Как се решават хомогенни системи от линейни уравнения. Хомогенни системи уравнения. Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения

Филиал Калуга на Федералната държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман"

(KF MSTU на името на N.E. Bauman)

Влайков Н.Д.

Разтвор на хомогенен SLAE

Насоки за провеждане на упражнения

по курса на аналитична геометрия

Калуга 2011 г

Цели на урока, страница 4

План на урока, страница 4

Необходими теоретични сведения т.5

Практическа част стр.10

Контрол на развитието на преминатия материал стр.13

Страница за домашна работа 14

Брой часове: 2

Цели на урока:

Да се ​​систематизират получените теоретични знания за видовете СЛАУ и начините за тяхното решаване.

Придобийте умения за решаване на хомогенни SLAE.

План на урока:

Изложете накратко теоретичния материал.

Решете хомогенен SLAE.

Намерете фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.

Намерете конкретно решение на хомогенната SLAE.

Формулирайте алгоритъм за решаване на хомогенен SLAE.

Проверете текущото си домашно.

Извършете работа по проверка.

Представете темата на следващия семинар.

Изпратете текущата домашна работа.

Необходима теоретична информация.

Ранг на матрицата.

Деф.Рангът на матрица е числото, което е равно на максималния ред сред нейните ненулеви второстепенни. Рангът на матрицата се означава с .

Ако квадратната матрица е неизродена, тогава рангът е равен на нейния ред. Ако квадратната матрица е изродена, тогава нейният ранг е по-малък от нейния ред.

Рангът на диагонална матрица е равен на броя на нейните ненулеви диагонални елементи.

теор.Когато една матрица се транспонира, нейният ранг не се променя, т.е.
.

теор.Рангът на матрицата не се променя при елементарни трансформации на нейните редове и колони.

Основна малка теорема.

Деф.Незначителен
матрици се нарича основен, ако са изпълнени две условия:

а) не е равно на нула;

б) неговият ред е равен на ранга на матрицата .

Матрица може да има няколко базисни второстепенни.

Редове и колони на матрица , в които се намира избраният базисен минор, се наричат ​​основни.

теор.Основна малка теорема. Основни редове (колони) на матрица съответстващ на който и да е от неговите основни второстепенни
, са линейно независими. Всякакви редове (колони) на матрица , не са включени в
, са линейни комбинации от основни редове (колони).

теор.За всяка матрица нейният ранг е равен на максималния брой нейни линейно независими редове (колони).

Изчисляване на матричен ранг. Метод на елементарните преобразувания.

С помощта на елементарни трансформации на редове всяка матрица може да бъде намалена до стъпаловидна форма. Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на ненулевите редове. Базовият елемент в него е минорът, разположен в пресечната точка на ненулеви редове с колони, съответстващи на първите ненулеви елементи вляво във всеки от редовете.

СЛАУ. Основни определения.

Деф.Система

(15.1)

Числа се наричат ​​SLAE коефициенти. Числа
се наричат ​​свободни членове на уравненията.

Записът на SLAE във формата (15.1) се нарича координата.

Деф.Казва се, че SLAE е хомогенен, ако
. В противен случай се нарича разнороден.

Деф.Решението на SLAE е такъв набор от стойности на неизвестни, при заместването на които всяко уравнение на системата се превръща в идентичност. Всяко конкретно решение на SLAE се нарича още негово конкретно решение.

Решаването на SLAE означава решаване на два проблема:

Разберете дали SLAE има решения;

Намерете всички решения, ако съществуват.

Деф. SLAE се нарича съединение, ако има поне едно решение. В противен случай се нарича непоследователен.

Деф.Ако SLAE (15.1) има решение и освен това е уникално, тогава то се нарича определено, а ако решението не е уникално, тогава неопределено.

Деф.Ако в уравнение (15.1)
,SLAE се нарича квадрат.

Форми на запис на SLAU.

В допълнение към координатната форма (15.1), SLAE записите често използват други нейни представяния.

(15.2)

Съотношението се нарича векторна форма на SLAE.

Ако вземем за основа произведението на матриците, тогава SLAE (15.1) може да се запише по следния начин:

(15.3)

или
.

Записът на SLAE (15.1) във формата (15.3) се нарича матрица.

Хомогенен SLAE.

хомогенна система
линейни алгебрични уравнения с неизвестна е система на формата

Хомогенните SLAE винаги са последователни, тъй като винаги има нулево решение.

Критерий за съществуване на ненулево решение.За да има хомогенен квадратен SLAE ненулево решение, е необходимо и достатъчно неговата матрица да е изродена.

теор.Ако колони
,
, …,
са решения на хомогенна SLAE, тогава всяка линейна комбинация от тях също е решение на тази система.

Последица. Ако хомогенна SLAE има ненулево решение, тогава тя има безкраен брой решения.

Естествено е да се опитваме да намерим такива решения
,
, …,
системи, така че всяко друго решение да може да бъде представено като линейна комбинация от тях и освен това по уникален начин.

Деф.Всеки набор от
линейно независими колони
,
, …,
, които са решения на хомогенната СЛАУ
, Където е броят на неизвестните и е рангът на неговата матрица , се нарича фундаментална система от решения на тази хомогенна SLAE.

При изследването и решаването на хомогенни системи от линейни уравнения в матрицата на системата ще фиксираме основния минор. Базисният минор ще съответства на базовите колони и следователно на базисните неизвестни. Останалите неизвестни ще бъдат наречени безплатни.

теор.За структурата на общото решение на хомогенна СЛАУ. Ако
,
, …,
- произволна фундаментална система от решения на хомогенна СЛАУ
, тогава всяко негово решение може да бъде представено във формата

Където , …,- някои константи.

Че. общото решение на хомогенната СЛАУ има вида

Практическа част.

Разгледайте възможните набори от решения за следните типове SLAE и тяхната графична интерпретация.

;
;
.

Обмислете възможността за решаване на тези системи с помощта на формулите на Крамер и матричния метод.

Опишете същността на метода на Гаус.

Решете следните задачи.

Пример 1. Решаване на хомогенен SLAE. Намерете FSR.

.

Нека напишем матрицата на системата и я редуцираме до стъпаловидна форма.

.

системата ще има безкрайно много решения. FSR ще се състои от
колони.

Нека изхвърлим нулевите редове и напишем системата отново:

.

Ще разгледаме основния минор, стоящ в горния ляв ъгъл. Че.
са основните неизвестни и
- Безплатно. Експрес
чрез безплатно
:

;

Да сложим
.

Накрая имаме:

- координатната форма на отговора, или

- матрична форма на отговора, или

- векторна форма на отговора (вектор - колоните са колоните на FSR).

Алгоритъм за решаване на хомогенна СЛАУ.

Намерете FSR и общото решение на следните системи:

№2.225(4.39)

. Отговор:

№2.223(2.37)

. Отговор:

№2.227(2.41)

. Отговор:

Решете хомогенния SLAE:

. Отговор:

Решете хомогенния SLAE:

. Отговор:

Представяне на темата на следващия семинар.

Решение на системи от линейни не хомогенни уравнения.

Следене на развитието на обхванатия материал.

Контролна работа 3 - 5 минути. Участват 4 ученика с нечетни номера в списанието, започващи с №10

Домашна работа:

1. Решете проблеми:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2. Разработете лекции по темите:

Системи линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Координатни, матрични и векторни означения. Критерий Kronecker - Capelli съвместимост SLAE. Нехомогенен SLAE. Критерий за съществуване на ненулево решение на хомогенна СЛАУ. Свойства на разтворите на хомогенна СЛАУ. Фундаментална система от решения на хомогенна СЛАУ, теорема за нейното съществуване. Нормална фундаментална система от решения. Теорема за структурата на общото решение на хомогенна СЛАУ. Теорема за структурата на общото решение на нехомогенната СЛАУ.

Обмисли хомогенна система m линейни уравнения с n променливи:

(15)

Системата от еднородни линейни уравнения винаги е съвместима, т.к винаги има нулево (тривиално) решение (0,0,…,0).

Ако в система (15) m=n и , то системата има само нулево решение, което следва от теоремата и формулите на Крамер.

Теорема 1. Хомогенната система (15) има нетривиално решение тогава и само ако рангът на нейната матрица по-малко от числопроменливи, т.е. . r(А)< н.

Доказателство. Съществуването на нетривиално решение на система (15) е еквивалентно на линейната зависимост на колоните на матрицата на системата (т.е. има такива числа x 1 , x 2 ,…,x n , не всички равни на нула, че равенствата ( 15) са валидни).

Според основната малка теорема колоните на една матрица са линейно зависими , когато не всички колони на тази матрица са базисни, т.е.  когато редът r на базисния минор на матрицата е по-малък от броя n на нейните колони. ч.т.д.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиални решения  когато |A|=0.

Теорема 2. Ако колоните x (1), x (2), ..., x (s) на решението на хомогенната система AX=0, то всяка тяхна линейна комбинация също е решение на тази система.

Доказателство. Обмислете всяка комбинация от решения:

Тогава AX=A()===0. h.t.d.

Следствие 1.Ако една хомогенна система има нетривиално решение, то тя има безкрайно много решения.

Че. необходимо е да се намерят такива решения x (1), x (2), ..., x (s) на системата Ax = 0, така че всяко друго решение на тази система да може да бъде представено като линейна комбинация от тях и , освен това по уникален начин.

Определение.Системата k=n-r (n е броят на неизвестните в системата, r=rg A) от линейно независими решения x (1) ,x (2) ,…,x (k) на системата Ax=0 се нарича фундаментална система за вземане на решениятази система.

Теорема 3. Нека е дадена хомогенна система Ax=0 с n неизвестни и r=rg A. Тогава има набор от k=n-r решения x (1) ,x (2) ,…,x (k) на тази система, които образуват фундаментална система от решения.

Доказателство. Без загуба на общост можем да приемем, че базисният минор на матрицата A се намира в горния ляв ъгъл. Тогава, съгласно теоремата за базисния минор, останалите редове на матрицата A са линейни комбинации от базисните редове. Това означава, че ако стойностите x 1 ,x 2 ,…,x n удовлетворяват първите r уравнения, т.е. уравнения, съответстващи на редовете на основния минор), тогава те отговарят и на други уравнения. Следователно наборът от решения на системата няма да се промени, ако всички уравнения, започващи от (r + 1)-то, бъдат отхвърлени. Получаваме системата:

Нека преместим свободните неизвестни x r +1, x r +2 ,…,x n от дясната страна и да оставим основните x 1 , x 2 ,…, x r от лявата страна:

(16)

защото в този случай всички b i =0, тогава вместо формулите

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), получаваме:

c j =-(c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Ако свободните неизвестни х r +1 ,х r +2 ,…,x n са зададени на произволни стойности, тогава по отношение на основните неизвестни получаваме квадратна СЛАУ с неособена матрица, която има уникално решение. По този начин всяко решение на хомогенна SLAE се определя еднозначно от стойностите на свободните неизвестни х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Разгледайте следната k=n-r серия от стойности на свободни неизвестни:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Номерът на серията е обозначен с горен индекс в скоби, а серията от стойности е написана в колони. Във всяка серия =1, ако i=j, и =0, ако ij.

i-та серия от стойности на свободни неизвестни уникално съответства на стойностите ,,…, на основните неизвестни. Стойностите на свободните и основните неизвестни заедно дават решения на системата (17).

Нека покажем, че колоните e i =,i=1,2,…,k (18)

формират фундаментална система от решения.

защото тези колони по конструкция са решения на хомогенната система Ax=0 и броят им е равен на k, то остава да се докаже линейната независимост на решенията (16). Нека има линейна комбинация от решения д 1 , д 2 ,…, д к(x (1) , x (2) ,…, x (k)), равно на колона нула:

 1 д 1 +  2 д 2 +…+ k д к ( 1 х (1) + 2 х(2) +...+ k х(k) = 0)

Тогава лявата страна на това равенство е колона, чиито компоненти с числа r+1,r+2,…,n са равни на нула. Но (r+1)-ият компонент е равен на  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . По същия начин, (r+2)-та компонента е равна на  2 ,…, k-тата компонента е равна на  k . Следователно  1 =  2 = …= k =0, което означава линейната независимост на решенията д 1 , д 2 ,…, д к ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Построената фундаментална система от решения (18) се нарича нормално. По силата на формула (13) той има следния вид:

(20)

Следствие 2. Позволявам д 1 , д 2 ,…, д к-нормална фундаментална система от решения на хомогенна система, тогава множеството от всички решения може да се опише с формулата:

x=c 1 д 1 + от 2 д 2 +…+с к д к (21)

където с 1 ,с 2 ,…,с k – приемат произволни стойности.

Доказателство. По теорема 2 колона (19) е решение на хомогенната система Ax=0. Остава да се докаже, че всяко решение на тази система може да бъде представено във формата (17). Помислете за колона х=y r +1 д 1 +...+ин д к. Тази колона съвпада с колоната y по отношение на елементи с номера r+1,…,n и е решението на (16). Следователно колоните хИ примач, защото решенията на система (16) се определят еднозначно от набора от стойности на нейните свободни неизвестни x r +1 ,…,x n и колоните приИ хтези комплекти съвпадат. следователно при=х= y r +1 д 1 +...+ин д к, т.е. решение прие линейна комбинацияколони д 1 ,…,y n нормален FSR. ч.т.д.

Доказаното твърдение е вярно не само за нормалното FSR, но и за произволно FSR на хомогенна SLAE.

X=° С 1 х 1 + ° С 2 х 2 +...+s н - r х н - r - общо решениесистеми от линейни еднородни уравнения

Където Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r е всяка фундаментална система от решения,

c 1 ,c 2 ,…,с n - r са произволни числа.

Пример. (стр. 78)

Нека установим връзка между решенията на нехомогенната СЛАУ (1) и съответния хомогенен SLAE (15)

Теорема 4. Сумата от всяко решение на нехомогенна система (1) и съответната хомогенна система (15) е решение на система (1).

Доказателство. Ако c 1 ,…,c n е решение на система (1) и d 1 ,…,d n е решение на система (15), тогава заместването във всяко (например i-то) уравнение на система (1) вместо неизвестни числа c 1 +d 1 ,…,c n +d n , получаваме:

B i +0=b i

Теорема 5. Разлика от две произволни решенияна нехомогенната система (1) е решение на хомогенната система (15).

Доказателство. Ако c 1 ,…,c n и c 1 ,…,c n са решения на система (1), тогава заместването във всяко (например i-то) уравнение на система (1) на мястото на неизвестното числа c 1 -с 1 ,…,c n -с n , получаваме:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

От доказаните теореми следва, че общото решение на система от m линейни хомогенни уравнения с n променливи е равно на сумата от общото решение на съответната система от хомогенни линейни уравнения (15) и произволен брой частни решения на тази система (15).

х неод. =X обща сума един +X често срещан повече от един (22)

Като конкретно решение на нехомогенна система е естествено да се вземе нейното решение, което се получава, ако във формулите c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) определени равни на нула всички числа c r +1 ,…,c n , т.е.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Добавяне на това конкретно решение към общото решение X=° С 1 х 1 + ° С 2 х 2 +...+s н - r х н - rсъответстваща хомогенна система, получаваме:

х неод. =X 0 +C 1 х 1 +C 2 х 2 +…+С н - r х н - r (24)

Да разгледаме система от две уравнения с две променливи:

в която поне един от коефициентите aij 0.

За да решим, изключваме x 2, като умножим първото уравнение по 22 и второто по (-a 12) и ги добавим: Елиминирайте x 1, като умножите първото уравнение по (-a 21) и второто по 11 и добавянето им: Израз в скоби - определител

Обозначаване ,, тогава системата ще приеме формата:, т.е. ако, тогава системата има уникално решение:,.

Ако Δ=0, a (или), то системата е непоследователна, т.к се свежда до вида Ако Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, тогава системата е несигурна, т.к. доведени до ум

Хомогенни системи линейни алгебрични уравнения

В рамките на уроците Метод на ГаусИ Несъвместими системи/системи с общо решениесмятахме нееднородни системи линейни уравнения, Където безплатен член(което обикновено е отдясно) поне единот уравненията беше различно от нула.
А сега, след добра загрявка с матричен ранг, ще продължим да лъскаме техниката елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
Според първите параграфи материалът може да изглежда скучен и обикновен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното разработване на техники, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:

Съвсем ясно е, че хомогенната система е винаги последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава беспонтовое. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ... Защо да се заобикаляме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Имайте предвид, че няма нужда да записвате вертикалната лента и нулевата колона на безплатните членове тук - в края на краищата, каквото и да правите с нули, те ще останат нула:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система , и прилагайки обратното движение на метода на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има само тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(в този случай 3) е равно на броя на променливите (в този случай 3 бр.).

Загряваме и настройваме радиото си на вълна от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

От статията Как да намерим ранга на матрица?припомняме си рационалния метод за инцидентно намаляване на числата на матрицата. В противен случай ще трябва да колите голяма и често хапеща риба. Образец Пробазадача в края на урока.

Нулите са добри и удобни, но на практика случаят е много по-често срещан, когато редовете на матрицата на системата линейно зависими. И тогава появата на общо решение е неизбежна:

Пример 3

Решете хомогенна система от линейни уравнения

Решение: пишем матрицата на системата и с помощта на елементарни трансформации я довеждаме до стъпкова форма. Първото действие е насочено не само към получаване на една стойност, но и към намаляване на числата в първата колона:

(1) Третият ред беше добавен към първия ред, умножен по -1. Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Горе вляво получих единица с "минус", която често е много по-удобна за по-нататъшни трансформации.

(2) Първите два реда са същите, единият от тях е премахнат. Честно казано, не персонализира решението - случи се. Ако извършвате трансформации в шаблон, тогава линейна зависимост линиите ще се появят малко по-късно.

(3) Към третия ред добавете втория ред, умножен по 3.

(4) Променен е знакът на първия ред.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна система:

Алгоритъмът работи точно както при разнородни системи. Променливите "седящи на стъпалата" са основните, променливата, която не е получила "стъпките" е свободна.

Ние изразяваме основните променливи чрез свободната променлива:

Отговор: общо решение:

Тривиалното решение е включено в общата формула и не е необходимо да се записва отделно.

Проверката също се извършва съгласно обичайната схема: полученото общо решение трябва да бъде заменено в лявата страна на всяко уравнение на системата и се получава легитимна нула за всички замествания.

Това може да бъде тихо прекратено, но решението на хомогенна система от уравнения често трябва да бъде представено във векторна формакато се използва фундаментална система за вземане на решения. Моля, забравете временно за аналитична геометрия, тъй като сега ще говорим за вектори в общия алгебричен смисъл, който леко отворих в статия за матричен ранг. Терминологията не е необходимо да се засенчва, всичко е съвсем просто.

Сервизно задание. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученото решение се записва във файл на Word (вижте пример за решение).

Инструкция. Изберете размера на матрицата:

Свойства на системи от линейни еднородни уравнения

Теорема. Системата в случай m=n има нетривиално решение тогава и само тогава, когато детерминантата на тази система е равна на нула.

Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система за вземане на решенияако тази колекция се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.

Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава има фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения

1. Намерете ранга на матрицата.
2. Избираме основния минор. Избираме зависими (основни) и свободни неизвестни.
3. Зачеркваме тези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в основния минор, тъй като те са следствия от останалите (според основната теорема за минор).
4. Членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни, ще бъдат прехвърлени в дясната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентни на даденото, чиято детерминанта е различна от нула.
5. Решаваме получената система, като елиминираме неизвестните. Намираме отношения, изразяващи зависими променливи по отношение на свободни.
6. Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме фундаменталното решение на системата.
7. В случай на rang = n, имаме тривиално решение.

Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1 , a 2 ,...,a m), степенувайте и изразете векторите чрез основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1) и 2 =(1,1,2,0) и 3 =(1,1,1,1) и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 =(2,1,0,3).
Пишем основната матрица на системата:

Хомогенната система винаги е последователна и има тривиално решение
. За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата беше по-малко от броя на неизвестните:

.

Фундаментална система за вземане на решения хомогенна система
наричаме системата от решения под формата на колонни вектори
, които отговарят на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно се задават равни на единица, докато останалите се задават на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има вида:

Където
са произволни константи. С други думи, общото решение е линейна комбинация от фундаменталната система от решения.

По този начин основните решения могат да бъдат получени от общото решение, ако на свободните неизвестни алтернативно се даде стойност единица, като се приеме, че всички останали са равни на нула.

Пример. Нека намерим решение на системата

Приемаме, след което получаваме решението във формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

.

Общото решение може да се запише като:

Решенията на система от хомогенни линейни уравнения имат следните свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус

Решаването на системи от линейни уравнения представлява интерес за математиците от няколко века. Първите резултати са получени през XVIII век. През 1750 г. Г. Крамер (1704–1752) публикува своите трудове върху детерминантите на квадратните матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът за последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма. Такива системи ви позволяват последователно да намирате всички неизвестни в определен ред.

Да предположим, че в системата (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки първото уравнение на свой ред по т.нар подходящи числа

и добавяйки резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която всички уравнения, с изключение на първото, няма да имат неизвестни х 1

(2)

Сега умножаваме второто уравнение на системата (2) с подходящи числа, като приемаме, че

,

и добавяйки го към по-ниските, елиминираме променливата на всички уравнения, като се започне от третото.

Продължавайки този процес, след
стъпки, които получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е равно на нула, то съответното равенство е несъстоятелно и системата (1) е несъстоятелна. Обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо друго освен ранга на системната матрица (1).

Преходът от система (1) към (3) се нарича по права линия Метод на Гаус и намиране на неизвестни от (3) - наопаки .

Коментирайте : По-удобно е да се извършват трансформации не със самите уравнения, а с разширената матрица на системата (1).

Пример. Нека намерим решение на системата

.

Нека напишем разширената матрица на системата:

.

Нека добавим към редовете 2,3,4 първото, умножено съответно по (-2), (-3), (-2):

.

Нека разменим редове 2 и 3, след това в получената матрица добавете ред 2 към ред 4, умножено по :

.

Добавете към ред 4 ред 3, умножено по
:

.

Очевидно е, че
, следователно системата е съвместима. От получената система от уравнения

намираме решението чрез обратно заместване:

,
,
,
.

Пример 2Намерете системно решение:

.

Очевидно е, че системата е непоследователна, т.к
, А
.

Предимства на метода на Гаус :

Отнема по-малко време от метода на Cramer.

Недвусмислено установява съвместимостта на системата и ви позволява да намерите решение.

Дава възможност за определяне на ранга на всякакви матрици.