Аксиоматично изграждане на система от цели числа. Аксиоматика на реалните числа. Връзка между ред и добавяне

Аксиоматичен метод в математиката.

Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените редове. Определение естествено число.

Събиране на естествени числа.

Умножение на естествени числа.

Свойства на множеството от естествени числа

Изваждане и деление на естествени числа.

Аксиоматичен метод в математиката

В аксиоматичната конструкция на всяка математическа теория, определени правила:

1. Някои концепции на теорията са избрани като майори се приема без определение.

2. Формулиран аксиоми, които в тази теория се приемат без доказателство, те разкриват свойствата на основните понятия.

3. Дадено е всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните определение, той обяснява значението си с помощта на основното и предхождащото това понятие.

4. Всяко изречение от теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано. Такива предложения се наричат теоремии ги докажете въз основа на аксиомите и теоремите, предхождащи разглежданата.

Системата от аксиоми трябва да бъде:

а) последователен:трябва да сме сигурни, че правейки всякакви изводи от дадена система от аксиоми, никога няма да стигнем до противоречие;

б) независими: нито една аксиома не трябва да бъде следствие от други аксиоми на тази система.

V) пълен, ако в неговата рамка винаги е възможно да се докаже или даденото твърдение, или неговото отрицание.

Представянето на геометрията от Евклид в неговите "Елементи" (3 век пр. н. е.) може да се счита за първия опит на аксиоматичното изграждане на теория. Значителен принос за развитието на аксиоматичния метод за конструиране на геометрия и алгебра направи Н.И. Лобачевски и Е. Галоа. В края на 19в Италианският математик Пеано разработи система от аксиоми за аритметика.

Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените числа. Дефиниция на естествено число.

Като основно (недефинирано) понятие в определен набор н е избрано поведение , както и концепции от теорията на множествата, както и правилата на логиката.

Елементът непосредствено след елемента а,обозначавам А".

Връзката "незабавно следване" отговаря на следните аксиоми:

Аксиомите на Пеано:

Аксиома 1. в множество н има елемент, директно не следващияза всеки елемент от това множество. Да му се обадим мерна единицаи символизират 1 .

Аксиома 2. За всеки елемент А от н има само един елемент а" непосредствено след това А .

Аксиома 3. За всеки елемент А от нима най-много един елемент непосредствено последван от А .

Аксиома 4.Всяко подмножество М комплекти н съвпада с н , ако има свойствата: 1) 1 съдържано в М ; 2) от какво А съдържано в М , следва, че и а" съдържано в М.

Определение 1. Няколко н , за чиито елементи се установява връзката "директно следвайте» който отговаря на аксиоми 1-4 се нарича набор от естествени числа, а неговите елементи са естествени числа.

IN това определениенищо не се казва за естеството на елементите на комплекта н . Така че тя може да бъде всичко. Избор като комплект н някакъв конкретен набор, на който е дадена конкретна релация "пряко следване", която удовлетворява аксиоми 1-4, получаваме модел на тази система аксиоми.

стандартен моделсистема от аксиоми Пеано се появява в процеса историческо развитиеобщество ред от числа: 1,2,3,4,... Естественият ред започва с числото 1 (аксиома 1); всяко естествено число е непосредствено последвано от едно естествено число (аксиома 2); всяко естествено число следва непосредствено най-много едно естествено число (аксиома 3); започвайки от числото 1 и преминавайки към естествените числа непосредствено едно след друго, получаваме целия набор от тези числа (аксиома 4).

И така, започнахме аксиоматичното изграждане на система от естествени числа с избора на главния връзка "директно следване".и аксиоми, които описват неговите свойства. По-нататъшното изграждане на теорията включва разглеждане на известните свойства на естествените числа и операциите върху тях. Те трябва да бъдат разкрити в дефиниции и теореми, т.е. извлечени по чисто логически начин от релацията "непосредствено следват", и аксиоми 1-4.

Първото понятие, което въвеждаме след определението за естествено число е поведение "непосредствено предшества" , което често се използва при разглеждане на свойствата на естествените серии.

Определение 2.Ако естествено число b директно следваестествено число А, това число А Наречен непосредствено предхождащ(или предишен) номер b .

Отношението "преди" има в близост до имоти.

Теорема 1. Едно няма предходно естествено число.

Теорема 2. Всяко естествено число А, различно от 1, има едно предходно число б,такова, че б"= А.

Аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа не е разгледана нито в началото, нито в гимназия. Въпреки това, тези свойства на връзката "директно следване", които са отразени в аксиомите на Пеано, са обект на изследване в първичен курсматематика. Още в първи клас, когато се разглеждат числата от първите десет, се оказва как може да се получи всяко число. Използват се термините „следва“ и „преди“. Всяко ново число действа като продължение на изучавания сегмент от естествената редица от числа. Учениците се убеждават, че след всяко число следва следващо, при това само едно, че естествената редица от числа е безкрайна.

Събиране на естествени числа

Съгласно правилата за изграждане на аксиоматична теория, определението за събиране на естествени числа трябва да бъде въведено, като се използва само връзката "директно следване", и концепции "естествено число"И "предишен номер".

Нека предхождаме определението за добавяне със следните съображения. Ако за всяко естествено число Адобавяме 1, получаваме числото А",непосредствено след това А, т.е. А+ 1= а"и оттам получаваме правилото за добавяне на 1 към всяко естествено число. Но как да добавя към числото Аестествено число б,различно от 1? Нека използваме следния факт: ако е известно, че 2 + 3 = 5, тогава сумата 2 + 4 = 6, която следва непосредствено числото 5. Това се случва, защото в сумата 2 + 4 вторият член е числото непосредствено след числото 3. Така че 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". IN общ изгледние имаме , .

Тези факти са в основата на определението за събиране на естествени числа в аксиоматичната теория.

Определение 3. Събиране на естествени числае алгебрична операция, която има следните свойства:

Номер a + b Наречен сбор от числа АИ b , и самите числа АИ b - условия.

В аксиоматичната конструкция на всяка математическа теория, определено правила:

някои понятия на теорията са избрани за основни и се приемат без определение;

на всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните, се дава дефиниция;

формулират се аксиоми - изречения, които се приемат в тази теория без доказателство; разкриват свойствата на основните понятия;

· всяко изречение от теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано; такива твърдения се наричат теореми и се доказват въз основа на аксиоми и тереми.

В аксиоматичното изграждане на теория всички твърдения се извличат от аксиомите чрез доказателство.

Следователно системата от аксиоми е обект на специални изисквания:

Съгласуваност (система от аксиоми се нарича последователна, ако е невъзможно логически да се изведат две взаимно изключващи се изречения от нея);

независимост (система от аксиоми се нарича независима, ако нито една от аксиомите на тази система не е следствие от други аксиоми).

Множество с дадено в него отношение се нарича модел на дадена система от аксиоми, ако в него са изпълнени всички аксиоми на тази система.

Има много начини да се конструира система от аксиоми за множеството от естествени числа. Като основна концепция може да се вземе, например, сумата от числа или връзката на реда. Във всеки случай е необходимо да се посочи система от аксиоми, които описват свойствата на основните понятия.

Нека дадем система от аксиоми, възприемайки основната концепция за операцията събиране.

Непразно множество нсе нарича множество от естествени числа, ако операцията (а; б) → а + б, наречено събиране и притежаващо свойствата:

1. събирането е комутативно, т.е. a + b = b + a.

2. добавянето е асоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).

4. във всеки комплект А, което е подмножество на множеството н, Където Аима такъв брой, че всички ха, са равни a+b, Където bN.

Аксиоми 1 - 4 са достатъчни, за да се изгради цялата аритметика на естествените числа. Но с такава конструкция вече не е възможно да се разчита на свойствата на крайните множества, които не са отразени в тези аксиоми.

Нека приемем като основна концепция релацията „директно следване...“, дефинирана върху непразно множество н. Тогава естествената редица от числа ще бъде множеството N, в което е дефинирана връзката „пряко следване“, а всички елементи на N ще се наричат естествени числа и важи следното: Аксиомите на Пеано:

АКСИОМА 1.

в множествонима елемент, който не следва непосредствено нито един елемент от това множество. Ще го наречем единица и ще го обозначим със символа 1.

АКСИОМА 2.

За всеки елемент a отнима един елемент a непосредствено след a.

АКСИОМА 3.

За всеки елемент a отнима най-много един елемент, последван непосредствено от a.

AXOIM 4.

Всяко подмножество M от множествотонсъвпада сн, ако има свойствата: 1) 1 се съдържа в M; 2) от факта, че a се съдържа в M, следва, че a също се съдържа в M.

Няколко Н,за елементите, от които е установена връзката "непосредствено следват ...", удовлетворяващи аксиоми 1 - 4, се нарича набор от естествени числа , а неговите елементи са естествени числа.

Ако като комплект низберете някакъв специфичен набор, върху който е дадена конкретна релация "директно следване ...", която удовлетворява аксиоми 1 - 4, тогава получаваме различни интерпретации (модели) дадено аксиомни системи.

Стандартният модел на системата от аксиоми на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Всяко изброимо множество може да бъде модел на аксиомите на Пеано.

Например I, II, III, III, ...

о, о, о, о, о...

едно две три четири, …

Да разгледаме последователност от множества, в която множеството (oo) е началният елемент, а всяко следващо множество се получава от предишното чрез присвояване на още една окръжност (фиг. 15).

Тогава не множество, състоящо се от множества от описания вид, и е модел на системата от аксиоми на Пеано.

Наистина в много нима елемент (oo), който не следва непосредствено никой елемент от даденото множество, т.е. важи аксиома 1. За всяко множество Аот разглеждания набор има уникален набор, който се получава от Акато добавим един кръг, т.е. Важи аксиома 2. За всяко множество Аима най-много едно множество, от което е образувано множеството Акато добавим един кръг, т.е. Важи аксиома 3. Ако Мни е известно, че комплектът Асъдържано в М,следва, че множеството, в което има една окръжност повече от в множеството А, също се съдържа в М, Че М =н, което означава, че аксиома 4 е изпълнена.

В дефиницията на естествено число не може да бъде пропусната нито една от аксиомите.

Нека установим кои от множествата, показани на фиг. 16 са модел на аксиомите на Пеано.

1 a b d a

G) Фиг.16

Решение.Фигура 16 а) показва набор, в който са изпълнени аксиоми 2 и 3. Наистина, за всеки елемент има уникален елемент, който го следва непосредствено, и има уникален елемент, който следва. Но аксиома 1 не е валидна в това множество (аксиома 4 няма смисъл, защото няма елемент в множеството, който да не следва непосредствено друг). Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

Фигура 16 b) показва набора, в който аксиоми 1, 3 и 4 са изпълнени, но зад елемента Аведнага следват два елемента, а не един, както се изисква в аксиома 2. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 c) показва набор, в който аксиоми 1, 2, 4 са изпълнени, но елементът снепосредствено следва два елемента. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 d) показва набор, който удовлетворява аксиоми 2, 3 и ако вземем числото 5 като начален елемент, тогава този набор ще удовлетворява аксиоми 1 и 4. Тоест, в този набор за всеки елемент веднага има един след него и има един единствен елемент, който следва. Има и елемент, който не следва веднага нито един елемент от този набор, това е 5 , тези. В сила е аксиома 1. Съответно е в сила и аксиома 4. Следователно този набор е модел на аксиомите на Пеано.

Използвайки аксиомите на Пеано, можем да докажем редица твърдения.Например доказваме, че за всички естествени числа неравенството x x.

Доказателство.Означаваме с Анабор от естествени числа, за които а а.Номер 1 принадлежи А, тъй като не следва никакво число от н, и следователно не следва от само себе си: 1 1. Позволявам аа,Тогава а а.Обозначете Апрез b. По силата на аксиома 3, Аб,тези. bbИ bA.

Реални числа, обозначени с (т.нар. R нарязани), се въвежда операцията на добавяне („+“), т.е. всяка двойка елементи ( х,г) от множеството реални числа, елементът х + гот същото множество, наречено сума хИ г .

Аксиоми на умножението

Въвежда се операцията умножение ("·"), тоест всяка двойка елементи ( х,г) от набора от реални числа се присвоява елемент (или накратко, хг) от същия набор, наречен продукт хИ г .

Връзка между събиране и умножение

Аксиоми на реда

Отношението на реда "" (по-малко или равно на) е дадено на, т.е. за всяка двойка x, yна поне едно от условията или .

Връзка между ред и добавяне

Връзка между ред и умножение

Аксиома за непрекъснатост

Коментар

Тази аксиома означава, че ако хИ Y- две непразни множества от реални числа, така че всеки елемент от хне надвишава нито един елемент от Y, тогава между тези набори може да се вмъкне реално число. За рационални числа тази аксиома не е валидна; класически пример: разгледайте положителните рационални числа и се обърнете към множеството хтези числа, чийто квадрат е по-малък от 2, а останалите - до Y. След това между хИ Yне може да се постави рационално число(не е рационално число).

Тази ключова аксиома осигурява плътност и по този начин прави възможно изграждането на смятане. За да илюстрираме важността му, посочваме две основни последици от него.

Следствия от аксиомите

Пряко от аксиомите следва, че някои важни свойствареални числа, напр.

уникалността на нулата,
уникалност на противоположни и обратни елементи.

Литература

Зорич В. А.Математически анализ. Том I. M .: Fazis, 1997, глава 2.

Вижте също

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Аксиоматика на реалните числа" в други речници:

Реално или реално число е математическа абстракция, възникнала от необходимостта да се измерват геометричните и физическите величини на света около нас, както и да се извършват операции като изваждане на корен, изчисляване на логаритми, решаване на ... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може интуитивно да бъде представено като описващо позицията на точка на права линия. ... ... Wikipedia

Уикиречник има статия за "аксиома" Аксиома (д-р гръцки ... Уикипедия

Аксиома, която се среща в различни аксиоматични системи. Аксиоматика на реалните числа Аксиоматика на Хилберт на евклидовата геометрия Аксиоматика на Колмогоров на теория на вероятностите ... Wikipedia

Дадената система от аксиоми на теорията на целите числа не е независима, както е отбелязано в упражнение 3.1.4.

Теорема 1.Аксиоматичната теория на целите числа е последователна.

Доказателство. Ще докажем последователността на аксиоматичната теория на целите числа, изхождайки от предположението, че аксиоматичната теория на естествените числа е последователна. За да направим това, ние конструираме модел, който удовлетворява всички аксиоми на нашата теория.

Нека първо изградим пръстен. Помислете за комплекта

н´ н = {(а, б)ï а, бÎ н}.

а, б) естествени числа. Под такава двойка разбираме разликата на естествените числа а-б. Но докато не бъде доказано съществуването на система от цели числа, в която съществува такава разлика, ние нямаме право да използваме такова обозначение. В същото време това разбиране ни дава възможност да зададем свойствата на двойките според нуждите ни.

Знаем, че различни разлики на естествени числа могат да бъдат равни на едно и също цяло число. Съответно въвеждаме на снимачната площадка н´ нотношение на равенство:

(а, б) = (c, d) Û a + d = b + c.

Лесно се вижда, че тази връзка е рефлексивна, симетрична и транзитивна. Следователно то е отношение на еквивалентност и има право да се нарича равенство. Факторно множество от множества н´ н З. Неговите елементи ще се наричат цели числа. Те са класове на еквивалентност в набор от двойки. Класът, съдържащ двойката
(а, б), обозначена с [ а, б].

З а, б] какво ще кажете за разликата а-б

[а, б] + [c, d] = [a+c, b+d];

[а, б] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Трябва да се има предвид, че строго погледнато използването на символи за операции тук не е напълно правилно. Същият символ + означава събирането на естествени числа и двойки. Но тъй като винаги е ясно в кой набор се изпълнява дадена операция, тук няма да въвеждаме отделни обозначения за тези операции.

Необходимо е да се провери коректността на дефинициите на тези операции, а именно дали резултатите не зависят от избора на елементи аИ bопределяне на двойката [ а, б]. Наистина, нека

[а, б] = [а 1 ,б 1 ], [c, d] = [с 1 , д 1 ].

Означава, че a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =д + с 1 . Събирайки тези равенства, получаваме

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +д + с 1 Þ [ a + b, c + d] = [а 1 +с 1 ,б 1 + д 1 ]

Þ [ а, б] + [c, d] = [а 1 ,б 1 ] + [° С 1 , д 1 ].

Коректността на определението за умножение се определя по подобен начин. Но тук първо трябва да проверим, че [ а, б] × [ c, d] = [а 1 ,б 1]×[ c, d].

Сега трябва да проверим дали получената алгебра е пръстен, тоест аксиомите (Z1) - (Z6).

Нека проверим например комутативността на събирането, тоест аксиомата (Z2). Ние имаме

[c, d] + [а, б] = = [a+c, b+d] = [а, б] + [c, d].

Комутативността на събирането за цели числа се извежда от комутативността на събирането на естествените числа, за която се приема, че е вече известна.

Аксиомите (Z1), (Z5), (Z6) се проверяват по подобен начин.

Ролята на нулата се играе от двойка. Нека го обозначим с 0 . Наистина ли,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [а+ 1,b+ 1] = [а, б].

Накрая, -[ а, б] = [б, а]. Наистина ли,

[а, б] + [б, а] = [a+b, b+a] = = 0 .

Сега нека проверим аксиомите за разширение. Трябва да се има предвид, че в конструирания пръстен няма естествени числа като такива, тъй като елементите на пръстена са класове от двойки естествени числа. Следователно е необходимо да се намери подалгебра, изоморфна на полупръстен от естествени числа. Тук отново понятието двойка [ а, б] какво ще кажете за разликата а-б. Естествено число нможе да се представи като разлика на две естествени числа, например, по следния начин: н = (н+ 1) - 1. Оттук и предложението за установяване на кореспонденция f: н ® Зспоред правилото

f(н) = [н + 1, 1].

Това съответствие е инжективно:

f(н) = f(м) Þ [ н + 1, 1]= [м+ 1, 1] Þ ( н + 1) + 1= 1 + (м+ 1) n=m.

Следователно имаме кореспонденция едно към едно между ни някои подмножества З, което означаваме с Н*. Нека проверим дали запазва операциите:

f(н) + f(м) = [н + 1, 1]+ [м + 1, 1] = [н + m + 2, 2]= [н + м+ 1, 1] = f(n+m);

f(н) × f(м) = [н+ 1, 1] × [ м + 1, 1] = [nm+n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Така е установено, че Н*форми в Зпод операциите събиране и умножение, подалгебра, изоморфна на н

Означете двойка [ н+ 1, 1] от Н* н, през н а, б] ние имаме

[а, б] = [а + 1, 1] + = [а + 1, 1] – [b + 1, 1] = а – b .

Така най-накрая концепцията за двойката [ а, б] като разлика на естествени числа. Същевременно се установи, че всеки елемент от изградената съвкупност Зпредставено като разлика на две естествени числа. Това ще помогне да се провери аксиомата за минималност.

Позволявам М -подмножество З, съдържащи Н*и заедно с всякакви елементи АИ bтяхната разлика а - б. Нека докажем това в този случай М =З. Всъщност всеки елемент от Зпредставена като разлика на две естествени числа, които по условие принадлежат на Мзаедно с неговата разлика.

Теорема 2.Аксиоматичната теория на целите числа е категорична.

Доказателство. Нека докажем, че всеки два модела, за които са валидни всички аксиоми на дадената теория, са изоморфни.

Нека a З 1, +, ×, н 1 в и б З 2, +, ×, н 2 – са два модела на нашата теория. Строго погледнато, операциите в тях трябва да се обозначават с различни символи. Ще се отклоним от това изискване, за да не затрупваме изчисленията: всеки път е ясно за коя операция става въпрос. Елементите, принадлежащи към разглежданите модели, ще бъдат снабдени със съответните индекси 1 или 2.

Ще дефинираме изоморфно преобразуване от първия модел към втория. защото н 1 и н 2 са полупръстени от естествени числа, тогава съществува изоморфно преобразуване j на първото полукръстово върху второто. Нека дефинираме картографирането f: З 1® З 2. Всяко цяло число х 1 О З 1 се представя като разликата на две естествени числа:
х 1 = а 1 – б 1 . Ние вярваме

f (х 1) = j( а 1) – j( b 1).

Нека докажем това fе изоморфизъм. Картографирането е добре дефинирано: ако х 1 = при 1, където г 1 = ° С 1 – д 1, тогава

а 1 – б 1 = ° С 1 – д 1 а 1 +г 1 = b 1 + ° С 1 Þ j( а 1 +г 1) = j( b 1 + ° С 1)

Þ j( а 1) + j( д 1) = j( b 1) + j( ° С 1) Þ j( а 1)–j( b 1)=j( ° С 1) – j( д 1) f(х 1) =f (г 1).

Оттук следва, че е-недвусмислено картографиране З 1 инч З 2. Но за всеки х 2 от З 2 могат да намерят природни елементи а 2 и b 2 такива, че х 2 = а 2 – б 2. Тъй като j е изоморфизъм, тези елементи имат обратни образи а 1 и b 1 . означава, х 2 = j( а 1) – j( b 1) =
= f (а 1 – б 1), и всеки елемент от З 2 е прототип. Оттук и кореспонденцията fвзаимно недвусмислени. Нека проверим дали спестява операции.

Ако х 1 = а 1 – б 1 , г 1 = c 1 - д 1, тогава

х 1 + г 1 = (а 1 + ° С 1) – (b 1 +д 1),

f(х 1 + г 1) = j( а 1 + ° С 1) – j( b 1 +д 1) =j( а 1)+ j( ° С 1) – j( b 1) – j( д 1) =

J( а 1) – j( b 1)+ j( ° С 1)– j( д 1) =f(х 1) + f(г 1).

По същия начин проверяваме дали умножението е запазено. Така е установено, че fе изоморфизъм и теоремата е доказана.

Упражнения

1. Докажете, че всеки пръстен, съдържащ системата от естествени числа, включва и пръстена от цели числа.

2. Докажете, че всеки минимален подреден комутативен пръстен с единица е изоморфен на пръстена от цели числа.

3. Докажете, че всеки подреден пръстен с единица и без делители на нула съдържа само един подпръстен, изоморфен на пръстена от цели числа.

4. Докажете, че пръстенът на матрицата от втори ред над полето от реални числа съдържа безкрайно много подпръстени, изоморфни на пръстена от цели числа.

Поле на рационални числа

Дефинирането и изграждането на система от рационални числа се извършва по същия начин, както се прави за система от цели числа.

Определение.Система от рационални числа е минимално поле, което е продължение на пръстена от цели числа.

В съответствие с това определение получаваме следната аксиоматична конструкция на системата от рационални числа.

Първични условия:

Qе набор от рационални числа;

0, 1 са константи;

+, × са двоични операции върху Q;

З- подмножество Q, набор от цели числа;

Å, Ä са двоични операции върху З.

Аксиоми:

аз Аксиоми на полето.

(Q1) а+ (b+c) = (a+b) + ° С.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3)(" а) а + 0 = а.

(Q4)(" а)($(–а)) а + (–а) = 0.

(Q5) а× ( b× ° С) = (а× b) × ° С.

(Q6) а× b = b× а.

(Q7) А× 1 = А.

(Q8)(" а¹ 0)($ а –1) а × а –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× ° С.

II. Аксиоми за разширение.

(Q10) а З, M, L, 0, 1ñ е пръстенът от естествени числа.

(Q11) З Í Q.

(Q12)(" а,бÎ З) a+b=aÅ b.

(Q13)(" а,бÎ З) а× b = aÄ b.

III. Аксиома за минималност.

(Q14) МÍ Q, ЗÍ М, ("а, бÎ М)(b ¹ 0 ® а× b–1 О М)Þ М = Q.

Номер а× b-1 се нарича частно АИ b, означено а/bили .

Теорема 1.Всяко рационално число се представя като частно от две цели числа.

Доказателство. Позволявам Ме набор от рационални числа, представими като частно от две цели числа. Ако нтогава е цяло число n = n/1 принадлежи М, следователно, ЗÍ М. Ако а, бÎ М, Че a = k/l, b = m/н,Където k, l, m, nÎ З. следователно а/b=
= (кн) / (лм)Î М. По аксиома (Q14) М= Q, и теоремата е доказана.

Теорема 2.Полето от рационални числа може да бъде линейно и строго подредено и по уникален начин. Редът в полето на рационалните числа е Архимедов и продължава реда в пръстена от цели числа.

Доказателство. Означаваме с Q+ набор от числа, представими като дроб, където кл> 0. Лесно се вижда, че това условие не зависи от вида на дробта, представяща числото.

Нека проверим това Q + – положителна част от полето Q. Тъй като за цяло число клвъзможни са три случая: кл = 0, клÎ н, –кл Î н, тогава за a = получаваме една от трите възможности: a = 0, aн Q+ , –aО Q + . Освен това, ако a = , b = принадлежат Q+ тогава кл > 0, мн> 0. Тогава a + b = и ( кн+мл)ln = kln 2 + мнл 2 > 0. Следователно a + bн Q + . По подобен начин може да се провери, че abн Q + . По този начин, Q + е положителната част от полето Q.

Позволявам Q++ е някаква положителна част от това поле. Ние имаме

l =.l 2 н Q ++ .

Оттук нÍ Q++ . По теорема 2.3.4 реципрочните на естествените числа също принадлежат към Q++ . Тогава Q + Í Q++ . По теорема 2.3.6 Q + =Q++ . Следователно редовете, определени от положителните части, също съвпадат. Q+ и Q ++ .

защото З + = нÍ Q+ , след това редът в Qпродължава поръчката З.

Нека сега a => 0, b => 0. Тъй като редът в пръстена от цели числа е Архимедов, за положителни кнИ млима естествено стакова, че с× кн>мл. Оттук са = с>= b. Следователно редът в полето на рационалните числа е архимедов.

Упражнения

1. Докажете, че полето от рационални числа е плътно, т.е. за всякакви рационални числа а < bима рационално rтакова, че а < r < b.

2. Докажете, че уравнението х 2 = 2 няма решения в Q.

3. Докажете, че множеството Qброим.

Теорема 3.Аксиоматичната теория на рационалните числа е последователна.

Доказателство. Съгласуваността на аксиоматичната теория на рационалните числа се доказва по същия начин, както при целите числа. За целта се изгражда модел, върху който са изпълнени всички аксиоми на теорията.

Като основа вземаме комплекта

З´ Z* = {(а, б)ï а, бÎ З, b ¹ 0}.

Елементите на това множество са двойки ( а, б) цели числа. Под такава двойка разбираме частното от цели числа а/b. В съответствие с това задаваме свойствата на двойките.

Представяме ви на снимачната площадка З´ Z*отношение на равенство:

(а, б) = (c, d) Û реклама = пр.н.е.

Отбелязваме, че това е отношение на еквивалентност и има право да се нарича равенство. Факторно множество от множества З´ Z*по отношение на това отношение на равенство, ние означаваме с Q. Елементите му ще се наричат рационални числа. Клас, съдържащ двойка ( а, б), обозначена с [ а, б].

Въвеждаме в конструирания комплект Qоперации събиране и умножение. Ще ни помогне да си направим представа за елемента [ а, б] какво ще кажете за лично а/b. В съответствие с това приемаме по дефиниция:

[а, б] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[а, б] × [ c, d] = [ак, бд].

Ние проверяваме коректността на дефинициите на тези операции, а именно дали резултатите не зависят от избора на елементи аИ bопределяне на двойката [ а, б]. Това се прави по същия начин, както при доказателството на теорема 3.2.1.

Ролята на нулата се играе от двойка. Нека го обозначим с 0 . Наистина ли,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [а × 1+0× b, b× 1] = [а, б].

Срещу [ а, б] е двойката –[ а, б] = [–а, б]. Наистина ли,

[а, б] + [–а, б]= [аб-аб, бб] = = 0 .

Единицата е чифт = 1 . Обратно на чифт [ а, б] - чифт [ б, а].

Сега нека проверим аксиомите за разширение. Да установим кореспонденция
f: З ® Qспоред правилото

f(н) = [н, 1].

Ние проверяваме, че това е кореспонденция едно към едно между Зи някои подмножества Q, което означаваме с Z*. Освен това проверяваме дали запазва операциите, следователно установява изоморфизъм между Зи подпръстен Z* V Q. Следователно аксиомите за разширение са проверени.

Означете двойка [ н, 1] от Z*съответстващ на естествено число н, през н . Тогава за произволна двойка [ а, б] ние имаме

[а, б] = [а, 1] × = [ а, 1] / [б, 1] = а /b .

Това обосновава концепцията за двойката [ а, б] като за частното от цели числа. Същевременно се установи, че всеки елемент от изградената съвкупност Qпредставено като частно от две цели числа. Това ще помогне да се провери аксиомата за минималност. Проверката се извършва както в теорема 3.2.1.

Така за изградената система Qвсички аксиоми на теорията на целите числа са изпълнени, тоест изградихме модел на тази теория. Теоремата е доказана.

Теорема 4.Аксиоматичната теория на рационалните числа е категорична.

Доказателството е подобно на доказателството на теорема 3.2.2.

Теорема 5.Архимедовото подредено поле е разширение на полето от рационални числа.

Доказателството е като упражнение.

Теорема 6.Позволявам Ее Архимедово подредено поле, а > б,Където а, бÎ Е. Има рационално число н Етакова, че а > > b.

Доказателство. Позволявам а > b³ 0. Тогава а-б> 0 и ( а-б) –1 > 0. Има естествено Tтакова, че м×1 > ( а-б) –1 , откъдето м –1 < а-б £ А. Освен това има естествено ктакова, че к× м-1³ а. Позволявам к – най-малкото числоза които е валидно това неравенство. защото к> 1, тогава можем да поставим k = n + 1, н Î н. При което
(н+ 1) × м-1³ а, н× м –1 < а. Ако н× м-1 £ b, Че а = b + (а-б) > б+м-1³ н× м –1 + м –1 =
= (н+ 1) × м-1 . Противоречие. означава, а >н× м –1 > b.

Упражнения

4. Докажете, че всяко поле, съдържащо пръстена от цели числа, включва и полето от рационални числа.

5. Докажете, че всяко минимално подредено поле е изоморфно на полето от рационални числа.

Реални числа