Изчисляване на реакцията на опората според принципа на възможните премествания. Принцип на възможните премествания Принцип на възможните скорости

Принцип възможни движенияви позволява да решавате различни проблеми за баланса на механичните системи - да намерите неизвестни активни сили, да определите реакциите на връзките, да намерите равновесните позиции на механична система под действието на приложена система от сили. Нека илюстрираме това с конкретни примери.

Пример 1. Намерете големината на силата P, която държи тежки гладки призми с маси в състояние на равновесие. Ъгълът на скосяване на призмите е (фиг. 73).

Решение. Нека използваме принципа на възможните премествания. Нека кажем на системата възможното изместване и изчислим възможната работа на активните сили:

Възможната работа на гравитацията е нула, тъй като силата е перпендикулярна на елементарния вектор на изместване на точката на прилагане на силата. Замествайки стойността тук и приравнявайки израза на нула, получаваме:

Тъй като , тогава изразът в скоби е равен на нула:

От тук намираме

Пример 2. Еднородна греда AB с дължина и тегло P, натоварена с двойка сили с даден момент M, е фиксирана, както е показано на фиг. 74 и е в покой. Определете реакцията на пръта BD, ако сключва ъгъл a с хоризонта.

Решение. Задачата се различава от предишната по това, че тук се изисква да се намери реакцията на идеална връзка. Но в уравнението на работа, изразяващо принципа на възможните премествания, реакциите на идеалните връзки не са включени. В такива случаи трябва да се прилага принципът на възможните размествания заедно с принципа на освобождаване от облигации.

Нека мислено изхвърлим пръта BD и разгледаме неговата реакция S като активна сила, неизвестна по големина. След това ще информираме системата за възможно движение (при условие, че тази връзка липсва напълно). Това ще бъде елементарно завъртане на гредата AB под ъгъл около шарнирната ос A в една или друга посока (на фиг. 74 - обратно на часовниковата стрелка). Елементарните премествания на точките на приложение на активните сили и свързаната с тях реакция S са равни на:

Съставяме уравнението на работата

Приравнявайки към нула израза в скоби, от тук намираме

Пример 3 Хомогенен прът OA се фиксира с тежест с помощта на цилиндрична панта O и пружина AB (фиг. 75). Определете позициите, в които прътът може да бъде в равновесие, ако константата на пружината е равна на k, естествената дължина на пружината - и точка B е на същия вертикал с точка O.

Решение. Върху пръта OA са приложени две действащи сили - собственото му тегло и еластичната сила на пружината, където е ъгълът, образуван от пръта с вертикалата OB. Наложените връзки са идеални (в този случай има само една връзка - панта O).

Информираме системата за възможно изместване - елементарно завъртане на пръта около оста на шарнира O под ъгъл , изчисляваме възможната работа на активните сили и я приравняваме към нула:

Като заместим тук израза за силата F и стойността

след прости трансформации получаваме следното тригонометрично уравнениеза определяне на ъгъла (p при равновесие на пръта:

Уравнението определя три стойности за ъгъла:

Следователно прътът има три равновесни положения. Тъй като първите две равновесни позиции съществуват, ако условието е изпълнено. Равновесието винаги съществува.

В заключение отбелязваме, че принципът на възможните премествания може да се приложи и към системи с неидеални ограничения. Акцентът върху идеалността на връзките е направен при формулирането на принципа с една единствена цел - да се покаже, че уравненията на равновесието на механичните системи могат да бъдат съставени без да се включват реакциите на идеалните връзки в тях, като по този начин се опростяват изчисленията.

За системи с неидеални връзки принципът на възможните премествания трябва да се преформулира, както следва: за равновесието на механична система с ограничения, сред които има неидеални връзки, е необходимо и достатъчно възможната работа на активните сили и реакции на неидеални връзки е равно на нула. Възможно е обаче да се откаже от преформулирането на принципа, конвенционално класифициране на реакциите на неидеалните връзки като активни сили.

Въпроси за самопроверка

1. Каква е основната характеристика на несвободната механична система в сравнение със свободната?

2. Какво се нарича възможно изместване? Дай примери.

3. Как се определят промените в координатите на точките на системата при евентуалното й преместване (посочете три начина)?

4. Как се класифицират връзките според вида на техните уравнения? Дайте примери за държащи и недържащи облигации, стационарни и нестационарни.

5. В какъв случай връзката се нарича идеална? Не е идеален?

6. Дайте словесна формулировка и математическа нотация на принципа на възможните премествания.

7. Как се формулира принципът на възможните премествания за системи, съдържащи несъвършени връзки?

8. Избройте основните видове задачи, решени с помощта на принципа на възможните премествания.

Упражнения

Използвайки принципа на възможните премествания, решете следните задачи от колекцията на I.V. Мещерски 1981 издания: 46.1; 46,8; 46,17; 2,49; 4.53.

Инсталиране общо състояниеравновесие на механична система. Съгласно този принцип, за равновесието на механична система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от виртуалните работи $A\_i$само активните сили върху всяко възможно изместване на системата е равно на нула (ако системата се доведе до това положение с нулеви скорости).

Броят на линейно независимите уравнения на равновесие, които могат да бъдат съставени за механична система, въз основа на принципа на възможните премествания, е равен на броя на степените на свобода на тази механична система.

Възможен движениявъображаеми безкрайно малки премествания, разрешени в даден момент от ограничения, наложени на системата, се наричат ​​несвободни механични системи (в този случай времето, включено изрично в уравненията на нестационарните ограничения, се счита за фиксирано). Наричат ​​се проекции на възможни премествания върху декартови координатни оси вариацииДекартови координати.

Виртуален движениясе наричат ​​безкрайно малки премествания, позволени от връзките, със "замразено време". Тези. те се различават от възможните премествания само когато връзките са реономични (изрично зависими от времето).

Ако например системата е наложена $л$холономни реономни връзки:

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

След това възможните движения $\backslash Делта\; \backslash vec\; r$са тези, които задоволяват

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha\; ))(\backslash partial\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

И виртуален $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1\; ,л)$

Виртуалните премествания, най-общо казано, нямат нищо общо с процеса на движение на системата - те се въвеждат само за да се разкрият отношенията на силите, съществуващи в системата, и да се получат условия на равновесие. Малкостта на преместванията е необходима, за да можем да считаме реакциите на идеалните връзки за непроменени.

Напишете отзив за статията "Принципът на възможните премествания"

Литература

• Бухолц Н. Н.Основен курс по теоретична механика. Част 1. 10-то изд. - Санкт Петербург: Lan, 2009. - 480 с. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
• Тарг С. М.Кратък курс по теоретична механика: Учебник за ВУЗ. 18-то изд. - М.: висше училище, 2010. - 416 с. - ISBN 978-5-06-006193-2.
• Маркеев А.П.Теоретична механика: учебник за университетите. - Ижевск: Изследователски център "Регуларна и хаотична динамика", 2001. - 592 с. - ISBN 5-93972-088-9.

Откъс, характеризиращ принципа на възможните премествания

Докато такива разговори се провеждаха в приемната и в покоите на принцесата, каретата с Пиер (който беше изпратен) и Анна Михайловна (която намери за необходимо да отиде с него) влезе в двора на граф Безухой. Когато колелата на каретата тихо затрещяха по сламата, постлана под прозорците, Анна Михайловна, като се обърна към другаря си с утешителни думи, се убеди, че той спи в ъгъла на каретата, и го събуди. Събуждайки се, Пиер излезе от каретата след Анна Михайловна и тогава си помисли само за онази среща с умиращия му баща, която го очакваше. Забеляза, че не се качиха до предния, а до задния вход. Докато слизаше от стъпалото, двама мъже в буржоазни дрехи избягаха набързо от входа в сянката на стената. Като спря, Пиер видя в сянката на къщата от двете страни още няколко същите хора. Но нито Анна Михайловна, нито лакеят, нито кочияшът, които не можеха да не видят тези хора, не им обърнаха внимание. Следователно това е толкова необходимо, реши Пиер със себе си и последва Анна Михайловна. Анна Михайловна с бързи крачки се изкачи по слабо осветените тесни каменни стълби, викайки изоставащия след нея Пиер, който, въпреки че не разбираше защо изобщо трябваше да отиде при графа, а още по-малко защо трябваше да върви с него. задните стълби, но, съдейки по увереността и бързината на Анна Михайловна, той реши за себе си, че това е необходимо. На половината стълбище едва не бяха съборени от някакви хора с кофи, които, тракайки с ботушите си, хукнаха към тях. Тези хора се притиснаха до стената, за да пропуснат Пиер и Анна Михайловна, и не показаха ни най-малко изненада при вида им.
- Има ли тук половин принцеси? Анна Михайловна попита един от тях...
— Ето — отговори лакеят с дързък, висок глас, сякаш вече всичко беше възможно, — вратата е отляво, майко.
„Може би графът не ме е викал“, каза Пиер, докато излизаше на платформата, „щях да отида на мястото си.
Анна Михайловна спря, за да настигне Пиер.
Ах, мое приятелче! - каза тя със същия жест, както сутринта със сина си, докосвайки ръката му: - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Повярвай ми, страдам не по-малко от теб, но бъди мъж.]
- Добре, аз ще отида? — попита Пиер, като гледаше нежно през очилата си Анна Михайловна.

Принципът на възможните премествания е формулиран за решаване на задачи на статиката чрез методи на динамика.

Дефиниции

връзкисе наричат ​​всички тела, които ограничават движението на разглежданото тяло.

Идеаленнаречени връзки, работата на реакциите на които при всяко възможно изместване е нула.

Брой степени на свободана механична система е броят на такива независими един от друг параметри, с помощта на които позицията на системата се определя еднозначно.

Например топката, разположена в равнина, има пет степени на свобода, а цилиндричната панта има една степен на свобода.

Като цяло една механична система може да има безкраен брой степени на свобода.

Възможни движенияние ще наричаме такива премествания, които, първо, са разрешени от насложени ограничения, и, второ, са безкрайно малки.

Коляно-плъзгащият механизъм има една степен на свобода. Параметрите могат да се приемат като възможни премествания -  ,  хи т.н.

За всяка система броят на възможните премествания, независими едно от друго, е равен на броя на степените на свобода.

Нека някаква система е в равновесие и връзките, наложени върху тази система, са идеални. Тогава за всяка точка от системата можем да напишем уравнението

, (102)

Където
- равностойна на активни сили, приложени към материална точка;

- резултатни реакции на връзките.

Умножете (102) скаларно по вектора на възможното изместване на точката

,

тъй като връзките са идеални, винаги е така
, остава сумата от елементарната работа на активните сили, действащи върху точката

. (103)

Уравнение (103) може да се напише за всички материални точки, сумирайки които получаваме

. (104)

Уравнение (104) изразява следния принцип на възможните премествания.

За равновесието на система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна на нула.

Броят на уравненията (104) е равен на броя на степените на свобода на дадената система, което е предимство на този метод.

Общо уравнение на динамиката (принцип на д'Аламбер-Лагранж)

Принципът на възможните премествания позволява решаване на проблемите на статиката чрез методите на динамиката, от друга страна, принципът на д'Аламбер дава общ метод за решаване на проблемите на динамиката чрез методите на статиката. Комбинирайки тези два принципа, може да се получи общ метод за решаване на проблеми в механиката, който се нарича принцип на д'Аламбер-Лагранж.

. (105)

Когато една система се движи с идеални ограничения във всеки момент от времето, сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно движение на системата ще бъде равна на нула.

В аналитичен вид уравнение (105) има формата

Уравнения на Лагранж от втори род

Обобщени координати (р) се наричат ​​такива независими един от друг параметри, които еднозначно определят поведението на механичната система.

Броят на обобщените координати винаги е равен на броя на степените на свобода на механичната система.

Всички параметри с произволна размерност могат да бъдат избрани като обобщени координати.

з
Например, когато се изучава движението на математическо махало с една степен на свобода, като обобщена координата рмогат да бъдат приети параметри:

х(м), г(m) – координати на точката;

с(m) – дължина на дъгата;

 (m 2) - секторна площ;

 (rad) – ъгъл на завъртане.

Когато системата се движи, нейните обобщени координати ще се променят непрекъснато във времето

Уравнения (107) са уравненията на движението на системата в обобщени координати.

Производни на обобщени координати по време се наричат обобщени скорости на системата

. (108)

Размерността на обобщената скорост зависи от размерността на обобщената координата.

Всички други координати (декартови, полярни и т.н.) могат да бъдат изразени чрез обобщени координати.

Наред с понятието обобщена координата се въвежда понятието обобщена сила.

Под обобщена силаразберете стойността, равна на съотношението на сумата от елементарни работи на всички сили, действащи върху системата при някакво елементарно увеличение на обобщената координата към това увеличение

, (109)

Където Се индексът на обобщената координата.

Размерността на обобщената сила зависи от размерността на обобщената координата.

За да намерим уравненията на движение (107) на механична система с геометрични ограничения в обобщени координати, използваме диференциални уравнениявъв форма на Лагранж от втори вид

. (110)

В (110) кинетична енергия Tсистема се изразява в обобщени координати р Си обобщени скорости .

Уравненията на Лагранж предоставят унифициран и сравнително прост метод за решаване на проблеми на динамиката. Видът и броят на уравненията не зависи от броя на телата (точките), включени в системата, а само от броя на степените на свобода. При идеалните връзки тези уравнения позволяват да се изключат всички неизвестни преди това реакции на връзките.

Както е известно от курса на теоретичната механика, състоянието на равновесие на даден обект може да има формулировка на сила или енергия. Първият вариант е условието за равенство на нула на главния вектор и основния момент на всички сили и реакции, действащи върху тялото. Вторият подход (вариационен), наречен принцип на възможните премествания, се оказа много полезен за решаване на редица проблеми в строителната механика.

За система от абсолютно твърди тела принципът на възможните премествания се формулира по следния начин: ако система от абсолютно твърди тела е в равновесие, тогава сумата от работата на всички външни сили върху всяко възможно безкрайно малко преместване е равна на нула. Нарича се възможно (или виртуално) движение, което не нарушава кинематичните връзки и непрекъснатостта на телата. За системата на фиг. 3.1 е възможно само завъртане на пръта спрямо опората. При завъртане на произволен малък ъгъл силите и вършат работа Според принципа на възможните премествания, ако системата е в равновесие, тогава трябва да има . Замествайки тук геометричните отношения получаваме условието за равновесие във формулировката на силата

Формулиран е принципът на възможните премествания за еластични тела по следния начин: ако системата от еластични тела е в равновесие, тогава сумата от работата на всички външни и вътрешни сили върху всяко възможно безкрайно малко преместване е нула. Този принцип се основава на концепцията за общата енергия на еластична деформирана система P. Ако конструкцията е натоварена статично, тогава тази енергия е равна на работата, извършена от външни U и вътрешни W сили, когато системата се прехвърли от деформирано състояние към началния:

При този превод външните сили не променят стойността си и извършват отрицателна работа U= -F . В този случай вътрешните сили намаляват до нула и извършват положителна работа, тъй като това са силите на сцепление на частиците на материала и са насочени в посока, обратна на външното натоварване:

Където - специфична потенциална енергия на еластична деформация; V е обемът на тялото. За линейна система, Където . Съгласно теоремата на Лагранж-Дирихле състоянието на устойчиво равновесие съответства на минимума на общата потенциална енергия на еластичната система, т.е.

Последното равенство напълно съответства на формулировката на принципа на възможните премествания. Енергийните увеличения dU и dW могат да бъдат изчислени на всякакви възможни премествания (отклонения) на еластичната система от равновесното състояние. За да се изчислят конструкции, които отговарят на изискванията за линейност, безкрайно малкото възможно изместване d може да бъде заменено с много малко крайно изместване, което може да бъде всяко деформирано състояние на конструкцията, създадено от произволно избрана система от сили. Като се има предвид това, полученото условие за равновесие трябва да бъде записано като

Работата на външните сили

Помислете за метода за изчисляване на работата на външните сили върху действителното и възможното изместване. Прътовата система е натоварена със сили и (фиг. 3.2, а), които действат едновременно и във всеки момент съотношението остава постоянно. Ако вземем предвид обобщената сила, тогава по стойността по всяко време можете да изчислите всички други товари (в този случай, ). Прекъснатата линия показва действителното еластично изместване, произтичащо от тези сили. Нека означим това състояние с индекс 1. Нека означим преместването на точките на приложение на силите и по посока на тези сили в състояние 1 и .

В процеса на натоварване на линейна система със сили и, силите се увеличават и преместванията се увеличават пропорционално на тях (фиг. 3.2, c). Действителната работа на силите и върху преместванията, които създават, е равна на сумата от площите на графиките, т.е. . Като напишете този израз като , получаваме произведението на обобщената сила и обобщеното преместване. В тази форма можете да изпратите

След това разгледайте работата на външните сили върху възможно изместване. Като възможно изместване ще вземем например деформираното състояние на системата в резултат на прилагане на сила в определена точка (фиг. 3.2, b). Това състояние, съответстващо на допълнителното изместване на точките на прилагане на силите и с разстояние и , ще бъде означено с 2. Силите и , без да променят стойността си, извършват виртуална работа върху премествания и (фиг. 3.2, c):

Както можете да видите, в нотацията за изместване, първият индекс показва състоянието, в което са посочени точките и посоките на тези измествания. Вторият индекс показва състоянието, в което действат силите, които предизвикват това движение.

Работата на единица сила F 2 върху действителното преместване

Ако разглеждаме състояние 1 като възможно изместване за силата F 2, тогава нейното виртуална работав движение

Работата на вътрешните сили

Нека намерим работата на вътрешните сили на състояние 1, т.е. от силите и , върху виртуалните премествания на състояние 2, т.е. в резултат на прилагането на натоварването F 2 . За да направите това, изберете прътов елемент с дължина dx (фиг. 3.2 и 3.3, а). Тъй като разглежданата система е плоска, в сеченията на елемента действат само две сили S и Q z и огъващ момент Mu.Тези сили за отрязания елемент са външни. Вътрешните сили са кохезионни сили, които осигуряват здравина на материала. Те са равни на външните по стойност, но са насочени в посока, обратна на деформацията, поради което работата им при натоварване е отрицателна (фиг. 3.3, b-d, показано в сиво). Нека изчислим последователно работата, извършена от всеки фактор на сила.

Работата на надлъжните сили върху изместването, която се създава от силите S 2, възникнали в резултат на прилагането на натоварването F 2 (фиг. 3.2, b, 3.3, b),

Намираме удължението на пръчка с дължина dx по добре познатата формула

където A е площта на сечението на пръта. Замествайки този израз в предишната формула, намираме

По същия начин ние определяме работата, която огъващият момент извършва върху ъгловото изместване, създадено от момента (фиг. 3.3, c):

Намираме ъгъла на въртене като

където J е инерционният момент на сечението на пръта спрямо оста y. След заместване получаваме

Нека намерим работата на напречната сила върху преместването (фиг. 3.3, d). Тангенциалните напрежения и измествания от силата на срязване Q z не се разпределят линейно по сечението на пръта (за разлика от нормалните напрежения и удължения в предишните случаи на натоварване). Следователно, за да се определи работата на срязване, е необходимо да се вземе предвид работата, извършена от напреженията на срязване в слоевете на пръта.

Тангенциалните напрежения от силата Q z, които действат в слой, разположен на разстояние z от неутралната ос (фиг. 3.3, д), се изчисляват по формулата на Журавски

където Su е статичният момент на частта от площта на напречното сечение, разположена над този слой, взета спрямо оста y; b е ширината на сечението на нивото на разглеждания слой. Тези напрежения създават срязване на слоя под ъгъл, който според закона на Хук се определя като - модул на срязване. В резултат на това краят на слоя се измества с

Общата работа на напреженията на срязване на първото състояние, действащи върху края на този слой, върху преместванията на второто състояние, се изчислява чрез интегриране на продукта върху площта на напречното сечение

След като заместим тук изразите за и получаваме

Изваждаме от интегралните стойности, които не зависят от z, умножаваме и разделяме този израз на A, получаваме

Тук се въвежда безразмерният коефициент,

в зависимост само от конфигурацията и съотношението на размерите на секциите. За правоъгълник \u003d 1.2, за I-лъчи и кутии (A c - площ на сечението на стената или в кутийно сечение - две стени).

Тъй като работата на всеки от разглежданите компоненти на натоварване (S, Q, M) върху премествания, причинени от други компоненти, е равна на нула, тогава общата работа на всички вътрешни сили за разглеждания елемент на пръта с дължина dx

В сечението на елемент от пространствена прътова система действат шест вътрешни сили (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), следователно за него изразът за общата работа на вътрешните сили ще изглежда така ,

Тук M x - въртящ момент в пръта; J T е инерционният момент на пръта при свободно усукване (геометрична торсионна твърдост). В интегранта индексите "и" са пропуснати.

Във формули (3.3) и (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 означават аналитичните изрази на диаграмите на вътрешните сили от действието на силите F (и F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - описания на диаграми на вътрешните сили от силата F 2 .

Теореми за еластични системи

Структурата на формулите (3.3) и (3.4) показва, че те са "симетрични" по отношение на състояния 1 и 2, т.е. работата на вътрешните сили на състояние 1 върху преместванията на състояние 2 е равна на работата на вътрешните сили на състояние 1 върху преместванията на състояние 2. сили на състояние 2 върху преместванията на състояние 1 Но според (3.2)

Следователно, ако работата на вътрешните сили е равна, тогава работата на външните сили е равна - Това твърдение се нарича теорема за реципрочната работа (теорема на Бети, 1872 г.).

За пръчкова система, натоварена със сила F 1 (фиг. 3.4, а), ние приемаме като възможно изместване деформираното състояние, възникнало при натоварване със сила F 2 (фиг. 3.4, b). За тази система, според теоремата на Бети 1- Ако поставим , тогава получаваме

Тази формула изразява теоремата на Максуел (1864) за реципрочността на преместванията: преместването на точката на приложение на първата единична сила в нейната посока, причинено от действието на втората единична сила, е равно на изместването на точката на приложение на първата единична сила в нейната посока. на втората единична сила в нейната посока, причинена от действието на първата единична сила. Тази теорема може да се приложи и към системата на фиг. 3.2. Ако зададем = 1 N (раздел 3.1.2), тогава получаваме равенството на обобщените премествания .

Помислете за статично неопределена система с опори, на които може да се даде необходимото изместване, взето като възможно (фиг. 3.4, c, d). В първото състояние преместваме опората 1 на, а във второто - задаваме въртенето на вграждането под ъгъл - В този случай ще се появят реакции в първото състояние и , а във второто - i . Съгласно теоремата за реципрочност на работата, ние пишем Ако сме задали (тук измерението = m, а стойността е без размери), тогава получаваме

Това равенство е числово, тъй като размерът на реакцията = H, a = N-m. Така реакцията R 12 във фиксирана връзка 1, която възниква, когато връзка 2 се премести с единица, е числено равна на реакцията, която се случва във връзка 2 с единично изместване на връзка 1. Това твърдение се нарича теорема за реципрочност на реакцията.

Представените в този раздел теореми се използват за аналитични изчисления на статично неопределени системи.

Дефиниция на премествания

Обща формула за изместване

За да се изчислят преместванията, възникващи в прътовата система под действието на дадено натоварване (състояние 1), е необходимо да се формира спомагателно състояние на системата, в което действа една единица сила, извършваща работа върху желаното изместване (състояние 2 ). Това означава, че когато се определя линейното преместване, е необходимо да се посочи единична сила F 2 = 1 N, приложена в същата точка и в същата посока, в която трябва да се определи преместването. Ако е необходимо да се определи ъгълът на въртене на който и да е участък, тогава в този участък се прилага единичен момент F 2 = 1 N m , След това се съставя енергийното уравнение (3.2), в което състояние 2 се приема като основната и деформираната

състояние 1 се третира като виртуален ход. От това уравнение се изчислява желаното изместване.

Нека намерим хоризонталното преместване на точка В за системата от фиг. 3.5, а. За да може желаното преместване D 21 да попадне в уравнението на работите (3.2), ние приемаме като основно състояние преместването на системата под действието на единична сила F 2 - 1 N (състояние 2, фиг. 3.5, б). Ще разгледаме действителното деформирано състояние на конструкцията като възможно изместване (фиг. 3.5, а).

Работата на външните сили на състояние 2 върху преместванията на състояние 1 се намира като Съгласно (3.2),

следователно желаното изместване

Тъй като (раздел 3.1.4), работата на вътрешните сили на състояние 2 върху преместванията на състояние 1 се изчислява по формула (3.3) или (3.4). Замествайки в (3.7) израз (3.3) за работата на вътрешните сили на система с плосък прът, намираме

За по-нататъшно използване на този израз е препоръчително да се въведе концепцията за единични диаграми на вътрешните силови фактори, т.е. от които първите две са безразмерни, а размерът . Резултатът ще бъде

Тези интеграли трябва да се заменят с изрази за диаграмите на разпределение на съответните вътрешни сили от действащото натоварване И и отсили F 2 = 1. Полученият израз се нарича формула на Мор (1881).

При изчисляване на пространствени прътови системи трябва да се използва формула (3.4) за изчисляване на общата работа на вътрешните сили, тогава ще се окаже

Съвсем очевидно е, че изразите за диаграмите на вътрешните сили S, Q y , Q z , M x, M y, M g и стойностите на геометричните характеристики на сеченията A, J t, Jy, J, за съответната n-та секция се заместват в интегралите. За да се съкрати обозначението в обозначението на тези величини, индексът "i" се пропуска.

3.2.2. Частни случаи на определяне на премествания

Формула (3.8) се използва в общия случай на плоска прътова система, но в някои случаи може да бъде значително опростена. Помислете за специални случаи на неговото прилагане.

1. Ако деформациите от надлъжни сили могат да бъдат пренебрегнати, което е типично за гредовите системи, тогава формулата (3.8) ще бъде записана като

2. Ако плоска системасе състои само от огънати тънкостенни греди със съотношение l/h> 5 за конзоли или l/h> 10 за участъци (I и h са дължината на гредата и височината на сечението), тогава, като правило, енергията на деформация при огъване значително надвишава енергията на деформация от надлъжни и срязващи сили, така че те могат да бъдат пренебрегнати при изчисляването на преместванията. Тогава формула (3.8) приема формата

3. За ферми, прътите на които при възлово натоварване изпитват главно надлъжни сили, можем да приемем M = 0 и Q = 0. Тогава изместването на възела се изчислява по формулата

Интегрирането се извършва по дължината на всеки прът, а сумирането се извършва по всички пръти. Като се има предвид, че силата S u в аз съм пръти площта на напречното сечение не се променя по дължината му, можем да опростим този израз:

С цялата очевидна простота на тази формула, аналитичното изчисляване на преместванията в фермите е много трудоемко, тъй като изисква определяне на силите във всички пръти на фермите от действащото натоварване () и от единица сила (), приложена в точката, чието изместване се нуждае да бъде намерен.

3.2.3. Методика и примери за определяне на премествания

Помислете за изчисляването на интеграла на Мор по метода на А. Н. Верещагин (1925). Интегралът на Мор има формата (3.8), където като D 1 , D 2 могат да се появят диаграми на огъващи моменти, надлъжни или напречни сили. Поне една от диаграмите () в интегранта е линейна или частично линейна, тъй като е изградена от едно натоварване. Следователно, за

Първи от интегралите числено равна на площподграф (защрихован на фиг. 3.6), а вторият - към статичния момент на тази област около оста. Статичният момент може да се запише като , където е координатата на позицията на центъра на тежестта на площта (точка А). С оглед на казаното получаваме

(3.13)

Правилото на Верещагин се формулира по следния начин: ако поне една от диаграмите е линейна на графиката, тогава интегралът на Мор се изчислява като произведение на площта на произволно

Когато изчислявате структури в средата на Mathcad, няма нужда да използвате правилото на Vereshchagin, тъй като можете да изчислите интеграла чрез числено интегриране.

Пример 3.1(Фиг. 3.7, а). Гредата е натоварена с две симетрично разположени сили. Намерете преместванията на точките на приложение на силите.

1. Да изградим диаграма на огъващите моменти M 1 от силите F 1 . Поддържащи реакции Максимален момент на огъване при сила

2. Тъй като системата е симетрична, деформациите под силите ще бъдат еднакви. Като спомагателно състояние приемаме натоварването на гредата от две единични сили F 2 = 1 N, приложени в същите точки като силите F 1

(Фиг. 3.7, b). Диаграмата на огъващите моменти за това натоварване е подобна на предишната, а максималният огъващ момент M 2max = 0,5 (L-b).

3. Натоварването на системата от две сили на второто състояние се характеризира с обобщената сила F 2 и обобщеното изместване , които създават работата на външните сили върху изместването на състояние 1, равно на . Нека изчислим преместването по формулата (3.11). Умножавайки диаграмите по секции според правилото на Верешчагин, намираме

След заместване на стойностите получаваме

Пример 3.2.Намерете хоризонталното изместване на подвижната опора на U-образната рамка, натоварена със сила F x (фиг. 3.8, а).

1. Да изградим диаграма на огъващите моменти от силата F 1 Опорни реакции . Максимален момент на огъване при сила F 1

2. Като спомагателно състояние приемаме натоварването на гредата с единична хоризонтална сила F 2, приложена в точка B (фиг. 3.8, b). Изграждаме диаграма на моментите на огъване за този случай на натоварване. Опорни реакции A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Максимален момент на огъване.

3. Изчисляваме преместването по формулата (3.11). На вертикални сечения продуктът е нула. На хоризонтален участък графиката M 1 не е линейна, но графиката е линейна. Умножавайки диаграмите по метода на Верещагин, получаваме

Продуктът е отрицателен, тъй като диаграмите лежат на противоположни страни. получено отрицателно значениеизместването показва, че неговата действителна посока е противоположна на посоката на единичната сила.

Пример 3.3(фиг. 3.9). Намерете ъгъла на завъртане на сечението на двуопорната греда под силата и намерете позицията на силата, при която този ъгъл ще бъде максимален.

1. Нека изградим диаграма на моментите на огъване M 1 от силата F 1. За да направим това, ще намерим опорната реакция A 1. От уравнението на равновесието за системата като цяло намерете Максималният огъващ момент под силата Fj

2. Като спомагателно състояние приемаме натоварването на гредата с един момент F 2 \u003d 1 Nm в участъка, чието въртене трябва да се определи (фиг. 3.9, b). Изграждаме диаграма на моментите на огъване за този случай на натоварване. Опорни реакции A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, моменти на огъване

И двата момента са отрицателни, тъй като са насочени по часовниковата стрелка. Диаграмите са изградени върху опънато влакно.

3. Изчисляваме ъгъла на въртене по формулата (3.11), извършвайки умножението върху две секции,

Означавайки , можете да получите този израз в по-удобна форма:

Графиката на зависимостта на ъгъла на въртене от положението на силата F 1 е показана на фиг. 3.9, c. Разграничавайки този израз, от условието намираме положението на силата, при което ъгълът на наклона на гредата под него ще бъде най-голям по абсолютна стойност. Това ще се случи при стойности, равни на 0,21 и 0,79.

1. Обобщени координати и брой степени на свобода.

Когато една механична система се движи, всички нейни точки не могат да се движат произволно, тъй като са ограничени от връзки. Това означава, че не всички координати на точки са независими. Позицията на точките се определя чрез задаване само на независими координати.

обобщени координати. За холономни системи (т.е. тези, чиито връзки са изразени чрез уравнения, които зависят само от координати), броят на независимите обобщени координати на механична система равен на броя на степените на свобода тази система.

Примери:

Позицията на всички точки се определя еднозначно от ъгъла на завъртане

манивела.

Една степен на свобода.

2. Позицията на свободна точка в пространството се определя от три независими една от друга координати. Ето защо три степени на свобода.

3. Твърдо въртящо се тяло, положението на което се определя от ъгъла на завъртане й . Една степен на свобода.

4. Свободно твърдо тяло, чието движение се определя от шест уравнения - шест степени на свобода.

2. Възможни премествания на механичната система.

Идеални връзки.

Възможенизместванията са въображаеми безкрайно малки измествания, разрешени в даден момент от ограничения, наложени на системата. Възможните премествания на точките на механична система се разглеждат като величини от първи ред на малки размери, следователно криволинейните премествания на точките се заменят с прави линейни сегменти, нанесени тангенциално на траекториите на точките и се означават dS.

dS A = dj . ОА

Всички сили, действащи върху материална точка, се разделят на дадени сили и принудителни реакции.

Ако сумата от работата на реакциите на връзките при всяко възможно изместване на системата е равна на нула, тогава такива връзки се наричат идеален.

3. Принципът на възможните движения.

За равновесието на механична система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна на нула.

Значение принципът на възможните движения:

1. Отчитат се само активните сили.

2. Дава в обща форма условието за равновесие за всяка механична система, докато в статиката е необходимо да се разглежда равновесието на всяко тяло на системата поотделно.

Задача.

За дадено положение на коляно-плъзгащия механизъм в равновесие, намерете връзката между момента и силата if OA = l.

Общо уравнение на динамиката.

Принципът на възможните премествания осигурява общ метод за решаване на проблеми на статиката. От друга страна, принципът на д'Аламбер дава възможност да се използват методите на статиката за решаване на проблеми на динамиката. Следователно, като се прилагат тези два принципа едновременно, може да се получи общ метод за решаване на проблеми на динамиката.

Нека разгледаме механична система, върху която са наложени идеални ограничения. Ако към всички точки на системата, с изключение на действащите върху тях активни сили и реакциите на връзките, добавим съответните инерционни сили, тогава съгласно принципа на Д'Аламбер получената система от сили ще бъде в равновесие. Прилагайки принципа на възможните премествания, получаваме:

Тъй като връзките са идеални, тогава:

Това равенство представлява общо уравнениединамика.

От нея следва принцип на д'Аламбер-Лагранж- когато една система се движи с идеални ограничения във всеки момент от времето, сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили върху всяко възможно движение на системата ще бъде равна на нула.

Задача.

В зъбния лифт 2 тегло 2Gс радиус R2=Rприложен въртящ момент M=4GR.

Определете ускорението на повдигнатия товар Апретегляне Ж, пренебрегвайки тежестта на въжето и триенето в осите. Барабан, на който е навито въже, и зъбно колело, здраво закрепено към него 1 , имат общо тегло 4Gи радиус на въртене r = R. радиус на барабана R A = Rи зъбни колела 1

R 1 \u003d 0,5R.

Нека изобразим всичко активни сили, посока на ускоренията и възможни премествания.

________________

Заместваме в общото уравнение на динамиката

Изразяваме преместването чрез ъгъла на завъртане δφ 1

Заменете стойностите

δφ 1 ≠0

Нека изразим всички ускорения по отношение на желаното а Аи приравнете израза в скоби към нула

Заменете стойностите

Принципът на възможните движения.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm _________________

x V; в B; NA ; т.т

Решение: Нека намерим реакцията на подвижната опора Азащо мислено отхвърляме тази връзка, заменяйки нейното действие с реакция N A

Възможно движение на пръта ACе въртенето му около пантата СЪСна ъгъла dj. Ядро слънцеостава неподвижен.

Нека съставим уравнението на работата, като вземем предвид, че работата на силите по време на въртене на тялото е равна на произведението на момента на силата около центъра на въртене и ъгъла на въртене на тялото.

Да се ​​определят реакциите на твърдо закрепване в опора INпърво намерете момента на реакция M p. За да направим това, отхвърляме ограничението, което не позволява на пръта да се завърти слънце, замяна на твърдото закрепване с шарнирно фиксирана опора и прилагане на момент M p .

Кажете на пръта възможно завъртане под ъгъл диджей 1.

Съставете уравнението за работа на пръта слънце:

Нека дефинираме преместванията:

За да определим вертикалния компонент на реакцията на твърдо закрепване, ние отхвърляме ограничението, което пречи на точката да се движи вертикално IN, замяна на твърдата фиксация с плъзгаща се (невъзможно е да се завърти) и прилагане на реакцията:

Нека информираме лявата страна (пръчката слънцес плъзгач IN) възможна скорост V Бпрогресивно движение надолу. Ядро ACзавъртете около точката А .

Нека съставим уравнението на произведенията:

За да определим хоризонталния компонент на твърдата реакция на закотвяне, ние отхвърляме ограничението, което пречи на точката да се движи хоризонтално INзамяна на твърдия край с плъзгащ се и прилагане на реакцията:

Нека информираме лявата страна (плъзгач INзаедно с пръта слънце) възможна скорост V Бдвижение напред наляво. Тъй като подкрепата Ана ролки, тогава дясната страна ще се движи напред със същата скорост. Следователно.

Нека направим уравнението на работите за целия дизайн.

За да проверим правилността на решението, съставяме уравненията на равновесието за цялата система:

Условието е изпълнено.

Отговор:у В = -14.2 Н; X B = -28.4 H; NA = 14.2 Н; V P \u003d 3,33 Nm.

Обобщени скорости. Обобщени сили.

Независими количества, които еднозначно определят положението на всички точки на механична система, се наричат обобщени координати. – р

Ако системата има Сстепени на свобода, тогава позицията му ще бъде определена Собобщени координати:

q1; q2; …; q s.

Тъй като обобщените координати са независими една от друга, елементарните увеличения на тези координати също ще бъдат независими:

dq 1; dq 2; …; dq S .

В същото време всяко от количествата dq 1; dq 2; …; dq Sопределя съответното, независимо от другите, възможно движение на системата.

Когато системата се движи, нейните обобщени координати непрекъснато се променят с течение на времето, законът на това движение се определя от уравненията:

, …. ,

Това са уравненията на движението на системата в обобщени координати.

Производните на обобщените координати по време се наричат ​​обобщени скорости на системата:

Измерението зависи от измерението р.

Помислете за механична система, състояща се от n материални точкивърху които действат силите F 1 , F 2 , F n. Нека системата има Сстепени на свобода и положението му се определя от обобщените координати q1; q2; р 3. Нека кажем на системата възможно движение, в което координатата р 1получава увеличение dq 1, а останалите координати не се променят. Тогава радиус векторът на k-тата точка получава елементарно увеличение (д-р к) 1. Това е увеличението, което радиус векторът получава, когато се променя само координатата. р 1по количеството dq 1. Останалите координати остават непроменени. Ето защо (д-р к) 1изчислено като частичен диференциал:

Нека изчислим елементарната работа на всички приложени сили:

Нека го извадим от скобите dq 1, получаваме:

Където - генерализирана сила.

Така, обобщена сила – е коефициентът за нарастване на обобщената координата.

Изчисляването на обобщените сили се свежда до изчисляване на възможната елементарна работа.

Ако всичко се промени р, Че:

Съгласно принципа на възможните премествания, за равновесието на системата е необходимо и достатъчно, че SdA a k = 0. В обобщени координати Q1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0следователно, За системно равновесиенеобходимо и достатъчно е обобщените сили, съответстващи на възможните премествания, избрани за системата, и следователно на обобщените координати, бяха равни на нула.

Q1 = 0; Q2 = 0; … Qs = 0.

Уравнения на Лагранж.

Използвайки общото уравнение на динамиката за механична система, могат да се намерят уравненията на движението на механична система.

4) определя кинетичната енергия на системата, изразява тази енергия по отношение на обобщени скорости и обобщени координати;

5) намерете съответните частни производни на Tза и и заместете всички стойности в уравнението.

Теория на въздействието.

Движението на тялото под действието на обикновени сили се характеризира с непрекъсната промяна на модулите и посоките на скоростите на това тяло. Има обаче случаи, когато скоростите на точките на тялото, а оттам и количеството на движение твърдо тялоза много кратък период от време се получават окончателни промени.

Феномен, при което за пренебрежимо малък период от време скоростите на точките на тялото се променят с крайна величина, се нарича удар.

сили, под действието на които възниква въздействието се наричат перкусии.

Малък период от време Tпо време на който възниква въздействието се нарича време на въздействие.

Тъй като силите на удара са много големи и се променят значително по време на удара, в теорията на удара не самите сили на удара, а техните импулси се разглеждат като мярка за взаимодействието на телата.

Импулси на неударни сили във времето Tса много малки и могат да бъдат пренебрегнати.

Теорема за промяната на импулса на точка при удар:

Където vе скоростта на точката в началото на удара,

uе скоростта на точката в края на удара.

Основно уравнение на теорията на удара.

Движението на точките за много кратък период от време, тоест по време на удара, също ще бъде малко и следователно ще считаме тялото за неподвижно.

И така, можем да направим следните изводи за силите на удара:

1) действието на неударните сили по време на удара може да бъде пренебрегнато;

2) преместванията на точките на тялото по време на удара могат да бъдат пренебрегнати и тялото да се счита за неподвижно по време на удара;