Materiaalien tasojännitetty lujuustila. tasojännitetila. Suorakaiteen muotoisen palkin vääntö

LATTAINEN STRESS TILA

Luento 15

Esimerkki rakenteesta, jonka kaikki pisteet ovat tasojännitystilassa, on ohut levy, jota kuormitetaan päistään sen tasossa olevilla voimilla. Koska levyn sivupinnat ovat jännitteettömiä, voidaan sen paksuuden pienuudesta johtuen olettaa, että jopa levyn sisällä sen pinnan suuntaisilla alueilla jännitykset ovat mitättömän pieniä. Samanlainen tilanne syntyy esimerkiksi kuormattaessa ohutseinämäisen profiilin akseleita ja palkkeja.

Yleisessä tapauksessa tasojännitystilasta puhuttaessa emme tarkoita koko rakennetta, vaan vain sen elementin tarkasteltua pistettä. Merkki siitä, että jännitystila on tietyssä pisteessä tasainen, on sen läpi kulkeva alusta, jolla ei ole jännityksiä. Tällaisia ​​kohtia ovat erityisesti rungon kuormittamattoman ulkopinnan kohdat, jotka ovat useimmiten vaarallisia. Siksi on ymmärrettävää, että tämän tyyppisen stressitilan analysointiin kiinnitetään huomiota.

Esitettäessä elementaarista suuntaissärmiötä tasojännitetyssä tilassa riittää, että näytetään yksi sen kuormittamattomista puolista kohdistaen se piirustustason kanssa (kuva 15.1), jolloin elementin kuormitetut pinnat kohdistetaan näytetyn alueen rajojen kanssa. Samanaikaisesti jännitysten merkintäjärjestelmä ja merkkisäännöt pysyvät ennallaan - kuvassa näkyvät jännitystilan komponentit ovat positiivisia. Ottaen huomioon leikkausjännitysten pariutumislaki

t xy = t yx, tasojännitetilaa (PNS) kuvataan kolmella itsenäisellä komponentilla - s x , s y , t xy. .

KURSSITTAA KALTOISSA KASVEISSA LATTEISSA STRESSTITILANTEESSA

Valitaan elementti ͵, joka näkyy kuvassa. 15.1, kolmion muotoinen prisma, leikkaamalla sen kaltevalla osalla, joka on kohtisuorassa piirustuksen tasoon nähden xOy. Rampin ja siihen liittyvien akselien sijainti x 1 ,y 1 asetetaan käyttämällä kulmaa a, jota pidetään positiivisena, kun akseleita kierretään vastapäivään.

Mitä tulee yllä kuvattuun yleiseen tapaukseen, joka on esitetty kuvissa 1 ja 2. 15.2, jännitysten voidaan katsoa vaikuttavan yhdessä pisteessä, mutta eri suunnassa. Löydämme kaltevan alueen jännitykset prisman tasapainotilasta ilmaistaen ne annetuilla jännityksillä s x , s y , t xy pinnoilla, jotka osuvat yhteen koordinaattitasojen kanssa. Merkitse kaltevien kasvojen alue dA, niin koordinaattipintojen alueet löytyvät seuraavasti:

dA x = dA cos a ,

dA y = dA synti a .

Projisoimme prisman pintoihin vaikuttavat voimat akselille x 1 ja y 1:

Vähentäminen yhteisellä tekijällä dA, ja tekemässä alkeellisia muunnoksia, saamme

Jos otamme huomioon sen

lausekkeille (15.1) voidaan antaa seuraava lopullinen muoto:

Kuvassa 15.3, yhdessä alkuperäisen kanssa on esitetty äärettömän pieni elementti, joka on suunnattu akseleita pitkin x 1 ,y 1 . Jännittää kasvonsa kohtisuorassa akseliin nähden x 1 määritetään kaavoilla (15.2). Löytää normaali jännitys akseliin nähden kohtisuorassa olevalla pinnalla y 1 , on erittäin tärkeää korvata arvo a + 90° kulman a sijaan:

Leikkausjännitykset ja kierretyssä koordinaattijärjestelmässä x 1 y 1 noudata pariliitoslakia, ts.

Normaalijännitysten summa, kuten tilavuusjännitystilan analyysistä tiedetään, on yksi sen invarianteista ja sen on pysyttävä vakiona, kun yksi koordinaattijärjestelmä korvataan toisella. Tämä voidaan helposti varmistaa lisäämällä kaavoista (15.2), (15.3) määritetyt normaalijännitykset:

ENSISIJAISET STRESSIT

Aiemmin todettiin, että alueita, joilla ei ole leikkausjännitystä, kutsutaan pääalueiksi ja niihin kohdistuvia jännityksiä pääjännityksiksi. Tasaisessa jännitystilassa yhden pääalueen sijainti tiedetään etukäteen - ϶ᴛᴏ alue, jolla ei ole jännitystä, ᴛ.ᴇ. yhdistettynä piirustustasoon (katso kuva 15.1). Etsi tärkeimmät alustat kohtisuorassa sitä vastaan. Tätä varten asetamme (15.1) leikkausjännityksen nollaksi, josta saamme

Kulma a 0 näyttää normaalin suunnan pääkohtaan, tai pääsuunta, siksi sitä kutsutaan pääkulma. Koska kaksoiskulman tangentti on jaksollinen funktio jaksolla p/2, kulma

a 0 + p/2 on myös pääkulma. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, pääalustoja on yhteensä kolme, ja ne kaikki ovat keskenään kohtisuorassa. Ainoa poikkeus on tapaus, jossa ei ole kolmea pääaluetta, vaan ääretön joukko - esimerkiksi ympäripuristuksessa, kun mikä tahansa valittu suunta on pääsuunta ja jännitykset ovat samat kaikilla pisteen läpi kulkevilla alueilla.

On syytä sanoa, että pääjännitysten löytämiseksi voit käyttää ensimmäistä kaavoista (15.2) korvaamalla peräkkäin arvot a 0 ja

Tässä on otettu huomioon se

Trigonometriset funktiot lausekkeet (15.5) voidaan eliminoida käyttämällä tunnettua yhtälöä

Ja ota myös huomioon kaava (15.4). Sitten saamme

Kaavan plusmerkki vastaa yhtä pääjännitystä ja miinusmerkki toista. Kun ne on laskettu, voit käyttää hyväksyttyä merkintää pääjännityksille s 1, s 2, s 3, koska s 1 on algebrallisesti suurin ja s 3 on algebrallisesti pienin jännitys. Toisin sanoen, jos molemmat lausekkeista (15.6) löydetyt pääjännitykset osoittautuvat positiivisiksi, saadaan

Jos molemmat jännitteet ovat negatiivisia, meillä on

Lopuksi, jos lauseke (15.6) antaa stressiarvot kanssa erilaisia ​​merkkejä, silloin pääjännitykset ovat yhtä suuret

NORMAALI- JA TANGENTTIRASITUSTEN KORKEMAT ARVOT

Jos pyörität akselia henkisesti x 1 y 1 ja niihin liittyvä elementti (ks. kuva 15.3), sen pintojen jännitykset muuttuvat ja kulman a tietyllä arvolla normaalijännitys saavuttaa maksiminsa. Koska keskenään kohtisuorassa olevien alueiden normaalijännitysten summa pysyy vakiona, jännitys on tällä hetkellä pienin.

Löytääksesi tämän tyynyjen sijainnin, sinun on tutkittava ääripään lauseke, pitäen sitä argumentin a funktiona:

Vertaamalla suluissa olevaa lauseketta arvoon (15.2) tulemme siihen tulokseen, että leikkausjännitykset halutuilla alueilla ovat nolla. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, normaalit jännitykset saavuttavat ääriarvot juuri pääkohteissa.

Suurimman leikkausjännityksen löytämiseksi otamme pääalueet alkualueiksi ja kohdistamme akselit x Ja y päälinjoilla. Kaavat (15.1), joissa kulma a mitataan nyt suunnasta s 1, ovat muotoa:

Viimeisestä lausekkeesta seuraa, että leikkausjännitykset ulottuvat korkeimmat arvot sivustoilla, jotka on käännetty pääkohteisiin 45 °, kun

sin2a = ±1. Niiden maksimiarvo on silloin

Huomaa, että kaava (15.8) pätee myös silloin, kun

TASON STRESSIN TILAN GRAAFINEN ESITYS. MORAN YMPÄRÄT

Kaavoilla (15.7), jotka määrittävät jännitykset tietyssä kulmassa α pääkalenteriin nähden kierretyssä paikassa, on selkeä geometrinen tulkinta. Jos oletetaan, että molemmat pääjännitykset ovat positiivisia, otamme käyttöön seuraavan merkinnän:

Sitten lausekkeet (15.7) saavat varsin tunnistettavan muodon parametrinen yhtälö ympyrät koordinaateissa σ ja τ:

Indeksi "α" merkinnässä korostaa, että jännitykset ovat paikalla, kierrettynä alkuperäiseen tietyssä kulmassa. Arvo A määrittää ympyrän keskipisteen sijainnin σ-akselilla; ympyrän säde on R. Näkyy kuvassa 15.5., vakiintuneen perinteen mukaan, on tapana kutsua jännityskaaviota Mohrin ympyräksi kuuluisan saksalaisen tiedemiehen Otto Mohrin (1835 - 1918 ᴦ.ᴦ.) mukaan, joka sen ehdotti. Pystyakselin suunta valitaan ottaen huomioon merkki τ α in (15.10). Jokainen kulman α arvo vastaa edustavaa pistettä K (σ α, τ α ) ympyrällä, jonka koordinaatit ovat yhtä suuret kuin kierretyn alueen jännitykset. Pisteitä vastaavat keskenään kohtisuorat alueet, joissa kiertokulma eroaa 90˚ K Ja K' makaa halkaisijan vastakkaisissa päissä.

Tässä on otettu huomioon se

koska kaavat (15.2) ja (15.7) kulman muuttuessa 90 0 antavat leikkausjännityksen merkin kierretyssä koordinaattijärjestelmässä, jossa toinen akseleista osuu suunnassa alkuperäisen akselin kanssa ja toinen on vastakkaisessa suunnassa (kuva 15.5)

Jos pääsivustot toimivat aloitussivustoina, ᴛ.ᴇ. σ 1 ja σ 2 arvot tunnetaan, Mohrin ympyrä on helppo rakentaa pisteistä 1 ja 2. Ympyrän keskeltä 2a kulmassa vaaka-akseliin nähden, ympyrän leikkauspisteessä, saadaan edustava piste, jonka koordinaatit ovat yhtä suuret kuin halutut kierretyn alueen jännitykset. Tässä tapauksessa on kätevämpää käyttää ns. ympyrän napaa ohjaamalla siitä säde kulmassa a. Ympyrän, navan, säteen ja halkaisijan välisestä ilmeisestä suhteesta, joka on merkitty piirustuksessa kirjaimella A, osuu tässä tapauksessa yhteen pisteen 2 kanssa. Yleensä napa sijaitsee normaalien ja alkuperäisten alueiden leikkauskohdassa. Jos lähdepaikat eivät ole pääasiallisia, Mohrin ympyrä rakennetaan seuraavalla tavalla: edustavat pisteet piirretään tasolle σ - t K (σ x,t xy) Ja K’(σ y,-t xy), jotka vastaavat pysty- ja vaakasuuntaisia ​​alkukohtia. Yhdistämällä pisteet suoralla, σ-akselin leikkauspisteestä löydämme ympyrän keskipisteen, jonka jälkeen itse ympyräkaavio rakennetaan. Ympyrän leikkauspiste vaaka-akselin kanssa antaa pääjännitysten arvon ja säde on yhtä suuri kuin suurin leikkausjännitys. Kuvassa 15.7 näyttää Mohrin ympyrän, joka on rakennettu alkuperäisille paikoille, jotka eivät ole tärkeimpiä. napa A sijaitsee normaalien ja alkuperäisten kohtien leikkauskohdassa KA Ja K’A. säde OLEN, piirretty napasta kulmassa a vaaka-akseliin nähden, ympyrän leikkauspisteessä antaa edustavan pisteen M(σ a ,t a), jonka koordinaatit ovat meitä kiinnostavan alueen jännitykset. Napasta pisteisiin 1 ja 2 vedetyt säteet näyttävät pääkulmat a 0 ja a 0 +90 0 . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, Mohrin ympyrät ovat kätevä graafinen työkalu tason jännitystilan analysointiin.

b) 45 0:lla kierretyn elementin ͵ reunan jännitys saadaan kaavalla (15.1)

Normaali jännitys kohtisuorassa paikassa

(a = 45 0 +90 0) on yhtä suuri kuin

c) Löydämme suurimmat leikkausjännitykset kohdan (15.8) mukaisesti.

2. Graafinen ratkaisu.

Rakennetaan Mohrin ympyrä edustamalla pisteitä K(160,40) ja K’ (60, -40)

Ympyrän napa A löytää alkuperäisten kohtien normaalien leikkauspisteestä.

Ympyrä ylittää vaaka-akselin pisteissä 1 ja 2. Piste 1 vastaa pääjännitystä σ 1 = 174 MPa, piste 2 vastaa pääjännityksen arvoa σ 2 = 46 MPa. Napasta vedetty säde A kohtien 1 ja 2 kautta, näyttää pääkulmien arvon. Kohteen jännitykset, kierrettynä 45 0 alkuperäiseen, ovat yhtä suuret kuin edustavan pisteen koordinaatit M sijaitsee ympyrän ja napasta vedetyn säteen leikkauskohdassa A 45 0 kulmassa. Kuten näette, jännitystilan analyysitehtävän graafinen ratkaisu osuu yhteen analyyttisen ratkaisun kanssa.

Tarkastellaan ohutta levyä levyn tasossa olevien voimien vaikutuksesta (kuva 2.12). Tähän tasoon sijoitamme koordinaattijärjestelmän (x, y). Levyn päätypinnat (etupinnat) ovat jännitteettömiä ja siksi

Jännitysvektorit ja ovat samassa tasossa, ja jännitystilaa kutsutaan tasaiseksi. Huomaa, että levyn kaikki pisteet ovat tasojännitystilassa. Yleisessä tapauksessa "tasojännitystilan" käsite viittaa rakenne-elementin tarkasteltavaan pisteeseen.

Jos tietyssä pisteessä A on alue, jolla ei ole (normaalia ja tangentiaalista) jännitystä, jännitystila pisteessä on tasainen. Esim. kappaleen vapaan pinnan kohdissa (kuva 2.13) jännitystila on tasainen (pisteessä A oleva z-akseli on suunnattu normaalia pitkin pintaan).

Tasojännitystilan erityinen merkitys johtuu siitä, että se toteutuu rakenneosien pinnan kohdissa, jotka ovat usein "vaarallisia kohtia". (pisteet, joissa pintakerroksen jännitys on suurin).

Jännitteet vinoilla alueilla tasojännitystilassa. Tarkastellaan jännityksiä vinoilla alueilla, jotka ovat kohtisuorassa levyn tasoon nähden (kuva 2.14).

Riisi. 2.12. Lentokoneen jännitystila

Riisi. 2.13. Tasojännitystila kappaleen vapaan pinnan kohdissa

Ehdollinen termi "vino" tai "kalteva" paikka tarkoittaa, että paikan normaali ei ole yhdenmukainen valitun koordinaattijärjestelmän minkään akselin kanssa.

Alueella BC, johon normaali v muodostaa kulman a x-akselin kanssa, vaikuttavat normaali- ja leikkausjännitykset. Jännitys jakautuu tasaisesti levyn paksuudelle h, päätypinnoille elementti ABC ei ladattu. Välitön tehtävä on määrittää suureet ABS-elementin tasapainoolosuhteista. Projisoimalla kaikki ponnistelut normaalin v:n suuntaan, löydämme

Elementtiin vaikuttavat massavoimat,

ovat toisen luokan pieniä voimia, ja ne puuttuvat yhtälöstä (15). Ottaen huomioon, että kuvasta. 2.14 seuraa

saamme suhteesta (15)

Projisoimalla kaikki ponnistelut vektorin suuntaan, löydämme

Kaavat (17) ja (19) antavat normaali- ja leikkausjännityksen arvon vinoalueella.

Huomautukset. 1. On tiukasti ymmärrettävä, että yhtälöitä (15) ja (18) johdettaessa tasapainoehtoja ei oteta huomioon jännityksille (sellaisia ​​ehtoja ei ole!), vaan elementin pintoihin vaikuttaville voimille.

2. Alkeistilavuuden (kuva 2.14) pintojen jännitykset jakautuvat tasaisesti. Vinoa aluetta voidaan pitää vinoleikkauksena alkeissuuntaissärmiössä (kuva 2.15), ja samat tulokset (yhtälöt (17) ja (19)) johtuvat suuntaissärmiön varjostetun osan tasapainoolosuhteista.

3. Tuntemattomat vektorisuureet, joille on omaksuttu tietty etumerkkisääntö, tulee katsoa johdon aikana positiivisesti ohjatuiksi. Esimerkiksi kuvassa fig. 2.14 on suunnattu vetojännityksenä.

Elastisuusteorian perusteet

Luento 4

Elastisuusteorian tasoongelma

dia 2

Elastisuusteoriassa on suuri joukko ongelmia, jotka ovat tärkeitä käytännön sovellusten kannalta ja samalla mahdollistavat ratkaisun matemaattisen puolen merkittäviä yksinkertaistamista. Yksinkertaistus on siinä, että näissä tehtävissä yksi kappaleen koordinaattiakseleista, esimerkiksi z-akseli, voidaan hylätä ja kaikkien ilmiöiden voidaan katsoa tapahtuvan kuormitetun kappaleen samassa koordinaattitasossa x0y. Tässä tapauksessa jännitykset, venymät ja siirtymät ovat kahden koordinaatin - x ja y -funktioita.

Kahdessa koordinaatissa tarkasteltua ongelmaa kutsutaan Elastisuusteorian tasoongelma.

termillä " Elastisuusteorian tasoongelma» yhdistä kaksi fyysisesti erilaista ongelmaa, mikä johtaa hyvin samanlaisiin matemaattisiin suhteisiin:

1) tasomuodonmuutostilan ongelma (tasomuodonmuutos);

2) tasojännitystilan ongelma.

Näille ongelmille on useimmiten tunnusomaista merkittävä ero yhden geometrisen ulottuvuuden ja tarkasteltavien kappaleiden kahden muun mitan välillä: ensimmäisessä tapauksessa suuri pituus ja toisessa tapauksessa pieni paksuus.

Tason muodonmuutos

Muodonmuutosta kutsutaan litteäksi, jos kappaleen kaikkien pisteiden siirtymät voivat tapahtua vain kahteen suuntaan yhdessä tasossa eivätkä riipu tämän tason normaalista koordinaatista, ts.

u=u(x,y); v=v(x,y); w = 0 (4,1)

Tasomuodonmuutosta esiintyy pitkissä prisma- tai lieriömäisissä kappaleissa, joiden akseli on yhdensuuntainen z-akselin kanssa ja jota pitkin kuorma vaikuttaa sivupintaan, joka on kohtisuorassa tätä akselia vastaan ​​eikä suuruus muutu sitä pitkin.

Esimerkki tason muodonmuutoksesta on jännitys-venymätila, joka esiintyy maanalaisen tunnelin pitkässä suorassa padossa ja pitkässä kaaressa (kuva 4.1).

Kuva - 4.1. Padon rungossa ja maanalaisen tunnelin holvissa tapahtuu tasomuodonmuutoksia

dia 3

Korvaamalla siirtymävektorin (4.1) komponentit Cauchyn kaavoihin (2.14), (2.15), saadaan:

(4.2)

Lineaaristen muodonmuutosten puuttuminen z-akselin suunnassa johtaa normaalijännitysten σ z esiintymiseen. Hooken lain kaavasta (3.2) muodonmuutokselle ε z seuraa, että

mistä jännityksen σ z lauseke saadaan:

(4.3)

Kun tämä suhde korvataan Hooken lain kahdella ensimmäisellä kaavalla, saadaan:

(4.4)

dia 4

Kaavojen (4.2) − (4.4) ja (3.2) analyysistä seuraa myös, että

Siten kolmiulotteisen elastisuusteorian perusyhtälöt tasomuodonmuutoksen tapauksessa yksinkertaistuvat suuresti.

Kolmesta Navierin differentiaalitasapainoyhtälöstä (2.2) on jäljellä vain kaksi yhtälöä:

(4.5)

ja kolmas muuttuu identiteetiksi.

Koska suunnan kosini on kaikkialla sivupinnalla n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, pinnan kolmesta ehdosta on jäljellä vain kaksi yhtälöä (2.4):

(4.6)

missä l, m ovat ulomman normaalin suuntakosinit vääriviivan pintaan;

X, Y, X v, Y v ovat kehon voimien komponentteja ja ulkoisten pintakuormien intensiteettiä x- ja y-akselilla, vastaavasti.

dia 5

Kuusi Cauchyn yhtälöä (2.14), (2.15) vähennetään kolmeen:

(4.7)

Kuudesta Saint-Venantin muodonmuutosjatkuvuusyhtälöstä (2.17), (2.18) jää yksi yhtälö:

(4.8)

ja loput muuttuvat identiteeteiksi.

Hooken lain (3.2) kuudesta kaavasta (4.2), (4.4) huomioon ottaen jää kolme kaavaa:

Näissä suhteissa elastisuusteoriassa perinteiselle tietuetyypille otetaan käyttöön uusia elastisia vakioita:

dia 6

Lentokoneen jännitystila

Tasojännitystila syntyy, kun saman prismakappaleen pituus on pieni verrattuna kahteen muuhun ulottuvuuteen. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan paksuudeksi. Kehon jännitykset vaikuttavat vain kahteen suuntaan xOy-koordinaattitasossa eivätkä riipu z-koordinaatista. Esimerkki tällaisesta rungosta on ohut levy, jonka paksuus on h, joka on kuormitettu sivupintaa (ripoja) pitkin levyn tason suuntaisilla voimilla ja jakautuu tasaisesti sen paksuudelle (kuva 4.2).

Kuva 4.2 - Ohut levy ja siihen kohdistuvat kuormitukset

Tässä tapauksessa myös tasovenymäongelman kaltaiset yksinkertaistukset ovat mahdollisia. Jännitystensorikomponentit σ z , τ xz , τ yz levyn molemmilla tasoilla ovat nolla. Koska levy on ohut, voidaan olettaa, että ne ovat yhtä suuret kuin nolla myös levyn sisällä. Tällöin jännitystilan määräävät vain komponentit σ x , σ y , τ xy, jotka eivät riipu z-koordinaatista, eli eivät muutu levyn paksuuden mukaan, vaan ovat vain x:n ja y:n funktioita.

Siten ohuessa levyssä esiintyy seuraava jännitystila:

Dia 7

Jännitysten osalta tasojännitystila eroaa tasovenymästä ehdon mukaan

Lisäksi Hooken lain (3.2) kaavasta, ottaen huomioon (4.10), lineaarisen muodonmuutoksen ε z osalta saadaan, että se ei ole nolla:

Tämän seurauksena levyn pohjat ovat kaarevia, koska niissä on siirtymiä z-akselia pitkin.

Näillä oletuksilla perustasovenymäyhtälöt: differentiaalitasapainoyhtälöt (4.5), pintaolosuhteet (4.6), Cauchyn yhtälöt (4.7) ja venymän jatkuvuusyhtälöt (4.8) säilyttävät saman muodon tasojännitysongelmassa.

Hooken lain kaavat ovat seuraavanlaisia:

Kaavat (4.11) eroavat Hooken lain tasomuodonmuutoksen kaavoista (4.9) vain kimmovakioiden arvoilla: E ja E 1 , v Ja v 1 .

Dia 8

Käänteisessä muodossa Hooken laki voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(4.12)

Siten näitä kahta tehtävää (tasomuodonmuutos ja tasojännitystila) ratkaistaessa voidaan käyttää samoja yhtälöitä ja yhdistää tehtävät yhdeksi kimmoteorian tasotehtäväksi.

Elastisuusteorian tasoongelmassa on kahdeksan tuntematonta:

ovat siirtymävektorin u ja v kaksi komponenttia;

– jännitystensorin kolme komponenttia σ x , σ y , τ xy ;

ovat venymätensorin ε x, ε y, γ xy kolme komponenttia.

Ongelman ratkaisemiseen käytetään kahdeksaa yhtälöä:

– kaksi differentiaalitasapainoyhtälöä (4.5);

– kolme Cauchyn yhtälöä (4.7);

ovat kolme Hooken lain (4.9) tai (4.11) kaavaa.

Lisäksi saatujen venymien on noudatettava venymän jatkuvuusyhtälöä (4.8) ja sisäisten jännitysten ja ulkoisen pintakuormituksen X intensiteettien välisten tasapainoehtojen (4.6) on täytyttävä kehon pinnalla. v, Y v.

Poimitaan pisteen läheisyydestä kappaleesta äärettömän pieni kolmioprisma, jonka kantaa pitkin normaali- ja leikkausjännitykset ovat nolla.

Merkkisääntö mille tahansa σ > 0:lle, jos normaalijännitykset suunnataan poispäin paikasta; t > 0, jos se pyrkii kiertämään piirustustasoa myötäpäivään; a > 0, jos pintaa bc on käännettävä vastapäivään terävän kulman kautta, jotta se linjataan pinnan ac kanssa.

Etsi prisman jokaiseen pintaan kohdistuva resultanttivoima. Tätä varten sinun on kerrottava vastaavat jännitykset kasvojen pinta-alalla.

Näiden resultantvoimien on täytettävä kaikki resultanttiliikkeen ehdot. Piirretään U- ja V-akselit ja toteutetaan kuusi tasapainoehtoa.

åU =0 Ta + Fy cos a - Tx sin a - Fx sin a - Ty cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) - sin a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx cos a+ Ty sin a - Fx cos a - Fy sin a

Fa -Fx + Tx cos a + (Ty - Fy sin a) = 0 (2)

Momenttien summa akselin pisteen ympärillä å m 0 = 0

å m 0 = 0 Tx dy/2 + Ty dx/2 = 0 (3)

Korvaa Tx:n ja Ty:n arvot ja jaa molemmat osat dx/2 dy dz:llä

t x dx/2 dy dz + t y dx/2 dy dz = 0

Leikkausjännitykset kahdella keskenään kohtisuoralla alueella ovat absoluuttisesti yhtä suuret ja käänteiset etumerkissä. Riippuvuutta (4) kutsutaan leikkausjännitysten pariutumislakiksi. Kohdasta (4) seuraa, että tangentiaaliset jännitykset on suunnattu tai ylöspäin oikea kulma tai häneltä.

Jos korvaamme riippuvuudessa (1) ja (2) ja korvaamme t y:llä - t h, ja otamme myös huomioon, että dx / ds \u003d sin a ja dy / ds \u003d cos a, niin saadaan muunnoksilla arvot \u200b\u200b\u200d \u003d cos a, niin saadaan muunnelmien jälkeen arvot \u200b\u200b\u200, joissa on normaalin ja σ:n kierretty kulma suhteessa x y:ään.

σ a = σ x cos 2 a + σ y sin 2 a + tx sin2a (5)

t y = ((σ x σ y)/2) sin2a - tx cos2a (6)

Jos kaava (5) korvataan arvoilla a ja a ¹ 90°, niin saadaan

σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = vakio. (7)

Johtopäätös: kahden keskenään kohtisuoran alueen normaalijännitysten summa on vakioarvo, mikä tarkoittaa, että jos meillä on max normaalijännitys ensimmäisellä alueella, niin σ min on sitä vastaan ​​kohtisuoralla alueella.

pääpaineet. Pääaukiot.

Teknisissä laskelmissa ei tarvitse määrittää jännityksiä kaikille tietyn pisteen läpi kulkeville alueille. Riittää, kun tietää niiden ääriarvot σ max ja σ min, joita kutsutaan pääjännityksiksi, ja alueita, joihin ne vaikuttavat, kutsutaan pääalueiksi.

σ:n ääriarvon saamiseksi lausekkeen (5) ensimmäinen derivaatta kulman a suhteen on rinnastettava nollaan.

Johtopäätös: pääalueilla leikkausjännitykset ovat nolla.

tg2a 0 = (8)

tg2a 0 = (9)

Päätasojen sijainnin määrittämiseksi tasoja, joilla σ x ja σ y toimivat, on käännettävä kulmassa a 0 vastapäivään, jos a 0 > 0 .

Kaavasta (8) 2a 0 muuttuu -90°:sta 90°:een, mikä tarkoittaa -45° £a 0 £45°, mikä tarkoittaa, että kierto voi olla enintään 45° kulmassa.

Pääjännityksiä määritettäessä 0:n arvo (8):sta voidaan korvata arvolla (5) tai käyttää riippuvuuksista (6) ja (9) saatua kaavaa.

(10)

Äärimmäiset leikkausjännitykset.

Alueita, joihin vaikuttavat äärimmäiset leikkausjännitykset, kutsutaan leikkausalueiksi.

Äärimmäisten leikkausjännitysten määrittämiseksi sinun on otettava (6):n ensimmäinen derivaatta kulman a suhteen, jolloin se on nolla.

;
;

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla cos2a 1 ja saa:

(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0

tg2a 1 = (11)

Äärimmäisen leikkausjännityksen omaavan tason kaltevuuskulmaa kohtaan dx on käännettävä vastapäivään kulmalla a 1.

Kaavasta (11) saadaan 1 ja 1 +90, jotka määritetään kahdella keskenään kohtisuoralla alueella. Yhdellä niistä vaikuttaa t max ja toisella t min. Mutta leikkausjännitysten pariliitoslakien mukaisesti t max \u003d - t min. Vertaamalla (8) ja (11) saadaan 1 ¹ a 0 +45°

Johtopäätös: 45° kulma päätasanteiden ja leikkaustasojen välillä

Korvataan kaavaan (6) σ x = σ max ; σy = σmin; tx = 0; a 1 = + 45° saamme

= + (12)

korvaamme kohdan (12) arvon arvosta (10) ja muunnosten jälkeen saamme äärimmäisten leikkausjännitysten riippuvuuden jännityksistä satunnaisilla alueilla

= + 1/2 (13)

Mohrin piirit.

Olkoon jokin tasojännitystila annettu.

Muodostetaan Mohrin ympyrä tälle jännitystilalle suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Toimenpide:

1. d-akselilla syrjään maksimiarvo dx

2. Piirrä t-akselille arvo ty

3. risteyksessä saamme pisteen A

4. samoin lykätä) dу ja tх; piste A luonnehtii suuntaa pystypintoja pitkin, piste B - vaakasuuntaisia ​​pintoja pitkin.

5. Yhdistä pisteet A ja B ja d-akselin leikkauspisteeseen saadaan piste O

6. Piirrä ympyrä pisteestä O, kuten ympyrän keskustasta

7. Määritä ympyrän säde oikeasta kolmiosta OKW

R=

Vaaka- ja pystysuoran alueiden leikkauspisteessä ympyrän kanssa saamme pisteen C, jota kutsumme napaksi.

Nyt voit määrittää suunnan missä tahansa paikassa, tätä varten sinun on piirrettävä suora viiva navan läpi yhdensuuntaisesti annetun paikan kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän.

Pisteellä M on koordinaatit da ja ta. On myös mahdollista ratkaista käänteinen ongelma, eli määrittää kulma a da:n ja ta:n arvoista.

MUOTOMUODOT TILAT ("LITTEINEN ONGELMA")

Tasojännitys- ja tasovenymätiloille on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet.

1. Kaikki jännityskomponentit eivät ole riippuvaisia ​​yhdestä kaikille komponenteille yhteisistä koordinaateista ja pysyvät vakioina sen muuttuessa.

2. Tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa tämän koordinaatin akseliin nähden:

a) leikkausjännityskomponentit ovat nolla;

b) normaalijännitys on joko nolla (tasojännitystila) tai puolet kahden muun normaalijännityksen summasta (tasojännitystila).

Otetaan akseliksi, joka mainittiin aiemmin, y-akseli. Edellisestä on selvää, että tämä akseli on pääakseli, ts. se voidaan myös merkitä indeksillä 2. Lisäksi , ja eivät riipu y:stä; samaan aikaan, ja , ja siten, ja ja ovat nolla.

Tasojännitetty tila = 0. Tasomuodonmuutostila (tämä tasossa deformoituneen tilan ominaisuus todistetaan alla).

Tasojännityksen ja tasovenymän tilojen merkittävä ero tulee aina ottaa huomioon.

Ensimmäisessä, kolmannen akselin suunnassa, ei ole normaalia jännitystä, mutta on muodonmuutosta, toisessa on normaali jännitys, mutta ei muodonmuutosta.

Tasojännitystila voi olla esimerkiksi levyssä, joka kohdistuu sen ääriviivaan levyn tason suuntaisesti kohdistettujen voimien vaikutukseen, jotka jakautuvat tasaisesti sen paksuudelle (kuva 3.16). Levyn paksuuden muutoksella ei tässä tapauksessa ole merkitystä, ja sen paksuus voidaan pitää yhtenäisuutena. Riittävällä tarkkuudella laipan jännitystilaa voidaan pitää tasaisena vedettäessä lieriömäistä aihiota levymateriaalista.

Lieriömäisen tai prismaattisen kappaleen pituudeltaan päistä kaukana oleville osille voidaan hyväksyä tasomuodonmuutos, jos kappaletta kuormitetaan pituudellaan muuttumattomilla voimilla, jotka on suunnattu kohtisuoraan generaattoreihin nähden. Esimerkiksi litteässä deformoituneessa tilassa palkin voidaan katsoa olevan alttiina paksuussuunnassaan taipumiselle, kun muodonmuutos pituussuunnassa voidaan jättää huomiotta.

Kaikki tasotehtävän jännitystilayhtälöt yksinkertaistuvat suuresti ja muuttujien lukumäärä pienenee.

Tasoongelman yhtälöt voidaan helposti saada aiemmin bulkkijännitystilalle johdetuista yhtälöistä ottaen huomioon, että \u003d 0 ja ottamalla \u003d 0, koska kaltevia alueita tulisi pitää vain yhdensuuntaisina y-akselin kanssa, eli normaaleina alueille, jotka ovat vapaita jännityksistä tasojännitystilassa tai muodonmuutoksia tasossa epämuodostuneessa tilassa (kuva 3.17).

Käsiteltävänä olevassa tapauksessa

Merkimällä kulmaa (katso kuva 3.17) normaalin kaltevan alueen ja akselin (tai akselin, jos jännitystila on annettu pääakseleilla 1 ja 2) välillä kautta , saadaan , mistä .

Edellä esitetyn perusteella saadaan suorilla substituutioilla tilavuusjännitystilan vastaaviin lausekkeisiin (3.10) ja (3.11) normaali- ja leikkausjännitykset kaltevalla alueella (ks. kuva 3.17).

Kuva 3.15. Tasojännitystila (a), jännitys kaltevassa alustassa (b)

Normaali jännite

leikkausjännitys

. (3.41)

Lausekkeesta (3.41) on helppo nähdä, että sillä on maksimi kohdassa sin 2 \u003d 1, eli kohdassa \u003d 45 °:

. (3.42)

Pääjännitysten suuruus voidaan ilmaista mielivaltaisten akselien komponentteina käyttämällä yhtälöä (3.13), josta saamme

. (3.43)

Tässä tapauksessa tasojännitystila = 0; tasaiseen jännittyneeseen tilaan

Kun pääakseleiden jännitystila on tiedossa, on helppo vaihtaa mielivaltaisiin koordinaattiakseleihin (kuva 3.18). Tehdään uusi koordinaattiakseli x kulma akselin kanssa, jolloin, kun sitä pidetään normaalina kaltevan alueen suhteen, meillä on jälkimmäiselle yhtälön (3.40) mukaisesti

mutta akselilla jännite on jännite, siis

tämä lauseke voidaan muuntaa seuraavasti:

(3.44)

Uusi akseli kallistetaan akseliin 1 kulman verran (+90°); siksi, kun edellisessä yhtälössä (+ 90°) korvataan, saadaan

Määritämme jännitteen lausekkeesta (3.41):

. (3.46)

Tarkoittaa keskimääräistä läpimenojännitettä, eli ottamalla

, (3.47)

ja kun otetaan huomioon yhtälö (3.42), saadaan ns. muunnoskaavat, jotka ilmaisevat jännityskomponentit kulman funktiona:

(3.48)

Mohr-kaaviota laadittaessa otamme huomioon, että koska tarkastelemme y-akselin (eli akselin 2) suuntaisia ​​alueita, suuntakosini on aina nolla, eli kulma = 90°. Siksi kaikki vastaavat arvot ja sijaitsevat yhtälön (3.36 b) määrittämässä ympyrässä, kun siihen korvataan = 0, nimittäin:

, (3.49)

tai ottamalla huomioon lausekkeet (3.47) ja (3.42)

. (3.49a)

Tämä ympyrä on esitetty kuvassa. 3.19 ja on Mohrin kaavio. Jonkin ympyrässä sijaitsevan pisteen P koordinaatit määräävät vastaavat arvot ja Yhdistämme pisteen P pisteeseen . On helppo nähdä, että janat 0 2 P = ;

Рр= , Ор= , ja näin ollen synti = .

Vertaamalla saatuja lausekkeita yhtälöihin (3.48), voimme todeta sen

P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.

Näin ollen, kun tiedetään kulman määräämä kaltevan alueen sijainti, voidaan löytää jännitysten ja vaikutuksen arvot tällä alueella.

Kuva 3.17. Mohrin kaavio

,

silloin segmentti OP ilmaisee kokonaisjännityksen S.

Jos jännitetyn kappaleen elementti, jonka kaltevalla pinnalla jännitykset otetaan huomioon, piirretään siten, että pääjännitys on suunnattu yhdensuuntaisesti akselin kanssa, niin tälle kaltevalle pinnalle vedetty normaali N ja siten jännityksen suunta on yhdensuuntainen segmentin СР kanssa.

Jatkamalla linjaa P0 2 ympyrän leikkauskohtaan, pisteestä P "saamme toisen arvoparin ja toiselle kaltevalle alueelle, jolle" \u003d + 90 °, eli alueelle, joka on kohtisuorassa ensimmäiseen nähden, normaalin suunnalla ". Normaalien N ja N suunnat voidaan ottaa jännityssuunnassa ja uudessa suunnassa: vastaavasti koordinaattijännityksille ja . Siten on mahdollista määrittää jännitystila mielivaltaisilla akseleilla ilman kaavoja (3.44) - ( 3.46) Jännitysten "g" absoluuttiset suuruudet ovat keskenään yhtä suuret pariliitoksen lain mukaan.

Käänteisongelman ratkaiseminen ei ole vaikeaa: annetuille jännityksille kahdella keskenään kohtisuoralla alueella , ja , t "(jossa t" = t) etsi pääjännitykset.

Piirretään koordinaattiakselit n ja (kuva 3.19). Piirrämme pisteet P ja P "koordinaateilla, jotka vastaavat annettuja jännityksiä , ja , . Janan PP leikkauspiste akselin kanssa määrittää Mohrin ympyrän 0 2 keskipisteen, jonka halkaisija on PP "= 2 31. Lisäksi, jos rakennamme akselit N, N" (tai, joka on sama, , ) ja käännetään näiden kuvioiden suuntaviivat ja jännitysten suunta niin, että pisteen jännityssuunta on a) annettu runko, silloin akselien ja kaavioiden suunnat ovat samansuuntaiset pääakseleiden 1 ja 2 suunnan kanssa.

Tasotehtävän differentiaalitasapainoyhtälö saadaan yhtälöistä (3.38) ottaen huomioon, että kaikki y:n derivaatat ovat yhtä suuret kuin nolla, ja ovat myös yhtä suuria kuin nolla ja :

(3.50)

Joitakin litteisiin liittyviä ongelmia ratkaistaessa on joskus kätevää käyttää suorakulmaisten koordinaattien sijasta napakoordinaatteja, jotka määrittävät pisteen sijainnin sädevektorin ja napakulman avulla, eli kulman, jonka sädevektori muodostaa akselin kanssa.

Polaaristen koordinaattien tasapainoolosuhteet voidaan helposti saada samoista ehdoista sylinterimäiset koordinaatit, rinnastaa

Ja koska johdannaiset ovat yhtä suuret

(3.51)

Tasoongelman erikoistapaus on, kun jännitykset eivät myöskään riipu koordinaatista (akselin suhteen symmetrinen jännitysjakauma). Tässä tapauksessa johdannaiset suhteessa jännitteisiin ja häviävät, ja tasapainoolosuhteet määräytyvät differentiaaliyhtälö

. (3.52)

On selvää, että stressit ovat tässäkin pääasialliset.

Tällainen jännitetty tila voidaan ottaa pyöreän aihion laipalle vedon aikana ilman, että sylinterimäistä kuppia painetaan.

Stressitilan tyyppi

Jännitystilaa missä tahansa muotoutuvan kappaleen kohdassa luonnehtivat kolme päänormaalijännitystä ja pääakselien suuntaa.

Jännitystilaa on kolme päätyyppiä: tilavuus (kolmiaksiaalinen), jossa kaikki kolme pääjännitystä ovat nollasta poikkeavia, tasainen (biaksiaalinen), jossa yksi pääjännitys on nolla, ja lineaarinen (yksiakselinen), jossa vain yksi pääjännitys on nollasta poikkeava.

Jos kaikilla normaalijännityksillä on sama merkki, jännitystilaa kutsutaan samalla nimellä ja erimerkkisillä jännityksillä - päinvastoin.

Jännitystiloja on siis yhdeksän tyyppiä: neljä volumetristä, kolme litteää ja kaksi lineaarista (kuva 3.18).

Jännitystilaa kutsutaan homogeeniseksi, kun missä tahansa muotoutuvan kappaleen kohdassa pääakselien suunnat ja päänormaalijännitysten suuruus pysyvät muuttumattomina.

Jännitystilan tyyppi vaikuttaa metallin kykyyn muuttaa muotoaan plastisesti ilman romahtamista ja ulkoisen voiman suuruuteen, joka on kohdistettava tietyn arvon muodonmuutoksen suorittamiseen.

Joten esimerkiksi muodonmuutos saman tilavuusjännitystilan olosuhteissa vaatii enemmän vaivaa kuin vastakkaisen jännitystilan olosuhteissa, kun kaikki muut asiat ovat samat.

Kontrollikysymykset

1. Mikä on jännite? Mikä luonnehtii pisteen, koko kehon jännitystilaa?

2. Mitä indeksit ilmaisevat jännitystensorikomponenttien merkinnöissä?

3. Anna jännitystensorikomponenttien etumerkkisääntö.

4. Kirjoita muistiin Cauchyn kaavat kaltevien alustojen jännityksille. Mihin heidän johtopäätöksensä perustuu?

5. Mikä on stressitensori? Mitkä ovat jännitystensorin komponentit?

6. Mitä kutsutaan jännitystensorin ominaisvektoreiksi ja ominaisarvoiksi?

7. Mitä ovat pääjännitykset? Kuinka monta?

8. Anna sääntö indeksien osoittamiseksi päänormaalijännityksille.

9. Anna fysikaalinen tulkinta jännitystensorin päänormaalijännityksistä ja pääakseleista.

10. Esitä OMD:n pääprosessien - valssaus, veto, puristus - päänormaalijännitysten kaaviot.

11. Mitä ovat jännitystensoriinvariantit? Kuinka monta?

12. Mikä on mekaaninen aisti jännitystensorin ensimmäinen invariantti?

13. Mitä kutsutaan leikkausjännitysten intensiteetiksi?

14.. Mitkä ovat tärkeimmät leikkausjännitykset? Etsi heidän alustansa

15.. Kuinka monta pääleikkausjännityksen aluetta voidaan osoittaa jossakin muodonmuutoskappaleen kohdassa?

16. Mikä on suurin leikkausjännitys, normaali jännitys kohdassa, johon se vaikuttaa?

17. Mikä on akselisymmetrinen jännitystila? Antaa esimerkkejä.

18. Esitä kaaviot tärkeimmistä normaalijännityksistä tärkeimmille OMD-prosesseille - valssaus, veto, puristus.

19. Mitä yhteistä on tasossa jännitteisillä ja tasomuodonmuutoksilla ja mitä eroa niillä on? Mihin näistä tiloista yksinkertainen siirto viittaa?

20. Esitä tuntemasi jännitysteorian kaavat pääkoordinaattijärjestelmässä

21. Mikä on stressiellipsoidi? Kirjoita sen yhtälö muistiin ja ilmoita rakennusjärjestys. Mikä on jännitysellipsoidin muoto hydrostaattisen paineen, taso- ja lineaaristen jännitystilojen osalta?

22. Kirjoita yhtälö päänormaalijännitysten löytämiseksi ja kolme yhtälöjärjestelmää pääakseleiden löytämiseksi T a.

23..Mikä on pallotensori ja jännityspoikkeama? Mitä suureita käytetään jännityspoikkeaman toisen ja kolmannen invariantin laskemiseen?

24. Osoita, että jännitystensorin ja jännityspoikkeaman pääkoordinaattijärjestelmät ovat samat.

25. Miksi jännitysintensiteetti ja leikkausjännityksen intensiteetti otetaan huomioon? Selitä ne fyysinen merkitys ja antaa geometrisia tulkintoja.

26. Mikä on Mohr-kaavio? Mitkä ovat pääympyröiden säteet?

27. Miten Mohr-kaavio muuttuu, kun keskimääräinen jännite muuttuu?

28. Mitä ovat oktaedrijännitykset?

29. Kuinka monta ominaisaluetta voidaan piirtää jännittyneen kehon pisteen läpi?

30. Tilavuusjännitystilan tasapainoolosuhteet in suorakulmaiset koordinaatit, sylinterimäisinä ja pallomaisina koordinaatteina.

31. Tasotehtävän tasapainoyhtälöt.

KIRJASTUS

1. Ilyushin A. A. Plastisuus. Ch. I. M.-L., GTI, 1948. 346 s. (33)

2. I. M. Pavlov, "Tensoriesitysten fysikaalisesta luonteesta plastisiteettiteoriassa", Izvestija vuzov. Rautametallurgia”, 1965, nro 6, s. 100–104.

3. V. V. Sokolovsky, plastisuuden teoria. M." valmistua koulusta”, 1969. 608 s. (91)

4. M. V. Storozhev ja E. A. Popov, Metallin painekäsittelyn teoria. M., "Engineering", 1971. 323 s. (99)

5. S. P. Timošenko, Elastisuusteoria. Gostekhizdat, 1934. 451 s. (104)

6. Shofman L. A. Leimaus- ja puristusprosessin laskennan perusteet. Mashgiz, 1961. (68)