Găsirea sumei unei serii online. §4. Calculul aproximativ al sumei unei serii de numere. Care este suma unei serii

Răspuns: seria diverge.

Exemplul #3

Aflați suma seriei $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Deoarece limita inferioară de însumare este 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Compuneți a n-a sumă parțială a seriei, adică suma primii $n$ membri ai datei serie de numere:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

De ce scriu exact $\frac(2)(3\cdot 5)$ și nu $\frac(2)(15)$, va fi clar din relatarea ulterioară. Cu toate acestea, înregistrarea unei sume parțiale nu ne-a apropiat nici măcar un pic de obiectiv. La urma urmei, trebuie să găsim $\lim_(n\to\infty)S_n$, dar dacă scriem doar:

$$ \lim_(n\la\infty)S_n=\lim_(n\la\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

atunci această înregistrare, complet corectă ca formă, nu ne va oferi nimic în esență. Pentru a găsi limita, expresia sumei parțiale trebuie mai întâi simplificată.

Există o transformare standard pentru aceasta, care constă în extinderea fracției $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, care reprezintă termenul comun al seriei, în fracții elementare. Un subiect separat este dedicat problemei descompunerii fracțiilor raționale în fracții elementare (a se vedea, de exemplu, exemplul nr. 3 de pe această pagină). Extinderea fracției $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ în fracții elementare, avem:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Echivalăm numărătorii fracțiilor din stânga și dreapta egalității rezultate:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Există două moduri de a găsi valorile $A$ și $B$. Puteți deschide parantezele și rearanja termenii sau puteți pur și simplu să înlocuiți niște valori potrivite în loc de $n$. Doar pentru o schimbare, în acest exemplu vom merge pe prima cale, iar următoarea - vom înlocui valorile private ale $n$. Extindem parantezele și rearanjam termenii, obținem:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

În partea stângă a ecuației, $n$ este precedat de zero. Dacă doriți, partea stângă a egalității poate fi reprezentată pentru claritate ca $0\cdot n+ 2$. Deoarece în partea stângă a egalității $n$ este precedat de zero, iar în partea dreaptă a egalității $2A+2B$ precede $n$, avem prima ecuație: $2A+2B=0$. Împărțim imediat ambele părți ale acestei ecuații la 2, după care obținem $A+B=0$.

Deoarece termenul liber din partea stângă a egalității este egal cu 2, iar în partea dreaptă a egalității termenul liber este egal cu $3A+B$, atunci $3A+B=2$. Deci avem un sistem:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Demonstrarea se va realiza prin metoda inducției matematice. La primul pas, trebuie să verificăm dacă egalitatea necesară $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ este valabilă pentru $n=1$. Știm că $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, dar expresia $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ va da valoarea $\frac( 2 )(15)$ dacă $n=1$ este substituit în ea? Sa verificam:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Deci, pentru $n=1$ egalitatea $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ este satisfăcută. Aceasta completează primul pas al metodei de inducție matematică.

Să presupunem că pentru $n=k$ egalitatea este valabilă, adică. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Să demonstrăm că aceeași egalitate va fi valabilă pentru $n=k+1$. Pentru a face acest lucru, luați în considerare $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Deoarece $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, atunci $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Conform ipotezei de mai sus $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, deci formula $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ia forma:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Concluzie: formula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ este adevărată pentru $n=k+1$. Prin urmare, conform metodei inducției matematice, formula $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ este adevărată pentru orice $n\în N$. Egalitatea a fost dovedită.

La cursul standard matematică superioară de obicei, se mulțumește cu „tașarea” termenilor de anulare, fără a necesita nicio dovadă. Deci, am obținut expresia pentru a n-a sumă parțială: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Găsiți valoarea lui $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Concluzie: seria dată converge și suma ei este $S=\frac(1)(3)$.

A doua modalitate este de a simplifica formula pentru suma parțială.

Sincer să fiu, eu însumi prefer această metodă :) Să notăm suma parțială într-o formă prescurtată:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Am obținut mai devreme că $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, deci:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\dreapta). $$

Suma $S_n$ conține un număr finit de termeni, așa că îi putem rearanja după cum ne place. Vreau să adaug mai întâi toți termenii din forma $\frac(1)(2k+1)$ și abia apoi să merg la termenii din forma $\frac(1)(2k+3)$. Aceasta înseamnă că vom reprezenta suma parțială în această formă:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\dreapta). $$

Desigur, notația extinsă este extrem de incomod, astfel încât egalitatea de mai sus poate fi scrisă mai compact:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Acum transformăm expresiile $\frac(1)(2k+1)$ și $\frac(1)(2k+3)$ în aceeași formă. Cred că este convenabil să arate ca o fracție mai mare (deși poți folosi una mai mică, este o chestiune de gust). Deoarece $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (cu cât numitorul este mai mare, cu atât fracția este mai mică), vom reduce fracția $\frac(1)(2k+ 3) $ la forma $\frac(1)(2k+1)$.

Voi prezenta expresia în numitorul fracției $\frac(1)(2k+3)$ după cum urmează:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Și suma $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ poate fi acum scrisă astfel:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Dacă egalitatea $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nu ridică întrebări, atunci să mergem mai departe. Dacă există întrebări, vă rugăm să extindeți nota.

Cum am obținut suma convertită? arată ascunde

Am avut seria $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Să introducem o nouă variabilă în loc de $k+1$ - de exemplu, $t$. Deci $t=k+1$.

Cum s-a schimbat vechea variabilă $k$? Și s-a schimbat de la 1 la $n$. Să aflăm cum se va schimba noua variabilă $t$. Dacă $k=1$, atunci $t=1+1=2$. Dacă $k=n$, atunci $t=n+1$. Deci expresia $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ este acum: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Avem suma $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Întrebare: contează ce scrisoare să folosești în această sumă? :) Scriind trimit litera $k$ în loc de $t$, obținem următoarele:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Acesta este modul în care egalitatea $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) se obţine \frac(1)(2k+1)$.

Astfel, suma parțială poate fi reprezentată sub următoarea formă:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Rețineți că sumele $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ și $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ diferă doar în limitele însumării. Să facem aceleași limite. „Luând” primul element din suma $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ obținem:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

„Luând” ultimul element din suma $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, obținem:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Atunci expresia pentru suma parțială va lua forma:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Dacă omiteți toate explicațiile, atunci procesul de găsire a unei formule prescurtate pentru a n-a sumă parțială va lua următoarea formă:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Permiteți-mi să vă reamintesc că am redus fracția $\frac(1)(2k+3)$ la forma $\frac(1)(2k+1)$. Desigur, puteți face opusul, adică. reprezentați fracția $\frac(1)(2k+1)$ ca $\frac(1)(2k+3)$. Expresia finală pentru suma parțială nu se va modifica. În acest caz, voi ascunde procesul de găsire a unei sume parțiale sub o notă.

Cum să găsești $S_n$, dacă aduci la forma unei fracții diferite? arată ascunde

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Deci $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Găsiți limita $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\la\infty)S_n=\lim_(n\la\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Seria dată converge și suma ei este $S=\frac(1)(3)$.

Răspuns: $S=\frac(1)(3)$.

Continuarea subiectului găsirii sumei unei serii va fi luată în considerare în partea a doua și a treia.

Deoarece este departe de a fi întotdeauna posibil să se calculeze valoarea exactă a sumei unei serii (am luat în considerare astfel de probleme), se pune problema calculării aproximative a sumei unei serii cu o precizie dată.

Amintiți-vă că al-lea rest al seriei obtinut din seria originala aruncând primul termeni:

Apoi, deoarece pentru o serie convergentă
,

restul unei serii convergente este egal cu diferența dintre suma seriei și acea sumă parțială:

și pentru suficient de mare avem o egalitate aproximativă

Din definiția restului seriei, rezultă că eroarea absolută la înlocuirea valorii exacte necunoscute a sumei suma sa parțială egal cu modulul restului seriei:

Astfel, dacă doriți să calculați suma unei serii cu o precizie dată , atunci trebuie să lăsați suma unui astfel de număr termeni astfel încât următoarea inegalitate să fie valabilă pentru restul aruncat al seriei:

Metoda de calcul aproximativă a sumei este aleasă în funcție de tipul de serie:

dacă seria este pozitivă și poate fi examinată pentru convergență printr-un criteriu integral (îndeplinește condițiile teoremei corespunzătoare), atunci pentru a estima suma, folosim formula

;

dacă aceasta este o serie Leibniz, atunci aplicăm estimarea:

În alte probleme, puteți folosi formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

Sarcina numărul 1. Câți termeni ai seriei ar trebui luate
pentru a obține suma cu o precizie de 0,01.

Soluţie.În primul rând, observăm că această serie converge. Considera -allea rest al seriei, care este eroarea în calcularea sumei seriei:

Să estimăm această serie folosind o progresie geometrică infinit descrescătoare. Pentru a face acest lucru, înlocuim factorul în fiecare termen pe , în timp ce fiecare termen va crește:

După ce a scos factorul comun din paranteză, paranteza a lăsat o serie compusă din membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, suma căreia am calculat-o prin formula

Precizia specificată va fi atinsă dacă va satisface condiția

Rezolvăm inegalitatea, ținând cont de asta - întreg.

La
avem

Datorită monotonității funcției
, inegalitatea
se va face pentru toată lumea
.

Prin urmare, dacă în loc de valoarea exactă a sumei luăm primii cinci (sau mai mulți) termeni, atunci eroarea de calcul nu va depăși 0,01.

Răspuns:
.

Sarcina numărul 2. Estimați eroarea obținută la înlocuirea sumei seriei
suma primilor 100 de termeni.

Soluţie. Rețineți că această serie este convergentă și alternativă în semn. Vom evalua seria
, format din modulele seriei originale, ceea ce mărește imediat eroarea de calcul. În plus, va trebui să trecem (folosind un test de comparație) la o serie convergentă mai mare și mai simplă:

Luați în considerare serialul . Deoarece această serie îndeplinește condițiile teoremei - criteriul integral de convergență, atunci pentru a estima eroarea în calcularea sumei, folosim formula corespunzătoare:

Calculăm integrala improprie:

eroarea de calcul poate fi estimată prin formula

după condiție
, Apoi.

Răspuns:
.

Sarcina numărul 3. Estimați eroarea obținută la înlocuirea sumei seriei
suma primilor 10 termeni.

Soluţie. Subliniem încă o dată că problema calculului aproximativ al sumei are sens doar pentru o serie convergentă, de aceea, în primul rând, observăm că această serie converge. Deoarece seria studiată este alternantă de semne cu o regulă complexă de schimbare a semnelor, este necesar să se evalueze, ca în exemplul anterior, o serie de module din această serie:

Folosind faptul că
pentru orice valoare a argumentului, avem:

Să estimăm restul seriei:

Am obţinut o serie compusă din membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, în care

suma sa este:

Răspuns:
.

Sarcina numărul 4. Calculați suma unei serii
cu o precizie de 0,01.

Soluţie. Această serie este seria Leibniz. Pentru a estima eroarea, formula este corectă:

cu alte cuvinte, eroarea de calcul este mai mică decât modulul primului termen aruncat. Să alegem un număr astfel încât

La
avem

Eroare
, dacă luăm suma primilor patru termeni drept valoare a sumei:

Răspuns:
.

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

Instituție de învățământ de stat

studii profesionale superioare

„MATI” - UNIVERSITATEA TEHNOLOGICĂ DE STAT RUSĂ IM. K.E. TSIOLKOVSKI

Departamentul de Modelare a Sistemelor și Tehnologia Informației

Seria de numere

Instrucțiuni metodice pentru exerciții practice

la disciplina „Matematică superioară”

Compilatoare: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Kornienko L.I.

Introducere Moscova 2005

Instrucțiunile metodologice sunt destinate studenților catedrei de zi și seară a facultății nr.14, specialitățile 071000, 130200, 220200.

1. Concepte de bază

Lăsa u 1 , u 2 , u 3 , …, u n, …  o succesiune numerică infinită. Expresie
numit linie numerică nesfârșită, numere u 1 , u 2 , u 3 , …, u n- membrii seriei;
se numește termenul comun al seriei. O serie este adesea scrisă într-o formă prescurtată (îndoită):

Suma primelor n membrii seriei numerice se notează prin si suna n -a-a sumă parțială a seriei:

Rândul este numit convergente daca n-a-a sumă parțială cu spor nelimitat n tinde spre limita finală, adică Dacă
Număr numit suma seriei.

Dacă n-a-a sumă parțială a seriei la
nu tinde spre o limită finită, atunci seria se numește divergente.

Exemplul 1 Aflați suma unei serii
.

Soluţie. Avem
. Deoarece:

Prin urmare,

Deoarece
, atunci seria converge și suma ei este egală cu
.

2. Teoreme de bază asupra serii de numere

Teorema 1. Dacă seria converge
apoi seria converge obţinute din seria dată prin aruncarea primei
membri (acest ultim rând se numește
-m restul seriei originale). Dimpotrivă, de la convergență
Restul seriei implică convergența acestei serii.

Teorema 2. Dacă seria converge
iar suma sa este numărul , apoi seria converge
unde suma ultimului rând este egală cu
.

Teorema 3. Dacă rândurile converg

având sumele S și respectiv Q, atunci seria converge, iar suma ultimei serii este egală cu
.

Teorema 4 (Un criteriu necesar pentru convergența unei serii). Dacă rândul
converge, atunci
, adică la
limita termenului comun al seriei convergente este egală cu zero.

Consecința 1. Dacă
, apoi seria diverge.

Consecința 2. Dacă
, atunci este imposibil să se determine convergența sau divergența seriei folosind criteriul necesar pentru convergență. O serie poate fi fie convergentă, fie divergentă.

Exemplul 2 Investigați convergența seriei:

Soluţie. Găsirea unui termen comun al seriei
. Deoarece:

acestea.
, atunci seria diverge (condiția de convergență necesară nu este îndeplinită).

3. Criterii de convergenţă a seriilor cu termeni pozitivi

3.1. Semne de comparație

Criteriile de comparație se bazează pe compararea convergenței unei serii date cu o serie a cărei convergență sau divergență este cunoscută. Următoarele rânduri sunt folosite pentru comparație.

Rând
compus din termenii oricărei progresii geometrice descrescătoare, este convergent și are suma

Rând
compus din membrii unei progresii geometrice crescătoare, este divergent.

Rând
este divergent.

Rând
se numește seria Dirichlet. Pentru >1, seria Dirichlet converge, pentru <1- расходится.

Cu =1 rând
numită armonică. Seria armonică diverge.

Teorema. Primul semn de comparație. Să fie date două serii cu termeni pozitivi:

(2)

în plus, fiecare termen din seria (1) nu depășește termenul corespunzător din seria (2), adică
(n= 1, 2, 3, …). Atunci, dacă seria (2) converge, atunci și seria (1) converge; dacă seria (1) diverge, atunci și seria (2) diverge.

Cometariu. Acest criteriu rămâne valabil dacă inegalitatea
nu se efectuează pentru toți , dar numai pornind de la un anumit număr n= N, adică pentru toți n N.

Exemplul 3 Investigați convergența unei serii

Soluţie. Membrii unei serii date sunt mai mici decât membrii corespunzători ai seriei
compus din membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Deoarece această serie converge, seria dată converge și ea.

Teorema. Al doilea semn de comparație (forma limitativă a semnului de comparație). Dacă există o limită finită diferită de zero
, apoi ambele rânduri Și converg sau diverg în acelaşi timp.

Exemplul 4 Investigați convergența unei serii

Soluţie. Comparați seria cu seria armonică
Găsiți limita raportului dintre membrii comuni ai seriei:

Deoarece seria armonică diverge, seria dată diverge.

O serie de numere este o succesiune care este considerată împreună cu o altă secvență (se mai numește și succesiune de sume parțiale). Concepte similare sunt folosite în analiza matematică și complexă.

Suma unei serii de numere poate fi calculată cu ușurință în Excel folosind funcția SERIES.SUM. Să ne uităm la un exemplu despre cum funcționează această funcție și apoi vom construi un grafic al funcțiilor. Vom învăța cum să aplicăm seria de numere în practică atunci când calculăm creșterea capitalului. Dar mai întâi, puțină teorie.

Suma seriei de numere

Seria de numere poate fi considerată ca un sistem de aproximări la numere. Pentru a o desemna, se folosește formula:

Aceasta arată succesiunea inițială de numere a seriei și regula de însumare:

∑ - semnul matematic al sumei;
a i - argument comun;
i - variabilă, regulă pentru schimbarea fiecărui argument ulterior;
∞ este semnul infinitului, „limita” până la care se realizează însumarea.

Intrarea înseamnă: numerele naturale de la 1 la „plus infinit” sunt însumate. Deoarece i = 1, calculul sumei începe de la unu. Dacă ar exista un alt număr aici (de exemplu, 2, 3), atunci am începe să însumăm din el (de la 2, 3).

În conformitate cu variabila i, seria poate fi scrisă extinsă:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (până la „plus infinit”).

Definiția sumei unei serii de numere este dată prin „sume parțiale”. În matematică, ele sunt notate cu Sn. Să scriem seria noastră numerică sub formă de sume parțiale:

S 2 \u003d a 1 + a 2

S 3 \u003d a 1 + a 2 + a 3

S 4 \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Suma seriei de numere este limita sumelor parțiale S n . Dacă limita este finită, se vorbește de o serie „convergentă”. Infinit - despre „divergent”.

Mai întâi, găsiți suma seriei de numere:

Acum să construim un tabel de valori ale membrilor seriei în Excel:

Primul argument general este preluat din formula: i=3.

Toate următoarele valori i se găsesc prin formula: =B4+$B$1. Punem cursorul în colțul din dreapta jos al celulei B5 și înmulțim formula.

Să găsim valorile. Facem activă celula C4 și introducem formula: \u003d SUM (2 * B4 + 1). Copiați celula C4 în intervalul specificat.

Valoarea sumei argumentelor se obține folosind funcția: =SUM(C4:C11). Combinație de taste ALT + „+” (plus pe tastatură).

Funcția SERIES.SUM în Excel

Pentru a afla suma unei serii de numere în Excel, se folosește funcția matematică SERIES.SUM. Programul folosește următoarea formulă:

Argumente ale funcției:

x este valoarea variabilei;
n este gradul pentru primul argument;
m este pasul prin care gradul crește pentru fiecare termen ulterior;
a sunt coeficienții la puterile corespunzătoare ale lui x.

Condiții importante pentru ca funcția să funcționeze:

toate argumentele sunt necesare (adică toate trebuie completate);
toate argumentele sunt valori NUMERICE;
vectorul coeficienților are o lungime fixă (limita la „infinit” nu va funcționa);
număr de „coeficienți” = număr de argumente.

Calcularea sumei unei serii în Excel

Aceeași funcție SERIES.SUM funcționează cu seriile de putere (una dintre variantele seriei funcționale). Spre deosebire de numere, argumentele lor sunt funcții.

Seriile funcționale sunt adesea folosite în sfera financiară și economică. Se poate spune că aceasta este zona lor de aplicare.

De exemplu, puneți în bancă o anumită sumă de bani (a) pentru o anumită perioadă (n). Avem o plată anuală de x procente. Pentru a calcula suma acumulată la sfârșitul primei perioade, se utilizează următoarea formulă:

S 1 \u003d a (1 + x).

La sfârșitul celei de-a doua perioade și ale următoarelor, forma expresiilor este următoarea:

S 2 \u003d a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2 etc.

Pentru a afla totalul:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + ... + a (1 + x) n

Sumele parțiale în Excel pot fi găsite folosind funcția BS().

Parametri inițiali pentru sarcina de antrenament:

Folosind o funcție matematică standard, găsim suma acumulată la sfârșitul termenului. Pentru a face acest lucru, în celula D2, utilizați formula: =B2*POWER(1+B3;4)

Acum, în celula D3 vom rezolva aceeași problemă folosind funcția Excel încorporată: =BS(B3;B1;;-B2)

Rezultatele sunt aceleași cum ar trebui să fie.

Cum să completați argumentele funcției BS():

„Rata” - rata dobânzii la care se face depozitul. Deoarece formatul procentual este setat în celula B3, am indicat pur și simplu un link către această celulă în câmpul de argument. Dacă s-ar indica un număr, atunci s-ar scrie partea lui a suta (20/100).
„Nper” - numărul de perioade pentru plățile dobânzii. În exemplul nostru, 4 ani.
„Plt” - plăți periodice. În cazul nostru, nu sunt. Prin urmare, câmpul argument nu este completat.
„Ps” - „valoarea actuală”, suma contribuției. Deoarece ne despărțim de acești bani pentru o perioadă, indicăm parametrul cu semnul „-”.

Astfel, funcția BS ne-a ajutat să găsim suma seriei funcționale.

Excel are alte funcții încorporate pentru găsirea diferiților parametri. De obicei, acestea sunt funcții pentru lucrul cu proiecte de investiții, valori mobiliare și plăți de amortizare.

Trasarea funcțiilor sumei unei serii de numere

Să construim un grafic al funcțiilor care reflectă creșterea capitalului. Pentru a face acest lucru, trebuie să trasăm o funcție care este suma seriei construite. Ca exemplu, să luăm aceleași date de depozit:

Prima linie arată suma acumulată după un an. În al doilea - în doi. Și așa mai departe.

Să mai facem o coloană în care vom reflecta profitul:

După cum credeam - în bara de formule.

Pe baza datelor obținute, construim un grafic de funcții.

Să selectăm 2 intervale: A5:A9 și C5:C9. Accesați fila „Inserare” - instrumentul „Diagrame”. Selectarea primului grafic:

Să facem problema și mai „aplicată”. În exemplu, am folosit dobânda compusă. Acestea sunt încasate pe suma acumulată în perioada anterioară.

Să luăm interesul simplu pentru comparație. Formula simplă a dobânzii în Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Să adăugăm valorile obținute la graficul „Creșterea capitalului”.

Ce concluzii va face investitorul este evident.

Formula matematică pentru suma parțială a unei serii funcționale (cu dobândă simplă): S n = a (1 + x * n), unde a este suma inițială a depozitului, x este dobânda, n este perioada.

Folosind acest calculator online, puteți găsi sumele seriilor, puteți determina convergența acestora, absolută și condiționată. O serie este o succesiune de numere (sau funcții - pentru serii funcționale) care sunt interconectate printr-o anumită lege. Suma termenilor seriei este suma seriei. Pentru a demonstra că o astfel de sumă există (adică nu este egală cu infinitul), puteți folosi principiile convergenței serii de numere - principiul lui Cauchy, principiul lui Dolambert etc. După ce s-a dovedit că seria converge, este deja necesar să se calculeze individual suma seriei numerice. Pentru o progresie geometrică, de exemplu, suma este calculată prin formula:

Găsiți suma unei serii online

Pe site-ul nostru puteți calcula suma unei serii online. Întotdeauna rapid, de încredere, gratuit. Interfață convenabilă pentru introducerea rândurilor, setarea valorilor inițiale și finale ale elementelor. Capacitatea de a găsi suma unei serii funcționale, utilizarea constantelor literale. În practică, elevii au de-a face cu serii numerice destul de des. Sunt utilizate pe scară largă în calcule aproximative (calcul de integrale care nu au soluție analitică, efectuarea de operații matematice, rezolvarea ecuațiilor diferențiale etc.). Și despre seriale funcționale precum seria Taylor sau seria Fourier, nu este nevoie să vorbim. Cu calculatorul nostru, determinarea sumei unei serii nu mai este o problemă.

Definiția unei secvențe de numere

Definiții
Succesiunea numerică Se numește o serie de numere.

proprietate
Cod secvență de numere: (an), (bn), (xn), etc.

(an) = (1, 2, 3, 4, …, n, …) = N. Aici a1 = 1, a2 = 2, a100 = 100.

(bn) = (-18, 23, 11, -4, 35, ...).

Aici b1 = -18, b5 = 35.

Seria Calculatoare

reguli
Secvența finală- conține un număr limitat de termeni.

Secvență fără sfârșit Conține un număr infinit de membri.

Exemple de soluții
(an) = (1, 5, 8) este secvența finală (3 expresii).

(bn) = (10, -10. 10.-10, 10, ...) este o succesiune infinită.

regulă
succesiune ascendentă- a + 1> a pentru fiecare n N, m, e, fiecare dintre următorii termeni este mai mare decât precedentul.

fiecare termen ulterior este mai mic decât cel anterior.

Exemple de soluții
1) -12; 14,5; 18; 40; … este o secvență ascendentă;

2) 4; 2; -1; -7; -unsprezece; … secvența scade;

3) -3; 2; -1; -4; 5; 3; -9 - nu crește și nu scade;

4) 6; 6; 6; 6; 6; este o secvență staționară (constantă).

regulă
! Mărirea și reducerea strict monoton ulterior.

Calculați numărul de serii online

Funcția de limitare

Introduceți funcția și punctul pentru care doriți să calculați limita

Site-ul ofera solutie detaliata pentru a căuta restricții asupra funcțiilor.

Vom calcula limitele funcțiilor într-un punct.

Funcția specificată f(x). Vă calculăm limita după punct x0

absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau | x |) arccos(x) Funcție - Arcoxin din Xarccosh(x) Xarcsin(x) Fiu separat Xarcsinh(x) HyperX hiperbolic Xarctg(x) Funcția este arc-tangente a Xarctgh(x) Xee număr - aproximativ 2,7 exp(x) Funcție - indicator X(Cum e^X) log(x) sau ln(x) logaritmul natural X
(Da log7(x) log10(x)= log(x) / log(10)) pi sin(x) Funcție - Sinus Xcos(x) Funcție - Con de la Xsinh(x) Xnumerar(x) Xpătrat(x) Xsqr(x) sau x^2 Funcția - pătrat Xtg(x) Functie - Tangenta de la Xtgh(x) Xcbrt(x) Xsol (x) Funcția de rotunjire X simbol (x) Funcție - simbol Xerf(x)

Numere reale introduceți în formular 7,5 , Nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- separare x^3— exponentiacija x + 7- In afara de asta, x - 6- numărătoare inversă

Suma rândurilor

Introduceți datele pentru a calcula suma lotului

Să găsim suma mai multor numere.

Găsiți suma seriei online

Dacă aceasta nu este găsită, sistemul calculează suma lotului cu o anumită precizie.

Seria de convergență

Acest calculator poate determina dacă un lot converge, de asemenea, arată care criterii de convergență funcționează și care nu.

El știe, de asemenea, să determine convergența seriei de puteri.

Ea a scris și o serie în care puteți vedea gradul de convergență (sau divergență) al seriei.

Reguli de introducere a termenilor și funcțiilor

Expresiile pot consta din funcții (scrise în ordine alfabetică):

absolut (x) Valoare absolută X
(modul X sau | x |) arccos(x) Funcție - Arcoxin din Xarccosh(x) Arcozina este hiperbolica Xarcsin(x) Fiu separat Xarcsinh(x) HyperX hiperbolic Xarctg(x) Funcția este arc-tangente a Xarctgh(x) Arctangent este hiperbolic Xee număr - aproximativ 2,7 exp(x) Funcție - indicator X(Cum e^X) log(x) sau ln(x) logaritmul natural X
(Da log7(x), Trebuie să tastați log(x) / log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)= log(x) / log(10)) pi Numărul „Pi” care este aproximativ 3,14 sin(x) Funcție - Sinus Xcos(x) Funcție - Con de la Xsinh(x) Funcție - Sinus hiperbolic Xnumerar(x) Funcția – cosinus-hiperbolic Xpătrat(x) Funcția este Rădăcină pătrată din Xsqr(x) sau x^2 Funcția - pătrat Xtg(x) Functie - Tangenta de la Xtgh(x) Funcția este o tangentă hiperbolică a Xcbrt(x) Funcția este o rădăcină cubă Xsol (x) Funcția de rotunjire X pe partea inferioară (exemplu de sol (4.5) == 4.0) simbol (x) Funcție - simbol Xerf(x) Funcție de eroare (Laplace sau integrală de probabilitate)

Următoarele operații pot fi utilizate în termeni:

Numere reale introduceți în formular 7,5 , Nu 7,5 2*x- înmulțirea 3/x- separare x^3— exponentiacija x + 7- In afara de asta, x - 6- numărătoare inversă

Seria de convergență

Termenul comun al seriei este partea rațională. Fracția este descompusă în anticorpi folosind metoda coeficienților nedeterminați:

Selectați contorul contorului pentru prima parte:

Extindeți paranteze:

Acum aflăm că găsim coeficienții necunoscuți:

După continuare, termenul comun al seriei se scrie după cum urmează:

Apoi vom compune suma parțială a seriei:

Împreună obținem:

Pentru cadre, suferim o secundă:

Rețineți că există expresii similare între paranteze care se anulează reciproc. Doar doi:

Convergența unei serii de numere

Suma rezervată

Sumele acumulate reprezintă cheltuieli neplătite pe care societatea le-a inclus în contul de profit și pierdere.

Acestea sunt de obicei sume plătite la intervale regulate, cum ar fi salariu, salariile, serviciile publice și deducerea impozitului pe venit din venituri. De exemplu, dacă soldul se află la mijlocul unei perioade de plată, plata la acea dată este afișată ca sumă acumulată.

Suma calculată pentru concedii și servicii pe termen lung pe conturile consumatorilor nu se aplică, dar se deduce integral în contul rezervei create.

Sumele de pensie prealocate, pe care pensionarul nu le pretinde în termenele stabilite, se plătesc pentru ultimii trei ani anteriori depunerii cererii de pensie.

Suma asigurată plătită trebuie repartizată între angajații brigăzilor independente în conformitate cu tariful și programul de lucru stabilit.

Suma estimată a veniturilor este supusă TVA-ului.

Sumele de pensie prefacturate care nu sunt cerute de pensionari în timp util sunt plătite în ultimii cu cel mult 3 ani înainte de depunerea cererii de pensie.

Sumele anticipate de pensie, pe care pensionarul nu le solicită în timp util, se plătesc pentru ultimii 3 ani anteriori depunerii cererii de pensie.

Sumele de pensii care nu au fost primite în termenul stabilit din culpa organului cesionează sau plătește pensiile se eliberează fără restricții în trecut.

Plățile de concediu calculate sunt impozitate în același mod ca și salariile plătite în avans.

Sumele acumulate de beneficii și costurile suplimentare care nu sunt primite de procesator în timp util sunt plătite cu întârziere, dar nu mai mult de un an.

Sumele acumulate de indemnizații și fonduri pentru compensarea cheltuielilor suplimentare pe care nu le-au primit ca urmare a unei erori a organismului desemnat și plătite de aceștia sunt plătite pe toată perioada trecută.

Pensia plătită este suma pe care pensionarul nu o plătește în timp util, în ultimul timp, dar nu mai mult de 3 ani (pensii care beneficiază de pensie conform Legii pensiilor și suplimentelor pentru membrii exploatației agricole colective, 15 iulie, 1964 - nu mai mult de 1 an), înainte de a solicita pensie. Mărimea pensiei nu este primită în timp util de către organism, pensia este atribuită sau plătită, se eliberează recent fără restricții.

Sumele de pensie plătite care nu sunt cerute de pensionari în timp util sunt plătibile într-o perioadă de cel mult un an înainte de solicitarea unei pensii.