Examinați funcția pentru continuitate și construiți un grafic online. Funcția de cercetare online

Pentru a studia complet funcția și a reprezenta graficul acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de definire al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptote orizontale și oblice;

4) examinați funcția pentru paritate (ciudățenie) și periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune;

7) găsiți punctele de intersecție cu axele de coordonate și, dacă este posibil, câteva puncte suplimentare care clarifică graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniul de aplicare: ;

2. Funcția suferă discontinuitate în puncte
,
;

Examinăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Examinăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa ordonatelor.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică. puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) ─ scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment funcția are un maxim
.

6. Aflați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

Puncte
Și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
Și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția este în puncte
Și
nedeterminat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

Cu axă
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Funcția de elasticitate

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a unei funcții.

Definiție. Funcția de elasticitate
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
când variabila independentă se modifică cu 1%.

Funcția de elasticitate este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea funcției
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII), elasticitatea functiei este:

Fie x=3, atunci
.Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze referitor la pret se pare ca
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicatorului de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

crezând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la un preț
unități monetare o creștere de 1% a prețului va determina o scădere cu 6% a cererii, adică cererea este elastică.

Cum se studiază o funcție și se construiește graficul acesteia?

Se pare că încep să înțeleg chipul perspicace din punct de vedere spiritual al liderului proletariatului mondial, autorul unor lucrări adunate în 55 de volume... Călătoria lungă a început cu informații de bază despre funcții și grafice, iar acum munca pe un subiect care necesită multă muncă se termină cu un rezultat logic - un articol despre un studiu complet al funcției. Sarcina mult așteptată este formulată după cum urmează:

Studiați o funcție folosind metode de calcul diferențial și construiți graficul acesteia pe baza rezultatelor studiului

Sau pe scurt: examinați funcția și construiți un grafic.

De ce explora?În cazuri simple, nu ne va fi greu să înțelegem funcțiile elementare și să desenăm un grafic obținut folosind transformări geometrice elementareși așa mai departe. Cu toate acestea, proprietățile și reprezentările grafice ale funcțiilor mai complexe sunt departe de a fi evidente, motiv pentru care este nevoie de un studiu întreg.

Principalii pași ai soluției sunt rezumați în materialul de referință Schema de studiu a funcției, acesta este ghidul dumneavoastră către secțiune. Dummies au nevoie de o explicație pas cu pas a unui subiect, unii cititori nu știu de unde să înceapă sau cum să-și organizeze cercetarea, iar studenții avansați pot fi interesați doar de câteva puncte. Dar oricine ai fi, dragă vizitator, rezumatul propus cu indicații către diverse lecții te va orienta și te va ghida rapid în direcția de interes. Roboții au vărsat lacrimi =) Manualul a fost alcătuit ca fișier pdf și și-a luat locul cuvenit pe pagină Formule și tabele matematice.

Sunt obișnuit să descompun cercetarea unei funcții în 5-6 puncte:

6) Puncte suplimentare și grafic pe baza rezultatelor cercetării.

În ceea ce privește acțiunea finală, cred că totul este clar pentru toată lumea - va fi foarte dezamăgitor dacă în câteva secunde va fi tăiat și sarcina va fi returnată pentru revizuire. UN DESEN CORECT ȘI EXACTE este principalul rezultat al soluției! Este probabil să „acopere” erorile analitice, în timp ce un program incorect și/sau neglijent va cauza probleme chiar și cu un studiu perfect realizat.

Trebuie menționat că în alte surse numărul de puncte de cercetare, ordinea implementării lor și stilul de proiectare pot diferi semnificativ de schema pe care am propus-o, dar în majoritatea cazurilor este destul de suficientă. Cea mai simplă versiune a problemei constă din doar 2-3 etape și este formulată cam așa: „investigați funcția folosind derivata și construiți un grafic” sau „investigați funcția folosind derivatele 1 și 2, construiți un grafic”.

Desigur, dacă manualul dvs. descrie un alt algoritm în detaliu sau profesorul vă cere strict să respectați prelegerile sale, atunci va trebui să faceți unele ajustări la soluție. Nu mai greu decât înlocuirea furculiței cu o lingură.

Să verificăm funcția pentru par/impar:

Acesta este urmat de un șablon de răspuns:
, ceea ce înseamnă că această funcție nu este pară sau impară.

Deoarece funcția este continuă pe , nu există asimptote verticale.

Nu există nici asimptote oblice.

Notă : Vă reamintesc că cu cât mai sus ordinea de crestere, decât , prin urmare limita finală este exact „ la care se adauga infinit."

Să aflăm cum se comportă funcția la infinit:

Cu alte cuvinte, dacă mergem la dreapta, atunci graficul merge infinit în sus, dacă mergem la stânga, merge infinit în jos. Da, există și două limite sub o singură intrare. Dacă întâmpinați dificultăți în descifrarea semnelor, vă rugăm să vizitați lecția despre funcții infinitezimale.

Deci funcția nelimitat de susȘi nelimitat de jos. Având în vedere că nu avem puncte de întrerupere, devine clar intervalul de funcții: – de asemenea orice număr real.

TEHNICĂ TEHNICĂ UTILĂ

Fiecare etapă a sarcinii aduce informații noi despre graficul funcției, prin urmare, în timpul soluției este convenabil să folosiți un fel de LAYOUT. Să desenăm un sistem de coordonate carteziene pe o schiță. Ce se știe deja cu siguranță? În primul rând, graficul nu are asimptote, prin urmare, nu este nevoie să desenați linii drepte. În al doilea rând, știm cum se comportă funcția la infinit. Conform analizei, tragem o prima aproximare:

Vă rugăm să rețineți că din cauza continuitate funcția pe și faptul că graficul trebuie să traverseze axa cel puțin o dată. Sau poate sunt mai multe puncte de intersecție?

3) Zerurile funcției și intervalele de semn constant.

Mai întâi, să găsim punctul de intersecție al graficului cu axa ordonatelor. E simplu. Este necesar să se calculeze valoarea funcției la:

La una și jumătate deasupra nivelului mării.

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa (zerurile funcției), trebuie să rezolvăm ecuația și aici ne așteaptă o surpriză neplăcută:

Există un membru gratuit care pândește la sfârșit, ceea ce face sarcina mult mai dificilă.

O astfel de ecuație are cel puțin o rădăcină reală și cel mai adesea această rădăcină este irațională. În cel mai rău basm, ne așteaptă cei trei purceluși. Ecuația este rezolvabilă folosind așa-numita Formule Cardano, dar deteriorarea hârtiei este comparabilă cu aproape întregul studiu. În acest sens, este mai înțelept să încerci să selectezi cel puțin unul, fie verbal, fie în schiță. întreg rădăcină. Să verificăm dacă aceste numere sunt:
- nu sunt adecvate;
- Există!

Noroc aici. În caz de eșec, puteți testa, de asemenea, și dacă aceste numere nu se potrivesc, atunci mă tem că există foarte puține șanse de o soluție profitabilă a ecuației. Atunci este mai bine să omiteți complet punctul de cercetare - poate că ceva va deveni mai clar la pasul final, când punctele suplimentare vor fi sparte. Și dacă rădăcina (rădăcinile) sunt în mod clar „rele”, atunci este mai bine să rămâneți modest tăcuți cu privire la intervalele de constanță a semnelor și să desenați mai atent.

Cu toate acestea, avem o rădăcină frumoasă, așa că împărțim polinomul fara rest:

Algoritmul pentru împărțirea unui polinom la un polinom este discutat în detaliu în primul exemplu al lecției Limite complexe.

Ca rezultat, partea stângă a ecuației originale se descompune în produs:

Și acum puțin despre un stil de viață sănătos. Eu, desigur, înțeleg asta ecuații pătratice trebuie rezolvată în fiecare zi, dar astăzi vom face o excepție: ecuația are două rădăcini reale.

Să trasăm valorile găsite pe linia numerică Și metoda intervalului Să definim semnele funcției:

Astfel, pe intervale programul este localizat
sub axa x și la intervale – deasupra acestei axe.

Constatările ne permit să ne rafinăm aspectul, iar a doua aproximare a graficului arată astfel:

Vă rugăm să rețineți că o funcție trebuie să aibă cel puțin un maxim pe un interval și cel puțin un minim pe un interval. Dar nu știm încă de câte ori, unde și când se va difuza programul. Apropo, o funcție poate avea infinitate extreme.

4) Creșterea, descreșterea și extrema funcției.

Să găsim punctele critice:

Această ecuație are două rădăcini reale. Să le punem pe linia numerică și să determinăm semnele derivatei:

Prin urmare, funcția crește cu si scade cu .
În momentul în care funcția atinge maximul: .
În momentul în care funcția atinge un minim: .

Faptele stabilite conduc șablonul nostru într-un cadru destul de rigid:

Inutil să spun că calculul diferențial este un lucru puternic. Să înțelegem în sfârșit forma graficului:

5) Convexitatea, concavitatea și punctele de inflexiune.

Să găsim punctele critice ale derivatei a doua:

Să definim semnele:

Graficul funcției este convex pe și concav pe . Să calculăm ordonata punctului de inflexiune: .

Aproape totul a devenit clar.

6) Rămâne să găsiți puncte suplimentare care vă vor ajuta să construiți mai precis un grafic și să efectuați autotestarea. În acest caz sunt puține dintre ele, dar nu le vom neglija:

Să facem desenul:

Punctul de inflexiune este marcat cu verde, punctele suplimentare sunt marcate cu cruci. Graficul unei funcții cubice este simetric față de punctul său de inflexiune, care este întotdeauna situat strict la mijloc între maxim și minim.

Pe măsură ce sarcina a progresat, am furnizat trei desene intermediare ipotetice. În practică, este suficient să desenezi un sistem de coordonate, să marchezi punctele găsite și după fiecare punct de cercetare să estimăm mental cum ar putea arăta graficul funcției. Nu va fi dificil pentru studenții cu un nivel bun de pregătire să efectueze o astfel de analiză doar în capul lor, fără a implica un proiect.

Pentru a o rezolva singur:

Exemplul 2

Explorează funcția și construiește un grafic.

Totul este mai rapid și mai distractiv aici, un exemplu aproximativ al designului final la sfârșitul lecției.

Studiul funcțiilor raționale fracționale dezvăluie multe secrete:

Exemplul 3

Utilizați metode de calcul diferențial pentru a studia o funcție și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia.

Soluţie: prima etapă a studiului nu se distinge prin nimic remarcabil, cu excepția unei găuri în zona de definiție:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului, domeniu: .

, ceea ce înseamnă că această funcție nu este pară sau impară.

Este evident că funcția este neperiodică.

Graficul funcției reprezintă două ramuri continue situate în semiplanul stâng și drept - aceasta este poate cea mai importantă concluzie a punctului 1.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

a) Folosind limite unilaterale, examinăm comportamentul funcției în apropierea unui punct suspect, unde ar trebui să existe clar o asimptotă verticală:

Într-adevăr, funcțiile rezistă gol nesfârșit la punct
iar linia dreaptă (axa) este asimptotă verticală Arte grafice .

b) Să verificăm dacă există asimptote oblice:

Da, este drept asimptotă oblică grafica , daca .

Nu are sens să analizăm limitele, deoarece este deja clar că funcția își îmbrățișează asimptota oblică nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Al doilea punct de cercetare a oferit o mulțime de informații importante despre funcție. Să facem o schiță grosieră:

Concluzia nr. 1 se referă la intervale de semn constant. La „minus infinit” graficul funcției este clar situat sub axa x, iar la „plus infinit” este deasupra acestei axe. În plus, limitele unilaterale ne-au spus că atât la stânga cât și la dreapta punctului funcția este, de asemenea, mai mare decât zero. Vă rugăm să rețineți că în semiplanul din stânga graficul trebuie să traverseze axa x cel puțin o dată. Este posibil să nu existe zerouri ale funcției în semiplanul drept.

Concluzia nr. 2 este că funcția crește pe și la stânga punctului (se duce „de jos în sus”). În dreapta acestui punct, funcția scade (se duce „de sus în jos”). Ramura dreaptă a graficului trebuie să aibă cu siguranță cel puțin un minim. În stânga, extremele nu sunt garantate.

Concluzia nr. 3 oferă informații fiabile despre concavitatea graficului în vecinătatea punctului. Încă nu putem spune nimic despre convexitatea/concavitatea la infinit, deoarece o linie poate fi presată spre asimptota ei atât de sus, cât și de jos. În general, există o modalitate analitică de a descoperi acest lucru chiar acum, dar forma graficului va deveni mai clară într-o etapă ulterioară.

De ce atâtea cuvinte? Pentru a controla punctele de cercetare ulterioare și a evita greșelile! Calculele ulterioare nu ar trebui să contrazică concluziile trase.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de semn constant ale funcției.

Graficul funcției nu intersectează axa.

Folosind metoda intervalului determinăm semnele:

, Dacă ;
, Dacă .

Rezultatele acestui punct sunt pe deplin în concordanță cu concluzia nr. 1. După fiecare etapă, priviți schița, verificați mental cercetarea și completați graficul funcției.

În exemplul luat în considerare, numărătorul este împărțit termen cu termen cu numitor, ceea ce este foarte benefic pentru diferențiere:

De fapt, acest lucru a fost deja făcut la găsirea asimptotelor.

- punct critic.

Să definim semnele:

creste cu si scade cu

În momentul în care funcția atinge un minim: .

De asemenea, nu au existat discrepanțe cu Concluzia nr. 2 și, cel mai probabil, suntem pe drumul cel bun.

Aceasta înseamnă că graficul funcției este concav pe întregul domeniu de definiție.

Grozav - și nu trebuie să desenați nimic.

Nu există puncte de inflexiune.

Concavitatea este în concordanță cu concluzia nr. 3, în plus, indică faptul că la infinit (atât acolo, cât și acolo) graficul funcției este situat superior asimptota sa oblică.

6) Vom fixa cu conștiință sarcina cu puncte suplimentare. Aici va trebui să muncim din greu, deoarece știm doar două puncte din cercetare.

Și o imagine pe care mulți și-au imaginat-o probabil cu mult timp în urmă:

În timpul executării sarcinii, trebuie să vă asigurați cu atenție că nu există contradicții între etapele cercetării, dar uneori situația este urgentă sau chiar în fundătură disperată. Analizele „nu se adună” - asta este tot. În acest caz, recomand o tehnică de urgență: găsim cât mai multe puncte care aparțin graficului (atâtă răbdare avem), și le marchem pe planul de coordonate. O analiză grafică a valorilor găsite vă va spune în cele mai multe cazuri unde este adevărul și unde este fals. În plus, graficul poate fi pre-construit folosind un program, de exemplu, în Excel (desigur, acest lucru necesită abilități).

Exemplul 4

Folosiți metode de calcul diferențial pentru a studia o funcție și pentru a construi graficul acesteia.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. În ea, autocontrolul este îmbunătățit de paritatea funcției - graficul este simetric față de axă, iar dacă în cercetarea dvs. ceva contrazice acest fapt, căutați o eroare.

O funcție pară sau impară poate fi studiată numai la , și apoi utilizați simetria graficului. Această soluție este optimă, dar, după părerea mea, pare foarte neobișnuită. Personal, mă uit la întreaga linie numerică, dar mai găsesc puncte suplimentare doar în dreapta:

Exemplul 5

Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

Soluţie: lucrurile au devenit grele:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică: .

Aceasta înseamnă că această funcție este impară, graficul ei este simetric față de origine.

Este evident că funcția este neperiodică.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

Deoarece funcția este continuă pe , nu există asimptote verticale

Pentru o funcție care conține un exponent, este tipică separa studiul „plus” și „minus al infinitului”, cu toate acestea, viața noastră este ușoară de simetria graficului - fie există o asimptotă atât în stânga, cât și în dreapta, fie nu există. Prin urmare, ambele limite infinite pot fi scrise sub o singură intrare. În timpul soluției pe care o folosim Regula lui L'Hopital:

Linia dreaptă (axa) este asimptota orizontală a graficului la .

Vă rugăm să rețineți că am evitat cu viclenie algoritmul complet pentru găsirea asimptotei oblice: limita este complet legală și clarifică comportamentul funcției la infinit, iar asimptota orizontală a fost descoperită „ca și când în același timp”.

Din continuitatea şi existenţa unei asimptote orizontale rezultă că funcţia mărginit deasupraȘi mărginit mai jos.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de semn constant.

Aici scurtăm și soluția:
Graficul trece prin origine.

Nu există alte puncte de intersecție cu axele de coordonate. Mai mult, intervalele de constanță ale semnului sunt evidente, iar axa nu trebuie trasată: , ceea ce înseamnă că semnul funcției depinde doar de „x”:
, Dacă ;
, Dacă .

4) Creșterea, descreșterea, extrema funcției.

– puncte critice.

Punctele sunt simetrice față de zero, așa cum ar trebui să fie.

Să determinăm semnele derivatei:

Funcția crește pe un interval și scade pe intervale

În momentul în care funcția atinge maximul: .

Datorita proprietatii (ciudățenia funcției) nu este necesar să se calculeze minimul:

Deoarece funcția scade pe interval, atunci, evident, graficul este situat la „minus infinit” sub asimptota acestuia. Pe interval, funcția scade și ea, dar aici este adevărat opusul - după ce trece prin punctul maxim, linia se apropie de axa de sus.

Din cele de mai sus mai rezultă că graficul funcției este convex la „minus infinit” și concav la „plus infinit”.

După acest punct de studiu, a fost trasat intervalul de valori ale funcției:

Dacă aveți vreo înțelegere greșită a vreunui punct, vă îndemn încă o dată să desenați axe de coordonate în caiet și, cu un creion în mâini, să reanalizați fiecare concluzie a sarcinii.

5) Convexitatea, concavitatea, îndoirile graficului.

– puncte critice.

Se păstrează simetria punctelor și, cel mai probabil, nu ne înșelim.

Să definim semnele:

Graficul funcției este convex și concav pe .

S-a confirmat convexitatea/concavitatea la intervalele extreme.

În toate punctele critice există îndoieli în grafic. Să găsim ordonatele punctelor de inflexiune și să reducem din nou numărul de calcule folosind neobișnuirea funcției:

Să studiem funcția $y= \frac(x^3)(1-x) $ și să construim graficul acesteia.

1. Domeniul de aplicare al definiției.
Domeniul de definire al unei funcții (fracții) raționale va fi: numitorul nu este egal cu zero, i.e. $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. Domeniul $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Puncte de întrerupere a funcției și clasificarea acestora.
Funcția are un punct de întrerupere x = 1
Să examinăm punctul x= 1. Să găsim limita funcției la dreapta și la stânga punctului de discontinuitate, la dreapta $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ și la stânga punctului $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Aceasta este un punct de discontinuitate de al doilea fel deoarece limitele unilaterale sunt egale cu $\infty$.

Linia dreaptă $x = 1$ este o asimptotă verticală.

3. Paritatea funcției.
Verificăm paritatea $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ funcția nu este nici pară, nici impară.

4. Zerourile funcției (punctele de intersecție cu axa Ox). Intervale de semn constant al unei funcții.
Zerourile funcției ( punctul de intersecție cu axa Ox): echivalăm $y=0$, obținem $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $. Curba are un punct de intersecție cu axa Ox cu coordonatele $(0;0)$.

Intervale de semn constant al unei funcții.
Pe intervalele considerate $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ curba are un punct de intersecție cu axa Ox, deci vom considera domeniul de definiție pe trei intervale.

Să determinăm semnul funcției pe intervale din domeniul definiției:
interval $(-\infty; 0) $ găsiți valoarea funcției în orice punct $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
interval $(0; 1) $ găsim valoarea funcției în orice punct $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $, pe acest interval funcția este pozitiv $f(x ) > 0 $, adică este situat deasupra axei Ox.
interval $(1;+\infty) $ găsiți valoarea funcției în orice punct $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Puncte de intersecție cu axa Oy: echivalăm $x=0$, obținem $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$. Coordonatele punctului de intersecție cu axa Oy $(0; 0)$

6. Intervale de monotonie. Extreme ale unei funcții.
Să găsim punctele critice (staționare), pentru aceasta găsim prima derivată și o echivalăm cu zero $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ egal cu 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Să găsim valoarea funcției în acest punct $ f(0) = 0$ și $f(\frac(3)(2)) = -6,75$. Avem două puncte critice cu coordonatele $(0;0)$ și $(1.5;-6.75)$

Intervale de monotonie.
Funcția are două puncte critice (posibile puncte extreme), așa că vom lua în considerare monotonitatea pe patru intervale:
interval $(-\infty; 0) $ găsiți valoarea primei derivate în orice punct al intervalului $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
interval \((0;1)$ găsim valoarea primei derivate în orice punct al intervalului $f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0$ , funcția crește în acest interval.
interval $(1;1.5)$ găsim valoarea primei derivate în orice punct al intervalului $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0$ , funcția crește în acest interval.
interval $(1,5; +\infty)$ găsiți valoarea primei derivate în orice punct al intervalului $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

Extreme ale unei funcții.

La studierea funcției, am obținut două puncte critice (staționare) pe intervalul domeniului de definiție. Să stabilim dacă sunt extreme. Să luăm în considerare modificarea semnului derivatei atunci când trecem prin punctele critice:

punctul $x = 0$ derivata își schimbă semnul cu $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ - punctul nu este un extremum.
punctul $x = 1,5$ derivata își schimbă semnul cu $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ - punctul este un punct maxim.

7. Intervale de convexitate și concavitate. Puncte de inflexiune.

Pentru a găsi intervalele de convexitate și concavitate, găsim derivata a doua a funcției și o echivalăm cu zero $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Echivalează cu zero $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funcția are un punct critic de al doilea fel cu coordonatele $(0;0)$ .
Să definim convexitatea pe intervale din domeniul definiției, ținând cont de un punct critic de al doilea fel (un punct de posibilă inflexiune).

interval $(-\infty; 0)$ găsiți valoarea derivatei a doua în orice punct $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval $(0; 1)$ găsim valoarea derivatei a doua în orice punct $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, pe acest interval derivata a doua a functiei este pozitiva $f""(x) > 0 $ functia este convexa in jos (convexa).
interval $(1; \infty)$ găsiți valoarea derivatei a doua în orice punct $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Puncte de inflexiune.

Să luăm în considerare schimbarea semnului derivatei a doua atunci când trecem printr-un punct critic de al doilea fel:
În punctul $x =0$, derivata a doua își schimbă semnul cu $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, graficul funcției își schimbă convexitatea, adică. acesta este punctul de inflexiune cu coordonatele $(0;0)$.

8. Asimptote.

Asimptotă verticală. Graficul funcției are o asimptotă verticală $x =1$ (vezi paragraful 2).
Asimptotă oblică.
Pentru ca graficul funcției $y= \frac(x^3)(1-x) $ la $x \to \infty$ să aibă o asimptotă înclinată $y = kx+b$ , este necesar și suficient , astfel încât să existe două limite $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$lo găsim $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ și a doua limită $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, deoarece $k = \infty$ - nu există nicio asimptotă oblică.

Asimptotă orizontală: pentru ca o asimptotă orizontală să existe, este necesar să existe o limită $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ să o găsim $$ \lim_(x \to +\infty) )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Nu există asimptotă orizontală.

9. Graficul funcției.

Efectuați un studiu complet și reprezentați grafic funcția

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Domeniul de aplicare al funcției. Deoarece funcția este o fracție, trebuie să găsim zerourile numitorului.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excludem singurul punct x=1x=1 din domeniul de definire al funcției și obținem:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Să studiem comportamentul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate. Să găsim limite unilaterale:

Deoarece limitele sunt egale cu infinit, punctul x=1x=1 este o discontinuitate de al doilea fel, dreapta x=1x=1 este o asimptotă verticală.

3) Să determinăm punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Să găsim punctele de intersecție cu axa ordonatelor OyOy, pentru care echivalăm x=0x=0:

Astfel, punctul de intersecție cu axa OyOy are coordonatele (0;8)(0;8).

Să găsim punctele de intersecție cu axa absciselor OxOx, pentru care setăm y=0y=0:

Ecuația nu are rădăcini, deci nu există puncte de intersecție cu axa OxOx.

Rețineți că x2+8>0x2+8>0 pentru orice xx. Prin urmare, pentru x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funcția y>0y>0 (ia valori pozitive, graficul este deasupra axei x), pentru x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funcția y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funcția nu este nici pară, nici impară deoarece:

5) Să examinăm funcția pentru periodicitate. Funcția nu este periodică, deoarece este o funcție rațională fracțională.

6) Să examinăm funcția pentru extreme și monotonitate. Pentru a face acest lucru, găsim derivata întâi a funcției:

Să echivalăm prima derivată cu zero și să găsim puncte staționare (la care y′=0y′=0):

Avem trei puncte critice: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Să împărțim întregul domeniu de definire al funcției în intervale cu aceste puncte și să determinăm semnele derivatei în fiecare interval:

Pentru x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pentru x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivata y′>0y′>0, funcția crește pe aceste intervale.

În acest caz, x=−2x=−2 este un punct minim local (funcția scade și apoi crește), x=4x=4 este un punct maxim local (funcția crește și apoi scade).

Să găsim valorile funcției în aceste puncte:

Astfel, punctul minim este (−2;4)(−2;4), punctul maxim este (4;−8)(4;−8).

7) Să examinăm funcția de îndoire și convexitate. Să găsim derivata a doua a funcției:

Să echivalăm derivata a doua cu zero:

Ecuația rezultată nu are rădăcini, deci nu există puncte de inflexiune. Mai mult, când x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 este satisfăcută, adică funcția este concavă, când x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) este satisfăcut de y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Să examinăm comportamentul funcției la infinit, adică la .

Deoarece limitele sunt infinite, nu există asimptote orizontale.

Să încercăm să determinăm asimptote oblice de forma y=kx+by=kx+b. Calculăm valorile lui k,bk,b folosind formule cunoscute:

Am descoperit că funcția are o asimptotă oblică y=−x−1y=−x−1.

9) Puncte suplimentare. Să calculăm valoarea funcției în alte puncte pentru a construi mai precis graficul.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Pe baza datelor obținute vom construi un grafic, îl vom completa cu asimptotele x=1x=1 (albastru), y=−x−1y=−x−1 (verde) și vom marca punctele caracteristice (intersecția violet cu ordonata). axă, extrema portocalie, puncte suplimentare negre) :

Sarcina 4: Probleme geometrice, economice (habar nu am ce, iată o selecție aproximativă de probleme cu soluții și formule)

Exemplul 3.23. A

Soluţie. XȘi y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S " > 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24.

Soluţie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. Deoarece f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 = 2 și x 2 = 3. Extrema poate fi doar la aceste puncte.Deci la trecerea prin punctul x 1 = 2 derivata isi schimba semnul din plus in minus, atunci in acest punct functia are un maxim.La trecerea prin punctul x 2 = 3 derivata isi schimba semnul din minus la plus, prin urmare, la punctul x 2 = 3 funcția are un minim. După ce s-au calculat valorile funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f(2) = 14 și minim f(3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie îngrădită pe trei laturi cu plasă de sârmă, iar a patra latură să fie adiacentă peretelui. Pentru asta există A metri liniari de plasă. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Soluţie. Să notăm părțile laterale ale platformei prin XȘi y. Aria sitului este S = xy. Lăsa y- aceasta este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x(a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a/2 (lungimea și lățimea padului nu pot fi negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 la x = a/4, de unde
y = a - 2×a/4 =a/2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S " > 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Este necesară fabricarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate V=16p ≈ 50 m 3 . Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru ca la fabricarea acestuia să se folosească cea mai mică cantitate de material?

Soluţie. Suprafața totală a cilindrului este S = 2pR(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Aceasta înseamnă S(R) = 2p(R2 +16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 pentru R 3 = 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informații conexe.