Postava pyramídy. Geometrické postavy. Pyramída. Vlastnosti pravidelnej pyramídy

hypotéza: veríme, že dokonalosť tvaru pyramídy je spôsobená matematické zákony vložené do jeho podoby.

Cieľ:študoval pyramídu ako geometrické teleso, aby vysvetlil dokonalosť jej tvaru.

Úlohy:

1. Uveďte matematickú definíciu pyramídy.

2. Študujte pyramídu ako geometrické teleso.

3. Pochopte, aké matematické poznatky položili Egypťania do svojich pyramíd.

Súkromné ​​otázky:

1. Čo je pyramída ako geometrické teleso?

2. Ako možno matematicky vysvetliť jedinečný tvar pyramídy?

3. Čo vysvetľuje geometrické zázraky pyramídy?

4. Čo vysvetľuje dokonalosť tvaru pyramídy?

Definícia pyramídy.

PYRAMÍDA (z gréckeho pyramis, rod n. pyramidos) - mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom (obrázkom). Podľa počtu rohov základne sú pyramídy trojuholníkové, štvoruholníkové atď.

PYRAMÍDA - monumentálna stavba, ktorá má geometrický tvar pyramídy (niekedy aj stupňovitý alebo vežovitý). Obrie hrobky staroegyptských faraónov z 3. – 2. tisícročia pred Kristom sa nazývajú pyramídy. ako aj staroveké americké podstavce chrámov (v Mexiku, Guatemale, Hondurase, Peru) spojené s kozmologickými kultmi.

Je to možné Grécke slovo„pyramída“ pochádza z egyptského výrazu per-em-us, t.j. z výrazu, ktorý znamenal výšku pyramídy. Významný ruský egyptológ V. Struve veril, že grécke „puram…j“ pochádza zo staroegyptského „p“-mr.

Z histórie. Po preštudovaní materiálu v učebnici „Geometria“ od autorov Atanasyan. Butuzovej a ďalších sme sa dozvedeli, že: Mnohosten zložený z n-uholníka A1A2A3 ... An a n trojuholníkov RA1A2, RA2A3, ..., RANA1 sa nazýva pyramída. Mnohouholník A1A2A3 ... An je základňa pyramídy a trojuholníky RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sú bočné steny pyramídy, P je vrchol pyramídy, segmenty RA1, RA2, .. ., RAN sú bočné okraje.

Takáto definícia pyramídy však vždy neexistovala. Napríklad starogrécky matematik, autor teoretických pojednaní o matematike, ktoré sa k nám dostali, Euclid, definuje pyramídu ako pevnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.

Ale táto definícia bola kritizovaná už v staroveku. Heron teda navrhol nasledujúcu definíciu pyramídy: „Toto je obrazec ohraničený trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode, ktorého základňou je mnohouholník.

Naša skupina pri porovnávaní týchto definícií dospela k záveru, že nemajú jasnú formuláciu pojmu „základ“.

Študovali sme tieto definície a našli sme definíciu Adriena Marie Legendre, ktorý v roku 1794 vo svojom diele „Elements of Geometry“ definuje pyramídu takto: „Pyramída je telesná postava, tvorené trojuholníkmi, zbiehajúce sa v jednom bode a končiace na rôznych stranách plochej základne.

Zdá sa nám, že posledná definícia dáva jasnú predstavu o pyramíde, pretože odkazuje na skutočnosť, že základňa je plochá. Ďalšia definícia pyramídy sa objavila v učebnici z 19. storočia: „pyramída je priestorový uhol, ktorý pretína rovina“.

Pyramída ako geometrické teleso.

To. Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha (základňa) je mnohouholník, ostatné plochy (strany) sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy).

Kolmica vedená z vrcholu pyramídy na rovinu základne sa nazýva vysokýh pyramídy.

Okrem ľubovoľnej pyramídy existujú pravá pyramída, na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a zrezaná pyramída.

Na obrázku - pyramída PABCD, ABCD - jej základňa, PO - výška.

Celá plocha Pyramída sa nazýva súčet plôch všetkých jej plôch.

Plný = Sstrana + Sbase, Kde Sside je súčet plôch bočných plôch.

objem pyramídy sa nachádza podľa vzorca:

V=1/3S základ h, kde Sosn. - základná plocha h- výška.

Plocha bočnej steny pravidelnej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základne, h- výška bočnej steny (apotém pravidelnej pyramídy). Ak pyramídu pretína rovina A'B'C'D' rovnobežná so základňou, potom:

1) bočné hrany a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;

2) v reze sa získa mnohouholník A'B'C'D', podobný základni;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Základy zrezanej pyramídy sú podobné polygóny ABCD a A`B`C`D`, bočné steny sú lichobežníky.

Výška zrezaná pyramída - vzdialenosť medzi základňami.

Skrátený objem pyramídu nájdeme podľa vzorca:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' sú obvody základní, h- výška bočnej steny (apotéma štamgastu skráteného o sviatky

Časti pyramídy.

Úseky pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky.

Úsek prechádzajúci dvoma nesusediacimi bočnými okrajmi pyramídy sa nazýva diagonálny rez.

Ak rez prechádza bodom na bočnej hrane a strane podstavy, potom táto strana bude jej stopou v rovine podstavy pyramídy.

Úsek prechádzajúci bodom ležiacim na čele pyramídy a daná stopa rezu v rovine základne, potom by sa konštrukcia mala vykonať takto:

nájdite priesečník roviny danej steny a stopy ihlanu a označte ho;

vybudovať priamku prechádzajúcu daným bodom a výsledným priesečníkom;

· Opakujte tieto kroky pre ďalšie tváre.

, čo zodpovedá pomeru ramien pravouhlého trojuholníka 4:3. Tento pomer nôh zodpovedá známemu pravouhlému trojuholníku so stranami 3:4:5, ktorý sa nazýva „dokonalý“, „posvätný“ alebo „egyptský“ trojuholník. Podľa historikov dostal „egyptský“ trojuholník magický význam. Plutarchos napísal, že Egypťania prirovnávali povahu vesmíru k „posvätnému“ trojuholníku; zvislú nohu symbolicky prirovnali k manželovi, základňu k manželke a preponu k tomu, čo sa z oboch rodí.

Pre trojuholník 3:4:5 platí rovnosť: 32 + 42 = 52, čo vyjadruje Pytagorovu vetu. Nie je to táto veta, ktorú chceli egyptskí kňazi zvečniť postavením pyramídy na základe trojuholníka 3:4:5? Je ťažké nájsť lepší príklad na ilustráciu Pytagorovej vety, ktorá bola Egypťanom známa dávno pred jej objavením Pytagorom.

Dômyselní tvorcovia egyptských pyramíd sa teda snažili zapôsobiť na vzdialených potomkov hĺbkou svojich vedomostí a dosiahli to tým, že ako „hlavnú geometrickú myšlienku“ pre Cheopsovu pyramídu zvolili „zlatý“ pravouhlý trojuholník a pre pyramídu Khafre - "posvätný" alebo "egyptský" trojuholník.

Vedci pri svojom výskume veľmi často využívajú vlastnosti pyramíd s proporciami Zlatého rezu.

V matematickom encyklopedický slovník je uvedená nasledovná definícia Zlatého rezu - ide o harmonické delenie, delenie v extrémnom a priemernom pomere - delenie segmentu AB na dve časti tak, že väčšina jeho AC je priemerná úmerná medzi celým segmentom AB. a jeho menšou časťou CB.

Algebraické nájdenie zlatého rezu segmentu AB = a redukuje na riešenie rovnice a: x = x: (a - x), kde x sa približne rovná 0,62a. Pomer x možno vyjadriť ako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sú Fibonacciho čísla.

Geometrická konštrukcia zlatého rezu segmentu AB sa vykonáva takto: v bode B sa obnoví kolmica na AB, položí sa naň segment BE \u003d 1/2 AB, A a E sú spojené, DE \ u003d BE sa odloží a nakoniec AC \u003d AD, potom je splnená rovnosť AB: CB = 2: 3.

Zlatý pomerčasto sa používa v umeleckých dielach, architektúre, nachádza sa v prírode. Živými príkladmi sú socha Apolla Belvedere, Parthenon. Pri stavbe Parthenonu bol použitý pomer výšky budovy k jej dĺžke a tento pomer je 0,618. Predmety okolo nás tiež poskytujú príklady zlatého rezu, napríklad väzby mnohých kníh majú pomer šírky k dĺžke blízky 0,618. Vzhľadom na usporiadanie listov na spoločnej stonke rastlín si možno všimnúť, že medzi každým dvoma pármi listov sa tretí nachádza na mieste zlatého rezu (sklíčka). Každý z nás „nosí“ Zlatý pomer so sebou „v rukách“ - to je pomer falangov prstov.

Vďaka objavu niekoľkých matematických papyrusov sa egyptológovia dozvedeli niečo o staroegyptských systémoch počtu a mier. Úlohy v nich obsiahnuté riešili pisári. Jedným z najznámejších je Rhindov matematický papyrus. Štúdiom týchto hádaniek sa egyptológovia dozvedeli, ako starí Egypťania narábali s rôznymi veličinami, ktoré vznikli pri výpočte mier hmotnosti, dĺžky a objemu, ktoré často používali zlomky, ako aj to, ako narábali s uhlami.

Starovekí Egypťania používali metódu výpočtu uhlov na základe pomeru výšky k základni pravouhlého trojuholníka. Vyjadrili akýkoľvek uhol v jazyku gradientu. Gradient sklonu bol vyjadrený ako pomer celého čísla, nazývaného "seked". Richard Pillins v knihe Mathematics in the Time of the Pharaohs vysvetľuje: „Seked pravidelnej pyramídy je sklon ktorejkoľvek zo štyroch trojuholníkových stien k rovine základne, meraný n-tým počtom horizontálnych jednotiek na vertikálnu jednotku výšky. . Táto merná jednotka je teda ekvivalentná nášmu modernému kotangensu uhla sklonu. Preto egyptské slovo „seked“ súvisí s naším moderné slovo"gradient"".

Číselný kľúč pyramíd spočíva v pomere ich výšky k základni. Z praktického hľadiska ide o najjednoduchší spôsob výroby šablón potrebných na neustálu kontrolu správneho uhla sklonu počas celej stavby pyramídy.

Egyptológovia by nás radi presvedčili, že každý faraón chcel vyjadriť svoju individualitu, a preto sú rozdiely v uhloch sklonu každej pyramídy. Ale môže to byť aj iný dôvod. Možno všetci chceli stelesniť rôzne symbolické asociácie skryté v rôznych pomeroch. Avšak uhol Khafrovej pyramídy (založený na trojuholníku (3:4:5) sa objavuje v troch problémoch prezentovaných pyramídami v Rhindovom matematickom papyruse). Takže tento postoj bol dobre známy starým Egypťanom.

Aby sme boli spravodliví voči egyptológom, ktorí tvrdia, že starí Egypťania nepoznali trojuholník 3:4:5, povedzme, že dĺžka prepony 5 sa nikdy nespomínala. ale matematické problémy, týkajúce sa pyramíd, sú vždy riešené na základe sesedového uhla - pomeru výšky k základni. Keďže dĺžka prepony nebola nikdy spomenutá, dospelo sa k záveru, že Egypťania nikdy nevypočítali dĺžku tretej strany.

Pomery výšky a základne používané v pyramídach v Gíze boli bezpochyby známe starým Egypťanom. Je možné, že tieto pomery pre každú pyramídu boli zvolené ľubovoľne. To je však v rozpore s dôležitosťou, ktorá sa pripisuje číselnej symbolike vo všetkých typoch egyptčiny výtvarné umenie. Je veľmi pravdepodobné, že takéto vzťahy mali veľký význam, keďže vyjadrovali špecifické náboženské predstavy. Inými slovami, celý komplex v Gíze bol podriadený koherentnému dizajnu, ktorý bol navrhnutý tak, aby odrážal nejakú božskú tému. To by vysvetľovalo, prečo dizajnéri zvolili rôzne uhly pre tri pyramídy.

V knihe Tajomstvo Oriona predložili Bauval a Gilbert presvedčivé dôkazy o spojení pyramíd v Gíze so súhvezdím Orion, najmä s hviezdami Orionovho pásu. Rovnaké súhvezdie je prítomné aj v mýte o Isis a Osiris. je dôvod považovať každú pyramídu za obraz jedného z troch hlavných božstiev – Osirisa, Isis a Hora.

ZÁZRAKY "GEOMETRICKÉ".

Medzi grandióznymi pyramídami Egypta zaujíma osobitné miesto Veľká pyramída faraóna Cheopsa (Khufu). Predtým, ako pristúpime k analýze tvaru a veľkosti Cheopsovej pyramídy, mali by sme si spomenúť, aký systém mier Egypťania používali. Egypťania mali tri jednotky dĺžky: „lakť“ (466 mm), rovnajúci sa siedmim „dlaniam“ (66,5 mm), čo sa zase rovnalo štyrom „prstom“ (16,6 mm).

Analyzujme veľkosť Cheopsovej pyramídy (obr. 2) podľa úvah uvedených v nádhernej knihe ukrajinského vedca Nikolaja Vasjutinského „Zlatá proporcia“ (1990).

Väčšina výskumníkov súhlasí s tým, že dĺžka strany základne pyramídy, napr. GF rovná sa L\u003d 233,16 m. Táto hodnota takmer presne zodpovedá 500 "lakťom". Úplná zhoda s 500 "lakťami" bude, ak sa dĺžka "lakťa" považuje za rovnajúcu sa 0,4663 m.

Výška pyramídy ( H) odhadujú výskumníci odlišne od 146,6 do 148,2 m. A v závislosti od akceptovanej výšky pyramídy sa menia všetky pomery jej geometrických prvkov. Aký je dôvod rozdielov v odhade výšky pyramídy? Faktom je, že presne povedané, Cheopsova pyramída je skrátená. Jej horná plošina má dnes veľkosť približne 10´ 10 m, pred storočím mala 6´ 6 m. Je zrejmé, že vrchol pyramídy bol demontovaný a nezodpovedá pôvodnému.

Pri hodnotení výšky pyramídy je potrebné brať do úvahy napr fyzikálny faktor ako "návrh" dizajn. vzadu dlho vplyvom kolosálneho tlaku (dosahujúceho 500 ton na 1 m2 spodnej plochy) sa výška pyramídy oproti pôvodnej výške znížila.

Aká bola pôvodná výška pyramídy? Táto výška môže byť znovu vytvorená, ak nájdete základnú "geometrickú myšlienku" pyramídy.

Obrázok 2

V roku 1837 anglický plukovník G. Wise zmeral uhol sklonu stien pyramídy: ukázalo sa, že je rovný a= 51°51". Túto hodnotu uznáva väčšina bádateľov aj dnes. Uvedená hodnota uhla zodpovedá dotyčnici (tg a), rovná 1,27306. Táto hodnota zodpovedá pomeru výšky pyramídy AC do polovice svojej základne CB(obr.2), t.j. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

A tu čakalo výskumníkov veľké prekvapenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnanie tejto hodnoty s hodnotou tg a= 1,27306, vidíme, že tieto hodnoty sú si navzájom veľmi blízke. Ak vezmeme uhol a\u003d 51 ° 50", to znamená, že sa zníži iba o jednu oblúkovú minútu, potom hodnota a sa bude rovnať 1,272, to znamená, že sa bude zhodovať s hodnotou . Treba poznamenať, že v roku 1840 G. Wise zopakoval svoje merania a objasnil, že hodnota uhla a= 51°50".

Tieto merania viedli výskumníkov k nasledujúcej veľmi zaujímavej hypotéze: trojuholník ASV Cheopsovej pyramídy vychádzal zo vzťahu AC / CB = = 1,272!

Zvážte teraz pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom pomer nož AC / CB= (obr. 2). Ak teraz dĺžky strán obdĺžnika ABC označovať podľa X, r, z, a tiež vziať do úvahy, že pomer r/X= , potom v súlade s Pytagorovou vetou dĺžka z možno vypočítať podľa vzorca:

Ak prijmete X = 1, r= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Obrázok 3"Zlatý" pravouhlý trojuholník.

Pravouhlý trojuholník, v ktorom sú strany spojené ako t:zlatý" pravouhlý trojuholník.

Potom, ak vezmeme za základ hypotézu, že hlavnou „geometrickou myšlienkou“ Cheopsovej pyramídy je „zlatý“ pravouhlý trojuholník, potom je ľahké vypočítať „návrhovú“ výšku Cheopsovej pyramídy. Rovná sa:

V \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Odvoďme teraz niektoré ďalšie vzťahy pre Cheopsovu pyramídu, ktoré vyplývajú zo „zlatej“ hypotézy. Najmä nájdeme pomer vonkajšej plochy pyramídy k ploche jej základne. Aby sme to urobili, vezmeme dĺžku nohy CB na jednotku, teda: CB= 1. Ale potom dĺžka strany základne pyramídy GF= 2 a plocha základne EFGH sa bude rovnať SEFGH = 4.

Vypočítajme teraz plochu bočnej steny Cheopsovej pyramídy SD. Pretože výška AB trojuholník AEF rovná sa t, potom sa plocha bočnej plochy bude rovnať SD = t. Potom sa celková plocha všetkých štyroch bočných plôch pyramídy bude rovnať 4 t a pomer celkovej vonkajšej plochy pyramídy k základnej ploche sa bude rovnať zlatému pomeru! To je to, čo to je - hlavné geometrické tajomstvo Cheopsovej pyramídy!

Skupina „geometrických zázrakov“ Cheopsovej pyramídy zahŕňa skutočné a vymyslené vlastnosti vzťahu medzi rôznymi rozmermi v pyramíde.

Spravidla sa získavajú pri hľadaní nejakej „konštanty“, najmä čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), ktoré sa rovná 3,14159...; základy prirodzených logaritmov "e" (Napierovo číslo) rovné 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého rezu", rovné napríklad 0,618 ... atď.

Môžete pomenovať napríklad: 1) Vlastnosť Herodota: (Výška) 2 \u003d 0,5 st. Hlavná x Apothem; 2) Majetok V. Cena: Výška: 0,5 st. osn \u003d Druhá odmocnina z "Ф"; 3) Vlastnosť M. Eista: Obvod základne: 2 Výška = "Pi"; v inej interpretácii - 2 polievkové lyžice. Hlavná : Výška = "Pi"; 4) Vlastnosť G. Rebera: Polomer vpísanej kružnice: 0,5 st. Hlavná = "F"; 5) Majetok K. Kleppisha: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2. hlavná X Apotéma) + (st. hlavná) 2). Atď. Takýchto vlastností môžete prísť na množstvo, najmä ak spojíte dve susediace pyramídy. Napríklad ako „Vlastnosti A. Arefieva“ možno spomenúť, že rozdiel medzi objemami Cheopsovej pyramídy a Rachefovej pyramídy sa rovná dvojnásobku objemu Menkaurovej pyramídy...

Mnohé zaujímavé ustanovenia, najmä o stavbe pyramíd podľa „zlatého rezu“, sú uvedené v knihách D. Hambidgea „Dynamická symetria v architektúre“ a M. Geeka „Estetika proporcie v prírode a umení“. Pripomeňme, že „zlatý rez“ je rozdelenie segmentu v takom pomere, keď časť A je toľkokrát väčšia ako časť B, koľkokrát A je menšia ako celý segment A + B. Pomer A / B je rovná sa číslu „Ф“ == 1,618... Použitie „zlatého rezu“ je naznačené nielen v jednotlivých pyramídach, ale v celom pyramídovom komplexe v Gíze.

Najkurióznejšie však je, že jedna a tá istá Cheopsova pyramída jednoducho „nemôže“ obsahovať toľko úžasných vlastností. Ak vezmete určitú vlastnosť jednu po druhej, môžete ju "upraviť", ale naraz sa nezmestia - nezhodujú sa, protirečia si. Ak sa teda napríklad pri kontrole všetkých vlastností na začiatku zoberie jedna a tá istá strana základne pyramídy (233 m), potom sa budú líšiť aj výšky pyramíd s rôznymi vlastnosťami. Inými slovami, existuje určitá „rodina“ pyramíd, navonok podobných tým Cheopsovým, ale zodpovedajúcich iným vlastnostiam. Všimnite si, že v "geometrických" vlastnostiach nie je nič mimoriadne zázračné - veľa vyplýva čisto automaticky, z vlastností samotnej postavy. Za „zázrak“ treba považovať iba niečo, čo je pre starých Egypťanov zjavne nemožné. Patria sem najmä „kozmické“ zázraky, pri ktorých sa porovnávajú merania Cheopsovej pyramídy alebo pyramídového komplexu v Gíze s nejakými astronomickými meraniami a uvádzajú sa „párne“ čísla: miliónkrát, miliardkrát menej atď. . Uvažujme o niektorých „kozmických“ vzťahoch.

Jedno z tvrdení je toto: „ak vydelíme stranu základne pyramídy presnou dĺžkou roka, dostaneme presne 10 miliónov zemská os". Vypočítajte: 233 vydelíme 365, dostaneme 0,638. Polomer Zeme je 6378 km.

Ďalšie tvrdenie je vlastne opakom predchádzajúceho. F. Noetling poukázal na to, že ak použijete ním vynájdený „egyptský lakeť“, tak strana pyramídy bude zodpovedať „najpresnejšiemu trvaniu slnečného roka, vyjadrenému s presnosťou na miliardtinu dňa“ – 365 540 903 777 .

Výrok P. Smitha: "Výška pyramídy je presne jedna miliardtina vzdialenosti od Zeme k Slnku." Hoci sa zvyčajne berie výška 146,6 m, Smith ju bral ako 148,2 m. Podľa moderných radarových meraní je hlavná poloos zemskej dráhy 149 597 870 + 1,6 km. Toto je priemerná vzdialenosť od Zeme k Slnku, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrov menej ako v aféliu.

Posledné zaujímavé vyhlásenie:

"Ako vysvetliť, že hmotnosti pyramíd Cheops, Khafre a Menkaure spolu súvisia, ako hmotnosti planét Zem, Venuša, Mars?" Poďme počítať. Hmotnosti troch pyramíd súvisia ako: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Pomery hmotností troch planét: Venuša - 0,815; Pozemok - 1 000; Mars - 0,108.

Všimnime si teda aj napriek skepse známu harmóniu konštrukcie výrokov: 1) výška pyramídy, ako priamka „ide do vesmíru“ – zodpovedá vzdialenosti od Zeme k Slnku; 2) strana základne pyramídy, ktorá je najbližšie „k substrátu“, teda k Zemi, je zodpovedná za zemský polomer a zemský obeh; 3) objemy pyramídy (čítaj - hmotnosti) zodpovedajú pomeru hmotností planét najbližších k Zemi. Podobnú „šifru“ možno vysledovať napríklad vo včelej reči, ktorú rozobral Karl von Frisch. Zatiaľ sa však k tomu nevyjadrujeme.

TVAR PYRAMÍD

Slávny štvorstenný tvar pyramíd sa neobjavil okamžite. Skýti robili pohrebiská vo forme hlinených kopcov - mohýl. Egypťania stavali „kopce“ z kameňa – pyramídy. Prvýkrát sa tak stalo po zjednotení Horného a Dolného Egypta, v 28. storočí pred Kristom, keď zakladateľ III. dynastie, faraón Džoser (Zoser), stál pred úlohou posilniť jednotu krajiny.

A tu podľa historikov zohralo dôležitú úlohu pri posilňovaní centrálnej vlády “ nový koncept zbožštenie" kráľa. Kráľovské pohrebiská boli síce honosnejšie, ale v zásade sa nelíšili od hrobiek dvorných šľachticov, išlo o rovnaké stavby - mastaby. Nad komorou so sarkofágom, v ktorom sa nachádza múmia, sa vypínal obdĺžnikový kopec malých nasypali kamene, kde potom vznikla malá budova z veľkých kamenných blokov – „mastaba“ (v arabčine – „lavička“). Na mieste mastaby svojho predchodcu Sanachta postavil faraón Džoser prvú pyramídu. Bola stupňovitá a bol viditeľným prechodným štádiom od jednej architektonickej formy k druhej, od mastaby k pyramíde.

Takto faraóna „vychoval“ mudrc a architekt Imhotep, ktorého neskôr považovali za kúzelníka a Gréci ho stotožňovali s bohom Asklepiom. Akoby sa postavilo šesť mastáb za sebou. Prvá pyramída navyše zaberala plochu 1125 x 115 metrov s odhadovanou výškou 66 metrov (podľa egyptských mier - 1000 „paliem“). Architekt najskôr plánoval postaviť mastabu, nie však podlhovastého, ale štvorcového pôdorysu. Neskôr bola rozšírená, ale keďže prístavba bola urobená nižšie, vznikli akoby dva stupne.

Táto situácia architekta neuspokojila a na vrcholovú plošinu obrovskej plochej mastaby umiestnil Imhotep ďalšie tri, ktoré sa smerom k vrcholu postupne znižovali. Hrobka bola pod pyramídou.

Je známych niekoľko ďalších stupňovitých pyramíd, ale neskôr stavitelia prešli na stavbu známejších štvorstenných pyramíd. Prečo však nie trojuholníkový alebo povedzme osemuholníkový? Nepriama odpoveď je daná skutočnosťou, že takmer všetky pyramídy sú dokonale orientované na štyri svetové strany, a preto majú štyri strany. Okrem toho bola pyramída „domom“, plášťom štvorhrannej pohrebnej komory.

Čo však spôsobilo uhol sklonu tvárí? V knihe "Princíp proporcií" je tomu venovaná celá kapitola: "Čo by mohlo určiť uhly pyramíd." Predovšetkým sa uvádza, že „obraz, ku ktorému sa priťahujú veľké pyramídy Starej ríše, je trojuholník s pravým uhlom na vrchole.

Vo vesmíre je to poloktaedrón: pyramída, v ktorej sú okraje a strany základne rovnaké, steny sú rovnostranné trojuholníky Určité úvahy o tejto téme sú uvedené v knihách Hambidge, Geek a ďalších.

Aká je výhoda uhla semioktaédra? Podľa opisov archeológov a historikov sa niektoré pyramídy zrútili vlastnou váhou. Potrebný bol „uhol trvanlivosti“, uhol, ktorý bol energeticky najspoľahlivejší. Čisto empiricky možno tento uhol odobrať z vrcholového uhla v hromade rozpadajúceho sa suchého piesku. Ak však chcete získať presné údaje, musíte použiť model. Keď vezmete štyri pevne pripevnené gule, musíte na ne položiť piatu a zmerať uhly sklonu. Tu sa však môžete pomýliť, preto pomôže teoretický výpočet: stredy guľôčok by ste mali spojiť čiarami (mentálne). Na základni dostanete štvorec so stranou rovnajúcou sa dvojnásobku polomeru. Štvorec bude len základňou pyramídy, ktorej dĺžka hrán bude tiež rovná dvojnásobku polomeru.

Husté balenie guličiek typu 1:4 nám teda poskytne pravidelný poloktaedrón.

Prečo si ju však mnohé pyramídy, ktoré tiahnu k podobnej forme, nezachovajú? Pravdepodobne pyramídy starnú. Na rozdiel od známeho výroku:

"Všetko na svete sa bojí času a čas sa bojí pyramíd", stavby pyramíd musia starnúť, môžu a majú prebiehať nielen procesy vonkajšieho zvetrávania, ale aj procesy vnútorného "zmršťovania" , z ktorého sa môžu pyramídy znížiť. Zmršťovanie je možné aj preto, že ako zistili práce D. Davidovitsa, starí Egypťania používali technológiu výroby blokov z vápenných triesok, inými slovami, z „betónu“. Práve tieto procesy by mohli vysvetliť dôvod zničenia pyramídy Medum, ktorá sa nachádza 50 km južne od Káhiry. Má 4600 rokov, rozmery základne 146 x 146 m, výška 118 m. „Prečo je taký zmrzačený?" pýta sa V. Zamarovský. „Zvyčajné odkazy na deštruktívne pôsobenie času a „použitie kameňa na iné stavby" sa sem nehodia.

Koniec koncov, väčšina jeho blokov a obkladových dosiek stále zostáva na svojom mieste, v ruinách na jeho úpätí. „Ako uvidíme, podľa mnohých ustanovení sa dokonca zdá, že aj slávna Cheopsova pyramída sa „scvrkla“. , na všetkých starovekých obrazoch sú pyramídy špicaté ...

Tvar pyramíd by sa dal vytvoriť aj napodobňovaním: niektoré prírodné vzory, „zázračná dokonalosť“, povedzme nejaké kryštály vo forme osemstenu.

Takýmito kryštálmi môžu byť diamantové a zlaté kryštály. Charakteristicky veľké množstvo"pretínajúce sa" znaky pre také pojmy ako faraón, slnko, zlato, diamant. Všade - vznešené, brilantné (brilantné), skvelé, bezchybné a tak ďalej. Podobnosti nie sú náhodné.

Slnečný kult, ako viete, bol dôležitou súčasťou náboženstva. staroveký Egypt. „Bez ohľadu na to, ako preložíme názov najväčšej z pyramíd,“ jedna z moderných učebníc hovorí „Sky Khufu“ alebo „Sky Khufu“, znamenalo to, že kráľom je slnko. Ak si Chufu v lesku svojej sily predstavoval, že je druhým slnkom, potom sa jeho syn Jedef-Ra stal prvým z egyptských kráľov, ktorý sa začal nazývať „synom Ra“, teda synom Slnko. Slnko symbolizovali takmer všetky národy ako „slnečný kov“, zlato. "Veľký disk jasného zlata" - tak Egypťania nazývali naše denné svetlo. Egypťania poznali zlato veľmi dobre, poznali jeho pôvodné formy, kde sa zlaté kryštály môžu objaviť v podobe osemstenov.

Ako „vzorka foriem“ je tu zaujímavý aj „slnečný kameň“ – diamant. Názov diamantu pochádza práve z arabského sveta, „almas“ – najtvrdší, najtvrdší, nezničiteľný. Starovekí Egypťania poznali diamant a jeho vlastnosti sú celkom dobré. Podľa niektorých autorov dokonca na vŕtanie používali bronzové rúry s diamantovými frézami.

Hlavným dodávateľom diamantov je teraz Južná Afrika, no na diamanty je bohatá aj západná Afrika. Územie Republiky Mali sa tam dokonca nazýva „Diamantová krajina“. Medzitým na území Mali žijú Dogoni, s ktorými priaznivci paleovisitovej hypotézy vkladajú veľa nádejí (pozri nižšie). Diamanty nemohli byť dôvodom kontaktov starých Egypťanov s týmto regiónom. Tak či onak je však možné, že práve kopírovaním osemstenov diamantu a zlatých kryštálov starí Egypťania zbožštili faraónov, „nezničiteľných“ ako diamant a „brilantných“ ako zlato, synov Slnka, porovnateľných len s najúžasnejšími výtvormi prírody.

Záver:

Po štúdiu pyramídy ako geometrického telesa, oboznámení sa s jej prvkami a vlastnosťami sme sa presvedčili o platnosti názoru o kráse tvaru pyramídy.

Ako výsledok nášho výskumu sme dospeli k záveru, že Egypťania, ktorí zozbierali najcennejšie matematické poznatky, ich stelesnili do pyramídy. Preto je pyramída skutočne najdokonalejším výtvorom prírody a človeka.

BIBLIOGRAFIA

"Geometria: Proc. pre 7 - 9 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie \ atď - 9. vydanie - M .: Školstvo, 1999

Dejiny matematiky v škole, M: "Osvietenie", 1982

Geometria ročník 10-11, M: "Osvietenie", 2000

Peter Tompkins "Tajomstvá Veľkej Cheopsovej pyramídy", M: "Centropoligraph", 2005

Internetové zdroje

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Veľké egyptské pyramídy dobre poznáme, každý si vie predstaviť, ako vyzerajú. Toto znázornenie nám pomôže pochopiť vlastnosti takého geometrického útvaru, akým je pyramída.

Pyramída je mnohosten pozostávajúci z plochého mnohouholníka - základne pyramídy, bodu, ktorý neleží v rovine základne - vrcholu pyramídy a všetkých segmentov spájajúcich vrchol s bodmi základne. Segmenty, ktoré spájajú vrchol pyramídy s vrcholom základne, sa nazývajú bočné hrany. Na obr. 1 je znázornená pyramída SABCD. Štvoruholník ABCD je základňa pyramídy, bod S je vrchol pyramídy, segmenty SA, SB, SC a SD sú okraje pyramídy.

Výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na rovinu základne. Na obr. 1 SO je výška pyramídy.

Pyramída sa nazýva n-uholníková, ak jej základňa je n-uholník. Obrázok 1 znázorňuje štvorhrannú pyramídu. Trojuholníková pyramída sa nazýva štvorsten.

Pyramída sa nazýva pravidelná, ak jej základňa je pravidelný mnohouholník a základňa výšky sa zhoduje so stredom tohto mnohouholníka. Bočné hrany pravidelnej pyramídy sú rovnaké, a preto sú bočné steny rovnoramenné trojuholníky. V pravidelnej pyramíde sa výška bočnej steny nakreslenej z vrcholu pyramídy nazýva apotém.

Pyramída má množstvo vlastností.

Všetky uhlopriečky pyramídy patria jej tváram.

Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom:

• v blízkosti základne pyramídy možno opísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jeho stredu;
• bočné hrany zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou a naopak, ak bočné hrany zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo ak je možné opísať kruh v blízkosti základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premieta do jeho stred, potom sú všetky bočné okraje pyramídy rovnaké.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom:

• do základne pyramídy možno vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu;
• výšky bočných plôch sú rovnaké;
• plocha bočného povrchu sa rovná polovici súčinu obvodu základne a výšky bočnej steny.

Zvážte vzorce na nájdenie objemu, plochy povrchu pyramídy.

Objem pyramídy možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

kde S je plocha základne a h je výška.

Ak chcete zistiť celkovú plochu pyramídy, použite vzorec:

S p \u003d Sb + S o,

kde Sp je celkový povrch, Sb je bočný povrch, So je základná plocha.

Zrezaný ihlan je mnohosten uzavretý medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou s jej základňou. Plochy zrezanej pyramídy, ležiace v rovnobežných rovinách, sa nazývajú základne zrezanej pyramídy, zvyšné plochy sa nazývajú bočné steny. Základy zrezaného ihlana sú podobné mnohouholníky, bočné strany sú lichobežníky. Zrezaný ihlan, ktorý sa získa z pravidelnej pyramídy, sa nazýva pravidelná zrezaná pyramída. Bočné plochy pravidelného zrezaného lichobežníka sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky, ich výšky sa nazývajú apotémy.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Výkres je prvým a veľmi dôležitým krokom pri riešení geometrickej úlohy. Aký by mal byť výkres pravidelnej pyramídy?

Najprv si spomeňme paralelné konštrukčné vlastnosti:

- paralelné segmenty obrázku sú znázornené ako paralelné segmenty;

- pomer dĺžok úsečiek rovnobežných čiar a úsečiek jednej priamky je zachovaný.

Kresba pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Najprv nakreslite základňu. Pretože uhly a pomery dĺžok nerovnobežných segmentov nie sú zachované v paralelnom dizajne, pravidelný trojuholník na základni pyramídy je reprezentovaný ľubovoľným trojuholníkom.

Stred rovnostranného trojuholníka je priesečníkom stredov trojuholníka. Pretože stredy v priesečníku sú rozdelené v pomere 2: 1, počítajúc zhora, mentálne spojíme hornú časť základne so stredom opačnej strany, približne ju rozdelíme na tri časti a umiestnime bod na vzdialenosť 2 dielov od vrchu. Z tohto bodu nahor nakreslite kolmicu. Toto je výška pyramídy. Kolmicu nakreslíme tak dlho, aby bočná hrana nezakrývala obraz výšky.

Kresba pravidelného štvoruholníkového ihlana

Kresba pravidelnej štvorhrannej pyramídy tiež začína od základne. Keďže rovnobežnosť segmentov je zachovaná, ale veľkosti uhlov nie sú, štvorec na základni je znázornený ako rovnobežník. Žiaduce ostrý roh zmenšite tento rovnobežník, potom sú bočné strany väčšie. Stred štvorca je priesečníkom jeho uhlopriečok. Nakreslíme uhlopriečky, z priesečníka obnovíme kolmicu. Táto kolmica je výška pyramídy. Dĺžku kolmice volíme tak, aby sa nám bočné hrany navzájom nezliali.

Kresba pravidelného šesťhranného ihlana

Keďže rovnobežná projekcia zachováva rovnobežnosť segmentov, základňa pravidelného šesťuholníka - pravidelný šesťuholník - je znázornená ako šesťuholník, v ktorom sú protiľahlé strany rovnobežné a rovnaké. Stred pravidelného šesťuholníka je priesečníkom jeho uhlopriečok. Aby sme kresbu nezahltili, nekreslíme uhlopriečky, ale tento bod nájdeme približne. Z nej obnovíme kolmicu - výšku pyramídy - aby sa bočné hrany navzájom nezlúčili.

Definícia. Bočná tvár- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a jeho opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).

Definícia. Bočné rebrá sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko je rohov v polygóne.

Definícia. výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu na základňu pyramídy.

Definícia. Apothem- toto je kolmica na bočnú stranu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.

Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.

Definícia. Správna pyramída- Toto je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.

Objem a povrch pyramídy

Vzorec. objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:

vlastnosti pyramídy

Ak sú všetky bočné hrany rovnaké, potom môže byť okolo základne pyramídy opísaný kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).

Ak sú všetky bočné rebrá rovnaké, potom sú naklonené k základnej rovine v rovnakých uhloch.

Bočné rebrá sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo ak možno okolo základne pyramídy opísať kruh.

Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod jedným uhlom, potom môže byť do základne pyramídy vpísaný kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.

Vlastnosti pravidelnej pyramídy

1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.

2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.

3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.

4. Apotémy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.

7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.

8. Guľa môže byť vpísaná do pyramídy. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.

9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet plochých uhlov na vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π / n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.

Spojenie pyramídy s guľou

Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy leží mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.

Guľa môže byť vždy opísaná okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.

Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyramídy s kužeľom

Kužeľ sa nazýva vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.

Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy rovnaké.

Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.

Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.

Spojenie pyramídy s valcom

O pyramíde sa hovorí, že je vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.

Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak môže byť kruh opísaný okolo základne pyramídy.

Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.

Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojstenný uhol.

Segment spájajúci vrchol štvorstenu so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).

Bimedián sa nazýva segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).

Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány v pomere 3: 1 začínajúc zhora.

Definícia. Akútna uhlová pyramída je pyramída, v ktorej má apotém viac ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. tupá pyramída je pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. pravidelný štvorstenŠtvorsten, ktorého štyri strany sú rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných polygónov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.

Definícia. Obdĺžnikový štvorsten nazýva sa štvorsten, ktorý má vo vrchole pravý uhol medzi tromi hranami (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojstenný uhol a plochy sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.

Definícia. Izoedrický štvorsten Nazýva sa štvorsten, v ktorom sú bočné strany rovnaké a základňa je pravidelný trojuholník. Takýto štvorsten má tváre rovnoramenné trojuholníky.

Definícia. Ortocentrický štvorsten nazýva sa štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.

Definícia. hviezdna pyramída Mnohosten, ktorého základom je hviezda, sa nazýva.