Cp 45 rețea de difracție a luminii. Optica. Rețeaua de difracție. Principiul Huygens-Fresnel și aproximările câmpului îndepărtat și apropiat
Cum să găsim perioada unui rețele de difracție?
DIFRACȚIA LUMINII
în sensul îngust (cel mai comun) - fenomenul razelor de lumină care se îndoaie în jurul conturului corpurilor opace și, în consecință, pătrunderea luminii în regiunea geomei. umbre; în sens larg - manifestarea proprietăților undei în lumină în condiții apropiate de condițiile de aplicabilitate a reprezentării opticii geometrice.
În natură. condiţiile D. s. de obicei observată sub forma unei margini neclare, neclare, a umbrei unui obiect iluminat de o sursă îndepărtată. D. contrastează cel mai mult cu. in spatii. zonele în care densitatea de flux a razelor suferă o schimbare bruscă (în regiunea suprafeței caustice, focar, limita geom. umbrei etc.). În condiții de laborator, este posibilă dezvăluirea structurii luminii din aceste zone, care se manifestă prin alternarea zonelor luminoase și întunecate (sau colorate) pe ecran. Uneori această structură este simplă, ca, de exemplu, la pagina D.. pe o rețea de difracție, adesea foarte complexă, de exemplu. în zona de focalizare a lentilei. D. s. pe corpuri cu margini ascuțite utilizat în optica instrumentală și, în special, determină limita capacităților optice. dispozitive.
Primul element. cantități. teoria lui D. cu. a fost dezvoltat de francezi fizicianul O. Fresnel (1816), care a explicat-o ca rezultat al interferenței undelor secundare (vezi PRINCIPIUL HUYGENS-FRESNEL). În ciuda deficiențelor, metoda acestei teorii și-a păstrat semnificația, mai ales în estimările de natură estimativă.
Metoda constă în împărțirea frontului undei incidente, tăiat de marginile ecranului, în zone Fresnel.
Orez. 1. Difracția. inele în timpul trecerii luminii: în stânga - printr-o gaură rotundă, în care se potrivește număr par zone; în dreapta - în jurul ecranului rotund.
Se crede că pe ecran secundar unde luminoase nu sunt generate și câmpul luminos în punctul de observație este determinat de suma contribuțiilor din toate benzile. Dacă gaura din ecran lasă un număr par de zone deschise (Fig. 1), atunci în centrul difracției. poza se dovedește a fi o pată întunecată, când numar impar zone - lumina. În centrul umbrei dintr-un ecran rotund care nu acoperă prea mult număr mare Zone Fresnel, se obține un punct luminos. Contribuțiile zonei la câmpul luminos la punctul de observare sunt proporționale cu zonele zonei și descresc lent odată cu creșterea numărului zonei. Zonele învecinate au contribuții de semne opuse, deoarece fazele undelor emise de acestea sunt opuse.
Rezultatele teoriei lui O. Fresnel au servit drept dovadă decisivă a naturii ondulatorii a luminii și au oferit baza teoriei plăcilor de zonă. Există două tipuri de difracție D. s. - d și frac și yu Fresnel și Fraunhofer, în funcție de raportul dintre dimensiunile corpului b, pe care are loc difracția și dimensiunea zonei Fresnel? (zl) (și deci, in functie de de la distanta z pana la punctul de observatie). Metoda Fresnel este eficientă numai atunci când dimensiunea găurii este comparabilă cu dimensiunea zonei Fresnel: b = ?(zl) (difracția în fascicule convergente). În acest caz, un număr mic de zone în care este împărțit sfericul. un val în gaură, determină imaginea lui D. s. Dacă gaura din ecran este mai mică decât zona Fresnel (b<-?(zl), дифракции Фраунгофера), как, напр., при очень удалённых от экрана наблюдателя и источника света, то можно пренебречь кривизной фронта волны, считать её плоской и картину дифракции характеризовать угловым распределением интенсивности потока. При этом падающий параллельный пучок света на отверстии становится расходящимся с углом расходимости j = l/b. При освещении щели параллельным монохроматич. пучком света на экране получается ряд тёмных и светлых полос, быстро убывающих по интенсивности. Если свет падает перпендикулярно к плоскости щели, то полосы расположены симметрично относительно центр. полосы (рис. 2), а освещённость меняется вдоль экрана периодически с изменением j, обращаясь в нуль при углах j, для к-рых sinj=ml/b (m=1, 2, 3, . . .).
Orez. 2. Difracția Fraunhofer printr-o fantă.
La valorile intermediare ale lui j, iluminarea atinge max. valorile. Ch. maximul are loc la m=0 și sinj=0, adică j=0. Cu o scădere a lățimii golului, centrul. banda ușoară se extinde, iar pentru o lățime dată de fante, poziția minimelor și maximelor depinde de l, adică cu cât distanța dintre benzi este mai mare, cu atât este mai mare l. Prin urmare, în cazul luminii albe, există un set de modele corespunzătoare pentru diferite culori; cap. maximul va fi comun pentru toate l si este reprezentat ca o dunga alba, transformandu-se in dungi colorate cu culori alternante de la violet la rosu.
In matematică. Difracția Fraunhofer este mai simplă decât difracția Fresnel. Ideile lui Fresnel au fost întruchipate matematic de el. fizicianul G. Kirchhoff (1882), care a dezvoltat teoria limitei D. cu. aplicată în practică. Cu toate acestea, teoria sa nu ia în considerare natura vectorială a undelor luminoase și proprietățile materialului ecranului în sine. Teoria corectă din punct de vedere matematic a lui D. s. pe corpuri necesită rezolvarea unor probleme complexe cu valori la limită pentru împrăștierea electron-magneților. valuri care au solutii doar pentru cazuri speciale.
Prima soluție exactă a fost obținută de el. fizicianul A. Sommerfeld (1894) pentru difracția unei unde plane printr-o pană perfect conducătoare. La distanțe mai mari de l de vârful panei, rezultatul lui Sommerfeld prezice o pătrundere mai profundă a luminii în regiunea umbrei decât rezultă din teoria lui Kirchhoff.
Difracţie fenomenele apar nu numai la granițele ascuțite ale corpurilor, ci și în sistemele extinse. Un D. s atât de voluminos. datorită la scară largă în comparaţie cu l neomogenităţi ale dielectricului. permeabilitate medie. În special, volumul D. cu. apare în timpul difracției luminii prin ultrasunete, în holograme într-un mediu turbulent și optic neliniar. medii. Adesea, D. s. volumetric, spre deosebire de graniță, este inseparabil de fenomenele însoțitoare de reflexie și refracție a luminii. În cazurile în care nu există granițe ascuțite în mediu și reflexia joacă un rol nesemnificativ. rol în natura propagării luminii într-un mediu, pentru difracție. procesele se aplică asimptotic. metode ale teoriei ecuațiilor diferențiale. Astfel de metode aproximative, care fac obiectul teoriei difuziei a difracției, sunt caracterizate printr-o modificare lentă (după dimensiunea R) a amplitudinii și fazei undei luminoase de-a lungul fasciculului.
În optica neliniară, D. s. apare pe neomogenități ale indicelui de refracție, care sunt create de radiația însăși care se propagă prin mediu. Natura nestaționară a acestor fenomene complică în plus tabloul lui D. s., în care, pe lângă transformarea unghiulară a spectrului de radiații, are loc și o transformare de frecvență.
e pacat sa nu stii
Aparent, este doar un număr de unități.
Adică nu are nicio unitate de măsură specifică.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/84886/Diffraction
Ei bine, cel puțin aici am citit că R \u003d mN, unde m este doar un număr întreg, iar N este din nou numărul de sloturi și, deoarece nu înseamnă nicio unitate de măsură, atunci așteptați un fel de unitate de măsură de la nici ele lucrări nu urmează.
Același lucru rezultă din această formulă "R=λ/dλ": este ca și cum ați împărți timpul la schimbarea timpului - vor exista doar unități dacă logica mea este corectă.
Grila laterală arată așa.
Găsiți și aplicație grile reflectorizante, care sunt obținute prin aplicarea unor mișcări subțiri pe o suprafață metalică lustruită cu un tăietor diamantat. Printurile pe gelatină sau plastic după o astfel de gravură sunt numite replici, dar astfel de rețele de difracție sunt de obicei de proastă calitate, astfel încât utilizarea lor este limitată. Grătarele reflectorizante bune sunt considerate a fi cele cu o lungime totală de aproximativ 150 mm, cu un număr total de curse de 600 bucăți/mm.
Principalele caracteristici ale unui rețele de difracție sunt numărul total de lovituri N, densitatea trapei n (număr de curse pe 1 mm) și perioadă(constantă) a rețelei d, care poate fi găsită ca d = 1/n.
Grătarul este iluminat de un front de undă și N liniile sale transparente sunt de obicei considerate N surse coerente.
Dacă ne amintim de fenomen interferență din multe surse de lumină identice, deci intensitatea luminii se exprimă după modelul:
unde i 0 este intensitatea undei luminoase care a trecut printr-o fantă
Pe baza conceptului intensitatea maximă a undei obtinut din conditia:
β = mπ pentru m = 0, 1, 2... etc.
.
Să trecem de la colț auxiliarβ la unghiul de vizualizare spațială Θ și apoi:
(π d sinΘ)/ λ = m π,
Principalele maxime apar cu condiția:
sinΘ m = m λ/ d, la m = 0, 1, 2... etc.
intensitatea luminii in maxime majore poate fi găsită după formula:
Sunt \u003d N 2 i 0.
Prin urmare, este necesar să se producă grătare cu o perioadă mică d, atunci este posibil să se obțină mari unghiurile de împrăștiere a fascicululuiși un model de difracție larg.
De exemplu:
Continuând precedentul exemplu Să luăm în considerare cazul când în primul maxim razele roșii (λ cr = 760 nm) deviază cu un unghi Θ k = 27 °, iar cele violete (λ f = 400 nm) se abat cu un unghi Θ f = 14 ° .
Se poate observa că cu ajutorul unui rețele de difracție se poate măsura lungime de undă o culoare sau alta. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să cunoașteți perioada grătarului și să măsurați unghiul, dar pe care fasciculul a deviat, corespunzător luminii necesare.
1. Difracția luminii. Principiul Huygens-Fresnel.
2. Difracția luminii printr-o fantă în fascicule paralele.
4. Spectrul de difracție.
5. Caracteristicile unui rețele de difracție ca dispozitiv spectral.
6. Analiza difracției de raze X.
7. Difracția luminii printr-o gaură rotundă. rezoluția diafragmei.
8. Concepte și formule de bază.
9. Sarcini.
Într-un sens îngust, dar cel mai des folosit, difracția luminii este rotunjirea granițelor corpurilor opace de către razele de lumină, pătrunderea luminii în regiunea unei umbre geometrice. În fenomenele asociate cu difracția, există o abatere semnificativă a comportamentului luminii de la legile opticii geometrice. (Difracția nu apare doar pentru lumină.)
Difracția este un fenomen ondulatoriu care se manifestă cel mai clar atunci când dimensiunile obstacolului sunt proporționale (de același ordin) cu lungimea de undă a luminii. Descoperirea relativ târzie a difracției luminii (secolele XVI-XVII) este legată de dimensiunile mici ale luminii vizibile.
21.1. Difracția luminii. Principiul Huygens-Fresnel
Difracția luminii numit complex de fenomene care se datorează naturii sale ondulatorii și se observă în timpul propagării luminii într-un mediu cu neomogenități ascuțite.
O explicație calitativă a difracției este dată de principiul Huygens, care stabileşte metoda de construire a frontului de undă la momentul t + Δt dacă se cunoaşte poziţia acestuia la momentul t.
1. Potrivit principiul Huygens, fiecare punct al frontului de undă este centrul undelor secundare coerente. Învelișul acestor unde indică poziția frontului de undă în momentul următor.
Să explicăm aplicarea principiului Huygens prin următorul exemplu. Lasă o undă plană să cadă pe o barieră cu o gaură, al cărei față este paralel cu bariera (Fig. 21.1).
Orez. 21.1. Explicația principiului lui Huygens
Fiecare punct al frontului de undă emis de gaură servește ca centru al undelor sferice secundare. Figura arată că învelișul acestor unde pătrunde în regiunea umbrei geometrice, ale cărei limite sunt marcate cu o linie întreruptă.
Principiul lui Huygens nu spune nimic despre intensitatea undelor secundare. Acest dezavantaj a fost eliminat de Fresnel, care a completat principiul Huygens cu conceptul de interferență a undelor secundare și a amplitudinilor acestora. Principiul Huygens completat în acest fel se numește principiul Huygens-Fresnel.
2. Potrivit principiul Huygens-Fresnel magnitudinea oscilațiilor luminii la un punct O este rezultatul interferenței în acest punct a undelor secundare coerente emise toata lumea elementele suprafeței valului. Amplitudinea fiecărei unde secundare este proporțională cu aria elementului dS, invers proporțională cu distanța r până la punctul O și scade odată cu creșterea unghiului α între normal n la elementul dS și direcția către punctul O (Fig. 21.2).
Orez. 21.2. Emisia undelor secundare de către elementele de suprafață a valurilor
21.2. Difracția fantei în fascicule paralele
Calculele legate de aplicarea principiului Huygens-Fresnel, în cazul general, sunt o problemă matematică complexă. Cu toate acestea, într-un număr de cazuri cu un grad ridicat de simetrie, amplitudinea oscilațiilor rezultate poate fi găsită prin însumare algebrică sau geometrică. Să demonstrăm acest lucru calculând difracția luminii printr-o fantă.
Lasă o undă luminoasă monocromatică plană să cadă pe o fantă îngustă (AB) într-o barieră opacă, a cărei direcție de propagare este perpendiculară pe suprafața fantei (Fig. 21.3, a). În spatele fantei (paralel cu planul ei) plasăm o lentilă convergentă, în plan focal pe care asezam ecranul E. Toate undele secundare emise de la suprafata fantului in directia paralel axa optică a lentilei (α = 0), intră în focalizarea lentilei in aceeasi faza. Prin urmare, în centrul ecranului (O) există maxim interferență pentru unde de orice lungime. Se numește maxim ordinul zero.
Pentru a afla natura interferenței undelor secundare emise în alte direcții, împărțim suprafața slotului în n zone identice (se numesc zone Fresnel) și luăm în considerare direcția pentru care este îndeplinită condiția:
unde b este lățimea slotului și λ - lungimea undei luminoase.
Razele undelor de lumină secundare care călătoresc în această direcție se vor intersecta în punctul O.
Orez. 21.3. Difracția printr-o fantă: a - calea razelor; b - distribuția intensității luminii (f - distanța focală a lentilei)
Produsul bsina este egal cu diferența de cale (δ) dintre razele care vin de la marginile fantei. Apoi diferența în calea razelor care vin din vecine Zonele Fresnel este egală cu λ/2 (vezi formula 21.1). Astfel de raze se anulează reciproc în timpul interferenței, deoarece au aceleași amplitudini și faze opuse. Să luăm în considerare două cazuri.
1) n = 2k este un număr par. În acest caz, are loc stingerea în perechi a razelor din toate zonele Fresnel, iar în punctul O" se observă un minim al modelului de interferență.
Minim intensitatea în timpul difracției cu fantă se observă pentru direcțiile razelor undelor secundare care satisfac condiția
Un întreg k se numește comandă minimă.
2) n = 2k - 1 este un număr impar. În acest caz, radiația unei zone Fresnel va rămâne nestinsă, iar în punctul O" se va observa maximul modelului de interferență.
Intensitatea maximă în timpul difracției cu fantă se observă pentru direcțiile razelor undelor secundare care îndeplinesc condiția:
Un întreg k se numește comanda maxima. Reamintim că pentru direcția α = 0 avem ordin maxim zero.
Din formula (21.3) rezultă că pe măsură ce lungimea de undă a luminii crește, unghiul la care se observă un maxim de ordinul k > 0 crește. Aceasta înseamnă că pentru același k, dunga violet este cel mai aproape de centrul ecranului, iar cea roșie este cea mai îndepărtată.
În figura 21.3, b arată distribuția intensității luminii pe ecran în funcție de distanța până la centrul acestuia. Cea mai mare parte a energiei luminoase este concentrată în maximul central. Pe măsură ce ordinul maximului crește, intensitatea acestuia scade rapid. Calculele arată că I 0:I 1:I 2 = 1:0.047:0.017.
Dacă fanta este iluminată cu lumină albă, atunci maximul central va fi alb pe ecran (este comun pentru toate lungimile de undă). Maximele laterale vor consta din benzi colorate.
Un fenomen similar cu difracția cu fantă poate fi observat pe o lamă de ras.
21.3. Rețeaua de difracție
În cazul difracției cu fantă, intensitățile maximelor de ordinul k > 0 sunt atât de nesemnificative încât nu pot fi folosite pentru rezolvarea problemelor practice. Prin urmare, ca instrument spectral este utilizat rețeaua de difracție, care este un sistem de sloturi paralele echidistante. O rețea de difracție poate fi obținută prin aplicarea de linii opace (zgârieturi) pe o placă de sticlă plan-paralelă (Fig. 21.4). Spațiul dintre curse (fante) transmite lumină.
Mijloacele sunt aplicate pe suprafața grătarului cu un tăietor diamant. Densitatea lor ajunge la 2000 de lovituri pe milimetru. În acest caz, lățimea grătarului poate fi de până la 300 mm. Numărul total de sloturi de zăbrele este notat cu N.
Se numește distanța d dintre centrele sau marginile fantelor adiacente constanta (perioada) rețeaua de difracție.
Modelul de difracție pe rețea este definit ca rezultat al interferenței reciproce a undelor care provin din toate fante.
Calea razelor în rețeaua de difracție este prezentată în Fig. 21.5.
Lasă o undă de lumină monocromatică plană să cadă pe rețea, a cărei direcție de propagare este perpendiculară pe planul rețelei. Atunci suprafețele slotului aparțin aceleiași suprafețe de undă și sunt surse de unde secundare coerente. Luați în considerare undele secundare a căror direcție de propagare satisface condiția
După trecerea prin lentilă, razele acestor unde se vor intersecta în punctul O.
Produsul dsina este egal cu diferența de cale (δ) dintre razele care vin de la marginile fantelor învecinate. Când condiția (21.4) este îndeplinită, undele secundare ajung în punctul O" in aceeasi faza iar pe ecran apare maximul modelului de interferență. Se numesc condiţiile maxime de satisfacere (21.4). maximele principale ale ordinului k. Condiția (21.4) însăși este numită formula de bază a rețelei de difracție.
Înalte majoreîn timpul difracției în rețea se observă direcțiile razelor undelor secundare care îndeplinesc condiția: dsinα = ± κ λ; k = 0,1,2,...
Orez. 21.4. Secțiunea transversală a rețelei de difracție (a) și simbolul său (b)
Orez. 21.5. Difracția luminii pe un rețele de difracție
Dintr-o serie de motive care nu sunt luate în considerare aici, există (N - 2) maxime suplimentare între maximele principale. Cu un număr mare de fante, intensitatea lor este neglijabilă, iar întregul spațiu dintre maximele principale pare întunecat.
Condiția (21.4), care determină pozițiile tuturor maximelor principale, nu ia în considerare difracția printr-o singură fante. Se poate întâmpla ca pentru o anumită direcție starea maxim pentru zăbrele (21.4) și condiția minim pentru decalajul (21.2). În acest caz, maximul principal corespunzător nu apare (formal, există, dar intensitatea sa este zero).
Cum mai mult număr fante din rețeaua de difracție (N), cu cât trece mai multă energie luminoasă prin rețea, cu atât maximele vor fi mai intense și mai clare. Figura 21.6 prezintă graficele de distribuție a intensității obținute din rețele cu diferite numere de sloturi (N). Perioadele (d) și lățimile fantelor (b) sunt aceleași pentru toate grătarele.
Orez. 21.6. Distribuția intensității pentru diferite valori ale N
21.4. Spectrul de difracție
Din formula de bază a rețelei de difracție (21.4) se poate observa că unghiul de difracție α, la care se formează maximele principale, depinde de lungimea de undă a luminii incidente. Prin urmare, maximele de intensitate corespunzătoare diferitelor lungimi de undă sunt obținute în locuri diferite de pe ecran. Acest lucru face posibilă utilizarea rețelei ca dispozitiv spectral.
Spectrul de difracție- spectrul obţinut cu ajutorul unui reţele de difracţie.
Când lumina albă cade pe un rețele de difracție, toate maximele, cu excepția celui central, se descompun într-un spectru. Poziția maximului de ordin k pentru lumina cu lungimea de undă λ este dată de:
Cu cât lungimea de undă (λ) este mai mare, cu atât maximul k-lea este mai departe de centru. Prin urmare, regiunea violetă a fiecărui maxim principal va fi îndreptată spre centrul modelului de difracție, iar regiunea roșie va fi spre exterior. Rețineți că atunci când lumina albă este descompusă de o prismă, razele violete sunt mai puternic deviate.
Notând formula rețelei de bază (21.4), am indicat că k este un număr întreg. Cât de mare poate fi? Răspunsul la această întrebare este dat de inegalitatea |sinα|< 1. Из формулы (21.5) найдем
unde L este lățimea rețelei și N este numărul de curse.
De exemplu, pentru un grătar cu o densitate de 500 de linii pe mm, d = 1/500 mm = 2x10 -6 m. Pentru lumină verde cu λ = 520 nm = 520x10 -9 m, obținem k< 2х10 -6 /(520 х10 -9) < 3,8. Таким образом, для такой решетки (весьма средней) порядок наблюдаемого максимума не превышает 3.
21.5. Caracteristicile unui rețele de difracție ca instrument spectral
Formula de bază a unui rețele de difracție (21.4) face posibilă determinarea lungimii de undă a luminii prin măsurarea unghiului α corespunzător poziției k-lea maxim. Astfel, rețeaua de difracție face posibilă obținerea și analiza spectrelor luminii complexe.
Caracteristicile spectrale ale rețelei
Dispersia unghiulara - o valoare egală cu raportul dintre modificarea unghiului la care se observă maximul de difracție și modificarea lungimii de undă:
unde k este ordinul maximului, α -
unghiul la care se observă.
Dispersia unghiulară este cu atât mai mare, cu atât ordinul k al spectrului este mai mare și perioada de rețea (d) este mai mică.
Rezoluţie(puterea de rezoluție) a unui rețele de difracție - o valoare care îi caracterizează capacitatea de a da
unde k este ordinul maximului și N este numărul de linii de rețea.
Din formula se poate observa că liniile apropiate care se îmbină în spectrul de ordinul întâi pot fi percepute separat în spectrele de ordinul al doilea sau al treilea.
21.6. Analiza difracției cu raze X
Formula de bază a rețelei de difracție poate fi folosită nu numai pentru a determina lungimea de undă, ci și pentru a rezolva problema inversă - găsirea constantei rețelei de difracție de la o lungime de undă cunoscută.
Rețeaua structurală a unui cristal poate fi luată ca o rețea de difracție. Dacă un flux de raze X este direcționat către o rețea cristalină simplă la un anumit unghi θ (Fig. 21.7), atunci acestea vor difracta, deoarece distanța dintre centrele de împrăștiere (atomi) din cristal corespunde cu
lungimea de undă a razelor X. Dacă o placă fotografică este plasată la o oarecare distanță de cristal, aceasta va înregistra interferența razelor reflectate.
unde d este distanța interplanară în cristal, θ este unghiul dintre plan
Orez. 21.7. Difracția de raze X pe o rețea cristalină simplă; punctele indică aranjarea atomilor
cristalul și fasciculul de raze X incident (unghiul de privire), λ este lungimea de undă a radiației de raze X. Relația (21.11) se numește condiția Bragg-Wulf.
Dacă lungimea de undă a razelor X este cunoscută și se măsoară unghiul θ corespunzător condiției (21.11), atunci distanța interplanară (interatomică) d poate fi determinată. Aceasta se bazează pe analiza de difracție cu raze X.
Analiza difracției cu raze X - o metodă pentru determinarea structurii unei substanțe prin studierea modelelor de difracție de raze X pe probele studiate.
Modelele de difracție a razelor X sunt foarte complexe, deoarece un cristal este un obiect tridimensional și razele X pot difracta pe diferite planuri la unghiuri diferite. Dacă substanța este un singur cristal, atunci modelul de difracție este o alternanță de pete întunecate (expuse) și luminoase (neexpuse) (Fig. 21.8, a).
În cazul în care substanța este un amestec dintr-un număr mare de cristale foarte mici (ca într-un metal sau pulbere), apare o serie de inele (Fig. 21.8, b). Fiecărui inel îi corespunde un maxim de difracție de un anumit ordin k, în timp ce radiografia se formează sub formă de cercuri (Fig. 21.8, b).
Orez. 21.8. Model de raze X pentru un singur cristal (a), model de raze X pentru un policrist (b)
Analiza de difracție cu raze X este, de asemenea, utilizată pentru a studia structurile sistemelor biologice. De exemplu, structura ADN-ului a fost stabilită prin această metodă.
21.7. Difracția luminii printr-o gaură circulară. Rezoluția diafragmei
În concluzie, să luăm în considerare problema difracției luminii printr-o gaură rotundă, care prezintă un mare interes practic. Astfel de găuri sunt, de exemplu, pupila ochiului și lentila microscopului. Lăsați lumina dintr-o sursă punctuală să cadă pe obiectiv. Lentila este o gaură care lasă doar să treacă Parte undă de lumină. Din cauza difracției de pe ecranul situat în spatele lentilei, va apărea un model de difracție, prezentat în Fig. 21.9, a.
În ceea ce privește decalajul, intensitățile maximelor laterale sunt mici. Maximul central sub forma unui cerc luminos (pata de difracție) este imaginea unui punct luminos.
Diametrul punctului de difracție este determinat de formula:
unde f este distanța focală a lentilei și d este diametrul acesteia.
Dacă lumina din două surse punctiforme cade pe gaură (diafragmă), atunci în funcție de distanța unghiulară dintre ele (β) punctele lor de difracție pot fi percepute separat (Fig. 21.9, b) sau pot fi fuzionate (Fig. 21.9, c).
Prezentăm fără derivare o formulă care oferă o imagine separată a surselor punctuale din apropiere pe ecran (rezoluția diafragmei):
unde λ este lungimea de undă a luminii incidente, d este diametrul deschiderii (diafragmei), β este distanța unghiulară dintre surse.
Orez. 21.9. Difracția printr-o gaură circulară din două surse punctuale
21.8. Concepte și formule de bază
Sfârșitul mesei
21.9. Sarcini
1. Lungimea de undă a luminii incidente pe fantă perpendiculară pe planul său se potrivește în lățimea fantei de 6 ori. În ce unghi se va vedea cel de-al treilea minim de difracție?
2. Determinați perioada unui grătar cu lățimea L = 2,5 cm și N = 12500 linii. Scrieți răspunsul în micrometri.
Soluţie
d = L/N = 25.000 um/12.500 = 2 um. Răspuns: d = 2 µm.
3. Care este constanta rețelei de difracție dacă linia roșie (700 nm) din spectrul de ordinul 2 este vizibilă la un unghi de 30°?
4. Rețeaua de difracție conține N = 600 linii per L = 1 mm. Găsiți cea mai mare ordine a spectrului pentru lumina cu o lungime de undă λ = 600 nm.
5. Lumina portocalie la 600 nm și lumina verde la 540 nm trec printr-o rețea de difracție având 4000 de linii pe centimetru. Care este distanța unghiulară dintre maximele portocalii și cele verzi: a) ordinul întâi; b) ordinul al treilea?
Δα \u003d α op - α z \u003d 13,88 ° - 12,47 ° \u003d 1,41 °.
6.
Aflați ordinul cel mai înalt al spectrului pentru linia galbenă de sodiu λ = 589 nm dacă constanta rețelei este d = 2 μm.
Soluţie
Să aducem d și λ la aceleași unități: d = 2 µm = 2000 nm. Prin formula (21.6) găsim k< d/λ = 2000/ 589 = 3,4. Răspuns: k = 3.
7. Un rețele de difracție cu N = 10.000 de sloturi este utilizat pentru a studia spectrul luminii în regiunea de 600 nm. Găsiți diferența minimă de lungime de undă care poate fi detectată printr-un astfel de rețele atunci când se observă maxime de ordinul doi.
Rețeaua de difracție - un dispozitiv optic, care este o colecție de un număr mare de sloturi paralele, de obicei echidistante unele de altele.
O rețea de difracție poate fi obținută prin aplicarea de zgârieturi opace (trăsuri) pe o placă de sticlă. Locurile nezgariate - fisuri - vor lasa lumina sa treaca; cursele corespunzătoare decalajului dintre fante se împrăștie și nu transmit lumină. Secțiunea transversală a unui astfel de rețele de difracție ( A) și simbolul acestuia (b) prezentată în fig. 19.12. Lățimea totală a slotului Ași interval b intre fisuri se numeste constant sau perioada de gratie:
c = a + b.(19.28)
Dacă un fascicul de unde coerente cade pe rețea, atunci undele secundare care călătoresc în toate direcțiile posibile vor interfera, formând un model de difracție.
Fie ca un fascicul plan-paralel de unde coerente să cadă în mod normal pe grătar (Fig. 19.13). Să alegem o direcție a undelor secundare la un unghi a față de normala rețelei. Razele care provin din punctele extreme ale două fante adiacente au o diferență de cale d = A"B". Aceeași diferență de cale va fi pentru undele secundare care provin din perechile de puncte situate respectiv ale sloturilor adiacente. Dacă această diferență de cale este un multiplu al unui număr întreg de lungimi de undă, atunci interferența va cauza maxime principale, pentru care condiţia ÷ A „B¢÷ = ± k l , sau
Cu sin a = ± k l , (19.29)
Unde k = 0,1,2,... — ordinea maximelor principale. Ele sunt simetrice față de centrală (k= 0, a = 0). Egalitatea (19.29) este formula de bază a rețelei de difracție.
Între principalele maxime se formează minime (suplimentare), al căror număr depinde de numărul tuturor fantelor de zăbrele. Să derivăm o condiție pentru minime suplimentare. Fie diferența de cale a undelor secundare care se deplasează sub un unghi a din punctele corespunzătoare ale fantelor învecinate să fie egală cu l /N, adică
d= Cu sin a=l /N,(19.30)
Unde N este numărul de fante din rețeaua de difracție. Această diferență de cale este de 5 [vezi (19.9)] corespunde diferenței de fază Dj= 2 p /N.
Dacă presupunem că unda secundară din primul slot are o fază zero în momentul adunării cu alte unde, atunci faza undei din al doilea slot este egală cu 2 p /N, din a treia 4 p /N, din a patra - 6p /N etc. Rezultatul adunării acestor unde, ținând cont de diferența de fază, se obține în mod convenabil folosind o diagramă vectorială: suma N vectori de intensitate a câmpului electric identici, unghiul (diferența de fază) dintre orice vecinătate este 2 p /N, este egal cu zero. Aceasta înseamnă că condiția (19.30) corespunde minimului. Cu diferența de cale a undelor secundare din sloturile vecine d = 2( l /N) sau diferența de fază Dj = 2(2p/n) se va obține și un minim de interferență a undelor secundare venite din toate sloturile etc.
Ca o ilustrare, în fig. 19.14 prezintă o diagramă vectorială corespunzătoare unui reţele de difracţie format din şase fante: etc. - vectori de intensitate a componentei electrice a undelor electromagnetice din prima, a doua fante etc. Cinci minime suplimentare care apar în timpul interferenței (suma vectorilor este egală cu zero) sunt observate la o diferență de fază a undelor care provin din sloturile învecinate de 60° ( A), 120° (b), 180° (V), 240° (G)și 300° (e).
Orez. 19.14
Astfel, se poate asigura că între maxima centrală și fiecare primă principală există N-1 minime suplimentare care satisfac condiția
Cu sin a = ±l /N; 2l /N, ..., ±(N- 1)l /N.(19.31)
Între primul și al doilea maxime principale sunt de asemenea situate N- 1 minime suplimentare care satisfac condiția
Cu sin a = ± ( N+ 1)l /N, ±(N+ 2)l /N, ...,(2N- 1)l /N,(19.32)
etc. Astfel, între oricare două maxime principale adiacente, există N - 1 minime suplimentare.
Cu un număr mare de fante, minimele suplimentare individuale cu greu diferă, iar întregul spațiu dintre maximele principale pare întunecat. Cu cât este mai mare numărul de fante în rețeaua de difracție, cu atât maximele principale sunt mai clare. Pe fig. 19.15 sunt fotografii ale modelului de difracție obținut din rețele cu numere diferite N sloturi (constanta rețelei de difracție este aceeași), iar în Fig. 19.16 - grafic de distribuție a intensității.
Să remarcăm în special rolul minimelor dintr-o fantă. În direcția corespunzătoare condiției (19.27), fiecare fantă oferă un minim, astfel încât minimul dintr-un slot va fi păstrat pentru întreaga zăbrele. Dacă pentru o anumită direcție condițiile minime pentru golul (19.27) și maximul principal al rețelei (19.29) sunt îndeplinite simultan, atunci maximul principal corespunzător nu va apărea. De obicei, ei încearcă să folosească maximele principale, care sunt situate între primele minime dintr-un interval, adică în interval
arcsin(l /A) > A > - arcsin(l /A) (19.33)
Când lumină albă sau altă lumină nemonocromatică cade pe un rețele de difracție, fiecare maxim principal, cu excepția celui central, va fi descompus într-un spectru [vezi Fig. (19.29)]. În acest caz k indica ordinea spectrului.
Astfel, rețeaua este un dispozitiv spectral, prin urmare, caracteristicile sunt esențiale pentru acesta, care fac posibilă evaluarea posibilității de a distinge (rezolvare) linii spectrale.
Una dintre aceste caracteristici este dispersie unghiulară determină lățimea unghiulară a spectrului. Este numeric egală cu distanța unghiulară da dintre două linii spectrale ale căror lungimi de undă diferă cu unu (dl. = 1):
D= da/dl.
Diferențierea (19.29) și utilizarea numai valori pozitive valorile, primim
Cu cos a da = .. k dl.
Din ultimele două egalități pe care le avem
D = ..k /(c cos a). (19.34)
Deoarece se folosesc de obicei unghiuri mici de difracție, cos a » 1. Dispersia unghiulară D cu cât este mai mare cu atât este mai mare ordinea k spectrul și cu cât constanta este mai mică Cu rețeaua de difracție.
Capacitatea de a distinge linii spectrale apropiate depinde nu numai de lățimea spectrului sau de dispersia unghiulară, ci și de lățimea liniilor spectrale, care pot fi suprapuse una peste alta.
Este în general acceptat că dacă între două maxime de difracție de aceeași intensitate există o regiune în care intensitatea totală este de 80% din maximă, atunci liniile spectrale cărora le corespund aceste maxime sunt deja rezolvate.
În acest caz, conform lui JW Rayleigh, maximul unei linii coincide cu cel mai apropiat minim al celeilalte, care este considerat criteriul de rezoluție. Pe fig. Sunt prezentate 19.17 dependențe de intensitate eu linii individuale pe lungimea de undă (curba continuă) și intensitatea lor totală (curba întreruptă). Este ușor de observat din figuri că cele două linii sunt nerezolvate ( A) și limitarea rezoluției ( b), când maximul unei linii coincide cu cel mai apropiat minim al celeilalte.
Rezoluția liniei spectrale este cuantificată rezoluţie, egal cu raportul dintre lungimea de undă și cel mai mic interval de lungimi de undă care poate fi încă rezolvat:
R= l./Dl.. (19.35)
Deci, dacă există două linii apropiate cu lungimi de undă l 1 ³ l 2, Dl = l 1 - l 2 , atunci (19.35) se poate scrie aproximativ ca
R= l 1 /(l 1 - l 2), sau R= l 2 (l 1 - l 2) (19.36)
Condiția maximului principal pentru primul val
Cu păcat a = k l 1 .
Coincide cu cel mai apropiat minim pentru al doilea val, a cărui condiție este
Cu păcat a = k l 2 + l 2 /N.
Echivalând părțile din dreapta ale ultimelor două egalități, avem
k l 1 = k l 2 + l 2 /N, k(l 1 - l 2) = l 2 /N,
de unde [ținând cont de (19.36)]
R =k N .
Deci, puterea de rezoluție a rețelei de difracție este cu atât mai mare, cu atât este mai mare ordinea k spectrul și numărul N lovituri.
Luați în considerare un exemplu. În spectrul obţinut dintr-un reţele de difracţie cu numărul de sloturi N= 10 000, există două linii în apropierea lungimii de undă l = 600 nm. La care este cea mai mică diferență de lungime de undă Dl aceste linii diferă în spectrul de ordinul trei (k = 3)?
Pentru a răspunde la această întrebare, echivalăm (19.35) și (19.37), l/Dl = kN, de unde Dl = l/( kN). Înlocuind valorile numerice în această formulă, găsim Dl = 600 nm / (3,10.000) = 0,02 nm.
Deci, de exemplu, liniile cu lungimi de undă de 600,00 și 600,02 nm se disting în spectru, iar liniile cu lungimi de undă de 600,00 și 600,01 nm nu se pot distinge
Deducem formula rețelei de difracție pentru incidența oblică a razelor coerente (Fig. 19.18, b este unghiul de incidență). Condițiile pentru formarea modelului de difracție (lentila, ecranul în planul focal) sunt aceleași ca și pentru incidența normală.
Să desenăm perpendiculare A „B razele care cădeau şi AB" la undele secundare care se propagă sub un unghi a faţă de perpendiculara ridicată pe planul reţelei. Din fig. 19.18 este clar că la poziție A¢B razele au aceeasi faza, de la AB" iar apoi se păstrează diferența de fază a grinzilor. Prin urmare, diferența de cale este
d \u003d BB "-AA".(19.38)
De la D AA"B avem AA¢= AB sin b = Cu sinb. De la D BB"A găsi BB" = AB sin a = Cu păcat a. Înlocuirea expresiilor pentru AA¢Și BB"în (19.38) și ținând cont de condiția maximelor principale, avem
Cu(sin a - sin b) = ± kl. (19.39)
Maximul principal central corespunde direcției razelor incidente (a=b).
Împreună cu rețelele transparente de difracție, se folosesc rețele reflectorizante, în care cursele sunt aplicate pe o suprafață metalică. Observația se realizează în lumină reflectată. Rețelele de difracție reflectorizante realizate pe o suprafață concavă sunt capabile să formeze un model de difracție fără lentilă.
În rețelele moderne de difracție, numărul maxim de linii este mai mare de 2000 pe 1 mm, iar lungimea rețelei este mai mare de 300 mm, ceea ce dă valoarea N aproximativ un milion.
Unul dintre efectele binecunoscute care confirmă natura ondulatorie a luminii este difracția și interferența. Principalul lor domeniu de aplicare este spectroscopia, în care rețelele de difracție sunt folosite pentru a analiza compoziția spectrală a radiațiilor electromagnetice. Formula care descrie poziția maximelor principale date de această rețea este discutată în acest articol.
Care sunt fenomenele de difracție și interferență?
Înainte de a lua în considerare derivarea formulei pentru o rețea de difracție, ar trebui să vă familiarizați cu fenomenele datorită cărora acest rețele este util, adică cu difracția și interferența.
Difracția este procesul de modificare a mișcării frontului de undă atunci când întâlnește un obstacol opac pe drum, ale cărui dimensiuni sunt comparabile cu lungimea de undă. De exemplu, dacă treceți printr-o gaură mică lumina soarelui, apoi pe perete se poate observa nu un punct luminos mic (ceea ce ar fi trebuit să se întâmple dacă lumina se propaga în linie dreaptă), ci un punct luminos de o anumită dimensiune. Acest fapt mărturisește natura ondulatorie a luminii.
Interferența este un alt fenomen unic pentru unde. Esența sa constă în impunerea undelor unul asupra celuilalt. Dacă formele de undă din mai multe surse sunt potrivite (coerente), atunci poate fi observat un model stabil de zone luminoase și întunecate alternante pe ecran. Minimele dintr-o astfel de imagine sunt explicate prin sosirea undelor într-un punct dat în antifază (pi și -pi), iar maximele sunt rezultatul undelor care lovesc punctul luat în considerare într-o fază (pi și pi).
Ambele fenomene descrise au fost explicate pentru prima dată de un englez când a investigat difracția luminii monocromatice prin două fante subțiri în 1801.
Principiul Huygens-Fresnel și aproximările câmpului îndepărtat și apropiat
Descrierea matematică a fenomenelor de difracție și interferență este o sarcină nebanală. Găsirea soluției sale exacte necesită efectuarea de calcule complexe care implică teoria Maxwelliană a undelor electromagnetice. Cu toate acestea, în anii 1920, francezul Augustin Fresnel a arătat că, folosind ideile lui Huygens despre sursele secundare de unde, se pot descrie cu succes aceste fenomene. Această idee a condus la formularea principiului Huygens-Fresnel, care stă la baza derivării tuturor formulelor de difracție prin obstacole de formă arbitrară.
Cu toate acestea, chiar și cu ajutorul principiului Huygens-Fresnel, pentru a rezolva problema difracției în vedere generala nu reuşeşte, prin urmare, la obţinerea formulelor se recurge la unele aproximări. Principalul este un front de undă plat. Această formă de undă trebuie să cadă pe obstacol, astfel încât o serie de calcule matematice să poată fi simplificate.
Următoarea aproximare este poziția ecranului în care modelul de difracție este proiectat în raport cu obstacolul. Această poziție este descrisă de numărul Fresnel. Se calculeaza astfel:
Unde a este dimensiunile geometrice ale obstacolului (de exemplu, o fantă sau o gaură rotundă), λ este lungimea de undă, D este distanța dintre ecran și obstacol. Dacă pentru un anumit experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, apoi are loc aproximarea câmpului apropiat sau difracția Fresnel.
Diferența dintre difracția Fraunhofer și Fresnel constă în condițiile diferite pentru fenomenul de interferență la distanțe mici și mari de obstacol.
Derivarea formulei pentru maximele principale ale rețelei de difracție, care va fi dată mai târziu în articol, implică luarea în considerare a difracției Fraunhofer.
Rețeaua de difracție și tipurile sale
Acest grătar este o placă de sticlă sau plastic transparent de câțiva centimetri, pe care se aplică lovituri opace de aceeași grosime. Cursele sunt situate la o distanță constantă d una de alta. Această distanță se numește perioadă de rețea. Alte două caracteristici importante ale dispozitivului sunt constanta rețelei a și numărul de fante transparente N. Valoarea lui a determină numărul de fante pe 1 mm lungime, deci este invers proporțională cu perioada d.
Există două tipuri de rețele de difracție:
- Transparent, așa cum este descris mai sus. Modelul de difracție dintr-un astfel de rețele rezultă din trecerea unui front de undă prin acesta.
- reflectorizant. Se realizează prin aplicarea unor mici caneluri pe o suprafață netedă. Difracția și interferența de la o astfel de placă apar din cauza reflectării luminii din vârfurile fiecărei caneluri.
Indiferent de tipul de grătar, ideea efectului său asupra frontului de undă este de a crea o perturbare periodică în acesta. Acest lucru duce la formarea unui număr mare de surse coerente, rezultatul interferenței cărora este un model de difracție pe ecran.
Formula de bază a unui rețele de difracție
Derivarea acestei formule presupune luarea în considerare a dependenței intensității radiației de unghiul de incidență a acesteia pe ecran. În aproximarea câmpului îndepărtat, se obține următoarea formulă pentru intensitatea I(θ):
I(θ) = I0 *(sin(β)/β)2*2, unde
α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));
β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).
În formulă, lățimea fantei rețelei de difracție este notă cu simbolul a. Prin urmare, factorul din paranteze este responsabil pentru difracția cu o fantă. Valoarea lui d este perioada rețelei de difracție. Formula arată că factorul dintre paranteze pătrate în care apare această perioadă descrie interferența din setul de fante de rețea.
Folosind formula de mai sus, puteți calcula valoarea intensității pentru orice unghi de incidență a luminii.
Dacă găsim valoarea maximelor de intensitate I(θ), atunci putem concluziona că acestea apar cu condiția ca α = m*pi, unde m este orice număr întreg. Pentru condiția maximă, obținem:
m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) - sin(θ 0)) =>
sin (θ m) - sin (θ 0) \u003d m * λ / d.
Expresia rezultată se numește formula pentru maximele rețelei de difracție. Numerele m sunt de ordinul difracției.
Alte moduri de a scrie formula de bază pentru zăbrele
Rețineți că formula dată în paragraful anterior conține termenul sin(θ 0). Aici, unghiul θ 0 reflectă direcția de incidență a frontului undei luminoase în raport cu planul rețelei. Când frontul cade paralel cu acest plan, atunci θ 0 = 0 o . Apoi obținem expresia maximelor:
Deoarece constanta rețelei a (a nu se confunda cu lățimea fantei) este invers proporțională cu valoarea lui d, formula de mai sus poate fi rescrisă în termenii constantei rețelei de difracție ca:
Pentru a evita erorile atunci când înlocuiți anumite numere λ, a și d în aceste formule, trebuie să utilizați întotdeauna unitățile SI corespunzătoare.
Conceptul de dispersie unghiulară a grătarului
Vom nota această valoare cu litera D. Conform definiției matematice, se scrie astfel:
Semnificația fizică a dispersiei unghiulare D este că arată cu ce unghi dθ m se va deplasa maximul pentru ordinul de difracție m dacă lungimea de undă incidentă este modificată cu dλ.
Dacă aplicăm această expresie la ecuația rețelei, atunci obținem formula:
Dispersia rețelei de difracție unghiulară este determinată de formula de mai sus. Se poate observa că valoarea lui D depinde de ordinul m și de perioada d.
Cu cât dispersia D este mai mare, cu atât rezoluția unei rețele date este mai mare.
Rezoluția grătarului
Rezoluția este înțeleasă ca o mărime fizică care arată cu ce valoare minimă pot diferi două lungimi de undă, astfel încât maximele lor să apară separat în modelul de difracție.
Rezoluția este determinată de criteriul Rayleigh. Se spune: două maxime pot fi separate într-un model de difracție dacă distanța dintre ele este mai mare decât jumătatea lățimii fiecăruia dintre ele. Jumătatea unghiulară a maximului pentru grătar este determinată de formula:
Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θ m)).
Rezoluția rețelei în conformitate cu criteriul Rayleigh este:
Δθ m >Δθ 1/2 sau D*Δλ>Δθ 1/2.
Înlocuind valorile lui D și Δθ 1/2, obținem:
Δλ*m/(d*cos(θ m))>λ/(N*d*cos(θ m) =>
Δλ > λ/(m*N).
Aceasta este formula pentru rezoluția unui rețele de difracție. Cu cât este mai mare numărul de curse N pe placă și cu cât este mai mare ordinul de difracție, cu atât rezoluția pentru o anumită lungime de undă λ este mai mare.
Rețeaua de difracție în spectroscopie
Să scriem încă o dată ecuația de bază a maximelor pentru rețea:
Se poate observa aici că, cu cât lungimea de undă cade mai mult pe placa cu lovituri, cu atât valorile unghiurilor vor apărea mai mari pe maximele ecranului. Cu alte cuvinte, dacă lumina nemonocromatică (de exemplu, albă) este trecută prin placă, atunci apariția maximelor de culoare poate fi văzută pe ecran. Pornind de la maximul central alb (difracție de ordin zero), maximele vor apărea mai departe pentru undele mai scurte (violete, albastre) și apoi pentru cele mai lungi (portocaliu, roșu).
O altă concluzie importantă din această formulă este dependența unghiului θ m de ordinul difracției. Cu cât m este mai mare, cu atât valoarea lui θ m este mai mare. Aceasta înseamnă că liniile colorate vor fi mai separate unele de altele la înalte pt ordin înalt difracţie. Acest fapt a fost deja consacrat când s-a luat în considerare rezoluția grătarului (vezi paragraful anterior).
Capacitățile descrise ale rețelei de difracție fac posibilă utilizarea acestuia pentru a analiza spectrele de emisie ale diferitelor obiecte luminoase, inclusiv stele și galaxii îndepărtate.
Exemplu de rezolvare a problemei
Să arătăm cum să folosim formula rețelei de difracție. Lungimea de undă a luminii care cade pe rețea este de 550 nm. Este necesar să se determine unghiul la care apare difracția de ordinul întâi dacă perioada d este de 4 µm.
Convertiți toate datele în unități SI și înlocuiți în această egalitate:
θ 1 \u003d arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) \u003d 7,9 o.
Dacă ecranul se află la o distanță de 1 metru de rețea, atunci de la mijlocul maximului central va apărea linia de ordinul întâi de difracție pentru o undă de 550 nm la o distanță de 13,8 cm, ceea ce corespunde unui unghi. de 7,9 o .
Se încarcă...
