Coeficienți polinomi. Tablouri Găsirea coeficienților unui polinom după rădăcinile sale

Se observă că, în cazul în care caracteristica unui element neliniar este aproximată printr-o expresie care conține mai mult de trei puncte, este recomandabil să alegeți valoarea funcției cu valori echidistante ale argumentului. În plus, dacă numărul de puncte date depășește numărul de coeficienți de aproximare de determinat, se recomandă utilizarea „metodei celor mai mici pătrate”, în care eroarea pătratică medie este minimă, adică. cu această metodă, suma abaterilor pătrate ale unui polinom de un grad dat de la curbă este cea mai mică.

În conformitate cu aceasta, în ciuda programelor de calculator existente, este recomandabil să se ofere o scurtă rețetă pentru utilizarea acestei metode, care să permită elevului să înțeleagă esența matematică a metodei și, folosind microcalculatoare simple, să efectueze orice aproximare într-un mod optim scurt. timp.

Se observă că este cel mai rațional să se calculeze coeficienții unui polinom prin metoda celor mai mici pătrate folosind cei introduși de Yu.B. Kobzarev de polinoame ortogonale pentru un număr dat N de puncte egal distanțate.

Se notează prin polinomul de grad l. Atunci sistemul de polinoame va fi ortogonal pentru un număr dat de puncte, dacă există
egalitate

. (16)

Folosind binecunoscutele polinoame ortogonale Chebyshev conform metodei lui Yu.B. Kobzarev a găsit toate cele șapte polinoame care formează un astfel de sistem pe segment
pentru N=11 puncte echidistante, i.e. la
; –0,8; … 0 … 0,8; 1.0 avem:

(17)

Sistemul (17) de polinoame ortogonale are proprietatea remarcabilă că expansiunea oricărei funcții date în termenii acestora oferă cea mai bună aproximare în sensul celor mai mici pătrate. Prin urmare, în loc de, de exemplu, expresia (18) pentru coeficientul de transfer de tensiune
cu coeficienți necunoscuți, poate fi scris ca o sumă (19) a polinoamelor de mai sus:

(18)

. (19)

Aici R este gradul polinomului; R este un număr întreg egal cu numărul termenului; este un coeficient având dimensiunea
, care poate fi numită abruptul ordinului R, adică există o abruptă de ordin zero, - prima comandă etc.

Valoarea inclusă aici X proporțională cu tensiunea
, numărat de la mijlocul secțiunii de aproximare
, adică când se schimbă
în
,X variază de la -1 la 1, deci

. (20)

Pentru a determina coeficientul
în (19) înmulțim ambele părți ale egalității cu polinom
și însumează toate punctele . Apoi, folosind proprietatea de ortogonalitate (16), găsim

. (21)

, (22)

Unde
este polinomul normalizat

. (23)

Deoarece nodul zero corespunde capătului din stânga al secțiunii de aproximare, i.e.
, atunci suma (22) poate fi împărțită convenabil în sume, unde X<0 и X>0, deoarece polinoamele pare ( R= 0, 2, 4, 6) nu diferă în aceste zone și impar ( R=1, 3, 5, 7) diferă doar prin semne. În acest sens, este recomandabil să introduceți un ciudat
și chiar
componente de câștig LA:

(24)

Unde
- schimbarea pasului X(în cazul nostru cu N=11
);

- valoarea câștigului în puncte
.

Acum, în loc de sume peste valori pozitive și negative este posibil să se ia sume numai peste cele pozitive folosind componentele pare și impare ale câștigului. Apoi

(25)

Rezumat în tabel. 1 valori ale coeficientului de polinoame normalizate
și folosindu-le, este ușor să găsiți coeficienții
conform formulelor (25), apoi în (19) grupează termenii după puteri X si se trece la reprezentarea castigului sub forma unui polinom in puteri
. Coeficienții acestui polinom vor fi aleși în cel mai bun mod în sensul celor mai mici pătrate, în care curba experimentală
se va contopi practic cu curba teoretică
.

Vom lua în considerare calculul coeficienților polinomului utilizat în analiza armonică pentru a determina coeficienții și parametrii neliniarității și, în cele din urmă, pentru a selecta modul optim al dispozitivului de amplificare folosind un exemplu specific.

tabelul 1

• 1a metodă folosind graficul;
• A doua cale cu funcție Excel =LINEST();

Citiți mai multe despre polinom și cum să îl calculați în Excel mai târziu în articolul nostru.

Tendință polinomială folosit pentru a descrie valorile seriilor temporale, alternativ crescătoare și descrescătoare. Polinomul este excelent pentru analiza unui set mare de date cu o valoare instabilă (de exemplu, vânzările de produse sezoniere).

Ce este un polinom? Polinom este o funcție de putere y=ax 2 +bx+c (polinomul de gradul II) și y=ax 3 +bx 2 +cx+d (polinomul de gradul III), etc. Gradul polinom determină numărul de extreme (vârfuri), adică valorile maxime și minime pentru perioada de timp analizată.

La polinom de gradul doi y=ax 2 +bx+c (pe grafic sub 1 maxim).

La Polinom de gradul III y=ax 3 +bx 2 +cx+d poate fi una sau două extreme.

O extremă

Două extreme

La Polinom de gradul al patrulea nu mai trei extreme etc.

Cum se calculează valorile polinomiale în Excel?

Există 3 moduri de a calcula valorile polinomiale în Excel:

• 1a metodă folosind graficul;
• A doua cale folosind funcția Excel =LINEST;
• A treia metodă folosind Forecast4AC PRO;

Prima modalitate de a calcula un polinom - folosind un grafic

Selectăm o serie cu valori și trasăm un grafic de serie de timp.

Adăugăm graficului un polinom de gradul 6.

Apoi, în formatul liniei de tendință, bifați caseta „afișați ecuația pe diagramă”

După aceea, ecuația este reprezentată grafic y = 3,7066x 6 - 234,94x 5 + 4973,6x 4 - 35930x 3 - 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06 . Pentru ca ultimul coeficient să fie lizibil, ținem apăsat butonul stâng al mouse-ului și selectăm ecuația polinomială

Faceți clic dreapta și selectați „formatul etichetei trendline”

În setările semnăturii liniei de tendință, selectați un număr și, în formatele numerice, selectați „Numeric”.

Obținem ecuația polinomială într-un format care poate fi citit:

y = 3,71x 6 - 234,94x 5 + 4973,59x 4 - 35929,91x 3 - 7576,79x 2 + 645514,77x + 4693169,35

Din această ecuație luăm coeficienții a, b, c, d, g, m, v și introduceți la celulele Excel corespunzătoare

Atribuim un număr de serie fiecărei perioade din seria temporală, pe care îl vom înlocui în ecuație în loc de X.

Să calculăm valorile polinomului pentru fiecare perioadă. Pentru a face acest lucru, introducem formula polinomială y = 3,71x 6 - 234,94x 5 + 4 973,59x 4 - 35 929,91x 3 - 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 514,77x + 4 693 169 și fixează link-ul la prima celulă 169 și fixează legătura cu tendința. coeficienți (vezi )

R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 +R7C8*RC[-3] +R8C8

A doua modalitate de a calcula polinomul în Excel - Funcția LINEST().

Calculați coeficienții tendinței liniare folosind standardul Funcții Excel =LINEST()

Pentru a calcula coeficienții din formulă =LINEAST(valori y cunoscute, valori x cunoscute, constantă, statistici) introduceți:

• „valori cunoscute ale lui y” (volume de vânzări pentru perioade),
• „valori x cunoscute” (numărul de serie al seriei temporale),
• pune „1” în constantă
• la statistica „0”

Obtinem urmatoarea formula:

LINIE(R[-4]C:R[-4]C;R[-5]C:R[-5]C;1;0),

Acum, la formula Linen() a calculat coeficienții polinomului, trebuie să îi adăugăm gradul polinomului, ai cărui coeficienți dorim să îi calculăm.

Pentru a face acest lucru, introducem în partea formulei cu „valori x cunoscute”. gradul polinom:

• ^(1:2:3:4:5:6) - pentru a calcula coeficienții polinomului de gradul 6
• ^(1:2:3:4:5) - pentru a calcula coeficienții polinomului de gradul 5
• ^(1:2) - pentru a calcula coeficienții unui polinom de gradul 2

Obtinem urmatoarea formula:

LINIE(R[-4]C:R[-4]C; R[-5]C:R[-5]C^(1:2:3:4:5:6) ; 1; 0)

Introducem formula în celulă, obținem 3,71 -- valoarea (a) pentru polinomul de gradul 6 y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Pentru ca Excel să calculeze toți cei 7 coeficienți polinomi gradul 6 y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, aveți nevoie de:

1. Plasați cursorul în celula cu formula și selectați 7 celule adiacente din dreapta, ca în figură:

2. Apăsați tasta F2

Obținem 7 coeficienți ai tendinței polinomiale de gradul 6.

Să calculăm valorile tendinței polinomiale folosind coeficienții obținuți. Înlocuiți în ecuația y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 numere de perioade X pentru care dorim să calculați valorile polinomului.

Atribuim un număr ordinal fiecărei perioade din seria temporală, pe care îl vom înlocui în ecuația polinomială în loc de X.

Să calculăm valorile tendinței polinomiale pentru fiecare perioadă. Pentru a face acest lucru, introducem formula polinomială în prima celulă și fixăm legăturile către coeficienții de tendință (vezi)

Obtinem urmatoarea formula:

R2C8 *RC[-3]^6+R3C8 *RC[-3]^5+R4C8 *RC[-3]^4+R5C8 *RC[-3]^3+R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+R8C8

în care coeficienții de tendință sunt fixați și în loc de „x” înlocuim o referință la numărul seriei temporale curente (pentru prima valoare 1, pentru a doua 2 etc.)

De asemenea, ridicăm „X” la puterea corespunzătoare (pictograma din Excel „^” înseamnă exponențiere)

R2C8*RC[-3]^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 + R7C8*RC[-3]+R8C8

Acum întindem formula până la sfârșitul seriei temporale și obținem valorile calculate ale tendinței polinomiale pentru fiecare perioadă.

A doua metodă este mai precisă decât prima, pentru că obținem coeficienții de tendință fără rotunjire, iar acest calcul este, de asemenea, mai rapid.

Al treilea mod de a calcula valorile tendințelor polinomiale - Forecast4AC PRO

Setați cursorul la începutul seriei temporale

Accesați setările Forecast4AC PRO, selectați „Prognoză cu creștere și sezonalitate”, „Polinom de gradul 6”, apăsați butonul „Calculați”.

Intrăm în foaia cu calculul pas cu pas „ForPol6”, găsim linia „Tendință curentă”:

Copiați valorile în foaia noastră.

Obținem valorile polinomului de gradul 6, calculate în 3 moduri folosind:

1. Coeficienți de tendință polinomială reprezentați grafic;
2. Coeficienți polinomii calculați folosind Funcția Excel=LINEST
3. si cu ajutorul Forecast4AC PRO la apasarea unui buton, usor si rapid.

Alăturaţi-ne!

Descărcați aplicații gratuite de prognoză și Business Intelligence:

• Novo Forecast Lite- automată calculul prognozei V excela.
• 4analitica- Analiza ABC-XYZși analiza emisiilor în Excela.
• Qlik Sense Desktop și QlikViewPersonal Edition - sisteme BI pentru analiza și vizualizarea datelor.

Testați caracteristicile soluțiilor plătite:

• Novo Forecast PRO- prognoza in Excel pentru matrice mari de date.

Coeficienți polinomi

Cote multinomiale sunt coeficienții de expansiune în termeni de monomii :

Valoarea coeficientului multinomial definit pentru toate numerele întregi nenegative n si astfel incat:

Coeficient binomial pentru non-negativ n,k este un caz special al coeficientului multinomial (pentru m= 2 ), și anume

În sens combinatoriu, coeficientul multinomial este egal cu numărul compartimentări ordonate n-element activat m subseturi de putere.

Proprietăți

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce sunt „Coeficienții polinomi” în alte dicționare:

- (din limba engleză spline, din spline un model flexibil, o bandă de metal folosită pentru a desena linii curbe) o funcție al cărei domeniu de definiție este împărțit într-un număr finit de segmente, pe fiecare dintre acestea spline-ul coincide cu niște ... ... Wikipedia

Coeficienți multinomiali (polinomiali) Coeficienți în expansiunea monomială: Formulă explicită Valoarea coeficientului multinomial ... Wikipedia

„Polinom” redirecționează aici; vezi și alte sensuri. Un polinom (sau polinom) în n variabile este o sumă formală finită de forma în care există un set de numere întregi nenegative (numite multi-index), numărul ... ... Wikipedia

La matematică, polinoame sau polinoame într-unul variabila functie unde ci sunt coeficienți fiși și x este variabil. Polinoamele constituie una dintre cele mai importante clase de funcții elementare. Studiul ecuațiilor polinomiale și soluțiile lor ... ... Wikipedia

În matematică, polinoamele sau polinoamele dintr-o variabilă sunt funcții de forma în care ci sunt coeficienți fiși și x este o variabilă. Polinoamele constituie una dintre cele mai importante clase de funcții elementare. Studiul ecuațiilor polinomiale și soluțiile lor ... ... Wikipedia

În matematică, polinoamele sau polinoamele dintr-o variabilă sunt funcții de forma în care ci sunt coeficienți fiși și x este o variabilă. Polinoamele constituie una dintre cele mai importante clase de funcții elementare. Studiul ecuațiilor polinomiale și soluțiile lor ... ... Wikipedia

În matematică, polinoamele sau polinoamele dintr-o variabilă sunt funcții de forma în care ci sunt coeficienți fiși și x este o variabilă. Polinoamele constituie una dintre cele mai importante clase de funcții elementare. Studiul ecuațiilor polinomiale și soluțiile lor ... ... Wikipedia

În matematică, polinoamele sau polinoamele dintr-o variabilă sunt funcții de forma în care ci sunt coeficienți fiși și x este o variabilă. Polinoamele constituie una dintre cele mai importante clase de funcții elementare. Studiul ecuațiilor polinomiale și soluțiile lor ... ... Wikipedia

Un tabel dreptunghiular format din t rânduri și n coloane, ale cărui elemente aparțin unei mulțimi K. Tabelul (1) se numește. de asemenea, o matrice peste K, sau o matrice de dimensiune peste K. Fie colecția tuturor matricelor peste K. Dacă m = n, atunci (1) se numește pătrat ...... Enciclopedie matematică

Potriviți curbe și suprafețe la date folosind regresie, interpolare și netezire

Curve Fitting Toolbox™ oferă o aplicație și funcții pentru potrivirea curbelor și suprafețelor la date. Cutia de instrumente vă permite să efectuați o analiză exploratorie a datelor, să preprocesați și să postprocesați date, să comparați modele candidate și să eliminați valorile aberante. Puteți rula o analiză de regresie folosind o bibliotecă de modele liniare și neliniare furnizată sau vă puteți defini propriile ecuații. Biblioteca oferă parametri optimizați de soluție și condiții de pornire pentru a îmbunătăți calitatea potrivirilor dvs. Setul de instrumente acceptă, de asemenea, tehnici de modelare non-parametrică, cum ar fi spline, interpolare și netezire.

Odată ce o potrivire a fost creată, o varietate de tehnici de post-procesare pot fi aplicate pentru reprezentare, interpolare și extrapolare; estimarea intervalelor de încredere; și calcularea integralelor și derivatelor.

Începutul lucrării

Aflați elementele de bază ale casetei de instrumente pentru ajustarea curbei

Regresia liniară și neliniară

Potriviți curbe sau suprafețe cu modele de bibliotecă liniare și neliniare și modele personalizate

Interpolare

Potriviți curbe sau suprafețe de interpolare, estimați valori între punctele de date cunoscute

Netezire

Utilizarea adecvată a intervalelor de netezire și regresie localizată, date netezite cu medie mobilă și alte filtre

Post-procesare adecvată

Trasare, valori aberante, reziduuri, intervale de încredere, date de validare, integrale și derivate, generează codul MATLAB®

Spline

Creați spline cu sau fără date; ppform, B-form, produs tensor, rațional și stform spline de plăci subțiri

Dacă expresia este un polinom în raport cu o variabilă x, dată nu în forma obișnuită a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ..., ci ca produs al altor polinoame mai simple, atunci coeficienții a 0 + a 1 + a 2 sunt ușor de determinat de procesorul simbolic Mathcad. Coeficienții înșiși pot fi funcții (uneori destul de complexe) ale altor variabile.

Orez. 5.10. Calculul coeficienților polinomi

Pentru a calcula coeficienții polinomiali ( Coeficienți polinomi) în expresia folosind meniul (Fig. 5 10):

• Introduceți o expresie.
• Evidențiați numele sau expresia variabilei pentru care doriți să calculați coeficienții polinomiali (în exemplul din Fig. 5.10, aceasta este variabila z).
• Executați comanda Simbolică › Coeficienți polinomi(Simboluri › Coeficienți polinomiali).

Ca rezultat, sub expresie va apărea un vector format din coeficienți polinomi. Primul element al vectorului este interceptarea a 0 , al doilea este a 1 și așa mai departe.

O problemă specifică care necesită calcularea coeficienților polinomilor este dată în secțiunea dedicată separării numerice a rădăcinilor unui polinom (vezi secțiunea „Rădăcinile unui polinom” din Capitolul 8).

Pentru a calcula coeficienții polinomii folosind operatorul simbolic de ieșire:

• Introduceți o expresie.
• Faceți clic pe butonul Coefs pe panou simbolic(Simbolism).
• Introduceți substituent după cuvântul cheie lipit coeficienți argument polinom.
• Introduceți operatorul de ieșire simbolic →
• apasa tasta introduce.

Exemple de calculare a coeficienților unui polinom sunt date în listele 5.7 și 5.8. Lista 5.7 arată calculul coeficienților pentru diferite argumente. Ultima listare demonstrează posibilitatea de a determina coeficienți nu numai pentru variabile individuale, ci și pentru expresii mai complexe incluse în formula considerată ca parte integrantă.

Lista 5.7. Calcularea coeficientului polinomial:

Lista 5.8. Calculul coeficienților polinomi pentru o variabilă simplă și expresie: