Calculul reacției suportului după principiul deplasărilor posibile. Principiul deplasărilor posibile Principiul vitezelor posibile

Principiu posibile mișcări vă permite să rezolvați o varietate de probleme privind echilibrul sistemelor mecanice - să găsiți forțe active necunoscute, să determinați reacțiile legăturilor, să găsiți pozițiile de echilibru ale unui sistem mecanic sub acțiunea unui sistem de forțe aplicat. Să ilustrăm acest lucru cu exemple concrete.

Exemplul 1. Aflați mărimea forței P care ține prisme grele netede cu mase în stare de echilibru. Unghiul de teșire al prismelor este (Fig. 73).

Soluţie. Să folosim principiul posibilelor deplasări. Să spunem sistemului deplasarea posibilă și să calculăm lucrul posibil al forțelor active:

Lucrul posibil al gravitației este zero, deoarece forța este perpendiculară pe vectorul elementar de deplasare al punctului de aplicare a forței. Înlocuind valoarea aici și echivalând expresia cu zero, obținem:

Deoarece , atunci expresia dintre paranteze este egală cu zero:

De aici găsim

Exemplul 2. O grindă omogenă AB cu lungimea și greutatea P, încărcată cu o pereche de forțe cu un moment dat M, este fixată așa cum se arată în fig. 74 și este în repaus. Determinați reacția tijei BD dacă formează un unghi a cu orizontul.

Soluţie. Sarcina diferă de cea anterioară prin aceea că aici se cere să se găsească reacția unei legături ideale. Dar în ecuația muncii care exprimă principiul posibilelor deplasări, reacțiile legăturilor ideale nu sunt incluse. În astfel de cazuri, principiul posibilelor deplasări ar trebui aplicat împreună cu principiul eliberării de legături.

Să aruncăm mental tija BD și să considerăm reacția ei S ca o forță activă necunoscută ca mărime. După aceea, vom informa sistemul despre o posibilă mișcare (cu condiția ca această conexiune să fie complet absentă). Aceasta va fi o rotație elementară a fasciculului AB la un unghi în jurul axei balamalei A într-o direcție sau alta (în Fig. 74 - în sens invers acelor de ceasornic). Deplasările elementare ale punctelor de aplicare a forțelor active și reacția S aferentă acestora sunt egale cu:

Întocmim ecuația muncii

Echivalând cu zero expresia din paranteze, de aici găsim

Exemplul 3 Tijă omogenă OA se fixează în greutate cu ajutorul unei balamale cilindrice O și a unui arc AB (Fig. 75). Determinați pozițiile în care tija poate fi în echilibru dacă constanta arcului este egală cu k, lungimea naturală a arcului - iar punctul B se află pe aceeași verticală cu punctul O.

Soluţie. Două forțe active sunt aplicate tijei OA - greutatea proprie și forța elastică a arcului unde este unghiul format de tijă cu verticala OB. Legăturile suprapuse sunt ideale (în acest caz, există o singură legătură - balama O).

Informam sistemul despre o posibilă deplasare - o rotație elementară a tijei în jurul axei balamalei O sub un unghi, calculăm posibila activitate a forțelor active și o echivalăm cu zero:

Inlocuind aici expresia pentru forta F si valoarea

după transformări simple obținem următoarele ecuație trigonometrică pentru a determina unghiul (p la echilibrul tijei:

Ecuația definește trei valori pentru unghi:

Prin urmare, tija are trei poziții de echilibru. Deoarece primele două poziții de echilibru există dacă condiția este îndeplinită. Echilibrul există întotdeauna.

În concluzie, observăm că principiul posibilelor deplasări poate fi aplicat și sistemelor cu constrângeri neideale. Accentul pe idealitatea legăturilor se pune în formularea principiului cu un singur scop - de a arăta că ecuațiile de echilibru ale sistemelor mecanice pot fi compuse fără a include reacțiile legăturilor ideale în ele, simplificând astfel calculele.

Pentru sistemele cu legături non-ideale, principiul posibilelor deplasări ar trebui reformulat astfel: pentru echilibrul unui sistem mecanic cu rețineri, printre care există legături neideale, este necesar și suficient ca posibilul lucru al forțelor active. iar reacțiile legăturilor neideale sunt egale cu zero. Este posibil, totuși, să se renunțe la reformularea principiului, clasificând în mod convențional reacțiile legăturilor neideale ca forțe active.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Care este caracteristica principală a unui sistem mecanic neliber în comparație cu unul liber?

2. Ce se numește posibilă deplasare? Dă exemple.

3. Cum se determină variațiile în coordonatele punctelor sistemului în timpul posibilei sale deplasări (specificați trei moduri)?

4. Cum sunt clasificate legăturile în funcție de tipul ecuațiilor lor? Dați exemple de obligațiuni care dețin și nu dețin, staționare și non-staționare.

5. În ce caz conexiunea se numește ideală? Nu este ideal?

6. Dați o formulare verbală și o notare matematică a principiului deplasărilor posibile.

7. Cum este formulat principiul posibilelor deplasări pentru sistemele care conțin legături imperfecte?

8. Enumeraţi principalele tipuri de probleme rezolvate folosind principiul posibilelor deplasări.

Exerciții

Folosind principiul posibilelor deplasări, rezolvați următoarele probleme din colecția de I.V. Edițiile Meshchersky 1981: 46,1; 46,8; 46,17; 2,49; 4,53.

Instalare starea generala echilibrul unui sistem mecanic. Conform acestui principiu, pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor virtuale $A\_i$ numai forțele active asupra oricărei posibile deplasări a sistemului au fost egale cu zero (dacă sistemul este adus în această poziție cu viteze zero).

Numărul de ecuații de echilibru liniar independente care pot fi compilate pentru un sistem mecanic, pe baza principiului posibilelor deplasări, este egal cu numărul de grade de libertate ale acestui sistem mecanic.

Posibil miscarile deplasările infinitezimale imaginare permise la un moment dat de constrângerile impuse sistemului se numesc sisteme mecanice nelibere (în acest caz, timpul inclus în mod explicit în ecuațiile constrângerilor nestaționare este considerat fix). Se numesc proiectii ale posibilelor deplasari pe axele de coordonate carteziene variatii coordonate carteziene.

Virtual miscarile se numesc deplasari infinitezimale permise de legaturi, cu „timp inghetat”. Acestea. ele diferă de posibilele deplasări numai atunci când legăturile sunt reonomice (dependente explicit de timp).

Dacă, de exemplu, sistemul este impus $l$ conexiuni reonomice holonomice:

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Apoi mișcările posibile $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ sunt cele care satisfac

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha)\; ))(\backslash partial\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Și virtual $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1\; ,l)$

Deplasările virtuale, în general, nu au nimic de-a face cu procesul de mișcare a sistemului - ele sunt introduse doar pentru a releva relațiile de forțe existente în sistem și pentru a obține condiții de echilibru. Micimea deplasărilor este necesară pentru a putea considera reacțiile legăturilor ideale ca neschimbate.

Scrieți o recenzie despre articolul „Principiul posibilelor deplasări”

Literatură

• Buchholz N. N. Curs de bază de mecanică teoretică. Partea 1. Ed. a 10-a. - Sankt Petersburg: Lan, 2009. - 480 p. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
• Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică: un manual pentru universități. a 18-a ed. - M.: facultate, 2010. - 416 p. - ISBN 978-5-06-006193-2.
• Markeev A.P. Mecanica teoretică: un manual pentru universități. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2001. - 592 p. - ISBN 5-93972-088-9.

Un fragment care caracterizează Principiul posibilelor deplasări

În timp ce astfel de conversații aveau loc în camera de recepție și în camerele prințesei, trăsura cu Pierre (care a fost trimis după) și Anna Mihailovna (care a considerat că trebuie să meargă cu el) a intrat cu mașina în curtea contelui Bezukhoy. Când roțile trăsurii sunau încet pe paiele puse sub ferestre, Anna Mihailovna, întorcându-se spre tovarășul ei cu cuvinte mângâietoare, s-a convins că doarme în colțul trăsurii și l-a trezit. S-a trezit, Pierre a coborât din trăsură după Anna Mikhailovna și apoi s-a gândit doar la acea întâlnire cu tatăl său pe moarte care îl aștepta. A observat că nu au urcat cu mașina în față, ci până la intrarea din spate. În timp ce el cobora de pe picior, doi bărbați în haine burgheze au fugit în grabă de la intrare în umbra zidului. Făcând o pauză, Pierre văzu în umbra casei de ambele părți încă câțiva dintre aceiași oameni. Dar nici Anna Mihailovna, nici lacheul, nici coșerul, care nu putea să nu-i vadă pe acești oameni, nu le-au dat nici o atenție. Prin urmare, acest lucru este atât de necesar, a decis Pierre singur și a urmat-o pe Anna Mikhailovna. Anna Mikhailovna a urcat cu pași grăbiți pe scările înguste de piatră slab luminate, chemându-l pe Pierre, care rămânea în urmă în urma ei, care, deși nu înțelegea deloc de ce trebuie să meargă la conte și cu atât mai puțin de ce trebuie să meargă împreună. scările din spate, dar, judecând după încrederea și graba Annei Mikhailovna, a hotărât pentru sine că acest lucru era necesar. La jumătatea scărilor au fost aproape doborâți de niște oameni cu găleți, care, zgomotând cu bocancii, alergau spre ei. Acești oameni s-au apăsat de perete pentru a-i lăsa pe Pierre și Anna Mikhailovna să treacă și nu au arătat nici cea mai mică surpriză la vederea lor.
- Sunt jumătate prințese aici? Anna Mikhailovna l-a întrebat pe unul dintre ei...
„Iată”, răspunse lacheul cu o voce îndrăzneață și puternică, de parcă totul era deja posibil, „ușa este pe stânga, mamă”.
— Poate că contele nu m-a sunat, spuse Pierre, în timp ce ieşea pe peron, aş fi plecat la mine.
Anna Mihailovna se opri să-l ajungă din urmă pe Pierre.
Ah, mon ami! - spuse ea cu același gest ca dimineața cu fiul ei, atingându-i mâna: - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Crede-mă, sufăr nu mai puțin decât tine, dar fii bărbat.]
- Bine, mă duc? întrebă Pierre, uitându-se afectuos prin ochelari la Anna Mihailovna.

Principiul deplasărilor posibile este formulat pentru rezolvarea problemelor de statică prin metode de dinamică.

Definiții

conexiuni se numesc toate corpurile care limitează mişcarea corpului considerat.

Ideal numite legături, al căror lucru reacții la orice posibilă deplasare este zero.

Numărul de grade de libertate al unui sistem mecanic este numărul de astfel de parametri independenți unul de celălalt, cu ajutorul cărora se determină în mod unic poziția sistemului.

De exemplu, o bilă situată pe un plan are cinci grade de libertate, iar o balama cilindrică are un grad de libertate.

În general, un sistem mecanic poate avea un număr infinit de grade de libertate.

Mișcări posibile vom numi astfel de deplasări, care, în primul rând, sunt permise de constrângeri suprapuse și, în al doilea rând, sunt infinitezimale.

Mecanismul manivelă-glisor are un grad de libertate. Parametrii pot fi luați ca posibile deplasări -  ,  X si etc.

Pentru orice sistem, numărul de deplasări posibile independente unul de celălalt este egal cu numărul de grade de libertate.

Fie ca un sistem să fie în echilibru și legăturile impuse acestui sistem să fie ideale. Apoi pentru fiecare punct al sistemului putem scrie ecuația

, (102)

Unde
- rezultanta forţelor active aplicate unui punct material;

- reacţiile rezultate ale legăturilor.

Înmulțiți scalar (102) cu vectorul deplasării punctului posibil

,

deoarece conexiunile sunt ideale, așa este întotdeauna
, rămâne suma muncii elementare a forțelor active care acționează asupra punctului

. (103)

Ecuația (103) poate fi scrisă pentru toate punctele materiale, însumând ceea ce obținem

. (104)

Ecuația (104) exprimă următorul principiu al posibilelor deplasări.

Pentru echilibrul unui sistem cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero.

Numărul de ecuații (104) este egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului dat, ceea ce reprezintă un avantaj al acestei metode.

Ecuația generală a dinamicii (principiul d'Alembert-Lagrange)

Principiul deplasărilor posibile permite rezolvarea problemelor de statică prin metode de dinamică, pe de altă parte, principiul d'Alembert oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică prin metode de statică. Combinând aceste două principii, se poate obține o metodă generală de rezolvare a problemelor din mecanică, care se numește principiul d'Alembert-Lagrange.

. (105)

Când un sistem se mișcă cu constrângeri ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor de inerție asupra oricărei mișcări posibile a sistemului va fi egală cu zero.

În formă analitică, ecuația (105) are forma

Ecuații Lagrange de al doilea fel

Coordonate generalizate (q) sunt numiți astfel de parametri independenți unul de celălalt care determină în mod unic comportamentul unui sistem mecanic.

Numărul de coordonate generalizate este întotdeauna egal cu numărul de grade de libertate ale sistemului mecanic.

Orice parametri care au orice dimensiune pot fi aleși ca coordonate generalizate.

H
De exemplu, atunci când studiem mișcarea unui pendul matematic cu un grad de libertate, ca coordonată generalizată q parametrii pot fi acceptati:

X(m), y(m) – coordonatele punctului;

s(m) – lungimea arcului;

 (m 2) - zona sectorului;

 (rad) – unghi de rotație.

Când sistemul se mișcă, coordonatele sale generalizate se vor schimba continuu în timp

Ecuațiile (107) sunt ecuațiile de mișcare ale sistemului în coordonate generalizate.

Se numesc derivate ale coordonatelor generalizate în raport cu timpul viteze generalizate ale sistemului

. (108)

Dimensiunea vitezei generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate.

Orice alte coordonate (carteziane, polare etc.) pot fi exprimate prin coordonate generalizate.

Alături de conceptul de coordonată generalizată este introdus și conceptul de forță generalizată.

Sub forta generalizataînțelegeți valoarea egală cu raportul sumei lucrărilor elementare a tuturor forțelor care acționează asupra sistemului la un increment elementar al coordonatei generalizate la acest increment

, (109)

Unde S este indicele coordonatei generalizate.

Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate.

Pentru a găsi ecuațiile de mișcare (107) ale unui sistem mecanic cu constrângeri geometrice în coordonate generalizate, folosim ecuatii diferentialeîn forma Lagrange de al doilea fel

. (110)

În (110) energia cinetică T sistemul este exprimat în termeni de coordonate generalizate q Sși viteze generalizate .

Ecuațiile Lagrange oferă o metodă unificată și destul de simplă pentru rezolvarea problemelor de dinamică. Tipul și numărul de ecuații nu depind de numărul de corpuri (puncte) incluse în sistem, ci doar de numărul de grade de libertate. Cu legături ideale, aceste ecuații fac posibilă excluderea tuturor reacțiilor necunoscute anterior ale legăturilor.

După cum se știe din cursul mecanicii teoretice, starea de echilibru a unui obiect poate avea o formulă de forță sau energie. Prima opțiune este condiția egalității la zero a vectorului principal și momentul principal al tuturor forțelor și reacțiilor care acționează asupra corpului. A doua abordare (variațională), numită principiul posibilelor deplasări, s-a dovedit a fi foarte utilă pentru rezolvarea unui număr de probleme din mecanica structurală.

Pentru un sistem de corpuri absolut rigide, principiul posibilelor deplasări este formulat astfel: dacă un sistem de corpuri absolut rigide este în echilibru, atunci suma muncii tuturor forțelor externe asupra oricărei deplasări infinitezimale posibile este egală cu zero. Se numește mișcare posibilă (sau virtuală), care nu încalcă conexiunile cinematice și continuitatea corpurilor. Pentru sistemul din fig. 3.1, este posibilă doar rotirea tijei față de suport. Când întoarceți printr-un unghi mic arbitrar, forțează și lucrează Conform principiului posibilelor deplasări, dacă sistemul este în echilibru, atunci trebuie să existe . Înlocuind aici relaţiile geometrice obţinem condiţia de echilibru în formularea forţei

Se formulează principiul posibilelor deplasări pentru corpurile elastice în felul următor: dacă sistemul de corpuri elastice este în echilibru, atunci suma muncii tuturor forțelor externe și interne asupra oricărei deplasări infinitezimale posibile este zero. Acest principiu se bazează pe conceptul de energie totală a unui sistem elastic deformat P. Dacă structura este încărcată static, atunci această energie este egală cu munca efectuată de forțele externe U și W interne atunci când sistemul este transferat din starea deformată. la cea inițială:

Cu această translație, forțele externe nu își schimbă valoarea și fac lucru negativ U= -F . În acest caz, forțele interne scad la zero și efectuează un lucru pozitiv, deoarece acestea sunt forțele de aderență ale particulelor de material și sunt îndreptate în direcția opusă sarcinii externe:

Unde - energia potenţială specifică de deformare elastică; V este volumul corpului. Pentru sistem liniar, Unde . Conform teoremei Lagrange-Dirichlet, starea de echilibru stabil corespunde minimului energiei potenţiale totale a sistemului elastic, i.e.

Ultima egalitate corespunde pe deplin formulării principiului posibilelor deplasări. Creșterile de energie dU și dW pot fi calculate pe orice posibile deplasări (abateri) ale sistemului elastic de la starea de echilibru. Pentru a calcula structuri care îndeplinesc cerințele de liniaritate, deplasarea posibilă infinit de mică d poate fi înlocuită cu o deplasare finală foarte mică, care poate fi orice stare deformată a structurii creată de un sistem de forțe ales arbitrar. Având în vedere acest lucru, condiția de echilibru rezultată ar trebui scrisă ca

Lucrarea forțelor externe

Luați în considerare metoda de calcul a muncii forțelor externe asupra deplasării reale și posibile. Sistemul de tije este încărcat cu forțe și (Fig. 3.2, a), care acționează simultan, iar în orice moment raportul rămâne constant. Dacă luăm în considerare forța generalizată, atunci după valoare în orice moment puteți calcula toate celelalte sarcini (în acest caz, ). Linia întreruptă arată deplasarea elastică reală care decurge din aceste forțe. Să notăm această stare cu indicele 1. Să notăm deplasarea punctelor de aplicare a forțelor și în direcția acestor forțe în starea 1 și .

În procesul de încărcare a unui sistem liniar cu forțe și, forțele cresc și deplasările și cresc proporțional cu acestea (Fig. 3.2, c). Munca efectivă a forțelor și asupra deplasărilor pe care le creează este egală cu suma ariilor graficelor, adică. . Scriind această expresie ca , se obtine produsul fortei generalizate si deplasarea generalizata . În acest formular, puteți trimite

În continuare, luați în considerare munca forțelor externe asupra unei posibile deplasări. Ca posibilă deplasare, vom lua, de exemplu, starea deformată a sistemului rezultată din aplicarea unei forțe într-un anumit punct (Fig. 3.2, b). Această stare, corespunzătoare deplasării suplimentare a punctelor de aplicare a forțelor și printr-o distanță și , se va nota cu 2. Forțele și , fără a-și modifica valoarea, efectuează lucrări virtuale asupra deplasărilor și (Fig. 3.2, c):

După cum puteți vedea, în notația deplasării, primul indice arată starea în care sunt specificate punctele și direcțiile acestor deplasări. Al doilea indice arată starea în care acționează forțele care provoacă această mișcare.

Lucrul unei forțe unitare F 2 asupra deplasării efective

Dacă considerăm starea 1 ca o posibilă deplasare pentru forța F 2, atunci este munca virtualaîn mișcare

Munca forțelor interne

Să găsim lucrul forțelor interne ale stării 1, adică din forțele și , pe deplasări virtuale ale stării 2, adică rezultate din aplicarea sarcinii F 2 . Pentru a face acest lucru, selectați un element de tijă de lungime dx (Fig. 3.2 și 3.3, a). Deoarece sistemul luat în considerare este plat, în secțiunile elementului acţionează doar două forţe S şi Q z și un moment încovoietor Mu. Aceste forţe pentru elementul tăiat sunt externe. Forțele interne sunt forțe de coeziune care oferă rezistență materialului. Ele sunt egale cu cele externe ca valoare, dar sunt îndreptate în direcția opusă deformației, prin urmare munca lor sub încărcare este negativă (Fig. 3.3, b-d, prezentată). în gri). Să calculăm secvenţial munca efectuată de fiecare factor de forţă.

Lucrul forțelor longitudinale asupra deplasării, care este creat de forțele S 2 care au apărut ca urmare a aplicării sarcinii F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),

Găsim alungirea unei tije cu lungimea dx folosind formula binecunoscută

unde A este aria secțiunii tijei. Înlocuind această expresie în formula anterioară, găsim

În mod similar, definim munca pe care o face momentul încovoietor asupra deplasării unghiulare create de moment (Fig. 3.3, c):

Găsim unghiul de rotație ca

unde J este momentul de inerție al secțiunii tijei față de axa y. După înlocuire, obținem

Să aflăm lucrul forței transversale asupra deplasării (Fig. 3.3, d). Tensiunile tangenţiale şi deplasările de la forţa de forfecare Q z nu sunt distribuite liniar pe secţiunea barei (spre deosebire de solicitările şi alungirile normale din cazurile de încărcare anterioare). Prin urmare, pentru a determina lucrul de forfecare, este necesar să se ia în considerare munca efectuată de solicitările de forfecare în straturile tijei.

Tensiunile tangenţiale de la forţa Q z, care acţionează într-un strat situat la o distanţă z de axa neutră (Fig. 3.3, e), sunt calculate prin formula Zhuravsky

unde Su este momentul static al părții din zona secțiunii transversale situată deasupra acestui strat, luat în raport cu axa y; b este lățimea secțiunii la nivelul stratului luat în considerare. Aceste tensiuni creează o forfecare a stratului printr-un unghi, care, conform legii lui Hooke, este definită ca - modulul de forfecare. Ca urmare, capătul stratului este deplasat de

Lucrul total al tensiunilor tăietoare ale primei stări care acționează asupra capătului acestui strat, asupra deplasărilor celei de-a doua stări se calculează prin integrarea produsului pe aria secțiunii transversale.

După ce înlocuim aici expresiile pentru și obținem

Scoatem de sub valorile integrale care nu depind de z, înmulțim și împărțim această expresie la A, obținem

Aici se introduce coeficientul adimensional,

in functie doar de configuratie si raportul dimensiunilor sectiunilor. Pentru un dreptunghi \u003d 1.2, pentru secțiuni I-beam și casete (A c - zona secțională a peretelui sau într-o secțiune casetă - doi pereți).

Deoarece munca fiecăreia dintre componentele de încărcare considerate (S, Q, M) asupra deplasărilor cauzate de alte componente este egală cu zero, atunci munca totală a tuturor forțelor interne pentru elementul considerat al tijei de lungime dx

În secțiunea unui element al unui sistem de tije spațiale, acționează șase forțe interne (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), prin urmare, pentru aceasta, expresia pentru munca totală a forțelor interne va arăta ca ,

Aici M x - cuplul în tijă; J T este momentul de inerție al tijei în torsiune liberă (rigiditate geometrică la torsiune). În integrand, indicii „și” sunt omiși.

În formulele (3.3) și (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 notăm expresiile analitice ale diagramelor de forțe interne din acțiunea forțelor F (și F (, aS 2 , Q y 2) , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - descrieri ale diagramelor forțelor interne din forța F 2 .

Teoreme asupra sistemelor elastice

Structura formulelor (3.3) și (3.4) arată că ele sunt „simetrice” față de stările 1 și 2, adică munca forțelor interne ale stării 1 asupra deplasărilor stării 2 este egală cu munca forțele stării 2 asupra deplasărilor stării 1 Dar conform (3.2)

Prin urmare, dacă munca forțelor interne este egală, atunci munca forțelor externe este egală - Această afirmație se numește teorema muncii de reciprocitate (teorema lui Betty, 1872).

Pentru un sistem de tije încărcat cu o forță F 1 (Fig. 3.4, a), luăm ca posibilă deplasare starea deformată care a apărut când a fost încărcat cu o forță F 2 (Fig. 3.4, b). Pentru acest sistem, conform teoremei Betti 1- Dacă punem , atunci obținem

Această formulă exprimă teorema lui Maxwell (1864) privind reciprocitatea deplasărilor: deplasarea punctului de aplicare a primei forțe unitare în direcția sa, cauzată de acțiunea celei de-a doua forțe unitare, este egală cu deplasarea punctului de aplicare. a celei de-a doua forțe unitare în direcția sa, cauzată de acțiunea primei forțe unitare. Această teoremă poate fi aplicată și sistemului din fig. 3.2. Dacă setăm = 1 N (secțiunea 3.1.2), atunci obținem egalitatea deplasărilor generalizate .

Se consideră un sistem static nedeterminat cu suporturi cărora li se poate da deplasarea necesară, luată pe cât posibil (Fig. 3.4, c, d). În prima stare, deplasăm suportul 1 și în a doua - setăm rotația ansamblului cu un unghi - În acest caz, reacțiile vor avea loc în prima stare și , iar în a doua - i . Conform teoremei de reciprocitate a muncii, scriem Dacă setăm (aici dimensiunea = m, iar valoarea este adimensională), atunci obținem

Această egalitate este numerică, deoarece dimensiunea reacției = H, a = N-m. Astfel, reacția R 12 în legătura fixă ​​1, care are loc atunci când legătura 2 este deplasată cu unu, este numeric egală cu reacția care are loc în legătura 2 cu o deplasare unitară a legăturii 1. Această afirmație se numește teorema reciprocității reacției.

Teoremele prezentate în această secțiune sunt utilizate pentru calculul analitic al sistemelor static nedeterminate.

Definiţia displacements

Formula generală de deplasare

Pentru a calcula deplasările care apar în sistemul de tije sub acțiunea unei sarcini date (starea 1), este necesar să se formeze o stare auxiliară a sistemului, în care acționează o forță unitară, lucrând la deplasarea dorită (starea 2). ). Aceasta înseamnă că la determinarea deplasării liniare, este necesar să se precizeze o forță unitară F 2 = 1 N aplicată în același punct și în aceeași direcție în care urmează să fie determinată deplasarea. Dacă este necesar să se determine unghiul de rotație al oricărei secțiuni, atunci în această secțiune se aplică un singur moment F 2 = 1 N m. După aceea, este compilată ecuația de energie (3.2), în care starea 2 este luată ca principala, si cea deformata

starea 1 este tratată ca o mișcare virtuală. Din această ecuație se calculează deplasarea dorită.

Să găsim deplasarea orizontală a punctului B pentru sistemul din fig. 3.5, a. Pentru ca deplasarea dorită D 21 să se încadreze în ecuația lucrărilor (3.2), luăm ca stare principală deplasarea sistemului sub acțiunea unei forțe unitare F 2 - 1 N (starea 2, Fig. 3.5, b). Vom considera starea deformată reală a structurii ca o posibilă deplasare (Fig. 3.5, a).

Lucrarea forțelor externe ale stării 2 asupra deplasărilor stării 1 se găsește ca Conform (3.2),

prin urmare, deplasarea dorită

Deoarece (secțiunea 3.1.4), munca forțelor interne ale stării 2 asupra deplasărilor stării 1 se calculează prin formula (3.3) sau (3.4). Inlocuind in expresia (3.7) (3.3) munca fortelor interne ale unui sistem de tije plate, gasim

Pentru utilizarea ulterioară a acestei expresii, este recomandabil să se introducă conceptul de diagrame unice ale factorilor de forță interni, i.e. dintre care primele două sunt adimensionale, iar dimensiunea . Rezultatul va fi

Aceste integrale trebuie înlocuite cu expresii pentru diagramele de distribuție a forțelor interne corespunzătoare de la sarcina care acționează Și iar din forțele F 2 = 1. Expresia rezultată se numește formula lui Mohr (1881).

La calcularea sistemelor de bare spațiale, formula (3.4) trebuie utilizată pentru a calcula munca totală a forțelor interne, apoi se va dovedi

Este destul de evident că expresiile pentru diagramele forțelor interne S, Q y , Q z , M x, M y, M g și valorile caracteristicilor geometrice ale secțiunilor A, J t, Jy, J, pentru secțiunea a n-a corespunzătoare sunt înlocuite în integrale. Pentru a scurta notația în notația acestor mărimi, indicele „i” este omis.

3.2.2. Cazuri particulare de determinare a deplasărilor

Formula (3.8) este utilizată în cazul general al unui sistem de tije plane, dar în unele cazuri poate fi simplificată semnificativ. Luați în considerare cazuri speciale de implementare a acestuia.

1. Dacă deformațiile din forțele longitudinale pot fi neglijate, ceea ce este tipic pentru sistemele de grinzi, atunci formula (3.8) se va scrie ca

2. Dacă sistem plat constă numai din grinzi îndoite cu pereți subțiri cu raportul l/h> 5 pentru console sau l/h> 10 pentru travee (I și h sunt lungimea grinzii și înălțimea secțiunii), apoi, de regulă, energia deformare la încovoiere depășește semnificativ energia de deformare din forțele longitudinale și de forfecare, astfel încât acestea pot fi ignorate în calculul deplasărilor. Apoi formula (3.8) ia forma

3. Pentru ferme, ale căror tije, sub încărcare nodă, suferă în principal forțe longitudinale, putem presupune M = 0 și Q = 0. Atunci deplasarea nodului se calculează prin formula

Integrarea se realizează pe lungimea fiecărei tije, iar însumarea se realizează pe toate tijele. Ținând cont de faptul că forța S u in i-m tija iar aria secțiunii transversale nu se modifică pe lungimea sa, putem simplifica această expresie:

Cu toată aparenta simplitate a acestei formule, calculul analitic al deplasărilor în ferme este foarte laborios, deoarece necesită determinarea forțelor din toate tijele de ferme din sarcina care acționează () și dintr-o forță unitară () aplicată în punctul a cărui deplasare necesită a fi gasit.

3.2.3. Metodologie și exemple pentru determinarea deplasărilor

Luați în considerare calculul integralei Mohr prin metoda lui A. N. Vereshchagin (1925). Integrala lui Mohr are forma (3.8), unde ca D 1 , D 2 pot apărea diagrame ale momentelor încovoietoare, ale forțelor longitudinale sau transversale. Cel puțin una dintre diagramele () din integrand este liniară sau liniară pe bucăți, deoarece este construită dintr-o singură sarcină. Prin urmare, pentru

Prima dintre integrale numeric egal cu suprafata subgraf (umbrit în Fig. 3.6), iar al doilea - la momentul static al acestei zone în jurul axei. Momentul static poate fi scris ca , unde este coordonata pozitiei centrului de greutate al zonei (punctul A). Având în vedere ceea ce s-a spus, obținem

(3.13)

Regula lui Vereshchagin este formulată după cum urmează: dacă cel puțin una dintre diagrame este liniară pe diagramă, atunci integrala Mohr este calculată ca produsul ariei unui

Când calculați structuri în mediul Mathcad, nu este nevoie să utilizați regula Vereshchagin, deoarece puteți calcula integrala prin integrare numerică.

Exemplul 3.1(Fig. 3.7, a). Grinda este încărcată cu două forțe situate simetric. Aflați deplasările punctelor de aplicare a forțelor.

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare M 1 din forțele F 1 . Reacții de sprijin Moment maxim de încovoiere sub forță

2. Deoarece sistemul este simetric, deviațiile sub forțe vor fi aceleași. Ca stare auxiliară, luăm încărcarea grinzii cu două forțe unitare F 2 = 1 N, aplicate în aceleași puncte cu forțele F 1

(Fig. 3.7, b). Diagrama momentelor încovoietoare pentru această încărcare este similară cu cea anterioară, iar momentul încovoietor maxim M 2max = 0,5 (L-b).

3. Încărcarea sistemului de către două forțe din a doua stare se caracterizează prin forța generalizată F 2 și deplasarea generalizată , care creează munca forțelor externe asupra deplasării stării 1, egală cu . Să calculăm deplasarea folosind formula (3.11). Înmulțind diagramele cu secțiuni conform regulii Vereshchagin, găsim

După înlocuirea valorilor primim

Exemplul 3.2. Aflați deplasarea orizontală a suportului mobil al cadrului în formă de U încărcat cu forța F x (Fig. 3.8, a).

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare din forța F 1 Reacții de sprijin . Momentul încovoietor maxim sub forța F 1

2. Ca stare auxiliară luăm încărcarea grinzii cu o forță orizontală unitară F 2 aplicată în punctul B (Fig. 3.8, b). Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz de încărcare. Reacții de susținere A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Moment încovoietor maxim.

3. Calculăm deplasarea după formula (3.11). Pe secțiunile verticale, produsul este zero. Pe o secțiune orizontală, graficul M 1 nu este liniar, dar graficul este liniar. Înmulțind diagramele prin metoda Vereshchagin, obținem

Produsul este negativ, deoarece diagramele se află pe părți opuse. Primit sens negativ deplasarea indică faptul că direcția sa reală este opusă direcției forței unitare.

Exemplul 3.3(Fig. 3.9). Aflați unghiul de rotație al secțiunii grinzii cu două suporturi sub forță și găsiți poziția forței la care acest unghi va fi maxim.

1. Să construim o diagramă a momentelor încovoietoare M 1 din forța F 1. Pentru a face acest lucru vom găsi reacția de sprijin A 1. Din ecuația de echilibru pentru sistemul ca întreg aflați.Momentul încovoietor maxim sub forța Fj

2. Ca stare auxiliară, luăm încărcarea fasciculului cu un singur moment F 2 \u003d 1 Nm în secțiunea a cărei rotație trebuie determinată (Fig. 3.9, b). Construim o diagramă a momentelor încovoietoare pentru acest caz de încărcare. Reacții de susținere A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, momente încovoietoare

Ambele momente sunt negative, deoarece sunt îndreptate în sensul acelor de ceasornic. Diagramele sunt construite pe o fibră întinsă.

3. Calculăm unghiul de rotație după formula (3.11), efectuând înmulțirea pe două secțiuni,

Notând , puteți obține această expresie într-o formă mai convenabilă:

Graficul dependenței unghiului de rotație de poziția forței F 1 este prezentat în fig. 3.9, c. Diferențiând această expresie, de condiția găsim poziția forței la care unghiul de înclinare al grinzii sub ea va fi cel mai mare în valoare absolută. Acest lucru se va întâmpla la valori egale cu 0,21 și 0,79.

1. Coordonate generalizate și număr de grade de libertate.

Când un sistem mecanic se mișcă, toate punctele sale nu se pot mișca în mod arbitrar, deoarece sunt limitate de conexiuni. Aceasta înseamnă că nu toate coordonatele punctului sunt independente. Poziția punctelor este determinată prin specificarea doar a coordonatelor independente.

coordonate generalizate. Pentru sistemele holonomice (adică cele ale căror conexiuni sunt exprimate prin ecuații care depind doar de coordonate), numărul de coordonate generalizate independente ale unui sistem mecanic egal cu numărul de grade de libertate acest sistem.

Exemple:

Poziția tuturor punctelor este determinată în mod unic de unghiul de rotație

manivelă.

Un grad de libertate.

2. Poziția unui punct liber în spațiu este determinată de trei coordonate independente una de cealaltă. De aceea trei grade de libertate.

3. Corp rotativ rigid, poziție determinată de unghiul de rotație j . Un grad de libertate.

4. Un corp rigid liber a cărui mișcare este determinată de șase ecuații - șase grade de libertate.

2. Posibile deplasări ale sistemului mecanic.

Conexiuni ideale.

Posibil deplasările sunt deplasări infinitezimale imaginare permise la un moment dat de constrângerile impuse sistemului. Posibilele deplasări ale punctelor unui sistem mecanic sunt considerate mărimi de ordinul întâi de micime, prin urmare, deplasările curbilinii ale punctelor sunt înlocuite cu segmente de dreaptă trasate tangențial la traiectoriile punctelor și sunt notate dS.

dS A = dj . OA

Toate forțele care acționează asupra unui punct material sunt împărțite în forțe date și reacții de constrângere.

Dacă suma muncii reacțiilor legăturilor la orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero, atunci astfel de legături se numesc ideal.

3. Principiul mișcărilor posibile.

Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero.

Sens principiul miscarilor posibile:

1. Sunt luate în considerare doar forțele active.

2. Oferă într-o formă generală condiția de echilibru pentru orice sistem mecanic, în timp ce în statică este necesar să se ia în considerare echilibrul fiecărui corp al sistemului separat.

Sarcină.

Pentru o poziție dată a mecanismului manivelă-glisor la echilibru, găsiți relația dintre moment și forță dacă OA = ℓ.

Ecuația generală a dinamicii.

Principiul deplasărilor posibile oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de statică. Pe de altă parte, principiul d'Alembert face posibilă utilizarea metodelor staticii pentru a rezolva probleme de dinamică. Prin urmare, prin aplicarea simultană a acestor două principii, se poate obține o metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică.

Să luăm în considerare un sistem mecanic căruia îi sunt impuse constrângeri ideale. Dacă la toate punctele sistemului, cu excepția forțelor active care acționează asupra lor și a reacțiilor legăturilor, adăugăm forțele de inerție corespunzătoare, atunci conform principiului d'Alembert, sistemul de forțe rezultat va fi în echilibru. Aplicând principiul deplasărilor posibile, obținem:

Deoarece conexiunile sunt ideale, atunci:

Această egalitate reprezintă ecuație generală dinamica.

Din aceasta rezultă principiul d'Alembert-Lagrange- când un sistem se mișcă cu constrângeri ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor de inerție asupra oricărei mișcări posibile a sistemului va fi egală cu zero.

Sarcină.

În liftul de viteze 2 greutate 2G cu raza R2=R cuplul aplicat M=4GR.

Determinați accelerația sarcinii ridicate A cântărind G, neglijând greutatea frânghiei și frecarea în osii. O tobă pe care este înfășurată o frânghie și un angrenaj fixat rigid de ea 1 , au o greutate totală 4Gși raza de rotație r = R. raza tamburului R A = R si angrenaje 1

R 1 \u003d 0,5R.

Să descriem totul forte active, direcția accelerațiilor și posibilele deplasări.

________________

Inlocuim in ecuatia generala a dinamicii

Exprimăm deplasarea în termeni de unghi de rotație δφ 1

Înlocuiți valorile

δφ 1 ≠0

Să exprimăm toate accelerațiile în termeni de dorit un Ași egalați expresia dintre paranteze cu zero

Înlocuiți valorile

Principiul mișcărilor posibile.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm _________________

x V; la B; N / A ; Mp

Soluţie: Să aflăm reacția suportului mobil A de ce renunțăm mental la această conexiune, înlocuindu-i acțiunea cu o reacție N / A

Posibila mișcare a tijei AC este rotația sa în jurul balamalei CU in colt dj. Nucleu Soare rămâne nemișcat.

Să compunem ecuația muncii, ținând cont de faptul că munca forțelor în timpul rotației corpului este egal cu produsul dintre momentul de forță în jurul centrului de rotație și unghiul de rotație al corpului.

Pentru a determina reacțiile de fixare rigidă într-un suport ÎN mai întâi găsiți momentul reacției M p. Pentru a face acest lucru, aruncăm constrângerea care împiedică tija să se rotească Soare, înlocuind fixarea rigidă cu un suport fixat cu balamale și aplicând un moment M p .

Spuneți tijei o posibilă rotație printr-un unghi dj 1.

Compuneți ecuația de lucru pentru tijă Soare:

Să definim deplasările:

Pentru a determina componenta verticală a reacției de fixare rigidă, renunțăm la constrângerea care împiedică punctul să se miște vertical ÎN, înlocuind fixarea rigidă cu una glisantă (este imposibil să se rotească) și aplicând reacția:

Să informăm partea stângă (tija Soare cu glisor ÎN) viteza posibilă V B mișcare progresivă în jos. Nucleu AC rotiți în jurul punctului A .

Să facem ecuația lucrărilor:

Pentru a determina componenta orizontală a reacției de ancorare rigidă, renunțăm la constrângerea care împiedică punctul de a se deplasa orizontal ÎNînlocuirea terminației rigide cu una glisantă și aplicarea reacției:

Să informăm partea stângă (glisor ÎNîmpreună cu tija Soare) viteza posibilă V B mișcare înainte spre stânga. De la sprijin A pe role, apoi partea dreaptă se va deplasa înainte cu aceeași viteză. Prin urmare .

Să facem ecuația lucrărilor pentru toate proiectele.

Pentru a verifica corectitudinea soluției, compunem ecuațiile de echilibru pentru întregul sistem:

Condiția este îndeplinită.

Răspuns: yB = -14,2 H; XB = -28,4 H; NA = 14,2 H; V P \u003d 3,33 Nm.

Viteze generalizate. Forțe generalizate.

Cantitati independente, care determină în mod unic poziția tuturor punctelor unui sistem mecanic, sunt numite coordonate generalizate. – q

Dacă sistemul are S grade de libertate, atunci poziția acestuia va fi determinată S coordonate generalizate:

q1; q2; …; q s .

Deoarece coordonatele generalizate sunt independente unele de altele, incrementele elementare ale acestor coordonate vor fi, de asemenea, independente:

dq 1; dq 2 ; …; dq S .

În același timp, fiecare dintre cantități dq 1; dq 2 ; …; dq S determină mișcarea corespunzătoare, independentă de celelalte, posibilă a sistemului.

Când sistemul se mișcă, coordonatele sale generalizate se vor schimba continuu în timp, legea acestei mișcări este determinată de ecuațiile:

, …. ,

Acestea sunt ecuațiile de mișcare ale sistemului în coordonate generalizate.

Derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul se numesc viteze generalizate ale sistemului:

Dimensiunea depinde de dimensiune q.

Considerăm un sistem mecanic format din n puncte materiale asupra carora actioneaza fortele F1, F2, Fn. Lasă sistemul să aibă S grade de libertate și poziția sa este determinată de coordonatele generalizate q1; q2; q 3. Să spunem sistemului o posibilă mișcare, în care coordonatele q 1 primește o creștere dq 1, iar restul coordonatelor nu se modifică. Atunci vectorul rază al punctului k primește un increment elementar (dr k) 1. Acesta este incrementul pe care îl primește vectorul rază atunci când se schimbă doar coordonatele. q 1 prin suma dq 1. Restul coordonatelor rămân neschimbate. De aceea (dr k) 1 calculat ca diferență parțială:

Să calculăm munca elementară a tuturor forțelor aplicate:

Să-l scoatem din paranteze dq 1, primim:

Unde - putere generalizată.

Asa de, forta generalizata – este coeficientul pentru incremente ale coordonatei generalizate.

Calculul forțelor generalizate se reduce la calculul posibilului lucru elementar.

Dacă totul se schimbă q, Acea:

Conform principiului posibilelor deplasări, pentru echilibrul sistemului este necesar și suficient ca SdA a k = 0. În coordonate generalizate Î1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 prin urmare, Pentru echilibrul sistemului este necesar și suficient ca forțele generalizate corespunzătoare posibilelor deplasări alese pentru sistem și, prin urmare, coordonatelor generalizate, au fost egale cu zero.

Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.

Ecuațiile lui Lagrange.

Folosind ecuația generală a dinamicii pentru un sistem mecanic, se pot găsi ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic.

4) determinați energia cinetică a sistemului, exprimați această energie în termeni de viteze generalizate și coordonate generalizate;

5) găsiți derivatele parțiale corespunzătoare ale T pentru și și înlocuiți toate valorile din ecuație.

Teoria impactului.

Mișcarea unui corp sub acțiunea forțelor obișnuite se caracterizează printr-o schimbare continuă a modulelor și direcțiilor vitezelor acestui corp. Cu toate acestea, există cazuri în care vitezele punctelor corpului și, prin urmare, cantitatea de mișcare corp solidîntr-o perioadă foarte scurtă de timp se obțin modificări finale.

Fenomen, la care, pentru o perioadă de timp neglijabil de mică, vitezele punctelor corpului se modifică într-o cantitate finită, se numește a sufla.

forte, sub acţiunea cărora se produce impactul se numesc percuţie.

Perioada mică de timp tîn timpul căreia are loc impactul se numește timpul de impact.

Deoarece forțele de impact sunt foarte mari și se modifică semnificativ în timpul impactului, în teoria impactului, nu forțele de impact în sine, ci impulsurile lor sunt considerate ca o măsură a interacțiunii corpurilor.

Impulsuri ale forțelor non-impact în timp t sunt foarte mici și pot fi neglijate.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct la impact:

Unde v este viteza punctului la începutul impactului,

u este viteza punctului la sfârșitul impactului.

Ecuația de bază a teoriei impactului.

Mișcarea punctelor într-o perioadă foarte scurtă de timp, adică în timpul impactului, va fi și ea mică și, prin urmare, vom considera corpul nemișcat.

Deci, putem trage următoarele concluzii despre forțele de impact:

1) acţiunea forţelor non-impact în timpul impactului poate fi neglijată;

2) deplasările punctelor corpului în timpul impactului pot fi neglijate și corpul poate fi considerat nemișcat în timpul impactului;