Kuinka laskea kiinteä integraali. Integraalit - mikä se on, miten se ratkaistaan, esimerkkejä ratkaisuista ja selitys nukkeille. Osien integrointimenetelmä määrätyssä integraalissa

Tieteen integraalien ratkaisemisprosessia, jota kutsutaan "matematiikaksi", kutsutaan integraatioksi. Integroinnin avulla voit löytää fyysisiä suureita: pinta-ala, tilavuus, kappaleiden massa ja paljon muuta.

Integraalit ovat epämääräisiä ja määrällisiä. Harkitse määrätyn integraalin muotoa ja yritä ymmärtää se fyysinen merkitys. Se näyttää seuraavalta: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Erityinen piirre määrätyn integraalin kirjoittamiselle epämääräisestä on, että integroinnilla a ja b on rajat. Nyt saamme selville, mitä varten ne ovat ja mitä kiinteä integraali tarkoittaa. SISÄÄN geometrinen tunne sellainen integraali yhtä suuri kuin pinta-ala kuva, jota rajoittavat käyrä f(x), suorat a ja b sekä akseli Ox.

Kuvasta 1 voidaan nähdä, että määrätty integraali on sama alue, joka on varjostettu harmaana. Tarkastellaan asiaa yksinkertaisella esimerkillä. Etsitään kuvan pinta-ala alla olevasta kuvasta integroinnin avulla ja lasketaan se sitten tavalliseen tapaan kertomalla pituus leveydellä.

Kuva 2 osoittaa, että $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nyt korvaamme ne integraalin määritelmään, saamme, että $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(yksikkö)^2 $$ Tarkistetaan tavalliseen tapaan. Meidän tapauksessamme pituus = 3, muodon leveys = 1. $$ S = \teksti(pituus) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Kuten näet, kaikki sopi täydellisesti.

Herää kysymys: kuinka ratkaista epämääräiset integraalit ja mikä on niiden merkitys? Tällaisten integraalien ratkaisu on antiderivatiivisten funktioiden löytäminen. Tämä prosessi on johdannaisen löytämisen vastakohta. Löytääksesi antiderivaatan voit käyttää apuamme matematiikan tehtävien ratkaisussa tai sinun täytyy muistaa tarkasti integraalien ominaisuudet ja yksinkertaisimpien alkeisfunktioiden integrointitaulukko itse. Löytö näyttää tältä $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(jossa) F(x) $ on $ f(x) antiderivaata, C = const $.

Integraalin ratkaisemiseksi sinun on integroitava funktio $ f(x) $ muuttujan suhteen. Jos funktio on taulukkomuotoinen, vastaus kirjoitetaan sopivaan muotoon. Jos ei, niin prosessi pelkistetään taulukkofunktion saamiseksi funktiosta $ f(x) $ monimutkaisilla matemaattisilla muunnoksilla. Tätä varten on useita menetelmiä ja ominaisuuksia, joista keskustelemme alla.

Tehdään nyt siis algoritmi kuinka ratkaista integraalit tutille?

Algoritmi integraalien laskentaan

1. Selvitä kiinteä integraali vai ei.
2. Jos määrittelemätön, niin etsi antiderivatiivinen toiminto$ F(x) $ integrandista $ f(x) $ matemaattisten muunnosten avulla, jotka johtavat funktion $ f(x) $ taulukkomuotoon.
3. Jos määritetään, on suoritettava vaihe 2 ja korvattava sitten $a$- ja $b$-rajat antiderivatiivisella funktiolla $F(x)$. Millä kaavalla tämä tehdään, opit artikkelista "Newton Leibnizin kaava".

Ratkaisuesimerkkejä

Olet siis oppinut ratkaisemaan tuttien integraaleja, esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta on lajiteltu hyllyille. He oppivat fyysisen ja geometrisen merkityksensä. Ratkaisumenetelmiä käsitellään muissa artikkeleissa.

Jos oppikirjojen määritelmät ovat liian monimutkaisia ​​ja käsittämättömiä, lue artikkelimme. Yritämme selittää mahdollisimman yksinkertaisesti, "sormilla", tällaisen matematiikan osan pääkohdat määrättyinä integraaleina. Lue tästä oppaasta kuinka integraali lasketaan.

Tietenkin tässä otetaan huomioon vain integraalien yksinkertaisimmat versiot - tiettyjä, itse asiassa integraaleja on monia erilaisia, niitä tutkitaan kurssilla korkeampi matematiikka, matemaattinen analyysi Ja differentiaaliyhtälöt yliopistoissa teknisten erikoisalojen opiskelijoille.

Integraalien ratkaiseminen on helppoa, mutta vain eliittiä varten. Tämä artikkeli on tarkoitettu niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraaleja, mutta eivät tiedä niistä vain vähän tai ei mitään. Integral... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka se lasketaan? Mitä määritellään ja epämääräinen integraali s?

Jos osaamasi integraalin ainoa käyttötarkoitus on saada jotain hyödyllistä vaikeapääsyisistä paikoista integraalikuvakkeen muotoisella koukulla, niin tervetuloa! Opi ratkaisemaan yksinkertaisia ​​ja muita integraaleja ja miksi et tule toimeen ilman sitä matematiikassa.

Tutkimme käsitettä « kiinteä »

Integraatio tunnettiin jo vuonna Muinainen Egypti. Ei tietenkään sisään moderni muoto, mutta silti. Siitä lähtien matemaatikot ovat kirjoittaneet paljon kirjoja aiheesta. Erityisen erottuva newton Ja Leibniz mutta asioiden ydin ei ole muuttunut.

Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei onnistu! Ymmärtääksesi tämän aiheen, tarvitset silti perustiedot matemaattisen analyysin perusteista. Blogissamme on jo tietoa rajoista ja johdannaisista, joita tarvitaan integraalien ymmärtämiseen.

Epämääräinen integraali

Tehdään jokin toiminto f(x) .

Funktion määrittelemätön integraali f(x) tällaista funktiota kutsutaan F(x) , jonka derivaatta on yhtä suuri kuin funktio f(x) .

Toisin sanoen integraali on käänteinen derivaatta tai antiderivaata. Muuten, lue artikkelimme johdannaisten laskemisesta.

Alkukantaisuus on olemassa kaikille jatkuvat toiminnot. Myös vakiomerkki lisätään usein antiderivaattiin, koska vakiolla eroavien funktioiden derivaatat ovat samat. Integraalin löytämisprosessia kutsutaan integraatioksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jotta alkeisfunktioiden antiderivaatteja ei jatkuvasti lasketa, on kätevää tuoda ne taulukkoon ja käyttää valmiita arvoja.

Täydellinen integraalitaulukko opiskelijoille

Varma integraali

Käsiteltäessä integraalin käsitettä on kyse äärettömän pienistä suureista. Integraali auttaa laskemaan kuvion alueen, läpi kulkeneen epähomogeenisen kappaleen massan epätasainen liike polku ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän summa suuri numeroäärettömän pienet termit.

Kuvittele esimerkkinä jonkin funktion kaavio.

Kuinka löytää funktion kaavion rajoittaman kuvan pinta-ala? Integraalin avulla! Jaetaan koordinaattiakselien ja funktion kuvaajan rajaama kaareva puolisuunnikasta äärettömän pieniksi segmenteiksi. Siten luku jaetaan ohuiksi sarakkeiksi. Sarakkeiden pinta-alojen summa on puolisuunnikkaan pinta-ala. Mutta muista, että tällainen laskelma antaa likimääräisen tuloksen. Kuitenkin mitä pienemmät ja kapeammat segmentit ovat, sitä tarkempi laskenta on. Jos pienennämme niitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, niin segmenttien pinta-alojen summa pyrkii kuvion pinta-alaan. Tämä on selvä integraali, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Pisteitä a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi.

« Integraali »

Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus kaikenlaista työtä

Nukkejen integraalien laskentasäännöt

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista epämääräinen integraali? Tässä tarkastellaan määrittelemättömän integraalin ominaisuuksia, joista on hyötyä esimerkkien ratkaisemisessa.

• Integraalin derivaatta on integrand:

• Vakio voidaan ottaa pois integraalimerkin alta:

• Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa. Totta myös eron suhteen:

Definite Integraalin ominaisuudet

• Lineaarisuus:

• Integraalin etumerkki muuttuu, jos integroinnin rajat käännetään:

• klo minkä tahansa pisteitä a, b Ja Kanssa:

Olemme jo havainneet, että määrällinen integraali on summan raja. Mutta miten saada erityinen merkitys esimerkin ratkaisemisessa? Tätä varten on olemassa Newton-Leibnizin kaava:

Esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta

Alla tarkastellaan määrittelemätöntä integraalia ja esimerkkejä ratkaisuineen. Tarjoamme sinulle itsenäisesti ratkaisun monimutkaisuuden ymmärtämisen, ja jos jokin on epäselvää, kysy kysymyksiä kommenteissa.

Aineiston lujittamiseksi katso video, kuinka integraalit ratkaistaan ​​käytännössä. Älä ole epätoivoinen, jos integraalia ei anneta heti. Ota yhteyttä ammattimaiseen opiskelijapalveluun ja mihin tahansa kolminkertaiseen tai kaareva integraali suljetulla pinnalla on voimassasi.

>> >> >> Integrointimenetelmät

Integroinnin perusmenetelmät

Integraalin, määrätyn ja epämääräisen määritelmät, integraalitaulukko, Newton-Leibnizin kaava, integrointi osien mukaan, esimerkkejä integraalien laskemisesta.

Epämääräinen integraali

Olkoon u = f(x) ja v = g(x) funktioita, joilla on jatkuva . Sitten töiden mukaan

d(uv))= udv + vdu tai udv = d(uv) - vdu.

Lausekkeen d(uv) antijohdannainen on ilmeisesti uv, joten kaava tapahtuu:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Tämä kaava ilmaisee säännön integrointi osilla. Se tuo lausekkeen udv=uv"dx integroinnin lausekkeen vdu=vu"dx integraatioon.

Olkoon esimerkiksi, että on löydettävä ∫xcosx dx. Olkoon u = x, dv = cosxdx, joten du=dx, v=sinx. Sitten

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Osien integroinnin säännöllä on rajallisempi ulottuvuus kuin muuttujan muutoksella. Mutta on olemassa kokonaisia ​​integraaliluokkia, esimerkiksi ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ja muita, jotka lasketaan käyttämällä osien integrointia.

Varma integraali

Integrointimenetelmät, otetaan käyttöön määrätyn integraalin käsite seuraavalla tavalla. Olkoon funktio f(x) määritelty aikavälille. Jaetaan jana [ a,b] n osaan pisteillä a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Muodon f(ξ i)Δ x i summaa kutsutaan integraalisummaksi ja sen rajaa kohdassa λ = maxΔx i → 0, jos se on olemassa ja on äärellinen, kutsutaan selvä integraali funktio f(x) a:sta b:hen ja on merkitty:

F(ξ i)Axi (8,5).

Funktiota f(x) kutsutaan tässä tapauksessa integroitavissa segmenttiin, kutsutaan numeroita a ja b integraalin ala- ja yläraja.

Integrointimenetelmät on seuraavat ominaisuudet:

Viimeistä omaisuutta kutsutaan keskiarvon lause.

Olkoon f(x) jatkuva päällä . Sitten tällä segmentillä on määrittelemätön integraali

∫f(x)dx = F(x) + C

ja tapahtuu Newton-Leibnizin kaava, joka yhdistää määrätyn integraalin epämääräiseen:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrinen tulkinta: edustaa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alaa, jota ylhäältä rajoittaa käyrä y=f(x), suorat x = a ja x = b sekä Ox-akselin segmentti.

Väärät integraalit

Integraaleja, joilla on äärettömät rajat, ja epäjatkuvien (rajoittamattomien) funktioiden integraaleja kutsutaan epäsäännöllisiksi. Ensimmäisen tyyppiset väärät integraalit - nämä ovat integraaleja äärettömällä aikavälillä, joka määritellään seuraavasti:

(8.7)

Jos tämä raja on olemassa ja on äärellinen, niin sitä kutsutaan f(x):n suppenevaksi epäsopivaksi integraaliksi välillä [а,+ ∞ ja funktiota f(x) kutsutaan integroitavaksi äärettömällä välillä [а,+ ∞ ). Muussa tapauksessa integraalia ei ole olemassa tai se eroaa.

Välien (-∞,b] ja (-∞, + ∞) väärät integraalit määritellään samalla tavalla:

Määrittelemme rajoittamattoman funktion integraalin käsite. Jos f(x) on jatkuva janan kaikille x-arvoille paitsi c:lle, jossa f(x):llä on ääretön epäjatkuvuus, niin toisen tyypin virheellinen integraali f(x) vaihtelevat a:sta b:hen nimeltään summa:

jos nämä rajat ovat olemassa ja ne ovat rajallisia. Nimitys:

Esimerkkejä integraalien laskemisesta

Esimerkki 3.30. Laske ∫dx/(x+2).

Ratkaisu. Merkitään t = x+2, sitten dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Esimerkki 3.31. Etsi ∫ tgxdx.

Ratkaisu.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Olkoon t=cosx, sitten ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Esimerkki3.33. Löytö .

Ratkaisu. =

.

Esimerkki3.34 . Etsi ∫arctgxdx.

Ratkaisu. Integroimme osittain. Merkitse u=arctgx, dv=dx. Sitten du = dx/(x 2 +1), v=x, josta ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; koska
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Esimerkki3.35 . Laske ∫lnxdx.

Ratkaisu. Käyttämällä osakohtaista integrointikaavaa saamme:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Sitten ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Esimerkki3.36 . Laske ∫e x sinxdx.

Ratkaisu. Käytämme osien integroinnin kaavaa. Merkitään u = e x, dv = sinxdx, sitten du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx on myös integroitavissa osittain: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Meillä on:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Saimme suhteen ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, josta 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Esimerkki 3.37. Laske J = ∫cos(lnx)dx/x.

Ratkaisu Koska dx/x = dlnx, niin J= ∫cos(lnx)d(lnx). Korvaamalla lnx:n kautta t, päästään taulukkointegraaliin J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Esimerkki 3.38 . Laske J = .

Ratkaisu. Ottaen huomioon, että = d(lnx), teemme substituution lnx = t. Sitten J = .

Esimerkki 3.39 . Laske J = .

Ratkaisu. Meillä on: . Siksi =

Mitä varten integraalit ovat? Yritä vastata tähän kysymykseen itsellesi.

Integraalien aihetta selittäessään opettajat listaavat sovellusalueita, joista on vähän hyötyä koulun mielelle. Heidän joukossa:

• laskea kuvion pinta-alaa.
• ruumiinpainon laskeminen epätasaisella tiheydellä.
• Kuljetun matkan määrittäminen liikkuessa muuttuvalla nopeudella.
• jne.

Aina ei ole mahdollista yhdistää kaikkia näitä prosesseja, joten monet opiskelijat hämmentyvät, vaikka heillä olisi kaikki perustiedot integraalin ymmärtämiseen.

Suurin syy tietämättömyyteen– integraalien käytännön merkityksen ymmärtämisen puute.

Integraali - mikä se on?

Edellytykset. Integraation tarve syntyi muinaisessa Kreikassa. Tuolloin Archimedes alkoi käyttää menetelmiä, jotka olivat pohjimmiltaan samanlaisia ​​kuin nykyaikainen integraalilaskenta ympyrän alueen löytämiseksi. Pääasiallinen lähestymistapa epätasaisten lukujen alueen määrittämiseen oli silloin "uupumusmenetelmä", joka on melko helppo ymmärtää.

Menetelmän ydin. Muiden kuvioiden monotoninen sarja on merkitty tähän kuvaan, ja sitten lasketaan niiden pinta-alojen sarjan raja. Tämä raja otettiin annetun kuvan pinta-alaksi.

Tässä menetelmässä integraalilaskennan idea on helppo jäljittää, eli löytää äärettömän summan raja. Myöhemmin tutkijat käyttivät tätä ideaa ratkaistakseen sovelletut tehtävät astronautiikka, taloustiede, mekaniikka jne.

Moderni integraali. Klassisen integraatioteorian muotoilivat yleisesti Newton ja Leibniz. Se nojautui tuolloin olemassa oleviin differentiaalilaskennan lakeihin. Ymmärtääksesi sen, sinulla on oltava perustiedot, jotka auttavat sinua kuvaamaan visuaalisia ja intuitiivisia ideoita integraaleista matemaattisella kielellä.

Selitä "integraalin" käsite

Johdannan löytämisprosessia kutsutaan erilaistuminen ja löytää antijohdannainen - liittäminen.

Integraali matemaattinen kieli on funktion antiderivaata (mikä oli ennen derivaatta) + vakio "C".

Integraali yksinkertaisilla sanoilla on kaarevan hahmon pinta-ala. Epämääräinen integraali on koko alue. Tarkka integraali on alue tietyllä alueella.

Integraali kirjoitetaan näin:

Jokainen integrandi kerrotaan "dx"-komponentilla. Se näyttää, mitä muuttujaa integroidaan. "dx" on argumentin lisäys. X:n sijasta voi olla mikä tahansa muu argumentti, kuten t (aika).

Epämääräinen integraali

Epämääräisellä integraalilla ei ole integroinnin rajoja.

Epämääräisten integraalien ratkaisemiseksi riittää, kun etsit integrandin antiderivaata ja lisäät siihen "C".

Varma integraali

SISÄÄN selvä integraali kirjoita integraation merkkiin rajoitukset "a" ja "b". Ne on merkitty alla olevan kaavion x-akselilla.

Määrätyn integraalin laskemiseksi sinun on löydettävä antiderivaata, korvattava siihen arvot "a" ja "b" ja löydettävä ero. Matematiikassa tätä kutsutaan Newton-Leibnizin kaava:

Integraalitaulukko opiskelijoille (peruskaavat)

Lataa integraalien kaavat, ne ovat edelleen hyödyllisiä sinulle

Kuinka laskea integraali oikein

Integraalien muuntamiseen on useita yksinkertaisia ​​operaatioita. Tässä ovat tärkeimmät:

Vakion poistaminen integraalimerkin alta

Integraalin summan hajottaminen integraalien summaksi

Jos vaihdat a:n ja b:n, etumerkki muuttuu

Voit jakaa integraalin intervalleiksi seuraavasti

Nämä ovat yksinkertaisimpia ominaisuuksia, joiden perusteella muotoillaan myöhemmin monimutkaisempia lauseita ja laskentamenetelmiä.

Esimerkkejä integraalien laskemisesta

Epämääräisen integraalin ratkaiseminen

Määrätyn integraalin ratkaiseminen

Peruskäsitteet aiheen ymmärtämiseen

Jotta ymmärrät integraation olemuksen etkä sulje sivua väärinymmärryksistä, selitämme joukon peruskäsitteitä. Mikä on funktio, derivaatta, raja ja antiderivaatti.

Toiminto- sääntö, jonka mukaan kaikki yhden joukon elementit liittyvät kaikkiin toisen joukon alkioihin.

Johdannainen on funktio, joka kuvaa toisen funktion muutosnopeutta kussakin tietyssä pisteessä. Tarkkaan ottaen tämä on funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen raja. Se lasketaan manuaalisesti, mutta on helpompi käyttää johdannaistaulukkoa, joka sisältää suurimman osan vakiofunktioista.

Lisäys- funktion määrällinen muutos argumentin muutoksella.

Raja- arvo, johon funktion arvo pyrkii, kun argumentti pyrkii tiettyyn arvoon.

Esimerkki rajasta: oletetaan, että kun X on 1, Y on yhtä suuri kuin 2. Mutta entä jos X ei ole yhtä suuri kuin 1, vaan pyrkii 1:een, eli ei koskaan saavuta sitä? Tässä tapauksessa y ei koskaan saavuta 2:ta, vaan pyrkii vain tähän arvoon. Matemaattisessa kielessä tämä kirjoitetaan seuraavasti: limY (X), jossa X –> 1 = 2. Se luetaan: funktion Y (X) raja, kun x pyrkii 1:een, on 2.

Kuten jo mainittiin, derivaatta on funktio, joka kuvaa toista funktiota. Alkuperäinen funktio voidaan johtaa jostain muusta funktiosta. Tätä toista toimintoa kutsutaan primitiivinen.

Johtopäätös

Integraalien löytäminen ei ole vaikeaa. Jos et ymmärrä miten se tehdään, . Toisesta kerrasta lähtien se tulee selvemmäksi. Muistaa! Integraalien ratkaisu rajoittuu yksinkertaisiin integrandin muunnoksiin ja sen etsimiseen .

Jos tekstiselitys ei toimi sinulle, katso video integraalin ja derivaatan merkityksestä:

Integraalit - mikä se on, miten se ratkaistaan, esimerkkejä ratkaisuista ja selitys nukkeille päivitetty: 22. marraskuuta 2019: Tieteelliset artikkelit.Ru