Yhtälöiden ratkaiseminen Hornerin taulukon avulla. III. Esimerkkejä ongelmista ratkaisujen kanssa. Uuden materiaalin oppiminen

Olkoon yksinkertainen binomi muotoa ax + b = 0. Sitä ei ole vaikea ratkaista. Sinun tarvitsee vain siirtää tuntematon toiselle puolelle ja kertoimet toiselle. Tuloksena x = - b/a. Tarkasteltavaa yhtälöä voidaan monimutkaista lisäämällä neliö ax2 + bx + c = 0. Se ratkaistaan ​​etsimällä diskriminantti. Jos se on suurempi kuin nolla, niin ratkaisuja on kaksi, jos se on yhtä suuri kuin nolla, on vain yksi juuri, ja kun se on pienempi, ratkaisuja ei ole ollenkaan.

Olkoon seuraavan tyypin yhtälössä kolmas potenssi ax3 + bx2 + c + d = 0. Tämä yhtälö aiheuttaa vaikeuksia monille. Vaikka niitä on eri tavoilla, jotka mahdollistavat sellaisen yhtälön ratkaisemisen, esimerkiksi Kordan-kaavan, mutta niitä ei voi enää käyttää viidennen ja korkeamman asteen asteisiin. Siksi matemaatikot ajattelivat universaalia menetelmää, jolla olisi mahdollista laskea minkä tahansa monimutkaisia ​​yhtälöitä.

Koulukunta ehdottaa yleensä ryhmittely- ja analyysimenetelmää, jossa polynomi voidaan jakaa ainakin kahdeksi tekijäksi. Kuutioyhtälölle voidaan kirjoittaa: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Silloin he käyttävät sitä tosiasiaa, että tulo on yhtä suuri kuin nolla vain, jos lineaarinen binomi tai toisen asteen yhtälö vastaa häntä. Suorita sitten standardiliuos. Ongelma tämän tyyppisten supistettujen yhtälöiden laskemisessa ilmenee x0:n haun aikana. Tässä Hornerin järjestelmä auttaa.

Hornerin ehdottaman algoritmin löysi itse asiassa aiemmin italialainen matemaatikko ja tohtori Paolo Ruffini. Hän todisti ensimmäisenä, että viidennen asteen ilmaisuissa ei ollut mahdollista löytää radikaalia. Mutta hänen työnsä sisälsi monia ristiriitoja, jotka eivät antaneet tutkijoiden matemaattisen maailman hyväksyä sitä. Hänen työnsä perusteella britti William George Horner julkaisi vuonna 1819 menetelmän polynomin likimääräisten juurien löytämiseksi. Tämän teoksen julkaisi Royal Society, ja sitä kutsuttiin Ruffini-Horner-menetelmäksi.

Kun skotti Augustus de Morgan laajensi menetelmän käyttömahdollisuuksia. Menetelmä on löytänyt sovelluksen joukkoteoreettisissa suhteissa ja todennäköisyysteoriassa. Itse asiassa kaavio on algoritmi P (x):n kirjoittamisen x-c:lle osamäärän ja jäännösosan laskemiseksi.

Menetelmän periaate

Ensimmäistä kertaa opiskelijat tutustuvat ylemmillä luokilla menetelmään juurten löytämiseksi Horner-järjestelmän avulla. lukio algebraluokassa. Se selitetään esimerkillä kolmannen asteen yhtälön ratkaisemisesta: x3 + 6x - x - 30 = 0. Lisäksi tehtävän ehdossa on annettu, että tämän yhtälön juuri on numero kaksi. Haasteena on tunnistaa muut juuret.

Tämä tehdään yleensä seuraavalla tavalla. Jos polynomin p (x) juuri on x0, niin p (x) voidaan esittää erotuksen x miinus x nolla ja jonkin muun polynomin q (x) tulona, ​​jonka aste on yksi pienempi. Haluttu polynomi erotetaan yleensä jakomenetelmällä. Tässä esimerkissä yhtälö näyttää tältä: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Jako on parasta tehdä "kulmalla". Tuloksena on lauseke: x 2 + 8x + 15.

Siten haluttu lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon (x - 2) * (x 2 + 8x + 15) = 0. Seuraavaksi sinun on tehtävä seuraava ratkaisun löytämiseksi:

• Etsi juuret yhtälön ensimmäisestä termistä ja merkitse se nollaan: x - 2 = 0. Tästä seuraa x = 2, mikä myös seuraa ehdosta.
• Ratkaise toisen asteen yhtälö vertaamalla polynomin toinen termi nollaan: x 2 + 8x + 15 = 0. Löydät juuret diskriminantin kautta tai käyttämällä Vieta-kaavoja. Joten voit kirjoittaa, että (x + 3) * (x + 5) \u003d 0, eli x yksi on kolme ja x kaksi - miinus viisi.

Kaikki kolme juurta löytyy. Mutta tässä herää järkevä kysymys, missä esimerkissä käytetään Hornerin kaavaa? Joten kaikki tämä hankala laskenta voidaan korvata nopealla ratkaisualgoritmilla. Se koostuu yksinkertaisista toimista. Ensin sinun on piirrettävä taulukko, joka sisältää useita sarakkeita ja rivejä. Aloita aloitusrivin toisesta sarakkeesta, kirjoita kertoimet alkuperäisen polynomin yhtälöön. Laita ensimmäiseen sarakkeeseen luku, jolla jako suoritetaan, eli ratkaisun mahdolliset jäsenet (x0).

Kun valittu x0 on kirjoitettu taulukkoon, täyttö tapahtuu seuraavan periaatteen mukaisesti:

• ensimmäisessä sarakkeessa yksinkertaisesti se, mikä on toisen sarakkeen ylimmässä elementissä, puretaan;
• löytääksesi seuraavan luvun, sinun on kerrottava purettu luku valitulla x0:lla ja lisättävä pysyvä numero täytettyyn sarakkeeseen;
• samanlaiset toiminnot suoritetaan kaikkien solujen lopulliseen täyttöön asti;
• viimeisen sarakkeen rivit ovat nolla ja ovat haluttu ratkaisu.

Tarkasteltavassa esimerkissä, kun korvataan kaksi, rivi koostuu sarjasta: 2, 1, 8, 15, 0. Siten kaikki jäsenet löytyvät. Tässä tapauksessa kaavio toimii missä tahansa tehoyhtälön järjestyksessä.

Käyttöesimerkki

Ymmärtääksesi kuinka käyttää Hornerin järjestelmää, täytyy tarkastella yksityiskohtaisesti tyypillistä esimerkkiä. Olkoon vaadittava polynomin p (x) juuren x0 monikertaisuus \u003d x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Usein on tehtävissä juuret valittava luetteloimalla, mutta säästääksemme aikaa oletamme, että ne ovat jo tiedossa ja ne on vain tarkistettava. Tässä on ymmärrettävä, että kaaviota käyttämällä laskenta on silti nopeampaa kuin muiden lauseiden tai pelkistysmenetelmän avulla.

Ratkaisualgoritmin mukaan sinun on ensin piirrettävä taulukko. Ensimmäinen rivi osoittaa pääkertoimet. Yhtälöä varten on piirrettävä kahdeksan saraketta. Selvitä sitten kuinka monta kertaa x0 = 2 mahtuu tutkittavaan polynomiin. Toisen sarakkeen toisella rivillä kerroin yksinkertaisesti puretaan. Tarkasteltavana olevassa tapauksessa se on yhtä suuri kuin yksi. Viereisessä solussa arvo lasketaan seuraavasti: 2 *1 -5 = -3. Seuraavassa: 2 *(-3) + 7 = 1. Täytä loput solut samalla tavalla.

Kuten näet, vähintään kerran kaksi asetetaan polynomiin. Nyt meidän on tarkistettava, onko nämä kaksi alimman saadun lausekkeen juuri. Kun olet suorittanut vastaavat toiminnot taulukossa, tulisi saada seuraava rivi: 1, -1, -1. -2, 0. Itse asiassa tämä on toisen asteen yhtälö, joka on myös tarkistettava. Tämän seurauksena laskettu sarja koostuu 1, 1, 1, 0.

Viimeisessä lausekkeessa kaksi ei voi olla järkevä ratkaisu. Eli alkuperäisessä polynomissa numeroa kaksi käytetään kolme kertaa, mikä tarkoittaa, että voit kirjoittaa: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Se, että nämä kaksi eivät ole neliölausekkeen juuri, voidaan ymmärtää seuraavista seikoista:

• vapaa kerroin ei ole jaollinen kahdella;
• kaikki kolme kerrointa ovat positiivisia, mikä tarkoittaa, että epäyhtälökaavio kasvaa kahdesta alkaen.

Siten järjestelmän käyttö antaa sinun päästä eroon monimutkaisten osoittajien ja jakajien käytöstä. Kaikki toiminnot pelkistetään yksinkertaiseen kokonaislukujen kertomiseen ja nollien valintaan.

Menetelmän selitys

Hornerin järjestelmän olemassaolon pätevyyden vahvistaminen selittyy useilla tekijöillä. Kuvittele, että on olemassa kolmannen asteen polynomi: x3 + 5x - 3x + 8. Tästä lausekkeesta x voidaan ottaa pois suluista: x * (x2 + 5x - 3) + 8. Tuloksena olevasta kaavasta voi jälleen ottaa pois x:n: x * (x * (x + 5) - 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) - 3) + 8.

Itse asiassa voit laskea tuloksena olevan lausekkeen korvaamalla odotetun x-arvon ensimmäisellä sisemmällä sululla ja suorittaa algebrallisia operaatioita tärkeysjärjestyksen mukaan. Itse asiassa nämä ovat kaikki toiminnot, jotka suoritetaan Horner-menetelmässä. Tässä tapauksessa luvut 8, -3, 5, 1 ovat alkuperäisen polynomin kertoimia.

Olkoon polynomi P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Jos tällä lausekkeella on tietty juuri x = x0, niin tämä tarkoittaa, että kyseessä oleva lauseke voi olla kirjoitetaan uudelleen muotoon: P (x) = (x-x0) * Q(x). Tämä on seurausta Bezoutin lauseesta. Tärkeää tässä on, että polynomin Q(x) aste on yksi pienempi kuin P(x):llä on. Siksi se voidaan kirjoittaa pienemmässä muodossa: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Nämä kaksi konstruktiota ovat identtisesti samanarvoisia keskenään.

Ja tämä tarkoittaa, että kaikki tarkasteltujen polynomien kertoimet ovat yhtä suuret, erityisesti (x0)b) = a0. Tätä käyttämällä voidaan väittää, että olivatpa luvut a0 ja b0 mitä tahansa, x on aina jakaja, eli a0 voidaan aina jakaa polynomin juurilla. Toisin sanoen löytää järkeviä ratkaisuja.

Yleinen menetelmää selittävä tapaus olisi: an * x n + an-1 * x n-1 + ... + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + . .. + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m) + a0). Eli kaavio toimii polynomin asteesta riippumatta. Hän on universaali. Samalla se sopii sekä epätäydellisille että täydellisille yhtälöille. Tämä on työkalu, jonka avulla voit tarkistaa x0:n juurille. Jos se ei ole ratkaisu, lopussa jäljellä oleva luku on tarkasteltavan polynomin jaon jäännös.

Matematiikassa menetelmän oikea merkintätapa on: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn– 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. Siinä i:n arvo muuttuu nollasta en:iin ja itse polynomi jaetaan binomiaalilla x - a. Tämän toiminnon suorittamisen jälkeen saadaan lauseke, jonka aste on yksi pienempi kuin alkuperäinen. Toisin sanoen se määritellään n - 1:ksi.

Laskenta verkkolaskimella

On varsin kätevää käyttää resursseja, jotka tarjoavat pääsyn korkeampien polynomiasteiden juurien laskemiseen. Tällaisten sivustojen käyttäminen ei vaadi erityisiä tietoja matematiikasta tai ohjelmoinnista. Käyttäjä tarvitsee vain pääsyn Internetiin ja Java-skriptejä tukevan selaimen.

Tällaisia ​​sivustoja on kymmeniä. Samaan aikaan jotkut heistä voivat pyytää rahallista palkkiota tarjotusta ratkaisusta. Vaikka suurin osa resursseista on ilmaisia, ne eivät vain laske tehoyhtälöiden juuria, vaan myös tarjoavat yksityiskohtainen ratkaisu kommenteilla. Lisäksi laskimien sivuilla kuka tahansa voi tutustua lyhyeen teoreettiseen materiaaliin ja pohtia vaihtelevan monimutkaisuuden esimerkkejä. Joten kysymyksiä, joissa on käsite, mistä vastaus tuli, ei pitäisi syntyä.

Horner-järjestelmän mukaisista online-laskimien koko sarjasta voidaan erottaa seuraavat kolme:

• Ohjaustyö. Palvelu on suunnattu lukiolaisille, mutta ominaisuuksiltaan se on varsin toimiva. Sen avulla voit nopeasti tarkistaa juurien vaatimustenmukaisuuden.
• Tiede. Sovelluksen avulla voit määrittää juuret Horner-menetelmällä vain kahdessa tai kolmessa sekunnissa. Sivustolta löydät kaiken tarvittavan teorian. Laskennan suorittamiseksi sinun on tutustuttava matemaattisen kaavan syöttämistä koskeviin sääntöihin, jotka on ilmoitettu siellä sivustolla.
• Lask. Tämän sivuston avulla käyttäjä voi saada yksityiskohtaisen kuvauksen ratkaisusta taulukkokuvan kanssa. Kirjoita yhtälö erityiseen muotoon ja napsauta "ratkaisu" -painiketta.

Laskennassa käytetyillä ohjelmilla on intuitiivinen käyttöliittymä, eivätkä ne sisällä mainosohjelmia tai haitallista koodia. Suoritettuaan useita laskelmia näille resursseille, käyttäjä voi itsenäisesti oppia määrittämään juuret Horner-menetelmällä.

Samanaikaisesti online-laskimet ovat hyödyllisiä paitsi opiskelijoille, myös insinööreille, jotka suorittavat monimutkaisia ​​laskelmia. Loppujen lopuksi itsenäinen laskenta vaatii huomiota ja keskittymistä. Pienikin virhe johtaa lopulta väärään vastaukseen. Samanaikaisesti online-laskimia käyttävissä laskelmissa virheen esiintyminen on mahdotonta.

1. Jaa 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 päällä x - 1 käyttäen Hornerin kaavaa.

Ratkaisu:

Tehdään taulukko kahdesta rivistä: ensimmäiselle riville kirjoitetaan polynomin 5 kertoimet x 4 +5x 3 +x 2 −11, järjestetty muuttujan potenssien laskevaan järjestykseen x. Huomaa, että tämä polynomi ei sisällä x ensimmäisessä asteessa, ts. kerroin ennen x ensimmäiseen potenssiin on 0. Koska olemme jakamassa x−1, kirjoitamme yksikön toiselle riville:

Aloitetaan toisen rivin tyhjien solujen täyttäminen. Kirjoita numero toisen rivin toiseen soluun 5 , siirtämällä se ensimmäisen rivin vastaavasta solusta:

Täytä seuraava solu seuraavasti: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Täytä samalla tavalla toisen rivin neljäs solu: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Viidennelle solulle saamme: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

Ja lopuksi, viimeinen, kuudes solu, meillä on: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Ongelma on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin:

Kuten näet, toisella rivillä (1 ja nollan välillä) sijaitsevat luvut ovat polynomin kertoimia, jotka saadaan jakamalla 5 x 4 +5x 3 +x 2-11 päällä x-1. Luonnollisesti, koska alkuperäisen polynomin aste on 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 oli yhtä kuin neljä, sitten tuloksena olevan polynomin 5 aste x 3 +10x 2 +11x+11 yksi vähemmän, ts. on yhtä kuin kolme. Toisen rivin viimeinen luku (nolla) tarkoittaa polynomin 5 jaon jäännösosaa x 4 +5x 3 +x 2-11 päällä x−1.
Meidän tapauksessamme jäännös on nolla, ts. polynomit ovat jaollisia. Tämä tulos voidaan luonnehtia myös seuraavasti: polynomin arvo 5 x 4 +5x 3 +x 2-11 klo x=1 on nolla.
Johtopäätös voidaan muotoilla myös seuraavassa muodossa: koska polynomin arvo 5 x 4 +5x 3 +x 2-11 klo x=1 on nolla, silloin yksikkö on polynomin 5 juuri x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Etsi epätäydellinen osamäärä, polynomin jaon jäännös

A(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– 1 per binomi X – 1.

Ratkaisu:

Vastaus: K(x) = X 2 – X + 1 , R(x) = 0.

3. Laske polynomiarvo A(X) klo X = – 1 jos A(X) = X 3 – 2 X – 1.

Ratkaisu:

Vastaus: A(– 1) = 0.

4. Laske polynomiarvoA(X) klo X= 3, epätäydellinen osamäärä ja loput, missä

A(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Ratkaisu:

Vastaus: R(x) = A(3) = 535, K(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Etsi yhtälön juuretX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Ratkaisu:

Löydämme vapaan termin jakajat ±1; ±2; ± 3; ±6

Sivusto "Matematiikan ammattitutor" jatkaa opetusta käsittelevien metodologisten artikkelien sarjaa. Julkaisen kuvauksia työmenetelmistäni koulun opetussuunnitelman monimutkaisimpien ja ongelmallisimpien aiheiden parissa. Tämä materiaali on hyödyllinen matematiikan opettajille ja ohjaajille, jotka työskentelevät 8-11-luokkien opiskelijoiden kanssa sekä tavallisessa ohjelmassa että matematiikan tuntien ohjelmassa.

Matematiikan ohjaaja ei voi aina selittää oppikirjassa huonosti esitettyä materiaalia. Valitettavasti tällaisia ​​aiheita tulee yhä enemmän ja esitysvirheitä tapahtuu käsikirjojen tekijöiden mukaan massaa. Tämä ei koske vain aloittelevia matematiikan ohjaajia ja osa-aikaisia ​​​​tuutoreita (tutorit - opiskelijat ja yliopiston tutorit), vaan myös kokeneita opettajia, tutoreita - ammattilaisia, tuutoreita, joilla on kokemusta ja pätevyyttä. Osaavan karheuden korjaajan lahjakkuus koulun oppikirjoja kaikilla matematiikan opettajilla ei ole. Kaikki eivät myöskään ymmärrä, että nämä korjaukset (tai lisäykset) ovat välttämättömiä. Vain harvat ovat sitoutuneet muokkaamaan materiaalia lasten laadulliseen havaintoon. Valitettavasti aika on kulunut, jolloin matematiikan opettajat yhdessä metodologien ja julkaisujen tekijöiden kanssa keskustelivat massiivisesti jokaisesta oppikirjan kirjaimesta. Ennen kuin oppikirja otettiin käyttöön kouluissa, suoritettiin vakavia analyyseja ja oppimistuloksia koskevia tutkimuksia. On tullut aika diletanteille, jotka pyrkivät tekemään käsikirjoista universaaleja ja sovittamaan ne vahvojen matemaattisten luokkien standardien mukaan.

Kilpailu tiedon määrän lisäämisestä johtaa vain sen assimilaation laadun heikkenemiseen ja sen seurauksena matematiikan todellisen tiedon tason laskuun. Mutta kukaan ei kiinnitä tähän huomiota. Ja lapsemme pakotetaan jo 8. luokalla opiskelemaan sitä, mitä kävimme läpi instituutissa: todennäköisyysteoriaa, yhtälöiden ratkaisemista korkeat asteet ja jotain muuta. Kirjojen materiaalin mukauttaminen lapsen täydelliseen havaintoon jättää paljon toivomisen varaa, ja matematiikan ohjaajan on pakko käsitellä tätä jotenkin.

Puhutaanpa menetelmästä, jolla opetetaan niin erityistä aihetta kuin "polynomin kulman jakaminen polynomilla", joka tunnetaan aikuismatematiikassa paremmin nimellä "Bezoutin lause ja Hornerin kaavio". Vain pari vuotta sitten kysymys ei ollut niin akuutti matematiikan ohjaajalle, koska hän ei ollut mukana koulun opetussuunnitelma. Nyt Telyakovskyn toimittaman oppikirjan arvostetut kirjoittajat ovat tehneet muutoksia parhaan, mielestäni, oppikirjan uusimpaan painokseen, ja pilattuaan sen kokonaan lisänneet ohjaajalle tarpeettomia huolia. Kirjoittajien innovaatioihin keskittyvien koulujen ja luokkien opettajat, joilla ei ole matematiikan asemaa, alkoivat sisällyttää tunneilleen lisää kappaleita useammin, ja uteliaat lapset, jotka katsovat matematiikan oppikirjan kauniita sivuja, kysyvät yhä useammin ohjaaja: "Mikä tämä kulman jako on? Käymmekö tätä läpi? Kuinka jakaa nurkka? Tällaisilta suorilta kysymyksiltä ei voi piiloutua. Opettajan on kerrottava lapselle jotain.

Mutta kuten? Luultavasti en kuvaisi tapaa työskennellä aiheen kanssa, jos se esitettäisiin oikein oppikirjoissa. Miten meillä kaikki menee? Oppikirjat pitää tulostaa ja myydä. Ja tätä varten ne on päivitettävä säännöllisesti. Valittavatko yliopiston opettajat, että lapset tulevat heidän luokseen tyhjillä päillä, ilman tietoja ja taitoja? Kasvavatko vaatimukset matemaattiselle tiedolle? Loistava! Poistetaan joitakin harjoituksia ja lisätään sen sijaan aiheita, joita opitaan muissa ohjelmissa. Miksi oppikirjamme on huonompi? Otetaan mukaan joitain lisälukuja. Eivätkö koululaiset tiedä kulman jakamisen sääntöä? Tämä on perusmatematiikkaa. Meidän pitäisi tehdä sellaisesta kappaleesta valinnainen otsikolla "niille, jotka haluavat tietää enemmän". Tutorit vastaan? Ja mitä me ylipäätään välitämme tutoreista? Myös metodistit ja opettajat vastustavat sitä? Emme monimutkaista materiaalia ja harkitsemme sen yksinkertaisinta osaa.

Ja tästä se alkaa. Aiheen yksinkertaisuus ja sen omaksumisen laatu piilee ennen kaikkea sen logiikan ymmärtämisessä, eikä siinä, että oppikirjan tekijöiden ohjeen mukaan suoritetaan tietty joukko toimintoja, jotka eivät liity selvästi toisiinsa. Muuten sumu opiskelijan päähän tarjotaan. Jos kirjoittajat luottavat suhteellisen vahvoihin opiskelijoihin (mutta opiskelevat normaalin ohjelman mukaan), sinun ei pitäisi lähettää aihetta ryhmämuodossa. Mitä näemme oppikirjassa? Lapset, on tarpeen jakaa tämän säännön mukaan. Hanki polynomi kulmasta. Siten alkuperäinen polynomi kerrotaan. Ei kuitenkaan ole selvää, miksi kulman alla olevat termit on valittu tällä tavalla, miksi ne täytyy kertoa kulman ylittävällä polynomilla ja sitten vähentää nykyisestä jäännöksestä - se ei ole selvää. Ja mikä tärkeintä, ei ole selvää, miksi valitut monomit on lopulta lisättävä ja miksi tuloksena olevat hakasulkeet ovat alkuperäisen polynomin laajennus. Jokainen pätevä matemaatikko laittaa lihavoitun kysymysmerkin oppikirjassa annettujen selitysten päälle.

Tuon tutoreiden ja matematiikan opettajien tietoon ratkaisuni ongelmaan, joka käytännössä tekee kaiken oppikirjassa sanotun selväksi opiskelijalle. Itse asiassa todistamme Bezoutin lauseen: jos luku a on polynomin juuri, niin tämä polynomi voidaan jakaa tekijöiksi, joista yksi on x-a ja toinen saadaan alkuperäisestä jollakin kolmesta tavasta: erottamalla lineaarinen tekijä muunnoksilla, jakamalla kulmalla tai Hornerin kaavion mukaan. Juuri tällaisella muotoilulla matematiikan ohjaajan on helpompi työskennellä.

Mikä on opetusmetodologia? Ensinnäkin se on selkeä järjestys selitysten ja esimerkkien järjestyksessä, jonka perusteella tehdään matemaattisia johtopäätöksiä. Tämä aihe ei ole poikkeus. On erittäin tärkeää, että matematiikan opettaja esittelee lapsen Bezoutin lauseeseen ennen kuin kulman jako suoritetaan. Se on erittäin tärkeää! Paras tapa ymmärtää on konkreettinen esimerkki. Otetaan jokin polynomi valitulla juurilla ja esitellään sen faktorointitekniikka 7. luokalta oppilaalle tutulla menetelmällä identtisiä muunnoksia. Asianmukaisilla mukana olevilla selityksillä, aksentilla ja matematiikan ohjaajan vinkeillä on täysin mahdollista välittää materiaali ilman yleisiä matemaattisia laskelmia, mielivaltaisia ​​kertoimia ja asteita.

Tärkeitä vinkkejä matematiikan opettajille- noudata ohjeita alusta loppuun äläkä muuta tätä järjestystä.

Oletetaan siis, että meillä on polynomi. Jos korvaamme luvun 1 sen x:n sijaan, polynomin arvo on nolla. Siksi x=1 on sen juuri. Yritetään jakaa kahdeksi termiksi niin, että toinen niistä on lineaarisen lausekkeen ja jonkin monomiaalin tulos ja toisen aste olisi yksi pienempi kuin . Eli edustamme sitä muodossa

Valitsemme punaisen kentän monominin niin, että kun se kerrotaan johtavalla termillä, se on täysin sama kuin alkuperäisen polynomin johtava termi. Jos opiskelija ei ole heikoin, hän pystyy antamaan matematiikan ohjaajalle halutun lausekkeen:. Opettajaa tulee välittömästi pyytää laittamaan se punaiseen laatikkoon ja näyttämään, mitä tapahtuu, kun ne avataan. Tämä virtuaalinen väliaikainen polynomi on parasta allekirjoittaa nuolien alle (kuvan alla) korostaen sitä jollain värillä, esimerkiksi sinisellä. Tämä auttaa sinua valitsemaan punaisen kentän summan, jota kutsutaan valinnan jäännökseksi. Suosittelen ohjaajia huomauttamaan tässä, että tämä jäännös voidaan löytää vähentämällä. Suorittamalla tämän toiminnon saamme:

Matematiikan ohjaajan tulee kiinnittää opiskelijan huomio siihen, että korvaamalla yksikön tässä yhtälössä, saamme taatusti nollan sen vasemmalle puolelle (koska 1 on alkuperäisen polynomin juuri), ja oikealla, tietysti asettaa myös ensimmäisen termin nollaan. Joten ilman minkäänlaista tarkistusta voimme sanoa, että yksikkö on "vihreän jäännöksen" juuri.

Käsittelemme sitä samalla tavalla kuin teimme alkuperäisen polynomin kanssa, poimimalla siitä saman lineaarisen tekijän . Matematiikan ohjaaja piirtää kaksi ruutua opiskelijan eteen ja pyytää häntä täyttämään vasemmalta oikealle.

Opiskelija valitsee ohjaajalle punaisen kentän monominin niin, että kerrottuna lineaarisen lausekkeen korkeimmalla termillä saadaan laajennetun polynomin korkein termi. Kirjoitamme sen kehykseen, avaa heti hakasulku ja korosta sinisellä lauseke, joka on vähennettävä laajennetusta. Suorittamalla tämän toimenpiteen saamme

Ja lopuksi tehdä sama viimeisellä jäljellä olevalla osalla

vihdoin saa

Nyt otamme lausekkeen pois suluista ja kohtaamme alkuperäisen polynomin hajoamisen tekijöiksi, joista yksi on "x miinus valittu juuri".

Jotta opiskelija ei ajattelisi, että viimeinen "vihreä jäännös" on vahingossa hajonnut tarpeellisiksi tekijöiksi, matematiikan ohjaajan tulee osoittaa tärkeä omaisuus kaikista vihreistä tähteistä - jokaisella niistä on juuri 1. Koska näiden jäännösten asteet pienenevät, niin riippumatta siitä, mikä alkupolynomin aste meille annetaan, ennemmin tai myöhemmin saamme lineaarisen "vihreän jäännöksen", jolla on 1:n juuri, ja siksi se välttämättä hajoaa tuloksi jonkin luvun ja lausekkeen .

Sellaisen jälkeen esityö matematiikan ohjaajan ei ole vaikea selittää opiskelijalle, mitä tapahtuu kulman jakamisessa. Tämä on sama prosessi, vain lyhyemmässä ja tiiviimmässä muodossa, ilman yhtäläisyysmerkkejä ja kirjoittamatta uudelleen samoja valittuja termejä. Kirjoitamme kulman vasemmalle puolelle polynomin, josta lineaarinen kerroin erotetaan, kerää valitut punaiset monomit kulmassa (nyt käy selväksi, miksi niiden pitäisi laskea yhteen), saadaksesi "siniset polynomit", sinun on kerrottava "punainen" x-1:llä ja vähennä sitten valitusta virrasta, kuinka se tehdään tavallisessa sarakkeen numeroiden jaossa (tässä se on analogia aiemmin tutkitun kanssa). Tuloksena oleville "vihreille jäännöksille" tehdään uusi valinta ja "punaisten monomien" valinta. Ja niin edelleen, kunnes saadaan nolla "vihreä jäännös". Tärkeintä on, että kulman ylä- ja alapuolella olevien kirjoitettujen polynomien tuleva kohtalo selviää opiskelijalle. Ilmeisesti nämä ovat hakasulkuja, joiden tulo on yhtä suuri kuin alkuperäinen polynomi.

Seuraava vaihe matematiikan ohjaajan työssä on Bezoutin lauseen muotoilu. Itse asiassa sen muotoilu tällä ohjaajan lähestymistavalla tulee ilmeiseksi: jos luku a on polynomin juuri, niin se voidaan hajottaa tekijöiksi, joista yksi ja toinen saadaan alkuperäisestä yhdestä kolmesta tapoja:

• suora hajoaminen (analogisesti ryhmittelymenetelmän kanssa)
• jakamalla kulmalla (sarakkeessa)
• Hornerin järjestelmän kautta

Minun on sanottava, että läheskään kaikki matematiikan tutorit eivät näytä opiskelijoille sarvimallia, eivätkä kaikki koulun opettajat (onneksi tutorien itsensä osalta) mene niin syvälle aiheeseen tunneilla. Matematiikan luokan opiskelijalle en kuitenkaan näe mitään syytä pysähtyä pitkiin jakoon. Lisäksi kätevin ja nopeasti Hajotustekniikka perustuu juuri Hornerin kaavioon. Selvittääkseen lapselle, mistä se tulee, riittää, että jäljitetään korkeampien kertoimien esiintyminen vihreissä jäännöksissä käyttämällä esimerkkiä kulmalla jakamisesta. On selvää, että alkuperäisen polynomin korkein kerroin puretaan ensimmäisen "punaisen monomin" kertoimeksi ja edelleen nykyisen ylemmän polynomin toisesta kertoimesta. vähennetty tulos kertomalla nykyinen "punainen monomi" kerroin . Siksi voit lisätä kertomalla tulos . Keskitettyään opiskelijan huomion kertoimilla tehtävien toimien erityispiirteisiin, matematiikan ohjaaja voi näyttää, kuinka nämä toiminnot yleensä suoritetaan kirjoittamatta itse muuttujia muistiin. Tätä varten on kätevää syöttää alkuperäisen polynomin juuri ja kertoimet tärkeysjärjestyksessä seuraavaan taulukkoon:

Jos polynomista puuttuu jokin aste, niin sen nollakerroin syötetään väkisin taulukkoon. "Punaisten polynomien" kertoimet syötetään vuorotellen alimmalle riville "koukku" -säännön mukaisesti:

Juuri kerrotaan viimeksi puretulla "punaisella kertoimella", lisätään seuraavaan ylärivin kertoimeen ja tulos puretaan alimmalle riville. Viimeisessä sarakkeessa saamme taatusti viimeisen "vihreän saldon" suurimman kertoimen, eli nollan. Kun prosessi on valmis, numerot sovitetun juuren ja nollajäännöksen väliin ovat toisen (epälineaarisen) tekijän kertoimet.

Koska juuri a antaa alimman rivin lopussa nollan, Hornerin mallia voidaan käyttää polynomin juuren arvon tarkistamiseen. Jos erityinen lause rationaalisen juuren valinnasta. Kaikki tämän avulla saadut ehdokkaat tähän titteliin yksinkertaisesti lisätään vuorotellen vasemmalta Hornerin järjestelmään. Heti kun saamme nollan, testattu luku on juuri ja samalla saamme alkuperäisen polynomin laajenemiskertoimet tekijöiksi. Erittäin mukavasti.

Lopuksi haluan huomauttaa, että Horner-kaavion tarkkaa käyttöönottoa sekä aiheen käytännön syventämistä varten matematiikan ohjaajalla on oltava käytössään riittävä määrä tunteja. "Kerran viikossa" -tilassa työskentelevän tutorin ei tulisi olla tekemisissä kulman jakamisessa. Matematiikan yhtenäistetyssä valtionkokeessa ja matematiikan GIA:ssa on epätodennäköistä, että ensimmäisessä osassa tulee koskaan olemaan kolmannen asteen yhtälö, joka ratkaistaan ​​sellaisilla keinoilla. Jos ohjaaja valmistaa lapsen matematiikan tenttiin Moskovan valtionyliopistossa, aiheen opiskelu tulee pakolliseksi. Yliopiston opettajat haluavat kovasti, toisin kuin yhtenäisen valtiontutkinnon laatijat, tarkistaa hakijan tietämyksen syvyyden.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematiikan ohjaaja Moskova, Strogino

Hyvä polynomi
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
voidaan moninkertaistaa Hornerin kaavan mukaan, jos ainakin yksi sen juurista tunnetaan.

Analysoidaan jakoa Hornerin kaavion mukaan esimerkin avulla:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Ensin sinun on käytettävä valintamenetelmää löytääksesi yksi juuri. Se on yleensä vapaan termin jakaja. Tässä tapauksessa luvun jakajat -10 ovat ±1, ±2, ±5, ±10. Aloitetaan niiden korvaaminen vuorotellen:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ numero 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ numero -1 on polynomin juuri

Olemme löytäneet 1 polynomin juurista. Polynomin juuri on -1, mikä tarkoittaa, että alkuperäisen polynomin on oltava jaollinen x+1. Suorittaaksemme polynomien jaon, käytämme Hornerin kaaviota:

Ylärivi sisältää alkuperäisen polynomin kertoimet. Toisen rivin ensimmäiseen soluun laitamme löytämämme juuren -1. Toisella rivillä on polynomin kertoimet, jotka saadaan jaon tuloksena. Ne lasketaan näin:

Viimeinen numero on jaon loppuosa. Jos se on yhtä suuri kuin 0, laskemme kaiken oikein.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

Mutta tämä ei ole loppu. Voit yrittää laajentaa polynomia samalla tavalla 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Jälleen etsimme juuria vapaan termin jakajien joukosta. Kuten olemme jo havainneet, luvun jakajat -10 ovat ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ numero 1 ei ole polynomin juuri

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ numero -1 ei ole polynomin juuri

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ numero 2 on polynomin juuri

Kirjoita löydetty juuri Horner-kaavioomme ja aloita tyhjien solujen täyttäminen:

Joten otimme huomioon alkuperäisen polynomin:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 11x + 5)

Polynomi 2x2+11x+5 voidaan myös huomioida. Voit tehdä tämän ratkaisemalla toisen asteen yhtälön diskriminantin kautta tai voit etsiä juuria luvun jakajien joukosta 5. Tavalla tai toisella tulemme siihen tulokseen, että tämän polynomin juuri on luku -5

Näin ollen hajoimme alkuperäisen polynomin lineaarisiin tekijöihin.

Bezoutin lause Näennäisestä yksinkertaisuudestaan ​​ja ilmeisyydestään huolimatta se on yksi polynomiteorian peruslauseista. Tässä lauseessa polynomien algebralliset ominaisuudet (niiden avulla voidaan työskennellä polynomien kanssa kokonaislukuina) liittyvät niiden toiminnallisiin ominaisuuksiin (jotka sallivat polynomien pitämisen funktioina).

Bezoutin lause toteaa, että polynomin polynomilla jakamisen loppuosa on .

Polynomin kertoimet ovat jossain kommutatiivisessa renkaassa, jossa on yksikkö (esimerkiksi reaali- tai kompleksilukujen kentässä).

Bezoutin lause - todiste.

Polynomin jakaminen jäännöksellä P(x) polynomiksi (x-a):

Perustuu siihen tosiasiaan asteR(x)< deg (x-a) = 1 on polynomi, jonka aste ei ole suurempi kuin nolla. Korvaamme , koska saamme .

Mutta se lause ei ole tärkein, vaan Bezoutin lauseen seuraus:

1. Luku on polynomin juuri P(x) jos ja vain jos P(x) jakaa ilman jäännöstä binomiaaliksi x-a.

Tämän perusteella - polynomin juurten joukko P(x) on identtinen vastaavan yhtälön juurijoukon kanssa x-a.

2. Polynomin vapaa termi on jaollinen millä tahansa polynomin kokonaisluvulla, jossa on kokonaislukukerroin (kun johtava kerroin on yksi, kaikki rationaaliset juuret ovat kokonaislukuja).

3. Oletetaan, että se on pelkistetyn polynomin kokonaislukujuuri P(x) kokonaislukukertoimilla. Joten minkä tahansa kokonaisluvun luku on jaollinen .

Bezoutin lause mahdollistaa polynomin yhden juuren löytymisen jälkeen etsiä pidemmälle polynomin juuria, jonka aste on jo 1 pienempi: jos , niin tämä polynomi P(x) näyttää tältä:

Bezoutin lauseesimerkit:

Selvitä polynomin jaon jäännös binomilla.

Bezoutin lauseen ratkaisuesimerkkejä:

Bezoutin lauseen perusteella haluttu jäännös vastaa polynomin arvoa pisteessä . Sitten löydämme , tätä varten korvaamme arvon lausekkeessa polynomilla sijasta . Saamme:

Vastaus: Loput = 5.

Hornerin suunnitelma.

Hornerin suunnitelma- tämä on polynomien jakoalgoritmi (jako Hornerin mallilla), joka on kirjoitettu erikoistapaukselle, jos osamäärä on yhtä suuri kuin binomi.

Rakennetaan tämä algoritmi:

Oletetaan, että - jaettavissa

osamäärä (sen aste on todennäköisesti yksi vähemmän), r- jäännös (koska jako suoritetaan polynomilla 1 aste, niin jäännöksen aste on yksi vähemmän, ts. nolla, joten jäännös on vakio).

Jaon määritelmän mukaan jäännöksellä P(x) = Q(x) (x-a) + r. Kun polynomilausekkeet on korvattu, saamme:

Avaamme sulut ja yhtälöimme kertoimet samoilla potenssilla, minkä jälkeen ilmaisemme osamäärän kertoimet osingon ja jakajan kertoimilla:

On kätevää tehdä yhteenveto laskelmista seuraavaan taulukkoon:

Se korostaa solut, joiden sisältö on mukana laskelmissa seuraavassa vaiheessa.

Esimerkkejä Hornerin kaaviosta:

Olkoon tarpeen jakaa polynomi binomilla x-2.

Luo taulukko kahdella rivillä. Kirjoitamme yhdelle riville polynomimme kertoimet. Toisella rivillä saamme epätäydellisen osamäärän kertoimet seuraavan kaavion mukaisesti: ensin kirjoitetaan tämän polynomin suurin kerroin, sitten seuraavan kertoimen saamiseksi kerrotaan viimeinen löydetty a = 2 ja lisää polynomin vastaavalla kertoimella F(x). Viimeisin kerroin on jäännösosa, ja kaikki aiemmat kertoimet ovat epätäydellisen osamäärän kertoimia.