Spôsoby nastavenia výstupnej funkcie. Funkcia. Spôsoby nastavenia funkcie. Vlastnosti funkcie, ktoré treba brať do úvahy pri vykresľovaní. Grafický spôsob zostavenia funkcie

Prednáška: Pojem funkcie. Základné vlastnosti funkcie.

Prednáša: Goryacheva A.O.

O. : Pravidlo (zákon) korešpondencie medzi množinami X a Y, podľa ktorého pre každý prvok z množiny X možno nájsť len jeden prvok z množiny Y, sa nazývafunkciu .

Funkcia sa považuje za definovanú, ak:

Rozsah funkcie X je nastavený;

Je nastavená oblasť hodnôt funkcie Y;

Pravidlo (zákon) korešpondencie je známe, a to také, že pre každú hodnotu argumentu možno nájsť iba jednu hodnotu funkcie. Táto požiadavka jedinečnosti funkcie je povinná.

O. : Zavolá sa množina X všetkých platných hodnôt argumentu x, pre ktorý je definovaná funkcia y = f(x).rozsah funkcie .

Zavolá sa množina Y všetkých skutočných hodnôt y, ktoré funkcia nadobúdafunkčný rozsah .

Pozrime sa na niekoľko spôsobov, ako definovať funkcie.

Tabuľkovým spôsobom . Celkom bežné to spočíva v nastavení tabuľky hodnôt jednotlivých argumentov a im zodpovedajúcich funkčných hodnôt. Táto metóda definovania funkcie sa používa, keď je doménou funkcie diskrétna konečná množina.

Grafický spôsob . Graf funkcie y = f(x) je množina všetkých bodov v rovine, ktorých súradnice vyhovujú danej rovnici.

Grafický spôsob zadávania funkcie nie vždy umožňuje presne určiť číselné hodnoty argumentu. Oproti iným metódam má však veľkú výhodu – viditeľnosť. V inžinierstve a fyzike sa často používa grafický spôsob nastavenia funkcie a graf je na to jediný dostupný spôsob.

Analytická metóda . Zákon, ktorý vytvára vzťah medzi argumentom a funkciou, sa najčastejšie špecifikuje pomocou vzorcov. Tento spôsob definovania funkcie sa nazýva analytický.

Táto metóda umožňuje pre každú číselnú hodnotu argumentu x nájsť zodpovedajúcu číselnú hodnotu funkcie y presne alebo s určitou presnosťou.

verbálnym spôsobom . Táto metóda je taká funkčná závislosť vyjadrené slovami.

Príklad 1: funkcia E(x) je celá časť čísla x. Vo všeobecnosti E(x) = [x] označuje najväčšie celé číslo, ktoré nepresahuje x. Inými slovami, ak x = r + q, kde r je celé číslo (môže byť záporné) a q patrí do intervalu = r. Funkcia E(x) = [x] je konštantná na intervale = r.

Príklad 2: funkcia y = (x) - zlomková časť čísla. Presnejšie, y =(x) = x - [x], kde [x] je celá časť čísla x. Táto funkcia je definovaná pre všetky x. Ak x- ľubovoľné číslo, potom to predstavuje x = r + q (r = [x]), kde r je celé číslo a q leží v intervale ; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Nájdite všetky hodnoty x, pre ktoré funkcia používa záporné hodnoty(obr. e):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) g)

6. Nájdite všetky hodnoty x, pre ktoré funkcia nadobúda nezáporné hodnoty (obr. e):

1) (obr. i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

Ahoj)

9. Pre aké hodnoty argumentu y<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

j) l)

10. Pri akých hodnotách x je hodnota funkcie kladná (obr. l)?

Pojem funkcie Spôsoby definovania funkcie Príklady funkcií Analytická definícia funkcie Grafický spôsob definovania funkcie Limita funkcie v bode Tabuľkový spôsob definovania funkcie Limitné vety Jedinečnosť limity Ohraničenosť funkcie, ktorá má limita Prechod do limity pri nerovnosti Limita funkcie v nekonečne Infinitezimálne funkcie Vlastnosti nekonečne malých funkcií

Pojem funkcie je základný a originálny, rovnako ako pojem množina. Nech X je nejaká množina reálnych čísel x. Ak je podľa nejakého zákona každému x ∈ X priradené určité reálne číslo y, potom povedia, že na množine X je daná funkcia a zapíšu sa. Takto zavedená funkcia sa nazýva numerická. V tomto prípade sa množina X nazýva definičný obor funkcie a nezávislá premenná x sa nazýva argument. Na označenie funkcie sa niekedy používa iba symbol, ktorý označuje zákon korešpondencie, teda namiesto f (x) n a šaša len /. Funkcia je teda daná, ak 1) je špecifikovaná oblasť definície 2) pravidlo /, ktoré každej hodnote priraďuje a: € X určité číslo y \u003d / (x) - hodnota funkcie zodpovedajúca tejto hodnote argumentu x. Funkcie / a g sa nazývajú rovnaké, ak sa ich definičné oblasti zhodujú a rovnosť f(x) = g(x) platí pre akúkoľvek hodnotu argumentu x z ich spoločnej oblasti. Funkcie y teda nie sú rovnaké; rovnajú sa len na intervale [O, I]. Príklady funkcií. 1. Postupnosť (o„) je funkciou celočíselného argumentu, definovaného na množine prirodzených čísel tak, že f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funkcia y = n? (čítaj „en-factorial“). Dané na množine prirodzených čísel: každé prirodzené číslo n je spojené so súčinom všetkých prirodzených čísel od 1 do n vrátane: navyše 0! = 1. Označenie znak pochádza z latinského slova signum – znak. Táto funkcia je definovaná na celej číselnej osi, množinu jej hodnôt tvoria tri čísla -1.0, I (obr. 1). y = |x), kde (x) označuje celú časť reálneho čísla x, t.j. [x| - najväčšie celé číslo nepresahujúce Číta sa: - hra sa rovná antie x “(fr. entier). Táto funkcia je nastavená na celej číselnej osi a množina všetkých jej hodnôt pozostáva z celých čísel (obr. 2). Metódy špecifikovania funkcie Analytické špecifikovanie funkcie Funkcia y = f(x) sa považuje za analyticky špecifikovanú, ak je definovaná pomocou vzorca, ktorý určuje, aké operácie sa musia vykonať s každou hodnotou x, aby sa získala zodpovedajúca hodnota r. Napríklad funkcia je daná analyticky. V tomto prípade sa doménou funkcie (ak nie je vopred špecifikovaná) rozumie množina všetkých reálnych hodnôt argumentu x, pre ktoré má analytický výraz, ktorý funkciu definuje, iba reálne a konečné hodnoty. V tomto zmysle sa doména funkcie nazýva aj doména jej existencie. Pre funkciu je definičným oborom segment, pre funkciu y - sin x je definičným oborom celá číselná os. Všimnite si, že nie každý vzorec definuje funkciu. Vzorec napríklad nedefinuje žiadnu funkciu, pretože neexistuje jediná reálna hodnota x, pre ktorú by oba vyššie napísané korene mali reálne hodnoty. Analytické priradenie funkcie môže vyzerať dosť komplikovane. Najmä funkcia môže byť definovaná rôznymi vzorcami na rôznych častiach svojej definičnej oblasti. Funkciu je možné definovať napríklad takto: 1.2. Grafický spôsob určenia funkcie Funkcia y = f(x) sa volá špecifikovaná graficky, ak je zadaný jej rozvrh, t.j. množina bodov (xy/(x)) na rovine xOy, ktorých úsečky patria do oblasti definície funkcie a ordináty sa rovnajú príslušným hodnotám funkcie (obr. 4). Nie pre každú funkciu je možné znázorniť jej graf na obrázku. Napríklad Dirichletova funkcia, ak je x racionálne, ak x je iracionálne, ZX \o, takéto zobrazenie neumožňuje. Funkcia R(x) je uvedená na celej číselnej osi a množinu jej hodnôt tvoria dve čísla 0 a 1. 1.3. Tabuľkový spôsob určenia funkcie Funkcia sa označuje ako tabuľková, ak je poskytnutá tabuľka, ktorá obsahuje číselné hodnoty funkcie pre niektoré hodnoty argumentu. Keď je funkcia definovaná v tabuľke, jej doména definície pozostáva iba z hodnôt x\t x2i..., xn uvedených v tabuľke. §2. Limita funkcie v bode Koncept limity funkcie je ústredným prvkom matematickej analýzy. Nech je funkcia f(x) definovaná v nejakom okolí Q bodu xq, snáď okrem samotného bodu rozšírenia (Cauchyho). Číslo A sa nazýva limita funkcie f(x) v bode x0, ak pre ľubovoľné číslo e > 0, ktoré môže byť ľubovoľne malé, existuje číslo<5 >0 tak, že pre všetky iGH.i^ x0 spĺňajúce podmienku je nerovnosť pravdivá Definícia funkcie Spôsoby definovania funkcie Príklady funkcií Analytická definícia funkcie Grafický spôsob definovania funkcie Limita funkcie v bode Tabuľkový spôsob definície funkcie Limitné vety Jedinečnosť limity Ohraničenosť funkcie, ktorá má limitu Prechod k limite v nerovnosti Limita funkcie v nekonečne Infinitezimálne funkcie Vlastnosti nekonečne malých funkcií Zápis: Pomocou logických symbolov je táto definícia vyjadrená. takto. Príklady. 1. Pomocou definície limity funkcie v bode ukážte, že Funkcia je definovaná všade, vrátane bodu zo = 1: /(1) = 5. Vezmite ľubovoľné. Aby nerovnosť |(2x + 3) - 5| prebehlo, je potrebné splniť nasledujúce nerovnosti Preto ak vezmeme budeme mať. To znamená, že číslo 5 je limita funkcie: v bode 2. Pomocou definície limity funkcie ukážte, že funkcia nie je definovaná v bode xo = 2. Uvažujme /(x) v nejakom okolí bod-Xq = 2, napríklad na intervale ( 1, 5), ktorý neobsahuje bod x = 0, v ktorom funkcia /(x) tiež nie je definovaná. Vezmite ľubovoľné číslo c > 0 a transformujte výraz |/(x) - 2| pre x f 2 takto Pre x b (1, 5) dostaneme nerovnosť Z toho je zrejmé, že ak vezmeme 6 \u003d c, potom pre všetky x € (1,5) za podmienky, že nerovnosť bude pravdivá To znamená, že číslo A - 2 je limita danej funkcie v bode Uveďme geometrické vysvetlenie pojmu limita funkcie v bode s odvolaním sa na jej graf (obr. 5). Pre x sú hodnoty funkcie /(x) určené súradnicami bodov krivky M \ M, pre x > ho - súradnicami bodov krivky MM2. Hodnota /(x0) je určená ordinátou bodu N. Graf tejto funkcie získame, ak zoberieme "dobrú" krivku M\MMg a nahradíme bod M(x0, A) na krivke bodom jV. Ukážme, že funkcia f(x) má limitu v bode xo, rovná sa číslu A (ordináta bodu M). Vezmite ľubovoľné (ľubovoľne malé) číslo e > 0. Označte na osi Oy body so súradnicami A, A - e, A + e. Označte P a Q priesečníky grafu funkcie y \u003d / (x ) s priamkami y \u003d A - enu = A + e. Úsečky týchto bodov nech sú x0 - hx0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Z obrázku je vidieť, že pre ľubovoľné x Φ x0 z intervalu (x0 - h\, x0 + hi) je hodnota funkcie f(x) medzi. pre všetky x ⩽ x0 spĺňajúce podmienku je nerovnosť pravdivá Nastavíme Potom interval bude obsiahnutý v intervale a teda nerovnosť alebo, ktorá bude splnená aj pre všetky x spĺňajúce podmienku To dokazuje, že teda funkcia y = /(x) má limitu A v bode x0, ak bez ohľadu na to, aký úzky je e-prúžok medzi čiarami y = A - eny = A + e, existuje takých "5 > 0, že pre všetky x od punktované okolie bodu x0 bodu grafu funkcie y = / (x) je vo vnútri vyznačeného e-pásma. Poznámka 1. Množstvo b závisí od e: 6 = 6(e). Poznámka 2. Pri definícii limity funkcie v bode Xq je samotný bod x0 vylúčený z úvahy. Hodnota funkcie v bode Ho ns teda neovplyvňuje limitu funkcie v tomto bode. Navyše funkcia nemusí byť ani definovaná v bode Xq. Preto dve funkcie, ktoré sú rovnaké v susedstve bodu Xq, možno s výnimkou samotného bodu xo (môžu mať rôzne významy , jeden z nich alebo oba spolu nemusia byť definované), majú rovnaký limit pre x - Xq, alebo oba nemajú limit. Z toho najmä vyplýva, že na nájdenie limity zlomku v bode xo je legitímne zredukovať tento zlomok o rovnaké výrazy, ktoré zanikajú v x = Xq. Príklad 1. Nájdite Funkcia /(x) = j pre všetky x Ф 0 sa rovná jednej av bode x = 0 nie je definovaná. Nahradením f(x) funkciou q(x) = 1, ktorá sa jej rovná v x 0, dostaneme pojem funkcie Spôsoby definovania funkcie Príklady funkcií Analytická definícia funkcie Grafický spôsob definovania funkcie Limita a funkcia v bode Tabuľkový spôsob definovania funkcie Limitné vety Jedinečnosť limity Ohraničenosť funkcie, ktorá má limitu prechod do limity v nerovnici Limita funkcie v nekonečne Nekonečne malé funkcie Vlastnosti nekonečne malých funkcií x = 0 limita rovná na nulu: lim q(x) = 0 (ukážte to!). Preto lim /(x) = 0. Problém. Formulujte pomocou nerovníc (v jazyku e -6), čo znamená Nech je funkcia /(n) definovaná v nejakom okolí Π bodu x0, snáď okrem samotného bodu x0. Definícia (Heine). Číslo A sa nazýva limita funkcie /(x) v bode x0, ak pre ľubovoľnú postupnosť (xn) hodnôt argumentu x 6 P, zn / x0) konvergujúcu k bodu x0, zodpovedajúca postupnosť hodnôt funkcie (/(xn)) konverguje k číslu A. Vyššie uvedenú definíciu je vhodné použiť, keď je potrebné zistiť, že funkcia /(x) nemá limitu v bode x0. Na to stačí nájsť postupnosť (/(xn)), ktorá nemá limitu, alebo označiť dve postupnosti (/(xn)) a (/(x "n)), ktoré majú rozdielne limity. ukážte napríklad, že funkcia iiya / (x) = sin j (obr. 7), definovaná VŠADE, okrem BODU X = O, obr. 7 nemá limitu v bode x = 0. Uvažujme dve postupnosti (, konvergujúce k bodu x = 0. Hodnoty zodpovedajúcich postupností funkcie f(x) konvergujú do rôznych limitov: postupnosť (sinnTr) konverguje k nule a postupnosť (sin(5 + -) k jednej To znamená, že funkcia f(x) = sin j v bode x = 0 nemá limitu Poznámka. Obe definície limity funkcie" v bode (Cauchyho definícia a Heineho definícia) sú ekvivalentné. §3. Limita vety Veta 1 (jedinečnosť limity).Ak má funkcia f(x) limitu v xo, potom je táto limita jednoznačná A Nech lim f(x) = A. Ukážme, že žiadne číslo B φ A nemôže byť limita x-x0 funkcie f(x) v bode x0. Skutočnosť, že lim /(x) φ pomocou logických symbolov XO je formulovaná nasledovne: Pomocou nerovnice, ktorú získame, vezmite e = > 0. Keďže lim /(x) = A, pre zvolené e > 0 existuje 6 > 0 tak, že Zo vzťahu (1) pre uvedené hodnoty x máme Takže sa zistilo, že bez ohľadu na to, aké malé je x Φ xQ, takých, že a zároveň ^ e Preto definícia. O funkcii /(x) sa hovorí, že je ohraničená v okolí bodu x0, ak existujú čísla M > 0 a 6 > 0 také, že Veta 2 (obmedzenosť funkcie, ktorá má limitu). Ak je funkcia f(x) definovaná v okolí bodu x0 a má v bode x0 konečnú limitu, potom je ohraničená v nejakom okolí tohto bodu. m Nech Potom pre ľubovoľný príklad, pre e = 1, je takých 6 > 0, že pre všetky x φ x0 spĺňajúce podmienku bude nerovnosť pravdivá Poznamenajme, že vždy dostaneme Let. Potom v každom bode x intervalu máme To podľa definície znamená, že funkcia f(x) je ohraničená v okolí. Napríklad funkcia /(x) = sin je obmedzená v okolí bodu, ale nemá limitu v bode x = 0. Sformulujeme ďalšie dve vety, geometrický zmyselčo je dostatočne jasné. Veta 3 (prechod na limitu v nerovnosti). Ak /(x) ⩽ ip(x) pre všetky x v niektorom okolí bodu x0, možno s výnimkou samotného bodu x0 a každá z funkcií /(x) a ip(x) v bode x0 má limitu Potom si všimnite, že prísna nerovnosť funkcií nemusí nutne znamenať prísnu nerovnosť ich limitov. Ak tieto limity existujú, potom môžeme len tvrdiť, že teda napríklad nerovnosť platí pre funkcie, kým Veta 4 (limita medziľahlá funkcia ). Ak pre všetky x v niektorom okolí bodu Xq, snáď okrem samotného bodu x0 (obr. 9), a funkcií f(x) a ip(x) v bode xo majú rovnakú limitu A, potom funkcia f (x) v bode x0 má limitu rovnú rovnakej hodnote A. § 4. Limita funkcie v nekonečne Nech je funkcia /(x) definovaná buď na celej reálnej osi alebo aspoň pre všetky x spĺňajú podmienku jx| > K pre nejaké K > 0. Definícia. Číslo A sa nazýva limita funkcie f(x), keďže x smeruje k nekonečnu a píšu, či pre ľubovoľné e > 0 existuje číslo jV > 0 také, že pre všetky x spĺňa podmienku |x| > X, nerovnosť je pravdivá Príslušným nahradením podmienky v tejto definícii získame definície Z týchto definícií vyplýva, že vtedy a len vtedy, ak súčasne Táto skutočnosť geometricky znamená nasledovné: bez ohľadu na to, aký úzky je e-prúžok medzi čiarami y \ u003d A- euy \u003d A + e, existuje taká priamka x = N > 0, že napravo nesie graf funkcie y = /(x) je celý obsiahnutý v naznačenom e-pásiku (obr. 10 ). V tomto prípade hovoria, že pre x + oo sa graf funkcie y \u003d / (x) asymptoticky približuje k priamke y \u003d A. Príklad, funkcia / (x) \u003d jtjj- je definovaná na celá reálna os a je to zlomok, ktorého čitateľ je konštantný a menovateľ rastie na neurčito ako |x| +oo. Je prirodzené očakávať, že lim /(x)=0. Ukážme to. М Zoberme si ľubovoľné e > 0, pod podmienkou, že vzťah môže vzniknúť, musí byť splnená nerovnosť c alebo, čo je rovnaké ako odkiaľ. ak vezmeme budeme mať. To znamená, že číslo je limitou tejto funkcie na Všimnite si, že radikálny výraz je len pre t ^ 1. V prípade, že nerovnosť c je splnená automaticky pre všetky Graf párnej funkcie y = - sa asymptoticky blíži k priamke Formulujte pomocou nerovností, čo znamená §5. Nekonečne malé funkcie Nech je funkcia a(x) definovaná v nejakom okolí bodu x0, možno s výnimkou samotného bodu x0. Definícia. Funkcia a(x) sa nazýva infinitezimálna funkcia (skrátene b.m.f.), pretože x má tendenciu k x0, ak v rámci jedinečnosti limitnej ohraničenosti funkcie, ktorá má limitný prechod k limite v nerovnosti Limita funkcie v nekonečne Infinitezimálne funkcie Vlastnosti infinitezimálnych funkcií Napríklad funkcia a(x) = x - 1 je b. m.f. pre x 1, pretože lim(x-l) = 0. Graf funkcie y \u003d x-1 1-1 je znázornený na obr. II. Vo všeobecnosti je funkcia a(x)=x-x0 najjednoduchším príkladom b. m.f. pri x-»ho. Berúc do úvahy definíciu limity funkcie v bode, definícia b. m.f. možno formulovať takto. Definícia. O funkcii a(x) sa hovorí, že je nekonečne malá pre x - * xo, ak pre ľubovoľné t > 0 existuje taká "5 > 0, že pre všetky x spĺňajúce podmienku je nerovnosť pravdivá funkcia v Definícii. Funkcia a(x) sa nazýva nekonečne malá pre x -» oo, ak sa potom funkcia a(x) nazýva nekonečne malá pre alebo pre Napríklad funkcia je nekonečne malá pre x -» oo, keďže lim j = 0. Funkcia a (x ) = e~x je nekonečne malá funkcia ako x - * + oo, keďže v nasledujúcom budeme spravidla uvažovať o všetkých pojmoch a teorémoch súvisiacich s limitami funkcií iba v vzťah k prípadu limity funkcie v bode, ponechávajúc čitateľovi, aby si sám sformuloval zodpovedajúce pojmy a dokázal podobné teorémy dneška prípady, keď Vlastnosti infinitezimálnych funkcií Veta 5. Ak a(x) a P(x) - b. m.f. pre x - * xo, potom ich súčet a(x) + P(x) je tiež b.m. f. pri x -» ho. 4 Vezmite ľubovoľné e > 0. Keďže a(x) je b.m.f. pre x -* xo je potom "51 > 0 takých, že pre všetky x Φ xo spĺňajúce podmienku platí nerovnosť. Podmienkou P(x) aj b.m.f. pre x ho teda existuje taká, že pre všetky χ φ ho spĺňajúce podmienku je nerovnosť pravdivá Stanovme 6 = min(«5j, 62). Potom pre všetky x Ф ho spĺňajúce podmienku budú nerovnosti (1) a (2) súčasne pravdivé. Preto To znamená, že súčet a(x) +/3(x) je b.m.f. pre xxq. Komentujte. Veta zostáva v platnosti pre súčet ľubovoľného konečného počtu funkcií, b. m. pri x zo. Veta 6 (súčin b.m.f. obmedzenou funkciou). Ak je funkcia a(x) b. m.f. pre x -* x0 a funkcia f(x) je ohraničená v okolí bodu Xo, potom súčin a(x)/(x) je 6. m.f. pre x -» x0. Predpokladom je, že funkcia f(x) je ohraničená v okolí bodu x0. To znamená, že existujú čísla 0 a M > 0 také, že Vezmime ľubovoľné e > 0. Keďže podľa podmienky je 62 > 0 takých, že pre všetky x φ x0 spĺňajúce podmienku |x - xol bude nerovnosť byť pravdivé Nech i všetkých x f x0 spĺňajúcich podmienku |x - x0|, budú nerovnosti súčasne pravdivé. Preto To znamená, že súčin a(x)/(x) je b. m.f. s Príkladom. Funkciu y \u003d xsin - (obr. 12) možno považovať za súčin funkcií a (ar) \u003d x a f (x) \u003d sin j. Funkcia a(a) je b. m.f. pre x - 0 a funkciu f pomocou troch vzorcov.

Ak je vzťah medzi x a y daný vzorcom, ktorý je vyriešený vzhľadom na y, t.j. má tvar y \u003d f (x) , potom hovoria, že funkcia x je daná explicitne, napríklad. Ak hodnoty x a y súvisia nejakou rovnicou v tvare F(x, y) = 0, t.j. vzorec nie je povolený vzhľadom na y, potom sa hovorí, že funkcia je implicitne definovaná. Napríklad,. Všimnite si, že nie každá implicitná funkcia môže byť reprezentovaná ako y \u003d f (x), naopak, každá explicitná funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako implicitná:
. Iný druh analytickej špecifikácie funkcie je parametrický, keď argument x a funkcia y sú funkciami tretej veličiny - parametra t:
, Kde
, T je nejaký interval. Táto metóda je široko používaná v mechanike, v geometrii.

Analytický spôsob je najbežnejším spôsobom definovania funkcie. Kompaktnosť, schopnosť aplikovať aparát matematickej analýzy na danú funkciu, schopnosť vypočítať hodnoty funkcie pre ľubovoľné hodnoty argumentu sú jeho hlavné výhody.

4. Verbálny spôsob. Táto metóda spočíva v tom, že funkčná závislosť je vyjadrená slovami. Napríklad funkcia E (x) je celá časť čísla x, Dirichletova funkcia, Riemannova funkcia, n!, r (n) je počet deliteľov prirodzeného čísla n.

5. Semigrafická metóda. Tu sú hodnoty funkcií reprezentované ako segmenty a hodnoty argumentov sú reprezentované ako čísla na koncoch segmentov označujúcich hodnoty funkcie. Napríklad v teplomere je stupnica s rovnakými dielikmi, ktoré majú čísla. Tieto čísla sú hodnotami argumentu (teplota). Stoja na mieste, ktoré určuje grafické predĺženie ortuťového stĺpca (funkčné hodnoty) v dôsledku jeho objemovej rozťažnosti v dôsledku zmien teploty.

Jednou z klasických definícií pojmu „funkcia“ sú definície založené na korešpondenciách. Ponúkame niekoľko takýchto definícií.

Definícia 1

Nazýva sa vzťah, v ktorom každá hodnota nezávislej premennej zodpovedá jedinej hodnote závislej premennej funkciu.

Definícia 2

Nech sú dané dve neprázdne množiny $X$ a $Y$. Volá sa zhoda $f$, ktorá mapuje na každý $x\in X$ jeden a iba jeden $y\in Y$ funkciu($f:X → Y$).

Definícia 3

Nech $M$ a $N$ sú dve ľubovoľné číselné množiny. Hovorí sa, že funkcia $f$ je definovaná na $M$, pričom nadobúda hodnoty od $N$, ak je každý prvok $x\in X$ spojený s jedným a iba jedným prvkom z $N$.

Nasledujúca definícia je uvedená prostredníctvom pojmu premenlivý. Premenná je veličina, ktorá v tejto štúdii nadobúda rôzne číselné hodnoty.

Definícia 4

Nech $M$ je množina hodnôt premennej $x$. Potom, ak každá hodnota $x\in M$ zodpovedá jednej určitej hodnote inej premennej $y$ je funkciou hodnoty $x$ definovanej na množine $M$.

Definícia 5

Nech $X$ a $Y$ sú nejaké množiny čísel. Funkcia je množina $f$ usporiadaných párov čísel $(x,\ y)$ tak, že $x\in X$, $y\in Y$ a každé $x$ patrí do jedného a len jedného páru tohto a každý $y$ je v aspoň jednom páre .

Definícia 6

Ľubovoľná množina $f=$\left(x,\ y\right)$$ usporiadaných párov $\left(x,\ y\right)$ taká, že pre všetky páry $\left(x",\ y" \vpravo)\v f$ a $\vľavo(x"",\ y""\vpravo)\v f$ z podmienky $y"≠ y""$ vyplýva, že $x"≠x""$ je nazývaná funkcia alebo displej.

Definícia 7

Funkcia $f:X → Y$ je množina $f$ usporiadaných párov $\vľavo(x,\y\vpravo)\v X\krát Y$ tak, že pre ľubovoľný prvok $x\in X$ existuje jedinečný prvok $y\in Y$ taký, že $\left(x,\ y\right)\in f$, to znamená, že funkcia je n-ticou objektov $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

V týchto definíciách

$x$ je nezávislá premenná.

$y$ je závislá premenná.

Všetky možné hodnoty premennej $x$ sa nazývajú doménou funkcie a všetky možné hodnoty premennej $y$ sa nazývajú doménou funkcie.

Analytický spôsob definovania funkcie

Pre túto metódu potrebujeme koncept analytického výrazu.

Definícia 8

Analytický výraz je výsledkom všetkých možných matematických operácií s ľubovoľnými číslami a premennými.

Analytickým spôsobom nastavenia funkcie je jej nastavenie pomocou analytického výrazu.

Príklad 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Výhody:

Pomocou vzorcov môžeme určiť hodnotu funkcie pre akúkoľvek danú hodnotu premennej $x$;
Takto definované funkcie je možné študovať pomocou aparátu matematickej analýzy.

mínusy:

Malá viditeľnosť.
Niekedy musíte vykonať veľmi ťažkopádne výpočty.

Tabuľkový spôsob definovania funkcie

Tento spôsob nastavenia spočíva v tom, že pre niekoľko hodnôt nezávislej premennej sa vypíšu hodnoty závislej premennej. Toto všetko sa zapíše do tabuľky.

Príklad 2

Obrázok 1.

Plus: Pre akúkoľvek hodnotu nezávislej premennej $x$, ktorá je zapísaná v tabuľke, sa okamžite rozpozná zodpovedajúca hodnota funkcie $y$.

mínusy:

Najčastejšie nie dokončiť úlohu funkcie;
Malá viditeľnosť.

(Definícia: Nech X a Y sú číselné množiny. Ak je podľa nejakého pravidla f každý prvok x X spojený s jedinečným prvkom y Y, potom hovoríme, že funkcia y=f(x) je definovaná na množine X x=D(f) – rozsah hodnôt; y= ; x=(- )=R; E(f)= =)