Бөлшектің бұрыштық импульсі. Қуат сәті. Дәріс конспектісі Элементар бөлшектердің моменті кроссворд 4 әріп

Бөлшектердің бұрыштық импульсі(материалдық нүкте) О нүктесіне қатысты мынаған тең векторлық шама деп аталады:

L- осьтік вектор. Бұрыштық импульс векторының L бағыты О нүктесі арқылы өтетін осьтің айналасындағы р векторының бағытында О нүктесінің айналасында айналуы оң бұранда ережесіне бағынатындай етіп анықталады. r, p және L векторлары оң бұранда жүйесін құрайды. SI жүйесінде бұрыштық импульстің өлшем бірлігі бар: [L]=1 кг м 2 / с.

О нүктесіне қатысты бөлшектің бұрыштық импульсін есептеудің екі мысалын қарастырайық.

1-мысал. Бөлшек түзу сызықты траектория бойынша қозғалады, бөлшек массасы-m, импульс-р. L және ½ L½ табыңыз. Сурет салайық.

(22.4.) формуладан бұрыштық импульстің модулін жылдамдық модулін өзгерту арқылы ғана өзгертуге болатыны шығады, өйткені түзу жолмен қозғалғанда, иық лтұрақты болып қалады.

2-мысал. Массасы m бөлшек радиусы R шеңбер бойымен V жылдамдықпен қозғалады. L және ½ L½ табыңыз. Сурет салайық.

22.3-сурет.Радиусы R шеңбер бойымен V жылдамдықпен қозғалатын бөлшектің импульс векторының бағыты.

Бұрыштық импульс С нүктесіне қатысты қарастырылады. (22.6.) формуласынан бұрыштық импульстің модулі жылдамдық модулін өзгерту арқылы ғана өзгеретіні шығады. p векторының бағытының үздіксіз өзгеруіне қарамастан, L векторының бағыты тұрақты болып қалады.

Энергия мен импульске қосымша тағы бір физикалық шама бар. Сақталу заңы онымен байланысты - бұл бұрыштық импульс. О нүктесіне қатысты бөлшектің бұрыштық импульсі вектор деп аталады тең
,-радиусы; -импульс.

Анау. ма??? векторы. Оның бағыты бағыттағы O айналасында айналуы үшін таңдалады және вектор оң бұранда жүйесін құрайды. Модуль
арасындағы бұрыш Және

векторлық иық қатысты О.

Вектордың өзгеруі қандай мәнмен байланысты екенін табайық уақытында:

.

Т .сондықтан ол қозғалыссыз болады бөлшектің жылдамдығына тең, яғни. сәйкес келеді , яғни.
. Әрі қарай
- Ньютонның екінші заңы және
; Мән
- күш моменті осьтік векторы.
,- иық күші қатысты т.О.

Осылайша, қатысты туынды бұрыштық импульс бөлшектер, таңдалған эталондық жүйенің кейбір t.O-ға қатысты қорытынды күш моментіне тең осы нүкте туралы
. Бұл теңдеу момент теңдеуі деп аталады.

Егер санақ жүйесі инерциялық емес болса, онда күш моментінде әрекеттесу күштерінің моментін де, инерция күштерінің моментін де (бірдей t.O-ға қатысты) қамтиды. Моменттердің теңдеуінен егер
, Бұл
- Біркелкі айналмалы қозғалыс. Анау. егер санақ жүйесінің t.O-ға қатысты барлық күштердің моменті O-ға тең болса, бізді қызықтыратын уақыт ішінде
, онда бөлшектің осы нүктеге қатысты бұрыштық импульсі тұрақты болып қалады.

Момент теңдеуі табуға мүмкіндік береді
белгілі болса, кез келген уақытта O-ға қатысты нүктелер
нүктеге қатысты бөлшектер. Ол үшін теңдеуді дифференциациялау жеткілікті
. Сонымен қатар, егер қарым-қатынас белгілі болса
, онда кез келген уақыт аралығындағы t.O-ға қатысты бөлшектің бұрыштық импульсінің өсімін табуға болады. Ол үшін теңдеуді интегралдау қажет
, Содан кейін

Өрнек -күштің импульс моменті сияқты , яғни. Кез келген уақыт аралығындағы бөлшектің бұрыштық импульсінің өсімі e үшін күш моментінің импульсіне тең.

сол кезде.

4.3. Импульс моменті және оське қатысты күш моменті.

IN Бізді еркін қозғалмайтын ось қызықтыратын анықтамалық жүйеде алайық . Кейбір t.O осіне қатысты болсын бөлшектің бұрыштық импульсі тең , және күш моменті
. Бұрыштық импульс вектордың осы осіне проекциясы деп аталады , берілген осьтің еркін О нүктесіне қатысты анықталған. Сол сияқты, оське қатысты күш моменті туралы түсінік енгізіледі
. Оське қатысты моменттің теңдеуі
анау. туындысы салыстырмалы тең
осы ось туралы. Әсіресе қашан

. Анау. егер қандай да бір оське қатысты лай моменті 0-ге тең болса, онда осы ось бойынша тұрақты болып қалады. Бұл жағдайда вектор өзгеріп жатыр.

4.4. Жүйенің бұрыштық импульсінің сақталу заңы.

Күштер де әсер ететін 2 бөлшектен тұратын жүйені қарастырайық Және . Бұрыштық импульс – қосымша шама. Жүйе үшін ол жеке бөлшектердің бір нүктеге қатысты бұрыштық импульсінің векторлық қосындысына тең.
.

Біз мұны білеміз
- бөлшекке әсер ететін барлық күштердің моменті және жүйе моментінің өзгеруі
, Содан кейін
;
;

- бөлшектерге әсер ететін барлық ішкі күштердің толық моменті.

- бөлшектерге әсер ететін барлық сыртқы күштердің толық моменті.

Сонымен екі бөлшек үшін:

Кез келген нүктеге қатысты ішкі күштердің толық моменті 0. Бөлшектердің өзара әсерлесу күштері
әрқайсысы 3 му Ньютон заңы бір түзуде әрекет етеді, яғни олардың иығы бірдей, сондықтан ішкі күштердің әрбір жұбының моменті 0-ге тең.

Бұл.
; анау. жүйелер сыртқы күштердің әсерінен өзгереді
. Егер сыртқы күштер болмаса
,
, онда, қосымша сақталған шама. Анау. бөлшектердің тұйық жүйесінің бұрыштық импульсі тұрақты болып қалады, уақыт бойынша өзгермейді. Бұл инерциялық санақ жүйесінің кез келген нүктесі үшін дұрыс:
анау. жеке бөліктердің импульсі жүйенің бір бөлігі жоғалуына байланысты пайда болады басқа бөлігі (бір нүктеге қатысты).

Барлық сыртқы күштердің, соның ішінде инерция күштерінің толық моменті нөлге тең болған жағдайда заң инерциялық емес санақ жүйесінде де жарамды.

В Заң импульс энергиясының сақталу заңымен бірдей рөл атқарады. Ол ішкі процестердің егжей-тегжейлерін қарастырмай, әртүрлі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалы: үдеткіш????

бұрыштық импульс
;
анау. ретінде төмендейді . Бұл әсерді гимнасттар, мәнерлеп сырғанаушылар және т.б. мұнда бізді өзара әрекеттесу күштері және т.б. жабық емес жүйелерде ол сақталмауы мүмкін , және оның кейбір қозғалмайтын оське проекциясы . Бұл кезде болады
барлық сыртқы күштер.

;
;

Физикада бұрыштық импульс ұғымы Ньютон заңдары қолданылмайтын механикалық емес жүйелерге (электромагниттік сәулеленуі бар, атомдарда, ядроларда және т.б.) таралады. Мұндағы бұрыштық импульстің сақталу заңы енді Ньютон заңдарының салдары емес, тәуелсізпринципі, эксперименттік фактілерді жалпылау болып табылады және энергия мен импульстің сақталу заңдарымен қатар негізгі заңдардың бірі болып табылады.

Жабық жүйелерде импульс пен энергияның сақталуынан басқа тағы бір физикалық шама – бұрыштық импульс сақталады. Алдымен және векторларының векторлық көбейтіндісін қарастырайық (32-сурет).

Векторлардың векторлық көбейтіндісі осындай вектор деп аталады, оның модулі мынаған тең:

мұндағы және векторларының арасындағы бұрыш.

Вектордың бағыты гимлет ережесімен анықталады, егер ол ең қысқа жолдан бастап бұрылса.

Айқас көбейтіндіні анықтауға арналған өрнек бар:

1. Нүктеге және оське қатысты күш моменті.

Алдымен күш моменті ұғымын енгізейік. Орны 0 нүктесінің басына қатысты радиус векторының көмегімен анықталған бөлшекке белгілі бір күш әсер етсін (33-сурет).

0 нүктесіне қатысты күш моментін векторлық шама деп атаймыз:

Бұл жағдайда күш моментінің векторы фигураның жазықтығына перпендикуляр бізге қарай бағытталған. Суреттен мәні шығады. Оны күш моментінің иығы дейік. Күш моментінің иығы деп 0 тірек нүктесінен күштің әсер ету сызығына дейінгі қашықтықты айтады.

0 нүктесі арқылы өтетін қандай да бір оське қатысты күш моменті 0 нүктесіне қатысты күш моменті векторының осы оске проекциясы болып табылады.

2. Күштер жұбының моменті. Күштер жұбының моментінің қасиеттері.

Бір түзудің бойымен әрекет етпейтін, бағыты бойынша қарама-қарсы, шамасы бірдей екі параллельді күштерді қарастырайық (34-сурет). Мұндай күштер жұп күштер деп аталады. Бұл күштер әрекет ететін түзу сызықтардың ара қашықтығы жұптың иығы деп аталады.

Мұнда келесі белгілер енгізілген:

Күш қолдану нүктесінің радиус векторы,

Күш қолдану нүктесіне қатысты күш қолдану нүктесінің радиус векторы .

Бұл күштер жұбының толық моменті былай анықталады:

Күштер жұп құрайтындықтан, демек:

Күштер жұбының моменті күштердің әсер ету нүктелерінің бастауын таңдауға байланысты емес екенін көруге болады.

3.Бөлшек импульсінің осіне қатысты және нүктеге қатысты моменті.

Енді бұрыштық импульс ұғымына тоқталайық. Орны 0 нүктесінің басына қатысты радиус векторының көмегімен анықталатын массасы m бөлшек жылдамдықпен қозғалсын (35-сурет).

0 нүктесіне қатысты бөлшектің бұрыштық импульсі деп атайтын векторын енгізейік. 0 нүктесіне қатысты бұрыштық импульс моменті мәнін атаймыз.

0 нүктесі арқылы өтетін оське қатысты бұрыштық импульс - бұл нүктеге қатысты бұрыштық импульстің осы оске проекциясы.

1. Түзу сызық бойымен қозғалысты қарастырыңыз. h биіктікте массасы m ұшақ көлденеңінен V жылдамдықпен ұшады (36-сурет).

Қандай да бір 0 нүктесіне қатысты ұшақтың бұрыштық импульсін табайық. Бұрыштық импульстің модулі импульс пен оның қолының көбейтіндісіне тең. Бұл жағдайда импульс моменті h-ке тең. Демек:

2. Шеңбер бойымен қозғалысты қарастыру. Массасы m бөлшек радиусы R шеңбер бойымен V модульдік жылдамдықпен тұрақты қозғалады (Cурет 37). Шеңбердің центріне қатысты бөлшектің бұрыштық импульсін 0 табыңыз.

Бөлшектің бұрыштық импульсі M== рR=const.

4. Бөлшек моментінің теңдеуі

Анықтама бойынша бөлшектің қандай да бір 0 нүктесіне қатысты бұрыштық импульсі:

Осы өрнектің оң және сол жақ бөліктерінің уақыт туындысын табайық:

Бірінші мүше векторлық көбейтінді ережесіне сәйкес жойылады. Бізде ақырында:

Бұл өрнек бөлшек моменті теңдеуі деп аталады.

Бұрыштық импульстің өзгеру жылдамдығы күштер моментіне тең.

5. Бөлшектер жүйесінің импульс моменті.
Бөлшектер жүйесінің бұрыштық импульсінің өзгеру және сақталу заңы.

Сыртқы күштер әсер ететін бір-бірімен әсерлесетін бөлшектер жүйесін қарастырайық. Бұл жүйенің бөлшектерінің кеңістіктегі орнын кейбір басына қатысты радиус векторларының көмегімен орнатамыз 0. Осы жүйенің нүктеге қатысты толық бұрыштық импульсін жазайық:

Толық моменттегі өзгерісті табыңыз:

Мына теңдеулер жүйесін жазайық:

…………………………………..

Бұл жүйенің сол және оң жақ бөліктерін қосып, оң жақтағы бірінші мүшедегі жұптық қосындыларды қарастырамыз.

Ньютонның үшінші заңына сәйкес, барлық басқа жұптық қосындылар да жойылады. Демек, бөлшектер арасындағы өзара әсерлесудің барлық ішкі күштерінің толық моменті нөлге тең. Сонда қалады:

Бөлшектер жүйесінің бұрыштық импульсі сыртқы күштердің моментін өзгертеді. Бөлшектердің тұйық жүйесі үшін бұрыштық импульстің сақталу заңы орындалады.

6. Бөлшектер жүйесінің орбиталық және меншікті импульс моменті.

Орны кейбір 0 тірек нүктесіне қатысты радиус векторлары арқылы орнатылатын N бөлшектер жүйесін қарастырайық (38-сурет).

Осы жүйенің масса центрінің С орны радиус векторының көмегімен анықталсын . Сонда i-ші бөлшектің 0 басына қатысты орны былай анықталады:

Бөлшектер жүйесінің 0 басына қатысты толық бұрыштық импульсін жазайық:

Бірінші мүшесі жүйенің орбиталық бұрыштық импульсі деп аталады:

Екінші мүшесі жүйенің меншікті моменті деп аталады:

Сонда 0 тірек нүктесіне қатысты жүйенің толық бұрыштық импульсі мына түрде болады:

7. Орталық күштер өрісіндегі қозғалыс.

Орталық күш өрісінде қозғалатын бөлшекті қарастырайық. Еске салайық, мұндай өрісте бөлшекке әсер ететін күш тек бөлшек пен координаттың арасындағы қашықтыққа байланысты болады. Сонымен қатар, күш әрқашан бөлшектің радиус векторы бойымен бағытталған.

Бұл жағдайда центрлік күш моменті нөлге тең болатынын түсіну оңай, демек, басына қатысты бұрыштық импульстің сақталу заңы орындалады.

болғандықтан, онда бөлшектің траекториясы әрқашан күш векторлары мен радиус векторы жататын жазықтықта орналасады. Орталық өрісте бөлшектер тегіс траекториялар бойымен қозғалады.

dt уақыт ішінде бөлшектің радиус векторы dS ауданын сипаттайтын болады (39-сурет).

Бұл аудан радиус векторы мен элементар орын ауыстыру векторына салынған параллелограмм ауданының жартысына тең. Өздеріңіз білетіндей, мұндай параллелограмның ауданы көлденең көбейтіндінің модуліне тең. Осылайша, біз енді жаза аламыз:

Мәнді салалық жылдамдық деп атаймыз және ол үшін өрнек аламыз:

Өйткені орталық өрісте M =const, демек, салалық жылдамдық тұрақты болып қалады.

Қорытынды: бөлшек орталық күш өрісінде қозғалғанда, оның радиус векторы тең уақыт аралықтарында тең аудандарды сипаттайды.

Бұл мәлімдеме Кеплердің екінші заңы болып табылады.

8. Екі дененің мәселесі.

Орталық күш өрісіндегі бөлшектердің қозғалысы мәселесі көптеген қолданбаларға ие. Екі дененің қозғалысы туралы мәселені қарастырайық. Тек бір-бірімен әрекеттесетін екі бөлшекті қарастырайық. Мұндай жүйенің массалар центрі қалай әрекет ететінін білейік. Тұйық жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теоремадан оның не тыныштықта, не түзу және бірқалыпты қозғалатыны туралы қорытынды жасауға болады.

Екі дененің есебін олардың массалар центрі жүйесінде шешеміз. Белгілі болғандай, жүйенің массалар центрінің радиус векторы мына өрнек арқылы анықталады:

Мұндай тұйық жүйенің импульсінің сақталу заңынан мыналар шығады:

Біріншіге қатысты екінші бөлшектің орнын анықтайтын радиус векторын енгізейік (40-сурет):

Сонда бөлшектердің ортақ масса центріне қатысты орнын анықтайтын радиус векторларының өзара орналасуының радиус векторымен байланысының өрнектерін алуға болады:

Енді бұл мәселені энергетикалық тұрғыдан қарастырайық. Бөлшектердің массалар центріне қатысты жылдамдықтарын және - арқылы, ал екінші бөлшектің біріншіге қатысты жылдамдығын арқылы белгілейік. Сонда бөлшектер жүйесінің импульсінің сақталу заңынан келесі өрнектерді алуға болады:

Осы бөлшектер жүйесінің толық механикалық энергиясын жазайық:

Мұндағы U(r 21) жүйенің меншікті потенциалдық энергиясы.

Бұл өрнекті түрлендіруге болады келесідей:

мұнда келесі белгілеу енгізіледі - азайтылған масса.

Энергия тұрғысынан қарағанда, бұл бөлшектер жүйесі өзін массасы азайған және салыстырмалы жылдамдықпен қозғалатын жалғыз бөлшек сияқты әрекет ететінін көреміз. Екі дененің мәселесі бір дененің қозғалысы мәселесіне дейін қысқарады.

Егер тәуелділік белгілі болса, онда негізгі мәселені де шешуге болады, яғни. тәуелділіктерді табыңыз және .

Орталық өрістегі әрбір бөлшек үшін қозғалыс теңдеуін (Ньютонның екінші заңы) жазайық:

Екінші теңдеудің оң жағында минус таңбасы бар, өйткені .

Бірінші теңдеуді m 1-ге, ал екіншісін m 2-ге бөлсек, мынаны аламыз:

Бірінші теңдеуді екіншісінен алып тастаңыз:

Сосын ақырында:

Осы жерден тәуелділікті табуға болады.

9. Жасанды серіктердің қозғалысы. ғарыштық жылдамдықтар.

Жердің жасанды серігінің оның бетіне жақын қозғалысын қарастырайық. Жер серігіне бір ғана күш – Жерге тартылу күші әсер ететіндіктен, оның қозғалысының теңдеуін шеңбер бойымен жазуға болады:

мұндағы m – жер серігінің массасы, М – Жердің массасы, Rz – Жердің радиусы.

Осы жерден спутниктің жылдамдығын алуға болады:

Сәйкес мәндерді ауыстыра отырып, V 1 = 8 км/с жылдамдықты аламыз.

Бұл жылдамдық деп аталады бірінші кеңістік(дене оның бетіне жақын жердің серігіне айналуы үшін оған хабарлануы керек жылдамдық).

Қарап шықтық ең қарапайым жағдайайналмалы орбитада спутник қозғалысы. Дегенмен, теория көрсеткендей, екі дене есебінде бір бөлшектің екіншісіне қатысты қозғалысының басқа траекториялары да мүмкін - эллипстер, гиперболалар және параболалар. Эллиптикалық орбиталар жүйенің толық механикалық энергиясының теріс мәніне сәйкес келеді, гиперболалық орбиталар оң мәнжалпы механикалық энергия мен параболалық орбиталар нөлге тең жалпы механикалық энергияның мәніне сәйкес келеді.

деп аталатынды табайық екінші ғарыш жылдамдығы. Бұл күннің серігі болу үшін денеге берілуі керек жылдамдық, ал дене параболалық траектория бойынша қозғалуы керек.

Жерді қозғалыссыз деп есептей отырып, спутник-Жер жүйесінің толық механикалық энергиясын жазайық:

Жалпы механикалық энергияны нөлге теңеп, екінші ғарыштық жылдамдықты аламыз:

Сәйкес мәндерді ауыстыра отырып, біз V 2 = 11,2 км/с аламыз.

ҚАТТЫ ДЕНЕ МЕХАНИКАСЫ

VIII. Кинематика қатты дене

1. Абсолютті қатты. Қатты дененің жазық қозғалысы және оның ілгерілемелі және айналмалы болып ыдырауы..

Осы уақытқа дейін біз физикалық модель ретінде материалдық нүктені қолдандық, бірақ бұл жуықтауда барлық есептерді шешу мүмкін емес. Енді аталғандарға тоқталайық абсолютті қатты денелер. Абсолют қатты дене деп өзі тұратын бөлшектердің арақашықтығы өзгермейтін денені айтады. Басқаша айтқанда, бұл мүлде деформацияланбайтын дене.

Біз қарастырамыз тегіс қозғалысқозғалыс кезінде оның кез келген нүктесі параллель жазықтықтардың бірінде қалатын қатты дене. Жазық қозғалыста қатты дененің әрбір нүктесінің траекториялары бір жазықтықта жатады, ал барлық траекториялардың жазықтықтары сәйкес келеді немесе параллель болады.

Қатты дененің кез келген күрделі қозғалысын артық қосынды ретінде көрсетуге болады қарапайым қозғалыстар: трансляциялық және айналмалы . Аудармалықдененің кез келген екі нүктесін қосатын түзу кеңістікте өз бағытын сақтайтын қатты дененің қозғалысы деп аталады. Трансляциялық қозғалыс міндетті түрде сызықты емес, мысалы, паром доңғалағындағы кабина (Cурет 41).

айналмалыҚатты дененің барлық нүктелерінің траекториялары центрі айналу осінде жатқан концентрлік шеңберлер болатын қозғалыс деп аталады. Үстел үстінде домалап жатқан цилиндр өзінің симметрия осінің айналасында ілгерілемелі қозғалысты да, айналмалы қозғалысты да орындайды.

Жазық қозғалыстың ілгерілемелі және айналмалы болып ыдырауын көрсетейік (42-сурет).

Суреттен 1-позициядан 2-позицияға денені алдымен трансляциялық жағдайға, содан кейін ось айналасында айналмалы түрде 2-позицияға жылжытуға болатынын көруге болады. Трансляциялық және айналмалы қозғалысқа мұндай бөлу шексіз жүзеге асырылуы мүмкін. үлкен санжолдары, бірақ айналу әрқашан бірдей бұрышпен жүзеге асырылады.

Осылайша, жазық қозғалысты дененің барлық нүктелері үшін бірдей жылдамдықпен трансляциялық және бірдей бұрыштық жылдамдықпен айналу ретінде көрсетуге болады. Қатты дене нүктелерінің сызықтық жылдамдықтары үшін оны былай жазуға болады:

Мұнда қатты дененің кез келген нүктесінің радиус векторы берілген.

Мысалы, цилиндрдің көлденең беттегі домалауын (43-сурет) барлық нүктелердің ілгерілемелі қозғалысы ретінде V 0 жылдамдығымен және оның симметрия осімен 0 сәйкес келетін ось айналасында айналуын бұрыштық жылдамдықпен көрсетуге болады. , немесе жылдамдықпен ілгерілемелі қозғалыс және сол бұрыштық жылдамдықпен айналу, бірақ ось айналасында.

Қатты дененің қозғалысын лездік ось деп аталатын тек қана айналулар жиынтығы ретінде көрсетуге болады. Бұл ось қатты дененің өзінде болуы мүмкін немесе оның сыртында болуы мүмкін. Лездік осьтің орны уақыт бойынша өзгереді. Айналмалы цилиндр жағдайында лездік осі цилиндр мен жазықтықтың жанасу сызығымен сәйкес келеді.

Суретте бейнелеп көрейік. 44 цилиндрдің кейбір нүктелерінің қозғалмайтын санақ жүйесіне қатысты лездік жылдамдықтарының бағыты. А нүктесінің жылдамдығы уақыттың әр сәтінде нөлге тең, өйткені. ол трансляция жылдамдығы мен абсолютті мәнге тең сызықтық жылдамдықтың қосындысы. С нүктесінің жылдамдығы екі есе жылдамдықпен және т.б.

Цилиндрдің кез келген нүктесінің бекітілген санақ жүйесіне қатысты жылдамдықтың қалай бағытталғанын көрейік. Ол үшін абсолютті қатты дененің шартын екі ерікті нүктеге келесі түрде жазамыз:

Уақыт бойынша оң және сол жақтарды ажыратыңыз:

А нүктесін лездік айналу осімен қосамыз, содан кейін және . Сондықтан бізде:

Бұл шарт сәйкес векторлардың перпендикулярлығын білдіреді, яғни. .

Жүйелердің мінез-құлқын талдау энергия мен импульстен басқа, сақталу заңымен де байланысты басқа механикалық шама бар екенін көрсетеді, бұл деп аталатын бұрыштық импульс. Олар сондай-ақ импульс моменті, айналу моменті, бұрыштық импульс немесе жай импульс терминдерін пайдаланады.

Бұл қандай шама және оның қасиеттері қандай?

Алдымен бір бөлшекті алайық. Оның қандай да бір нүктеге қатысты орнын сипаттайтын радиус векторы болсын Отаңдалған анықтамалық жүйе, және - оның осы жүйедегі импульсі. Бөлшектердің бұрыштық импульсі Анүктеге қатысты О(6.1-сурет) векторлардың векторлық көбейтіндісіне тең векторды атаймыз және:

Бұл анықтамадан ол осьтік вектор болып шығады. Оның бағыты нүктенің айналасында айналуы үшін таңдалады Овекторының бағыты бойынша оң бұранда жүйесін құрайды. Вектордың модулі

,

(6.2)

мұндағы және векторларының арасындағы бұрыш нүктеге қатысты вектордың иығы ТУРАЛЫ(6.1-сурет).

Вектордың уақыт өзгерісін сипаттайтын теңдеу шығарайық . Ол шақырылады момент теңдеуі. Қорытынды жасау үшін берілгендегі вектордың өзгеруіне қандай механикалық шама жауап беретінін анықтау керек

анықтамалық жүйе. (6.1) теңдеуді уақытқа байланысты ажыратайық:

Нүктеден бастап Оқозғалыссыз болса, онда вектор жылдамдығына теңбөлшектер, яғни векторымен бағытта сәйкес келеді, сондықтан

Ньютонның екінші заңын қолданып, бөлшекке түсірілген барлық күштердің нәтижесі қай жерде екенін аламыз. Демек,

Бұл теңдеудің оң жағындағы шама деп аталады күш моментінүктеге қатысты ТУРАЛЫ(6.2-сурет). Оны әріппен белгілей отырып, жазамыз

векторы, мысалы, осьтік. Бұл вектордың модулі (6.2) тең

Бұл теңдеу деп аталады момент теңдеуі. Назар аударыңыз, егер санақ жүйесі инерциялық емес болса, онда күш моменті өзара әрекеттесу күштерінің моментін де, бір нүктеге қатысты инерция күштерінің моментін де қамтиды. О.

(6.5) моменттерінің теңдеуінен, атап айтқанда, егер онда . Басқаша айтқанда, егер таңдалған санақ жүйесінің кейбір О нүктесіне қатысты бөлшекке әсер ететін барлық күштердің моменті бізді қызықтыратын уақыт аралығында нөлге тең болса, онда осы нүктеге қатысты бөлшектің бұрыштық импульсі тұрақты болып қалады. осы уақыт ішінде.

Мысал 1. Кейбір А планетасы қозғалады және Күннің гравитациялық өрісі С (6.3-сурет). Берілген планетаның бұрыштық импульсі гелиоцентрлік санақ жүйесінің қай нүктесіне қатысты уақытта сақталады?

Бұл сұраққа жауап беру үшін, ең алдымен, А планетасында қандай күштердің әрекет ететінін анықтау керек. Бұл жағдайда бұл тек ауырлық күші.

күн жағынан. Планета қозғалған кезден бастап бұл күштің бағыты

Күннің центрінен барлық уақытта өтеді, содан кейін соңғысы күш моменті әрқашан нөлге тең және планетаның бұрыштық импульсі тұрақты болып қалатын нүкте болып табылады. Сонда планетаның импульсі өзгереді.

Мысал 2. Тегіс көлденең жазықтық бойымен қозғалатын шайба А тегіс тік қабырғадан серпімді түрде көтеріледі (6.4-сурет, жоғарғы көрініс). Осы процесте шайбаның бұрыштық импульсі тұрақты болатын нүктені табыңыз.

Шайбаға ауырлық күші, көлденең жазықтықтың бүйірінен келетін реакция күші, оған соқтығыс сәтінде қабырға жағынан әсер етеді. Алғашқы екі күш бір-бірін теңестіреді, күш сақталады. Оның моменті вектордың әрекет сызығында жатқан кез келген нүктеге қатысты нөлге тең, бұл осы нүктелердің кез келгеніне қатысты шайбаның бұрыштық импульсі осы процесте тұрақты болып қалады дегенді білдіреді.

Мысал 3. Көлденең тегіс жазықтықта қозғалмайтын тік цилиндр және цилиндрге АВ жіпімен қосылған шайба А орналасқан (6.5-сурет, жоғарғы көрініс). Шайбаға осы суретте көрсетілгендей бастапқы жылдамдық берілді. Бұл жерде қозғалыс кезінде шайбаның бұрыштық импульсі тұрақты болып қалатын нүкте бар ма?

Бұл жағдайда шайба А-ға әсер ететін жалғыз компенсацияланбаған күш - бұл жіптің бүйірінен керілу күші. Қозғалыс процесіндегі күш моменті барлық уақытта нөлге тең болатын ешқандай нүкте жоқ екенін көру оңай. Демек, шайбаның бұрыштық импульсі тұрақты болып қалатын нүкте жоқ. Бұл мысал бөлшектің бұрыштық импульсі тұрақты болып қалатын нүкте әрқашан болмайтынын көрсетеді.

Момент теңдеуі (6.5) екі сұраққа жауап беруге мүмкіндік береді:

1) бізді қызықтыратын О нүктесіне қатысты күш моментін табыңыз кез келген t уақыты, егер сол нүктеге қатысты бөлшектің бұрыштық импульсінің уақытқа тәуелділігі белгілі болса;

2) егер осы бөлшекке әсер ететін күш моментінің сол О нүктесіне қатысты уақытқа тәуелділігі белгілі болса, кез келген уақыт аралығында бөлшектің О нүктесіне қатысты бұрыштық импульсінің өсімін анықтау.

Бірінші сұрақтың шешімі импульс моментінің уақыт туындысын табуға келтіріледі, яғни (6.5) сәйкес күштің қажетті моментіне тең.

Екінші сұрақтың шешімі (6.5) интегралдау теңдеуіне келтіріледі. Осы теңдеудің екі бөлігін де dt-ге көбейтсек, вектордың элементар өсімін анықтайтын өрнекті аламыз. Бұл өрнекті уақыт бойынша интегралдасақ, t ақырлы уақыт интервалындағы вектордың өсімін табамыз:

(6.6)

Бұл теңдеудің оң жағындағы мән импульс деп аталадыкүш моменті. Нәтижесінде келесі тұжырым алынды: кез келген уақыт аралығындағы бөлшектің бұрыштық импульсінің өсімі сол уақыттағы күш моментінің импульсіне тең. Екі мысалды қарастырайық.

Мысал 1. Белгілі бір нүктеге қатысты бөлшектің бұрыштық импульсі заң бойынша t уақытқа байланысты өзгереді. мұндағы және кейбір тұрақты өзара перпендикуляр векторлар. және векторларының арасындағы бұрыш 45°-қа тең болғанда бөлшекке әсер ететін күш моментін табыңыз.

(6.5) сәйкес анау. векторы, әрқашан вектормен бағыты бойынша сәйкес келеді. Векторларды және кейбір t моментін бейнелейік (6.6-сурет). Бұл суреттен Көріп отырғанымыз, бұрыш = 45° Осы кезде және.

Мысал 2. Массасы m А тасы көкжиекке бұрыш жасап бастапқы жылдамдықпен лақтырылды. Ауа кедергісін елемей, О лақтыру нүктесіне қатысты тастың бұрыштық импульсінің уақытқа тәуелділігін табыңыз (6.7-сурет).

dt уақыт аралығы үшін нүктеге қатысты тастың бұрыштық импульсі

О, өсім алыңыз . Өйткені Бұл Осы өрнекті біріктіру арқылы, қазіргі уақытта фактіні ескере отырып Біз алып жатырмыз . Бұл қозғалыс кезінде вектордың бағыты өзгермейтінін көрсетеді (вектор жазықтықтан тыс бағытталған, 6.7-сурет.

Енді бұрыштық импульс және оське қатысты күш моменті ұғымдарын қарастырайық. Кейбір инерциялық санақ жүйесінде ерікті қозғалмайтын осьті таңдайық. Осьтегі қандай да бір О нүктесіне қатысты А бөлшектің бұрыштық импульсі , ал бөлшекке әсер ететін күш моменті , болсын.

z осіне қатысты бұрыштық импульс - бұл вектордың осы осіне проекциясы, ерікті нүктеге қатысты анықталған Бұл ось туралы (6.8-сурет). Сол сияқты, оське қатысты күш моменті туралы түсінік енгізіледі. Олардың

Осы шамалардың қасиеттерін анықтайық. (6.5) z осіне проекциялау, біз аламыз

яғни бөлшектің z осіне қатысты бұрыштық импульсінің уақыт туындысы осы оське қатысты күш моментіне тең. Атап айтқанда, егер онда . Басқаша айтқанда, егер қандай да бір қозғалмайтын z осіне қатысты күш моменті нөлге тең болса, онда бөлшектің осы оське қатысты бұрыштық импульсі тұрақты болып қалады. Бұл жағдайда вектордың өзі өзгеруі мүмкін.

Мысалы: Жіпке ілінген массасы m кішкентай дене ауырлық күшінің әсерінен горизонталь шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалады (6.9-сурет).О нүктесіне қатысты дененің бұрыштық импульсі – векторы z осі мен жіппен бірдей жазықтық. Дене қозғалған кезде вектор ауырлық моментінің әсерінен барлық уақытта айналады, яғни өзгереді. Вектор перпендикуляр болғандықтан проекция тұрақты болып қалады

Енді және үшін аналитикалық өрнектерді табайық. Бұл есеп векторлық туындылардың z осі бойынша проекцияларды табуға қысқартылғанын және .

А бөлшекпен (6.10-сурет) сәйкес координаталарды арттыру бағытында бағытталған бірлік векторларды байланыстыра отырып, цилиндрлік координаталар жүйесін қолданайық. Бұл координаттар жүйесінде радиус-вектор және бөлшектердің импульсі келесі түрде жазылады:

вектордың сәйкес орттарға проекциялары мұнда. Векторлық көбейтіндіні бейнелеуге болатыны векторлық алгебрадан белгілі

анықтауыш

Бұл бірден бөлшектің z осіне қатысты бұрыштық импульсінің екенін көрсетеді

мұндағы бөлшектің радиус векторы айналатын бұрыштық жылдамдықтың проекциясы.

Сол сияқты (6.8), z осіне қатысты күш моменті де жазылады:

мұндағы күш векторының ортқа проекциясы

Назар аударыңыз және проекциялары шын мәнінде және векторлары анықталған z осіндегі О нүктесін таңдауға тәуелді емес. Сонымен қатар, және алгебралық шамалар болып табылатыны анық, олардың таңбалары проекциялардың және белгілеріне сәйкес келеді.

Материалдық нүктенің айналмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі- нүктенің қозғалмайтын ось айналасында айналуы кезіндегі бұрыштық үдеуі моментке пропорционал және инерция моментіне кері пропорционал.

M = E*Jнемесе E=M/J

Алынған өрнекті Ньютонның екінші заңымен трансляциялық заңмен салыстыра отырып, J инерция моменті дененің айналмалы қозғалыстағы инерция өлшемі екенін көреміз. Масса сияқты, мөлшер де қосымша болып табылады.

Инерция моментіжұқа сақина:

Инерция моменті

Инерция моментін есептеу үшін денені ойша жеткілікті кішкентай элементтерге бөлу керек, олардың нүктелері айналу осінен бірдей қашықтықта жатыр деп санауға болады, содан кейін әрбір элементтің массасының көбейтіндісін квадратпен табу керек. оның осінен қашықтығы, және, сайып келгенде, барлық алынған өнімдерді қорытындылау. Бұл өте көп еңбекті қажет ететін жұмыс екені анық. Санау үшін
дұрыс геометриялық пішінді денелердің инерция моменттерін, кейбір жағдайларда интегралдық есептеу әдістерін қолдануға болады.
Дене элементтерінің инерция моменттерінің соңғы қосындысын табу шексіз қосындымен ауыстырылады. үлкен санШексіз аз элементтер үшін есептелген инерция моменттері:

lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 дм. (сағ ∆м → 0).

Біртекті дискінің немесе биіктігі бар тұтас цилиндрдің инерция моментін есептейік hоның симметрия осі туралы

Дискіні центрлері оның симметрия осінде орналасқан жұқа концентрлі сақиналар түріндегі элементтерге бөлейік. Алынған сақиналардың ішкі диаметрі бар rжәне сыртқы r + dr, және биіктігі h. Өйткені доктор<< r , онда сақинаның барлық нүктелерінің осьтен қашықтығы тең деп есептей аламыз r.
Әрбір жеке сақина үшін инерция моменті

i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,

Қайда ΣΔм- бүкіл сақинаның массасы.
Қоңыраудың дыбыс деңгейі 2prhdr. Егер диск материалының тығыздығы ρ , содан кейін сақинаның массасы

ρ2prhdr.

Сақиналы инерция моменті

i = 2πρсағ 3др.

I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,

I = (1/2)πρhR 4.

Бірақ дискінің массасы m = ρπhR 2, демек,

I = (1/2)mR 2.

Біртекті материалдардан жасалған кейбір дұрыс геометриялық пішінді денелер үшін инерция моменттерін (есептеусіз) ұсынамыз.

 1. Жіңішке сақинаның центрі арқылы оның жазықтығына перпендикуляр өтетін оське (немесе оның симметрия осіне қатысты жұқа қабырғалы қуыс цилиндрге) қатысты инерция моменті:

I = mR 2.

 2. Қалың қабырғалы цилиндрдің симметрия осіне қатысты инерция моменті:

I = (1/2)m(R 1 2 - R 2 2)

Қайда R1− ішкі және R2− сыртқы радиустар.
 3. Дискінің диаметрлерінің біріне сәйкес келетін оське қатысты инерция моменті:

I = (1/4)mR 2.

 4. Тұтас цилиндрдің генератрицаға перпендикуляр және оның ортасынан өтетін оське қатысты инерция моменті:

I \u003d м (R 2/4 + сағ 2/12)

Қайда Р− цилиндр табанының радиусы, hцилиндр биіктігі болып табылады.
 5. Жіңішке сырықтың ортасынан өтетін оське қатысты инерция моменті:

I = (1/12) мл 2,

Қайда лшыбықтың ұзындығы болып табылады.
 6. Жіңішке сырықтың оның бір ұшы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

I = (1/3) мл 2

7. Шардың диаметрлерінің біріне сәйкес келетін оське қатысты инерция моменті?

I = (2/5)mR 2.

Дененің массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті белгілі болса, онда біріншіге параллель болатын кез келген басқа оське қатысты инерция моментін Гюйгенс-Штайнер теоремасы деп аталатын теория негізінде табуға болады.
дененің инерция моменті Iкез келген оське қатысты дененің инерция моментіне тең мен сБерілгенге параллель және дененің масса центрі арқылы өтетін оське дененің массасын қосқанда мқашықтықтың квадратына көбейтіңіз лосьтер арасында:

I \u003d I c + мл 2.

Мысал ретінде радиусы бар шардың инерция моментін есептейміз Ржәне салмақ мілу нүктесі арқылы өтетін оське қатысты ұзындығы l жіпке ілінген ТУРАЛЫ. Жіптің массасы шардың массасымен салыстырғанда аз. Шардың массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моментінен бастап Ic = (2/5)mR 2, және қашықтық
осьтер арасында ( l + R), онда ілу нүктесі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті:

I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.

Инерция моментінің өлшемі:

[I] = [m] × = ML 2.

Пікір қалдыру үшін жүйеге кіріңіз немесе тіркеліңіз

Бөлшектердің кез келген жүйесінде бір тамаша нүкте бар МЕН- масса центрі, немесе ауырлық орталығы, оның бірқатар қызықты және маңызды қасиеттері бар. Кез келген импульстің векторы полярлық вектор болғандықтан, массалар центрі жүйенің импульс векторының қолданылу нүктесі болып табылады. Нүкте позициясы МЕНбасына қатысты ТУРАЛЫБерілген санақ жүйесі келесі формуламен анықталатын радиус векторымен сипатталады:

Айта кету керек, жүйенің массалар центрі оның ауырлық центрімен сәйкес келеді. Рас, бұл мәлімдеме берілген жүйедегі ауырлық өрісін біртекті деп санауға болатын жағдайда ғана дұрыс болады.

Берілген санақ жүйесіндегі массалар центрінің жылдамдығын табайық. Уақыт бойынша дифференциалдау (4.8) біз аламыз

анау. Жүйенің импульсі жүйенің массасы мен оның массалар центрінің жылдамдығының көбейтіндісіне тең.

Массалар центрінің қозғалыс теңдеуін аламыз. Массалар центрі түсінігі (4.4) теңдеуді басқа формада беруге мүмкіндік береді, бұл көбінесе ыңғайлырақ болып шығады. Ол үшін (4.4) орнына (4.10) қойып, жүйенің массасы тұрақты шама екенін ескеру жеткілікті. Сосын аламыз

мұндағы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің нәтижесі. Бұл солай массалар центрінің қозғалыс теңдеуіжүйелер – механиканың маңызды теңдеулерінің бірі. Бұл теңдеу бойынша, Кез келген бөлшектер жүйесі қозғалғанда, оның инерция центрі жүйенің бүкіл массасы осы нүктеге шоғырланған және оған барлық сыртқы күштер әсер еткендей қозғалады.жүйеде әрекет ету. Бұл жағдайда инерция центрінің үдеуі сыртқы күштердің әсер ету нүктелерінен толық тәуелсіз болады.

Осылайша, егер жүйенің массалар центрі бірқалыпты және түзу сызықты қозғалса, онда бұл оның импульсі сақталғанын білдіредіқозғалыс процесінде. Әрине, керісінше де дұрыс.

(4.11) теңдеу. нысаны жағынан материалдық нүкте динамикасының негізгі теңдеуімен сәйкес келеді және оның бөлшектер жүйесіне табиғи жалпылауы болып табылады: тұтас жүйенің үдеуі барлық сыртқы күштердің нәтижесіне пропорционал және жалпы массасына кері пропорционал. жүйе. Еске салайық, инерциялық емес санақ жүйелерінде барлық сыртқы күштердің нәтижесіне қоршаған денелермен әсерлесу күштері де, инерция күштері де кіреді.

Жүйенің массалар центрінің қозғалысына бірнеше мысалдарды қарастырыңыз.

Мысал 1. Салға мінген адамға (90-бет) есепті басқа жолмен шешуге болатынын, массалар центрі ұғымын пайдалана отырып көрсетейік.

Суға төзімділік шамалы болғандықтан, мансап жүйесіне әсер ететін барлық сыртқы күштердің нәтижесі нөлге тең. Және бұл адамның (және салдың) қозғалысы кезінде осы жүйенің инерция центрінің жағдайы өзгермейтінін білдіреді, яғни.

.

мұндағы және — жағадағы белгілі бір нүктеге қатысты адам мен салдың масса центрлерінің орнын сипаттайтын радиус-векторлар. Осы теңдіктен және векторларының өсімшелері арасындағы байланысты табамыз

Адамның және салдың жағаға қатысты қозғалысын көрсететін өсулер мен екенін есте ұстай отырып, біз салдың қозғалысын табамыз:

Мысал 2. Адам мұнарадан суға секіреді. Жалпы жағдайда секіргіштің қозғалысы өте күрделі сипатқа ие. Алайда, егер ауа кедергісі шамалы болса, онда біз бірден секіргіштің инерция центрі адамның массасы болатын тұрақты күш әсер ететін материалдық нүкте сияқты параболаның бойымен қозғалады деп айта аламыз.

Мысал 3. Орталықтан тепкіш машина осінің соңына жіппен жалғанған тұйық тізбек бұрыштық жылдамдықпен тік осьтің айналасында біркелкі айналады (4.4-сурет). Бұл жағдайда жіппен бұрыш жасайды

вертикалды. Тізбектің инерция центрі қалай әрекет етеді?

Ең алдымен, біркелкі айналу кезінде тізбектің инерция центрі тік бағытта қозғалмайтыны анық. Бұл жіптің тартылуының T күшінің тік құрамдас бөлігі ауырлық күшін өтейтінін білдіреді (4.4-сурет, оң жақта). Кернеу күшінің көлденең құрамдас бөлігі абсолютті мәнде тұрақты және әрқашан айналу осіне қарай бағытталған.

Бұдан шығатыны, тізбектің масса центрі – С нүктесі – көлденең шеңбер бойымен қозғалады, оның радиусын (4.11) формула арқылы оңай табуға болады, оны формада жазады.

тізбектің массасы қайда. Бұл жағдайда C нүктесі әрқашан айналу осі мен жіп арасында, суретте көрсетілгендей болады. 4.4.

Жиі кездесетін жағдайларда, бізді тұтас жүйенің қозғалысы емес, тек жүйе ішіндегі бөлшектердің салыстырмалы қозғалысы қызықтырса, массалар центрі орналасқан санақ жүйесін қолданған дұрыс. демалыс. Бұл құбылысты талдауды да, есептеулерді де айтарлықтай жеңілдетуге мүмкіндік береді.

Берілген бөлшектер жүйесінің массалар центрімен қатаң байланысқан және инерциялық жүйелерге қатысты трансляциялық қозғалатын санақ жүйесі деп аталады. ауырлық центрі жүйесінемесе қысқаша, C-жүйесі(жүйені белгілеу латын тіліндегі орталық сөзінің бірінші әрпімен байланысты). Бұл жүйенің айрықша ерекшелігі ондағы бөлшектер жүйесінің толық импульсінің нөлге тең болуы – бұл (4.10) формуладан тікелей шығады. Басқаша айтқанда, бөлшектердің кез келген жүйесі тұтастай оның - C-жүйесі.

Бөлшектердің тұйық жүйесі үшін оның МЕН-жүйе инерциялық, тұйық емес үшін - жалпы инерциялық емес.

Жүйенің механикалық энергиясының мәндері арасындағы байланысты табайық ҚЖәне МЕНанықтамалық жүйелер. Жүйенің кинетикалық энергиясынан бастайық. Бөлшектердің жылдамдығы Қ-жүйені жылдамдықтардың қосындысы ретінде көрсетуге болады, мұндағы және бұл бөлшектің жылдамдығы МЕН-жүйе және массалар центрінің жылдамдығына қатысты Қ-сәйкесінше анықтамалық жүйелер. Содан кейін жаза аласыз.