Поле от комплексни числа. Геометрично представяне на комплексни числа и операции върху тях. Тригонометрична форма на комплексно число. Поле на комплексни числа Комплексните числа нямат обратни
Дефиниции . Позволявам а, b– реални числа, аз– някакъв символ. Комплексното число е нотация на формата а+би.
ДопълнениеИ умножение числа в множеството от комплексни числа: (а+би)+(° С+ди)=(а+° С)+(б+d)i
(а+bi)(c+ди)=(ак–бд)+(реклама+bc)i. .
Теорема 1 . Набор от комплексни числа СЪСс операциите събиране и умножение образува поле. Свойства на добавянето
1) Комутативност б: (а+би)+(° С+ди)=(а+° С)+(б+d)i=(° С+ди)+(а+би).
2) Асоциативност :[(а+би)+(° С+ди)]+(напр+fi)=(а+° С+д)+(б+д+е)i=(а+би)+[(° С+ди)+(напр+fi)].
3) Съществуване неутрален елемент :(а+би)+(0 +0i)=(а+би). Номер 0 +0 аз ще наречем нула и ще обозначим 0 .
4) Съществуване противоположен елемент : (а+би)+(–а–би)=0 +0i=0 .
5) Комутативност на умножението : (а+bi)(c+ди)=(ак–бд)+(пр.н.е+ad)i=(° С+ди)(а+би).
6) Асоциативност на умножението :Ако z 1=а+би, z 2=° С+ди, z 3=д+фи, Че (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).
7) Разпределение: Ако z 1=а+би, z 2=° С+ди, z 3=д+фи, Че z 1 (z 2+z 3)=z 1 z 2+z 1 z 3.
8) Неутрален елемент за умножение :(а+би)(1+0i)=(а 1–b 0)+(a·0+b·1)i=а+би.
9) Число 1 +0i=1 - мерна единица.
9) Съществуване обратен елемент : " z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .
Позволявам z=а+би. Реални числа а, Наречен валиден, А b - въображаеми части комплексно число z. Използвани обозначения: а=рез, b=Imz.
Ако b=0 , Че z=а+ 0i=а- реално число. Следователно мн реални числа Ре част от набора от комплексни числа ° С: R Í C.
Забележка:аз 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Използвайки това свойство на числото аз, както и свойствата на операциите, доказани в теорема 1, можете да извършвате операции с комплексни числа според обичайните правила, замествайки аз 2На - 1 .
Коментирайте. Отношенията £, ³ („по-малко“, „по-голямо“) не са дефинирани за комплексни числа.
2 Тригонометрична формазаписи .
Извиква се записът z = a+bi алгебричензапис на комплексно число . Помислете за самолет с избран Декартова системакоординати Ние ще представим числото zточка с координати (a,b). След това реалните числа а=а+0iще бъдат представени от точки на оста ОХ- нарича се валиден ос. ос ойНаречен въображаем ос, нейните точки съответстват на числа от формата бикоито понякога се наричат чисто въображаемо . Целият самолет се нарича сложна равнина .Номерът се обажда модул числа z: ,
Полярен ъгъл йНаречен аргумент числа z: й=argz.
Аргументът се определя до срок 2kp; стойност, за която – стр< j £ p , е наречен основно значение аргумент. Числа r, йса полярните координати на точката z. Това е ясно а=r cosj, b=r sinj, и получаваме: z=а+b·i=r·(cosj+аз синя). тригонометрична форма писане на комплексно число.
Конюгирани числа . Комплексно число се нарича спрегнато числоz = а + би . Ясно е, че. Имоти : .
Коментирайте. Сумата и произведението на спрегнатите числа са реални числа:
Комплексно число z Наречен израз където АИ V– реални числа, аз– въображаема единица или специален знак.
В този случай се изпълняват следните договорености:
1) с израза a+bi можете да извършвате аритметични операции според правилата, които са приети за буквални изрази в алгебрата;
5) равенството a+bi=c+di, където a, b, c, d са реални числа, възниква тогава и само ако a=c и b=d.
Извиква се числото 0+bi=bi въображаемили чисто въображаемо.
Всяко реално число a е частен случай на комплексно число, тъй като може да бъде записано във формата a=a+ 0i. По-специално, 0=0+0i, но тогава, ако a+bi=0, тогава a+bi=0+0i, следователно, a=b=0.
Следователно комплексно число a+bi=0 тогава и само ако a=0 и b=0.
От споразуменията следват законите за трансформация на комплексни числа:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Виждаме, че сборът, разликата, произведението и частното (където делителят не е равен на нула) на комплексни числа от своя страна е комплексно число.
Номер АНаречен реална част от комплексно число z(означено с ), V– имагинерната част на комплексното число z (означава се с ).
Нарича се комплексно число z с нулева реална част. чисто въображаемо, с нула въображаемо – чисто истински.
Извикват се две комплексни числа. равенако реалната и имагинерната им част съвпадат.
Извикват се две комплексни числа. спрегнати, ако имат вещества. частите съвпадат, но имагинерните части се различават по знаци. , тогава неговият конюгат.
Сумата от спрегнатите числа е броят на веществата, а разликата е чисто въображаемо число. Операциите умножение и събиране на числа са естествено дефинирани върху множеството от комплексни числа. А именно, ако и са две комплексни числа, тогава сумата е: ; работа: .
Нека сега дефинираме операциите изваждане и деление.
Обърнете внимание, че произведението на две комплексни числа е броят на веществата.
(тъй като i=-1). Този номер се нарича. квадратен модулчисла. По този начин, ако едно число е , то неговият модул е реално число.
За разлика от реални числаЗа комплексни числа не се въвежда понятието „повече“ и „по-малко“.
Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата ос:
Тук е смисълът Аозначава числото –3, точка б– номер 2, и О- нула. За разлика от тях комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За целта избираме правоъгълни (декартови) координати с еднакви мащаби по двете оси. След това комплексното число а+ бище бъдат представени с точка P с абциса a и ордината b(ориз.). Тази координатна система се нарича сложна равнина.
Модулкомплексното число е дължината на вектора OP, представляващо комплексно число по координатата ( изчерпателен) самолет. Модул на комплексно число а+ биозначен | а+ би| или писмо rи е равно на:
Конюгираните комплексни числа имат еднакъв модул. __
Аргументкомплексно число е ъгълът между ос ОХи вектор OP, представляваща това комплексно число. Следователно, тен = b / а .
Тригонометрична форма на комплексно число. Наред със записването на комплексно число в алгебрична форма се използва и друга форма, т.нар тригонометричен.
Нека комплексното число z=a+bi е представено от вектора OA с координати (a,b). Нека означим дължината на вектора OA с бук r: r=|OA|, а ъгъла, който образува с положителната посока на оста Ox с ъгъла φ.
Използвайки дефинициите на функциите sinφ=b/r, cosφ=a/r, комплексното число z=a+bi може да бъде записано като z=r(cosφ+i*sinφ), където , а ъгълът φ се определя от условията
Тригонометрична формана комплексно число z е неговото представяне във формата z=r(cosφ+i*sinφ), където r и φ са реални числа и r≥0.
Наистина, числото r се нарича модулкомплексно число и се означава с |z|, а ъгълът φ е аргументът на комплексното число z. Аргументът φ на комплексно число z се означава с Arg z.
Операции с комплексни числа, представени в тригонометрична форма:
Това е известно Формулата на Моавър.
8 .Векторно пространство. Примери и най-прости свойства на векторни пространства. Линейна зависимости независимост на векторната система. Базис и ранг на крайната система от вектори
Векторно пространство -математическа концепция, която обобщава концепцията за множеството от всички (свободни) вектори на обикновеното триизмерно пространство.
За вектори в тримерно пространство са посочени правилата за събиране на вектори и умножаването им с реални числа. Приложимо за всякакви вектори x, y, zи всякакви числа α, β тези правила удовлетворяват следните условия:
1) х+при=при+х(комутативност на събирането);
2)(х+при)+z=х+(г+z) (асоциативност на добавянето);
3) наличен нулев вектор 0 (или нулев вектор), отговарящи на условието х+0 =х:за всеки вектор х;
4) за всеки вектор хима обратен вектор притакова, че х+при =0 ,
5) 1 x=Х,където 1 е полевата единица
6) α (βx)=(αβ )х(асоциативност на умножението), където произведението αβ е продукт на скалари
7) (α +β )х=αх+βх(разпределително свойство спрямо числения фактор);
8) α (х+при)=αх+αу(разпределително свойство спрямо векторния множител).
Векторно (или линейно) пространство е множество R,състоящ се от елементи от произволно естество (наречени вектори), в които са дефинирани операциите за добавяне на елементи и умножаване на елементи с реални числа, които отговарят на условия 1-8.
Примери за такива пространства са множеството от реални числа, множеството от вектори в равнината и в пространството, матрици и др.
Теорема „Най-простите свойства на векторните пространства“
1. Във векторното пространство има само един нулев вектор.
2. Във векторното пространство всеки вектор има уникална противоположност.
4. .
Документ
Нека 0 е нулевият вектор на векторното пространство V. Тогава . Нека е друг нулев вектор. Тогава . Да вземем в първия случай , а във втория - . Тогава и , откъдето следва, че и т.н.
Първо ще докажем, че произведението на нулев скалар и всеки вектор е равно на нулев вектор.
Позволявам . Тогава, прилагайки аксиомите на векторното пространство, получаваме:
По отношение на добавянето, векторното пространство е абелева група и законът за отмяна е валиден във всяка група. Прилагайки закона за редукция, последното равенство предполага 0*x=0
Сега доказваме твърдение 4). Нека е произволен вектор. Тогава
От това веднага следва, че векторът (-1)x е противоположен на вектора x.
Нека сега x=0. Тогава, прилагайки аксиомите на векторното пространство, получаваме:
Нека приемем, че. Тъй като , където K е поле, тогава . Нека умножим равенството отляво по :, което предполага или 1*x=0, или x=0
Линейна зависимост и независимост на система от вектори.Набор от вектори се нарича векторна система.
Система от вектори се нарича линейно зависима, ако има числа, които не всички са равни на нула едновременно, така че (1)
Система от k вектора се нарича линейно независима, ако равенството (1) е възможно само за , т.е. когато линейната комбинация от лявата страна на равенството (1) е тривиална.
Бележки:
1. Един вектор също образува система: при линейно зависима и линейно независима при.
2. Всяка част от система от вектори се нарича подсистема.
Свойства на линейно зависими и линейно независими вектори:
1. Ако система от вектори включва нулев вектор, тогава тя е линейно зависима.
2. Ако една система от вектори има два равни вектора, то тя е линейно зависима.
3. Ако една система от вектори има два пропорционални вектора, то тя е линейно зависима.
4. Система от k>1 вектори е линейно зависима тогава и само тогава, когато поне един от векторите е линейна комбинация от останалите.
5. Всички вектори, включени в линейно независима система, образуват линейно независима подсистема.
6. Система от вектори, съдържаща линейно зависима подсистема, е линейно зависима.
7. Ако една система от вектори е линейно независима и след добавяне на вектор към нея се окаже, че е линейно зависима, тогава векторът може да бъде разширен във вектори , и освен това по уникален начин, т.е. коефициентите на разширение могат да бъдат намерени еднозначно.
Нека докажем, например, последното свойство. Тъй като системата от вектори е линейно зависима, има числа, които не всички са равни на 0, което. В това равенство. Всъщност, ако , тогава. Това означава, че нетривиална линейна комбинация от вектори е равна на нулевия вектор, което противоречи на линейната независимост на системата. Следователно и тогава, т.е. вектор е линейна комбинация от вектори. Остава да се покаже уникалността на такова представяне. Да приемем обратното. Нека има две разширения и , и не всички коефициенти на разширенията са съответно равни един на друг (например ).
Тогава от равенството получаваме .
Следователно линейна комбинация от вектори е равна на нулевия вектор. Тъй като не всички негови коефициенти са равни на нула (поне), тази комбинация е нетривиална, което противоречи на условието за линейна независимост на векторите. Полученото противоречие потвърждава уникалността на разширението.
Ранг и основа на векторната система.Рангът на система от вектори е максималният брой линейно независими вектори на системата.
Основата на векторната системасе нарича максималната линейно независима подсистема на дадена система от вектори.
Теорема. Всеки системен вектор може да бъде представен като линейна комбинация от системни базисни вектори. (Всеки системен вектор може да бъде разширен в базисни вектори.) Коефициентите на разширение се определят уникално за даден вектор и дадена база.
Документ:
Нека системата има основа.
1 случай.Вектор - от основата. Следователно, той е равен на един от базисните вектори, да речем. Тогава = .
2-ри случай.Векторът не е от основата. Тогава r>k.
Нека разгледаме система от вектори. Тази система е линейно зависима, тъй като е базис, т.е. максимална линейно независима подсистема. Следователно има числа с 1, с 2, ..., с k, с, не всички равни на нула, така че
Очевидно е, че (ако c = 0, тогава основата на системата е линейно зависима).
Нека докажем, че разширението на вектора спрямо основата е единствено. Нека приемем обратното: има две разширения на вектора спрямо основата.
Като извадим тези равенства, получаваме
Като вземем предвид линейната независимост на базисните вектори, получаваме
Следователно, разширяването на вектора по отношение на основата е уникално.
Броят на векторите във всеки базис на системата е еднакъв и равен на ранга на системата от вектори.
Лекции по алгебра и геометрия. Семестър 1.
Лекция 2. Поле от комплексни числа.
Глава 2. Поле от комплексни числа.
клауза 1. Построяване на поле от комплексни числа.
Нека е декартовият квадрат на полето от реални числа, т.е. 
– набор от подредени двойки реални числа. Нека дефинираме две вътрешни двоични алгебрични операции върху това множество – събиране и умножение по следните правила: 
нека поставим по дефиниция
(1)
(2)
.
Очевидно сумата и произведението на две двойки от 
отново има няколко много 
, защото сумата, произведението и разликата на реалните числа са реални числа. По този начин, 
– алгебрична структура с две вътрешни двоични алгебрични операции.
Теорема. 
- поле.
Доказателство. Ние последователно проверяваме изпълнението на всичките девет аксиоми на областта.
1. Законът за асоциативността по отношение на добавянето:
.
Позволявам . След това, по определението за добавяне на двойки 
И .
От друга страна, 
И .
Тъй като R е поле, добавянето на реални числа се подчинява на закона за асоциативността и следователно . Това предполага равенството на двойките, а от това следва на свой ред равенството и т.н.
2. Наличие на нулев елемент:
.
Обозначете 
, където 0 – нулев елементполета от реални числа, т.е. номер нула. Позволявам 
– произволна двойка от 
. След това, по определението за добавяне на двойки и . следователно 
и двойка 
има нулев елемент по отношение на операцията събиране, чието съществуване трябваше да бъде доказано.
3. Наличие на противоположния елемент:
.
Позволявам 
– произволна двойка от 
.
Нека покажем, че противоположният елемент е двойката
. Наистина, по дефиниция
добавяйки двойки имаме:
И . Това предполага равенство и т.н.
4. Законът за комутативността по отношение на събирането:
.
Позволявам 
– две произволни двойки. Тогава, по дефиницията за добавяне на двойки, имаме:
И . Тъй като R е поле, законът за комутативно събиране и 
,
, което предполага равенството на двойките: и 
и т.н.
5. Закон за асоциативността по отношение на умножението:
.
Позволявам . След това, по определението за умножение на двойки
,
И
Резултатът беше равен брой двойки. следователно 
и т.н.
6. Наличие на един елемент:
.
Нека поставим по дефиниция 
и покажете това 
– единичен елемент спрямо умножението. Позволявам 
. Тогава, по определението за умножение на двойки , . По този начин, 
и т.н.
7. Наличие на обратен елемент:
.
Позволявам 
И 
, т.е. числата a и b не са равни на нула едновременно, което означава 
. Нека поставим по дефиниция 
и покажете, че този елемент удовлетворява равенството 
. Всъщност, по дефиницията за умножение на двойки 
,
Така проверихме равенството 
и т.н.
8. Законът за комутативността по отношение на умножението:
.
Позволявам 
– две произволни двойки. След това, по определението за умножение на двойки
Тъй като R е поле, умножението и събирането на реални числа се подчинява на закона за комутативността и
,
, което предполага равенството 
и т.н.
9. Законът за разпределимост на умножението спрямо събирането:
И 
.
Позволявам . След това, по определението за събиране и умножение на двойки
,
Тук използвахме закона за разпределимост на умножението спрямо събирането, на който се подчиняват реалните числа. по същия начин,
,
И
Оттук виждаме това 
.
За да докажем втория закон за дистрибутивността, ще използваме току-що доказания закон за дистрибутивност и закона за комутативността по отношение на умножението, които също вече доказахме:
Теоремата е доказана.
Определение. Поле 
се нарича поле от комплексни числа, а неговите елементи - подредени двойки реални числа - се наричат комплексни числа.
клауза 2. Алгебрична форма на записване на комплексни числа.
Означаваме с 
– подмножество на полето 
, състоящ се от онези двойки реални числа, чийто втори елемент е нула. Позволявам 
. След това, съгласно правилата за събиране и умножение на двойки 
,
. Това ни дава възможност да идентифицираме такива двойки с първия им елемент и самото множество 
с набор R.
Нека поставим по дефиниция 
. Следователно, по-специално, 
,
.
За двойка 
Нека въведем специална нотация. Нека поставим по дефиниция 
. Тогава 
(3)
.
Тази форма на запис на комплексно число се нарича алгебрична.
Самото поле от комплексни числа се обозначава с буквата C.
.
Нека допълнително да отбележим, че. Това означава, че комплексно число 
е коренът на квадратно уравнение 
. Лесно се вижда, че вторият корен на това уравнение е комплексно число 
. Наистина ли, .
Така можем да дадем следната дефиниция на комплексни числа.
Определение. Комплексното число е подредена двойка реални числа 
, което обикновено се записва във формата 
, където елемент i е коренът на квадратното уравнение 
, т.е. 
.
Определение. Позволявам 
е алгебричната форма на запис на комплексно число. Елементът i се нарича имагинерна единица. Реалното число a се нарича реална част от комплексното число z и се обозначава 
. Реалното число b се нарича имагинерна част на комплексното число z и се обозначава 
.
Определение. Комплексно число, чиято реална част е нула, се нарича чисто имагинерно.
От дефиницията алгебрична формазаписвайки комплексно число (вижте равенство (3)), веднага следва условието за равенство на две комплексни числа:
Две комплексни числа са равни тогава и само ако техните реална и имагинерна част са равни, т.е.
.
Тук & е знак за връзка, логическо свързващо „и“.
Коментирайте. От определенията следва, че 
, т.е. всяко реално число е комплексно число с нулева въображаема част. Всяко комплексно число може да се разглежда като резултат от събирането на две комплексни числа, едното от които е реално число (неговата въображаема част е нула), а другото е чисто въображаемо:
клауза 3. Операции с комплексни числа в алгебричен запис.
От определението за събиране на двойки (1) и алгебричната форма на запис на комплексно число (3) следват правилата за събиране и умножение на комплексни числа в алгебричната форма на запис. Позволявам 
,
– произволни комплексни числа. Тогава
Обърнете внимание, че същият резултат може да бъде получен с помощта на доказаната теорема. Наборът от комплексни числа образува поле. В областта са валидни законите на асоциативността, комутативността и дистрибутивността. Ние разглеждаме всяко комплексно число, както в забележката в края на Раздел 2. е резултат от събирането на две комплексни числа. Тогава
Тук сме използвали равенството 
.
По този начин няма нужда да помните правилата за събиране (4) и особено за умножение (5). Освен това е ясно, че 
– нулев елемент, – противоположен.
Дефинираме операцията изваждане като събиране с обратното:
Примери. 1)., 
,
,
2). Решете уравнението в полето на комплексните числа:
.
Решение. Намиране на дискриминанта 
. Според формулата на корените на квадратното уравнение намираме корените:
. Отговор: 
.
Коментирайте. Тук използвахме равенството 
, където 
.
Нека дефинираме операцията деление във всяко поле K като умножение по неговия обратен елемент: 
нека поставим по дефиниция 
И 
.
Лесно е да проверите това 
,
Наистина ли,
Не е необходимо обаче да запаметявате формула (6). По-добре е да използвате едно просто правило. Но за да направим това, нека първо представим една концепция.
Определение. Комплексно число 
се нарича комплексно спрегнато на комплексно число 
.
От определението веднага следва, че числото 
е комплексно спрегнатото число 
, т.е. такива числа, които се различават едно от друго само по знака на имагинерната част, са комплексно спрегнати едно на друго.
Пример: 
И 
, аз и – аз, 
и така нататък.
Правилото за деление на комплексни числа.
За да разделите едно комплексно число на друго, трябва да умножите числителя и знаменателя на дробта по комплексно спрегнатото число на знаменателя.
.
Примери. ,
,
,
.
Коментирайте. Ако 
, тогава се обозначава неговото комплексно спрегнато число 
.
клауза 4. Свойства на комплексно спрегнатите числа.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
9. За всеки многочлен 
с реални коефициенти на комплексната променлива z
.
Доказателство. 1) Нека 
– произволно комплексно число. Тогава по дефиниция на комплексно спрегнато число 
и т.н.
2) Нека . Тогава 
. От друга страна, 
И 
, от което следва, че 
.
3) Нека докажем с помощта на метода на математическата индукция, че равенството е вярно за произволен брой членове n.
а) База на индукцията.
При 
,
равенство 
просто доказано.
б) Индукционна хипотеза.
Нека приемем, че твърдението е вярно, ако броят на членовете е равен на 
:.
в) Индукционен преход.
Тъй като твърдението е вярно за два термина, тогава
Оттук следва доказваното равенство.
4) Нека . Тогава 
. От друга страна следва, че 
.
5) Доказва се подобно на точка 3) по метода на математическата индукция.
6) Нека 
и k е произволно естествено число. Тогава по дефиниция естествена степенчисла 
и т.н.
7) Нека a е реално число. Тогава 
и по дефиниция на комплексно спрегнато число 
и т.н.
8) Нека 
. Съгласно свойствата, вече доказани в параграфи 4) и 7) 
и т.н.
9) Нека z е комплексна променлива и 
е полином в комплексната променлива z с реални коефициенти:, където
са реални числа. След това, използвайки вече доказаните свойства, получаваме:
Теоремата е доказана.
Пример. Изчисли 
.
Решение. Обозначете 
. Тогава 
,
,
. Оттук, .
клауза 5. Понятието корен от естествена степен на комплексно число.
Определение. Позволявам 
– произволно естествено число. корен n-та степенот комплексно число z е комплексно число 
, така че 
.
По-късно ще бъде доказана следната теорема, която засега ще приемем без доказателство.
Теорема. (За съществуването и броя на n-ти корени на комплексно число.)
Има точно n n-ти корени от комплексно число.
За обозначаване на n-ти корени на комплексно число се използва обичайният радикален знак. Но има една съществена разлика. Ако a е положително реално число, тогава 
по дефиниция обозначава положителен корен от n-та степен, той се нарича аритметичен корен.
Ако n – нечетно число, тогава има уникален n-ти корен от всяко реално число a. При 
този единствен корен 
е по дефиниция аритметика, с 
този единствен корен 
не е аритметика, но може да бъде изразена чрез аритметичен корен на противоположното число: 
, Където 
е аритметика, т.к 
.
Аксиоми на областта. Поле от комплексни числа. Тригонометричен запис на комплексно число.
Комплексно число е число от вида , където и са реални числа, т.нар имагинерна единица. Номерът се нарича реална част ( ) комплексно число, числото се нарича въображаема част ( ) комплексно число.
Няколкоедин и същ комплексни числаобикновено се обозначава с „удебелена“ или удебелена буква
Комплексните числа са представени от сложна равнина:
Комплексната равнина се състои от две оси:
– реална ос (x)
– въображаема ос (y)
Множеството от реални числа е подмножество от множеството от комплексни числа
Действия с комплексни числа
За да съберете две комплексни числа, трябва да съберете техните реални и имагинерни части.
Изваждане на комплексни числа
Действието е подобно на събирането, единствената особеност е, че изместеното трябва да се постави в скоби, а след това скобите трябва да се отворят по стандартния начин, като се промени знакът
Умножение на комплексни числа
отворете скобите според правилото за умножение на полиноми
Деление на комплексни числа
Извършва се разделяне на числата чрез умножаване на знаменателя и числителя по спрегнатия израз на знаменателя.
Комплексните числа имат много свойства, присъщи на реалните числа, от които отбелязваме следното, т.нар основен.
1) (а + b) + ° С = а + (b + ° С) (допълнителна асоциативност);
2) а + b = b + а (комутативност на събирането);
3) а + 0 = 0 + а = а (съществуване на неутрален елемент чрез добавяне);
4) а + (−а) = (−а) + а = 0 (съществуването на противоположния елемент);
5) а(b + ° С) = аб + ак ();
6) (а + b)° С = ак + пр.н.е (разпределимост на умножението спрямо събирането);
7) (аб)° С = а(пр.н.е) (асоциативност на умножението);
8) аб = ба (комутативност на умножението);
9) а∙1 = 1∙а = а (съществуване на неутрален елемент при умножение);
10) за всеки а≠ 0 такова нещо съществува b, Какво аб = ба = 1 (наличието на обратен елемент);
11) 0 ≠ 1 (без име).
Съвкупност от обекти с произволен характер, върху които са дефинирани операциите събиране и умножение, притежаващи посочените 11 свойства (които в случая са аксиоми), се нарича поле.
Полето от комплексни числа може да се разбира като разширение на полето от реални числа, в което полиномът има корен
Всяко комплексно число (с изключение на нула) може да бъде записано в тригонометрична форма: 
, къде е модул на комплексно число, А - аргумент комплексно число.
Модул на комплексно числое разстоянието от началото до съответната точка в комплексната равнина. Просто казано, модул е дължинатарадиус вектор, който е означен в червено на чертежа.
Модулът на комплексно число обикновено се означава с: или
С помощта на Питагоровата теорема е лесно да се изведе формула за намиране на модула на комплексно число: . Тази формула е правилна за всякаквизначения "а" и "бъди".
Аргумент на комплексно числоНаречен ъгълмежду положителна полуосреалната ос и радиус вектора, начертани от началото до съответната точка. Аргументът не е дефиниран за единствено число: .
Аргументът на комплексно число стандартно се обозначава: или
Нека φ = arg z. Тогава, по дефиниция на аргумента, имаме:
Пръстен от матрици над полето от реални числа. Основни операции върху матрици. Свойства на операциите.
Матрицаразмер m´n, където m е броят на редовете, n е броят на колоните, се нарича таблица с числа, подредени в определен ред. Тези числа се наричат матрични елементи. Местоположението на всеки елемент се определя еднозначно от номера на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира. Елементите на матрицата се означават с ij, където i е номерът на реда, а j е номерът на колоната.
Определение. Ако броят на колоните на матрицата е равен на броя на редовете (m=n), тогава матрицата се нарича квадрат.
Определение. Преглед на матрицата:
= д,
Наречен матрица на идентичността.
Определение. Ако a mn = a nm, тогава се извиква матрицата симетричен.
Пример. 
- симетрична матрица
Определение.
Квадратна матрица на формата 
Наречен диагоналматрица.
Умножение на матрица по число
Умножение на матрица по число(обозначение: ) се състои в конструирането на матрица, чиито елементи се получават чрез умножаване на всеки елемент от матрицата по това число, т.е. всеки елемент от матрицата е равен на
Свойства на умножение на матрици с число:
· единадесет А = А;
· 2. (λβ)A = λ(βA)
· 3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Събиране на матрица
Събиране на матрицае операцията за намиране на матрица, всички елементи на която са равни на двойната сума на всички съответни елементи на матриците и, т.е. всеки елемент на матрицата е равен
Свойства на добавяне на матрици:
· 1.комутативност: A+B = B+A;
· 2.асоциативност: (A+B)+C =A+(B+C);
· 3.събиране с нулева матрица: A + Θ = A;
· 4.съществуване на противоположна матрица: A + (-A) = Θ;
Всички свойства на линейните операции повтарят аксиомите на линейното пространство и следователно теоремата е валидна:
Множеството от всички матрици с еднакъв размер мх нс елементи от полето П(полета от всички реални или комплексни числа) форми линейно пространствонад полето P (всяка такава матрица е вектор на това пространство). Въпреки това, на първо място, за да се избегне терминологично объркване, матриците в обикновен контекст се избягват без необходимост (което не присъства в най-често срещаните стандартни приложения) и ясно изясняване на употребата на термина, който трябва да се нарича вектори.
Матрично умножение
Матрично умножение(нотация: , по-рядко със знак за умножение) - е операция за изчисляване на матрица, всеки елемент от която е равен на сумата от произведенията на елементите в съответния ред на първия фактор и колоната на втория.
Броят на колоните в матрицата трябва да съответства на броя на редовете в матрицата, с други думи, матрицата трябва да бъде договоренис матрица. Ако матрицата има размерност, - , тогава размерността на техния продукт е .
Свойства на умножението на матрицата:
· 1.асоциативност (AB)C = A(BC);
2. некомутативност (общо): AB BA;
· 3. произведението е комутативно в случай на умножение с единичната матрица: AI = IA;
· 4.разпределение: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
· 5.асоциативност и комутативност по отношение на умножението с число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Транспониране на матрица.
Намиране на обратната матрица.
Квадратната матрица е обратима тогава и само ако не е сингулярна, т.е. нейният детерминант не е равен на нула. За неквадратни матрици и сингулярни матрици няма обратни матрици.
Теорема за ранга на матрицата
Рангът на матрица A е максималният ред на ненулев минор
Минорът, който определя ранга на матрицата, се нарича Базис минор. Редовете и колоните, които образуват BM, се наричат основни редове и колони.
Обозначения: r(A), R(A), Rang A.
Коментирайте. Очевидно рангът на една матрица не може да надвишава по-малкия от нейните размери.
За всяка матрица нейните редици на минор, ред и колона са еднакви.
Доказателство. Нека малкият ранг на матрицата А равно на r . Нека покажем, че рангът на реда също е равен на r . За да направим това, можем да приемем, че обратимият минор М поръчка r е в първия r редове на матрицата А . От това следва, че първото r матрични редове А линейно независими и набор от второстепенни редове М линейно независими. Позволявам а -- дължина на низа r , съставен от елементи аз редове на матрицата, които се намират в същите колони като второстепенните М . Тъй като линиите са незначителни М формират основата в k r , Че а -- линейна комбинация от второстепенни низове М . Извадете от аз -ти ред А същото линейна комбинацияпърви r матрични редове А . Ако в крайна сметка получите низ, съдържащ различен от нула елемент в номера на колоната T , след това помислете за второстепенни М 1 поръчка r+1 матрици А чрез добавяне на тития ред на матрицата към редовете на второстепенния А и към колоните на второстепенната колона th на матрицата А (казват, че е незначително М 1 получени граничещи с второстепенния М като се използва аз -ти ред и T та колона на матрицата А ). По наш избор T , този минор е обратим (достатъчно е да извадите от последния ред на този минор линейната комбинация от първите, избрани по-горе r редове и след това разширете неговата детерминанта по последния ред, за да се уверите, че тази детерминанта съвпада с детерминантата на второстепенния, до ненулев скаларен фактор М . А-приори r такава ситуация е невъзможна и следователно след трансформацията аз -ти ред А ще стане нула. С други думи, оригиналът аз -тият ред е линейна комбинация от първия r матрични редове А . Ние го показахме първите r редовете формират основата на набор от матрични редове А , тоест ранг на низ А равно на r . За да докаже, че рангът на колоната е r , достатъчно е да размените „редове“ и „колони“ в горното разсъждение. Теоремата е доказана.
Тази теорема показва, че няма смисъл да се прави разлика между трите ранга на една матрица и в това, което следва, под ранг на матрица ще разбираме ранга на реда, като помним, че той е равен както на колоната, така и на второстепенните рангове (нотация r(А) -- ранг на матрицата А ). Отбележете също, че от доказателството на теоремата за ранга следва, че рангът на матрица съвпада с размерността на всеки обратим минор на матрицата, така че всички минори, граничещи с нея (ако изобщо съществуват), са изродени.
Теорема на Кронекер-Капели
Линейна система алгебрични уравненияе последователна тогава и само ако рангът на нейната основна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица и системата има уникално решение, ако рангът равно на числотонеизвестни и безкраен набор от решения, ако рангът по-малко числонеизвестен.
Необходимост
Нека системата е кооперативна. Тогава има такива числа, че . Следователно колоната е линейна комбинация от колоните на матрицата. От факта, че рангът на една матрица няма да се промени, ако ред (колона) бъде изтрит или добавен от системата от нейни редове (колони), която е линейна комбинация от други редове (колони), следва, че .
Адекватност
Позволявам . Нека вземем някакъв основен минор в матрицата. Тъй като тогава той също ще бъде базисният минор на матрицата. Тогава, съгласно теоремата за базовия минор, последната колона на матрицата ще бъде линейна комбинация от базовите колони, т.е. колоните на матрицата. Следователно колоната от свободни членове на системата е линейна комбинация от колоните на матрицата.
Последствия
· Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
· Консистентна система ще бъде дефинирана (решението й е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.
Теоремата за базиса минор.
Теорема. В произволна матрица A всяка колона (ред) е линейна комбинация от колоните (редовете), в които се намира базисният минор.
По този начин рангът на произволна матрица A е равен на максималния брой линейно независими редове (колони) в матрицата.
Ако A е квадратна матрица и detA = 0, тогава поне една от колоните е линейна комбинация от останалите колони. Същото важи и за низовете. Това твърдение следва от свойството за линейна зависимост, когато детерминантата е равна на нула.
7. SLU решение. Метод на Крамер, матричен метод, метод на Гаус.
Методът на Крамер.
Този метод също е приложим само в случай на системи от линейни уравнения, където броят на променливите съвпада с броя на уравненията. Освен това е необходимо да се въведат ограничения върху коефициентите на системата. Необходимо е всички уравнения да са линейно независими, т.е. нито едно уравнение не би било линейна комбинация от останалите.
За целта е необходимо детерминантата на системната матрица да не е равна на 0.
Наистина, ако някое уравнение на системата е линейна комбинация от останалите, тогава ако добавите елементи от друг ред към елементите на един ред, умножени по някакво число, като използвате линейни трансформации, можете да получите нулев ред. Детерминантата в този случай ще бъде равна на нула.
Теорема. (Правилото на Крамър):
Теорема. Система от n уравнения с n неизвестни
ако детерминантата на системната матрица не е равна на нула, тя има уникално решение и това решение се намира по формулите:
x i = D i /D, където
D = det A и D i е детерминантата на матрицата, получена от системната матрица чрез замяна на колона i с колона от свободни членове b i.
D i = 
Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения.
Матричният метод е приложим за решаване на системи от уравнения, където броят на уравненията е равен на броя на неизвестните.
Методът е удобен за решаване на системи от нисък ред.
Методът се основава на прилагането на свойствата на матричното умножение.
Нека е дадена системата от уравнения:
Нека съставим матриците: A = 
; B = ; X = .
Системата от уравнения може да бъде записана: A×X = B.
Нека направим следната трансформация: A -1 ×A×X = A -1 ×B, защото A -1 × A = E, тогава E × X = A -1 × B
X = A -1 × B
За да се приложи този метод е необходимо да се намери обратна матрица, което може да се дължи на изчислителни трудности при решаване на системи от висок ред.
Определение. Система от m уравнения с n неизвестни в общ изгледсе записва по следния начин:
, (1)
където a ij са коефициенти, а b i са константи. Решенията на системата са n числа, които при заместване в системата превръщат всяко нейно уравнение в идентичност.
Определение. Ако една система има поне едно решение, тогава то се извиква става. Ако една система няма нито едно решение, тогава тя се извиква неставни.
Определение. Системата се нарича определени, ако има само едно решение и несигурен, ако са повече от един.
Определение. За система от линейни уравнения от вида (1), матрицата
А = 
се нарича матрица на системата, а матрицата
A * = 
наречена разширена матрица на системата
Определение. Ако b 1, b 2, …,b m = 0, тогава системата се извиква хомогенен. хомогенната система винаги е последователна.
Елементарни трансформации на системи.
Елементарните трансформации са:
1) Добавяне към двете страни на едното уравнение на съответните части от другото, умножени по едно и също число, което не е равно на нула.
2) Пермутация на уравнения по места.
3) Премахване от системата от уравнения, които са идентичности за всички x.
Метод на Гаус - класически методрешение на системата от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато се използва елементарни трансформациисистемата от уравнения се свежда до еквивалентна система от триъгълна форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне с последните (по брой) променливи
Нека оригиналната система изглежда така
Матрицата се нарича основната матрица на системата - колоната на безплатните членове.
Тогава, съгласно свойството на елементарни трансформации над редове, основната матрица на тази система може да бъде намалена до ешалонна форма (същите трансформации трябва да се приложат към колоната от свободни членове):
След това се извикват променливите основни променливи. Всички останали се наричат Безплатно.
Ако поне едно число е , където , тогава разглежданата система е непоследователна, т.е. тя няма едно решение.
Нека бъде за всеки.
Нека преместим свободните променливи отвъд знаците за равенство и разделим всяко от уравненията на системата на неговия коефициент най-вляво ( , където е номерът на реда):
Ако е безплатно системни променливи(2) присвоете всички възможни стойности и решете новата система по отношение на основните неизвестни отдолу нагоре (т.е. от долното уравнение към горното), тогава ще получим всички решения на този SLAE. Тъй като тази система е получена чрез елементарни трансформации върху първоначалната система (1), тогава според теоремата за еквивалентност при елементарни трансформации системите (1) и (2) са еквивалентни, т.е. техните набори от решения съвпадат.
Последствия:
1: Ако в съвместна система всички променливи са главни, тогава такава система е определена.
2: Ако броят на променливите в една система надвишава броя на уравненията, тогава такава система е или несигурна, или непоследователна.
Алгоритъм
Алгоритъмът за решаване на SLAE по метода на Гаус е разделен на два етапа.
На първия етап се извършва така нареченото директно движение, когато чрез елементарни трансформации по редовете системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е несъвместима. А именно, сред елементите на първата колона на матрицата изберете ненулев, преместете го на най-горната позиция, като пренаредите редовете, и извадете получения първи ред от останалите след пренареждането редове, като го умножите по стойност равно на съотношението на първия елемент на всеки от тези редове към първия елемент на първия ред, като по този начин нулира колоната под него. След като тези трансформации са завършени, първият ред и първата колона се задраскват мислено и продължават, докато остане матрица с нулев размер. Ако на която и да е итерация няма различен от нула елемент сред елементите на първата колона, тогава отидете на следващата колона и изпълнете подобна операция.
На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи по отношение на неосновни и да се изгради фундаментална система от решения или, ако всички променливи са основни , след това изразете числено единственото решение на системата от линейни уравнения. Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (а има само една) и се замества в предишните уравнения и така нататък, изкачвайки се по „стъпалата“. Всеки ред съответства на точно една базисна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.
Вектори. Основни понятия. Точково произведение, неговите свойства.
векторнаречен насочен сегмент (подредена двойка точки). Векторите също включват нулавектор, чието начало и край съвпадат.
Дължина (модул)вектор е разстоянието между началото и края на вектора.
Векторите се наричат колинеарен, ако са разположени на еднакви или успоредни прави. Нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор.
Векторите се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни.
Колинеарните вектори винаги са копланарни, но не всички копланарни вектори са колинеарни.
Векторите се наричат равен, ако са колинеарни, еднакво насочени и имат еднакви модули.
Всички вектори могат да бъдат доведени до общ произход, т.е. конструират вектори, които съответно са равни на данните и имат общ произход. От определението за равенство на векторите следва, че всеки вектор има безкрайно много равни вектори.
Линейни операциинад вектори се нарича събиране и умножение с число.
Сумата от векторите е векторът - 
работа - 
, и е колинеарен.
Векторът е съпосочен с вектора ( ), ако a > 0.
Векторът е противоположно насочен на вектора ( ¯ ), ако a< 0.
Свойства на векторите.
1) + = + - комутативност.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – асоциативност
6) (a+b) = a + b - дистрибутивност
7) a( + ) = a + a
1) Основав пространството се наричат всякакви 3 некомпланарни вектора, взети в определен ред.
2) Основана равнина се наричат всеки 2 неколинеарни вектора, взети в определен ред.
3)ОсноваВсеки ненулев вектор на линия се извиква.
Ако 
е основа в пространството и , тогава числата a, b и g се наричат компоненти или координативектори в тази основа.
В тази връзка можем да напишем следното Имоти:
равните вектори имат еднакви координати,
когато един вектор се умножи по число, неговите компоненти също се умножават по това число,
При добавяне на вектори се добавят съответните им компоненти.
; 
;
Линейна зависимост на векторите.
Определение.
Вектори 
Наречен линейно зависими, ако съществува такава линейна комбинация, като a i не е равно на нула в същото време, т.е. 
.
Ако само когато a i = 0 е изпълнено, тогава векторите се наричат линейно независими.
Имот 1. Ако сред векторите има нулев вектор, тогава тези вектори са линейно зависими.
Имот 2. Ако един или повече вектори се добавят към система от линейно зависими вектори, тогава получената система също ще бъде линейно зависима.
Имот 3. Система от вектори е линейно зависима тогава и само ако един от векторите е разложен на линейна комбинация от останалите вектори.
Имот 4. Всеки 2 колинеарни вектора са линейно зависими и, обратно, всеки 2 линейно зависими вектора са колинеарни.
Имот 5. Всеки 3 копланарни вектора са линейно зависими и, обратно, всеки 3 линейно зависими вектора са копланарни.
Имот 6. Всеки 4 вектора са линейно зависими.
Дължина на вектора в координатисе определя като разстоянието между началната и крайната точка на вектор. Ако две точки са дадени в пространството A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), тогава.
Ако точката M(x, y, z) разделя отсечката AB в отношение l/m, тогава координатите на тази точка се определят като:
В специален случай координатите средата на сегментанамират се като:
x = (x 1 + x 2)/2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Линейни операции върху вектори в координати.
Въртящи се координатни оси
Под обръщанеКоординатните оси означават координатна трансформация, при която двете оси се завъртат на един и същи ъгъл, но началото и мащабът остават непроменени.
Нека новата система O 1 x 1 y 1 се получи чрез завъртане на системата Oxy на ъгъл α.
Нека M е произволна точка от равнината, (x;y) нейните координати в старата система и (x";y") - в новата система.
Нека представим две полярни системикоординати с общ полюс O и полярни оси Ox и Οx 1 (мащабът е същият). Полярният радиус r е еднакъв и в двете системи, а полярните ъгли са съответно равни на α + j и φ, където φ е полярният ъгъл в новата полярна система.
Според формулите за преход от полярни към правоъгълни координати имаме
Но rcosj = x" и rsinφ = y". Ето защо
Получените формули се наричат формули за въртене на оста . Те ви позволяват да определите старите координати (x; y) на произволна точка M чрез новите координати (x"; y") на същата точка M и обратно.
Ако нова координатна система O 1 x 1 y 1 се получи от старата Oxy чрез паралелно прехвърляне на координатни оси и последващо завъртане на осите под ъгъл α (виж Фиг. 30), тогава чрез въвеждане на спомагателна система е лесно да се получи формулите
изразяване на старите координати x и y на произволна точка по отношение на нейните нови координати x" и y".
Елипса
Елипса е набор от точки на равнина, сбор от разстоянията от всяка
което е постоянно до две дадени точки. Тези точки се наричат фокуси и
са определени F1И F2, разстоянието между тях 2s,и сумата от разстоянията от всяка точка до
фокусира - 2а(по условие 2а>2в). Нека построим декартова координатна система, така че F1И F2бяха на оста x и началото съвпадаше със средата на сегмента F1F2. Нека изведем уравнението на елипсата. За да направите това, разгледайте произволна точка M(x, y)елипса. A-приори: | F1M |+| F2M |=2а. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(х+ ° С)2 + г 2 ; |F2M| = (х- ° С)2 + г 2
(х+ ° С)2 + г 2 + (х- ° С)2 + г 2 =2а(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(х- ° С)2 + г 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(х- ° С)2 + г 2
a2-cx=a(х- ° С)2 + г 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
защото 2а>2в(сумата от двете страни на триъгълник е по-голяма от третата страна), тогава а2-с2>0.
Позволявам a2-c2=b2
Точките с координати (a, 0), (−a, 0), (b, 0) и (−b, 0) се наричат върхове на елипсата, стойността a е голямата полуос на елипсата, а стойността b е неговата малка полуос. Точките F1(c, 0) и F2(−c, 0) се наричат фокуси
елипса, като фокусът F1 се нарича десен, а фокусът F2 се нарича ляв. Ако точка M принадлежи на елипса, то разстоянията |F1M| и |F2M| се наричат фокални радиуси и се означават съответно с r1 и r2. Величината e =c/a се нарича ексцентричност на елипсата. Прави с уравнения x =a/e
и x = −a/e се наричат директриси на елипсата (при e = 0 няма директриси на елипсата).
Общо уравнение на равнината
Нека помислим общо уравнениепърва степен с три променливи x, y и z:
Ако приемем, че поне един от коефициентите A, B или C не е равен на нула, например, пренаписваме уравнение (12.4) във формата
Зареждане...
