Пресечната точка на страните на трапеца. Трапецовидни диагонали. Най-важните свойства и формули

- (гръцки трапец). 1) в геометрията на четириъгълник, в който две страни са успоредни, но две не са. 2) фигура, пригодена за гимнастически упражнения. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIA ... ... Речник на чуждите думи на руския език

Трапец- Трапец. ТРАПЕЦИЯ (от гръцки trapezion, буквално маса), изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни (основите на трапец). Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите ( средна линия) до височината. … Илюстрован енциклопедичен речник

Четириъгълник, снаряд, напречна греда Речник на руските синоними. трапец n., брой синоними: 3 напречна греда (21) ... Речник на синонимите

- (от гръцки trapezion, буквално маса), изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни (основите на трапец). Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите (средна линия) и височината ... Съвременна енциклопедия

- (от гръцките трапец букви. маса), четириъгълник, в който две противоположни страни, наречени основи на трапеца, са успоредни (AD и BC на фигурата), а другите две не са успоредни. Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца (при ... ... Голям енциклопедичен речник

ТРАПЕЦ, квадрат плоска фигуракъдето две срещуположни страни са успоредни. Площта на трапец е половината от сумата на успоредните страни, умножена по дължината на перпендикуляра между тях... Научно-технически енциклопедичен речник

ТРАПЕЦ, трапец, женски. (от гръцката маса трапец). 1. Четириъгълник с две успоредни и две неуспоредни страни (мат.). 2. Гимнастически уред, състоящ се от напречна греда, окачена на две въжета (спорт.). Акробатичен…… РечникУшаков

TRAPEZIA, и съпруги. 1. Четириъгълник с две успоредни и две неуспоредни страни. Основи на трапец (успоредните му страни). 2. Цирков или гимнастически снаряд, напречна греда, окачена на два кабела. Обяснителен речник на Ожегов. С… Обяснителен речник на Ожегов

Жена, геом. четириъгълник с неравни страни, от които две са постени (успоредни). Трапецът е подобен четириъгълник, в който всички страни са раздалечени. Трапезоедър, тяло, изсечено от трапец. Обяснителен речник на Дал. В И. Дал. 1863 1866 ... Обяснителен речник на Дал

- (Трапец), САЩ, 1956, 105 мин. Мелодрама. Амбициозният акробат Тино Орсини влиза в цирковата трупа, където работи Майк Рибъл, известен в миналото артист на трапец. Веднъж Майк свири с бащата на Тино. Младият Орсини иска Майк... ... Енциклопедия на киното

Четириъгълник с две успоредни страни и две други неуспоредни страни. Разстояние между успоредни страни. височина T. Ако успоредните страни и височината съдържат a, b и h метри, тогава площта T. съдържа квадратни метри ... Енциклопедия на Брокхаус и Ефрон

Книги

• Комплект маси. Геометрия. 8 клас. 15 таблици + методика, . Таблиците са отпечатани върху плътен полиграфически картон с размери 680 х 980 мм. Брошура с насокиза учителя. Образователен албум от 15 листа. Многоъгълници...
• Комплект маси. Математика. Многоъгълници (7 таблици) , . Образователен албум от 7 листа. Изпъкнали и неизпъкнали многоъгълници. Четириъгълници. Успоредник и трапец. Признаци и свойства на успоредник. Правоъгълник. Ромб. Квадрат. Квадрат…

„ОДОБРЕНО“

Ръководител на отделна дисциплина

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крилова _____________

"___" _____________ 2015 г

« Трапец и неговите свойства»

Методическа разработка

учител по математика

Шаталина Елена Дмитриевна

Счита се и

на срещата на PMO от _______________

Протокол №______

Москва

2015 г

Съдържание

Въведение 2

Дефиниции 3

Имоти равнобедрен трапец 4

Вписана и описана окръжност 7

Свойства на вписани и описани трапеци 8

Средни стойности в трапец 12

Свойства на произволен трапец 15

Знаци на трапец 18

Допълнителни конструкции в трапец 20

Площ на трапец 25

10. Заключение

Библиография

Приложение

Доказателства за някои свойства на трапец 27

Задачи за самостоятелна работа

Задачи по темата "Трапец" с повишена сложност

Контролен тест по темата "Трапец"

Въведение

Тази работа е посветена на геометрична фигура, наречена трапец. „Обикновена фигура“, казвате вие, но не е така. Той съдържа много тайни и мистерии, ако се вгледате внимателно и се задълбочите в изучаването му, ще откриете много нови неща в света на геометрията, задачи, които не сте решавали досега, ще ви се сторят лесни.

Трапец - гръцката дума trapezion - "маса". Заеми. през 18 век от лат. яз., където trapezion е гръцки. Това е четириъгълник с две противоположни страни, успоредни. Трапецът е открит за първи път от древногръцкия учен Посидоний (2 век пр.н.е.). В нашия живот има много различни фигури. В 7 клас се запознахме отблизо с триъгълника, в 8 клас, училищна програмазапочнахме да изучаваме трапеца. Тази цифра ни заинтересува, а в учебника е написано невероятно малко за нея. Затова решихме да вземем този въпрос в свои ръце и да намерим информация за трапеца. неговите свойства.

В статията се разглеждат свойствата, познати на учениците от материала, разгледан в учебника, но в по-голяма степен непознати свойства, които са необходими за решаване на сложни задачи. Колкото по-голям е броят на задачите за решаване, толкова повече въпроси възникват при решаването им. Отговорът на тези въпроси понякога изглежда като мистерия, научавайки нови свойства на трапеца, необичайни методи за решаване на проблеми, както и техниката на допълнителни конструкции, ние постепенно откриваме тайните на трапеца. В интернет, ако вкарате в търсачка, има много малко литература за методи за решаване на проблеми по темата „трапец“. В процеса на работа по проекта беше намерено голямо количество информация, която ще помогне на учениците при задълбочено изучаване на геометрията.

Трапец.

Дефиниции

Трапец Четириъгълник само с една двойка страни е успоредна (а другата двойка страни не е успоредна).

Успоредните страни на трапеца се наричатоснования. Другите две са страничните .
Ако страните са равни, се нарича трапецравнобедрен.

Нарича се трапец, чиято страна има прави ъглиправоъгълен .

Отсечката, свързваща средите на страните, се наричасредната линия на трапеца.

Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца.

2 . Свойства на равнобедрен трапец

3. Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

4

1
0. Проекцията на страничната страна на равнобедрен трапец върху по-голямата основа е равна на полуразликата на основите, а проекцията на диагонала е равна на сбора от основите.

3. Вписана и описана окръжност

Ако сборът от основите на трапец е равен на сбора от страните, тогава в него може да се впише окръжност.

д
Ако трапецът е равнобедрен, тогава около него може да бъде описана окръжност.

4 . Свойства на вписани и описани трапеци

2. Ако в равнобедрен трапец може да се впише окръжност, то

сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните. Следователно дължината на страничната страна е равна на дължината на средната линия на трапеца.

4 . Ако кръгът е вписан в трапец, тогава страните от неговия център се виждат под ъгъл от 90 °.

E ако в трапец е вписана окръжност, която докосва една от страните, го разделя на сегменти ми н , тогава радиусът на вписаната окръжност е равен на средното геометрично на тези сегменти.

1

0 . Ако окръжността е построена върху по-малката основа на трапеца като диаметър, минава през средните точки на диагоналите и докосва долната основа, то ъглите на трапеца са 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средни стойности в трапец

средно геометрично

Във всеки трапец с основи а И b За а > bнеравенството :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства на произволен трапец

1
. Средите на диагоналите на трапеца и средите на страните лежат на една права линия.

Пресечната точка на продължението на страните на произволен трапец, пресечната точка на неговите диагонали и средите на основите лежат на една права линия.

6. Сумата от квадратите на диагоналите на произволен трапец е равна на сумата от квадратите на страните, добавена към удвоения продукт на основите.

д 1 2 + д 2 2 = ° С 2 + д 2 + 2 аб

7
. В правоъгълен трапец разликата на квадратите на диагоналите е равна на разликата на квадратите на основите д 1 2 - д 2 2 = а 2 – b 2

8 . Правите линии, пресичащи страните на ъгъла, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла.

9. Сегмент, успореден на основите и минаващ през точката на пресичане на диагоналите, се разделя от последния наполовина.

7. Признаци на трапец

8 . Допълнителни конструкции в трапец

1. Сегментът, свързващ средните точки на страните, е средната линия на трапеца.

2
. Отсечка, успоредна на една от страните на трапец, единият край на който съвпада със средата на другата страна, а другият принадлежи на правата, съдържаща основата.

3
. Дадени са всички страни на трапец, през върха на по-малката основа е начертана права линия, успоредна на страничната страна. Получава се триъгълник със страни, равни на страните на трапеца и разликата в основите. Според формулата на Heron се намира площта на триъгълника, след това височината на триъгълника, която е равна на височината на трапеца.

4

. Височината на равнобедрен трапец, изтеглена от върха на по-малката основа, разделя по-голямата основа на сегменти, единият от които е равен на полуразликата на основите, а другият на полусумата от основите на трапец, тоест средната линия на трапеца.

5. Височините на трапеца, спуснати от върховете на едната основа, се отрязват на права линия, съдържаща другата основа, отсечка, равна на първата основа.

6
. Отсечка, успоредна на един от диагоналите на трапец, е начертана през връх - точка, която е краят на друг диагонал. Резултатът е триъгълник с две страни, равни на диагоналите на трапеца, а третата - равна на сбора от основите

7
.Отсечката, свързваща средите на диагоналите, е равна на полуразликата на основите на трапеца.

8. Ъглополовящите на ъглите, съседни на една от страните на трапеца, те са перпендикулярни и се пресичат в точка, лежаща на средната линия на трапеца, т.е. когато се пресичат, се образува правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на страна.

9. Симетралата на ъгъла на трапец отсича равнобедрен триъгълник.

1
0. Диагоналите на произволен трапец в пресечната точка образуват два подобни триъгълника с коефициент на подобие, равен на отношението на основите, и два равни триъгълника, съседни на страните.

1
1. Диагоналите на произволен трапец в пресечната точка образуват два подобни триъгълника с коефициент на подобие, равен на съотношението на основите, и два равни триъгълника, съседни на страните.

1
2. Продължаването на страните на трапеца до пресечната точка позволява да се разглеждат подобни триъгълници.

13. Ако в равнобедрен трапец е вписана окръжност, тогава се начертава височината на трапеца - средно геометричното произведение на основите на трапеца или двойното средно геометрично произведение на страничните сегменти, на които той е разделен от точката на контакт.

9. Площ на трапец

1 . Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината С = ½( а + b) чили

П

Площта на трапеца е равна на произведението на средната линия на трапеца и височината С = м ч .

2. Площта на трапец е равна на произведението на страна и перпендикуляр, изтеглен от средата на другата страна към линията, съдържаща първата страна.

Площта на равнобедрен трапец с радиус на вписан кръг, равен на rи ъгъл в основатаα :

10. Заключение

КЪДЕ, КАК И ЗА КАКВО СЕ ИЗПОЛЗВА ТРАПЕЦЪТ?

Трапец в спорта: Трапецът със сигурност е прогресивно изобретение на човечеството. Той е предназначен да облекчи ръцете ни, да направи ходенето на уиндсърф удобно и лесно. Ходенето на къса дъска изобщо няма смисъл без трапец, тъй като без него е невъзможно правилното разпределение на тягата между стъпките и краката и ефективното ускоряване.

Трапецът в модата: Трапецът в дрехите е бил популярен през Средновековието, в романската епоха от 9-11 век. По това време основата на женското облекло бяха туники с дължина до пода, туниката силно се разширяваше към дъното, което създаваше ефекта на трапец. Възраждането на силуета става през 1961 г. и се превръща в химн на младостта, независимостта и изтънчеността. огромна ролякрехкият модел Лесли Хорнби, известен като Туиги, участва в популяризирането на трапеца. Ниско момиче с анорексична физика и огромни очи се превърна в символ на епохата, а любимите й тоалети бяха къси трапецовидни рокли.

Трапец в природата: Трапецът също се среща в природата. Човек има трапецовиден мускул, при някои хора лицето има формата на трапец. Венчелистчетата, съзвездията и разбира се планината Килиманджаро също имат формата на трапец.

Трапец в ежедневието: Трапецът се използва и в ежедневието, защото формата му е практична. Намира се в предмети като: багерна кофа, маса, винт, машина.

Трапецът е символ на архитектурата на инките. Доминиращата стилистична форма в архитектурата на инките е простата, но изящна, трапецът. Той има не само функционална стойност, но и строго ограничен художествен дизайн. Трапецовидни врати, прозорци и стенни ниши се срещат в сгради от всякакъв тип, както в храмове, така и в по-малко значими сгради, по-груби, така да се каже, сгради. Трапецът се среща и в съвременната архитектура. Тази форма на сгради е необичайна, така че такива сгради винаги привличат погледите на минувачите.

Трапец в инженерството: Трапецът се използва при проектирането на части в космическите технологии и в авиацията. Например някои слънчеви панели космически станцииимат формата на трапец, тъй като имат голяма площ, което означава, че акумулират повече слънчеви ен

В 21 век хората почти не се замислят за смисъла на геометрични формив техния живот. Изобщо не ги интересува каква е формата на масата, чашите или телефона им. Те просто избират формата, която е практична. Но използването на предмета, неговата цел, резултатът от работата може да зависи от формата на това или онова нещо. Днес ви запознахме с едно от най-големите постижения на човечеството – трапецът. Ние отворихме вратата за вас прекрасен святфигури, ви разкри тайните на трапеца и показа, че геометрията е около нас.

Библиография

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Теория и проблеми на математиката. книга 1 Урокза кандидатстващи М.1998 Издателство МЕИ.

Биков А.А., Малишев Г.Ю., Факултет за предуниверситетско обучение. Математика. Учебно помагало 4 част М2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Задачна книга.

Иванов А.А.,. Иванов A.P., Математика: Ръководство за подготовка за Единен държавен изпит и влизане в университети-M: Издателство на MIPT, 2003-288s. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т. С., Федерален държавен бюджет на Министерството на образованието и науката на Руската федерация образователна институция допълнително образованиедеца "ZFTSh на Московския физико-технологичен институт ( държавен университет)". Математика. Планиметрия. Задачи № 2 за 10 клас (2012-2013 учебна година).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (част 1).Математическа енциклопедия на абитуриента. М., Издателство на Руския открит университет 1992 г.

Шаригин И. Ф. Избрани проблеми по геометрията на конкурсните изпити в университетите (1987-1990 г.) Лвовско списание Quantor 1991 г.

Енциклопедия "Аванта плюс", Математика М., Светът на енциклопедиите Аванта 2009 г.

Приложение

1. Доказателство за някои свойства на трапец.

1. Права линия, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапец, успоредна на основите му, пресича страните на трапеца в точкиК И Л . Докажете, че ако основите на трапец са равни А И b , Че дължина на сегмента KL равно на средното геометрично на основите на трапеца. Доказателство

ПозволявамОТНОСНО - точка на пресичане на диагоналите,AD = а, слънце = b . Директен KL успоредно на основатаAD , следователно,К ОТНОСНО║ AD , триъгълнициIN К ОТНОСНО Илошо подобни, следователно

(1)

(2)

Заместете (2) в (1), получаваме КО=

по същия начин LO= Тогава К Л = КО + LO =

IN за всеки трапец, средните точки на основите, точката на пресичане на диагоналите и точката на пресичане на продължението на страните лежат на една и съща права линия.

Доказателство: Нека продълженията на страните се пресичат в точкаДА СЕ. Чрез точкатаДА СЕ и точкаОТНОСНО диагонални пресичанияначертайте права линия КО.

К

Нека покажем, че тази права дели основите наполовина.

ОТНОСНО обозначавамVM = x, MS = y, АН = И, ND = v . Ние имаме:

∆ VKM ~ ∆AKN →

М

х

б

° С

Y

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общи признации свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите нещата в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапец може да се пропусне височината - перпендикулярна на основите. Начертани са средната линия и диагоналите. И също така от всеки ъгъл на трапеца е възможно да се начертае ъглополовяща.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Пред нас е същият трапец на ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и IOC, образувани от отсечките на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство на k триъгълника се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
   Отношението на площите на триъгълниците AOE и IOC се описва с коефициента k 2 .
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка O. Само този път ще разгледаме триъгълници, които диагоналните сегменти образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са равни – повърхнините им са еднакви.
4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължим страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в някаква точка. След това начертайте права линия през средните точки на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще съедини точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средните точки на основите на X и T.
5. Чрез точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа на KM, X - на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OH = KM/AE.
6. И сега през точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент, като използвате формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на ъглополовящата на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Вземете, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, лесно можете да видите, че ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
2. Свържете средните точки на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на TX сегмента е лесна за изчисляване въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Ако през страните на ъгъла на трапец се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка от основите са равни.
2. Сега изградете отново трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само в близост до равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като предпоставка за това е сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник 180 0 .
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако около трапец може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
7. Начертайте линията TX отново през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец тя е перпендикулярна на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път по-ниска до по-голямата основа (да я наречем a) височината от срещуположния връх на трапеца. Ще получите две разфасовки. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a+b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално къде е центърът на окръжността спрямо трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив и да нарисувате това, което ще бъде обсъдено по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагонал може да излезе от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно по средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната могат да се срещнат под остър ъгъл- тогава центърът на кръга е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страничната му страна.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл) е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½MY.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R \u003d AE / 2 * sinAME. По същия начин формулата може да бъде написана за всяка от страните на двата триъгълника.
6. Метод втори: намираме радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да впишете кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
2. За трапец ACME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да се впише окръжност, сборът от основите на който е равен на сбора от страните.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страничната страна на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте сами този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страните, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страните на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца е същата като диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, един от ъглите на който е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. Правоъгълният трапец има една от страните, перпендикулярна на основите.
2. Височината и страната на трапеца, съседна на правия ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
3. За правоъгълен трапец общите свойства на вече описаните по-горе диагонали на трапеца са от значение.

Доказателства за някои свойства на трапец

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече се досетихте, че тук отново се нуждаем от трапец ACME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Където AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапец ACME е равнобедрен:

• Като начало нека начертаем права линия МХ – МХ || KE. Получаваме успоредник KMHE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMH е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM \u003d KE и AE е общата страна на двата триъгълника. А също и MAE \u003d MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а оттам следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страната на KA, равна на 8 cm, образува ъгъл 150 0 с по-малка основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината към по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Което означава, че сборът им е 1800. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойствата на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълника ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KH - в триъгълник това е катет, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички горни свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но сами видяхте, че разликата е огромна.

Сега имате подробно резюме на всички общи имотитрапец. Както и специфични свойства и особености на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Затова ще се обадим на един от тях голям , второ - малка база трапец. Височина трапец може да се нарече всеки сегмент от перпендикуляр, изтеглен от върховете към съответната противоположна страна (за всеки връх има две противоположни страни), затворен между взетия връх и противоположната страна. Но е възможно да се отдели "специален тип" височини.
Определение 8. Височината на основата на трапец е отсечката от права линия, перпендикулярна на основите, заградена между основите.
Теорема 7 . Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на техния полусбор.
Доказателство. Нека са дадени трапецът ABCD и средната линия KM. Начертайте права през точки B и M. Продължаваме страната AD през точка D до пресичането й с BM. Триъгълниците BCm и MPD са равни по страна и два ъгъла (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - припокриване, ∠ BMC=∠ DMP - вертикално), следователно VM=MP или точка M е средата на BP. KM е средната линия в триъгълника ABP. Според свойството на средната линия на триъгълника KM е успоредна на AP и в частност AD и е равна на половината от AP:

Теорема 8 . Диагоналите разделят трапеца на четири части, две от които, съседни на страните, са равни.
Нека ви напомня, че фигурите се наричат ​​равни, ако имат еднаква площ. Триъгълниците ABD и ACD са еднакви по големина и имат еднакви височини(посочен в жълто) и обща основа. Тези триъгълници имат обща част AOD. Тяхната площ може да бъде разширена, както следва:

Видове трапец:
Определение 9. (Фигура 1) Остроъгълният трапец е трапец, в който ъглите, съседни на по-голямата основа, са остри.
Определение 10. (Фигура 2) Тъп трапец е трапец, в който един от ъглите, съседни на по-голямата основа, е тъп.
Определение 11. (Фигура 4) Трапецът се нарича правоъгълен, в който едната страна е перпендикулярна на основите.
Определение 12. (Фигура 3) Равнобедрен (равнобедрен, равнобедрен) е трапец, в който страните са равни.

Свойства на равнобедрен трапец:
Теорема 10 . Ъглите, прилежащи към всяка от основите на равнобедрен трапец, са равни.
Доказателство. Нека докажем например равенството на ъгли A и D с по-голяма основа AD на равнобедрен трапец ABCD. За целта прекарваме права линия през точка C, успоредна на страничната страна AB. Той ще пресече голямата основа в точка M. Четириъгълникът ABCM е успоредник, т.к. по конструкция има две двойки успоредни страни. Следователно отсечката CM от секущата, затворена вътре в трапеца, е равна на неговата странична страна: CM=AB. Оттук се вижда, че CM=CD, триъгълникът CMD е равнобедрен, ∠CMD=∠CDM и следователно ∠A=∠D Ъглите, прилежащи към по-малката основа, също са равни, т.к. са за намерени вътрешни едностранни и имат сбор от две линии.
Теорема 11 . Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.
Доказателство. Да разгледаме триъгълниците ABD и ACD. Той е равен на двете страни и ъгъла между тях (AB=CD, AD е общ, ъглите A и D са равни по теорема 10). Следователно AC=BD.

Теорема 13 . Диагоналите на равнобедрен трапец се разделят от пресечната точка на съответно равни сегменти. Да разгледаме триъгълниците ABD и ACD. Той е равен на двете страни и ъгъла между тях (AB=CD, AD е общ, ъглите A и D са равни по теорема 10). Следователно ∠ ОАД=∠ ОDA, следователно ъглите ОВС и OSV са равни като съответно припокриващи се ъгли ODA и ОAD. Припомнете си теоремата: ако два ъгъла в един триъгълник са равни, то той е равнобедрен, следователно триъгълниците ОВС и ОAD са равнобедрени, което означава OS=OB и ОА=OD и т.н.
Равнобедреният трапец е симетрична фигура.
Определение 13. Оста на симетрия на равнобедрен трапец се нарича права, минаваща през средните точки на основите му.
Теорема 14 . Оста на симетрия на равнобедрен трапец е перпендикулярна на основите му.
В теорема 9 доказахме, че правата, свързваща средите на основите на трапец, минава през пресечната точка на диагоналите. След това (теорема 13) доказахме, че триъгълниците AOD и BOC са равнобедрени. OM и OK са съответно медианите на тези триъгълници по дефиниция. Спомнете си свойството на равнобедрен триъгълник: медианата на равнобедрен триъгълник, спусната до основата, е и височината на триъгълника. Поради перпендикулярността на основите на частите на правата KM, оста на симетрия е перпендикулярна на основите.
Признаци, които отличават равнобедрен трапец сред всички трапеции:
Теорема 15 . Ако ъглите, прилежащи към една от основите на трапец, са равни, тогава трапецът е равнобедрен.
Теорема 16 . Ако диагоналите на трапеца са равни, тогава трапецът е равнобедрен.
Теорема 17 . Ако страничните страни на трапеца, разширени до пресечната точка, образуват равнобедрен триъгълник заедно с голямата си основа, тогава трапецът е равнобедрен.
Теорема 18 . Ако трапецът може да бъде вписан в окръжност, то той е равнобедрен.
Знак на правоъгълен трапец:
Теорема 19 . Всеки четириъгълник със само два прави ъгъла в съседни върхове е правоъгълен трапец (очевидно е, че двете страни са успоредни, тъй като едностранните са равни. в случая, когато три прави ъгъла са правоъгълник)
Теорема 20 . Радиусът на окръжност, вписана в трапец, е равен на половината от височината на основата.
Доказателството на тази теорема е да обясни, че радиусите, начертани към основите, лежат на височината на трапеца. От точката O - центърът на окръжността ABCD, вписана в този трапец, прекарваме радиусите до точките на допир с основите му на трапеца. Както знаете, радиусът, начертан към точката на контакт, е перпендикулярен на тангентата, следователно OK ^ BC и OM ^ AD. Припомнете си теоремата: ако една права е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на втората. Следователно правата OK също е перпендикулярна на AD. Така две прави, перпендикулярни на правата AD, минават през точката O, което не може да бъде, следователно тези прави съвпадат и съставляват общия перпендикуляр KM, който е равен на сумата от два радиуса и е диаметърът на вписаната окръжност, следователно r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 21 . Площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината на основите.

Доказателство:Нека ABCD е даден трапец и AB и CD са неговите основи. Нека също AH е височината, спусната от точка A до правата CD. Тогава S ABCD = S ACD + S ABC.
Но S ACD = 1/2AH CD и S ABC = 1/2AH AB.
Следователно S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Втората формула е преместена от четириъгълника.

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:

• образователен- въвеждат понятието трапец, запознават се с видовете трапец, изучават свойствата на трапеца, учат учениците да прилагат придобитите знания в процеса на решаване на проблеми;
• развиващи се- развитието на комуникативните качества на учениците, развитието на способността да провеждат експеримент, да обобщават, да правят изводи, развитието на интерес към темата.
• образователен- да образова внимание, да създаде ситуация на успех, радост от преодоляването на трудностите сами, да развие у учениците нуждата от себеизразяване чрез различни видове работа.

Форми на работа:фронтална, парна баня, групова.

Форма на организация на заниманията на децата:способността да слушате, да изграждате дискусия, да изразявате идея, въпрос, допълнение.

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, екран. На ученически маси: кроен материал за изработване на трапец за всеки ученик на чина; карти със задачи (разпечатки на чертежи и задачи от конспекта на урока).

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Организационен момент

Поздрав, проверка на готовността на работното място за урока.

II. Актуализация на знанията

• развитие на умения за класифициране на обекти;
• открояване на основните и второстепенни признаци в класификацията.

Разгледана е фигура No1.

Следва обсъждане на чертежа.
От какво е направена тази геометрична фигура? Момчетата намират отговора в снимките: [от правоъгълник и триъгълници].
Какви трябва да бъдат триъгълниците, които образуват трапец?
Изслушват се и се обсъждат всички мнения, избира се един вариант: [триъгълниците трябва да са правоъгълни].
Как се образуват триъгълници и правоъгълници? [Така че противоположните страни на правоъгълника да съвпадат с крака на всеки от триъгълниците].
Какво знаете за противоположните страни на правоъгълник? [Те са успоредни].
- Значи в този четириъгълник ще има успоредни страни? [Да].
- Колко са там? [Две].
След дискусията учителят демонстрира „царицата на урока“ – трапеца.

III. Обяснение на нов материал

1. Дефиниция на трапец, елементи на трапец

• учат учениците да определят трапец;
• назовава елементите му;
• развитие на асоциативна памет.

- Сега се опитайте да дадете пълна дефиниция на трапеца. Всеки ученик мисли за отговора на въпроса. Те обменят мнения по двойки, подготвят единичен отговор на въпроса. Устен отговор дава един ученик от 2-3 двойки.
[Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни].

Как се наричат ​​страните на трапец? [Успоредните страни се наричат ​​основи на трапеца, а другите две се наричат ​​страни].

Учителят предлага да сгънете трапец от изрязани фигури. Учениците работят по двойки и сглобяват частите. Е, ако двойките ученици са с различни нива, тогава един от учениците е консултант и помага на приятел в случай на затруднение.

- Изградете трапец в тетрадки, запишете имената на страните на трапеца. Задавайте въпроси за рисунката на съседа си, слушайте отговорите му, докладвайте отговорите си.

Историческа справка

"трапец"- гръцката дума, която в древността е означавала "маса" (на гръцки "trapedzion" означава маса, маса за хранене. Геометричната фигура е наречена така поради приликата си с малка маса.
В „Началата“ (на гръцки Στοιχεῖα, на латински Elementa) е основното произведение на Евклид, написано около 300 г. пр.н.е. д. и посветен на систематичното изграждане на геометрията) терминът "трапец" се използва не в съвременния, а в различен смисъл: всеки четириъгълник (не успоредник). „Трапец“ в нашия смисъл се срещат за първи път при древногръцкия математик Посидоний (Ив.). През Средновековието, според Евклид, всеки четириъгълник (не успоредник) се е наричал трапец; едва през XVIII век. думата придобива съвременен смисъл.

Построяване на трапец по зададените му елементи. Момчетата изпълняват задачите на карта номер 1.

Учениците трябва да конструират трапеции на различни места и стилове. В стъпка 1 трябва да изградите правоъгълен трапец. В параграф 2 става възможно да се изгради равнобедрен трапец. В параграф 3 трапецът ще "лежи на една страна". В параграф 4 чертежът предвижда изграждането на такъв трапец, в който една от основите се оказва необичайно малка.
Учениците "изненадват" учителя с различни фигури, носещи едно общо име - трапец. Учителят демонстрира възможни варианти за конструиране на трапец.

Задача 1. Два трапеца ще бъдат ли равни, ако една от основите и двете страни са равни съответно?
Обсъдете решението на проблема в групи, докажете правилността на разсъжденията.
Един ученик от групата рисува на дъската, обяснява хода на разсъждението.

2. Видове трапец

• развитие на двигателната памет, способността да се разбива трапец на известни фигури, необходими за решаване на проблеми;
• развитие на умения за обобщаване, сравняване, дефиниране по аналогия, излагане на хипотези.

Разгледайте фигурата:

- Каква е разликата между трапеца, показан на фигурата?
Момчетата забелязаха, че видът на трапеца зависи от вида на триъгълника, разположен отляво.
- Довършете изречението:

Трапецът се нарича правоъгълен, ако...
Трапецът се нарича равнобедрен, ако...

3. Свойства на трапец. Свойства на равнобедрен трапец.

• представяне, по аналогия с равнобедрен триъгълник, на хипотеза за свойството на равнобедрен трапец;
• развитие на аналитични умения (сравняване, хипотеза, доказване, изграждане).

• Отсечката, свързваща средите на диагоналите, е равна на полуразликата на основите.
• Равнобедреният трапец има равни ъгли за всяка основа.
• Равнобедреният трапец има равни диагонали.
• В равнобедрен трапец височината, спусната от върха към по-голямата основа, го разделя на два сегмента, единият от които е равен на половината от сбора на основите, а другият е половината от разликата на основите.

Задача 2.Докажете, че в равнобедрен трапец: а) ъглите при всяка основа са равни; б) диагоналите са равни. За да докажем тези свойства на равнобедрен трапец, припомняме признаците за равенство на триъгълниците. Учениците изпълняват задачата в групи, обсъждат, записват решението в тетрадка.
По един ученик от всяка група прави доказателството на дъската.

4. Упражнение за внимание

5. Примери за използване на трапецовидни форми в ежедневието:

• в интериора (дивани, стени, окачени тавани);
• в ландшафтен дизайн (граници на тревни площи, изкуствени резервоари, камъни);
• в модната индустрия (дрехи, обувки, аксесоари);
• в дизайна на ежедневни предмети (лампи, чинии, използване на трапецовидни форми);
• в архитектурата.

Практическа работа(според опциите).

– В една координатна система да се построят равнобедрени трапеци, като се използват дадените три върха.

Вариант 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) и (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4) ; - 3) , (…;…).
Вариант 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) и (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (...; ...).

– Определете координатите на четвъртия връх.
Решението се проверява и коментира от целия клас. Учениците посочват координатите на четвъртата намерена точка и устно се опитват да обяснят защо дадените условия определят само една точка.

Интересна задача.Сгънете трапец от: а) четири правоъгълни триъгълника; б) от три правоъгълни триъгълника; в) два правоъгълни триъгълника.

IV. Домашна работа

• възпитание на правилно самочувствие;
• създаване на ситуация на „успех“ за всеки ученик.

т. 44, да знае определението, елементи на трапец, неговите видове, да знае свойствата на трапеца, да може да ги докаже, № 388, № 390.

v. Обобщение на урока. В края на урока на децата се дава профил,което ви позволява да извършвате самоанализ, да давате качествена и количествена оценка на урока .