Мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі бойынша тірек реакциясын есептеу. Ықтимал орын ауыстырулар принципі Ықтимал жылдамдықтар принципі

Принцип мүмкін қозғалыстармеханикалық жүйелердің тепе-теңдігіне әртүрлі есептерді шешуге мүмкіндік береді - белгісіз белсенді күштерді табуға, байланыстардың реакцияларын анықтауға, қолданылатын күштер жүйесінің әсерінен механикалық жүйенің тепе-теңдік орындарын табуға. Мұны нақты мысалдармен түсіндірейік.

Мысал 1. Массалары бар ауыр тегіс призмаларды тепе-теңдік күйінде ұстайтын Р күшінің шамасын табыңыз. Призманың қиғаш бұрышы (73-сурет).

Шешім. Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолданайық. Жүйеге мүмкін болатын орын ауыстыруды айтайық және белсенді күштердің мүмкін жұмысын есептейік:

Ауырлық күшінің мүмкін жұмысы нөлге тең, өйткені күш күш қолдану нүктесінің элементар орын ауыстыру векторына перпендикуляр. Мұндағы мәнді қойып, өрнекті нөлге теңестірсек, мынаны аламыз:

болғандықтан, жақшадағы өрнек нөлге тең:

Осы жерден табамыз

Мысал 2. Берілген моменті M бар күштер жұбымен жүктелген ұзындығы мен салмағы P біртекті АВ сәулесі суретте көрсетілгендей бекітілген. 74 және демалуда. Егер көкжиекпен а бұрышын жасаса, BD өзекшесінің реакциясын анықтаңыз.

Шешім. Тапсырманың алдыңғы тапсырмадан айырмашылығы, мұнда идеалды байланыстың реакциясын табу қажет. Бірақ мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін өрнектейтін жұмыс теңдеуінде идеалды байланыстардың реакциялары қосылмайды. Мұндай жағдайларда ықтимал орын ауыстырулар принципін облигациялардан босату принципімен бірге қолдану керек.

BD таяқшасын ойша тастап, оның S реакциясын шамасы белгісіз белсенді күш ретінде қарастырайық. Осыдан кейін біз жүйеге ықтимал қозғалыс туралы хабарлаймыз (егер бұл байланыс толығымен жоқ болса). Бұл A топса осінің айналасындағы бұрышта бір бағытта немесе басқа бағытта (74-суретте - сағат тіліне қарсы) AB сәулесінің элементарлық айналуы болады. Белсенді күштердің әсер ету нүктелерінің элементар орын ауыстырулары және оларға қатысты S реакциясы мынаған тең:

Жұмыс теңдеуін құрастырамыз

Жақшадағы өрнекті нөлге теңеп, осы жерден табамыз

3-мысал Біртекті өзекОА цилиндрлік топсаның О және серіппенің АВ көмегімен салмақ бойынша бекітіледі (75-сурет). Серіппенің тұрақтысы k-ға, серіппенің табиғи ұзындығына тең болса, және В нүктесі О нүктесімен бір вертикальда болса, стержень тепе-теңдікте болатын позицияларды анықтаңыз.

Шешім. ОА шыбығына екі белсенді күш әсер етеді – өз салмағы және серіппенің серпімді күші, мұндағы шыбықтың ОВ вертикальмен жасаған бұрышы. Біріктірілген байланыстар идеалды болып табылады (бұл жағдайда бір ғана байланыс бар - топса О).

Ықтимал орын ауыстыру жүйесін хабарлаймыз - шыбықтың O топса осінің айналасында бұрышпен элементар айналуы , белсенді күштердің мүмкін жұмысын есептеп, оны нөлге теңестіреміз:

Мұндағы өрнекті F күші мен мәннің орнына қою

қарапайым түрлендірулерден кейін келесіні аламыз тригонометриялық теңдеубұрышты анықтау үшін (стержендік тепе-теңдіктегі p:

Теңдеу бұрыштың үш мәнін анықтайды:

Сондықтан өзекшенің үш тепе-теңдік жағдайы бар. Өйткені шарт орындалса, алғашқы екі тепе-теңдік позициясы бар. Тепе-теңдік әрқашан болады.

Қорытындылай келе, мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін идеалды емес шектеулері бар жүйелерге де қолдануға болатынын атап өтеміз. Принципті тұжырымдау кезінде байланыстардың идеалдылығына баса назар аудару бір ғана мақсатты көздейді - механикалық жүйелердің тепе-теңдік теңдеулерін оларға идеалды байланыстардың реакцияларын қоспай-ақ құруға болатындығын көрсету, осылайша есептеулерді жеңілдету.

Идеал емес байланыстары бар жүйелер үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін келесідей қайта тұжырымдау керек: олардың арасында идеалды емес байланыстар бар шектеулері бар механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін белсенді күштердің мүмкін болатын жұмысы қажет және жеткілікті. және идеалды емес байланыстардың реакциялары нөлге тең. Дегенмен, идеалды емес байланыстардың реакцияларын белсенді күштер ретінде шартты түрде жіктей отырып, принципті қайта құрудан бас тартуға болады.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

1. Еркін емес механикалық жүйенің бос жүйемен салыстырғандағы басты ерекшелігі неде?

2. Ықтимал орын ауыстыру деп нені атайды? Мысалдар келтіріңіз.

3. Жүйе нүктелерінің координаталары оның мүмкін болатын орын ауыстыруы кезінде қалай анықталады (үш жолды көрсетіңіз)?

4. Байланыстар теңдеулерінің түріне қарай қалай жіктеледі? Ұстайтын және ұстамайтын, стационарлық және тұрақты емес облигацияларға мысалдар келтір.

5. Қандай жағдайда байланыс идеал деп аталады? Идеал емес пе?

6. Ықтимал орын ауыстырулар принципін ауызша тұжырымдау және математикалық белгілеу.

7. Құрамында жетілмеген байланыстар бар жүйелер үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі қалай тұжырымдалады?

8. Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолданып шығарылатын есептердің негізгі түрлерін атаңыз.

Жаттығулар

Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолдана отырып, И.В. жинағынан келесі есептерді шығарыңыз. Мещерский 1981 жылғы басылымдар: 46.1; 46,8; 46,17; 2,49; 4.53.

Орнату жалпы жағдайымеханикалық жүйенің тепе-теңдігі. Бұл принципке сәйкес, идеалды шектеулері бар механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін виртуалды жұмыстардың қосындысы қажет және жеткілікті. $A_i$ жүйенің кез келген ықтимал орын ауыстыруы бойынша тек белсенді күштер нөлге тең болды (егер жүйе нөлдік жылдамдықпен осы позицияға жеткізілсе).

Мүмкін болатын орын ауыстырулар принципіне негізделген механикалық жүйе үшін құрастыруға болатын сызықтық тәуелсіз тепе-теңдік теңдеулерінің саны осы механикалық жүйенің еркіндік дәрежелерінің санына тең.

Мүмкін қозғалыстарЖүйеге қойылған шектеулер арқылы берілген сәтте рұқсат етілген ойша шексіз аз орын ауыстырулар еркін емес механикалық жүйелер деп аталады (бұл жағдайда стационарлық емес шектеулер теңдеулеріне нақты енгізілген уақыт тұрақты болып саналады). Декарттық координаталық осьтерге мүмкін болатын орын ауыстырулардың проекциялары деп аталады вариацияларДекарттық координаталар.

виртуалды қозғалыстарқосылыстармен рұқсат етілген, «мұздатылған уақытпен» шексіз аз орын ауыстырулар деп аталады. Анау. олар байланыстар реономикалық (уақытқа айқын тәуелді) болғанда ғана мүмкін болатын орын ауыстырулардан ерекшеленеді.

Егер, мысалы, жүйе жүктелсе $л$ Холономиялық реономикалық байланыстар:

$f_(\alpha)(\vec r, t) = 0, \quad \alpha = \overline(1,l)$

Содан кейін мүмкін қозғалыстар $\Delta \vec r$ қанағаттандыратындар

$\sum_(i=1)^(N) \frac(\жартылай f_(\альфа))(\жартылай \vec(r)) \cdot \Delta \vec(r) + \frac(\жартылай f_(\альфа) ))(\жартылай t) \Delta t = 0, \quad \alpha = \overline(1,l)$

Және виртуалды $\delta \vec r$ :

$\sum_(i=1)^(N) \frac(\жартылай f_(\альфа))(\жартылай \vec(r))\delta \vec(r) = 0, \quad \alpha = \overline(1) , l)$

Виртуалды орын ауыстырулар, жалпы айтқанда, жүйенің қозғалыс процесіне ешқандай қатысы жоқ – олар тек жүйеде бар күштердің қатынасын ашу және тепе-теңдік шарттарын алу үшін ғана енгізіледі. Идеал байланыстардың реакцияларын өзгеріссіз деп қарастыру үшін орын ауыстырулардың аздығы қажет.

«Мүмкін орын ауыстырулар принципі» мақаласына пікір жазыңыз.

Әдебиет

Бухгольц Н.Н.Теориялық механиканың негізгі курсы. 1-бөлім. 10-шы басылым. – Петербург: Лан, 2009. – 480 б. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
Тарг С.М.Теориялық механиканың қысқаша курсы: Жоғары оқу орындарына арналған оқулық. 18-ші басылым. - М.: магистратура, 2010. - 416 б. - ISBN 978-5-06-006193-2.
Маркеев А.П.Теориялық механика: университеттерге арналған оқулық. - Ижевск: «Тұрақты және хаотикалық динамика» ғылыми-зерттеу орталығы, 2001. - 592 б. - ISBN 5-93972-088-9.

Ықтимал орын ауыстырулар принципін сипаттайтын үзінді

– Nous y voila, [Мәселе осы.] Неге маған бұрын айтпадың?
«Мозаикалық портфельде ол жастығының астында сақталады. Енді білдім, – деді ханшайым жауап бермей. «Иә, егер мен үшін күнә, үлкен күнә болса, онда бұл бейбақты жек көру», - деп айғайлай жаздады ханшайым мүлде өзгеріп. «Ал ол неге мұнда өзін ысқылайды?» Бірақ мен оған бәрін, бәрін айтамын. Уақыт келеді!

Қабылдау бөлмесінде және ханшайымның бөлмелерінде осындай әңгімелер болып жатқанда, Пьер (жіберілген) және Анна Михайловна (онымен бірге баруды қажет деп тапқан) бар вагон граф Безухойдың ауласына келді. Терезе астына төселген сабанның үстінде күйменің дөңгелектері ақырын сыңғырлағанда, Анна Михайловна жұбататын сөздермен серігіне бұрылып, оның күйме бұрышында ұйықтап жатқанына көзін жеткізіп, оны оятты. Оянған Пьер Анна Михайловнаның артынан вагоннан түсті, содан кейін оны күтіп тұрған өліп жатқан әкесімен кездесу туралы ғана ойлады. Ол олардың алдыңғы жаққа емес, артқы кіреберіске қарай жүретінін байқады. Ол аяқ астынан түсіп бара жатқанда буржуазиялық киім киген екі адам кіре берістен қабырғаның көлеңкесіне асығыс жүгірді. Пьер кідіріп, үйдің екі жағындағы көлеңкеде тағы бірнеше бірдей адамдарды көрді. Бірақ бұл кісілерді Анна Михайловна да, жаяу жүргінші де, бапкер де оларға назар аудармады. Сондықтан бұл өте қажет, Пьер өзі шешті және Анна Михайловнаның соңынан ерді. Анна Михайловна асығыс қадамдармен күңгірттенген тар тас баспалдақпен көтеріліп, өзінен артта қалған Пьерді шақырды, бірақ ол графқа не үшін бару керек екенін түсінбесе де, неліктен бірге жүру керектігін түсінбеді. артқы баспалдақтар, бірақ Анна Михайловнаның сенімділігі мен асығыстығына қарап, ол бұл қажет деп шешті. Баспалдақтан жарты жолда оларды шелек ұстаған біреулер қағып кете жаздады, олар етіктерін тықылдатып, оларға қарай жүгірді. Бұл адамдар Пьер мен Анна Михайловнаның өтуіне мүмкіндік беру үшін қабырғаға қысылды және оларды көргенде ешқандай таң қалдырмады.
- Мұнда жарты ханшайымдар бар ма? Солардың біріне Анна Михайловна...
«Міне, - деп жауап берді жаяу, батыл, қатты дауыспен, қазір бәрі мүмкін болғандай, - есік сол жақта, ана.
«Мүмкін, граф мені шақырмаған шығар, - деді Пьер перронға шығып, - мен өз орныма барар едім.
Анна Михайловна Пьерді қуып жету үшін тоқтады.
Әй, ами! – деді ол таңертең ұлымен болған қимылмен оның қолын түртіп: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Маған сеніңіз, мен сізден кем қиналмаймын, бірақ адам болыңыз.]
- Дұрыс, мен барайын ба? — деп сұрады Пьер көзілдірігінен Анна Михайловнаға сүйіспеншілікпен қарап.

Ықтимал орын ауыстырулар принципі статика есептерін динамика әдістерімен шешу үшін тұжырымдалған.

Анықтамалар

байланыстарқарастырылатын дененің қозғалысын шектейтін барлық денелер деп аталады.

ИдеалКез келген ықтимал орын ауыстырудағы реакцияларының жұмысы нөлге тең болатын байланыстар деп аталады.

Еркіндік дәрежелерінің санымеханикалық жүйе - бұл бір-бірінен тәуелсіз параметрлердің саны, олардың көмегімен жүйенің орны бірегей түрде анықталады.

Мысалы, жазықтықта орналасқан шардың бес еркіндік дәрежесі бар, ал цилиндрлік топсаның еркіндік дәрежесі бар.

Жалпы механикалық жүйеде шексіз еркіндік дәрежелері болуы мүмкін.

Ықтимал қозғалыстарбіріншіден, үстемеленген шектеулермен рұқсат етілген, екіншіден, шексіз аз болатын мұндай орын ауыстырулар деп атаймыз.

Иінді сырғытпа механизмі бір еркіндік дәрежесіне ие. Параметрлерді мүмкін болатын орын ауыстырулар ретінде алуға болады -  ,  xжәне т.б.

Кез келген жүйе үшін бір-бірінен тәуелсіз мүмкін болатын орын ауыстырулар саны еркіндік дәрежелерінің санына тең.

Кейбір жүйе тепе-теңдікте болсын және осы жүйеге жүктелген байланыстар идеалды болсын. Сонда жүйенің әрбір нүктесі үшін теңдеуді жаза аламыз

, (102)

Қайда
- материалдық нүктеге әсер ететін белсенді күштердің нәтижесі;

- байланыстардың нәтижелі реакциялары.

(102) скалярды нүктенің орын ауыстыру векторына көбейтіңіз

байланыстар идеалды болғандықтан, ол әрқашан
, нүктеге әсер ететін белсенді күштердің элементар жұмысының қосындысы қалады

. (103)

(103) теңдеуін барлық материалдық нүктелер үшін жазуға болады, біз алынған қосындылар

. (104)

(104) теңдеу ықтимал орын ауыстырулардың келесі принципін өрнектейді.

Идеал шектеулері бар жүйенің тепе-теңдігі үшін жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы үшін оған әсер ететін барлық белсенді күштердің элементар жұмыстарының қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Теңдеулер саны (104) берілген жүйенің еркіндік дәрежесінің санына тең, бұл әдістің артықшылығы болып табылады.

Динамиканың жалпы теңдеуі (д'Аламбер-Лагранж принципі)

Ықтимал орын ауыстырулар принципі статика есептерін динамика әдістерімен шешуге мүмкіндік береді, екінші жағынан, д'Аламбер принципі динамика есептерін статика әдістерімен шешудің жалпы әдісін береді. Осы екі принципті біріктіре отырып, механикадағы есептерді шешудің жалпы әдісін алуға болады, ол д'Аламбер-Лагранж принципі деп аталады.

. (105)

Жүйе уақыттың әр сәтінде идеалды шектеулермен қозғалған кезде, жүйенің кез келген мүмкін қозғалысына қолданылатын барлық белсенді күштер мен барлық инерция күштерінің элементар жұмыстарының қосындысы нөлге тең болады.

Аналитикалық формада (105) теңдеу пішінге ие

Екінші текті Лагранж теңдеулері

Жалпыланған координаттар (q) механикалық жүйенің әрекетін бірегей түрде анықтайтын бір-бірінен тәуелсіз параметрлер деп аталады.

Жалпыланған координаталар саны әрқашан механикалық жүйенің еркіндік дәрежесінің санына тең.

Кез келген өлшемге ие кез келген параметрлерді жалпылама координаттар ретінде таңдауға болады.

Х
мысалы, бір еркіндік дәрежесі бар математикалық маятниктің қозғалысын зерттегенде, жалпыланған координат ретінде qпараметрлерді қабылдауға болады:

x(м), ж(m) – нүкте координаттары;

с(м) – доғаның ұзындығы;

 (м 2) – сектор ауданы;

 (рад) – айналу бұрышы.

Жүйе қозғалған кезде оның жалпыланған координаттары уақыт өте келе үздіксіз өзгереді

(107) теңдеулер жүйенің жалпыланған координаталардағы қозғалыс теңдеулері болып табылады.

Жалпыланған координаталардың уақытқа қатысты туындылары деп аталады жүйенің жалпыланған жылдамдықтары

. (108)

Жалпыланған жылдамдықтың өлшемі жалпыланған координатаның өлшеміне байланысты.

Кез келген басқа координаталарды (декарттық, полярлық және т.б.) жалпыланған координаттар арқылы көрсетуге болады.

Жалпылама координат ұғымымен қатар жалпыланған күш ұғымы енгізіледі.

астында жалпыланған күшжалпыланған координатаның кейбір элементар өсімінде жүйеге әсер ететін барлық күштердің элементар жұмыстарының қосындысының осы өсімге қатынасына тең мәнді түсіну

, (109)

Қайда Сжалпыланған координатаның индексі болып табылады.

Жалпыланған күштің өлшемі жалпыланған координатаның өлшеміне байланысты.

Жалпыланған координаталардағы геометриялық шектеулері бар механикалық жүйенің қозғалыс теңдеулерін (107) табу үшін дифференциалдық теңдеулерекінші түрдегі Лагранж түрінде

. (110)

(110) кинетикалық энергияда Тжүйесі жалпыланған координаталар арқылы өрнектеледі q Сжәне жалпыланған жылдамдықтар .

Лагранж теңдеулері динамика есептерін шешудің біртұтас және жеткілікті қарапайым әдісін береді. Теңдеулердің түрі мен саны жүйеге кіретін денелердің (нүктелердің) санына байланысты емес, тек еркіндік дәрежесінің санына байланысты. Идеал байланыстармен бұл теңдеулер байланыстардың бұрын белгісіз болған барлық реакцияларын жоққа шығаруға мүмкіндік береді.

Теориялық механика курсынан белгілі болғандай, объектінің тепе-теңдік шарты күш немесе энергия формуласына ие болуы мүмкін. Бірінші нұсқа – негізгі вектордың және денеге әсер ететін барлық күштер мен реакциялардың негізгі моменті нөлге тең болу шарты. Ықтимал орын ауыстырулар принципі деп аталатын екінші тәсіл (вариациялық) құрылымдық механиканың бірқатар есептерін шешу үшін өте пайдалы болып шықты.

Абсолют қатты денелер жүйесі үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі былай тұжырымдалады: абсолютті қатты денелер жүйесі тепе-теңдікте болса, онда кез келген мүмкін болатын шексіз аз орын ауыстырудағы барлық сыртқы күштердің жұмысының қосындысы нөлге тең болады. Денелердің кинематикалық байланыстары мен үздіксіздігін бұзбайтын мүмкін (немесе виртуалды) қозғалыс деп аталады. Суреттегі жүйе үшін. 3.1, тек тірекке қатысты өзекшенің айналуы мүмкін. Ерікті кішкентай бұрыштан бұрылған кезде күштер және жұмыс жасаңыз Ықтимал орын ауыстырулар принципі бойынша, егер жүйе тепе-теңдікте болса, онда болуы керек . Мұндағы геометриялық қатынастарды алмастыру күш формуласында тепе-теңдік шартын аламыз

Серпімді денелер үшін мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі тұжырымдалған келесідей: егер серпімді денелер жүйесі тепе-теңдікте болса, онда барлық сыртқы және ішкі күштердің кез келген мүмкін болатын шексіз аз орын ауыстырудағы жұмысының қосындысы нөлге тең болады. Бұл принцип серпімді деформацияланған жүйенің толық энергиясының концепциясына негізделген P. Егер құрылым статикалық жүктелетін болса, онда бұл энергия жүйе деформацияланған күйден ауысқан кезде сыртқы U және ішкі W күштерінің атқаратын жұмысына тең болады. бастапқыға:

Бұл аударма арқылы сыртқы күштер өз мәнін өзгертпей, теріс жұмыс жасайды U= -F . Бұл жағдайда ішкі күштер нөлге дейін төмендейді және оң жұмыс жасайды, өйткені бұл материал бөлшектерінің адгезия күштері және сыртқы жүктемеге қарама-қарсы бағытта бағытталған:

Қайда - серпімді деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы; V - дененің көлемі. Үшін сызықтық жүйе, Қайда. Лагранж-Дирихле теоремасы бойынша тұрақты тепе-теңдік күйі серпімді жүйенің жалпы потенциалдық энергиясының минимумына сәйкес келеді, яғни.

Соңғы теңдік мүмкін болатын орын ауыстырулар принципін тұжырымдауға толық сәйкес келеді. dU және dW энергия өсімдерін серпімді жүйенің тепе-теңдік күйінен кез келген ықтимал орын ауыстырулары (ауытқулары) бойынша есептеуге болады. Сызықтылық талаптарына жауап беретін құрылымдарды есептеу үшін шексіз аз мүмкін орын ауыстыру d өте аз соңғы орын ауыстырумен ауыстырылуы мүмкін , ол ерікті түрде таңдалған күштер жүйесімен құрылған құрылымның кез келген деформацияланған күйі болуы мүмкін. Осыны ескере отырып, алынған тепе-теңдік шартын былай жазу керек

Сыртқы күштердің жұмысы

Нақты және мүмкін орын ауыстыру бойынша сыртқы күштердің жұмысын есептеу әдісін қарастырыңыз. Штанга жүйесі бір мезгілде әрекет ететін күштермен және (3.2, а-сурет) жүктеледі және кез келген уақытта қатынас тұрақты болып қалады. Егер жалпыланған күшті қарастыратын болсақ, онда кез келген уақытта мән бойынша сіз барлық басқа жүктемелерді есептей аласыз (бұл жағдайда, ). Үзік сызық осы күштерден туындайтын нақты серпімді орын ауыстыруды көрсетеді. Бұл күйді 1-көрсеткішпен белгілейік. Күштердің әсер ету нүктелерінің орын ауыстыруын және осы күштердің бағыты бойынша 1 және күйде белгілейік.

Күштері бар сызықтық жүйені жүктеу процесінде және, күштер өседі және орын ауыстырады және оларға пропорционалды өседі (3.2-сурет, в). Күштердің және олар жасайтын орын ауыстырулардың нақты жұмысы графиктердің аудандарының қосындысына тең, яғни. . Бұл өрнекті жазу арқылы , жалпыланған күш пен жалпыланған орын ауыстырудың көбейтіндісін аламыз. Бұл пішінде жіберуге болады

кез келген жүктеме кезінде күштердің жұмысы, егер барлық жүктемелер синхронды түрде өзгерсе, яғни олардың мәндерінің қатынасы тұрақты болып қалады.

Әрі қарай, мүмкін болатын орын ауыстыру бойынша сыртқы күштердің жұмысын қарастырыңыз. Ықтимал орын ауыстыру ретінде, мысалы, белгілі бір нүктеге күш әсер ету нәтижесінде пайда болатын жүйенің деформацияланған күйін аламыз (3.2, б-сурет). Күштердің әсер ету нүктелерінің қосымша орын ауыстыруына сәйкес келетін және қашықтыққа сәйкес бұл күй және , 2 деп белгіленеді. Күштер және олардың мәнін өзгертпей, орын ауыстырулар бойынша виртуалды жұмысты орындайды және (3.2, в-сурет):

Көріп отырғаныңыздай, орын ауыстыру белгілерінде бірінші көрсеткіш осы орын ауыстырулардың нүктелері мен бағыттары көрсетілген күйді көрсетеді. Екінші көрсеткіш осы қозғалысты тудыратын күштердің әрекет ететін күйін көрсетеді.

Бірлік күштің F 2 нақты орын ауыстыруға жұмысы

Егер 1 күйді F 2 күшінің мүмкін орын ауыстыруы ретінде қарастырсақ, онда оның виртуалды жұмысқозғалыста

Ішкі күштердің жұмысы

1-жағдайдың ішкі күштерінің жұмысын, яғни күштерден және , 2-күйдің виртуалды орын ауыстырулары бойынша, яғни F 2 жүкті қолдану нәтижесіндегі жұмысын табайық. Ол үшін ұзындығы dx болатын өзек элементін таңдаңыз (3.2 және 3.3, а-сурет). Қарастырылып отырған жүйе жазық болғандықтан элементтің қималарында тек екі күш S және Q z және иілу моменті Mu әсер етеді.Кесілген элемент үшін бұл күштер сыртқы. Ішкі күштер - материалдың беріктігін қамтамасыз ететін біріктіруші күштер. Олар мәні бойынша сыртқыға тең, бірақ деформацияға қарама-қарсы бағытта бағытталған, сондықтан олардың жүктеме кезіндегі жұмысы теріс (3.3-сурет, б-д, көрсетілген). сұр түсті). Әрбір күш факторының жасаған жұмысын ретімен есептейік.

F 2 жүкті қолдану нәтижесінде пайда болған S 2 күштерімен жасалатын орын ауыстырудағы бойлық күштердің жұмысы (3.2, б, 3.3, б-сурет),

Ұзындығы dx болатын өзекшенің ұзаруын белгілі формула арқылы табамыз

мұндағы A - шыбықтың қима ауданы. Осы өрнекті алдыңғы формулаға қойып, табамыз

Сол сияқты, иілу моменті моментпен жасалған бұрыштық орын ауыстыруда жасайтын жұмысты анықтаймыз (3.3, в-сурет):

айналу бұрышын ретінде табамыз

мұндағы J - y осіне қатысты стержень қимасының инерция моменті. Ауыстырудан кейін біз аламыз

Көлденең күштің орын ауыстырудағы жұмысын табайық (3.3, г-сурет). Қису күшінен тангенциалды кернеулер мен ығысулар Q z штрих қимасы бойынша сызықты түрде таралмайды (алдыңғы жүктеме жағдайларындағы қалыпты кернеулер мен ұзартулардан айырмашылығы). Сондықтан ығысу жұмысын анықтау үшін стержень қабаттарындағы ығысу кернеулерінің атқаратын жұмысын қарастыру керек.

Бейтарап осьтен z қашықтықта жатқан қабатта әрекет ететін Q z күшінен тангенциалды кернеулер (3.3, е-сурет) Журавский формуласымен есептеледі.

мұндағы Su – y осіне қатысты қабылданған осы қабаттың үстінде жатқан көлденең қима ауданы бөлігінің статикалық моменті; b - қарастырылатын қабат деңгейіндегі қиманың ені. Бұл кернеулер қабаттың бұрышпен ығысуын жасайды, ол Гук заңы бойынша былай анықталады: - ығысу модулі. Нәтижесінде қабаттың соңы ығысады

Осы қабаттың аяғына әсер ететін бірінші күйдің ығысу кернеулерінің жалпы жұмысы, екінші күйдің орын ауыстырулары бойынша туындыны көлденең қима ауданы бойынша интегралдау арқылы есептеледі.

Мұнда және үшін өрнектерді ауыстырғаннан кейін аламыз

Біз z-ге тәуелді емес интегралдық мәндердің астынан шығарамыз, бұл өрнекті А-ға көбейтеміз және бөлеміз, біз аламыз

Мұнда өлшемсіз коэффициент енгізіледі,

тек конфигурацияға және бөлімдердің өлшемдерінің қатынасына байланысты. Тіктөртбұрыш үшін \u003d 1,2, I-арқалық және қорап бөліктері үшін (A c - қабырғаның секциялық ауданы немесе қорап бөлігінде - екі қабырға).

Қарастырылып отырған жүк тиеу құрамдастарының (S, Q, M) әрқайсысының басқа құрамдас бөліктерден туындаған орын ауыстырулардағы жұмысы нөлге тең болғандықтан, ұзындығы dx болатын өзекшенің қарастырылатын элементі үшін барлық ішкі күштердің жалпы жұмысы.

(3.3)

Жазық өзек жүйесі үшін 2-күйдің орын ауыстыруларына 1-күйдің ішкі күштерінің жалпы жұмысы диаграммалар интегралданатын функциялар болатын ұзындығы 1 Z қималар бойынша алынған өрнекті интегралдау және барлық қималар бойынша қосу арқылы алынады:

Кеңістіктік өзек жүйесінің элементінің қимасында алты ішкі күш әрекет етеді (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), сондықтан ол үшін ішкі күштердің толық жұмысының өрнегі келесідей болады. ,

Мұнда M x – стержендегі айналу моменті; J T – еркін бұралу кезіндегі стерженнің инерция моменті (геометриялық бұралу қаттылығы). Интегралда «және» индекстері алынып тасталады.

(3.3) және (3.4) формулаларында S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 F (және F (, aS 2 , Q y 2)) күштерінің әсерінен ішкі күштердің диаграммаларының аналитикалық өрнектерін белгілейді. , Q z 2, M x2, M y2, M r2 - F 2 күшінен ішкі күштердің диаграммаларының сипаттамасы.

Серпімді жүйелер туралы теоремалар

(3.3) және (3.4) формулалардың құрылымы олардың 1 және 2 күйлерге қатысты «симметриялы» екенін көрсетеді, яғни 1-ші күйдің ішкі күштерінің 2-күйдің орын ауыстырулары бойынша жұмысы ішкі күйдің жұмысына тең. 1-күйдің орын ауыстыруларына 2-күйдің күштері Бірақ (3.2) сәйкес

Демек, ішкі күштердің жұмысы тең болса, сыртқы күштердің жұмысы тең болады - Бұл тұжырым өзара жұмыс теоремасы деп аталады (Бетти теоремасы, 1872).

F 1 күшімен жүктелген стержендік жүйе үшін (3.4, а-сурет) мүмкін орын ауыстыру ретінде оны F 2 күшімен жүктегенде пайда болған деформацияланған күйді аламыз (3.4, б-сурет). Бұл жүйе үшін Бетти теоремасы бойынша 1- Егер қойсақ, онда аламыз

(3.5)

Бұл формула Максвелл теоремасын (1864) орын ауыстырулардың өзара сәйкестігін көрсетеді: екінші бірлік күштің әсерінен туындаған бірінші бірлік күштің әсер ету нүктесінің оның бағыты бойынша орын ауыстыруы қолдану нүктесінің орын ауыстыруына тең. бірінші бірлік күштің әрекетінен туындаған екінші бірлік күштің өз бағыты бойынша. Бұл теореманы суреттегі жүйеге де қолдануға болады. 3.2. Егер = 1 Н (3.1.2-бөлім) орнатсақ, онда жалпыланған орын ауыстырулардың теңдігін аламыз. .

Мүмкіндігінше алынған қажетті орын ауыстыруды беруге болатын тіректері бар статикалық анықталмаған жүйені қарастырайық (3.4, в, г-сурет). Бірінші күйде біз тірек 1-ге ауыстырамыз, ал екіншісінде - ендірілген бұрыштың айналуын орнатамыз - Бұл жағдайда реакциялар бірінші күйде және , ал екіншісінде пайда болады - i . Жұмыс теоремасының өзара әрекеттестігі бойынша, егер біз орнатсақ деп жазамыз (мұнда өлшем = m, ал мән өлшемсіз), содан кейін аламыз

Бұл теңдік сандық, өйткені реакцияның өлшемі = H, a = N-m. Сонымен, 2-ші байланыс бір орын ауыстырғанда болатын 1-қозғалмайтын байланыстағы R 12 реакциясы 1-байланыстың бірлік орын ауыстыруымен 2-ші байланыста болатын реакцияға сан жағынан тең. Бұл тұжырым реакцияның өзара теоремасы деп аталады.

Бұл бөлімде берілген теоремалар статикалық анықталмаған жүйелерді аналитикалық есептеу үшін қолданылады.

Орын ауыстырулардың анықтамасы

Жалпы орын ауыстыру формуласы

Берілген жүктің әсерінен стержендік жүйеде пайда болатын жылжуларды есептеу үшін (1-күй) жүйенің көмекші күйін қалыптастыру керек, онда бір бірлік күш әсер етеді, қажетті орын ауыстыру бойынша жұмыс жасайды (2-күй). ). Бұл сызықтық орын ауыстыруды анықтау кезінде сол нүктеде және сол бағытта орын ауыстыру анықталатын F 2 = 1 Н бірлік күшін көрсету қажет екенін білдіреді. Егер кез келген қиманың айналу бұрышын анықтау қажет болса, онда бұл бөлімде бір момент F 2 = 1 Н m қолданылады.Осыдан кейін энергия теңдеуі (3.2) құрастырылады, онда күй 2 ретінде қабылданады. негізгі және деформацияланған

1 күй виртуалды қозғалыс ретінде қарастырылады. Осы теңдеуден қажетті орын ауыстыру есептеледі.

Жүйе үшін В нүктесінің көлденең жылжуын суретте табайық. 3.5, а. Қажетті D 21 орын ауыстыру жұмыстардың теңдеуіне (3.2) түсуі үшін негізгі күй ретінде жүйенің F 2 - 1 Н бірлік күш әсерінен орын ауыстыруын аламыз (2-күй, 3.5-сурет, б). Ықтимал орын ауыстыру ретінде құрылымның нақты деформацияланған күйін қарастырамыз (3.5, а-сурет).

2-күйдің сыртқы күштерінің 1-күйдің орын ауыстырулары бойынша жұмысы (3.2) сәйкес табылады,

демек, қалаған орын ауыстыру

Өйткені (3.1.4-бөлім), 2-күйдің ішкі күштерінің 1-күйдің орын ауыстыруларына жұмысы (3.3) немесе (3.4) формула бойынша есептеледі. Жазық өзек жүйесінің ішкі күштерінің жұмысы үшін (3.7) өрнекті (3.3) ауыстырып, табамыз.

Бұл өрнекті одан әрі қолдану үшін ішкі күш факторларының бірыңғай диаграммалары түсінігін енгізген жөн, яғни. оның алғашқы екеуі өлшемсіз және өлшем . Нәтиже болады

Бұл интегралдар әсер етуші жүктемеден сәйкес ішкі күштердің таралу диаграммалары үшін өрнектермен ауыстырылуы керек. Және және бастапкүштері F 2 = 1. Алынған өрнек Мор формуласы деп аталады (1881).

Кеңістіктік жолақ жүйелерін есептеу кезінде ішкі күштердің жалпы жұмысын есептеу үшін (3.4) формуланы қолдану керек, сонда ол шығады.

S, Q y , Q z , M x, M y, M g ішкі күштерінің диаграммалары үшін өрнектер және A, J t, Jy, J қималарының геометриялық сипаттамаларының мәндері үшін өрнектері анық. сәйкес n-ші бөлім интегралдарға ауыстырылады. Бұл шамаларды белгілеудегі белгілерді қысқарту үшін «i» индексі алынып тасталады.

3.2.2. Орын ауыстыруларды анықтаудың ерекше жағдайлары

Формула (3.8) жазық таяқшалар жүйесінің жалпы жағдайында қолданылады, бірақ кейбір жағдайларда оны айтарлықтай жеңілдетуге болады. Оны жүзеге асырудың ерекше жағдайларын қарастырыңыз.

1. Арқалық жүйелерге тән бойлық күштерден деформацияларды елемеуге болатын болса, онда (3.8) формула былай жазылады.

2. Егер тегіс жүйеконсольдер үшін l/h> 5 қатынасы немесе аралықтар үшін l/h> 10 (I және h - арқалықтың ұзындығы және қиманың биіктігі) иілген жұқа қабырғалы арқалықтардан ғана тұрады, содан кейін, әдетте, иілу деформациясының энергиясы бойлық және ығысу күштерінің деформациялану энергиясынан айтарлықтай асып түседі, сондықтан оларды орын ауыстыруларды есептегенде елемеуге болады. Сонда (3.8) формула пішінді алады

3. Түйінді жүктеме кезінде өзекшелері негізінен бойлық күштерді бастан кешіретін фермалар үшін M = 0 және Q = 0 деп есептеуге болады. Содан кейін түйіннің орын ауыстыруы формула бойынша есептеледі.

Интеграция әр шыбықтың ұзындығы бойынша орындалады, ал жинақтау барлық өзектер бойынша орындалады. күші S u in екенін ескере отырып мен таяқшаал көлденең қиманың ауданы оның ұзындығы бойынша өзгермейді, біз бұл өрнекті жеңілдете аламыз:

Бұл формуланың қарапайымдылығымен фермалардағы орын ауыстыруларды аналитикалық есептеу өте қиын, өйткені ол барлық ферма өзектеріндегі күштерді әрекет ететін жүктемеден () және орын ауыстыруы қажет нүктеде қолданылатын бірлік күштен () анықтауды талап етеді. табуға болады.

3.2.3. Жылжуларды анықтау әдістемесі мен мысалдары

А.Н.Верещагин (1925) әдісі бойынша Мор интегралының есебін қарастырайық. Мор интегралы (3.8) түрінде болады, мұнда D 1, D 2 ретінде иілу моменттерінің, бойлық немесе көлденең күштердің диаграммалары пайда болуы мүмкін. Интегралдағы диаграммалардың () кем дегенде біреуі сызықты немесе бөліктік сызықты, өйткені ол бір жүктемеден құрастырылған. Сондықтан, үшін

интегралды шешу үшін келесі трюкті қолдануға болады. Қарастырылып отырған I ұзындық қимасында бірінші D 1 диаграммасы ерікті пішінді, ал екіншісі сызықты деп алайық: (3.6-сурет). Мұны Мор интегралына қойып, табамыз

Интегралдардың біріншісі сандық ауданына теңсубграф (3.6-суретте көлеңкеленген), ал екіншісі - оське қатысты осы аймақтың статикалық моментіне. Статикалық моментті былай жазуға болады, мұндағы ауданның ауырлық центрінің орнының координатасы (А нүктесі). Айтылғандарды ескере отырып, біз аламыз

(3.13)

Верещагин ережесі келесідей тұжырымдалған: егер диаграммалардың кем дегенде біреуі учаскеде сызықты болса, онда Мор интегралы ерікті түрде ауданның көбейтіндісі ретінде есептеледі.

осы ауданның ауырлық центрінің астында орналасқан сызықтық учаскенің ординатасындағы учаске. Егер екі диаграмма да осьтің бір жағында орналасса, онда көбейтінді оң болады, егер әртүрлі жағынан болса, онда ол теріс болады. Бұл әдісті (3.8) және (3.9) өрнектеріндегі кез келген интегралды есептеу үшін қолдануға болады.

Mathcad ортасында құрылымдарды есептеу кезінде Верещагин ережесін қолданудың қажеті жоқ, өйткені интегралды сандық интегралдау арқылы есептеуге болады.

3.1-мысал(3.7, а-сурет). Арқалық екі симметриялы орналасқан күшпен жүктеледі. Күштердің әсер ету нүктелерінің орын ауыстыруларын табыңыз.

1. F 1 күштерінен M 1 иілу моменттерінің диаграммасын тұрғызайық. Қолдау реакциялары Күш әсерінен максималды иілу моменті

2. Жүйе симметриялы болғандықтан, күштердің әсерінен ауытқулар бірдей болады. Көмекші күй ретінде біз сәуленің жүктемесін F 1 күштерімен бірдей нүктелерде қолданылатын F 2 = 1 Н екі бірлік күшпен аламыз.

(3.7, б-сурет). Бұл жүктеме үшін иілу моменттерінің диаграммасы алдыңғыға ұқсас және максималды иілу моменті M 2max = 0,5 (L-b).

3. Жүйенің екінші күйдің екі күшімен жүктелуі жалпыланған күш F 2 және жалпыланған орын ауыстырумен сипатталады, олар 1 күйдің орын ауыстыруы бойынша сыртқы күштердің жұмысын жасайды, тең . (3.11) формула бойынша орын ауыстыруды есептейік. Верещагин ережесіне сәйкес диаграммаларды бөлімдерге көбейтіп, табамыз

Мәндерді ауыстырғаннан кейін Біз алып жатырмыз

3.2-мысал. F x күшімен жүктелген U-тәрізді раманың қозғалмалы тірегінің көлденең жылжуын табыңыз (3.8, а-сурет).

1. F күшінен иілу моменттерінің сызбасын тұрғызайық 1 Тірек реакциялары . F 1 күші әсерінен ең үлкен иілу моменті

2. Көмекші күй ретінде біз В нүктесінде қолданылатын бірлік көлденең күш F 2 арқалық жүктемесін аламыз (3.8, б-сурет). Осы тиеу жағдайы үшін иілу моменттерінің диаграммасын саламыз. Қолдау реакциялары A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Максималды иілу моменті.

3. (3.11) формула бойынша орын ауыстыруды есептейміз. Тік бөліктерде өнім нөлге тең. Көлденең қимада M 1 сызбасы сызықты емес, бірақ сызықтық. Диаграммаларды Верещагин әдісімен көбейте отырып, біз аламыз

Өнім теріс, өйткені диаграммалар қарама-қарсы жағында орналасқан. Алынған жағымсызорын ауыстыру оның нақты бағыты бірлік күштің бағытына қарама-қарсы екенін көрсетеді.

3.3-мысал(3.9-сурет). Екі тірек арқалықтың күш әсерінен кесіндісінің айналу бұрышын табыңыз және осы бұрыш максимал болатын күштің орнын табыңыз.

1. F 1 күшінен M 1 иілу моменттерінің сызбасын тұрғызайық.Ол үшін А 1 тірек реакциясын табамыз. Жалпы жүйе үшін тепе-теңдік теңдеуінен табыңыз.Фж күшінің әсерінен ең үлкен иілу моменті

2. Көмекші күй ретінде біз айналуы анықталуы керек бөлікте бір момент F 2 \u003d 1 Нм сәуленің жүктемесін аламыз (3.9, б-сурет). Осы тиеу жағдайы үшін иілу моменттерінің диаграммасын саламыз. Қолдау реакциялары A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, иілу моменттері

Екі сәт те теріс, өйткені олар сағат тілімен бағытталған. Диаграммалар созылған талшыққа салынған.

3. Екі кесіндіге көбейтуді орындай отырып, (3.11) формула бойынша айналу бұрышын есептейміз,

деп белгілей отырып, бұл өрнекті неғұрлым ыңғайлы түрде алуға болады:

Айналу бұрышының F 1 күшінің орнына тәуелділік графигі күріште көрсетілген. 3.9, б. Бұл өрнекті ажырата отырып, шарттан біз оның астындағы сәуленің көлбеу бұрышы абсолютті мәнде ең үлкен болатын күштің орнын табамыз. Бұл 0,21 және 0,79 мәндерінде болады.

1. Жалпыланған координаталар және еркіндік дәрежелерінің саны.

Механикалық жүйе қозғалған кезде оның барлық нүктелері ерікті түрде қозғала алмайды, өйткені олар байланыстармен шектеледі. Бұл барлық нүкте координаттары тәуелсіз емес дегенді білдіреді. Нүктелердің орны тек тәуелсіз координаттарды көрсету арқылы анықталады.

жалпыланған координаттар. Голономдық жүйелер үшін (яғни байланыстары тек координаталарға тәуелді теңдеулермен өрнектелетіндер) механикалық жүйенің тәуелсіз жалпыланған координаталар саны. еркіндік дәрежелерінің санына тең бұл жүйе.

Мысалдар:

Барлық нүктелердің орны айналу бұрышымен бірегей түрде анықталады

иінді.

Бір дәрежелі еркіндік.

2. Бос нүктенің кеңістіктегі орны бір-бірінен тәуелсіз үш координатпен анықталады. Сондықтан үш еркіндік дәрежесі.

3. Қатты айналмалы дене, позиция айналу бұрышымен анықталады j . Бір дәрежелі еркіндік.

4. Қозғалысы алты теңдеумен анықталатын бос қатты дене - алты еркіндік дәрежесі.

2. Механикалық жүйенің мүмкін орын ауыстырулары.

Идеалды байланыстар.

Мүмкінорын ауыстырулар – жүйеге қойылған шектеулер арқылы берілген сәтте рұқсат етілген қиялдағы шексіз аз орын ауыстырулар. Механикалық жүйе нүктелерінің мүмкін орын ауыстырулары кішіліктің бірінші ретті шамалары ретінде қарастырылады, сондықтан нүктелердің қисық сызықты орын ауыстырулары нүктелердің траекторияларына тангенциалды түрде салынған түзу кесінділермен ауыстырылады және белгіленеді. dS.

dS A = dj. О.А

Материалдық нүктеге әсер ететін барлық күштер берілген күштер мен шектеу реакцияларына бөлінеді.

Жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы бойынша байланыс реакцияларының жұмысының қосындысы нөлге тең болса, онда мұндай байланыстар деп аталады. идеал.

3. Ықтимал қозғалыстар принципі.

Идеал шектеулері бар механикалық жүйенің тепе-теңдігі үшін жүйенің кез келген мүмкін орын ауыстыруы үшін оған әсер ететін барлық белсенді күштердің элементар жұмысының қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Мағынасы ықтимал қозғалыстар принципі:

1. Тек белсенді күштер есепке алынады.

2. Кез келген механикалық жүйенің тепе-теңдік шартын жалпы түрде береді, ал статикада жүйенің әрбір денесінің тепе-теңдігін жеке қарастыру қажет.

Тапсырма.

Тепе-теңдіктегі иінді сырғымалы механизмнің берілген орны үшін момент пен күш арасындағы байланысты табыңыз, егер OA = ℓ.

Динамиканың жалпы теңдеуі.

Ықтимал орын ауыстырулар принципі статика есептерін шешудің жалпы әдісін береді. Екінші жағынан, д'Аламбер принципі динамика мәселелерін шешу үшін статика әдістерін қолдануға мүмкіндік береді. Сондықтан осы екі принципті қатар қолдану арқылы динамика есептерін шешудің жалпы әдісін алуға болады.

Идеал шектеулер қойылған механикалық жүйені қарастырайық. Егер жүйенің барлық нүктелеріне, оларға әсер ететін белсенді күштер мен байланыстардың реакцияларынан басқа, сәйкес инерция күштерін қоссақ, онда д'Аламбер принципі бойынша, пайда болған күштер жүйесі тепе-теңдікте болады. Ықтимал орын ауыстырулар принципін қолдана отырып, біз мынаны аламыз:

Қосылымдар идеалды болғандықтан, онда:

Бұл теңдік білдіреді жалпы теңдеудинамикасы.

Осыдан шығады д'Аламбер-Лагранж принципі- жүйе уақыттың әрбір сәтінде идеалды шектеулермен қозғалғанда, жүйенің кез келген мүмкін қозғалысына қолданылатын барлық белсенді күштер мен барлық инерция күштерінің элементар жұмысының қосындысы нөлге тең болады.

Тапсырма.

Беріліс көтергішінде 2 салмақ 2Gрадиусы бар R2=Rқолданылатын момент M=4GR.

Көтерілген жүктің үдеуін анықтаңыз Атаразылау Г, арқанның салмағын және осьтердегі үйкелісті ескермеу. Арқан байланған барабан және оған қатты бекітілген тісті доңғалақ 1 , жалпы салмағы бар 4Gжәне айналу радиусы r = R. барабан радиусы R A = Rжәне беріліс 1

R 1 \u003d 0,5R.

Барлығын бейнелеп көрейік белсенді күштер, үдеулердің бағыты және мүмкін орын ауыстырулар.

________________

Динамиканың жалпы теңдеуіне ауыстырамыз

Орын ауыстыруды айналу бұрышы арқылы өрнектейміз δφ 1

Мәндерді ауыстырыңыз

δφ 1 ≠0

Барлық үдеулерді қалаған терминдермен көрсетейік а Ажәне жақшадағы өрнекті нөлге теңестіріңіз

Мәндерді ауыстырыңыз

Ықтимал қозғалыстар принципі.

a = 0,15 м

b = 2a = 0,3 м

м = 1,2 Нм _________________

x V; B кезінде; N A; Мп

Шешімі: Жылжымалы тіректің реакциясын табайық Анеге біз оның әрекетін реакциямен алмастырып, бұл байланысты ойша алып тастаймыз Н А

Таяқшаның мүмкін қозғалысы ACоның топса айналасында айналуы болып табылады МЕНбұрышта ди-дж. Ядро Күнқозғалыссыз қалады.

Дененің айналуы кезіндегі күштердің жұмысы дененің айналу центрі мен айналу бұрышына қатысты күш моментінің көбейтіндісіне тең болатынын ескере отырып, жұмыс теңдеуін құрастырайық.

Тіректе қатты бекіту реакцияларын анықтау INалдымен реакция моментін табыңыз М б. Ол үшін штанганың айналуына кедергі келтіретін шектеуді алып тастаймыз Күн, қатты бекітуді топсалы бекітілген тірекпен ауыстыру және моментті қолдану М б .

Таяқшаға бұрыш арқылы мүмкін айналуды айтыңыз диджей 1.

Өзекшенің жұмыс теңдеуін құрастырыңыз Күн:

Орын ауыстыруларды анықтайық:

Қатты түйреу реакциясының тік құрамдас бөлігін анықтау үшін нүктенің тігінен қозғалуына кедергі келтіретін шектеуді алып тастаймыз. IN, қатты бекітуді сырғымалымен ауыстыру (бұрылу мүмкін емес) және реакцияны қолдану:

Сол жаққа хабарлаймыз (таяқша Күнсырғытпамен IN) ықтимал жылдамдық V Бпрогрессивті төмен қозғалыс. Ядро ACнүктенің айналасында айналдырыңыз А .

Жұмыстардың теңдеуін құрайық:

Қатты анкерлік реакцияның көлденең құрамдас бөлігін анықтау үшін нүктенің көлденең қозғалуына кедергі келтіретін шектеуді алып тастаймыз. INқатты аяқтауды сырғымалымен ауыстыру және реакцияны қолдану:

Сол жаққа хабарлаймыз (слайдер INтаяқпен бірге Күн) ықтимал жылдамдық V Бсолға алға жылжу. Қолдаудан бері Ароликтерде, содан кейін оң жағы бірдей жылдамдықпен алға жылжиды. Сондықтан.

Барлық дизайн үшін жұмыстардың теңдеуін жасайық.

Шешімнің дұрыстығын тексеру үшін бүкіл жүйе үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрастырамыз:

Шарт орындалды.

Жауап: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P \u003d 3,33 Нм.

Жалпыланған жылдамдықтар. Жалпыланған күштер.

Тәуелсіз шамаларМеханикалық жүйенің барлық нүктелерінің орнын бірегей түрде анықтайтын , деп аталады жалпыланған координаттар. – q

Егер жүйеде болса Серкіндік дәрежелері, содан кейін оның орны анықталады Сжалпыланған координаттар:

q1; q2; …; q s.

Жалпыланған координаталар бір-бірінен тәуелсіз болғандықтан, бұл координаттардың элементар өсімдері де тәуелсіз болады:

dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .

Сонымен бірге, әрбір шама dq 1 ; dq 2 ; …; dq Sсәйкес, басқаларға тәуелсіз, жүйенің мүмкін қозғалысын анықтайды.

Жүйе қозғалған кезде оның жалпыланған координаталары уақыт өте келе үздіксіз өзгереді, бұл қозғалыстың заңы теңдеулер арқылы анықталады:

, …. ,

Бұл жалпыланған координаттардағы жүйенің қозғалыс теңдеулері.

Жалпыланған координаталардың уақытқа қатысты туындылары жүйенің жалпыланған жылдамдықтары деп аталады:

Өлшем өлшемге байланысты q.

n-ден тұратын механикалық жүйені қарастырайық материалдық нүктелеркүштер әрекет етеді F 1 , F 2 , F n. Жүйе бар болсын Серкіндік дәрежелері және оның орны жалпыланған координаталар арқылы анықталады q1; q2; q 3. Жүйеге координатасы болатын мүмкін қозғалысты айтайық q 1өсім алады dq 1, ал қалған координаталар өзгермейді. Сонда k-ші нүктенің радиус векторы элементар өсімді алады (dr k) 1. Бұл тек координат өзгерген кезде радиус векторының алатын өсімі. q 1сомасы бойынша dq 1. Қалған координаталар өзгеріссіз қалады. Сондықтан (dr k) 1есептелген ішінара дифференциал ретінде:

Барлық түсірілген күштердің элементар жұмысын есептейік:

Оны жақшадан шығарайық dq 1, Біз алып жатырмыз:

Қайда - жалпыланған қуат.

Сонымен, жалпыланған күш – жалпыланған координатаның өсу коэффициенті болып табылады.

Жалпыланған күштерді есептеу мүмкін болатын қарапайым жұмысты есептеуге дейін төмендейді.

Егер бәрі өзгерсе q, Бұл:

Ықтимал орын ауыстырулар принципі бойынша жүйенің тепе-теңдігі үшін бұл қажет және жеткілікті SdA a k = 0. Жалпыланған координаттарда 1-тоқсан. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0демек, Үшін жүйелік тепе-теңдікжүйе үшін таңдалған ықтимал орын ауыстыруларға сәйкес келетін жалпыланған күштер қажет және жеткілікті, демек, жалпыланған координаталар, нөлге тең болды.

Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.

Лагранж теңдеулері.

Механикалық жүйе үшін динамиканың жалпы теңдеуін қолдана отырып, механикалық жүйенің қозғалыс теңдеулерін табуға болады.

4) жүйенің кинетикалық энергиясын анықтау, бұл энергияны жалпыланған жылдамдықтар мен жалпылама координаталар арқылы көрсету;

5) сәйкес дербес туындыларын табыңыз Түшін және және теңдеудегі барлық мәндерді ауыстырыңыз.

Әсер ету теориясы.

Кәдімгі күштердің әсерінен дененің қозғалысы осы дененің жылдамдықтарының модульдері мен бағыттарының үздіксіз өзгеруімен сипатталады. Дегенмен, дене нүктелерінің жылдамдықтары, демек, қозғалыс мөлшері болатын жағдайлар бар қатты денеөте қысқа мерзімде түпкілікті өзгерістер алынады.

құбылыс, Бұл кезде елеусіз аз уақыт аралығында дене нүктелерінің жылдамдықтары шектеулі шамаға өзгереді деп аталады. соққы.

күштер, әсерінен әсер ету деп аталады перкуссия.

Шағын уақыт кезеңі тоның барысында әсер ету деп аталады әсер ету уақыты.

Соққы күштері өте үлкен және соғу кезінде айтарлықтай өзгеретіндіктен, әсер ету теориясында денелердің өзара әрекеттесуінің өлшемі ретінде әсер ету күштерінің өзі емес, олардың импульстері қарастырылады.

Уақыт бойынша әсер етпейтін күштердің импульстері төте кішкентай және оларды елемеуге болады.

Соққы кезіндегі нүктенің импульсінің өзгеруі туралы теорема:

Қайда v- соққының басындағы нүктенің жылдамдығы,

uсоққының соңындағы нүктенің жылдамдығы.

Әсер ету теориясының негізгі теңдеуі.

Нүктелердің өте қысқа уақыт аралығындағы, яғни соққы кезіндегі қозғалысы да аз болады, сондықтан денені қозғалыссыз деп есептейміз.

Сонымен, әсер ету күштері туралы келесі қорытындыларды жасауға болады:

1) әсер ету кезіндегі әсер етпейтін күштердің әрекетін елемеуге болады;

2) соғу кезінде дене нүктелерінің орын ауыстыруларын елемеуге және соғу кезінде денені қозғалыссыз деп санауға болады;