Rezolvarea ecuațiilor folosind tabelul lui Horner. III. Exemple de probleme cu soluții. Învățarea de materiale noi

Să existe un binom simplu de forma ax + b = 0. Nu este greu de rezolvat. Trebuie doar să mutați necunoscutul într-o parte, iar coeficienții în cealaltă. Ca rezultat x = - b/a. Ecuația considerată poate fi complicată prin adăugarea pătratului ax2 + bx + c = 0. Se rezolvă prin găsirea discriminantului. Dacă este mai mare decât zero, atunci vor fi două soluții, dacă este egal cu zero, există o singură rădăcină, iar când este mai mică, atunci nu există soluții deloc.

Fie ca următorul tip de ecuație să conțină a treia putere ax3 + bx2 + c + d = 0. Această egalitate provoacă dificultăți pentru mulți. Deși există diferite căi, permițând rezolvarea unei astfel de ecuații, de exemplu, formula Kordan, dar nu mai pot fi folosite pentru grade de ordinul al cincilea și superior. Prin urmare, matematicienii s-au gândit la o metodă universală prin care ar fi posibil să se calculeze ecuații de orice complexitate.

De obicei, școala sugerează utilizarea metodei grupării și analizei, în care polinomul poate fi descompus în cel puțin doi factori. Pentru o ecuație cubică, putem scrie: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Apoi folosesc faptul că produsul va fi egal cu zero numai dacă binomul liniar sau ecuație pătraticăîl egalează. Apoi executați soluția standard. Problema calculării acestui tip de egalități reduse apare în timpul căutării x0. Aici va ajuta schema lui Horner.

Algoritmul propus de Horner a fost de fapt descoperit mai devreme de matematicianul italian și doctorul Paolo Ruffini. El a fost primul care a dovedit imposibilitatea de a găsi un radical în expresiile de gradul cinci. Dar opera sa conținea multe contradicții care nu permiteau să fie acceptată de lumea matematică a oamenilor de știință. Pe baza lucrării sale, în 1819 britanicul William George Horner a publicat o metodă pentru găsirea rădăcinilor aproximative ale unui polinom. Această lucrare a fost publicată de Royal Society și a fost numită metoda Ruffini-Horner.

După ce scoțianul Augustus de Morgan a extins posibilitățile de utilizare a metodei. Metoda și-a găsit aplicație în relațiile teoretice de mulțimi și teoria probabilității. De fapt, schema este un algoritm pentru calcularea coeficientului și a restului relației de scriere a P (x) pe x-c.

Principiul metodei

Pentru prima dată, elevii sunt introduși în metoda de găsire a rădăcinilor folosind schema Horner în clasele superioare. liceu la clasa de algebră. Se explică prin exemplul de rezolvare a unei ecuații de gradul trei: x3 + 6x - x - 30 = 0. Mai mult, în condiția problemei se dă că rădăcina acestei ecuații este numărul doi. Provocarea este de a identifica alte rădăcini.

Acest lucru se face de obicei în felul următor. Dacă polinomul p (x) are o rădăcină x0, atunci p (x) poate fi reprezentat ca produsul dintre diferența x minus x zero și alt polinom q (x), al cărui grad va fi cu unul mai mic. Polinomul dorit se distinge de obicei prin metoda împărțirii. Pentru acest exemplu, ecuația va arăta astfel: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Diviziunea se face cel mai bine cu un „colț”. Rezultatul este expresia: x 2 + 8x + 15.

Astfel, expresia dorită poate fi rescrisă ca (x - 2) * (x 2 + 8x + 15) = 0. În continuare, pentru a găsi o soluție, trebuie să faceți următoarele:

• Găsiți rădăcinile din primul termen al egalității, echivalându-l cu zero: x - 2 = 0. Prin urmare, x = 2, care rezultă și din condiție.
• Rezolvați ecuația pătratică echivalând al doilea termen al polinomului cu zero: x 2 + 8x + 15 = 0. Puteți găsi rădăcinile prin discriminant sau folosind formulele Vieta. Deci, puteți scrie că (x + 3) * (x + 5) \u003d 0, adică x unu este egal cu trei și x doi - minus cinci.

Se găsesc toate cele trei rădăcini. Dar aici apare o întrebare rezonabilă, unde este folosită schema Horner în exemplu? Deci, toate aceste calcule greoaie pot fi înlocuite cu un algoritm de soluție de mare viteză. Constă în acțiuni simple. Mai întâi trebuie să desenați un tabel care să conțină mai multe coloane și rânduri. Pornind de la a doua coloană a liniei inițiale, notați coeficienții din ecuația polinomului original. În prima coloană puneți numărul cu care se va efectua împărțirea, adică membrii potențiali ai soluției (x0).

După ce x0 selectat a fost scris în tabel, completarea are loc conform următorului principiu:

• în prima coloană, pur și simplu, ceea ce este în elementul superior al celei de-a doua coloane este demolat;
• pentru a găsi următorul număr, trebuie să înmulțiți numărul demolat cu x0 selectat și să adăugați numărul în picioare în coloana completată de sus;
• se efectuează operații similare până la umplerea finală a tuturor celulelor;
• rândurile din ultima coloană sunt egale cu zero și vor fi soluția dorită.

Pentru exemplul luat în considerare, la înlocuirea unui doi, linia va consta dintr-o serie: 2, 1, 8, 15, 0. Astfel, se găsesc toți membrii. În acest caz, schema funcționează pentru orice ordine a ecuației puterii.

Exemplu de utilizare

Pentru a înțelege cum să folosiți schema lui Horner, trebuie să luăm în considerare în detaliu un exemplu tipic. Să fie necesar să se determine multiplicitatea rădăcinii x0 a polinomului p (x) \u003d x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Adesea, în probleme, este necesar să se selecteze rădăcinile prin enumerare, dar pentru a economisi timp, vom presupune că acestea sunt deja cunoscute și trebuie doar verificate. Aici ar trebui să se înțeleagă că folosind schema, calculul va fi în continuare mai rapid decât folosind alte teoreme sau metoda reducerii.

Conform algoritmului de soluție, în primul rând, trebuie să desenați un tabel. Prima linie indică coeficienții principali. Pentru ecuație, va fi necesar să desenați opt coloane. Aflați apoi de câte ori se va potrivi x0 = 2 în polinomul studiat.În a doua linie a coloanei a doua, coeficientul este pur și simplu demolat. Pentru cazul în cauză, acesta va fi egal cu unu. În celula alăturată, valoarea este calculată ca 2 *1 -5 = -3. În următoarea: 2 *(-3) + 7 = 1. Completați celulele rămase în același mod.

După cum puteți vedea, cel puțin o dată un doi este plasat într-un polinom. Acum trebuie să verificăm dacă cele două sunt rădăcina celei mai mici expresii obținute. După efectuarea unor acțiuni similare în tabel, ar trebui să se obțină următorul rând: 1, -1, -1. -2, 0. De fapt, aceasta este o ecuație pătratică, care trebuie, de asemenea, verificată. Ca rezultat, seria calculată va fi formată din 1, 1, 1, 0.

În ultima expresie, doi nu pot fi o soluție rațională. Adică, în polinomul original, numărul doi este folosit de trei ori, ceea ce înseamnă că puteți scrie: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Faptul că cele două nu sunt rădăcina expresiei pătrate poate fi înțeles din următoarele fapte:

• coeficientul liber nu este divizibil cu doi;
• toți cei trei coeficienți sunt pozitivi, ceea ce înseamnă că graficul inegalității va crește începând de la doi.

Astfel, utilizarea sistemului vă permite să scăpați de utilizarea numărătorilor și divizorilor complexe. Toate acțiunile sunt reduse la o simplă înmulțire a numerelor întregi și selectarea zerourilor.

Explicarea metodei

Confirmarea validității existenței schemei lui Horner se explică printr-o serie de factori. Imaginați-vă că există un polinom de gradul al treilea: x3 + 5x - 3x + 8. Din această expresie, x poate fi scos din paranteză: x * (x2 + 5x - 3) + 8. Din formula rezultată, avem poate scoate din nou x: x * (x * (x + 5) - 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) - 3) + 8.

De fapt, pentru a calcula expresia rezultată, puteți înlocui valoarea x așteptată în prima paranteză interioară și puteți efectua operații algebrice, în funcție de precedență. De fapt, acestea sunt toate acțiunile care sunt efectuate în metoda Horner. În acest caz, numerele 8, -3, 5, 1 sunt coeficienții polinomului original.

Să existe un polinom P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Dacă această expresie are o anumită rădăcină x = x0, atunci aceasta înseamnă că expresia luată în considerare poate fi rescris ca: P (x) = (x-x0) * Q(x). Aceasta este o consecință a teoremei lui Bezout. Lucrul important aici este că gradul polinomului Q(x) va fi cu unul mai mic decât îl are P(x). Prin urmare, se poate scrie într-o formă mai mică: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Cele două construcții sunt identic egale între ele .

Și aceasta înseamnă că toți coeficienții polinoamelor considerate sunt egali, în special, (x0)b) = a0. Folosind aceasta, se poate argumenta că oricare ar fi numerele a0 și b0, x este întotdeauna un divizor, adică a0 poate fi întotdeauna împărțit la rădăcinile polinomului. Cu alte cuvinte, găsiți soluții raționale.

Cazul general care explică metoda ar fi: an * x n + an-1 * x n-1 + ... + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + . .. + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m) + a0). Adică, schema funcționează indiferent de gradul polinomului. Ea este universală. În același timp, este potrivit atât pentru ecuații incomplete, cât și pentru cele complete. Acesta este un instrument care vă permite să verificați x0 pentru rădăcină. Dacă nu este o soluție, atunci numărul rămas la sfârșit va fi restul împărțirii polinomului considerat.

În matematică, notația corectă pentru metodă este: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. În ea, valoarea lui i se schimbă de la zero la en, iar polinomul însuși este împărțit la binomul x - a. După efectuarea acestei acțiuni se obține o expresie al cărei grad este cu unul mai mic decât cel inițial. Cu alte cuvinte, este definit ca n - 1.

Calcul pe calculatorul online

Utilizarea resurselor care oferă acces la calcularea rădăcinilor de grade superioare de polinoame este destul de convenabilă. Pentru a folosi astfel de site-uri, nu este nevoie să aveți cunoștințe speciale în matematică sau programare. Tot ce are nevoie utilizatorul este accesul la Internet și un browser care acceptă scripturi Java.

Există zeci de astfel de site-uri. În același timp, unii dintre aceștia pot cere o recompensă bănească pentru soluția oferită. Deși majoritatea resurselor sunt gratuite și nu numai că calculează rădăcinile în ecuațiile de putere, ci și oferă solutie detaliata cu comentarii. În plus, pe paginile calculatoarelor, oricine se poate familiariza cu un scurt material teoretic și poate lua în considerare rezolvarea unor exemple de complexitate diferită. Deci întrebările cu conceptul de unde a venit răspunsul nu ar trebui să apară.

Din întregul set de calculatoare online de numărare conform schemei Horner, se pot distinge următoarele trei:

• Munca de control. Serviciul se adresează elevilor de liceu, dar în ceea ce privește capacitățile sale este destul de funcțional. Cu el, puteți verifica foarte rapid rădăcinile pentru conformitate.
• Ştiinţă. Aplicația vă permite să determinați rădăcinile folosind metoda Horner în doar două sau trei secunde. Pe site găsiți toată teoria necesară. Pentru a efectua calculul, trebuie să vă familiarizați cu regulile de introducere a unei formule matematice, indicate chiar acolo pe site.
• Calc. Folosind acest site, utilizatorul va putea obține o descriere detaliată a soluției cu o imagine de tabel. Pentru a face acest lucru, introduceți ecuația într-o formă specială și faceți clic pe butonul „soluție”.

Programele folosite pentru calcule au o interfață intuitivă și nu conțin adware sau cod rău intenționat. După efectuarea mai multor calcule pe aceste resurse, utilizatorul va putea învăța în mod independent cum să determine rădăcinile folosind metoda Horner.

În același timp, calculatoarele online sunt utile nu numai studenților, ci și inginerilor care efectuează calcule complexe. La urma urmei, calculul independent necesită atenție și concentrare. Orice greșeală minoră va duce în cele din urmă la un răspuns incorect. În același timp, apariția unei erori în calculele folosind calculatoare online este imposibilă.

1. Împărțiți 5X 4 + 5 X 3 + X 2 − 11 pe x − 1 folosind schema lui Horner.

Soluţie:

Să facem un tabel din două linii: în prima linie scriem coeficienții polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11, dispuse în ordinea descrescătoare a puterilor variabilei X. Rețineți că acest polinom nu conține Xîn gradul I, adică coeficient înainte X la prima putere este 0. Deoarece împărțim la X−1, atunci scriem unitatea pe a doua linie:

Să începem să completăm celulele goale din al doilea rând. În a doua celulă a celui de-al doilea rând, scrieți numărul 5 , prin simpla mutare din celula corespunzătoare din primul rând:

Completați celula următoare după cum urmează: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

În mod similar, completați a patra celulă din al doilea rând: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Pentru a cincea celulă obținem: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

Și, în sfârșit, pentru ultima, a șasea celulă, avem: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Problema este rezolvată, rămâne doar să scrieți răspunsul:

După cum puteți vedea, numerele situate pe a doua linie (între unu și zero) sunt coeficienții polinomului obținuți după împărțirea a 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 pe X-1. Desigur, deoarece gradul polinomului original este 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 a fost egal cu patru, apoi gradul polinomului rezultat 5 X 3 +10X 2 +11X+11 unul mai puțin, adică este egal cu trei. Ultimul număr din a doua linie (zero) înseamnă restul împărțirii polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 pe X−1.
În cazul nostru, restul este zero, adică. polinoamele sunt divizibile. Acest rezultat mai poate fi caracterizat astfel: valoarea polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 la X=1 este zero.
Concluzia poate fi formulată și sub următoarea formă: întrucât valoarea polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11 la X=1 este egal cu zero, atunci unitatea este rădăcina polinomului 5 X 4 +5X 3 +X 2 −11.

2. Aflați câtul incomplet, restul împărțirii unui polinom

A(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– 1 pe binom X – 1.

Soluţie:

Răspuns: Q(X) = X 2 – X + 1 , R(X) = 0.

3. Calculați valoarea polinomului A(X) la X = – 1 dacă A(X) = X 3 – 2 X – 1.

Soluţie:

Răspuns: A(– 1) = 0.

4. Calculați valoarea polinomuluiA(X) la X= 3, coeficient incomplet și restul, unde

A(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Soluţie:

Răspuns: R(X) = A(3) = 535, Q(X) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Găsiți rădăcinile ecuațieiX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Soluţie:

Găsim divizorii termenului liber ±1; ±2; ± 3; ±6

Site-ul „tutor profesional în matematică” continuă seria articolelor metodologice despre predare. Public descrieri ale metodelor de lucru cu cele mai complexe și problematice subiecte din programa școlară. Acest material va fi util profesorilor și tutorilor de matematică care lucrează cu elevii din clasele 8-11 atât în ​​programul obișnuit, cât și în programul orelor de matematică.

Un profesor de matematică nu poate explica întotdeauna materialul care este prost prezentat într-un manual. Din păcate, există tot mai multe astfel de subiecte, iar erorile de prezentare, în urma autorilor manualelor, se fac în masă. Acest lucru se aplică nu numai tutorilor începători în matematică și tutorilor cu fracțiune de normă (tutori - studenți și tutori universitari), ci și profesorilor cu experiență, tutorilor - profesioniști, tutorilor cu experiență și calificări. Talentul unui corector de rugozitate competent manualele școlare nu toți profesorii de matematică au. De asemenea, nu toată lumea înțelege că aceste corecții (sau completări) sunt necesare. Doar câțiva sunt angajați în adaptarea materialului pentru percepția sa calitativă de către copii. Din păcate, a trecut vremea când profesorii de matematică, împreună cu metodologii și autorii de publicații, discutau masiv fiecare literă a manualului. În trecut, înainte ca un manual să fie introdus în școli, au fost efectuate analize și studii serioase ale rezultatelor învățării. A sosit timpul pentru diletanții care se străduiesc să facă manualele universale, potrivindu-le la standardele unor clase puternice de matematică.

Cursa pentru creșterea cantității de informații nu duce decât la scăderea calității asimilării acesteia și, ca urmare, la scăderea nivelului de cunoștințe reale la matematică. Dar nimeni nu acordă atenție acestui lucru. Și copiii noștri sunt obligați deja în clasa a VIII-a să studieze prin ce am trecut la institut: teoria probabilităților, rezolvarea ecuațiilor grade înalte si inca ceva. Adaptarea materialului din cărți pentru percepția sa deplină de către copil lasă de dorit și profesorul de matematică este nevoit să se ocupe cumva de asta.

Să vorbim despre metodologia de predare a unei teme atât de specifice precum „împărțirea unui colț al unui polinom cu un polinom”, mai cunoscută în matematica adulților ca „teorema lui Bezout și schema lui Horner”. Cu doar câțiva ani în urmă, întrebarea nu era atât de acută pentru un profesor de matematică, deoarece nu era inclus în principalul curiculumul scolar. Acum, autorii respectați ai manualului, editat de Telyakovsky, au făcut modificări la cea mai recentă ediție a celui mai bun manual, după părerea mea, și, după ce l-au stricat complet, au adăugat doar griji inutile tutorului. Profesorii școlilor și claselor care nu au statutul de matematică, concentrându-se pe inovațiile autorilor, au început să includă mai des paragrafe suplimentare în lecțiile lor, iar copiii iscoditori, privind paginile frumoase ale manualului lor de matematică, îi întreabă din ce în ce mai mult pe tutore: „Ce este această împărțire după un colț? Trecem prin asta? Cum să împarți un colț? Nu se ascunde de astfel de întrebări directe. Profesorul va trebui să spună ceva copilului.

Dar ca? Probabil că nu aș descrie metoda de lucru cu subiectul dacă ar fi prezentat corect în manuale. Cum se întâmplă totul cu noi? Manualele trebuie tipărite și vândute. Și pentru aceasta trebuie să fie actualizate în mod regulat. Profesorii universitari se plâng că vin copiii la ei cu capul gol, fără cunoștințe și abilități? Cerințele pentru cunoștințele matematice cresc? Grozav! Să eliminăm câteva dintre exerciții și, în schimb, să introducem subiecte care sunt studiate în alte programe. De ce este mai rău manualul nostru? Să includem câteva capitole suplimentare. Scolarii nu cunosc regula impartirii dupa un colt? Aceasta este matematică elementară. Ar trebui să facem un astfel de paragraf opțional, cu titlul „pentru cei care doresc să afle mai multe”. Tutori împotriva? Și ce ne pasă de tutori în general? Metodiștii și profesorii de școală sunt și ei împotrivă? Nu vom complica materialul și vom lua în considerare cea mai simplă parte a acestuia.

Și de aici începe. Simplitatea temei și calitatea asimilării sale constă, în primul rând, în înțelegerea logicii acesteia, și nu în faptul că, conform prescripției autorilor manualului, să se efectueze un anumit set de operații care nu sunt în mod clar legate între ele. În caz contrar, se va asigura ceața din capul elevului. Dacă autorii se bazează pe studenți relativ puternici (dar care studiază conform programului obișnuit), atunci nu ar trebui să trimiteți subiectul într-o formă de echipă. Ce vedem în manual? Copii, este necesar să se împartă în conformitate cu această regulă. Obțineți polinomul din colț. Astfel, polinomul original va fi factorizat. Cu toate acestea, nu este clar de ce termenii de sub colț sunt aleși în acest fel, de ce trebuie să fie înmulțiți cu un polinom peste colț și apoi scăzuți din restul curent - nu este clar. Și cel mai important, nu este clar de ce monomiile alese trebuie adăugate în final și de ce parantezele rezultate vor fi extinderea polinomului original. Orice matematician competent va pune un semn de întrebare îndrăzneț peste explicațiile care sunt date în manual.

Aduc în atenția tutorilor și profesorilor de matematică soluția mea la problemă, ceea ce face practic să fie evident pentru elev tot ceea ce este menționat în manual. De fapt, vom demonstra teorema lui Bezout: dacă numărul a este rădăcina unui polinom, atunci acest polinom poate fi descompus în factori, dintre care unul este x-a, iar al doilea este obținut din cel original într-unul din trei moduri: prin extragerea unui factor liniar prin transformări, împărțirea la colț sau după schema lui Horner. Cu o astfel de formulare va fi mai ușor pentru un profesor de matematică să lucreze.

Ce este o metodologie de predare? În primul rând, este o ordine clară în succesiunea explicațiilor și exemplelor, pe baza căreia se trag concluzii matematice. Acest subiect nu face excepție. Este foarte important ca un profesor de matematică să prezinte copilul teorema lui Bezout înainte de a se efectua împărțirea colțului. Este foarte important! Cel mai bun mod de a înțelege este cu un exemplu concret. Să luăm un polinom cu o rădăcină aleasă și să arătăm tehnica factorizării acestuia folosind metoda familiară elevului din clasa a VII-a transformări identice. Cu explicații adecvate, accente și sfaturi de la un profesor de matematică, este foarte posibil să transmiteți materialul fără calcule matematice generale, coeficienți și grade arbitrare.

Sfaturi importante pentru profesorii de matematică- urmați instrucțiunile de la început până la sfârșit și nu modificați această secvență.

Deci, să presupunem că avem un polinom. Dacă înlocuim numărul 1 în locul lui x, atunci valoarea polinomului va fi zero. Prin urmare, x=1 este rădăcina sa. Să încercăm să descompunem în doi termeni, astfel încât unul dintre ei să fie produsul unei expresii liniare și al unui monom, iar al doilea să aibă un grad unu mai mic decât . Adică o reprezentăm sub formă

Alegem monomul pentru câmpul roșu, astfel încât atunci când este înmulțit cu termenul principal, acesta coincide complet cu termenul principal al polinomului original. Dacă elevul nu este cel mai slab, atunci el va fi destul de capabil să ofere profesorului de matematică expresia dorită:. Tutorului ar trebui să i se ceară imediat să-l introducă în caseta roșie și să arate ce se va întâmpla când vor fi deschise. Cel mai bine este să semnați acest polinom temporar virtual sub săgeți (sub fotografie), evidențiind-o cu o culoare, de exemplu, albastru. Acest lucru vă va ajuta să alegeți sumand pentru câmpul roșu, numit rezidual din selecție. Aș sfătui profesorii să sublinieze aici că acest rest poate fi găsit prin scădere. Efectuând această operație, obținem:

Un profesor de matematică ar trebui să atragă atenția elevului asupra faptului că, prin înlocuirea unei unități în această egalitate, avem garanția să obținem zero pe partea stângă (deoarece 1 este rădăcina polinomului original), iar în dreapta, evident, avem va seta, de asemenea, primul termen la zero. Deci, fără nicio verificare, putem spune că unitatea este rădăcina „reziduului verde”.

Să ne ocupăm de ea în același mod ca și cu polinomul original, extragând din el același factor liniar. Profesorul de matematică desenează două casete în fața elevului și îi cere să completeze de la stânga la dreapta.

Elevul selectează pentru tutore monomul pentru câmpul roșu, astfel încât atunci când este înmulțit cu termenul cel mai mare al expresiei liniare, să dea termenul cel mai mare al polinomului extins. O introducem în cadru, deschidem imediat paranteza și evidențiem cu albastru expresia care trebuie scăzută din cea extinsă. Efectuând această operațiune, obținem

Și, în sfârșit, făcând același lucru cu ultimul rămas

ajunge in sfarsit

Acum scoatem expresia din paranteză și ne vom confrunta cu descompunerea polinomului original în factori, dintre care unul este „x minus rădăcina aleasă”.

Pentru ca elevul să nu creadă că ultimul „reziduu verde” s-a descompus accidental în factorii necesari, profesorul de matematică ar trebui să indice proprietate importantă dintre toate reziduurile verzi - fiecare dintre ele are o rădăcină 1. Deoarece gradele acestor reziduuri scad, atunci indiferent de gradul polinomului inițial care ne este dat, mai devreme sau mai târziu, vom obține un „reziduu verde” liniar cu o rădăcina lui 1 și, prin urmare, va descompune în mod necesar într-un produs un număr și o expresie .

Dupa asa ceva munca pregatitoare nu va fi dificil pentru un profesor de matematică să explice unui elev ce se întâmplă la împărțirea unui colț. Acesta este același proces, doar într-o formă mai scurtă și mai compactă, fără semne egale și fără rescrierea acelorași termeni selectați. Scriem polinomul din care este extras multiplicatorul liniar în stânga colțului, colectăm monomiile roșii selectate într-un unghi (acum devine clar de ce ar trebui să se adună), pentru a obține „polinoamele albastre”, trebuie să înmulțim „roșul” cu x-1 și apoi scădeți din curentul selectat cum se face în împărțirea obișnuită a numerelor într-o coloană (aici este o analogie cu cea studiată anterior). „Reziduurile verzi” rezultate sunt supuse unei noi selecții și selecție de „monomii roșii”. Și tot așa până se obține un „rezidu verde” zero. Cel mai important lucru este că soarta ulterioară a polinoamelor scrise deasupra și sub colț devine clară pentru elev. Evident, acestea sunt paranteze, al căror produs este egal cu polinomul original.

Următoarea etapă în munca unui tutore în matematică este formularea teoremei lui Bezout. De fapt, formularea sa cu această abordare a tutorelui devine evidentă: dacă numărul a este rădăcina polinomului, atunci el poate fi descompus în factori, dintre care unul, iar celălalt se obține din cel original într-unul din trei. moduri:

• descompunere directă (analog cu metoda de grupare)
• împărțirea printr-un colț (într-o coloană)
• prin schema lui Horner

Trebuie să spun că departe de toți tutorii de matematică le arată elevilor schema de corn, și nu toți profesorii de școală (din fericire pentru tutorii înșiși) intră atât de adânc în subiect în lecții. Cu toate acestea, pentru un student la matematică, nu văd niciun motiv să mă opresc la împărțirea lungă. În plus, cel mai convenabil și rapid Tehnica de descompunere se bazează tocmai pe schema lui Horner. Pentru a explica copilului de unde provine este suficient să urmărim apariția unor coeficienți mai mari în reziduurile verzi folosind exemplul împărțirii la colț. Devine clar că cel mai mare coeficient al polinomului inițial este demolat în coeficientul primului „monom roșu” și mai departe de al doilea coeficient al polinomului superior actual. scăzut rezultatul înmulțirii coeficientului actual „monom roșu” cu . Prin urmare, poți adăuga rezultatul înmulțirii cu . După ce a concentrat atenția elevului asupra specificului acțiunilor cu coeficienți, un tutore de matematică poate arăta cum sunt efectuate de obicei aceste acțiuni fără a nota variabilele în sine. Pentru a face acest lucru, este convenabil să introduceți rădăcina și coeficienții polinomului original în ordinea de prioritate în următorul tabel:

Dacă lipsește vreun grad în polinom, atunci coeficientul lui zero este introdus forțat în tabel. Coeficienții „polinoamelor roșii” sunt introduși alternativ în linia de jos conform regulii „cârligului”:

Rădăcina este înmulțită cu ultimul „coeficient roșu” demolat, adăugat la următorul coeficient din rândul de sus și rezultatul este demolat la linia de jos. În ultima coloană, suntem garantați să obținem cel mai mare coeficient al ultimului „bilanţ verde”, adică zero. După finalizarea procesului, numerele cuprins între o rădăcină potrivită și restul zero se dovedesc a fi coeficienții celui de-al doilea factor (neliniar).

Deoarece rădăcina a dă zero la sfârșitul rândului de jos, atunci schema lui Horner poate fi utilizată pentru a verifica numerele pentru rangul rădăcinii unui polinom. Dacă o teoremă specială privind selecția unei rădăcini raționale. Toți candidații la acest titlu obținuți cu ajutorul lui sunt pur și simplu inserați pe rând din stânga în schema lui Horner. De îndată ce obținem zero, numărul testat va fi rădăcina și, în același timp, vom obține coeficienții expansiunii polinomului original în factori. Foarte confortabil.

În concluzie, aș dori să remarc că pentru introducerea precisă a schemei Horner, precum și pentru consolidarea practică a temei, un tutore de matematică trebuie să aibă la dispoziție un număr suficient de ore. Un tutore care lucrează cu modul „o dată pe săptămână” nu ar trebui să fie angajat în împărțirea unui colț. La Examenul Unificat de Stat la matematică și la GIA la matematică, este puțin probabil ca în prima parte să existe vreodată o ecuație de gradul trei, rezolvată prin astfel de mijloace. Dacă un tutore pregătește un copil pentru un examen de matematică la Universitatea de Stat din Moscova, studiul subiectului devine obligatoriu. Profesorii universitari sunt foarte iubitori, spre deosebire de compilatorii Examenului de stat unificat, să verifice cunoștințele profunde ale solicitantului.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, profesor de matematică Moscova, Strogino

Polinom bun
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
poate fi multiplicat conform schemei lui Horner, dacă se cunoaște cel puțin 1 dintre rădăcinile sale.

Să analizăm împărțirea conform schemei Horner folosind un exemplu:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Mai întâi trebuie să utilizați metoda de selecție pentru a găsi o rădăcină. De obicei este divizorul termenului liber. În acest caz, divizorii numărului -10 sunt ±1, ±2, ±5, ±10. Să începem să le înlocuim pe rând:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ număr 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ număr -1 este rădăcina polinomului

Am găsit una dintre rădăcinile polinomului. Rădăcina polinomului este -1, ceea ce înseamnă că polinomul original trebuie să fie divizibil cu x+1. Pentru a realiza împărțirea polinoamelor, folosim schema lui Horner:

Linia de sus conține coeficienții polinomului original. În prima celulă a celui de-al doilea rând, punem rădăcina pe care am găsit-o -1. A doua linie conține coeficienții polinomului, care vor fi obținuți ca rezultat al împărțirii. Ei contează astfel:

Ultimul număr este restul diviziunii. Dacă este egal cu 0, atunci am numărat totul corect.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

Dar acesta nu este sfârșitul. Puteți încerca să extindeți polinomul în același mod 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Din nou căutăm rădăcina printre divizorii termenului liber. După cum am aflat deja, divizorii numărului -10 sunt ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ număr 1 nu este o rădăcină a unui polinom

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ număr -1 nu este o rădăcină a unui polinom

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ număr 2 este rădăcina polinomului

Să scriem rădăcina găsită în schema noastră Horner și să începem să completăm celulele goale:

Astfel, am factorizat polinomul original:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

Polinom 2x2+11x+5 poate fi de asemenea factorizat. Pentru a face acest lucru, puteți rezolva ecuația pătratică prin discriminant sau puteți căuta rădăcina printre divizorii numărului 5. Într-un fel sau altul, vom ajunge la concluzia că rădăcina acestui polinom este numărul -5

Astfel, am descompus polinomul original în factori liniari.

teorema lui Bezout, în ciuda simplității și evidentei sale aparente, este una dintre teoremele de bază ale teoriei polinomiale. În această teoremă, caracteristicile algebrice ale polinoamelor (permit să se lucreze cu polinoame ca numere întregi) sunt asociate cu caracteristicile lor funcționale (care permit să se considere polinoamele ca funcții).

teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un polinom este .

Coeficienții unui polinom se află într-un inel comutativ cu unitate (de exemplu, în domeniul numerelor reale sau complexe).

Teorema lui Bezout - dovada.

Împărțirea polinomului cu restul P(x) la un polinom (x-a):

Pe baza faptului că degR(x)< deg (x-a) = 1 este un polinom de grad nu mai mare decât zero. Înlocuim, deoarece, obținem .

Dar nu teorema este cea mai importantă, ci consecința teoremei lui Bezout:

1. Numărul este rădăcina unui polinom P(x) dacă și numai dacă P(x) se împarte fără rest într-un binom x-a.

Pe baza acesteia - setul de rădăcini ale polinomului P(x) este identică cu setul de rădăcini ale ecuației corespunzătoare x-a.

2. Termenul liber al polinomului este divizibil cu orice rădăcină întreagă a polinomului cu coeficienți întregi (când coeficientul de conducere este egal cu unu, toate rădăcinile raționale sunt întregi).

3. Să presupunem că este rădăcina întreagă a polinomului redus P(x) cu coeficienți întregi. Deci, pentru orice număr întreg, numărul este divizibil cu .

Teorema lui Bezout face posibil, după ce a găsit o rădăcină a unui polinom, să se caute mai departe rădăcinile unui polinom al cărui grad este deja cu 1 mai mic: dacă , atunci acest polinom P(x) va arata asa:

Exemple de teorema lui Bezout:

Aflați restul împărțirii unui polinom la un binom.

Exemple de soluții ale teoremei lui Bezout:

Pe baza teoremei lui Bezout, restul dorit corespunde valorii polinomului în punctul . Apoi găsim , pentru aceasta înlocuim valoarea din expresie pentru polinom în loc de . Primim:

Răspuns: rest = 5.

Schema lui Horner.

Schema lui Horner- acesta este un algoritm de împărțire (diviziunea după schema lui Horner) de polinoame, scris pentru un caz special, dacă câtul este egal cu un binom.

Să construim acest algoritm:

Să presupunem că - divizibil

coeficient (gradul său este probabil să fie cu unul mai puțin), r- rest (deoarece împărțirea se face printr-un polinom 1 grad, atunci gradul restului va fi cu unul mai puțin, adică. zero, deci restul este o constantă).

Prin definiția împărțirii cu rest P(x) = Q(x) (x-a) + r. După înlocuirea expresiilor polinomiale, obținem:

Deschidem parantezele și echivalăm coeficienții la aceleași puteri, după care exprimăm coeficienții coeficientului prin coeficienții dividendului și divizorului:

Este convenabil să rezumați calculele în următorul tabel:

Evidențiază acele celule al căror conținut este implicat în calculele de la pasul următor.

Exemple de schema lui Horner:

Să fie necesară împărțirea polinomului la binom x-2.

Creați un tabel cu două rânduri. Pe o linie scriem coeficienții polinomului nostru. În a doua linie, vom primi coeficienții coeficientului incomplet după următoarea schemă: în primul rând, rescriem cel mai mare coeficient al acestui polinom, apoi, pentru a obține următorul coeficient, îl înmulțim pe ultimul găsit cu a=2și se adună cu coeficientul corespunzător al polinomului F(x). Cel mai recent coeficient va fi restul, iar toți coeficienții anteriori vor fi coeficienți ai coeficientului incomplet.