Cum se determină aria și perimetrul unui triunghi. Cum să găsiți aria și perimetrul unui triunghi. Pentru a descrie orice triunghi, este suficient să indicați

Un triunghi este o figură geometrică elementară care conține numărul minim posibil de componente - trei.

Punctele de contact ale laturilor sunt vârfurile unghiurilor sale, notate cu caracterele latine majuscule A; B și C. Segmentele dintre vârfuri sunt laturile sau fețele triunghiului și sunt indicate prin denumirile acestor vârfuri: AB; BC; CA sau litera majusculă a unghiului opus (vertex): AB=c; BC=a; CA=b.

Perimetrul este egal cu lungimea tuturor laturilor figurii; pentru un triunghi este egal cu suma celor trei laturi:

Înălțimea unui triunghi este perpendiculara de la dreapta pe care se află baza până la vârful cu același nume, notat cu h.

Aria este dimensiunea suprafeței cuprinse în figură, notat cu S. Produsul bazei și înălțimea dă valoarea ariei. De asemenea, poate fi determinat folosind formula lui Heron:

1. S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c));
2. p=½P.

În acest videoclip veți învăța cum să găsiți aria unui triunghi.

Un triunghi este format din laturi și unghiuri, suma unghiurilor sale este întotdeauna egală cu 180 de grade: A+B+C=180°.

1. Echiunghiular: toate vârfurile sunt egale cu 60°, va fi și echilateral.
2. Isoscel: Când două fețe sunt egale, unghiurile de la bază sunt egale.
3. Multi-unghi: toate vârfurile sunt diferite, marginile sale sunt și ele diferite.
4. Dreptunghiular: un unghi este de 90°, fețele adiacente se numesc catete, opusul se numește ipotenuză. Poate fi isoscel (picioarele sunt egale) sau heterogonale (picioarele sunt diferite).
5. Obtuz: un unghi este mai mare de 90°. Poate fi isoscel sau heterogonal.

Descriere

Pentru a descrie orice triunghi, este suficient să indicați:

1. O latură și colțurile adiacente.
2. Două laturi și unghiul dintre ele.
3. Trei laturi.

Datele din orice punct sunt suficiente pentru a construi o anumită figură și a calcula toți parametrii acesteia folosind teorema cosinusului:

c*c=a*a+b*b-2*a*b*cosC.

Înlocuirea valorilor cunoscute, obținem o ecuație, rezolvând căreia aflăm mărimile necunoscute.

Cos90°=0, deci pentru un triunghi dreptunghic c*c=a*a+b*b, unde a și b sunt catetele, c este ipotenuza, latura opusă unghiului drept.

Exemple

Se știe că o față are 9 cm și unghiurile adiacente sunt de 60 de grade. Apoi, din faptul că suma unghiurilor este întotdeauna egală cu 180°, se obține: 180=60+60+x; x=180-120=60. Toate cele trei vârfuri au 60°, ceea ce înseamnă că toate laturile sunt egale. Perimetrul este P=9+9+9=27 cm, semiperimetrul p=13,5 cm.Pentru a afla înălțimea, trebuie să coborâți o perpendiculară de la vârf la bază, obținem un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 9. cm, un picior de 4,5 cm și un picior de lungime necunoscută, egal cu înălțimea dorită: 9*9-4,5*4,5=60,75=h 2.

Înălțimea este egală cu rădăcina pătrată de 60,75 sau 7,79422863406 cm. Înmulțim baza cu înălțimea, împărțim la jumătate și obținem aria: 7,79422863406 * 9/2 = 35,074028853 cm 2. Daca gasesti zona conform formulei lui Heron prin semiperimetru și margini, răspunsul va fi același:

S=√(13,5·(13,5-9)·(13,5-9)·(13,5-9))=35,074028853 cm2.

Următorul exemplu este cu un triunghi scalen. Având în vedere: AB=12 cm, BC=10 cm, CA=8 cm Trebuie să găsiți perimetrul și aria figurii. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 cm+8 cm+12 cm=30 cm Găsim aria folosind formula lui Heron, înlocuind valorile deja cunoscute în ea, ținând cont că p=0,5 P; p=15 cm. S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c))=√(15·(15-10)·(15-8)·(15-12))=√15· 5·7·3=√1575=39,686269666 cm2.

Să luăm în considerare un exemplu când se cunosc două catete ale unui triunghi dreptunghic. Să presupunem că au valori de doi și patru metri. Atunci ipotenuza va fi egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor √2 2 +4 2 =4,472135955 m. Perimetrul 2+4+4,472135955=10,472135955. Aria este egală cu jumătate din produsul catetelor S=2·4=8m 2.

Când două laturi și unghiul dintre ele sunt cunoscute, tot ce rămâne este să găsiți a treia latură folosind legea cosinusului. Fie laturile cunoscute să fie de 16 și 28 de metri, iar unghiul dintre ele va fi de 60 de grade, apoi a treia latură va fi egală cu rădăcina pătrată a acestei expresii 16 2 +28 2 - 2 16 28 0,5, care va fi o valoare de 24 ,3310501212 m. Perimetrul este 16+28+24.3310501212=68.3310501212≈68.33 m. Semiperimetrul va fi de 34.165 m. Înlocuind valorile obţinute, găsim în formula lui Heron( 34· 1 . 34,165-16)·( 34,165-28)·(34,165-24,33))=193,982314238 m2.

Dacă sunt cunoscuți trei parametri ai oricărui triunghi - două unghiuri și o latură sau două laturi și unghiul dintre ele, atunci nu este nimic deosebit de dificil în găsirea parametrilor necunoscuți ai triunghiului - perimetrul, aria sau înălțimea. Trebuie doar să efectuați cu atenție calcule simple. Uneori poți fi mai inteligent împărțind figura în mai multe triunghiuri ușor de calculat, de exemplu, triunghiuri dreptunghiulare. În fiecare caz specific, totul depinde de datele inițiale. Toate formulele și calculele date mai sus sunt valabile pentru figuri plane; pentru cele situate pe o suprafață sferică, cursul calculelor va fi diferit.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să consolidați ceea ce ați învățat.

Un triunghi este o figură bidimensională cu trei muchii și același număr de vârfuri. Aceasta este una dintre formele de bază în geometrie. Un obiect are trei unghiuri, gradul lor total este întotdeauna de 180°. Vârfurile sunt de obicei notate cu litere latine, de exemplu, ABC.

Teorie

Triunghiurile pot fi clasificate după diferite criterii.

Dacă gradul de măsurare a tuturor unghiurilor sale este mai mică de 90 de grade, atunci se numește unghi acut, dacă unul dintre ele este egal cu această valoare - dreptunghiular, iar în alte cazuri - unghi obtuz.

Când un triunghi are toate laturile de aceeași dimensiune, se numește echilateral. În figură, acesta este marcat cu un semn perpendicular pe segment. Unghiurile în acest caz sunt întotdeauna egale cu 60°.

Dacă doar două laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci acesta se numește isoscel. În acest caz, unghiurile de la bază sunt egale.

Un triunghi care nu se potrivește celor două opțiuni anterioare se numește scalen.

Când se spune că două triunghiuri sunt congruente, înseamnă că au aceeași dimensiune și formă. Au, de asemenea, aceleași unghiuri.

Dacă doar măsurile gradelor coincid, atunci cifrele se numesc similare. Atunci raportul laturilor corespunzătoare poate fi exprimat printr-un anumit număr, care se numește coeficient de proporționalitate.

Perimetrul unui triunghi prin zonă sau laturi

Ca și în cazul oricărui poligon, perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor.

Pentru un triunghi, formula arată astfel: P = a + b + c, unde a, b și c sunt lungimile laturilor.

Există o altă modalitate de a rezolva această problemă. Constă în găsirea perimetrului unui triunghi prin aria sa. Mai întâi trebuie să cunoașteți ecuația care leagă aceste două mărimi.

S = p × r, unde p este semiperimetrul și r este raza cercului înscris în obiect.

Este foarte ușor să transformăm ecuația în forma de care avem nevoie. Primim:

Nu uitați că perimetrul real va fi de 2 ori mai mare decât cel primit.

Așa se rezolvă cu ușurință astfel de exemple.

În geometrie, precum și în viața reală, fiecare persoană de cel puțin mai multe ori întâlnește o astfel de figură geometrică ca un triunghi. Aceasta este o figură cu trei unghiuri, trei laturi opuse, care este cel mai simplu poligon. Dacă doriți, puteți distribui orice poligon în triunghiuri. Astfel, dacă trebuie să scădeți perimetrul sau aria unui poligon, puteți aplica formulele pentru calcularea unui triunghi.

Caracteristicile de bază ale unui triunghi Acest: perimetru triunghi Și aria unui triunghi . Caracteristici suplimentare sunt raza înscrisă și raza cercului circumscris. Când calculați perimetrul și aria, trebuie să vă amintiți că calculul se face în funcție de tipul de triunghiuri: unghiuri acute, unghiuri obtuze, dreptunghiuri, isoscele, echilaterale.

Calculul perimetrului unui triunghi se determină pur și simplu folosind o formulă simplă care însumează dimensiunile tuturor părților. Astfel, dacă notăm laturile triunghiului cu literele a, b, c, în timp ce perimetrul triunghiului este notat cu litera p, atunci, după formula de calcul a perimetrului, obținem: p=a+b+c.

În cazul calculării ariei unui triunghi, totul este mult mai complicat. Astfel, dacă nu aveți încredere în abilitățile dvs., atunci puteți utiliza un program special care vă va permite să calculați un triunghi (http://2mb.ru/matematika/kalkulyatory/on-line-raschet-treugolnika/) într-un chestiune de secunde. Dar, dacă încă vă întrebați de unde a venit acest rezultat, atunci merită să vă aprofundați în detalii.

Calculul ariei unui triunghi se face in functie de ce date se cunosc despre triunghi si in functie de tipul de triunghi. Există multe formule care vă permit să faceți calcule. Una dintre formule vă permite să calculați aria atunci când perimetrul triunghiului este cunoscut și se numește formula lui Heron.

Formula lui Heron constă în folosirea valorii semi-perimetrului pentru a calcula aria triunghiului. Acesta este semi-perimetru? parte a perimetrului. Formula lui Heron: S=?p(p-a)(p-b)(p-c), unde litera S indică zona.

Calculul ariei unui triunghi când o latură (a) și înălțimea triunghiului (h), coborât în ​​această parte: S=(a*h)/2.

Calculul ariei unui triunghi echilateral: lungimea trebuie ridicată la a doua putere, înmulțită cu rădăcina pătrată a lui trei și împărțită la 4.

Calcularea ariei unui triunghi dreptunghic: lungimea catetelor se inmulteste intre ele si se imparte cu 2. Catele sunt acele laturi ale triunghiului care formeaza un unghi drept.

Este interesant că în urmă cu mulți ani, o astfel de ramură a matematicii precum „geometria” a fost numită „amenajarea terenurilor”. Și cum să găsiți perimetrul și zona este cunoscut de mult timp. De exemplu, ei spun că primii calculatoare ale acestor două cantități sunt locuitorii Egiptului. Datorită unor astfel de cunoștințe, ei au putut să construiască structurile cunoscute astăzi.

Capacitatea de a găsi zonă și perimetru poate fi utilă în viața de zi cu zi. În viața de zi cu zi, aceste valori sunt folosite atunci când este necesar să pictați ceva, să plantați sau să cultivați o grădină, să atârnați tapet într-o cameră etc.

Perimetru

Cel mai adesea trebuie să aflați perimetrul poligoanelor sau triunghiurilor. Pentru a determina această valoare, este suficient să cunoaștem lungimile tuturor laturilor, iar perimetrul este suma lor. Găsirea perimetrului dacă zona este cunoscută este de asemenea posibilă.

Triunghi

Dacă trebuie să cunoașteți perimetrul unui triunghi, pentru a-l calcula, trebuie să utilizați următoarea formulă P = a + b + c, unde a, b, c sunt laturile triunghiului. În acest caz, toate laturile unui triunghi obișnuit de pe plan sunt însumate.

Cerc

Perimetrul unui cerc se numește de obicei circumferință. Pentru a afla această valoare, trebuie să utilizați formula: L = π*D = 2*π*r, unde L este circumferința, r este raza, D este diametrul și numărul π, așa cum este cunoscut, este aproximativ egal cu 3,14.

Pătrat, romb

Formulele pentru perimetrele unui pătrat și ale unui romb sunt aceleași, deoarece ambele unei figuri și celeilalte au toate laturile egale. Deoarece un pătrat și un romb au laturi egale, ele (laturile) pot fi desemnate prin aceeași literă „a”. Se dovedește că perimetrul unui pătrat și al unui romb este egal cu:

• P = a + a + a + a sau P = 4a

Dreptunghi, paralelogram

Un dreptunghi și un paralelogram au aceleași laturi opuse, deci pot fi desemnate prin două litere diferite „a” și „b”. Formula arată astfel:

• P = a + b + a + b = 2a + 2b. Cele două pot fi scoase dintre paranteze și obțineți următoarea formulă: P = 2 (a+b)

Trapez

Toate laturile unui trapez sunt diferite, deci sunt desemnate prin diferite litere ale alfabetului latin. În acest sens, formula pentru perimetrul unui trapez arată astfel:

• P = a + b + c + d Aici toate laturile sunt însumate.

Pătrat

Zona este acea parte a unei figuri care este cuprinsă în conturul acesteia.

Dreptunghi

Pentru a calcula aria unui dreptunghi, trebuie să înmulțiți valoarea unei laturi (lungime) cu valoarea celeilalte (lățime). Dacă valorile lungimii și lățimii sunt notate cu literele „a” și „b”, atunci aria este calculată folosind formula:

• S = a*b

Pătrat

După cum știți deja, laturile unui pătrat sunt egale, așa că pentru a calcula aria puteți pur și simplu să luați o latură în pătrat:

• S = a*a = a 2

Romb

Formula pentru găsirea ariei unui romb are o formă ușor diferită: S = a*h a, unde h a este lungimea înălțimii rombului, care este trasă în lateral.

În plus, aria unui romb poate fi găsită folosind formulele:

• S = a 2 *sin α, în timp ce a este latura figurii, iar unghiul α este unghiul dintre laturi;
• S = 4r 2 /sin α, unde r este raza cercului înscris în romb, iar unghiul α este unghiul dintre laturi.

Cerc

Aria unui cerc este, de asemenea, ușor de aflat. Pentru a face acest lucru, puteți folosi formula:

• S = πR 2, unde R este raza.

Trapez

Pentru a calcula aria unui trapez, puteți folosi această formulă:

• S = 1/2*a*b*h, unde a, b sunt bazele trapezului, h este înălțimea.

Triunghi

Pentru a găsi aria unui triunghi, utilizați una dintre mai multe formule:

• S = 1/2*a*b sin α (unde a, b sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul dintre ele);
• S = 1/2 a*h (unde a este baza triunghiului, h este înălțimea coborâtă până la acesta);
• S = abc/4R (unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar R este raza cercului circumscris);
• S = p*r (unde p este semiperimetrul, r este raza cercului înscris);
• S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (unde p este semiperimetrul, a, b, c sunt laturile triunghiului).

Paralelogram

Pentru a calcula aria unei figuri date, trebuie să înlocuiți valorile într-una dintre formulele:

• S = a*b*sin α (unde a, b sunt bazele paralelogramului, α este unghiul dintre laturi);
• S = a*h a (unde a este latura paralelogramului, h a este înălțimea paralelogramului, care este coborât pe latura a);
• S = 1/2 *d*D* sin α (unde d și D sunt diagonalele paralelogramului, α este unghiul dintre ele).

Pentru a afla aria și perimetrul unui triunghi avem nevoie de:

1.Pentru zonă. Pentru a găsi aria unui triunghi, de exemplu ABC, există mai multe metode, adică formule, iată prima dintre ele: S = 1/2 * A * h, unde A este lungimea laturii lui triunghiul, h este înălțimea trasă spre latura A. A doua formulă: S = 1 /2*a*b*sin a, unde a și b sunt lungimile laturilor triunghiului, sin a este sinusul unghiul dintre laturile a si b.

2. Pentru perimetru.Pentru a găsi perimetrul unui triunghi de exemplu ABC, trebuie să măsurăm lungimea tuturor laturilor triunghiului, adică AB, BC, AC. Apoi împăturiți-le. Iată formula finală P=AB+BC+AC.

În sarcina propusă, ni se cere să spunem cum să găsim perimetrul și aria unui triunghi. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți o idee despre ce este figura geometrică a unui triunghi.

Triunghi

În matematică, un triunghi este o figură geometrică care este formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Mai mult, aceste puncte sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele care le unesc sunt laturile triunghiului.

Perimetrul și aria unui triunghi

• Aflarea perimetrului unui triunghi. Pentru a găsi perimetrul unui triunghi, trebuie să cunoașteți lungimea tuturor laturilor sale. Apoi perimetrul este găsit prin adăugarea lor.
• Găsirea ariei unui triunghi folosind baza și înălțimea acestuia. Cunoscând baza și înălțimea unui triunghi, putem găsi aria acestuia folosind formula:

S = 1/2 * a * h, unde a este baza și h este înălțimea.

• Aflarea ariei unui triunghi folosind două laturi și unghiul dintre ele. Dacă cunoaștem cele două laturi ale unui triunghi și unghiul dintre ele, atunci îi putem găsi aria folosind următoarea formulă:

S = 1/ 2 * a * b * sin a (unghiul dintre laturi).

• Aflarea ariei unui triunghi prin cele trei laturi ale sale. Dacă cunoaștem cele trei laturi ale unui triunghi, atunci îi putem găsi aria găsind mai întâi perimetrul și apoi rezolvându-l folosind formula:

S = √(p·(p-a)·(p-b)·(p-c)).

Astfel, am examinat figura geometrică a unui triunghi, formula pentru găsirea perimetrului acestuia și toate formulele posibile pentru găsirea ariei sale.