurimmat ja pienimmät arvot vastaavan pisteen riittävän pienellä alueella); funktion yksittäiset minimit voivat olla suurempia kuin saman funktion maksimi

Tämän seurauksena kutsutaan funktion maksimi (minimi). paikallinen maksimi(paikallinen minimi) toisin kuin absoluuttinen maksimi (minimi) - suurin (pienin) arvo funktion määritelmäalueella.

Funktion maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan ääriarvoksi . Extrema in on havaittu rakentavan kuvaajia funktioista

Latina ääriarvo tarkoittaa "äärimmäistä" merkitys. Argumentin x arvoa, jossa ääriarvo saavutetaan, kutsutaan ääriarvopisteeksi. Ekstreemin välttämätön ehto ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella.

Lause. Differentioituvan funktion ääripisteessä sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla.

Lauseena on yksinkertainen geometrinen merkitys: differentioituvan funktion kuvaajan tangentti vastaavassa pisteessä on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa

Tästä artikkelista lukija oppii, mikä on toiminnallisen arvon ääriarvo, sekä sen käytön ominaisuuksista käytännön toiminnassa. Tällaisen käsitteen oppiminen on välttämätöntä perusasioiden ymmärtämiseksi korkeampaa matematiikkaa. Tämä aihe on olennainen kurssin syvemmälle tutkimiselle.

Yhteydessä

Mikä on ääripää?

SISÄÄN koulun kurssi Käsitteelle "äärimmäinen" annetaan monia määritelmiä. Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa syvin ja selkein käsitys termistä niille, jotka eivät tiedä asiasta. Joten termi ymmärretään, missä määrin toiminnallinen intervalli saa minimi- tai maksimiarvon tietyssä joukossa.

Ekstreemi on sekä funktion minimi- että maksimiarvo samanaikaisesti. On minimipiste ja maksimipiste, eli kaavion argumentin ääriarvot. Tärkeimmät tätä käsitettä käyttävät tieteet ovat:

• tilastot;
• koneen ohjaus;
• ekonometria.

Ääripisteillä on tärkeä rooli järjestyksen määrittämisessä annettu toiminto. Kuvaajan koordinaattijärjestelmä näyttää parhaimmillaan ääriasennon muutoksen toiminnallisuuden muutoksesta riippuen.

Johdannaisen funktion ääriarvo

On olemassa myös sellainen ilmiö kuin "johdannainen". On tarpeen määrittää ääripiste. On tärkeää olla sekoittamatta minimi- tai maksimipisteitä korkeimpiin ja pienimpiin arvoihin. Nämä ovat erilaisia ​​käsitteitä, vaikka ne saattavat näyttää samanlaisilta.

Funktion arvo on tärkein tekijä määritettäessä, kuinka maksimipiste löydetään. Johdannainen ei muodostu arvoista, vaan yksinomaan sen ääriasemasta jossakin järjestyksessä.

Näiden ääripisteiden perusteella määritetään itse derivaatta, ei suurinta tai pienin arvo. Venäläisissä kouluissa näiden kahden käsitteen välistä rajaa ei vedetä selkeästi, mikä vaikuttaa tämän aiheen ymmärtämiseen yleisesti.

Tarkastellaan nyt sellaista käsitettä kuin "akuutti ääripää". Nykyään on olemassa akuutti minimiarvo ja akuutti maksimiarvo. Määritelmä on annettu venäläisen funktion kriittisten pisteiden luokituksen mukaisesti. Ääripisteen käsite on perusta kriittisten pisteiden löytämiselle graafista.

Sellaisen käsitteen määrittelemiseksi he turvautuvat Fermatin lauseeseen. Se on tärkeintä opiskelun aikana äärimmäisiä kohtia ja antaa selkeän käsityksen niiden olemassaolosta muodossa tai toisessa. Äärimmäisyyden varmistamiseksi on tärkeää luoda tietyt edellytykset kaavion pienenemiselle tai kasvulle.

Jotta voit vastata tarkasti kysymykseen "miten löytää maksimipiste", sinun on noudatettava näitä ohjeita:

1. Tarkan määritelmäalueen löytäminen kaaviosta.
2. Hae funktion derivaatta ja ääriarvopiste.
3. Ratkaise vakioepäyhtälöt toimialueelle, josta argumentti löytyy.
4. Pystyy todistamaan missä funktioissa kuvaajan piste on määritelty ja jatkuva.

Huomio! Hae Kriittinen piste toiminto on mahdollinen vain, jos on olemassa vähintään toisen kertaluvun derivaatta, jonka takaa suuri osa ääripisteen läsnäolosta.

Funktion ääripään välttämätön ehto

Jotta ääriarvo olisi olemassa, on tärkeää, että siinä on sekä minimi- että maksimipisteet. Jos tätä sääntöä noudatetaan vain osittain, ääripään olemassaolon ehtoa rikotaan.

Jokainen toiminto missä tahansa asennossa on erotettava, jotta sen uudet merkitykset voidaan tunnistaa. On tärkeää ymmärtää, että tapaus, jossa piste menee nollaan, ei ole pääperiaate erotettavissa olevan pisteen löytämisessä.

Terävä ääripää, samoin kuin toiminnon minimi, ovat erittäin tärkeä osa ratkaisua matemaattinen ongelma käyttämällä ääriarvoja. Tämän komponentin ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää viitata toimintojen määrittämiseen taulukkoarvoihin.

Toiminnan ääripää

Yllä olevan arvon löytämiseksi sinun on noudatettava seuraavia sääntöjä:

• määrittää äärimmäisen suhteen välttämätön ehto;
• ottaa huomioon kaavion ääripisteiden riittävä kunto;
• suorittaa akuutin ääripään laskennan.

Käytetään myös sellaisia ​​käsitteitä kuin heikko minimi ja vahva minimi. Tämä on otettava huomioon määritettäessä ääriarvoa ja sen tarkkaa laskelmaa. Samalla akuutti toiminnallisuus on kaiken etsiminen ja luominen tarvittavat ehdot funktion kaavion kanssa työskentelemiseen.