Основни понятия. Квадратни уравнения. Основни понятия Като цяло трансформацията ще изглежда така

Урокът ще въведе концепцията за квадратно уравнение, ще разгледа двата му вида: пълно и непълно. Специално внимание в урока ще се обърне на разновидностите на непълните квадратни уравнения, много примери ще бъдат разгледани във втората половина на урока.

Предмет:Квадратни уравнения.

Урок:Квадратни уравнения. Основни понятия

Определение.квадратно уравнениесе нарича уравнение от вида

Фиксирани реални числа, които определят квадратно уравнение. Тези числа имат конкретни имена:

Старши коефициент (множител при );

Втори коефициент (множител при );

Безплатен член (число без множителна променлива).

Коментирайте.Трябва да се разбере, че посочената последователност на записване на членовете в квадратно уравнение е стандартна, но не е задължителна и в случай на пренареждането им е необходимо да можете да определяте числовите коефициенти не чрез тяхното редно подреждане, а по принадлежащи на променливите.

Определение.Изразът се нарича квадратен тричлен.

Пример 1Дадено е квадратно уравнение . Коефициентите му са:

старши коефициент;

Втори коефициент (имайте предвид, че коефициентът е посочен с водещ знак);

Безплатен член.

Определение.Ако , тогава се нарича квадратното уравнение нередуциран, и ако , тогава квадратното уравнение се нарича дадено.

Пример 2Дайте квадратно уравнение . Нека разделим двете части на 2: .

Коментирайте.Както може да се види от предишния пример, чрез разделяне на водещия коефициент, ние не променихме уравнението, но променихме формата му (направихме го намалено), по същия начин, то също може да бъде умножено по някакво ненулево число. По този начин квадратното уравнение не е дадено от една тройка числа, но се казва, че се определя до ненулев набор от коефициенти.

Определение.Редуцирано квадратно уравнениесе получава от нередуцирания чрез разделяне на водещия множител и има формата:

.

Приемат се следните обозначения: . Тогава редуцирано квадратно уравнениеизглежда като:

.

Коментирайте. В горната форма на квадратното уравнение може да се види, че квадратното уравнение може да бъде определено само с две числа: .

Пример 2 (продължение).Нека посочим коефициентите, които определят редуцираното квадратно уравнение . , . Тези коефициенти също са посочени, като се вземе предвид знакът. Същите две числа определят съответното нередуцирано квадратно уравнение .

Коментирайте. Съответните нередуцирани и редуцирани квадратни уравнения са еднакви, т.е. имат същия набор от корени.

Определение. Някои от коефициентите в нередуцирана форма или в редуцирана форма на квадратното уравнение могат да бъдат нула. В този случай се нарича квадратното уравнение непълна. Ако всички коефициенти са различни от нула, тогава се извиква квадратното уравнение пълен.

Има няколко вида непълно квадратно уравнение.

Ако все още не сме разгледали решението на пълното квадратно уравнение, тогава можем лесно да решим непълното, като използваме вече познатите ни методи.

Определение.Решаване на квадратно уравнение- означава да се намерят всички стойности на променливата (корените на уравнението), при които даденото уравнение се превръща в правилно числово равенство, или да се установи, че няма такива стойности.

Пример 3Помислете за пример за този тип непълни квадратни уравнения. Решете уравнението.

Решение.Нека извадим общия множител. Можем да решаваме уравнения от този тип съгласно следния принцип: произведението е равно на нула тогава и само ако един от факторите е равен на нула, а другият съществува за тази стойност на променливата. По този начин:

Отговор.; .

Пример 4Решете уравнението.

Решение. 1 начин. Разложете го на множители, като използвате формулата за разликата на квадратите

, следователно, подобно на предишния пример или .

2 начина. Преместете свободния термин надясно и извлечете Корен квадратенот двете части.

Отговор. .

Пример 5Решете уравнението.

Решение.Преместваме свободния термин надясно, но , т.е. не в уравнението отрицателно числосе равнява на отрицателно, което няма смисъл за никакви стойности на променливата, следователно няма корени.

Отговор.Няма корени.

Пример 6.Решете уравнението.

Решение. Разделете двете страни на уравнението на 7: .

Отговор. 0.

Помислете за примери, в които първо трябва да приведете квадратното уравнение в стандартната форма и след това да го решите.

Пример 7. Решете уравнението.

Решение. За да приведете квадратно уравнение в стандартна форма, е необходимо да прехвърлите всички членове в една посока, например вляво, и да приведете подобни.

Получи се непълно квадратно уравнение, което вече знаем как да решим, получаваме това или .

Отговор. .

Пример 8 (текстов проблем). Произведението на две последователни естествени числа е два пъти квадрата на по-малкото число. Намерете тези числа.

Решение. Текстовите задачи, като правило, се решават по следния алгоритъм.

1) Изготвяне на математически модел. На този етап е необходимо текстът на проблема да се преведе на езика на математическите символи (направете уравнение).

Нека първо малко естествено числоозначава неизвестно, то следващите след него (последователни числа) ще бъдат . Най-малкото от тези числа е числото, ние записваме уравнението според условието на проблема:

, Където . Математическият модел е съставен.

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида:

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта!

Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има 2 корена. Обърнете специално внимание на стъпка 2.

Дискриминантът D ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Да се ​​обърнем към геометричен смисълквадратно уравнение.

Графиката на функцията е парабола:

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9

Решете уравнението

Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10

Решете уравнението

Уравнението е в стандартна форма, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11

Решете уравнението

Уравнението е в стандартна форма, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да записваме правилно такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат ​​намалени (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сумата от корените даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Пример 12

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, тъй като .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

А продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

• И. Сумата е;
• И. Сумата е;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14

Решете уравнението

Уравнението е намалено, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълна.

Ако всички членове са налице, тоест уравнението - пълен.

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Число на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не трябва да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Пример 15

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Пример 16

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

Пример 17

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Разлагаме лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта във формулата за корен?

Но дискриминантът може да бъде отрицателен.

Какво да правя?

Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корен:
• Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени?

Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В частен случай, който е квадратно уравнение, .

И това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с оста x (ос).

Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

4 примера за решаване на квадратни уравнения

Пример 18

Отговор:

Пример 19

Отговор: .

Пример 20

Отговор:

Пример 21

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Vieta е много лесно.

Всичко от което се нуждаеш е Вдигнитакава двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример 22

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, тъй като . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

А продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен, и проверим дали сборът им е равен:

• И. Сумата е;
• И. Сумата е;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример 23

Решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали сумата им е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в края на краищата работата.

Отговор:

Пример 24

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Така че сумата от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомните, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, то коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример 25

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението е намалено, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чийто продукт е равен, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример 26

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението е намалено, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измисляте корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант.

Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често!

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените.

За да ви бъде изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизм. И за това решете още пет примера.

Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета!

5 примера за теоремата на Виета за самоподготовка

Пример 27

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с продукта:

Не е подходящ, защото количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Пример 28

Задача 2.

И отново любимата ни теорема на Виета: сборът трябва да се получи, но произведението е равно.

Но тъй като трябва да бъде не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Пример 29

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е всички условия да се прехвърлят в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено.

Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения.

Така че първо трябва да въведете уравнението.

Ако не можете да го изведете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта).

Позволете ми да ви напомня, че да приведете квадратно уравнение означава да направите водещия коефициент равен на:

Тогава сумата на корените е равна и произведението.

Тук е по-лесно да вземете: все пак - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Пример 30

Задача 4.

Свободният член е отрицателен.

Какво му е толкова специалното?

И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци.

И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата на корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но продуктът.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус.

Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е.

Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Пример 31

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо?

Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Обобщете

1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени като членове от формулите за съкратено умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след промяната на променливите уравнението може да бъде представено като непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 32

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 33

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

IN общ изгледтрансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо ли не ви напомня?

Това е дискриминанта! Точно така се получи дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от формата, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението има формата: ,
• ако е свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението има формата: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Привеждаме уравнението до стандартен изглед: ,

2) Изчислете дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , А.

2.3. Пълно квадратно решение

клас: 8

Помислете за стандартните (изучавани в училищния курс по математика) и нестандартните методи за решаване на квадратни уравнения.

1. Разлагане на лявата част на квадратното уравнение на линейни множители.

Помислете за примери:

3) x 2 + 10x - 24 = 0.

6(x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - \u003d 0;

x(x - ) + (x - ) = 0;

x(x -) (x +) = 0;

Отговор: ; – .

За самостоятелна работа:

Решете квадратни уравнения, като използвате метода за разлагане на лявата страна на квадратно уравнение на линейни множители.

2. Методът за избор на пълен квадрат.

Помислете за примери:

За самостоятелна работа.

Решете квадратни уравнения, като използвате метода на пълния квадрат.

3. Решаване на квадратни уравнения по формула.

ax 2 + in + c \u003d 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2v + в 2 - в 2 + 4ac \u003d 0;

Разгледайте примери.

За самостоятелна работа.

Решаване на квадратни уравнения по формулата x 1,2 =.

4. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta (директна и обратна)

x 2 + px + q = 0 - редуцирано квадратно уравнение

Ако тогава уравнението има два еднакви корена по знак и зависи от коефициента.

Ако p, тогава .

Ако p, тогава .

Например:

Ако тогава уравнението има два корена с различен знак и по-големият корен ще бъде ако p и ще бъде ако p.

Например:

За самостоятелна работа.

Без да решавате квадратното уравнение, използвайте обратната теорема на Vieta, за да определите знаците на неговите корени:

a, b, j, l - различни корени;

c, e, h – отрицателни;

d, f, g, i, m – положителни;

5. Решаване на квадратни уравнения по метода на “трансфера”.

За самостоятелна работа.

Решете квадратни уравнения с помощта на метода "обръщане".

6. Решаване на квадратни уравнения с помощта на свойствата на неговите коефициенти.

I. ax 2 + bx + c = 0, където a 0

1) Ако a + b + c \u003d 0, тогава x 1 \u003d 1; x 2 =

Доказателство:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Според теоремата на Виета

По условие a + b + c = 0, тогава b = -a - c. След това получаваме

От това следва, че x 1 =1; x 2 = . Q.E.D.

2) Ако a - b + c \u003d 0 (или b \u003d a + c), тогава x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -

Доказателство:

Според теоремата на Виета

По условие a - b + c \u003d 0, т.е. b = a + c. След това получаваме:

Следователно, x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.

Разгледайте примери.

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.

a + b + c \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0

x 1 = 1; x 2 ==

2) 132 х 2 - 247 х + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 ==

Отговор: 1;

За самостоятелна работа.

Използвайки свойствата на коефициентите на квадратно уравнение, решете уравненията

II. ax 2 + bx + c = 0, където a 0

x 1,2 = . Нека b = 2k, т.е. дори. Тогава получаваме

x 1,2 = = = =

Помислете за пример:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

D 1 \u003d (-7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1

x 1 = = 2; x 2 =

Отговор: 2;

За самостоятелна работа.

а) 4x 2 - 36x + 77 = 0

б) 15x 2 - 22x - 37 = 0

в) 4x 2 + 20x + 25 = 0

г) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Отговори:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

Помислете за пример:

x 2 - 14x - 15 = 0

х 1,2 = 7 = 7

x 1 \u003d -1; х 2 = 15.

Отговор: -1; 15.

За самостоятелна работа.

а) x 2 - 8x - 9 \u003d 0

б) x 2 + 6x - 40 = 0

в) x 2 + 18x + 81 = 0

г) x 2 - 56x + 64 = 0

7. Решаване на квадратно уравнение с помощта на графики.

а) x 2 - 3x - 4 \u003d 0

Отговор: -1; 4

б) x 2 - 2x + 1 = 0

в) x 2 - 2x + 5 = 0

Отговор: няма решение

За самостоятелна работа.

Графично решаване на квадратни уравнения:

8. Решаване на квадратни уравнения с пергел и линейка.

ax2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 и x 2 са корени.

Нека A(0; 1), C(0;

Според теоремата за секанса:

OV · OD = OA · OS.

Следователно имаме:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

K(; 0), където = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Построете точката S(-; ) - центърът на окръжността и точката A(0;1).

2) Начертайте окръжност с радиус R = SA/

3) Абсцисите на точките на пресичане на тази окръжност с оста x са корените на първоначалното квадратно уравнение.

Възможни са 3 случая:

1) R > SK (или R > ).

Окръжността пресича оста x в точка B(x 1; 0) и D(x 2; 0), където x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (или R = ).

Кръгът докосва оста х в мъка B 1 (x 1; 0), където x 1 е коренът на квадратното уравнение

ax2 + bx + c = 0.

3) Р< SK (или R < ).

Окръжността няма общи точки с оста x, т.е. няма решения.

1) x 2 - 2x - 3 = 0.

Център S(-; ), т.е.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) е центърът на кръга.

Нека начертаем кръг (S; AS), където A(0; 1).

9. Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма

За решението са използвани четирицифрени математически таблици на V.M. Брадис (Табло XXII, стр. 83).

Номограмата позволява, без да се решава квадратното уравнение x 2 + px + q = 0, да се определят корените на уравнението чрез неговите коефициенти. Например:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

И двата корена са отрицателни. Следователно ще направим замяна: z 1 = - t. Получаваме ново уравнение:

t 2 - 4t + 3 = 0.

t 1 \u003d 1; t2 = 3

z 1 \u003d - 1; z 2 \u003d - 3.

Отговор: - 3; - 1

6) Ако коефициентите p и q са извън мащаба, тогава извършете заместването z \u003d k t и решете уравнението, като използвате номограмата: z 2 + pz + q \u003d 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k се взема с очакването, че са налице неравенства:

За самостоятелна работа.

y 2 + 6y - 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, |+ 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Отговор: -8; 2

За самостоятелна работа.

Решете геометрично уравнението y 2 - 6y - 16 = 0.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.

Квадратно уравнение е уравнение от формата ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числаи a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не толкова.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.

Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само когато (−c / a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Този видео урок ви показва как да решите квадратно уравнение. Решението на квадратни уравнения обикновено започва да се изучава в общообразователно училище, 8 клас. Корените на квадратно уравнение се намират по специална формула. Нека е дадено квадратно уравнение във формата ax2+bx+c=0, където x е неизвестното, a, b и c са коефициенти, които са реални числа. Първо, трябва да определите дискриминанта, като използвате формулата D=b2-4ac. След това остава да се изчислят корените на квадратното уравнение с помощта на добре позната формула. Сега нека се опитаме да решим конкретен пример. Нека вземем x2+x-12=0 като начално уравнение, т.е. коефициент a=1, b=1, c=-12. Според добре познатата формула можете да определите дискриминанта. След това, използвайки формулата за намиране на корените на уравнението, ги изчисляваме. В нашия случай дискриминантът ще бъде равен на 49. Това е стойността на дискриминанта положително число, ни казва, че това квадратно уравнение ще има два корена. След прости изчисления получаваме, че x1=-4, x2=3. Така решихме квадратното уравнение, като изчислихме неговите корени. Видео урок „Решаване на квадратни уравнения (8 клас). Ние намираме корените по формулата „можете да гледате онлайн по всяко време безплатно. Късмет!