Koncept maximálneho a minima bodov funkcie je príkladom. Ako nájsť maximálny a minimálny bod funkcie. Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie

Funkcia a štúdium jej vlastností je jednou z kľúčových kapitol modernej matematiky. Hlavnou súčasťou každej funkcie sú grafy zobrazujúce nielen jej vlastnosti, ale aj parametre derivácie tejto funkcie. Poďme sa pozrieť na túto ošemetnú tému. Aký je teda najlepší spôsob, ako nájsť maximálny a minimálny bod funkcie?

Funkcia: Definícia

Každá premenná, ktorá nejakým spôsobom závisí od hodnôt inej veličiny, sa môže nazývať funkciou. Napríklad funkcia f(x 2) je kvadratická a určuje hodnoty pre celú množinu x. Povedzme, že x = 9, potom sa hodnota našej funkcie bude rovnať 9 2 = 81.

Funkcie prichádzajú v rôznych typoch: logické, vektorové, logaritmické, trigonometrické, numerické a iné. Do ich štúdia sa zapojili také vynikajúce mysle ako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Ich spisy slúžia ako opora v moderných spôsoboch štúdia funkcií. Pred nájdením minimálneho počtu bodov je veľmi dôležité pochopiť samotný význam funkcie a jej derivácie.

Derivát a jeho úloha

Všetky funkcie sú závislé na svojich premenných, čo znamená, že svoju hodnotu môžu kedykoľvek zmeniť. Na grafe to bude znázornené ako krivka, ktorá buď klesá alebo stúpa pozdĺž osi y (toto je celá množina čísel "y" pozdĺž vertikály grafu). A tak s týmito „osciláciami“ súvisí práve definícia bodu maxima a minima funkcie. Vysvetlíme si, aký je tento vzťah.

Derivácia ľubovoľnej funkcie je vykreslená, aby sa študovali jej hlavné charakteristiky a vypočítalo sa, ako rýchlo sa funkcia mení (tj mení svoju hodnotu v závislosti od premennej "x"). V momente, keď sa funkcia zväčší, zväčší sa aj graf jej derivácie, ale každú sekundu sa funkcia môže začať zmenšovať a potom sa graf derivácie zmenší. Tie body, pri ktorých derivácia prechádza z mínusu do plusu, sa nazývajú minimálne body. Aby ste vedeli, ako nájsť minimálny počet bodov, mali by ste tomu lepšie rozumieť

Ako vypočítať deriváciu?

Z definície a funkcií vyplýva niekoľko pojmov z roku Vo všeobecnosti sa dá vyjadriť samotná definícia derivátu nasledujúcim spôsobom: toto je hodnota, ktorá udáva rýchlosť zmeny funkcie.

Matematický spôsob jeho definovania sa pre mnohých študentov zdá komplikovaný, no v skutočnosti je všetko oveľa jednoduchšie. Je len potrebné postupovať podľa štandardného plánu na nájdenie derivácie ľubovoľnej funkcie. Nasledujúci text popisuje, ako môžete nájsť minimálny bod funkcie bez použitia pravidiel diferenciácie a bez zapamätania si tabuľky derivácií.

1. Deriváciu funkcie môžete vypočítať pomocou grafu. Ak to chcete urobiť, musíte znázorniť samotnú funkciu, potom na nej zobrať jeden bod (bod A na obrázku), nakresliť čiaru zvisle nadol k osi x (bod x 0) a nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcia v bode A. Os x a dotyčnica zvierajú uhol a. Ak chcete vypočítať hodnotu, ako rýchlo funkcia rastie, musíte vypočítať tangens tohto uhla a.
2. Ukazuje sa, že dotyčnica uhla medzi dotyčnicou a smerom osi x je deriváciou funkcie v malej oblasti s bodom A. Táto metóda sa považuje za geometrický spôsob určenia derivácie.

Metódy skúmania funkcie

IN školské osnovy matematiky, je možné nájsť minimálny bod funkcie dvoma spôsobmi. Prvú metódu sme už analyzovali pomocou grafu, ale ako určiť číselnú hodnotu derivácie? Aby ste to dosiahli, budete sa musieť naučiť niekoľko vzorcov, ktoré popisujú vlastnosti derivátu a pomáhajú transformovať premenných zadajte "x" do čísel. Nasledujúca metóda je univerzálna, takže ju možno použiť na takmer všetky druhy funkcií (geometrických aj logaritmických).

1. Je potrebné prirovnať funkciu k derivačnej funkcii a potom výraz zjednodušiť pomocou pravidiel diferenciácie.
2. V niektorých prípadoch, keď je zadaná funkcia, v ktorej je premenná „x“ deliteľ, je potrebné určiť rozsah prijateľných hodnôt vylúčením bodu „0“ (z jednoduchého dôvodu, že v matematike nikdy nemožno deliť nulou).
3. Potom by sa pôvodný tvar funkcie mal previesť na jednoduchú rovnicu, ktorá celý výraz prirovná k nule. Napríklad, ak funkcia vyzerala takto: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, potom podľa pravidiel diferenciácie sa jej derivácia rovná f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Potom to transformujeme vyjadrenie do rovnice v nasledujúcom tvare: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Po vyriešení rovnice a nájdení bodov "x" by ste ich mali znázorniť na osi x a určiť, či je derivácia v týchto oblastiach medzi označenými bodmi kladná alebo záporná. Po označení bude jasné, v ktorom bode funkcia začína klesať, to znamená, že mení znamienko z mínus na opačné. Týmto spôsobom môžete nájsť minimálny aj maximálny počet bodov.

Pravidlá diferenciácie

Najzákladnejšou zložkou pri štúdiu funkcie a jej derivácie je znalosť pravidiel diferenciácie. Len s ich pomocou je možné premeniť ťažkopádne výrazy a veľké komplexné funkcie. Poďme sa s nimi zoznámiť, je ich veľa, ale všetky sú veľmi jednoduché vďaka pravidelným vlastnostiam mocninných aj logaritmických funkcií.

1. Derivácia ľubovoľnej konštanty je nula (f(x) = 0). To znamená, že derivát f (x) \u003d x 5 + x - 160 bude mať nasledujúci tvar: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Derivácia súčtu dvoch členov: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivácia logaritmickej funkcie: (log a d)" = d/ln a*d. Tento vzorec platí pre všetky druhy logaritmov.
4. Mocninná derivácia: (x n)"= n*x n-1. Napríklad (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivácia sínusovej funkcie: (sin a)" = cos a. Ak je sin uhla a 0,5, potom je jeho derivácia √3/2.

extrémne body

Už sme diskutovali o tom, ako nájsť minimum bodov, existuje však koncept maximálnych bodov funkcie. Ak minimum označuje tie body, v ktorých funkcia prechádza z mínusu do plusu, potom maximálne body sú tie body na osi x, v ktorých sa derivácia funkcie mení z plusu na opačný – mínus.

Môžete to nájsť pomocou vyššie opísanej metódy, len je potrebné vziať do úvahy, že označujú tie oblasti, kde funkcia začína klesať, to znamená, že derivácia bude menšia ako nula.

V matematike je zvykom zovšeobecňovať oba pojmy a nahrádzať ich slovným spojením „body extrémov“. Keď úloha požaduje určiť tieto body, znamená to, že je potrebné vypočítať deriváciu tejto funkcie a nájsť minimum a maximum bodov.

Z tohto článku sa čitateľ dozvie o tom, čo je extrém funkčnej hodnoty, ako aj o vlastnostiach jeho použitia v praxi. Štúdium takéhoto konceptu je mimoriadne dôležité pre pochopenie základov vyššia matematika. Táto téma je základom pre hlbšie štúdium kurzu.

V kontakte s

čo je extrém?

IN školský kurz je uvedených veľa definícií pojmu „extrém“. Cieľom tohto článku je poskytnúť čo najhlbšie a najjasnejšie pochopenie pojmu pre tých, ktorí túto problematiku nepoznajú. Pod pojmom sa teda rozumie, do akej miery funkčný interval nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu na určitom súbore.

Extrém je minimálna a zároveň maximálna hodnota funkcie. Existuje minimálny bod a maximálny bod, to znamená extrémne hodnoty argumentu v grafe. Hlavné vedy, v ktorých sa tento koncept používa:

• štatistiky;
• ovládanie stroja;
• ekonometrie.

Extrémne body hrajú dôležitú úlohu pri určovaní postupnosti danú funkciu. Súradnicový systém na grafe najlepšie zobrazuje zmenu krajnej polohy v závislosti od zmeny funkčnosti.

Extrémy derivačnej funkcie

Existuje aj niečo ako „derivát“. Je potrebné určiť extrémny bod. Je dôležité nezamieňať minimálny alebo maximálny počet bodov s najväčšou a najmenšou hodnotou. Ide o odlišné pojmy, aj keď sa môžu zdať podobné.

Hodnota funkcie je hlavným faktorom pri určovaní spôsobu nájdenia maximálneho bodu. Derivát nie je tvorený z hodnôt, ale výlučne zo svojej krajnej polohy v tom či onom poradí.

Samotná derivácia sa určuje na základe údajov krajných bodov a nie na základe najväčšej alebo najmenšej hodnoty. V ruských školách nie je jasne stanovená hranica medzi týmito dvoma pojmami, čo ovplyvňuje chápanie tejto témy vo všeobecnosti.

Zoberme si teraz niečo také ako „ostrý extrém“. K dnešnému dňu existuje akútna minimálna hodnota a akútna maximálna hodnota. Definícia je uvedená v súlade s ruskou klasifikáciou kritických bodov funkcie. Koncept extrémneho bodu je základom pre nájdenie kritických bodov na grafe.

Na definovanie takéhoto pojmu sa používa Fermatova veta. Je to najdôležitejšie pri štúdiu extrémnych bodov a dáva jasnú predstavu o ich existencii v tej či onej forme. Na zabezpečenie extrémnosti je dôležité vytvoriť na grafe určité podmienky pre znižovanie alebo zvyšovanie.

Ak chcete presne odpovedať na otázku „ako nájsť maximálny bod“, musíte dodržiavať tieto ustanovenia:

1. Nájdenie presnej oblasti definície na grafe.
2. Hľadajte deriváciu funkcie a extrémny bod.
3. Vyriešte štandardné nerovnosti pre doménu argumentu.
4. Vedieť dokázať, v ktorých funkciách je bod na grafe definovaný a spojitý.

Pozor! Hľadanie kritického bodu funkcie je možné len vtedy, ak existuje derivácia aspoň druhého rádu, čo je zabezpečené vysokým podielom prítomnosti extrémneho bodu.

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie

Aby existoval extrém, je dôležité, aby existoval minimálny aj maximálny počet bodov. Ak je toto pravidlo dodržané len čiastočne, tak je porušená podmienka existencie extrému.

Každá funkcia na akejkoľvek pozícii musí byť diferencovaná, aby bolo možné identifikovať jej nové významy. Je dôležité pochopiť, že prípad, keď bod zmizne, nie je hlavným princípom hľadania diferencovateľného bodu.

Ostrý extrém, ale aj minimum funkcie je mimoriadne dôležitým aspektom rozhodnutia matematický problém pomocou extrémnych hodnôt. Pre lepšie pochopenie tohto komponentu je dôležité odkázať na tabuľkové hodnoty pre priradenie funkcionálu.

Funkčný extrém

Ak chcete nájsť vyššie uvedenú hodnotu, musíte dodržiavať nasledujúce pravidlá:

• určiť nevyhnutnú podmienku pre extrémny pomer;
• vziať do úvahy dostatočný stav krajných bodov na grafe;
• vykonať výpočet akútneho extrému.

Existujú aj pojmy ako slabé minimum a silné minimum. Toto treba brať do úvahy pri určovaní extrému a jeho presnom výpočte. Ostrou funkcionalitou je zároveň vyhľadávanie a vytváranie všetkých potrebných podmienok pre prácu s grafom funkcií.

Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá sa uvažuje na intervale (a, b).

Ak je možné určiť také b-okolie bodu x1 patriaceho do intervalu (a, b), aby pre všetky x (x1, b) bola splnená nerovnosť f(x1) > f(x), potom y1 = volá sa f1(x1). maximálna funkcia y = f(x) pozri obr.

Maximum funkcie y = f(x) označíme max f(x). Ak je možné určiť 6-okolie bodu x2 patriaceho do intervalu (a, b) tak, že pre všetky x patrí do O(x2, 6), x sa nerovná x2, nerovnosť f(x2)< f(x) , potom y2= f(x2) sa nazýva minimum funkcie y-f(x) (pozri obr.).

Príklad nájdenia maxima nájdete v nasledujúcom videu

Minimálna funkcia

Minimum funkcie y = f(x) označíme min f(x). Inými slovami, maximum alebo minimum funkcie y = f(x) volal jeho hodnota, ktorá je väčšia (menšia) ako všetky ostatné hodnoty namerané v bodoch dostatočne blízkych danej hodnote a odlišných od nej.

Poznámka 1. Maximálna funkcia, určená nerovnosťou sa nazýva prísne maximum; nestriktné maximum je definované nerovnosťou f(x1) > = f(x2)

Poznámka 2. majú lokálny charakter (sú to najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v dostatočne malom okolí zodpovedajúceho bodu); jednotlivé minimá niektorej funkcie môžu byť väčšie ako maximá tej istej funkcie

V dôsledku toho sa volá maximum (minimum) funkcie miestne maximum(lokálne minimum) na rozdiel od absolútneho maxima (minimum) - najväčšia (najmenšia) hodnota v obore funkcie.

Maximum a minimum funkcie sa nazýva extrém. . Extrémy vo vyhľadávaní pre funkcie vykresľovania

latinčina extrém znamená "extrémny" význam. Hodnota argumentu x, pri ktorej sa dosiahne extrém, sa nazýva bod extrému. Nevyhnutnú podmienku pre extrém vyjadruje nasledujúca veta.

Veta. V bode extrému diferencovateľnej funkcie a jej derivácie sa rovná nule.

Veta má jednoduchú geometrický zmysel: dotyčnica ku grafu diferencovateľnej funkcie v príslušnom bode je rovnobežná s osou x

Funkčné hodnoty a maximálne a minimálne body

Najvyššia hodnota funkcie

Najmenšia hodnota funkcie

Ako povedal krstný otec: "Nič osobné." Len deriváty!

Úloha 12 v štatistike sa považuje za dosť ťažkú ​​a to všetko preto, že chlapci nečítali tento článok (vtip). Vo väčšine prípadov je na vine neopatrnosť.

12 úloh je dvoch typov:

1. Nájdite horný/dolný bod (vyžaduje sa nájsť hodnoty „x“).
2. Nájdite najväčšiu/najmenšiu hodnotu objektu (vyžaduje sa nájdenie hodnôt „y“).

Nájsť vysoký/nízky bod

1. Prirovnajte to k nule.
2. Nájdené alebo nájdené "x" a bude to minimálny alebo maximálny počet bodov.
3. Určte znamienka pomocou intervalovej metódy a vyberte, ktorý bod je v úlohe potrebný.

Úlohy so skúškou:

Nájdite maximálny bod funkcie

• Berieme derivát:

Nájdite minimálny bod funkcie

• Transformujte a vezmite derivát:

• Skvelé! Po prvé, funkcia klesá, potom sa zvyšuje - to je minimálny bod!

Nájdite najväčšiu / najmenšiu hodnotu funkcie

1. Vezmite deriváciu navrhovanej funkcie.
   
2. Prirovnajte to k nule.
   
3. Nájdené „x“ bude minimálny alebo maximálny bod.
   
4. Určte znamienka pomocou intervalovej metódy a vyberte, ktorý bod je v úlohe potrebný.
5. V takýchto úlohách je vždy nastavená medzera: do tejto medzery musia byť zahrnuté x nachádzajúce sa v odseku 3.
6. Dosadíme do pôvodnej rovnice výsledný maximálny alebo minimálny bod, dostaneme najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie.

Úlohy so skúškou:

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na intervale [−4; −1]

Odpoveď: -6

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente

• Najvyššia hodnota funkcie je "11" v maximálnom bode (na tomto segmente) "0".

odpoveď: 11

Závery:

1. 70% chýb je, že si chalani nepamätajú, na čo reagujú najväčšia / najmenšia hodnota funkcie, ktorú musíte napísať "y" a ďalej napíšte maximálny / minimálny bod "x".
2. Má derivácia riešenie pri hľadaní funkčných hodnôt? Neboj sa, obleč si to extrémne body medzera!
3. Odpoveď môže byť vždy napísaná ako číslo alebo desatinné číslo. nie? Potom zmeňte príklad.
4. Vo väčšine úloh sa získa jeden bod a ospravedlní sa naša lenivosť kontrolovať maximum či minimum. Máme jeden bod - môžete pokojne napísať odpoveď.
5. A tu pri hľadaní hodnoty funkcie by ste to nemali robiť! Uistite sa, že ide o požadovaný bod, inak môžu byť extrémne hodnoty medzery väčšie alebo menšie.

1°. Určenie extrému funkcie.

Pojem maximum, minimum, extrém funkcie dvoch premenných je podobný zodpovedajúcim konceptom funkcie jednej nezávislej premennej.

Nechajte funkciu z=f(X; y) definované v nejakej oblasti D, bodka N(x 0;y0) D.

Bodka (x 0;y0) nazvaný bod maximálne funkcie z= f(X;y), ak existuje také -okolie bodu (x 0;y 0),že za každý bod (x; y), rozdielny od (x 0;y0) toto okolie spĺňa nerovnosť f(X;y)< f(x 0;y0). Obrázok 12: N 1 - maximálny bod, a N 2 - minimálny bod funkcie z=f(X;y).

Bod minimálne funkcie: pre všetky body (x 0;y 0), iný ako (x 0;y 0), z d-okolia bodu (x 0;y0) platí nasledujúca nerovnosť: f(x 0;y 0) >f(x 0;y0).

Podobne sa určí extrém funkcie troch alebo viacerých premenných.

Volá sa hodnota funkcie v bode maxima (minima). maximum (minimum) funkcie.

Zavolá sa maximum a minimum funkcie extrémy.

Všimnite si, že na základe definície leží extrémny bod funkcie vo vnútri domény funkcie; maximum a minimum sú miestne(miestny) znak: hodnota funkcie v bode (x 0;y0) sa porovnáva s jeho hodnotami v dostatočne blízkych bodoch (x 0;y0). V oblasti D Funkcia môže mať niekoľko extrémov alebo žiadne.

2°. Nevyhnutné podmienky extrém.

Zvážte podmienky existencie extrému funkcie.

Geometricky rovnaké f"y (x 0;y0)= 0 a f"y (x 0;y 0) = 0 znamená, že v extrémnom bode funkcie z = f(X; y) dotykovej roviny k povrchu znázorňujúcej funkciu f(X; y), rovnobežne s rovinou Ach hu keďže rovnica dotykovej roviny je z=z0.

Komentujte. Funkcia môže mať extrém v bodoch, kde aspoň jedna z parciálnych derivácií neexistuje. Napríklad funkcia má v bode maximum O(0;0), ale v tomto bode nemá žiadne parciálne deriváty.

Bod, v ktorom sú parciálne derivácie prvého rádu funkcie z = f(X;y) sa rovnajú nule, t.j. f"X = 0, f" y= 0, tzv stacionárny bod funkcie z.

Nazývajú sa stacionárne body a body, v ktorých neexistuje aspoň jedna parciálna derivácia kritických bodov.

V kritických bodoch funkcia môže alebo nemusí mať extrém. Rovnosť parciálnych derivátov k nule je nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou existencie extrému. Zvážte napríklad funkciu z = hu. Pre ňu je kritický bod 0(0; 0) (v ňom miznú). V ňom však funguje extrém z = xy nemá, pretože v dostatočne malom okolí bodu O(0;0) sú body, pre ktoré z > 0 (bod I. a III. štvrťrok) a z< 0 (štvrťroky body II a IV).

Aby sme teda našli extrémy funkcie v danej oblasti, každý kritický bod funkcie, ktoré treba ďalej skúmať.

Stacionárne body sa nachádzajú riešením sústavy rovníc

(nevyhnutné podmienky pre extrém).

Systém (1) je ekvivalentný jednej rovnici df(x, y)=0. Vo všeobecnosti v extrémnom bode P(a, b) funkcie f(x, y) alebo df(x, y)=0, alebo df(a, b) neexistuje.

3°. Dostatočné podmienky pre extrém. Nechaj P(a; b)- stacionárny bod funkcie f(x, y), t.j. . df(a, b) = 0. potom:

A keď d2f (a, b)< 0 o , potom f(a, b) Existuje maximálne funkcie f (x, y);

b) ak d2f (а, b) > 0 o , potom f(a, b) Existuje minimálne funkcie f (x, y);

c) ak d2f (a, b) potom zmení znamenie f (a, b) nie je extrémom funkcie f (x, y).

Vyššie uvedené podmienky sú ekvivalentné nasledujúcim: let A . Poďme skladať diskriminačný ∆=AC-B2.

1) ak Δ > 0, potom funkcia má v bode extrém P (a; b) a to maximálne ak A<0 (alebo S<0 ), a minimálne ak A>0(alebo С>0);

2) ak Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) nie;

3) ak Δ = 0, potom otázka prítomnosti extrému funkcie v bode P(a; b) zostáva otvorený (vyžaduje ďalšie štúdium).

4°. Prípad funkcie mnohých premenných. Pre funkciu troch a viac premenných, nevyhnutné podmienky pre existenciu extrému sú podobné podmienkam (1) a postačujúce podmienky sú podobné podmienkam a), b), c) 3°.

Príklad. Preskúmajte funkciu pre extrém z=x³+3xy²-15x-12r.

Riešenie. Nájdite parciálne derivácie a zostavme sústavu rovníc (1):

Pri riešení systému získame štyri stacionárne body:

Nájdime deriváty 2. rádu

a urobiť z nich diskriminačné ∆=AC - B² pre každý stacionárny bod.

1) K bodu: , ∆=AC-B²=36-144<0 . V pointe teda nejde o žiadny extrém.

2) Pre bod P2: A = 12, B = 6, C = 12; A=144-36>0, A>0. V bode P2 má funkcia minimum. Toto minimum sa rovná hodnote funkcie at x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) K bodu: A = -6, B = -12, C = -6; A = 36-144<0 . Žiaden extrém neexistuje.

4) Pre bod P 4: A = -12, B = -6, C = -12; A=144-36>0. V bode P4 má funkcia maximum rovné Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Podmienený extrém. V najjednoduchšom prípade podmienečný extrém funkcie f(x, y) je maximum alebo minimum tejto funkcie dosiahnuté za podmienky, že jej argumenty sú spojené rovnicou φ(x,y)=0 (rovnica spojenia). Na nájdenie podmieneného extrému funkcie f(x, y) v prítomnosti vzťahu φ(x, y) = 0, tvoria tzv Lagrangeova funkcia

F(X ,y)=f(X ,y)+λφ (X ,y),

kde λ je neurčitý konštantný faktor a hľadajte obvyklý extrém tejto pomocnej funkcie. Nevyhnutné podmienky pre extrém sú redukované na systém troch rovníc

s tromi neznámymi x, y, λ, z ktorých sa vo všeobecnosti dajú určiť tieto neznáme.

Otázka existencie a povahy podmieneného extrému je riešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie.

pre testovaný systém hodnôt x, y, λ získané z (2) za predpokladu, že dx A du súvisí rovnicou

.

Totiž funkcia f(x, y) má podmienené maximum, ak d²F< 0 a podmienené minimum, ak d²F>0. Najmä, ak je diskriminant Δ pre funkciu F(x, y) v stacionárnom bode je kladné, potom v tomto bode existuje podmienené maximum funkcie f(x, y), Ak A< 0 (alebo S< 0) a podmienené minimum, ak A > O(alebo С>0).

Podobne podmienený extrém funkcie troch alebo viacerých premenných sa nachádza v prítomnosti jednej alebo viacerých rovníc spojenia (ktorých počet by však mal byť menej ako číslo premenné). Tu je potrebné zaviesť do Lagrangeovej funkcie toľko neurčitých faktorov, koľko je rovníc spojenia.

Príklad. Nájdite extrém funkcie z = 6-4x-3r za predpokladu, že premenné X A pri splniť rovnicu x²+y²=1.

Riešenie. Geometricky sa problém redukuje na nájdenie najväčšieho a najmenšie hodnoty nášivky z lietadlo z=6 - 4x - Zu pre priesečníky s valcom x2+y2=1.

Vytvorte Lagrangeovu funkciu F(x,y)=6-4x-3y+A(x2+y2-1).

Máme . Nevyhnutné podmienky dávajú sústave rovníc

riešenie, ktoré nájdeme:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Ak a potom d²F >0, a preto má funkcia v tomto bode podmienené minimum. Ak a potom d²F<0, a preto má v tomto bode funkcia podmienené maximum.

teda

6°. Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Nechajte funkciu z=f(X; y) definované a spojité v ohraničenej uzavretej doméne . Potom to v niektorých bodoch dosiahne jeho najväčší M a najmenej T hodnoty (tzv. globálny extrém). Tieto hodnoty dosahuje funkcia v bodoch umiestnených vo vnútri regiónu , alebo v bodoch ležiacich na hranici regiónu.