Základné pojmy. Kvadratické rovnice. Základné pojmy Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto

Lekcia predstaví koncept kvadratickej rovnice, zváži jej dva typy: úplné a neúplné. Osobitná pozornosť v lekcii sa bude venovať odrodám neúplných kvadratické rovnice, veľa príkladov bude prebratých v druhej polovici hodiny.

Predmet:Kvadratické rovnice.

lekcia:Kvadratické rovnice. Základné pojmy

Definícia.kvadratická rovnica sa nazýva rovnica tvaru

Pevné reálne čísla, ktoré definujú kvadratickú rovnicu. Tieto čísla majú špecifické názvy:

Senior koeficient (násobiteľ pri );

Druhý koeficient (násobiteľ pri );

Voľný člen (číslo bez multiplikačnej premennej).

Komentujte. Treba chápať, že naznačená postupnosť zápisu členov do kvadratickej rovnice je štandardná, nie však povinná a v prípade ich preskupenia je potrebné vedieť určiť číselné koeficienty nie podľa ich poradového usporiadania, ale podľa patriace k premenným.

Definícia. Výraz je tzv štvorcový trojčlen.

Príklad 1 Daná kvadratická rovnica . Jeho šance sú:

senior koeficient;

Druhý koeficient (všimnite si, že koeficient je označený znakom na začiatku);

Voľný člen.

Definícia. Ak , potom sa volá kvadratická rovnica neznížené, a ak , potom sa volá kvadratická rovnica daný.

Príklad 2 Daj kvadratickú rovnicu . Vydelme obe časti 2: .

Komentujte. Ako vidno z predchádzajúceho príkladu, delením vodiacim koeficientom sme rovnicu nezmenili, ale zmenili jej tvar (zmenšili), podobne sa dala vynásobiť aj nejakým nenulovým číslom. Kvadratická rovnica teda nie je daná jedinou trojicou čísel, ale hovorí sa, že je špecifikovaný až do nenulovej sady koeficientov.

Definícia.Redukovaná kvadratická rovnica sa získa z neredukovaného delením vedúcim faktorom a má tvar:

.

Akceptované sú nasledujúce označenia: . Potom redukovaná kvadratická rovnica vyzerá ako:

.

Komentujte. Vo vyššie uvedenom tvare kvadratickej rovnice je možné vidieť, že kvadratickú rovnicu možno špecifikovať iba dvoma číslami: .

Príklad 2 (pokračovanie). Označme koeficienty, ktoré definujú redukovanú kvadratickú rovnicu . , . Tieto koeficienty sú tiež uvedené s prihliadnutím na znamienko. Rovnaké dve čísla definujú zodpovedajúcu neredukovanú kvadratickú rovnicu .

Komentujte. Zodpovedajúce neredukované a redukované kvadratické rovnice sú rovnaké, t.j. majú rovnakú sadu koreňov.

Definícia. Niektoré z koeficientov v neredukovanej forme alebo v redukovanej forme kvadratickej rovnice môžu byť nulové. V tomto prípade sa nazýva kvadratická rovnica neúplné. Ak sú všetky koeficienty nenulové, potom sa volá kvadratická rovnica kompletný.

Existuje niekoľko typov neúplných kvadratických rovníc.

Ak sme ešte neuvažovali o riešení úplnej kvadratickej rovnice, tak tú neúplnú ľahko vyriešime pomocou nám už známych metód.

Definícia.Vyriešte kvadratickú rovnicu- znamená nájsť všetky hodnoty premennej (korene rovnice), pri ktorých sa daná rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť, alebo zistiť, že takéto hodnoty neexistujú.

Príklad 3 Uvažujme o príklade tohto typu neúplných kvadratických rovníc. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Vyberme spoločný faktor. Rovnice tohto typu môžeme riešiť podľa nasledujúceho princípu: súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa jeden z faktorov rovná nule a druhý existuje pre túto hodnotu premennej. Takto:

Odpoveď.; .

Príklad 4 Vyriešte rovnicu.

Riešenie. 1 spôsob. Faktorujte pomocou vzorca rozdielu štvorcov

, teda podobne ako v predchádzajúcom príklade alebo .

2 spôsobom. Posuňte voľný termín doprava a extrahujte Odmocnina z oboch častí.

Odpoveď. .

Príklad 5 Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Posúvame voľný termín doprava, ale , t.j. nie v rovnici záporné číslo sa rovná záporu, čo nemá zmysel pre žiadne hodnoty premennej, preto neexistujú žiadne korene.

Odpoveď. Nie sú tam žiadne korene.

Príklad 6.Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Vydeľte obe strany rovnice 7: .

Odpoveď. 0.

Zvážte príklady, v ktorých musíte najskôr uviesť kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a potom ju vyriešiť.

Príklad 7. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Aby sa kvadratická rovnica dostala do štandardného tvaru, je potrebné preniesť všetky členy jedným smerom, napríklad doľava, a priniesť podobné.

Získala sa neúplná kvadratická rovnica, ktorú už vieme vyriešiť, dostaneme, že resp .

Odpoveď. .

Príklad 8 (textový problém). Súčin dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel je dvojnásobkom druhej mocniny menšieho čísla. Nájdite tieto čísla.

Riešenie. Textové úlohy sa spravidla riešia podľa nasledujúceho algoritmu.

1) Zostavenie matematického modelu. V tejto fáze je potrebné preložiť text úlohy do jazyka matematických symbolov (vytvoriť rovnicu).

Nechajte najprv niektorých prirodzené číslo označujú neznámy, potom ďalšie po ňom (po sebe idúce čísla) bude . Najmenšie z týchto čísel je číslo, rovnicu píšeme podľa podmienky úlohy:

, Kde . Matematický model bol zostavený.

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

Riešenie úplných kvadratických rovníc je o niečo zložitejšie (iba o trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

zapamätaj si, pomocou diskriminantu je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu!

Dokonca neúplné.

Ostatné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv si osvojte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom má rovnica 2 korene. Venujte zvláštnu pozornosť kroku 2.

Diskriminant D nám hovorí o počte koreňov rovnice.

• Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica teda bude mať iba koreň.
• Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Obráťme sa na geometrický zmysel kvadratická rovnica.

Grafom funkcie je parabola:

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

To znamená, že nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz už vieme, ako si takéto odpovede správne zapísať.

odpoveď:žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety

Ak si pamätáte, potom existuje taký typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica sa rovná a súčin koreňov sa rovná.

Stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Príklad 12

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože .

Súčet koreňov rovnice je, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt je:

Poďme vytvoriť a vyriešiť systém:

• A. Súčet je;
• A. Súčet je;
• A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde navyše - neznáme, - nejaké čísla.

Číslo sa nazýva najvyššie resp prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficient, A - voľný člen.

Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

V tomto prípade a môže byť rovný nule. V tejto stoličke je rovnica tzv neúplné.

Ak sú na mieste všetky pojmy, teda rovnica - kompletný.

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc

Na začiatok si rozoberieme metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Je možné rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

II. , v tejto rovnici je koeficient rovný.

III. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhá mocnina nemôže byť záporná, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Príklad 15

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!

Príklad 16

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Aby sme stručne napísali, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Príklad 17

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rozdelíme ľavú stranu rovnice na faktor a nájdeme korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň diskriminantu v koreňovom vzorci?

Ale diskriminant môže byť negatívny.

Čo robiť?

Osobitnú pozornosť musíme venovať kroku 2. Diskriminant nám hovorí počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo existujú rôzne počty koreňov?

Vráťme sa ku geometrickému významu kvadratickej rovnice. Grafom funkcie je parabola:

V konkrétnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica, .

A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (osou).

Parabola nemusí vôbec pretínať os, alebo ju môže pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

4 príklady riešenia kvadratických rovníc

Príklad 18

odpoveď:

Príklad 19

Odpoveď: .

Príklad 20

odpoveď:

Príklad 21

To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Použitie Vietovej vety je veľmi jednoduché.

Všetko čo potrebuješ je zdvihnúť taká dvojica čísel, ktorej súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Je dôležité si uvedomiť, že Vietovu vetu je možné aplikovať iba na ňu dané kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad 22

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože . Ostatné koeficienty: ; .

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt je:

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

• A. Súčet je;
• A. Súčet je;
• A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; .

Príklad 23

Riešenie:

Vyberieme také dvojice čísel, ktoré sú v súčine, a potom skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

a: dať celkom.

a: dať celkom. Aby ste to získali, stačí zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj prácu.

odpoveď:

Príklad 24

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, a preto je súčin koreňov záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Takže súčet koreňov je rozdiely ich modulov.

Vyberáme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčin, a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je - nevhodný;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pamätať na to, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, potom koreň, ktorý je v absolútnej hodnote menší, musí byť záporný: . Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad 25

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, a teda súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberieme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a potom určíme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad 26

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je záporný. Ale keďže ich produkt je pozitívny, znamená to, že oba korene sú mínusové.

Vyberáme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, je to veľmi výhodné - vymýšľať korene ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora.

Skúste Vietovu vetu používať čo najčastejšie!

Ale veta Vieta je potrebná, aby sa uľahčilo a urýchlilo hľadanie koreňov.

Aby bolo pre vás jeho používanie rentabilné, musíte akcie automatizovať. A preto vyriešte ďalších päť príkladov.

Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietova veta!

5 príkladov Vietovej vety pre samoukov

Príklad 27

Úloha 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle, výber začíname produktom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; .

Príklad 28

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vieta veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin sa rovná.

Ale keďže by to nemalo byť, ale, meníme znamienka koreňov: a (celkovo).

Odpoveď: ; .

Príklad 29

Úloha 3.

Hmm... Kde to je?

Je potrebné preniesť všetky pojmy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Áno, prestaň! Rovnica nie je daná.

Vietova veta je však použiteľná len v daných rovniciach.

Takže najprv musíte priniesť rovnicu.

Ak si to neviete predstaviť, zahoďte túto myšlienku a vyriešte ju iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

Dovoľte mi pripomenúť, že uviesť kvadratickú rovnicu znamená, že vedúci koeficient bude rovný:

Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je ľahšie vyzdvihnúť: predsa - prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; .

Príklad 30

Úloha 4.

Voľný termín je záporný.

Čo je na ňom také zvláštne?

A skutočnosť, že korene budú rôznych znamení.

A teraz, počas výberu, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel medzi ich modulmi: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom.

Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn.

To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; .

Príklad 31

Úloha 5.

Čo je potrebné urobiť ako prvé?

Správne, uveďte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich je mínus. Ktoré? Ich súčet sa musí rovnať, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď: ; .

Zhrnúť

1. Vietova veta je použitá len v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo sa nenašla vhodná dvojica faktorov voľného člena, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Metóda výberu plného štvorca

Ak sú všetky členy obsahujúce neznámu reprezentované ako členy zo vzorcov skráteného násobenia - druhá mocnina súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných môže byť rovnica reprezentovaná ako neúplná kvadratická rovnica typu.

Napríklad:

Príklad 32

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 33

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

IN všeobecný pohľad transformácia bude vyzerať takto:

To znamená: .

Nič vám to nepripomína?

To je diskriminant! Presne tak bol získaný diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda: .

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

• ak koeficient, rovnica má tvar: ,
• ak je voľný člen, rovnica má tvar: ,
• ak a, rovnica má tvar: .

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrite neznáme: ,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak, potom rovnica nemá riešenia,
• ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: ,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň: .

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Riešenie pomocou diskriminantu

1) Privedieme rovnicu do štandardný pohľad: ,

2) Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca: , ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , A.

2.3. Úplné štvorcové riešenie

Trieda: 8

Zvážte štandardné (študované v kurze školskej matematiky) a neštandardné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1. Rozklad ľavej strany kvadratickej rovnice na lineárne faktory.

Zvážte príklady:

3) x 2 + 10 x - 24 = 0.

6(x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - \u003d 0;

x(x-) + (x-) = 0;

x(x-) (x+) = 0;

Odpoveď: ; – .

Pre samostatnú prácu:

Riešte kvadratické rovnice metódou rozkladu ľavej strany kvadratickej rovnice na lineárne faktory.

2. Spôsob výberu plného štvorca.

Zvážte príklady:

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice metódou úplného štvorca.

3. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.

ax 2 + in + c \u003d 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2v + v 2 - v 2 + 4ac \u003d 0;

Zvážte príklady.

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice pomocou vzorca x 1,2 =.

4. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety (priama a inverzná)

x 2 + px + q = 0 - redukovaná kvadratická rovnica

Ak potom má rovnica dva rovnaké korene v znamienku a závisí to od koeficientu.

Ak p, tak .

Ak p, tak .

Napríklad:

Ak potom rovnica má dva korene s rôznym znamienkom, a väčší koreň bude, ak p a bude ak p.

Napríklad:

Na samostatnú prácu.

Bez riešenia kvadratickej rovnice použite inverznú Vietovu vetu na určenie znamienok jej koreňov:

a, b, j, l - rôzne korene;

c, e, h – zápor;

d, f, g, i, m – kladné;

5. Riešenie kvadratických rovníc metódou „prenosu“.

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice metódou „flip“.

6. Riešenie kvadratických rovníc pomocou vlastností jej koeficientov.

I. ax 2 + bx + c = 0, kde a 0

1) Ak a + b + c \u003d 0, potom x 1 \u003d 1; x 2 =

dôkaz:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Podľa Vietovej vety

Podmienkou a + b + c = 0, potom b = -a - c. Ďalej dostaneme

Z toho vyplýva, že x 1 = 1; x 2 = . Q.E.D.

2) Ak a - b + c \u003d 0 (alebo b \u003d a + c), potom x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -

dôkaz:

Podľa Vietovej vety

Podmienkou a - b + c \u003d 0, t.j. b = a + c. Ďalej dostaneme:

Preto x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.

Zvážte príklady.

1) 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.

a + b + c \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0

x 1 = 1; x 2 ==

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132-247-115 = 0.

x 1 = 1; x 2 ==

Odpoveď: 1;

Na samostatnú prácu.

Pomocou vlastností koeficientov kvadratickej rovnice riešte rovnice

II. ax 2 + bx + c = 0, kde a 0

x 1,2 = . Nech b = 2k, t.j. dokonca. Potom dostaneme

x 1,2 = = = =

Zvážte príklad:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

1 D \u003d (-7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1

x 1 = = 2; x 2 =

Odpoveď: 2;

Na samostatnú prácu.

a) 4x 2 - 36x + 77 = 0

b) 15x 2 - 22x - 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Odpovede:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

Zvážte príklad:

x 2 - 14 x - 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 \u003d -1; x 2 = 15.

Odpoveď: -1; 15.

Na samostatnú prácu.

a) x 2 - 8 x - 9 \u003d 0

b) x 2 + 6 x - 40 = 0

c) x 2 + 18 x + 81 = 0

d) x 2 - 56 x + 64 = 0

7. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou grafov.

a) x 2 - 3 x - 4 \u003d 0

Odpoveď: -1; 4

b) x 2 - 2 x + 1 = 0

c) x 2 - 2 x + 5 = 0

Odpoveď: žiadne riešenie

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice graficky:

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka.

ax2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 a x 2 sú korene.

Nech A(0; 1), C(0;

Podľa sekantovej vety:

OV · OD = OA · OS.

Preto máme:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

K(; 0), kde = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Zostrojte bod S(-; ) - stred kružnice a bod A(0;1).

2) Nakreslite kružnicu s polomerom R = SA/

3) Úsečky priesečníkov tejto kružnice s osou x sú koreňmi pôvodnej kvadratickej rovnice.

Možné sú 3 prípady:

1) R > SK (alebo R > ).

Kružnica pretína os x v bode B(x 1; 0) a D(x 2; 0), kde x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (alebo R = ).

Kruh sa dotýka osi x v úzkosti B 1 (x 1; 0), kde x 1 je koreň kvadratickej rovnice

ax2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Kružnica nemá spoločné body s osou x, t.j. neexistujú žiadne riešenia.

1) x 2 - 2 x - 3 = 0.

Stred S(-; ), t.j.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) je stred kruhu.

Narysujme kružnicu (S; AS), kde A(0; 1).

9. Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu

Na riešenie slúžia štvormiestne matematické tabuľky V.M. Bradys (Tabuľka XXII, s. 83).

Nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0 určiť korene rovnice jej koeficientmi. Napríklad:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

Oba korene sú negatívne. Preto urobíme náhradu: z 1 = - t. Dostaneme novú rovnicu:

t2 - 4t + 3 = 0.

t1 \u003d 1; t2 = 3

z 1 \u003d - 1; z 2 \u003d – 3.

Odpoveď: - 3; - 1

6) Ak sú koeficienty p a q mimo mierky, vykonajte substitúciu z \u003d kt a vyriešte rovnicu pomocou nomogramu: z 2 + pz + q \u003d 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k sa berie s očakávaním, že sa vyskytujú nerovnosti:

Na samostatnú prácu.

y2 + 6y - 16 = 0.

y2 + 6y = 16, |+ 9

y2 + 6 y + 9 = 16 + 9

y1 = 2, y2 = -8.

Odpoveď: -8; 2

Na samostatnú prácu.

Riešte geometricky rovnicu y 2 - 6y - 16 = 0.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich riešiť je nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a , b a c sú ľubovoľné čísla a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Majú presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec musí byť známy naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako si z nejakého dôvodu mnohí ľudia myslia. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napíšeme koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme rovnakým spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sa rovná nule - koreň bude jedna.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to zdĺhavé – ale nebudete si miešať šance a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov – dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú, keď sa do vzorca dosadia záporné koeficienty. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, namaľte každý krok - a veľmi skoro sa zbavte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že v týchto rovniciach chýba jeden z členov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani vypočítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 \u003d 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jedinú koreň: x \u003d 0.

Pozrime sa na ďalšie prípady. Nech b \u003d 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru ax 2 + c \u003d 0. Poďme ju mierne transformovať:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len vtedy, keď (−c / a ) ≥ 0. Záver:

1. Ak neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 + c = 0 spĺňa nerovnosť (−c / a ) ≥ 0, korene budú dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Polynóm stačí rozložiť na faktor:

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver analyzujeme niekoľko z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Toto video tutoriál vám ukáže, ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Riešenie kvadratických rovníc sa zvyčajne začína skúmať v r všeobecnovzdelávacia škola, 8. ročník. Korene kvadratickej rovnice sa nachádzajú pomocou špeciálneho vzorca. Nech je daná kvadratická rovnica v tvare ax2+bx+c=0, kde x je neznáma, a, b a c sú koeficienty, ktoré sú reálne čísla. Najprv musíte určiť diskriminant pomocou vzorca D=b2-4ac. Potom zostáva vypočítať korene kvadratickej rovnice pomocou dobre známeho vzorca. Teraz skúsme vyriešiť konkrétny príklad. Zoberme si x2+x-12=0 ako počiatočnú rovnicu, t.j. koeficient a=1, b=1, c=-12. Podľa známeho vzorca môžete určiť diskriminant. Potom pomocou vzorca na nájdenie koreňov rovnice ich vypočítame. V našom prípade bude diskriminant rovný 49. Že hodnota diskriminantu je kladné číslo, nám hovorí, že táto kvadratická rovnica bude mať dva korene. Po jednoduchých výpočtoch dostaneme, že x1=-4, x2=3. Kvadratickú rovnicu sme teda vyriešili výpočtom jej koreňov Video lekcia „Riešenie kvadratických rovníc (8. ročník). Korene nájdeme podľa vzorca „môžete sledovať online kedykoľvek zadarmo. Veľa šťastia!