Grupuri ciclice. Ordinea elementului Existența elementului părinte în grup

Lăsa G- grupa si elementul A G. Ordinea elementului a (notat ׀а׀) este cel mai mic număr natural nN, Ce

A n = A . . . . A =1.

Dacă un astfel de număr nu există, atunci spunem asta A este un element de ordine infinită.

Lema 6.2. Dacă A k= 1, atunci k este divizibil după ordinea elementului A.

Definiție. Lăsa G- grup și A G. Apoi setul

H = (a k ׀ k }

este un subgrup al grupului G, numit subgrupul ciclic generat de elementul a (notat cu H =< а >).

Lema 6.3. Subgrup ciclic H, generat de element A Ordin n, este un grup de ordin finit n, și

H \u003d (1 \u003d a 0, a, ..., a n-1).

Lema 6.4. Lăsa A este un element de ordine infinită. Apoi subgrupul ciclic H = <A> este infinit și orice element din H este scris sub forma A k , LaZ, și într-un mod unic.

Grupul este numit ciclic dacă coincide cu una din subgrupele sale ciclice.

Exemplul 1. Grup de aditivi Z dintre toate numerele întregi este grupul ciclic infinit generat de elementul 1.

Exemplul 2 Ansamblul tuturor rădăcinilor n Puterea a 1 este un grup de ordin ciclic n.

Teorema 6.2. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

Teorema 6.3. Fiecare grup ciclic infinit este izomorf cu grupul aditiv al numerelor întregi Z. Orice ordine ciclică finită n izomorf cu grupul tuturor rădăcinilor n gradul din 1.

subgrup normal. Factorul de grup.

Lema 6.5. Lăsa H– subgrupul unui grup G, pentru care toate clasele din stânga sunt simultan cele din dreapta. Apoi

aH=Ha, A G.

Definiție. Subgrup H grupuri G numit normal în G(notat HG) dacă toate clasele și seturile din stânga sunt, de asemenea, seturile din dreapta, adică

aH=Ha, AG.

Teorema 6.4. Lăsa H
G, G/N este mulțimea tuturor claselor grupului G pe subgrup H. Dacă este definit pe platou G/N operația de înmulțire după cum urmează

(aH)(bH) = (ab)H,

Acea G/N devine un grup, care se numește coeficientul grupului G pe subgrup H.

Homomorfism de grup

Definiție. Lăsa G 1 și G 2 - grupuri. Apoi cartografierea f: G 1
G 2 se numește homomorfism G 1 in G 2 dacă

F(ab) = f(A)f(b) , a,b G 1 .

Lema 6.6. Lăsa f este un homomorfism de grup G 1 pe grup G 2. Apoi:

1) f(1) - unitate de grup G 2 ;

2) f(A -1) = f(A) -1 ,AG 1 ;

3) f(G 1) - subgrupa grupului G 2 ;

Definiție. Lăsa f este un homomorfism de grup G 1 pe grup G 2. Apoi setul

kerf = {AG 1 ׀f(A) = 1G 2 }

se numește nucleul homomorfismului f .

Teorema 6.5. ker f
G.

Teorema 6.6. Orice subgrup normal al grupului G este nucleul unui homomorfism.

Inele

Definiție. Set negol LA numit inel, dacă pe el sunt definite două operații binare, numite adunare și înmulțire și care îndeplinesc următoarele condiții:

LA este un grup abelian în ceea ce privește operația de adăugare;

înmulțirea este asociativă;

legile de distributivitate sunt valabile

X(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

Exemplu 1. Seturi QȘi R- inele.

Se numește inelul comutativ, Dacă

xy=yx, X yK.

Exemplul 2 (Comparații). Lăsa m este un număr natural fix, AȘi b sunt numere întregi arbitrare. Apoi numărul A comparabil cu numărul b modulo m dacă diferența A – b impartit de m(scris: Ab(mod m)).

Relația de ecuație este o relație de echivalență pe mulțime Z, spargere Zîn clase numite clase de reziduuri modulo mși notat Z m. O multime de Z m este un inel comutativ cu identitate.

câmpuri

Definiție. Un câmp este un set nevid R, conținând nu 2 elemente, cu două operații binare de adunare și înmulțire astfel încât:

Exemplul 1. O multime de QȘi R câmpuri nesfârșite.

Exemplul 2. O multime de Z r este câmpul final.

Două elemente AȘi b câmpuri R altele decât 0 se numesc divizori zero dacă ab = 0.

Lema 6.7. Nu există divizori zero în câmp.

Mulțimea rezultată în urma acestui proces este notă în text ca . Rețineți, de asemenea, că a 0 = e .

Exemplul 5.7

Din grupa G =< Z 6 , +>se pot obţine patru subgrupe ciclice. Acest H1 =<{0},+>, H2 =<{0, 2, 4}, +>, H3 =<{0, 3}, +> şi H4=G. Rețineți că atunci când operația este adunarea, atunci a n înseamnă înmulțirea lui n cu a . Rețineți, de asemenea, că în toate aceste grupuri operația este adiție modulo 6. Următoarele arată cum găsim elementele acestor subgrupuri ciclice.

A. Subgrupul ciclic generat din 0 este H 1 și are un singur element (elementul neutru).

b. Subgrupul ciclic generat din 1 este H4, care este grupul G însuși.

1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5 (oprire, apoi procesul se repetă)

V. Subgrupul ciclic generat din 2 este H 2 , care are trei elemente: 0 , 2 și 4 .

2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (oprire, apoi procesul se repetă)

d. Subgrupul ciclic generat din 3 este H 3 , care are două elemente: 0 şi 3 .

e. Subgrup ciclic generat din 4,-H2; acesta nu este un subgrup nou.

4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (oprire, apoi procesul se repetă)

e. Subgrupul ciclic generat din 5 este H4, care este grupul G în sine.

5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (oprire, repeta proces)

Exemplul 5.8

Din grup pot fi obținute trei subgrupe ciclice. G are doar patru elemente: 1, 3, 7 și 9. Subgrupuri ciclice - Și . Următoarele arată cum găsim elementele acestor subgrupuri.

A. Subgrupul ciclic generat din 1 este H1. Subgrupul are un singur element, și anume cel neutru.

b. Subgrupul ciclic generat din 3 este H3, care este grupul G.

3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (oprire, apoi procesul se repetă)

V. Subgrupul ciclic generat din 7 este H3, care este grupul G.

7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (oprire, apoi procesul se repetă)

d. Subgrupul ciclic generat din 9 este H2. Subgrupul are doar două elemente.

9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (oprire, apoi procesul se repetă)

2.11. Fie σ Sn un ciclu. Verificați dacă |σ| egal cu lungimea σ.

2.12. Fie σ Sn , σ = σ1 . . . σm , unde σ1 , . . . , σm sunt cicluri independente. Verificați dacă |σ| = LCM(|σ1 |, . . . , |σm |).

2.13. Sunt grupele ciclice: a) Sn ;

b) Dn;

c) µn := (z C | zn = 1)?

2.14. Demonstrați că dacă |G| = p este un număr prim, atunci G este ciclic.

2.15. Demonstrați că un grup netrivial G nu are subgrupuri proprii dacă și numai dacă |G| = p, adică G este izomorf cu Z(p) (p este un număr prim).

2.16. Demonstrați că dacă |G| ≤ 5, atunci G este abelian. Descrieți grupuri de ordine 4.

2.17. Fie G un grup ciclic de ordinul n cu generatorul a. Fie b = ak . Demonstrați că G = hbi dacă și numai dacă mcd(n, k) = 1, adică. numărul de generatoare dintr-un grup ciclic de ordin n este ϕ(n), unde ϕ este funcția Euler:

2.18.* Demonstrați că

2.19. Fie G un grup ciclic de ordinul n, m|n. Demonstrați că G are exact un subgrup de ordinul m.

2.20. Găsiți toate generatoarele de grup: a) Z, b) Z(18).

2.21. Demonstrați că un grup infinit are un număr infinit de subgrupe.

2 .22 .* Fie |G|< ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* Fie F un câmp și G un subgrup finit al lui F . Demonstrați că G este ciclic.

CAPITOLUL 3

Omomorfisme. subgrupuri normale. Grupuri de factori

O mapare de grup f: G −→ H se numește homomorfism dacă f(ab) = f(a)f(b) pentru orice a, b G (deci izomorfismul

– caz special homomorfism). Alte varietăți de homomorfism sunt adesea folosite:

un monomorfism este un homomorfism injectiv, un epimorfism este un homomorfism surjectiv, un endomorfism este un homomorfism în sine, un automorfism este un izomorfism în sine.

Subseturi

Kerf = (a G | f(a) = 1) G

Imf = (b H | f(a) = b pentru unele a G) H

se numesc respectiv nucleul si imaginea homomorfismului f. Evident, Kerf și Imf sunt subgrupuri.

Subgrupul N< G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Miezul homomorfismului este un subgrup normal. Este adevărat și invers: fiecare subgrup normal este nucleul unui homomorfism. Pentru a arăta acest lucru, vă prezentăm pe platou

16 Secțiunea 3. Omomorfisme, grupuri de factori

G/N = (aN | a G) de clase printr-o operație normală de subgrup N: aN · bN = abN. Apoi G/N se transformă într-un grup, care se numește grup de factori în raport cu subgrupul N. Maparea f: G −→ G/N este un epimorfism, iar Kerf = N.

Fiecare homomorfism f: G −→ H este compoziția unui epimorfism G −→ G/Kerf, a unui izomorfism G/Kerf −→ Imf și a unui monomorfism Imf −→ H.

3.1. Demonstrați că aceste hărți sunt homomorfisme.

grupurile de mami și găsiți-le nucleul și imaginea. a) f: R → R , f(x) = ex ;

b) f: R → C , f(x) = e2πix ;

c) f: F → F (unde F este un câmp), f(x) = ax, a F ; d) f: R → R , f(x) = sgnx;

e) f: R → R , f(x) = |x|; f) f: C → R , f(x) = |x|;

g) f: GL(n, F) → F (unde F este un câmp), f(A) = det A;

h) f: GL(2, F) → G, unde G este grupul de funcții fracționale liniare (vezi problema 1.8), F este un câmp,

i) f: Sn → (1, −1), f(σ) = sgnσ.

3.2. În ce condiție pe grupul G este maparea f: G → G dată de formula

a) g 7→g2 b) g 7→g−1 ,

este un homomorfism?

3.3. Fie f: G → H un homomorfism și G. Demonstrați că |f(a)| desparte |a|.

3.4. Demonstrați că imaginea omomorfă a unui grup ciclic este ciclică.

3.5. Demonstrați că imaginea și imaginea inversă a unui subgrup sub un homomorfism sunt subgrupuri.

3.6. Numim grupele G1 și G2 antiizomorfe dacă există o bijecție f: G1 → G2 astfel încât f(ab) = f(b)f(a) pentru tot a, b G1 . Demonstrați că grupările antiizomorfe sunt izomorfe.

3 .7 .* Demonstrați că nu există homomorfisme netriviale Q → Z, Q → Q+ .

3 .8 .* Fie G un grup, g G. Demonstrați că pentru existența lui f Hom(Z(m), G) astfel încât f(1) = g, este necesar și suficient ca gm = e.

3.9. Descrie

a) Hom(Z(6), Z(18)), b) Hom(Z(18), Z(6)), c) Hom(Z(12), Z(15)), d) Hom(Z (m), Z(n)).

3.10. Verifică asta

a, β R, a2 + β2 6= 0 .

3. 11. (O generalizare a teoremei lui Cayley.) Demonstrați că alocarea unui element a G a permutației xH 7→axH pe mulțimea de seturi în raport cu subgrupul H< G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12. Verificați dacă mulțimea Aut G a tuturor automorfismelor grupului G formează un grup de compoziție.

3. 13. Verificați dacă maparea f g : G → G, f g (x) = gxg −1 , unde g G, este un automorfism al grupului G (astfel de automorfisme se numesc intern ). Verificați dacă automorfismele interioare formează un subgrup al Inn G< Aut G.

3.14. Aflați grupul de automorfisme a) Z;

b) un grup neciclic de ordinul 4 (vezi problema 2.16); c) S3;

18 Secțiunea 3. Omomorfisme, grupuri de factori

3.15. Este adevărat că: a) G C G, E C G;

b) SL(n, F) C GL(n, F);

c) matricele scalare nenule formează un subgrup normal în GL(n, F);

d) matricele diagonale (triunghiulare superioare) cu elemente diagonale diferite de zero formează un subgrup normal în

e) Un C Sn ;

f) Hanul G C Aut G?

3.16. Fie = 2. Demonstrați că H C G.

3.17. Fie M, N C G. Demonstrați că M ∩ N, MN C G.

3.18. Fie N C G, H< G. Докажите, что N ∩ H C H.

3.19. Fie N C G, H< G. Докажите, что NH = HN < G.

3.20. Fie H< G. Докажите, что xHx−1 C G.

3.21. Fie H< K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3.22. Fie M, N C G, M ∩ N = E. Demonstrați că M și N fac naveta element cu element.

3.23. Demonstrați că:

a) Imaginea unui subgrup normal sub un epimorfism este normală; b) Imaginea inversă completă a unui subgrup normal (pentru orice homo-

morfism) este normal.

3.24. Verificați dacă G/G E, G/E G.

3.25. Demonstrați că Z/nZ este un grup ciclic de ordinul n.

3.26.* Demonstrați că:

d) R / R (1, -1);

f) GL(n, F)/SL(n, F) F;

unde GL+ (n, R) := (A GL(n, R) | det A > 0).

3.27. Demonstrați că Q/Z este un grup periodic (adică ordinea oricăruia dintre elementele sale este finită) care conține un subgrup unic de ordin n pentru fiecare număr natural n. Fiecare astfel de subgrup este ciclic.

3 .28 .* Demonstrați că: a) C(G) C G,

b) Hanul G G/C(G).

3,29.* Fie N C G, H< G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* Demonstrați că dacă M C N C G, M C G, atunci

(G/M)/(N/M) G/N.

3.31. Demonstrați că dacă G/C(G) este ciclic, atunci G = C(G) (adică G/C(G) = E).

3.32. Numim comutatorul elementelor x și y al grupului G elementul := x−1 y−1 xy. Grupul de comutatoare al unui grup G este subgrupul său G0 generat de toate comutatoarele. Demonstrați că:

a) G0 C G;

b) Grupul G/G0 este abelian;

c) G este abelian dacă și numai dacă G0 = E.

3.33. Fie N C G. Să se demonstreze că G/N este abelian dacă și numai dacă N G0 .

3.34. Definim prin inductie G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . Un grup G se numește rezolvabil dacă G(n) = E pentru unele n N. Verificați că:

a) subgrupurile și grupurile de factori ale unei grupări rezolvabile sunt rezolvabile;

b) dacă N C G este astfel încât N și G/N sunt rezolvabile, atunci G este rezolvabil.

3.35. Demonstrați că un grup G este rezolvabil dacă și numai dacă există un lanț de subgrupe

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 Secțiunea 3. Omomorfisme, grupuri de factori

astfel încât toate grupurile de factori Gk /Gk+1 sunt abeliene.

3.36. Verificați dacă a) grupurile abeliene; b) grupele S3 şi S4;

c) un subgrup al tuturor matricelor triunghiulare superioare din GL(n, F) (unde F este un câmp)

sunt rezolvabile.

3.37. Fie G(n) un subgrup al lui G generat de mulțimea (gn | g G). Demonstrați că:

a) G(n) C G;

b) G/G(n) are perioada n (adică satisface identitatea xn = 1);

c) G are perioada n dacă și numai dacă G(n) = E.

3.38. Fie N C G. Să se demonstreze că G/N are perioada n dacă și numai dacă N G(n) .

3.39. Fie G grupul (în ceea ce privește compoziția) de mapări

φ : R → R de forma x 7→ax + b (a 6= 0), H = (φ G | φ : x 7→x + b). Demonstrați că H C G. Ce este G/H?

3.40. Să definim operația pe mulțimea G = Z × Z:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)

Demonstrați că G este un grup și H = h(1, 0)i C G.

• 1. Grup Z numere întregi cu operație de adunare.
• 2. Grupul tuturor rădăcini complexe grad n din unitate cu operaţia de înmulţire. Deoarece numărul ciclic este un izomorfism

grupul este ciclic iar elementul este generator.

Vedem că grupurile ciclice pot fi fie finite, fie infinite.

3. Fie un grup arbitrar și un element arbitrar. Mulțimea este un grup ciclic cu generator g . Se numește subgrupul ciclic generat de elementul g, iar ordinea sa este ordinea elementului g. După teorema lui Lagrange, ordinea unui element este un divizor al ordinii unui grup. Afişa

actionand dupa formula:

este evident un homomorfism iar imaginea lui coincide cu . O mapare este surjectivă dacă și numai dacă grupul G- ciclic şi g elementul său constitutiv. În acest caz, vom numi homomorfismul standard pentru un grup ciclic G cu generatoarea aleasă g.

Aplicând teorema homomorfismului în acest caz, obținem proprietate importantă grupuri ciclice: fiecare grup ciclic este o imagine homomorfă a unui grup Z .

În orice grup G poate fi definit grad element cu exponenți întregi:

Există o proprietate

Acest lucru este evident dacă . Luați în considerare cazul când . Apoi

Alte cazuri sunt luate în considerare în mod similar.

Din (6) rezultă că

De asemenea, prin definiție. Astfel puterile unui element formează un subgrup în grup G. Se numeste subgrup ciclic generat de un element,și este notat cu .

Sunt posibile două cazuri fundamental diferite: fie toate gradele unui element sunt diferite, fie nu. În primul caz, subgrupul este infinit. Să luăm în considerare al doilea caz mai detaliat.

Lăsa ,; Apoi. Cel mai mic dintre numere naturale T, pentru care, se numește în acest caz în ordine element și se notează prin .

Sugestie 1. Dacă , Acea

Dovada. 1) Împărțiți m pe P cu restul:

Apoi, după definiția ordinului

În virtutea precedentului

Consecinţă. Dacă, mo subgrup conține n elemente.

Dovada.Într-adevăr,

și toate elementele enumerate sunt diferite.

Dacă nu există un astfel de firesc T, că (adică are loc primul dintre cazurile descrise mai sus), presupunem . Rețineți că; ordinele tuturor celorlalte elemente ale grupului sunt mai mari decât 1.

Într-un grup de aditivi, ei nu vorbesc despre puterile unui element , ci despre el multipli, care sunt notate cu . În conformitate cu aceasta, ordinea elementului grupului de aditivi G este cel mai mic număr natural T(dacă există) pentru care

EXEMPLUL 1. Caracteristica unui câmp este ordinea oricărui element diferit de zero din grupul său aditiv.

EXEMPLUL 2. Evident, într-un grup finit, ordinea oricărui element este finită. Să arătăm cum se calculează ordinele elementelor unui grup.Se numește substituție ciclu lungime și se notează cu dacă permutează ciclic

și lasă toate celelalte numere la locul lor. Evident, ordinea ciclului de lungime este R. Ciclurile sunt numite independent dacă printre numerele efectiv rearanjate de ei nu există unele comune; în acest caz, . Orice permutare se descompune în mod unic într-un produs de cicluri independente. De exemplu,

care este arătat clar în figură, unde acțiunea de substituție este reprezentată de săgeți. Dacă permutarea se descompune într-un produs de cicluri independente de lungimi , Acea

EXEMPLUL 3. Ordin număr complex c într-un grup este finit dacă și numai dacă acest număr este o rădăcină a unității, care, la rândul său, are loc dacă și numai dacă a este comonsurabil cu, i.e. .

EXEMPLUL 4. Să găsim elemente de ordin finit în grupul mișcărilor plane. Lasa. Pentru orice punct punct

sunt rearanjate ciclic prin mișcare , deci centrul lor de greutate O relativ imobil. Prin urmare, - fie rotație prin unghiul de vedere în jurul punctului O, sau reflecție despre o linie dreaptă care trece prin O.

EXEMPLUL 5. Să găsim ordinea matricei

ca parte a unui grup. Avem

Asa de. Desigur, acest exemplu este ales special: probabilitatea ca ordinea unei matrice alese aleatoriu să fie finită este zero.

Sugestie 2. Dacă , Acea

Dovada. Lăsa

Asa de. Avem

Prin urmare, .

Definiția 1 . grup G numit ciclic, dacă există un astfel de element , Ce . Fiecare astfel de element este numit element generativ grupuri G.

EXEMPLUL 6. Grupul aditiv de numere întregi este ciclic, deoarece este generat de elementul 1.

EXEMPLUL 7. Grupul de reziduuri de aditivi Modulo n este ciclic, deoarece este generat de elementul .

EXEMPLUL 8. Grup multiplicativ de complexe rădăcinile celui de-al n-lea gradul 1 este ciclic. Într-adevăr, aceste rădăcini sunt numerele

Este clar că . Prin urmare, grupul este generat de element.

Este ușor de observat că doar într-un grup ciclic infinit și sunt elemente generatoare. Deci, în grupul Z, singurele elemente generatoare sunt 1 și -- 1.

Numărul de elemente de grup finite G a sunat-o în ordineși notat cu. Ordinea unui grup ciclic finit este egală cu ordinea elementului său generator. Prin urmare, Propunerea 2 implică

Sugestie 3 . Element de grup ciclic de ordinul n este generator daca si numai daca

EXEMPLUL 9. Elementele generatoare ale unui grup sunt numite rădăcini primitive n puterea din 1. Acestea sunt rădăcinile formei , Unde. De exemplu, rădăcinile primitive de gradul 12 de 1 sunt.

Grupurile ciclice sunt cele mai simple grupuri imaginabile. (În special, sunt abelieni.) Următoarea teoremă oferă o descriere completă a acestora.

Teorema 1. Fiecare grup ciclic infinit este izomorf cu un grup. Fiecare grup ciclic finit de ordinul n este izomorf cu un grup.

Dovada. Dacă este un grup ciclic infinit, atunci prin formula (4) maparea este un izomorfism.

Fie un grup ciclic finit de ordin P. Luați în considerare maparea

atunci maparea este bine definită și bijectivă. Proprietate

rezultă din aceeaşi formulă (1). Astfel, este un izomorfism.

Teorema a fost demonstrată.

Pentru a înțelege structura unui grup, cunoașterea subgrupurilor sale joacă un rol important. Toate subgrupurile unui grup ciclic pot fi descrise cu ușurință.

Teorema 2. 1) Fiecare subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

2)În grupul de ordine ciclică n ordinea oricărui subgrup se împarte n iar pentru orice divizor q al numărului n există exact un subgrup de ordinul q.

Dovada. 1) Fie un grup ciclic și H-- subgrupul său distinct de (Subgrupul de identitate este în mod evident ciclic.) Rețineți că dacă pentru oricare, atunci . Lăsa T este cel mai mic număr natural pentru care . Să demonstrăm asta . Lăsa . Să împărțim La pe T cu restul:

de unde, în virtutea definiţiei numărului T rezultă că și, prin urmare, .

2) Dacă , apoi raționamentul anterior aplicat (în acest caz ), arată că . în care

Și H este singurul subgrup de ordine q in grup G.În schimb, dacă q-- orice divizor de număr PȘi , apoi submultimea H, definit de egalitate (9) este un subgrup de ordine q. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă . Într-un grup ciclic de ordin prim, orice subgrup netrivial coincide cu întregul grup.

EXEMPLUL 10.Într-un grup, fiecare subgrup are forma unde.

EXEMPLUL 11.în grupul rădăcină gradul al n-lea de la 1 orice subgrup este un grup de rădăcini q- gradul din 1, unde.

Fie g un element arbitrar al grupului G. Apoi, luând , obținem subgrupul minim
generat de un element
.

Definiție. Subgrup minim
generat de un element g al grupului G se numește subgrup ciclic grupa G.

Definiție. Dacă întregul grup G este generat de un element, i.e.
, atunci se numește grup ciclic.

Lăsa element grup multiplicativ G, atunci subgrupul minim generat de acest element este format din elemente ale formei

Luați în considerare gradele elementului , adică elemente

.

Există două posibilități:

1. Toate gradele elementului g sunt diferite, adică.

, atunci în acest caz elementul g se spune că are ordine infinită.

2. Există coincidențe de grade, adică. , Dar
.

În acest caz, elementul g are o ordine finită.

Într-adevăr, să lăsăm, de exemplu,
Și
, Apoi,
, adică sunt grade pozitive
element
, egal cu elementul de identitate.

Fie d cel mai mic exponent pozitiv al unui element , pentru care
. Apoi spunem că elementul
are un ordin finit egal cu d.

Concluzie. În orice grup G de ordin finit (
) toate elementele vor fi de ordine finită.

Fie g un element al unui grup multiplicativ G, apoi subgrupul multiplicativ
constă din toate puterile diferite ale elementului g. Prin urmare, numărul de elemente din subgrup
se potrivește cu ordinea elementului adică

numărul de elemente dintr-un grup
este egal cu ordinea elementelor ,

.

Pe de altă parte, este valabilă următoarea afirmație.

Afirmație. Ordin orice element
este egală cu ordinea subgrupului minim generat de acest element
.

Dovada. 1.Dacă este un element de ordin finit , Acea

2. Dacă este un element de ordine infinită, atunci nu există nimic de demonstrat.

Dacă elementul are ordine , apoi, prin definiție, toate elementele

diferite și de orice grad se potrivește cu unul dintre aceste elemente.

Într-adevăr, lasă exponentul
, adică este un întreg arbitrar și fie
. Apoi numărul poate fi reprezentat ca
, Unde
,
. Apoi, folosind proprietățile gradului elementului g, obținem

.

În special, dacă .

Exemplu. Lăsa
este grupul abelian aditiv de numere întregi. Grupul G coincide cu subgrupul minim generat de unul dintre elementele 1 sau -1:

,

prin urmare,
este un grup ciclic infinit.

Grupuri ciclice de ordin finit

Ca exemplu de grup ciclic de ordin finit, luați în considerare grup de rotații ale unui n-gon regulat în jurul centrului său
.

Elemente de grup

sunt rotațiile în sens invers acelor de ceasornic ale n-gonului după unghiuri

Elemente de grup
sunt

,

iar din considerente geometrice este clar că

.

grup
conţine n elemente, adică
, și elementul generator al grupului
este , adică

.

Lăsa
, apoi (vezi Fig. 1)

Orez. 1 – grup - rotațiile triunghiului dreptunghic ABC în jurul centrului O.

Operație algebrică  într-un grup - rotire secvenţială în sens invers acelor de ceasornic, la un unghi care este multiplu de , adică

Element invers
– rotire în sensul acelor de ceasornic cu un unghi  1 , adică.

.

Tabelul Kuhdacă

Analiza grupurilor finite se realizează cel mai clar folosind tabelul Cayley, care este o generalizare a binecunoscutului „tabel de înmulțire”.

Fie grupul G să conțină n elemente.

În acest caz, masa Cayley este matrice pătrată având n rânduri și n coloane.

Fiecare rând și fiecare coloană corespunde unui singur element al grupului.

Element a tabelului Cayley, la intersecția rândului i și coloanei j, este egal cu rezultatul operației de „înmulțire” a i-lea element cu j-lea element al grupului.

Exemplu. Fie grupul G să conțină trei elemente (g 1, g 2, g 3). Operația în grupul „înmulțire”. În acest caz, tabelul Cayley are forma:

Cometariu. Fiecare rând și fiecare coloană a tabelului Cayley conține toate elementele grupului și numai ele. Masa Cayley conține informatii complete despre grup.Ce se poate spune despre proprietățile acestui grup?

1. Elementul de identitate al acestui grup este g 1 .

2. Grupul este abelian din moment ce masa este simetrică față de diagonala principală.

3. Pentru fiecare element al grupului, există invers -

pentru g 1 inversul este elementul g 1 , pentru g 2 elementul g 3 .

Să construim pentru grupuri masa lui Kelly.

Pentru a găsi inversul unui element, de exemplu, , necesar în șirul corespunzător elementului găsiți coloana j care conține elementul . Element corespunzătoare coloanei date și este inversul elementului , deoarece
.

Dacă tabloul Kelly este simetric în raport cu diagonala principală, atunci aceasta înseamnă că

– adică operaţia în grupul luat în considerare este comutativă. Pentru exemplul luat în considerare, tabloul Kelly este simetric în raport cu diagonala principală, ceea ce înseamnă că operația în comutativă, adică
,

un grup - abelian.

Se poate considera grupul complet de transformări de simetrii ale unui n-gon regulat , adăugând la operația de rotație operații suplimentare de rotație spațială în jurul axelor de simetrie.

Pentru triunghi
, și grupul conţine şase elemente

Unde
acestea sunt rotații (vezi Fig. 2) în jurul înălțimii, medianele, bisectoarele au forma:

;

,

,
.

Orez. 2.- Grup – transformări de simetrie ale triunghiului regulat ABC.