Серпімді өзекшенің бойлық тербелістерінің теңдеуін шығару. Өзекшенің бойлық тербелістерін шешу әдістері. Есептерді шешу мысалдары

Қарастырыңыз біртекті таяқшаұзындық, яғни цилиндрлік немесе басқа пішіндегі дене, оны созу немесе майыстыру үшін белгілі бір күш қолданылуы керек. Соңғы жағдай, біз білетіндей, еркін иілетін жіптен ең жұқа таяқшаны да ажыратады.

Бұл тарауда біз өзекшенің бойлық тербелістерін зерттеу үшін сипаттамалар әдісін қолданамыз және тек стержень осі бойымен қозғалатын көлденең қималары тегіс және параллель болып қалатын тербелістерді зерттеумен шектелеміз. бір-бірімен (Cурет 6). Мұндай болжам, егер өзекшенің көлденең өлшемдері оның ұзындығымен салыстырғанда аз болса, негізделген.

Егер өзек бойлық ось бойымен біршама созылса немесе қысылса, содан кейін өзіне қалдырылса, онда бойлық тербеліс пайда болады. Осьті стержень осі бойымен бағыттап, тыныштықта стерженьнің ұштары нүктелерде болады деп есептейік.Соңғысы тыныштықта болған кезде стерженнің кейбір кесіндісінің абсциссасы болсын. Осы қиманың уақыт моментіндегі орын ауыстыруымен белгілеңіз, онда абсциссамен қиманың орын ауыстыруы мынаған тең болады.

Осыдан х абсциссасы бар кесіндідегі өзекшенің салыстырмалы ұзаруы туынды арқылы өрнектелетіні анық.

Енді өзек шағын тербелістерді орындайды деп есептесек, Гук заңын қолдана отырып, осы бөлімде Real кернеуін есептей аламыз.

мұндағы өзек материалының серпімділік модулі, оның көлденең қимасының ауданы. Таяқшаның элементін алыңыз, жабық

тыныштықта абсциссалары тиісінше тең екі секция арасында Бұл элементке осы бөліктерде қолданылатын және ось бойымен бағытталған керілу күштері әсер етеді. Бұл күштердің нәтижесі мына мәнге ие болады.

және де бірге бағытталған. Екінші жағынан, элементтің үдеуі тең, сондықтан теңдікті жаза аламыз

шыбықтың көлемдік тығыздығы қайда. Қою

және азайту арқылы біртекті өзекшенің бойлық тербелістерінің дифференциалдық теңдеуін аламыз.

Бұл теңдеудің түрі өзекшенің бойлық тербелістерінің толқындық сипатта болатынын көрсетеді, ал бойлық толқындардың таралу жылдамдығы а (4) формула бойынша анықталады.

Егер стерженьге оның көлемінің бірлігіне есептелген сыртқы күш те әсер етсе, онда (3) орнына аламыз

Бұл өзекшенің еріксіз бойлық тербелістерінің теңдеуі. Жалпы динамикадағы сияқты стерженнің қозғалысын толық анықтау үшін қозғалыстың бір теңдеуі (6) жеткіліксіз. Бастапқы шарттарды орнату қажет, яғни стержень бөліктерінің жылжуын және олардың бастапқы уақыт моментіндегі жылдамдықтарын орнату керек.

қайда және алдын ала анықталған функциялараралықта (

Сонымен қатар, жолақтың ұштарында шекаралық шарттар көрсетілуі керек. Мысалы.

ISSN: 2310-7081 (онлайн), 1991-8615 (басып шығару) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

СЕРПІМДІ БЕКІТІЛГЕН ЖҮКТЕЛГЕН ТҰРАҚТЫҢ БОЙЫНША ДІРІЛІСТЕРІНДЕГІ МӘСЕЛЕ

А.Б.Бейлин

Самара мемлекеті Техникалық университет, Ресей, 443100, Самара, көш. Молодогвардейская, 244.

аннотация

Концентрленген массалар мен серіппелердің көмегімен ұштарында бекітілген қалың қысқа штанганың бір өлшемді бойлық тербелістері қарастырылады. Математикалық модель ретінде төртінші ретті гиперболалық теңдеу үшін динамикалық шекаралық шарттары бар бастапқы-шектік есеп қолданылады. Бұл нақты модельді таңдау көлденең бағытта өзекшенің деформациясының әсерін ескеру қажеттілігімен түсіндіріледі, оны елемеу Рэйлей көрсеткендей, қатеге әкеледі, оны қазіргі заманғы емес дәлелдейді. тербелістерді зерттеудің жергілікті концепциясы қатты заттар. Жүктемемен ортогональды зерттелетін есептің меншікті функциялар жүйесінің бар екендігі дәлелденді және олардың көрінісі алынды. Меншікті функциялардың белгіленген қасиеттері айнымалыларды бөлу әдісін қолдануға және есептің бірегей шешімі бар екенін дәлелдеуге мүмкіндік берді.

Түйінді сөздер: динамикалық шекаралық шарттар, бойлық тербелістер, жүктің ортогональдылығы, Рэйлей моделі.

Кіріспе. Кез келген жұмыс істейтін механикалық жүйеде тербелмелі процестер пайда болады, олар әртүрлі себептермен туындауы мүмкін. Тербелмелі процестер жүйенің конструктивті ерекшеліктерінің немесе қалыпты жұмыс істейтін құрылымның әртүрлі элементтері арасындағы жүктемелерді қайта бөлудің салдары болуы мүмкін.

Механизмде тербелмелі процестердің көздерінің болуы оның жағдайын диагностикалауды қиындатады және тіпті оның жұмыс режимінің бұзылуына, ал кейбір жағдайларда бұзылуына әкелуі мүмкін. Олардың кейбір элементтерінің тербелісі нәтижесінде механикалық жүйелердің дәлдігі мен өнімділігінің бұзылуына байланысты әртүрлі мәселелер тәжірибеде жиі тәжірибе жүзінде шешіледі.

Сонымен қатар, тербелмелі процестер өте пайдалы болуы мүмкін, мысалы, материалдарды өңдеу, біріктірулерді жинау және бөлшектеу. Ультрадыбыстық тербеліс қаттылығы жоғары материалдарды (волфрам бар, титан-карбидті болаттар және т.б.) кесу процестерін (бұрғылау, фрезерлеу, тегістеу және т.

© 2016 Самара мемлекеттік техникалық университеті. Дәйексөз үлгісі

Бейлин, А.Б., Серпімді бекітілген жүктелген өзекшенің бойлық тербелістерінің мәселесі, Вестн. Өзім. күй техника. университет Сер. Физика-мате. Науки, 2016. V. 20, № 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Автор туралы

Александр Борисович Бейлин (ф.ғ.к., доц.; [электрондық пошта қорғалған]), доцент, кафедра автоматтандырылған станоктар мен аспаптар жүйелері.

бірақ кейбір жағдайларда сынғыш материалдарды (германий, кремний, шыны және т.б.) өңдеудің жалғыз мүмкін әдісі болады. Тарататын құрылғы элементі (толқынбағыт). ультрадыбыстық тербеліскөзден (дірілдеткіш) аспапқа дейін концентратор деп аталады және болуы мүмкін әртүрлі пішін: цилиндрлік, конустық, сатылы, экспоненциалды және т.б. . Оның мақсаты - қажетті амплитуданың ауытқуын құралға жеткізу.

Осылайша, тербеліс процестерінің пайда болуының салдары әртүрлі болуы мүмкін, сондай-ақ оларды тудыратын себептер де әртүрлі болуы мүмкін, сондықтан тербеліс процестерін теориялық тұрғыдан зерттеу қажеттілігі табиғи түрде туындайды. Екінші ретті толқын теңдеуіне негізделген салыстырмалы түрде ұзын және жіңішке қатты шыбықтардағы толқынның таралуының математикалық моделі жақсы зерттелген және көптен бері классикаға айналды. Алайда, Рэйлей көрсеткендей, бұл модель қалың қысқа таяқшаның тербелістерін зерттеуге мүлдем сәйкес келмейді, ал нақты механизмдердің көптеген бөлшектерін қысқа және қалың шыбықтар деп түсіндіруге болады. Бұл жағдайда өзекшенің көлденең бағыттағы деформацияларын да ескеру қажет. Өзекшенің көлденең қозғалысының әсерін ескеретін жуан қысқа сырықтың бойлық тербелістерінің математикалық моделі Рэйлей таяқшасы деп аталады және төртінші ретті гиперболалық теңдеуге негізделген.

^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1)

коэффициенттері бар физикалық мағынасы :

g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),

мұндағы A(x) – көлденең қиманың ауданы, p(x) – өзекшенің массалық тығыздығы, E(x) – Янг модулі, V(x) – Пуассон қатынасы, 1Р(х) – полярлық инерция моменті. , u(x, b) - анықталатын бойлық жылжулар.

Рэйлейдің идеялары діріл процестеріне, сондай-ақ пластикалық теорияға арналған заманауи еңбектерде өзінің расталуын және дамуын тапты. Шолу мақаласы априорлы дене идеалды континуум болып саналатын жүктеме кезіндегі қатты денелердің күйі мен мінез-құлқын сипаттайтын классикалық модельдердің кемшіліктерін негіздейді. Жаратылыстану ғылымының қазіргі даму деңгейі зерттелетін процестерді адекватты түрде сипаттайтын және соңғы бірнеше онжылдықтарда жасалған жаңа үлгілерді құруды талап етеді. математикалық әдістербұл мүмкіндікті беріңіз. Осы жолда өткен ғасырдың соңғы ширегінде бейлокальдылық тұжырымдамасына негізделген көптеген физикалық процестерді, соның ішінде жоғарыда аталғандарды зерттеуге жаңа көзқарас ұсынылды (мақала мен ондағы әдебиеттер тізімін қараңыз). Авторлар анықтаған жергілікті емес модельдердің бір класы «әлсіз жергілікті емес» деп аталады. Бұл классқа жататын математикалық модельдер қандай да бір процесті сипаттайтын теңдеулерге туындыларды енгізу арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. жоғары тәртіп, кейбір жуықтауда зерттеу объектісінің ішкі элементтерінің өзара әрекетін ескеруге мүмкіндік береді. Осылайша, Рэйлей моделі біздің уақытымызда өзекті болып табылады.

1. Мәселе туралы мәлімдеме. Өзекшенің ұштары x = 0, x = I концентрленген массалар N1, M2 және қаттылықтары К1 және К2 болатын серіппелердің көмегімен қозғалмайтын негізге бекітілсін. Біз өзекше 0x осіне қатысты айналу денесі болып табылады және уақыттың бастапқы моменті тепе-теңдік күйінде тыныштықта болады деп есептейміз. Содан кейін келесі бастапқы-шектік есептерге келеміз.

Тапсырма. Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1,T аймағында табыңыз< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) және шекаралық шарттар

a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()

Мақалада (1)-(2) есептің кейбір ерекше жағдайлары қарастырылып, теңдеудің коэффициенттері айқын түрге ие болатын және M\ = M2 = 0 болатын мысалдар келтірілген. Мақалада жалпы есептің бір мағыналы әлсіз шешілуі дәлелденген. іс.

Шарттар (2) өзекшені бекіту әдісімен анықталады: оның ұштары тиісінше массасы М1, М2 және қаттылығы К1, К2 серіппелері бар кейбір құрылғылардың көмегімен қозғалмайтын негіздерге бекітіледі. Массалардың болуы және көлденең ығысуларға рұқсат ету уақыт туындыларын қамтитын форманың (2) шарттарына әкеледі. Уақыт туындыларын қамтитын шекаралық шарттар динамикалық деп аталады. Олар әртүрлі жағдайларда туындауы мүмкін, олардың ең қарапайымы оқулықта сипатталған, ал одан да күрделілері монографияда сипатталған.

2. Таяқшаның табиғи тербелістерін зерттеу. (1) теңдеуіне сәйкес біртекті теңдеуді қарастырайық. Коэффициенттер тек x-ке тәуелді болғандықтан, біз айнымалыларды u(x, z) = X(x)T(z) көрсету арқылы ажырата аламыз. Біз екі теңдеу аламыз:

m""(r) + \2m(r) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

(3) теңдеу шекаралық шарттармен қоса беріледі

(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,

(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)

Осылайша, біз Штурм-Лиувилл мәселесіне келдік, оның классикалық есептен айырмашылығы Λ спектрлік параметрі теңдеудің ең жоғары туындысының коэффициентіне, сондай-ақ шекаралық шарттарға кіреді. Бұл жағдай әдебиеттен белгілі нәтижелерге сілтеме жасауға мүмкіндік бермейді, сондықтан біздің тікелей мақсатымыз (3), (4) мәселесін зерттеу болып табылады. Айнымалыларды бөлу әдісін сәтті жүзеге асыру үшін меншікті мәндердің бар болуы және орналасуы, сапалық көрсеткіштері туралы ақпарат қажет.

меншікті функциялардың қасиеттері: олардың ортогоналдылық қасиеті бар ма?

А2 > 0 екенін көрсетейік. Бұлай емес деп есептейік. X(x) A = 0 мәніне сәйкес келетін (3), (4) есептің меншікті функциясы болсын. (3) мәнін X(x) көбейтіп, алынған теңдікті (0,1) интервалына интегралдаймыз. Бөлшектері бойынша интегралдау және шекаралық шарттарды қолдану (4), кейін элементарлық түрлендірулерБіз алып жатырмыз

1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Физикалық мағынасынан a(x), b(x), g(x) функцияларының оң, Kr, Mr теріс емес екенін байқаймыз. Бірақ содан кейін алынған теңдіктен X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, сондықтан X (x) \u003d 0 шығады, бұл жасалған болжамға қайшы келеді. бұл нөл (3), (4) есептің меншікті мәні деген болжам қате.

(3) теңдеудің шешімін көрсету a(x) - - A2b(x) өрнегінің таңбасына байланысты. a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1) екенін көрсетейік. Біз ерікті түрде x e (0, 1) түзетеміз және a(x), b(x), q(x) функцияларының осы нүктесіндегі мәндерін табамыз. (3) теңдеуді түрінде жазамыз

X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5)

қайда белгіледік

таңдалған бекітілген нүктеде және шарттар (4) түрінде жазылуы мүмкін

X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)

мұндағы a, b есептеу оңай.

Белгілі болғандай, классикалық Штурм-Лиувилл есебінде (5), (6) V > 0 үшін меншікті функциялардың есептелетін жиыны бар, осыдан х-тің еріктілігіне байланысты қажетті теңсіздік шығады.

(3), (4) есептің меншікті функциялары жүкпен ортогоналдылық қасиетке ие, қатынас арқылы өрнектеледі.

I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о

M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7)

оны стандартты жолмен алуға болады (мысалы, қараңыз), оның орындалуы қарастырылатын мәселе жағдайында қарапайым, бірақ қиын есептеулермен байланысты. Қолайсыздықты болдырмау үшін Xr(x) функцияларының аргументін қалдырып, оның туындысын қысқаша көрсетейік.

λm, λn әртүрлі меншікті мәндер болсын, λm, λn оларға сәйкес (3), (4) есептің меншікті функциялары болсын. Содан кейін

((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.

Бұл теңдеулердің біріншісін Xn-ке, екіншісін Xm-ге көбейтіп, екіншісін біріншіден алып тастаймыз. Элементар түрлендірулерден кейін теңдік аламыз

(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)",

оны (0,1) интервалына біріктіреміз. Нәтижесінде (4) ескере отырып және (Лт - Лп) азайту арқылы (7) қатынасты аламыз.

Штурм-Лиувилл есебінің (3), (4) меншікті мәндері мен меншікті функцияларының қасиеттері туралы дәлелденген тұжырымдар мәселенің шешімін табу үшін айнымалыларды бөлу әдісін қолдануға мүмкіндік береді.

3. Есептің шешілу мүмкіндігі. Белгілеу

C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)).

Теорема 1. a, b e C1, e C болсын. Сонда (1), (2) есептің ең көбі бір u e C(m) шешімі бар.

Дәлелдеу. (1), (2), u1(x, z) және u2(x, z) есептерінің екі түрлі шешімі бар деп алайық. Сонда есептің сызықтылығына байланысты олардың айырмасы u = u1 - u2 (1), (2) сәйкес біртекті есептің шешімі болып табылады. Оның шешімі тривиальды екенін көрсетейік. Теңдеу коэффициенттерінің физикалық мағынасынан және шекаралық шарттардан a, b, q функциялары Qm-тің барлық жерінде оң, ал M^, K^ теріс емес екенін алдын ала ескертеміз.

(1) теңдікті u-ға көбейту және Qt облысы бойынша интегралдау, мұндағы t e және ерікті түрде, қарапайым түрлендірулерден кейін, біз аламыз

/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o

K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0,

осыдан m еріктілігінің арқасында теореманы бекіту бірден келеді. □

Тұрақты коэффициенттер жағдайының шешімі бар екенін дәлелдеп көрейік.

2-теорема<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0 ішінде үшінші ретті бөлшектік үзіліссіз туындысы бар және ( 0,1), f e C(C^m), онда (1), (2) есептің шешімі бар және оны меншікті функциялар қатарының қосындысы ретінде алуға болады.

Дәлелдеу. Біз әдеттегідей есептің шешімін қосынды түрінде іздейтін боламыз

мұндағы бірінші мүшесі (1) сәйкес біртекті теңдеу үшін тұжырымдалған есептің шешімі болса, екіншісі нөлдік бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандыратын (1) теңдеудің шешімі. Алдыңғы абзацта жүргізілген зерттеулердің нәтижелерін қолданып, (3) теңдеудің жалпы шешімін жазайық:

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Шектік шарттарды (4) қолданып, Cj үшін теңдеулер жүйесін аламыз!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Оның анықтаушысын нөлге теңеп, спектрлік теңдеуді аламыз

ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Осы трансценденттік теңдеудің шешімі бар-жоғын анықтайық. Ол үшін оның сол және оң бөліктеріндегі функцияларды қарастырып, олардың әрекетін тексеріңіз. Жалпылықты шектемей, біз орнаттық

Mi = М2 = М, Кг = К2 = К,

бұл қажетті есептеулерді біршама жеңілдетеді. (8) теңдеу пішінді қабылдайды

x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b"

және спектрлік теңдеуді жаңа белгілермен жазыңыз!

aqlß Kql2 + ß2 (Кб - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Соңғы теңдеудің сол және оң жақ бөліктерінің функцияларын талдау оның түбірлерінің саналмалы жиыны және, демек, Штурм-Лиувилл есебінің (3), (4) меншікті функцияларының есептелетін жиыны бар екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді. , ол c¿ қатысты жүйеден алынған қатынасты ескере отырып, жазылуы мүмкін

v / l l I q K - x2pm. l i q

Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Енді біз бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімді табуға көшеміз. Енді біртекті теңдеу үшін есептің шешімін қатар түрінде оңай таба аламыз

u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x),

нормасын (7) қатынастан алуға болатын Xn(x) функцияларының ортогоналдылық қасиетін пайдаланып коэффициенттерін бастапқы деректерден табуға болады:

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Джо

v(x,t) функциясын табу процесі де негізінен стандартты болып табылады, бірақ біз әлі де байқаймыз, шешімді дәстүрлі түрде іздеу

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

екі теңдеу аламыз. Шынында да, меншікті функциялардың формасын ескере отырып, шешімін іздеп отырған қатардың құрылымын көрсетейік:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn"

Нөлдік бастапқы шарттарды қанағаттандыру үшін y(x, 0) = y^x, 0) = 0, біз Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0 болуын талап етеміз. Кеңейту f( x, d) Xn(x) меншікті функцияларына қатысты Фурье қатарына қосылса, ¡n(b) және dn(b) коэффициенттерін табамыз. y(x, b) қатысты жазылған (1) теңдеуіне (9) ауыстырып, түрлендірулер қатарынан кейін Yn(b) және Shn(b) теңдеулерін аламыз:

uc® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0 бастапқы шарттарын ескере отырып, Yn(b) және Shn( функцияларының әрқайсысы үшін Коши есептеріне келеміз. б), оның бірегей шешілетіндігі теорема шарттарымен кепілдендірілген. Теоремада тұжырымдалған бастапқы деректердің қасиеттері біздің зерттеу барысында пайда болған барлық қатарлардың жинақтылығына және, демек, мәселенің шешімінің бар екендігіне күмән келтірмейді. □

Қорытынды. Жүктемемен ортогональды зерттелетін есептің меншікті функциялар жүйесінің бар екендігі дәлелденді және олардың көрінісі алынды.

Меншікті функциялардың белгіленген қасиеттері есептің бірегей шешімі бар екенін дәлелдеуге мүмкіндік берді. Мақалада алынған нәтижелерді динамикалық шекаралық жағдайлары бар есептерді одан әрі теориялық зерттеу үшін де, практикалық мақсаттар үшін де, атап айтқанда, кең ауқымды техникалық объектілердің бойлық тербелістерін есептеу үшін де пайдаланылуы мүмкін екенін ескеріңіз.

Александр Борисович Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

ӘДЕБИЕТТЕР

1. Нерубай М.С., Штриков Б.Л., Калашников В.В. Ультрадыбыстық механикалық өңдеу және құрастыру. Самара: Самара кітап баспасы, 1995. 191 б.

2. Хмелев В.Н., Барсуков Р.В., Цыганок С.Н. Материалдарды ультрадыбыстық өлшемді өңдеу. Барнаул: Алтай техникалық университеті им. I.I. Ползунова, 1997. 120 б.

3. Кумабе Д. Діріл кесу. М.: Машиностроения, 1985. 424 б.

4. А.Н.Тихонов және А.А.Самарский, Математикалық физика теңдеулері. М.: Наука, 2004. 798 б.

5. Стрет Дж.В. Дыбыс теориясы. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1955. 504 б.

6. Rao J. S. Дірілдің жетілдірілген теориясы: сызықты емес діріл және бір өлшемді құрылымдар. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 бет.

7. Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Рэйлей моделіне негізделген қатты шыбықтың еркін және еріксіз тербелістерінің теориясы// ДАН, 2007. V. 417, №. 56-61 беттер.

8. Базант З., Жирасек М. Пластикалық және зақымданудың жергілікті емес интегралдық тұжырымдары: Прогрессті зерттеу// J. Eng. Мех., 2002. т. 128, №. 11.бб. 1119-1149 жж. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. А.Б.Бейлин және Л.С.Пулкина, «Динамикалық шекаралық жағдайлары бар штанганың бойлық тербелістерінің мәселесі», Вестн. СамМУ. Жаратылыстану Сер., 2014. No3 (114). 9-19 беттер.

10. М.О.Корпусов, Классикалық емес толқындық теңдеулердегі сыну. М.: УРСС, 2010. 237 б.

10/II/2016 алынды; соңғы нұсқада - 18/V/2016; баспаға қабылданды - 27/V/2016.

Vestn. Самар. барады. Техн. Үнта. Сер. Физ.-мат. ғылым

2016, том. 20, жоқ. 2, бет. 249-258 ISSN: 2310-7081 (онлайн), 1991-8615 (басып шығару) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

СЕРПІМДІ БЕКІТІЛГЕН ТҰРАҚТЫҢ БОЙЫНША ДІРІЛУ МӘСЕЛЕСІ

Самара мемлекеттік техникалық университеті,

443100, Ресей Федерациясы, Самара қ., Молодогвардейская көш., 244.

Бұл жұмыста біз нүктелік күштермен және серіппелермен бекітілген қалың қысқа жолақтағы бойлық дірілді зерттейміз. Математикалық модель үшін төртінші ретті ішінара дифференциалдық теңдеу үшін динамикалық шекаралық шарттары бар шекаралық есепті қарастырамыз. Бұл модельді таңдау көлденең деформацияның нәтижесін ескеру қажеттілігіне байланысты. Көлденең деформацияны елемеу қателікке әкелетінін Рэйли көрсетті. Бұл дірілдің қазіргі заманғы жергілікті емес теориясымен расталады. Жүктеменің меншікті функцияларымен ортогоналдың бар екенін дәлелдеп, олардың көрінісін шығарамыз. Меншікті функциялардың белгіленген қасиеттері айнымалыларды бөлу әдісін қолдану және есептің бірегей шешімін табуға мүмкіндік береді.

Түйін сөздер: динамикалық шекаралық шарттар, бойлық тербеліс, жүктелген ортогональдық, Рэйлей моделі.

Александр Б. Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Нерубай М.С., Штриков Б.Л., Калашников В.В.Ул "тразвуковая механическая обработка и сборка. Самара, Самара кітап баспасы, 1995, 191 б. (орыс тілінде)

2. Хмелев В.Н., Барсуков Р.В., Цыганок С.Н.Уль "тразвуковая размерная обработка материалов. Барнаул, 1997, 120 б. (орыс тілінде)

3. Кумабе Дж. Діріл кесу. Токио, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (Жапон тілінде).

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравненийа математической физики. Мәскеу, Наука, 2004, 798 б. (Ағылшынша)

5. Струтт Дж. В. Дыбыс теориясы, т. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp.

6. Rao J. S. Дірілдің жетілдірілген теориясы: сызықты емес діріл және бір өлшемді құрылымдар. Нью-Йорк, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 бет.

Бейлин А.Б. Серпімді бекітуі бар штанганың бойлық діріліне қатысты мәселе, Vestn. Самар. барады. Технология. Университет, Сер. Физ.-мат. Ғылым, 2016, том. 20, жоқ. 2, бет. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (Ағылшын тілінде) Автор туралы мәліметтер:

Александр Б. Бейлин (ғылым кандидаты; [электрондық пошта қорғалған]), доцент, кафедра Станоктарды автоматтандыру және құрал-саймандық жүйелер.

7. Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Рэйлей моделіне негізделген қатты өзекшенің еркін және еріксіз тербелістерінің теориясы, Докл. Физ., 2007, т.52, №. 11, бет. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Базант З., Жирасек М. Пластикалық және зақымданудың жергілікті емес интегралдық тұжырымдары: Прогрессті зерттеу, Дж. Энг. Мех., 2002, т.128, №. 11, бет. 1119-1149 жж. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Бейлин А.Б., Пулкина Л.С. Динамикалық шекаралық жағдайлары бар шыбықтың бойлық тербелістері туралы промлем, Вестник СамГУ. Эстественно-Научная сер., 2014 ж., №. 3(114), бет. 919 (орыс тілінде).

10. Корпусов М.О.Разрушение в неклассических волновых уравнениях. Мәскеу, URSS, 2010, 237 б. (Орыс тілінде)

10/II/2016 алынды;

18/V/2016 түзетілген нысанда алынды;

Тербелістердің негізгі дифференциалдық теңдеулеріне сілтеме жасай отырып, біз оларды - = k 2-ге көбейткенде, оларда жылдамдықтың квадраты болатын коэффициенті болатын мүшелер болатынын байқаймыз. Жәнекөлденең тербелістер, басқалары – жылдамдықтың квадраты бойлық ауытқулар.

Бойлық тербелістер жағдайындағы бірінші мүшелер теңдеулерден жойылуы керек және біз бірінші топты аламыз:

p беті біздің таңдауымыз бойынша толқынның беті болғандықтан, § 7 теңдеуінде біз бір тербелісті сақтауымыз керек. Ржәне нөлдік тербеліске тең /?! Және R.2,толқынға жанама жазықтықта болады. Нәтижесінде // =1 параметрін табамыз:

A = 0 болғандықтан, (1) теңдеулер келесі түрде болады:

(2) теңдеулердің біріншісін //i // 2-ге көбейтіп, р-ға қатысты дифференциалдап, (4) теңдеуіне назар аударсақ:

Не(2) теңдеулеріне сәйкес B px немесе [–]-ге тәуелді емес. Демек, арқылы білдіреді &Fфункцияның ішінара туындысы Файнымалылардың бірі ^, Р. 2 , біз (7) теңдеуден аламыз:

Осы өрнекке шамаларды қойып H 1H 2 p.p. 3, әртүрлі дәрежедегі коэффициенттерді нөлге теңей отырып, біз келесі шарттарды табамыз, оларды Ф - i толқыны қанағаттандыруы керек.

Танымалмұндай қарым-қатынастар үшін ғана жарамды шар, дөңгелек цилиндр және жазықтық.

Демек, бізде барНе изотермиялық толқын беттері бойлық тербелістерді тарата алады.

Сонымен, егер тербеліс беті немесе бастапқы толқын изотермиялық толқындардың беттеріне жатпайтын болса, онда олардың тербелістері жанында болады. аралас , бірақ айтарлықтай қашықтықта толқын изотермиялық толқындардың бірінің формасына жақындайды, ал флуктуация құбылыста кездеседі. бойлық. ТОҚТА!!!

Сфера үшін келтірілген дифференциалдық теңдеулерді интегралдау қалады қолдану гармоникалық функциялар!!!

Тесла тәжірибелері – гармоникалық осциллятор - қабылданбайды!!!

Үшін шарларБіз қолданып қойған координаттарда бізде:

Әрі қарайғы трансформациялар елеусіз және берілмейді, өйткені олар әкеледі бастапқы теңдеу , бұл солитон тәрізді толқындар үшін физикалық мағынасы жоқ.

Табылған тұжырымдар біртекті денелердегі жарық құбылыстарына бірдей қолданылады және оның үстіне Буссинеск теориясында орын алатын жуықтау шегінде!?

Осы жерден:«ауырсыну сәті»ашылды.

Н.Умовтың математикалық жинағы, 5 том, 1870 ж.

Тағы бір «қорқынышты» белгісіздік

Осыған ұқсас дәлелдейтін болсақ, магниттік энергия үшін, демек, токтар үшін де ұқсас өрнекті оңай алуға болады. Біз мұны көреміз, тіпті қарапайым формулаларды талап ете отырып, энергияны локализациялау мәселесі әлі де шешілмейді.

Ал бізде энергия ағыны үшін де солай. Ток энергиясының қозғалысын Пойнтинг векторына басқа векторды (u, v, w) қосу арқылы ерікті түрде түрлендіруге болады, ол тек сығылмайтын сұйықтықтардың теңдеуін қанағаттандыруы керек.

Жалпы теңдеулердің салдары бола отырып, оларға ештеңе қосылмайды.

Сондықтан энергияны локализациялау логикалық тұрғыдан пайдасыз.(және кейде зиянды).

Бірақ Пойнтинг теоремасын қарастырудың маңызды аспектісі бар.

Энергияның сақталу заңы туындайтын негізгі факт мүмкін еместігінің тәжірибе жүзінде табылған фактісі болды және болып қала береді. мәңгілік қозғалыс , факт - біздің идеяларымызға қарамастан және эфирде материалдық денелер болмаған кезде болуы керек энергия бөліктеріне жатқызуға болады.

Энергияның сақталу заңы, оның классикалық түрінде В = Constмүмкін еместігін түсіндіреді.

Көрсеткіш теоремасы, түрлендіру мүмкіндігін талап етеді көлем интегралы(біраз ерікті) ішінде беті,әлдеқайда аз көрсетеді. Ол өзінің мүмкін еместігін көрсете алмай, мәңгілік қозғалыстың жасалуын оңай мойындайды.!

Шын мәнінде, біз гипотезаны енгізгенге дейін тежелген потенциалдар, шексіздіктен келетін жинақталған толқындардан энергияның үздіксіз бөлінуі шын мәнінде байқалған энергияның жоғалуы сияқты ықтимал болып қала береді.

Егер қозғалтқыш материалдық денелердің болуына қарамастан, тек эфир энергиясын мәңгі қабылдай алатын болса, онда мәңгілік қозғалыс . Осылайша, баяу потенциалдар формуласын қабылдамас бұрын, үдетілген бөлшек энергияны жоғалтатынын және соның нәтижесінде оның үдеуінің туындысына пропорционал қарсы әрекетке ұшырайтынын дәлелдеуіміз керек екені белгілі болады.

Тек белгіні өзгертіңіз в жинақтаушы толқын гипотезасына келу.

Сонда ашамызқандай белгі сәулелену векторыда өзгереді және жаңа гипотеза, айталық, дірілдеген бөлшек жағдайында амплитуданың уақыт өте келе біртіндеп өсуіне әкеледі, бірақ жалпы – жүйенің энергиясын арттыру үшін?!

Табиғатта солитондар:

– сұйықтың бетінде табиғатта кездесетін алғашқы солитондар кейде цунами толқындары ретінде қарастырылады.

- әртүрлі су балғалары

– дыбыстық барабандар – «суперсоникті» жеңу

– плазмадағы ионосиялық және магнитозондық солитондар

лазерлік белсенді ортада қысқа жарық импульстері түріндегі солитондар болып табылады

- солитонның мысалы ретінде Сатурндағы Гигант алтыбұрышты айтуға болады

– солитондар түрінде қарастыруға болады жүйке импульстері , .

Математикалық модель, Кортевег-де Вриз теңдеуі.

Ерітіндіде солитондардың болуына мүмкіндік беретін қарапайым және ең танымал модельдердің бірі Кортевег-де Вриз теңдеуі болып табылады:

u т + uu x + β u xxx = 0.

Бұл теңдеудің мүмкін болатын шешімі жалғыз солитон:

Гармоникалық талдаудағы белгісіздік теоремалары

Гармоникалық осциллятор кванттық механикада ол теңдеу арқылы сипатталады Шредингер,

теңдеу (217.5) стационар күйлер үшін Шредингер теңдеуі деп аталады.

Кванттық осциллятордың стационарлық күйлері теңдеу арқылы анықталады Шредингермейірімді

Қайда Е осциллятордың толық энергиясы болып табылады.

Дифференциалдық теңдеулер теориясында теңдеу болатыны дәлелденді (222.2) энергияның меншікті мәндері үшін ғана шешіледі

Формула (222.3) кванттық осциллятордың энергиясы екенін көрсетеді квантталған.

Тіктөртбұрыш үшін энергия нөлден басқа төменнен шектелген «шұңқырлар»шексіз жоғары «қабырғаларымен» (М. § 220 қараңыз), минималды энергия мәні

Е 0 = 1/2 ℏ w 0 . Минималды энергияның болуы деп аталады нөлдік нүкте энергиясы– кванттық жүйелерге тән және оның тікелей салдары болып табылады белгісіздік қатынастары.

IN гармоникалық талдаубелгісіздік принципі функцияның мәндерін және оның Фурье кескінін дәл алу мүмкін еместігін білдіреді - және осылайша дәл есептеу жасайды.

Яғни, Табиғаттағы процестер мен формалардың ұқсастық принциптерін сақтай отырып, модельдеу, генерациялау және аналогияны пайдалана отырып, гармоникалық осциллятор – мүмкін емес.

әртүрлі түрлері математикалықсолитондарӘзірге аз белгілі және олардың барлығы нысандарды сипаттауға жарамайды үш өлшемдікеңістікте болып жатқан процестер, әсіресе Табиғат.

Мысалы, қарапайым солитондарКортевег-де Вриз теңдеуінде кездесетін , егер оның болса, тек бір өлшемде локализацияланған «жүгіру»үш өлшемді әлемде, ол сияқты болады алға ұшатын шексіз жалпақ мембрана,жұмсақ сөзбен айтқанда, абракадабра!!!

Табиғатта мұндай шексіз мембраналар байқалмайды, бұл дегеніміз бастапқы теңдеуүш өлшемді нысандарды сипаттау үшін жарамсыз.

Гармоникалық функцияларды енгізудің қателігі осында жатыр. – осцилляторлар, аралас тербелістер кезіндегі қосылыстар.Байланысты ұқсастық заңы, , бірақ бұл басқа оқиға, ол әкеледі, солитондар теориясы жүйелі белгісіздік, .

Қатты кедергімен соқтығыс кезінде энергияның шығынын есепке ала отырып немесе есепке алмай, сатылы-айнымалы қимасы бар штангалардың бойлық тербелістері мәселесін шешу үшін жиілік әдісі ұсынылады. Өзекшенің бойлық тербелістерінің теңдеуі нөлдік емес бастапқы шарттар болған кезде Лаплас бойынша түрлендіріледі. Шектік есеп шешілді, ол Лапластың түрлендірілген шетінің бойлық күштерін жиектердің орын ауыстыруларының функциясы ретінде табудан тұрады. Содан кейін түйіндердің тепе-теңдігі үшін теңдеулер жүйесі құрастырылады, оны шешу үшін стерженьдің қызықты бөліктері үшін амплитудалық-фазалық-жиілік сипаттамалары (APFC) құрастырылады. Кері Лаплас түрлендіруін орындай отырып, өтпелі процесс тұрғызылады. Сынақ мысалы ретінде шекті ұзындықтағы тұрақты қиманың жолағы қарастырылады. Белгілі толқындық шешіммен салыстыру келтірілген. Қатты кедергімен соқтығысқанда стерженьді динамикалық есептеудің ұсынылған әдісі стерженьнің ұштарында және ұзындығы бойынша еркін күш әсер ететін серпімді түрде бекітілген массалардың шектеусіз саны болған кезде ерікті стержендік жүйені жалпылауға мүмкіндік береді. .

жиілік әдісі

өзекшенің бойлық тербелістері

1. Байдерман, В.Л. Механикалық тербелістердің қолданбалы теориясы / В.Л. Байдермен. – М.: Жоғары мектеп, 1972. – 416 б.

2. Лаврентьев, М.А. Күрделі айнымалы функциялар теориясының әдістері / М.А. Лаврентьев, Б.В. Демалыс. – М.: Наука, 1973. – 736 б.

3. Санкин, Ю.Н. Бөлінген параметрлері бар тұтқыр серпімді жүйелердің динамикалық сипаттамалары / Ю.Н. Санкин. - Саратов: «Сарат» баспасы. ун-та, 1977. - 312 б.

4. Санкин, Ю.Н. Кедергімен соқтығысқан кездегі штангалық жүйелердің стационарлы емес тербелістері / Ю.Н. Санкин, Н.А. Юганова; жалпы астында ред. Ю.Н. Санкин. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 174 б.

5. Санкин, Ю.Н. Қатты кедергімен соқтығысқан қадамдық айнымалы қиманың серпімді өзектерінің бойлық тербелісі \ Ю. Н.Санкин мен Н.А. Юганова, Дж. Аппл. Maths Mechs, том. 65, № 3, б. 427-433, 2001 ж.

Қатты кедергімен соқтығысқан кездегі энергияның шығынын есепке ала отырып немесе есепке алмай, сатылы-айнымалы қимасы бар жолақтардың бойлық тербелістерін шешудің жиілік әдісін қарастырайық, оны белгілі толқындық шешіммен және шешімімен салыстырамыз. діріл режимдерінің сериясы түрінде (14) .

Ішкі қарсылық күштерін ескере отырып, өзекшенің бойлық тербелістерінің дифференциалдық теңдеуі келесідей болады:

Келесі шекаралық және бастапқы шарттарды белгілейік:

. (2)

Берілген бастапқы шарттар (2) үшін (1) теңдеу мен шекаралық шарттарды (2) Лаплас бойынша түрлендірейік. Сонда (2) теңдеу және (2) шекаралық шарттар келесі түрде жазылады:

; (3)

,

стержень нүктелерінің Лаплас түрлендірілген орын ауыстырулары мұндағы; p – Лаплас түрлендіру параметрі.

(3) теңдеу энергияның шығынын есепке алмағанда (= 0) келесідей болады:

. (4)

Алынған біртекті емес дифференциалдық теңдеу үшін шекаралық есеп шешіледі, ол Лапласпен түрлендірілген жиек бойлық күштерін жиектердің орын ауыстыруларының функциясы ретінде табудан тұрады.

Ол үшін энергияның шығынын ескере отырып, өзекшенің бойлық тербелістерінің біртекті теңдеуін қарастырамыз.

(5)

белгілеу

және жаңа айнымалыға өткенде (5) орнына аламыз

(6)

Егер жиілік параметрі қайда болса, онда

.

Біртекті (6) теңдеудің шешімі келесі түрде болады:

c1 және c2 интегралдау константалары бастапқы шарттардан табылады:

u = u0 ; N = N0,

Анау. ;

Бұл шешім келесі тасымалдау матрицасына сәйкес келеді:

. (7)

Алынған өрнектерді тасымалдау матрицасының элементтері үшін орын ауыстыру әдісінің формулаларына қойып, мынаны аламыз:

; (8)

;

n және k индекстері сәйкесінше өзек бөлігінің басы мен соңын көрсетеді. Ал nk және kn индекстері бар геометриялық және физикалық тұрақтылар өзекшенің белгілі бір бөлігіне жатады.

Таяқшаны элементтерге бөліп, формулаларды (8) пайдалана отырып, түйіндердің динамикалық тепе-теңдігінің теңдеулерін құрастырамыз. Бұл теңдеулер белгісіз түйіндік орын ауыстырулар үшін теңдеулер жүйесі болып табылады. Сәйкес коэффициенттер дәл интегралдау арқылы алынатындықтан, штанганың қималарының ұзындығы шектелмейді.

Алынған теңдеулер жүйесін шеше отырып, біз өзімізді қызықтыратын стержень қималары үшін амплитудалық-фазалық-жиілік сипаттамаларын құрастырамыз. Бұл AFC импульсті әрекеттер кезіндегі Лаплас түрлендіруімен сәйкес келетін бір жақты Фурье түрлендіруінің графикалық бейнесі ретінде қарастырылуы мүмкін. Сәйкес өрнектердің барлық ерекше нүктелері елестету осінің сол жағында жатқандықтан, кері түрлендіруді орнату арқылы жүзеге асыруға болады, яғни. құрастырылған AFC көмегімен. Шыбықтың тығыздығына көбейтілген бастапқы жылдамдықтар өрісі күш ретінде пайда болатын АФК құру міндеті көмекші болып табылады. Әдетте, АФК қоздырғыш күштердің әсерінен құрылады, содан кейін кері Лаплас түрлендіруі сандық интеграция арқылы немесе басқа жолмен жүзеге асырылады.

Қарапайым мысал ретінде V0 жылдамдықпен қатты кедергімен бойлық соқтығысатын ұзындығы l түзу шыбықты қарастырайық (1-сурет).

Соққыдан кейінгі өзек нүктелерінің орын ауыстыруын анықтайық. Соққыдан кейін кедергі мен өзек арасындағы байланыс сақталады деп есептейміз, яғни. таяқшаның қайта көтерілуі болмайды. Егер байланыс сақталмайтын болса, онда мәселені бөліктік сызықтық деп санауға болады. Басқа шешімге көшу критерийі - жанасу нүктесіндегі жылдамдықтың таңбасының өзгеруі.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. монографиясында. (4) теңдеудің толқындық шешімі берілген:

және оның түпнұсқасын тапты

, (9)

бірлік қадам функциясы қайда.

Бұл мәселені шешудің тағы бір тәсілін сипатталған жиілік әдісімен жүзеге асыруға болады. Бұл мәселе үшін бізде болады:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Түпнұсқасын табайық (11)

Сол есепті жиілік әдісімен шешейік. 1-ші түйіннің тепе-теңдік теңдеуінен:

(12)

шыбық ұшын жылжыту формуласын аламыз.

Енді, егер тұрақты көлденең қиманың сынақ таяқшасы ұзындығы l1 және l2 болатын екі ерікті кесіндіге бөлінсе (1-суретті қараңыз), онда түйіндердің тепе-теңдігінің шарттары келесідей болады:

(13)

(13) жүйені шешу нәтижесінде 1-ші және 2-ші бөлімдердегі орын ауыстырулар үшін фазалық жауаптың графиктерін аламыз (тиісінше U1 және U2). Сонымен, (12) және (13) жағдайында энергияның диссипациясын ескере отырып, тұйық түрдегі жиектің жылжуының кескіні сәйкес келеді және келесі пішінге ие болады:

. (14)

Таяқшаның соңында нәтижелердің сәйкестігін тексерейік. Суретте. 2-суретте x = l0.1 үшін шешімнің (10) графиктері және (13) жүйесін шешу нәтижесінде келтірілген. Олар тамаша үйлеседі.

Өтпелі процесті алу үшін дискретті Фурье түрлендіруін қолдануға болады. Нәтижені формула бойынша t=0… сандық интегралдауды орындау арқылы алуға болады

. (15)

AFC-де (2-суретті қараңыз) тек бір көрінетін катушка айтарлықтай көрінеді. Сондықтан (15) қатардың бір мүшесін алу керек. 3-суреттегі графиктерден шешім (9) мен тербеліс режимдері бойынша шешімнің (11) ұсынылған жиілік шешімімен қаншалықты дәл келетінін көруге болады. Қате 18% аспайды. Пайда болған сәйкессіздік (9) және (11) шешімдерінің стержендік материалдағы энергияның диссипациясын есепке алмауымен түсіндіріледі.

Күріш. 3. Шыбық ұшына арналған өтпелі процесс; 1, 2, 3 – сәйкесінше (9), (11), (15) формулалары бойынша құрастырылған графиктер.

Күрделі мысал ретінде ұшында жүк бар, V0 жылдамдықпен қатты кедергімен соқтығысқан сатылы өзекшенің (4-сурет) бойлық тербелістерінің есебін қарастырайық және жүктің массасы массаға тең болсын. өзекшенің көршілес бөлігінің:.

Күріш. 4. Соңында жүк бар сатылы штанганың бойлық тербелістерін есептеу схемасы

Біз шыбықтың 1,2,3 сипаттамалық қималарын енгіземіз, онда біз жылжуларды есептейміз. Шешуші теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

(16)

(16) жүйені шешу нәтижесінде екінші және үшінші бөлімдердегі орын ауыстырулар үшін AFC графиктерін (5-сурет) аламыз (тиісінше U2 () және U3 (). Есептеулер тұрақтылардың келесі мәндерімен жүргізілді: l = 2 м; E = 2,1×1011 Па; F = 0,06 м2; = 7850 кг/м3; V = 10 м/с. Алынған AFC-де тек екі көрінетін бұрылыс өзін айтарлықтай көрсетеді. Сондықтан таңдалған бөлімдердегі өтпелі процесті тұрғызған кезде қатардың екі мүшесін аламыз (16). Ол үшін алдымен анықтау керек

Күріш. 5-сурет. Сатылы штанганың екінші және үшінші бөліктеріндегі орын ауыстырулардың AFC (4-суретті қараңыз)

Сол сияқты (15) формулаға сәйкес өтпелі процесс құрастырылады.

Қорытынды: кедергімен соқтығысқан кезде өзекшелердің бойлық тербелістерін есептеу әдісі әзірленді.

Рецензенттер:

Лебедев А.М., техника ғылымдарының докторы, доцент, Ульяновск жоғары авиация училищесінің (институт) профессоры, Ульяновск қ.

Антонец И.В., техника ғылымдарының докторы, Ульяновск мемлекеттік техникалық университетінің профессоры, Ульяновск.

Библиографиялық сілтеме

Дене өзек деп аталады, оның өлшемдерінің бірі бойлық деп аталады, бойлық бағытқа перпендикуляр жазықтықта оның өлшемдерінен айтарлықтай асып түседі, яғни. көлденең өлшемдер. Штанганың негізгі қасиеті - бойлық қысуға (кернеуге) және иілуге ​​төзімділігі. Бұл қасиет өзекшені созылмайтын және иілуге ​​қарсы тұрмайтын жіптен түбегейлі ажыратады. Егер стержень материалының тығыздығы оның барлық нүктелерінде бірдей болса, онда стержень біртекті деп аталады.

Әдетте тұйық цилиндрлік бетпен шектелген ұзартылған денелер өзектер ретінде қарастырылады. Бұл жағдайда көлденең қиманың ауданы тұрақты болып қалады. Біз дәл осындай ұзындықтағы біртекті таяқшаның мінез-құлқын зерттейміз л, ол Гук заңына бағынған кезде тек қана сығуға немесе керілуге ​​ұшырайды деп есептей отырып. Өзекшенің шағын бойлық деформацияларын зерттегенде, деп аталатын жазық қималар гипотезасы.Бұл стержень бойымен қысу немесе кернеу астында қозғалатын көлденең қималардың бір-біріне тегіс және параллель болып қалуында жатыр.

осьті бағыттайық xөзекшенің бойлық осі бойымен (19-сурет) және біз уақыттың бастапқы сәтінде штанганың ұштары нүктелерде болады деп есептейміз. x=0Және x=l. Координатасы бар өзекшенің еркін кесіндісін алайық x. арқылы белгілеңіз u(x,т) осы секцияның уақыттағы орын ауыстыруы т, содан кейін координатасы бар қиманың ығысуы сол уақытта тең болады

Содан кейін кесіндідегі өзекшенің салыстырмалы ұзаруы xтең болады

Гук заңы бойынша бұл ұзаруға қарсылық күші тең болады

Қайда Еөзек материалының серпімділік модулі (Юнг модулі), және S-көлденең қима ауданы. Ұзындығы бар шыбықтың кесіндісінің шекарасында dxкүштер оған әрекет етеді T xЖәне T x + dx, ось бойымен бағытталған x. Бұл күштердің нәтижесі тең болады

,

ал стерженнің қарастырылып отырған қимасының үдеуі болса, онда өзекшенің осы қимасының қозғалыс теңдеуі келесідей болады:

, (67)

Қайда ρ – өзек материалының тығыздығы. Егер бұл тығыздық пен Янг модулі тұрақты болса, онда мәнді теңдеудің екі жағын да бөлу арқылы енгізуге болады. sdx, соңында алыңыз өзекшенің бойлық тербелістерінің теңдеуісыртқы күштер болмаған жағдайда

(68)

Бұл теңдеу формасы бойынша мынаған ұқсас жіптің көлденең тербелістерінің теңдеуіжәне оны шешу әдістері бірдей, дегенмен коэффициент бойынша абұл теңдеулер әртүрлі шамаларды көрсетеді. Жолдық теңдеуде шама а 2бөлшекті білдіреді, оның алымында жіптің тұрақты кернеу күші бар - Т, ал бөлгіште сызықтық тығыздық ρ , ал жол теңдеуінде Янг модулі алымдарда, ал бөлгіште болады. – көлемдікөзек материалының тығыздығы ρ . Осыдан шаманың физикалық мағынасы шығады абұл теңдеулерде әртүрлі. Егер жіп үшін бұл коэффициент кіші көлденең орын ауыстырудың таралу жылдамдығы болса, стержень үшін ол аз бойлық керілудің немесе қысудың таралу жылдамдығы болып табылады және деп аталады. дыбыстың таралу жылдамдығы, өйткені дәл осы жылдамдықпен дыбысты білдіретін шағын бойлық тербелістер өзек бойымен таралады.

(68) теңдеу үшін уақыттың бастапқы моментіндегі өзекшенің кез келген қимасының орын ауыстыруы мен орын ауыстыру жылдамдығын анықтайтын бастапқы шарттар қойылады:

Шектеулі стержень үшін оның ұштарына күш түсіру немесе бекіту шарттары 1-ші, 2-ші және 3-ші түрдегі шекаралық шарттар түрінде көрсетілген.

Бірінші түрдегі шекаралық шарттар стерженнің ұштарындағы бойлық ығысуды анықтайды:

Егер шыбықтың ұштары қозғалыссыз бекітілген болса, онда шарттарда (6) . Бұл жағдайда, қысылған жолдың тербелісі туралы есеп сияқты, біз айнымалыларды бөлу әдісін қолданамыз.

Екінші текті шекаралық жағдайларда стерженьнің ұштарында уақытқа байланысты Гук заңы бойынша деформация нәтижесінде пайда болатын серпімділік күштері орнатылады. (66) формулаға сәйкес бұл күштер тұрақты коэффициентке дейін туындыға тең u x, сондықтан бұл туындылар уақыт функциясы ретінде соңында беріледі:

Егер штанганың бір ұшы бос болса, онда осы соңында u x = 0.

Үшінші түрдегі шекаралық шарттарды стерженнің әр ұшына бекітілген, екінші ұшы берілген уақыт заңына сәйкес ось бойымен қозғалатын жағдайлар ретінде көрсетуге болады. θ (т), суретте көрсетілгендей. 20. Бұл шарттарды былай жазуға болады

, (72)

Қайда к 1 және к 2 - серіппелердің қаттылығы.

Егер стерженьге ось бойымен сыртқы күш те әсер етсе б(x,т) көлем бірлігіне есептелетін болса, онда (50) теңдеудің орнына біртекті емес теңдеуді жазу керек.

,

Бөлгеннен кейін пішінді қабылдайды

, (73)

Қайда . Теңдеу (73) – шыбықтың еріксіз бойлық тербелістерінің теңдеуі, ол жіптің еріксіз тербелістерінің теңдеуімен аналогия арқылы шешіледі.

Түсініктеме.Айта кету керек, жіп те, өзек те нақты денелердің үлгілері болып табылады, олар шын мәнінде олардың орналасқан жағдайларына байланысты жіптің де, сырықтың да қасиеттерін көрсете алады. Сонымен қатар, алынған теңдеулер қоршаған ортаның қарсылық күштерін және ішкі үйкеліс күштерін есепке алмайды, нәтижесінде бұл теңдеулер сөндірілмеген тербелістерді сипаттайды. Демпферлік әсерді ескеру үшін ең қарапайым жағдайда жылдамдыққа пропорционал және қозғалысқа қарама-қарсы бағытта бағытталған диссипативті күш қолданылады, яғни. жылдамдық. Нәтижесінде (73) теңдеу пішінді алады

(74)