Derivarea ecuației vibrațiilor longitudinale ale unei tije elastice. Metode de rezolvare a vibrațiilor longitudinale ale unei tije. Exemple de rezolvare a problemelor

Să considerăm o tijă uniformă de lungime, adică un corp de formă cilindrică sau de altă formă, pentru întindere sau îndoire, căruia trebuie aplicată o anumită forță. Ultima împrejurare distinge chiar și cea mai subțire tijă de sfoară, care, după cum știm, se îndoaie liber.

În acest capitol, vom aplica metoda caracteristicilor la studiul vibrațiilor longitudinale ale unei tije și ne vom restrânge la studierea doar a vibrațiilor în care secțiunile transversale, deplasându-se de-a lungul axei tijei, rămân plate și paralele cu unul pe altul (fig. 6). O astfel de presupunere este justificată dacă dimensiunile transversale ale tijei sunt mici în comparație cu lungimea acesteia.

Dacă tija este oarecum întinsă sau comprimată de-a lungul axei longitudinale și apoi lăsată la sine, atunci vor apărea vibrații longitudinale în ea. Să direcționăm axa de-a lungul axei tijei și să presupunem că în repaus capetele tijei sunt în puncte Fie abscisa unei secțiuni a tijei când aceasta din urmă este în repaus. Se notează prin deplasarea acestei secțiuni în momentul de timp, atunci deplasarea secțiunii cu abscisa va fi egală cu

De aici este clar că alungirea relativă a tijei în secțiunea cu abscisa x se exprimă prin derivată

Presupunând acum că tija efectuează vibrații mici, putem calcula tensiunea Reală în această secțiune, aplicând legea lui Hooke, constatăm că

unde este modulul de elasticitate al materialului tijei, aria secțiunii transversale a acestuia. Luați elementul tijei, închis

între două secțiuni, ale căror abscise în repaus sunt, respectiv, egale. Acest element este afectat de forțele de întindere aplicate în aceste secțiuni și direcționate de-a lungul axei. Rezultanta acestor forțe are valoarea

și, de asemenea, direcționat de-a lungul . Pe de altă parte, accelerația elementului este egală, deci putem scrie egalitatea

unde este densitatea în vrac a tijei. Punând

iar reducând cu obținem ecuația diferențială a vibrațiilor longitudinale ale unei tije omogene

Forma acestei ecuații arată că oscilațiile longitudinale ale tijei sunt de natură ondulată, iar viteza de propagare a unde longitudinale se determină prin formula (4).

Dacă o forță externă calculată pe unitatea de volum acționează și asupra tijei, atunci în loc de (3) obținem

Aceasta este ecuația vibrațiilor longitudinale forțate ale tijei. Ca și în dinamică în general, o ecuație a mișcării (6) nu este suficientă pentru a determina complet mișcarea tijei. Trebuie să întreb condiții inițiale, adică setați deplasările secțiunilor tijei și vitezele acestora în momentul inițial de timp

unde si funcții predefiniteîn interval (

În plus, trebuie specificate condițiile de limită la capetele barei. De exemplu.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (tipărit) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

PROBLEMA VIBRAȚIILOR LONGITUDINALE ALE TINIEI ÎNCĂRCATE ELASTIC FIXATE

A. B. Beilin

Statul Samara Universitate tehnica, Rusia, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.

adnotare

Se iau în considerare vibrațiile longitudinale unidimensionale ale unei tije groase scurte fixate la capete cu ajutorul maselor concentrate și arcurilor. Ca model matematic, se folosește o problemă de valoare la limită inițială cu condiții dinamice la limită pentru o ecuație hiperbolică de ordinul al patrulea. Alegerea acestui model special se datorează necesității de a lua în considerare efectele deformării tijei în direcția transversală, a căror neglijare, așa cum arată Rayleigh, duce la o eroare, care este confirmată de non-ul modern. concept local de studiere a oscilaţiilor solide. Se demonstrează existenţa unui sistem de funcţii proprii ale problemei studiate ortogonal cu sarcina şi se obţine reprezentarea lor. Proprietățile stabilite ale funcțiilor proprii au făcut posibilă aplicarea metodei de separare a variabilelor și demonstrarea existenței unei soluții unice a problemei.

Cuvinte cheie: condiții dinamice la limită, vibrații longitudinale, ortogonalitatea sarcinii, model Rayleigh.

Introducere. În orice sistem mecanic de lucru, au loc procese oscilatorii, care pot fi generate din diverse motive. Procesele oscilatorii pot fi o consecință a caracteristicilor de proiectare ale sistemului sau a redistribuirii sarcinilor între diferite elemente ale unei structuri care funcționează normal.

Prezența surselor de procese oscilatorii în mecanism poate face dificilă diagnosticarea stării sale și chiar poate duce la încălcarea modului său de funcționare și, în unele cazuri, la distrugere. Diverse probleme asociate cu o încălcare a preciziei și performanței sistemelor mecanice ca urmare a vibrației unora dintre elementele lor sunt adesea rezolvate experimental în practică.

În același timp, procesele oscilatorii pot fi foarte utile, de exemplu, pentru prelucrarea materialelor, asamblarea și dezasamblarea îmbinărilor. Vibrațiile cu ultrasunete permit nu numai intensificarea proceselor de tăiere (găurire, frezare, șlefuire etc.) a materialelor cu duritate mare (oțeluri cu conținut de wolfram, carbură de titan etc.),

© 2016 Universitatea Tehnică de Stat Samara. Exemplu de citare

Beilin, A.B., Problema vibrațiilor longitudinale ale unei tije încărcate elastic fixate, Vestn. Eu insumi. stat tehnologie. universitate Ser. Fiz.-Matematică. Nauki, 2016. V. 20, nr 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Despre autor

Alexander Borisovich Beilin (dr., conf.; [email protected]), conferențiar, dept. sisteme automate de mașini și unelte.

dar în unele cazuri devin singura metodă posibilă de prelucrare a materialelor fragile (germaniu, siliciu, sticlă etc.). Element de dispozitiv (ghid de undă) care transmite vibratii ultrasonice de la sursă (vibrator) la instrument se numește concentrator și poate avea formă diferită: cilindric, conic, treptat, exponenţial etc. Scopul său este de a transmite instrumentului fluctuațiile amplitudinii necesare.

Astfel, consecințele apariției proceselor oscilatorii pot fi diferite, precum și cauzele care le provoacă, prin urmare, apare în mod firesc nevoia unui studiu teoretic al proceselor de oscilație. Modelul matematic de propagare a undelor în tije solide relativ lungi și subțiri, care se bazează pe o ecuație de undă de ordinul doi, a fost bine studiat și a devenit de mult un clasic. Cu toate acestea, așa cum a arătat Rayleigh, acest model nu este în concordanță cu studiul vibrațiilor unei tije scurte groase, în timp ce multe detalii ale mecanismelor reale pot fi interpretate ca tije scurte și groase. În acest caz, trebuie luate în considerare și deformațiile tijei în direcția transversală. Modelul matematic al vibrațiilor longitudinale ale unei tije groase, scurte, care ia în considerare efectele mișcării transversale a tijei, se numește tijă Rayleigh și se bazează pe o ecuație hiperbolică de ordinul al patrulea.

^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1)

ai caror coeficienti au sens fizic :

g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),

unde A(x) este aria secțiunii transversale, p(x) este densitatea masei tijei, E(x) este modulul lui Young, V(x) este raportul lui Poisson, 1P(x) este momentul polar de inerție , u(x, b) - deplasări longitudinale de determinat.

Ideile lui Rayleigh și-au găsit confirmarea și dezvoltarea în lucrările moderne dedicate proceselor vibrațiilor, precum și teoriei plasticității. Articolul de revizuire fundamentează neajunsurile modelelor clasice care descriu starea și comportamentul solidelor sub sarcină, în care a priori corpul este considerat un continuum ideal. Nivelul modern de dezvoltare a științelor naturii necesită construirea de noi modele care să descrie adecvat procesele studiate și cele dezvoltate în ultimele decenii. metode matematice da aceasta oportunitate. Pe această cale, în ultimul sfert al secolului trecut, a fost propusă o nouă abordare a studiului multor procese fizice, inclusiv a celor menționate mai sus, bazată pe conceptul de nonlocalitate (vezi articolul și lista de referințe din acesta). Una dintre clasele de modele non-locale identificate de autori este numită „slab non-local”. Modelele matematice aparținând acestei clase pot fi implementate prin introducerea unor derivate în ecuația care descrie un proces ordin înalt, permițând să se țină seama, într-o oarecare aproximare, de interacțiunea elementelor interne ale obiectului de studiu. Astfel, modelul Rayleigh este relevant în epoca noastră.

1. Enunțarea problemei. Fie ca capetele tijei x = 0, x = I să fie atașate de o bază fixă ​​cu ajutorul maselor concentrate N1, M2 și arcuri, ale căror rigidități sunt K1 și K2. Vom presupune că tija este un corp de revoluție în jurul axei 0x și momentul inițial de timp este în repaus în poziția de echilibru. Apoi ajungem la următoarea problemă inițială a valorii limită.

Sarcină. Găsiți în zona Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) și condiții la limită

a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()

Articolul ia în considerare câteva cazuri speciale ale problemei (1)-(2) și oferă exemple în care coeficienții ecuației au o formă explicită și M\ = M2 = 0. Articolul demonstrează solubilitatea slabă fără ambiguitate a problemei în general. caz.

Condițiile (2) sunt determinate de metoda de fixare a tijei: capetele acesteia sunt atașate de baze fixe cu ajutorul unor dispozitive având mase M1, M2 și arcuri cu rigiditățile K1, respectiv K2. Prezența maselor și toleranța pentru deplasări transversale conduce la condiții de forma (2) care conține derivate în timp. Condițiile la limită care includ derivate de timp se numesc dinamice. Ele pot apărea în diverse situații, dintre care cele mai simple sunt descrise într-un manual și altele mult mai complexe într-o monografie.

2. Studiul oscilațiilor naturale ale tijei. Se consideră o ecuație omogenă corespunzătoare ecuației (1). Deoarece coeficienții depind doar de x, putem separa variabilele reprezentând u(x, z) = X(x)T(z). Obținem două ecuații:

m""(r) + \2m(r) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

Ecuația (3) este însoțită de condiții la limită

(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,

(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)

Astfel, am ajuns la problema Sturm-Liouville, care diferă de cea clasică prin aceea că parametrul spectral Λ este inclus în coeficientul celei mai mari derivate a ecuației, precum și în condițiile la limită. Această împrejurare nu ne permite să ne referim la rezultate cunoscute din literatură, deci scopul nostru imediat este studierea problemei (3), (4). Pentru implementarea cu succes a metodei de separare a variabilelor, avem nevoie de informații despre existența și localizarea valorilor proprii, despre calitative.

proprietăți ale funcțiilor proprii: au proprietatea de ortogonalitate?

Să arătăm că A2 > 0. Să presupunem că nu este cazul. Fie X(x) o funcție proprie a problemei (3), (4) corespunzătoare valorii A = 0. Înmulțim (3) cu X(x) și integrăm egalitatea rezultată în intervalul (0,1). Integrarea pe părți și aplicarea condițiilor la limită (4), după transformări elementare primim

1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Observăm că din sensul fizic al funcțiilor a(x), b(x), g(x) sunt pozitive, Kr, Mr sunt nenegative. Dar apoi din egalitatea rezultată rezultă că X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, prin urmare, X (x) \u003d 0, ceea ce contrazice ipoteza făcută. Prin urmare, ipoteza că acel zero este o valoare proprie a problemei (3), (4) este falsă.

Reprezentarea soluției ecuației (3) depinde de semnul expresiei a(x) - - A2b(x). Să arătăm că a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Fixăm arbitrar x e (0, 1) și găsim valorile în acest punct ale funcțiilor a(x), b(x), q(x). Scriem ecuația (3) sub forma

X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5)

unde am marcat

la punctul fix ales, iar condițiile (4) pot fi scrise în formă

X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)

unde a, b sunt ușor de calculat.

După cum se știe, problema clasică Sturm-Liouville (5), (6) are un set numărabil de funcții proprii pentru V > 0, de unde, datorită arbitrarului lui x, urmează inegalitatea dorită.

Funcțiile proprii ale problemei (3), (4) au proprietatea de ortogonalitate cu sarcina , exprimată prin relația

I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о

M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7)

care poate fi obținută în mod standard (vezi, de exemplu, ), a cărei implementare în cazul problemei luate în considerare este asociată cu calcule elementare, dar minuțioase. Să prezentăm pe scurt derivarea acesteia, omițând argumentul funcțiilor Xr(x) pentru a evita greoaiele.

Fie λm, λn valori proprii diferite, λm, λn funcțiile proprii ale problemei (3), (4) corespunzătoare acestora. Apoi

((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.

Înmulțim prima dintre aceste ecuații cu Xn și pe a doua cu Xm și scadem a doua din prima. După transformări elementare, obținem egalitatea

(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)",

pe care le integrăm pe intervalul (0,1). Ca urmare, luând în considerare (4) și reducând cu (Лт - Лп), obținem relația (7).

Declarațiile dovedite despre proprietățile valorilor proprii și ale funcțiilor proprii ale problemei Sturm-Liouville (3), (4) ne permit să aplicăm metoda de separare a variabilelor pentru a găsi o soluție la problemă.

3. Rezolvarea problemei. Denota

C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)).

Teorema 1. Fie a, b e C1 , e C. Atunci există cel mult o soluție u e C(m) a problemei (1), (2).

Dovada. Să presupunem că există două soluții diferite la problema (1), (2), u1(x, z) și u2(x, z). Atunci, datorită liniarității problemei, diferența lor u = u1 - u2 este o soluție a problemei omogene corespunzătoare lui (1), (2). Să arătăm că soluția sa este banală. Remarcăm dinainte că, din sensul fizic al coeficienților ecuației și al condițiilor la limită, funcțiile a, b, q sunt pozitive peste tot în Qm, în timp ce M^, K^ sunt nenegative.

Înmulțind egalitatea (1) cu u și integrând pe domeniul Qt, unde t e și în mod arbitrar, după transformări simple, obținem

/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o

K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0,

de unde, în virtutea arbitrarului lui m, urmează imediat afirmația teoremei. □

Să demonstrăm existența unei soluții pentru cazul coeficienților constanți.

Teorema 2. Fie<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>„(\) = 0, are o derivată continuă pe bucăți de ordinul trei în (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0 și are o derivată continuă pe bucăți de ordinul doi în ( 0,1), f e C(C^m), atunci soluția problemei (1), (2) există și poate fi obținută ca sumă a unei serii de funcții proprii.

Dovada. Vom căuta, ca de obicei, o soluție la problemă sub forma unei sume

unde primul termen este soluția problemei formulate pentru ecuația omogenă corespunzătoare lui (1), al doilea este soluția ecuației (1) care satisface condiții inițiale și limită zero. Să folosim rezultatele studiilor efectuate în paragraful anterior și să notăm soluția generală a ecuației (3):

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Aplicând condițiile la limită (4), ajungem la un sistem de ecuații pentru Cj!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Echivalând determinantul său cu zero, obținem ecuația spectrală

ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Să aflăm dacă această ecuație transcendentală are o soluție. Pentru a face acest lucru, luați în considerare funcțiile care se află în părțile sale din stânga și din dreapta și examinați-le comportamentul. Fără a limita prea mult generalitatea, stabilim

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

ceea ce va simplifica putin calculele necesare. Ecuația (8) ia forma

x I q ​​​​, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b"

și scrieți ecuația spectrală în notație nouă!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

O analiză a funcțiilor părților din stânga și din dreapta ultimei ecuații ne permite să afirmăm că există un set numărabil al rădăcinilor sale și, prin urmare, un set numărabil de funcții proprii ale problemei Sturm-Liouville (3), (4) , care, ţinând cont de relaţia obţinută din sistem faţă de c¿, se poate scrie

v / l l I q K - x2pm. l i q

Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Acum trecem la găsirea unei soluții care să îndeplinească și condițiile inițiale. Acum putem găsi cu ușurință soluția problemei pentru ecuația omogenă sub forma unei serii

u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x),

ai căror coeficienți pot fi aflați din datele inițiale folosind proprietatea de ortogonalitate a funcțiilor Xn(x), a cărei normă poate fi obținută din relația (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo

Procesul de găsire a funcției v(x,t) este, de asemenea, în esență standard, dar totuși observăm că, căutând o soluție în forma tradițională

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

obținem două ecuații. Într-adevăr, ținând cont de forma funcțiilor proprii, să precizăm structura seriei în care căutăm o soluție:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn"

Pentru a îndeplini condițiile inițiale zero y(x, 0) = y^x, 0) = 0, se cere ca Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. Extinderea f( x, d) într-o serie Fourier în raport cu funcțiile proprii Xn(x), găsim coeficienții ¡n(b) și dn(b). Înlocuind (9) în ecuația (1), scrisă cu privire la y(x, b), după o serie de transformări, obținem ecuații pentru găsirea Yn(b) și Shn(b):

uc® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Ținând cont de condițiile inițiale Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0, ajungem la problemele Cauchy pentru fiecare dintre funcțiile Yn(b) și Shn( b), a cărui solvabilitate unică este garantată de condițiile teoremei. Proprietățile datelor inițiale formulate în teoremă nu lasă îndoieli cu privire la convergența tuturor seriilor apărute în cursul cercetării noastre și, prin urmare, asupra existenței unei soluții a problemei. □

Concluzie. Se demonstrează existenţa unui sistem de funcţii proprii ale problemei studiate ortogonal cu sarcina şi se obţine reprezentarea lor.

Proprietățile stabilite ale funcțiilor proprii au făcut posibilă demonstrarea existenței unei soluții unice a problemei. Rețineți că rezultatele obținute în articol pot fi folosite atât pentru studii teoretice ulterioare ale problemelor cu condiții dinamice la limită, cât și în scopuri practice, și anume, pentru a calcula vibrațiile longitudinale ale unei game largi de obiecte tehnice.

Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

REFERINȚE

1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Prelucrare mecanică cu ultrasunete și asamblare. Samara: Editura de carte Samara, 1995. 191 p.

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Prelucrarea dimensională cu ultrasunete a materialelor. Barnaul: Universitatea Tehnică din Altai im. I.I. Polzunova, 1997. 120 p.

3. Kumabe D. Tăiere prin vibrații. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 p.

4. A. N. Tikhonov și A. A. Samarskii, Ecuații ale fizicii matematice. M.: Nauka, 2004. 798 p.

5. Strett J. V. Teoria sunetului. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 p.

6. Rao J. S. Teoria avansată a vibrațiilor: vibrații neliniare și structuri unidimensionale. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 p.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoria vibrațiilor libere și forțate ale unei tije solide bazată pe modelul Rayleigh// DAN, 2007. V. 417, nr. pp. 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. vol. 128, nr. 11.pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. A. B. Beilin și L. S. Pulkina, „Problema vibrațiilor longitudinale ale unei tije cu condiții de limită dinamice”, Vestn. SamGU. Științele naturii Ser., 2014. Nr. 3 (114). pp. 9-19.

10. M. O. Korpusov, Fractura în ecuațiile de undă neclasice. M.: URSS, 2010. 237 p.

Primit 10/II/2016; în varianta finală - 18/V/2016; acceptat spre publicare - 27/V/2016.

Vestn. Samar. du-te. Tehn. Unta. Ser. Fiz.-mat. ştiinţă

2016, vol. 20, nr. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (tipărit) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

O PROBLEMA ASUPRA VIBRATIEI LONGITUDINALE A UNEI BARE CU FIXARE ELASTICA

Universitatea Tehnică de Stat Samara,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Federația Rusă.

În această lucrare, studiem vibrația longitudinală într-o bară groasă și scurtă fixată de forțe punctuale și arcuri. Pentru modelul matematic considerăm o problemă cu valori la limită cu condiții dinamice la limită pentru o ecuație diferențială parțială de ordinul al patrulea. Alegerea acestui model depinde de necesitatea de a lua în considerare rezultatul unei deformari transversale. Rayleigh a arătat că neglijarea unei tulpini transversale duce la o eroare. Acest lucru este confirmat de teoria modernă nelocală a vibrației. Demonstrăm existența funcțiilor proprii ortogonale cu sarcină și obținem reprezentarea lor. Proprietățile stabilite ale funcțiilor proprii fac posibilă utilizarea metodei separării variabilelor și găsirea unei soluții unice a problemei.

Cuvinte cheie: condiții dinamice la limită, vibrație longitudinală, ortogonalitate încărcată, modelul lui Rayleigh.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 p. (În rusă)

2. Hmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 p. (în rusă)

3. Kumabe J. Vibration Cutting. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (în japoneză).

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fizici. Moscova, Nauka, 2004, 798 p. (In rusa)

5. Strutt J. W. Teoria sunetului, voi. 1. Londra, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp.

6. Rao J. S. Teoria avansată a vibrațiilor: vibrații neliniare și structuri unidimensionale. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 p.

Beylin A.B. O problemă privind vibrația longitudinală a unei bare cu fixare elastică, Vestn. Samar. du-te. Tehnologie. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Știință, 2016, voi. 20, nr. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (În engleză) Detalii autor:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [email protected]), conferențiar, dept. a Mașinilor-unelte de automatizare și a sistemelor de scule.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoria vibrațiilor libere și forțate ale unei tije rigide bazată pe modelul Rayleigh, Dokl. Phys., 2007, vol.52, nr. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, nr. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Un promlem despre vibrațiile longitudinale ale unei tije cu condiții de limită dinamice, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, nr. 3(114), pp. 919 (în rusă).

10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniakh. Moscova, URSS, 2010, 237 p. (In rusa)

Primit 10/II/2016;

primit în formă revizuită 18/V/2016;

Referindu-ne la ecuațiile diferențiale de bază ale oscilațiilor, vom observa că atunci când le vom înmulți cu - = k 2, acestea vor conține termeni, dintre care unul are un coeficient la pătrat cu viteza Și vibrații transversale, altele - pătratul vitezei longitudinal fluctuatii.

Primii termeni în cazul oscilațiilor longitudinale trebuie să dispară din ecuații și obținem primul grup:

Deoarece suprafața p este, după alegerea noastră, suprafața unei unde, în ecuațiile de la § 7 trebuie să păstrăm o oscilație Rși echivalează cu oscilații zero /?! Și R.2, care apar într-un plan tangent la undă. Ca rezultat, găsim, setând // =1:

Deoarece A = 0, ecuațiile (1) vor lua forma:

Înmulțind prima dintre ecuațiile (2) cu //i // 2 , diferențiând față de p și acordând atenție ecuației (4), aflăm:

Ce conform ecuațiilor (2), B nu depinde nici de px, nici de [–]. Prin urmare, sens prin &F derivată parțială a unei funcții F una dintre variabile ^, R. 2, obținem din ecuația (7):

Înlocuind în această expresie cantitățile H 1H 2 găsit în p.p. 3, echivalând cu zero coeficienții la diferite grade, găsim următoarele condiții, care trebuie îndeplinite de unda Ф - i

Este cunoscut că astfel de relaţii sunt valabile numai pentru sferă, cilindru rotund și plan.

Prin urmare avem Ce suprafețele de unde izoterme pot propaga vibrații longitudinale.

Deci, dacă suprafața agitată sau unda inițială nu aparțin suprafețelor undelor izoterme, atunci în apropierea lor apar oscilațiile amestecat , dar la distanțe considerabile valul se apropie de forma uneia dintre undele izoterme, iar în fenomen se constată fluctuații longitudinal. STOP!!!

Rămâne să integrăm ecuațiile diferențiale reduse pentru sferă, cu folosind functii armonice!!!

Experimentele lui Tesla – oscilator armonic - inacceptabil!!!

Pentru sfereîn coordonatele pe care le-am folosit deja, avem:

Transformările ulterioare sunt nesemnificative și nu sunt date, deoarece duc la ecuația originală , care nu are nicio semnificație fizică pentru undele de tip soliton.

Concluziile constatate sunt în egală măsură aplicabile fenomenelor luminii în corpuri omogene şi, mai mult, în limitele de aproximare care au loc în teoria lui Boussinesq!?

De aici:„moment de durere” dezvăluit.

Culegere matematică N. Umov, vol. 5, 1870.

O altă incertitudine „teribilă”.

Argumentând în mod similar, s-ar putea obține cu ușurință o expresie similară pentru energia magnetică și, în consecință, pentru curenți. Noi vedem asta, chiar insistând asupra celei mai simple formule, problema localizării energiei încă nu poate fi rezolvată.

Și avem același lucru pentru fluxul de energie. Este posibil să se transforme mișcarea energiei curente într-un mod arbitrar prin adăugarea unui alt vector (u, v, w) la vectorul Poynting, care trebuie să satisfacă doar ecuația fluidelor incompresibile.

Fiind o consecință a ecuațiilor generale, nu adaugă nimic la ele.

Prin urmare, localizarea energiei este logic inutilă.(și uneori dăunătoare).

Dar există un aspect în care este important să luăm în considerare teorema lui Poynting.

Faptul principal din care se naște legea conservării energiei a fost și rămâne faptul constatat experimental al imposibilității miscare continua , un fapt – indiferent de ideile noastre, și poate fi atribuit unor porțiuni de energie pe care eterul ar trebui să le aibă în absența corpurilor materiale.

Legea conservării energiei, în forma sa clasică W = Const explică această imposibilitate.

Teorema punctării, necesitând capacitatea de a converti integrală de volum(oarecum arbitrar) în suprafaţă, exprimă mult mai puțin. Admite cu ușurință crearea mișcării perpetue fără a putea arăta imposibilitatea acesteia.!

De fapt, până nu introducem ipoteza potenţiale retardate, eliberarea continuă de energie din undele convergente care vin de la infinit rămâne la fel de probabilă ca și pierderea de energie observată efectiv.

Dacă motorul ar putea prelua pentru totdeauna doar energia eterului, indiferent de prezența corpurilor materiale, atunci ar putea exista miscare continua . Astfel, devine clar că înainte de a accepta formula pentru potențiale retardate, trebuie să dovedim că particula accelerată pierde energie și, ca urmare, este supusă unei contraacțiuni proporționale cu derivata accelerației sale.

Schimbați doar semnul c pentru a ajunge la ipoteza undei convergente.

Atunci vom descoperi ce semn vector de radiație se va schimba, de asemenea, iar noua ipoteză va duce, să zicem, în cazul unei particule care vibrează, la o creștere treptată a amplitudinii în timp, dar în general – pentru a crește energia sistemului?!

În natură, solitonii sunt:

– la suprafața unui lichid, primii solitoni găsiți în natură sunt uneori considerați ca atare de undele de tsunami

- diverse tipuri de ciocan de berbec

– tobe sonice – depășirea „supersonicului”

– solitoni ionosonici și magnetozonici în plasmă

sunt solitoni sub formă de impulsuri de lumină scurte în mediul activ laser

- probabil, un exemplu de soliton este hexagonul gigant de pe Saturn

– poate fi considerat sub formă de impulsuri nervoase solitoni , .

Model matematic, ecuația Korteweg-de Vries.

Unul dintre cele mai simple și mai cunoscute modele care permite existența solitonilor în soluție este ecuația Korteweg-de Vries:

u t + uu x + β tu xxx = 0.

O posibilă soluție la această ecuație este soliton solitar:

Teoreme de incertitudine în analiza armonică

Oscilator armonic în mecanica cuantică, este descris de ecuație Schrödinger,

Ecuația (217.5) se numește ecuația Schrödinger pentru stările staționare.

Stările staționare ale unui oscilator cuantic sunt determinate de ecuație Schrödinger drăguț

Unde E este energia totală a oscilatorului.

În teoria ecuațiilor diferențiale, se demonstrează că ecuația (222.2) se rezolvă numai pentru valorile proprii ale energiei

Formulă (222.3) arată că energia oscilatorului cuantic este cuantificat.

Energia este mărginită de jos, altfel decât zero, ca în cazul unui dreptunghiular "gropi" cu „pereți” infinit de înalți (vezi M. § 220), valoare energetică minimă

E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Existența unei energii minime se numește energia punctului zero– este tipic pentru sistemele cuantice și este o consecință directă a relații de incertitudine.

ÎN analiza armonică principiul incertitudinii implică faptul că este imposibil să se obțină cu precizie valorile unei funcții și maparea lui Fourier - și astfel faceți un calcul precis.

Adică, modelarea, generarea și analogia în conformitate cu principiile asemănării proceselor și formelor în Natură, folosind oscilator armonic – nu este posibil.

tipuri diferite matematicsolitonii se știe puțin până acum și toate nu sunt potrivite pentru a descrie obiecte în tridimensională spațiu, în special procesele care au loc în Natură.

De exemplu, solitoni obișnuiți, care apar în ecuația Korteweg–de Vries, sunt localizate într-o singură dimensiune dacă "alerga"într-o lume tridimensională, atunci va arăta ca o membrană plată nesfârșită care zboară înainte, sa spunem usor abracadabra!!!

În natură, astfel de membrane infinite nu sunt observate, ceea ce înseamnă că ecuația originală nu este potrivit pentru descrierea obiectelor tridimensionale.

Aici se află eroarea introducerii funcțiilor armonice. – oscilatoare, conexiuni în cazul oscilațiilor mixte.Legea similarității conectate, , dar asta e o altă poveste, care va duce, teoria solitonilor din sistematic incertitudine, .

Se propune o metodă de frecvență pentru rezolvarea problemei vibrațiilor longitudinale ale barelor cu secțiune transversală variabilă în trepte, cu sau fără luarea în considerare a disipării energiei la impactul cu un obstacol rigid. Ecuația vibrațiilor longitudinale ale tijei este transformată conform lui Laplace în prezența unor condiții inițiale diferite de zero. Este rezolvată o problemă a valorii la limită, care constă în găsirea forțelor longitudinale ale muchiei transformate la Laplace în funcție de deplasările muchiilor. Apoi se alcătuiește un sistem de ecuații pentru echilibrul nodurilor, rezolvând care, caracteristicile amplitudine-fază-frecvență (APFC) sunt construite pentru secțiunile de interes ale tijei. Efectuând transformarea Laplace inversă, se construiește un proces tranzitoriu. Ca exemplu de testare, este considerată o bară de secțiune constantă de lungime finită. Se oferă o comparație cu soluția de undă cunoscută. Metoda propusă de calcul dinamic al unei tije în ciocnire cu un obstacol rigid permite generalizări la un sistem arbitrar de tije în prezența unui număr nelimitat de mase atașate elastic, cu o forță arbitrară aplicată la capete și pe lungimea tijei. .

metoda frecvenței

vibratii longitudinale ale tijei

1. Biderman, V.L. Teoria aplicată a oscilațiilor mecanice / V.L. Biderman. - M.: Şcoala superioară, 1972. - 416 p.

2. Lavrentiev, M.A. Metode ale teoriei funcţiilor unei variabile complexe / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 p.

3. Sankin, Yu.N. Caracteristicile dinamice ale sistemelor vâscoelastice cu parametri distribuiți / Yu.N. Sankin. - Saratov: Editura Sarat. un-ta, 1977. - 312 p.

4. Sankin, Yu.N. Vibrații non-staționare ale sistemelor de tije în coliziune cu un obstacol / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; sub total ed. Yu.N. Sankin. - Ulyanovsk: UlGTU, 2010. - 174 p.

5. Sankin, Y.N. Vibrații longitudinale ale tijelor elastice de secțiune transversală variabilă în trepte care se ciocnesc cu un obstacol rigid \ Yu. N. Sankin și N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, nr 3, pp. 427-433, 2001.

Să luăm în considerare metoda frecvenței de rezolvare a problemei vibrațiilor longitudinale ale barelor cu secțiune transversală variabilă în trepte, cu sau fără luarea în considerare a disipării energiei la impactul cu un obstacol rigid, pe care o vom compara cu soluția cunoscută a undei și soluția. sub forma unei serii de moduri de vibraţie (14) .

Ecuația diferențială a vibrațiilor longitudinale ale tijei, ținând cont de forțele de rezistență internă, are forma:

Să stabilim următoarele condiții de limită și inițiale:

. (2)

Să transformăm ecuația (1) și condițiile la limită (2) conform lui Laplace pentru condițiile inițiale date (2). Atunci ecuația (2) și condițiile la limită (2) se vor scrie după cum urmează:

; (3)

,

unde sunt deplasările transformate Laplace ale punctelor tijei; p este parametrul transformării Laplace.

Ecuația (3) fără a lua în considerare disiparea energiei (la = 0) va lua forma:

. (4)

Pentru ecuația diferențială neomogenă rezultată, se rezolvă o problemă a valorii la limită, care constă în găsirea forțelor longitudinale ale muchiei transformate la Laplace în funcție de deplasările muchiilor.

Pentru aceasta, luăm în considerare ecuația omogenă a vibrațiilor longitudinale ale tijei, ținând cont de disiparea energiei

(5)

denotand

și trecând la o nouă variabilă, obținem în loc de (5)

(6)

Dacă, unde este parametrul de frecvență, atunci

.

Rezolvarea ecuației omogene (6) are forma:

Constantele de integrare c1 și c2 se găsesc din condițiile inițiale:

u = u0 ; N = N0,

Acestea. ;

Această soluție corespunde următoarei matrice de transfer:

. (7)

Înlocuind expresiile obținute pentru elementele matricei de transfer în formulele metodei deplasării, obținem:

; (8)

;

Indicii n și k indică începutul și, respectiv, sfârșitul secțiunii tijei. Iar constantele geometrice și fizice cu indicii nk și kn se referă la o secțiune specifică a tijei.

Rupând tija în elemente, folosind formulele (8), vom compune ecuațiile de echilibru dinamic al nodurilor. Aceste ecuații sunt un sistem de ecuații pentru deplasări nodale necunoscute. Deoarece coeficienții corespunzători sunt obținuți prin integrare exactă, lungimea secțiunilor tijei nu este limitată.

Rezolvând sistemul de ecuații rezultat pentru , construim caracteristicile amplitudine-fază-frecvență pentru secțiunile tijei care ne interesează. Aceste AFC-uri pot fi privite ca o imagine grafică a unei transformări Fourier unilaterale, care coincide cu transformarea Laplace sub acțiuni impulsive. Deoarece toate punctele singulare ale expresiilor corespunzătoare se află la stânga axei imaginare, transformarea inversă poate fi efectuată prin setarea , i.e. folosind AFC construit. Sarcina de a construi AFC, unde câmpul vitezelor inițiale înmulțit cu densitatea tijei apare ca o forță, este auxiliară. De obicei, AFC sunt construite din influența forțelor perturbatoare, apoi transformarea Laplace inversă este realizată prin integrare numerică sau într-un alt mod.

Ca exemplu simplu, luăm în considerare o tijă dreaptă de lungimea l, care se ciocnește longitudinal cu un obstacol rigid cu o viteză V0 (Fig. 1).

Să determinăm deplasarea punctelor tijei după impact. Presupunem ca dupa impact contactul dintre obstacol si tija se mentine, i.e. rebound tija nu are loc. Dacă conexiunea este nereținătoare, atunci problema poate fi considerată liniară pe bucăți. Criteriul de trecere la o altă soluție este schimbarea semnului vitezei în punctul de contact.

În monografia lui Lavrentiev M.A., Shabat B.V. soluția ondulatorie a ecuației (4) este dată:

și și-a găsit originalul

, (9)

unde este funcția pas de unitate.

O altă abordare pentru rezolvarea acestei probleme poate fi efectuată prin metoda frecvenței descrisă în . Pentru această problemă, vom avea:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Să găsim originalul (11)

Să rezolvăm aceeași problemă într-un mod de frecvență. Din ecuația de echilibru a primului nod:

(12)

obţinem o formulă pentru deplasarea capătului tijei .

Acum, dacă tija de testare cu secțiune transversală constantă este împărțită în două secțiuni arbitrare de lungime l1 și l2 (vezi Fig. 1), atunci condițiile pentru echilibrul nodurilor vor fi următoarele:

(13)

Ca rezultat al rezolvării sistemului (13), obținem grafice ale răspunsului de fază pentru deplasări în secțiunile 1 și 2 (U1 și, respectiv, U2). Deci, imaginea pentru deplasarea marginii într-o formă închisă, ținând cont de disiparea energiei, în cazul (12) și (13) coincide și are forma:

. (14)

Să verificăm coincidența rezultatelor la capătul tijei. Pe fig. Figura 2 prezintă graficele soluției (10) pentru x = l0.1 și ca rezultat al rezolvării sistemului (13). Se potrivesc perfect.

Transformarea Fourier discretă poate fi utilizată pentru a obține procesul tranzitoriu. Rezultatul poate fi obținut efectuând integrarea numerică la t=0... prin formula

. (15)

Pe AFC (vezi Fig. 2), doar o bobină vizibilă se manifestă semnificativ. Prin urmare, ar trebui luat un termen din seria (15). Din graficele din Figura 3, se poate observa cât de precise coincid soluția (9) și soluția conform modurilor de oscilații (11) cu soluția de frecvență propusă. Eroarea nu depășește 18%. Discrepanța rezultată se explică prin faptul că soluțiile (9) și (11) nu iau în considerare disiparea energiei în materialul tijei.

Orez. 3. Proces tranzitoriu pentru capatul tijei; 1, 2, 3 - grafice construite după formulele (9), (11), (15), respectiv.

Ca exemplu mai complex, luați în considerare problema vibrațiilor longitudinale ale unei tije în trepte (Fig. 4) cu o sarcină la capăt, care se ciocnește cu un obstacol rigid la o viteză V0, și lăsați masa sarcinii să fie egală cu masa. a secțiunii adiacente a tijei:.

Orez. 4. Schema de calcul a vibrațiilor longitudinale ale unei tije trepte cu o sarcină la capăt

Introducem sectiunile caracteristice 1,2,3 ale tijei, in care vom calcula deplasarile. Compunem un sistem de rezolvare a ecuațiilor:

(16)

Ca rezultat al rezolvării sistemului (16), se obțin graficele AFC (Fig. 5) pentru deplasări în secțiunile a doua și a treia (U2 () și, respectiv, U3 (). Calculele au fost efectuate cu următoarele valori ale constantelor: l = 2 m; E = 2,1 x 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Pe AFC-urile obținute, doar două viraj vizibile se arată semnificativ. Prin urmare, atunci când construim procesul tranzitoriu în secțiunile selectate, luăm doi termeni ai seriei (16). Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să definiți

Orez. Fig. 5. AFC a deplasărilor în a doua și a treia secțiune a unei tije în trepte (vezi Fig. 4)

În mod similar, conform formulei (15), este construit un proces tranzitoriu.

Concluzie: a fost dezvoltată o metodă pentru calcularea vibrațiilor longitudinale ale tijelor la impactul cu un obstacol.

Recenzători:

Lebedev A.M., doctor în științe tehnice, profesor asociat, profesor al Școlii superioare de aviație din Ulyanovsk (institut), Ulyanovsk.

Antonets I.V., doctor în științe tehnice, profesor al Universității Tehnice de Stat din Ulyanovsk, Ulyanovsk.

Link bibliografic

Un corp se numește tijă, una dintre dimensiunile căreia, numită longitudinală, își depășește semnificativ dimensiunile într-un plan perpendicular pe direcția longitudinală, adică. dimensiunile crucii. Proprietatea principală a tijei este rezistența la compresiune longitudinală (tensionare) și încovoiere. Această proprietate distinge fundamental tija de sfoară, care nu se întinde și nu rezistă la îndoire. Dacă densitatea materialului tijei este aceeași în toate punctele sale, atunci tija se numește omogenă.

De obicei, corpurile extinse delimitate de o suprafață cilindrică închisă sunt considerate tije. În acest caz, aria secțiunii transversale rămâne constantă. Vom studia comportamentul unei astfel de tije omogene de lungime l, presupunând că este supusă doar compresiei sau tensiunii, respectând în același timp legea lui Hooke. Când se studiază deformațiile longitudinale mici ale unei tije, așa-numitele ipoteza secţiunilor plate. Constă în faptul că secțiunile transversale, care se deplasează sub compresie sau tensiune de-a lungul tijei, rămân plate și paralele între ele.

Să direcționăm axa X de-a lungul axei longitudinale a tijei (Fig. 19) și vom presupune că la momentul inițial de timp capetele tijei sunt în punctele x=0Și x=l. Să luăm o secțiune arbitrară a tijei cu coordonatele X. Notează prin u(X,t) deplasarea acestei secţiuni în timp t, apoi offset-ul secțiunii cu coordonatele în acelaşi timp va fi egal cu

Apoi alungirea relativă a tijei în secțiune X va fi egal cu

Forța de rezistență la această alungire, conform legii lui Hooke, va fi egală cu

Unde E este modulul de elasticitate al materialului tijei (modulul Young) și S- arie a secțiunii transversale. La limitele unei secțiuni de tijă cu o lungime dx asupra ei acţionează forţele T xȘi T x + dx, îndreptată de-a lungul axei X. Rezultanta acestor forțe va fi egală cu

,

iar accelerația secțiunii tijei luate în considerare este , atunci ecuația de mișcare a acestei secțiuni a tijei va arăta astfel:

, (67)

Unde ρ – densitatea materialului tijei. Dacă această densitate și modulul lui Young sunt constante, atunci puteți introduce valoarea prin și împărțind ambele părți ale ecuației la sdx, în sfârșit obține ecuația vibrațiilor longitudinale ale unei tijeîn absenţa forţelor externe

(68)

Această ecuație este similară ca formă cu ecuaţia vibraţiilor transversale ale coardei iar metodele de rezolvare a acesteia sunt aceleași, totuși, după coeficient A aceste ecuații reprezintă cantități diferite. În ecuația șirurilor, cantitatea a 2 reprezintă o fracție, în numărătorul căreia există o forță constantă de tensiune a coardei - T, iar la numitor densitatea liniară ρ , iar în ecuația șirurilor modulul lui Young este în numărători și în numitor – volumetrice densitatea materialului tijei ρ . De aici sensul fizic al cantității Aîn aceste ecuații este diferit. Dacă pentru o coardă acest coeficient este viteza de propagare a unei mici deplasări transversale, atunci pentru o tijă este viteza de propagare a unei mici tensiuni sau compresii longitudinale și se numește viteza de propagare a sunetului, deoarece cu această viteză se vor propaga mici vibrații longitudinale reprezentând sunetul de-a lungul tijei.

Pentru ecuația (68), sunt stabilite condițiile inițiale, care determină deplasarea și viteza de deplasare a oricărei secțiuni a tijei în momentul inițial de timp:

Pentru o tijă limitată, condițiile pentru fixarea sau aplicarea unei forțe la capete sunt specificate sub formă de condiții la limită de tipul 1, 2 și 3.

Condițiile limită de primul fel definesc deplasarea longitudinală la capetele tijei:

Dacă capetele tijei sunt fixate nemișcate, atunci în condițiile (6) . În acest caz, la fel ca în problema vibrației unei coarde prinse, aplicăm metoda de separare a variabilelor.

În condiții la limită de al doilea fel, la capetele tijei sunt stabilite forțe elastice, care se formează ca urmare a deformării conform legii lui Hooke în funcție de timp. Conform formulei (66), aceste forțe, până la un factor constant, sunt egale cu derivata u x, prin urmare, aceste derivate sunt date la capete în funcție de timp:

Dacă unul dintre capetele tijei este liber, atunci la acest capăt u x = 0.

Condițiile limită de al treilea fel pot fi reprezentate ca condiții în care un arc este atașat la fiecare capăt al tijei, celălalt capăt al căruia se mișcă de-a lungul axei în conformitate cu o lege a timpului dată. θ (t), așa cum se arată în fig. 20. Aceste condiții pot fi scrise după cum urmează

, (72)

Unde k 1 și k 2 - rigiditatea arcurilor.

Dacă asupra tijei de-a lungul axei acţionează şi o forţă externă p(X,t) calculată pe unitate de volum, atunci în loc de ecuația (50) ar trebui să scrieți ecuația neomogenă

,

Care, după împărțirea la , va lua forma

, (73)

Unde . Ecuația (73) este o ecuație pentru vibrațiile longitudinale forțate ale unei tije, care se rezolvă prin analogie cu ecuația pentru vibrațiile forțate ale unei corzi.

Cometariu. De remarcat că atât sfoara cât și tija sunt modele de corpuri reale, care în realitate pot prezenta atât proprietățile sfoarului, cât și ale tijei, în funcție de condițiile în care se află. În plus, ecuațiile rezultate nu iau în considerare forțele de rezistență a mediului și forțele de frecare internă, drept urmare aceste ecuații descriu oscilații neamortizate. Pentru a ține cont de efectul de amortizare, în cel mai simplu caz, se folosește o forță disipativă, care este proporțională cu viteza și îndreptată în direcția opusă mișcării, adică. viteză. Ca rezultat, ecuația (73) ia forma

(74)