Проекция на точка върху права линия, координати на проекция на точка върху права линия. Проекция на точка върху права, координати на проекцията на точка върху права Ортогонална проекция на точка върху права онлайн калкулатор

1-12. Проекция на точка върху равнина или права

ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА.Намерете координатите на проекцията P" на точката P(^PiURCHzp) върху равнината Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O,

ПЛАН ЗА РЕШЕНИЕ. Проекцията P" на точка P върху равнината е основата на перпендикуляра, пуснат от точка P върху тази равнина.

1. Съставяме уравненията на права, минаваща през точка P перпендикулярно на дадената равнина. За да направим това, вземаме правата линия като насочващ вектор нормален векторравнина: a \u003d n \u003d \u003d (A, B, C). Тогава каноничните уравнения на правата имат формата

X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z = z Ct-\- Zp.

3. Замествайки x^y^z в уравнението на равнината и решавайки го спрямо t, намираме стойността на параметъра t = до, при което правата и равнината се пресичат.

4. Намерената стойност на ^o се замества в параметричните уравнения на правата и получаваме необходимите координати на точката R".

КОМЕНТИРАЙТЕ. Проблемът за намиране на координатите на проекцията на точка върху права се решава по подобен начин.

ПРИМЕР. Намерете координатите на проекцията P "на точката P (1,2, -1) върху равнината ЗЖ - 2/4-22: - 4 \u003d 0.

1. Съставяме уравненията на права, минаваща през точка P перпендикулярно на дадената равнина. За да направим това, ние приемаме нормалния вектор на равнината като насочващ вектор на правата линия: a = n =

3. Замествайки тези изрази за x^ y и z в уравнението на равнината, намираме стойността на параметъра ^, при който се пресичат правата и равнината:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => до = 2.

4. Замествайки намерената стойност на = 2 в параметричните уравнения на правата, получаваме x0 = 7, y0 = 0, y0 = 1.

Така пресечната точка на правата и равнината и следователно проекцията на точка P върху равнината има координати (7,0,1).

Отговор. Проекцията P" има координати (7,0,1).

Отговори. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10. (1,1/2,0).

1.13. Симетрия спрямо права или равнина

ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМА.Намерете координатите на точка Q, симетрична

ПЛАН ЗА РЕШЕНИЕ. Желаната точка Q лежи на права, перпендикулярна на дадената и пресичаща я в точка P". Тъй като точката P" разделя отсечката PQ наполовина, координатите w, yd и ZQ на ТОЧКА Q се определят от условията

неговата проекция P" върху дадената права.

1. Намерете проекцията на точкаР към дадената права, т.е. точка P "(вижте проблем 1.12). За да направите това:

а) съставете уравнението на равнината, минаваща през точка P перпендикулярно на дадената права. Като нормален вектор p на тази равнина можем да приемем насочващия вектор на дадената права, т.е. n = a = (l^m^n). Получаваме

1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;

б) намерете координатите на точката на пресичане P "на тази равнина с дадена линия. За да направите това, ние пишем уравненията на линията в параметрична форма

X = H-\- jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Като заместим x^y^z в уравнението на равнината и го решим спрямо t, намираме стойността на параметъра t = to, при който правата и равнината се пресичат;

в) заместваме намерената стойност в параметричните уравнения на правата линия и получаваме желаните координати на точката Р".

2. Координатите на точката Q, която е симетрична на точката Р спрямо дадената права, се определят от условия (1). Получаваме

XQ = 2xp/ - Xp, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22; p/ - zp.

КОМЕНТИРАЙТЕ. По подобен начин се решава задачата за намиране на координатите на точка, симетрична на дадена спрямо равнина.

ПРИМЕР. Намерете координатите на точката Q, симетрична на точката P(2, -1,2) спрямо правата

X - 1 _ y __ Z -\-1

РЕШЕНИЕ.

1. Намерете проекцията на точкаР към дадената права, т.е. точка P". За да направите това:

а) съставете уравнението на равнината, минаваща през точка P перпендикулярно на дадената права. Като нормален вектор p на тази равнина можем да приемем насочващия вектор на тази права: n = a = (1,0,-2). Тогава

Замествайки тези изрази за x, y и z в уравнението на равнината, намираме стойността на параметъра t, при който се пресичат правата и равнината: to = -1;

в) замествайки намерената стойност на = -1 в параметричните уравнения на правата, получаваме

zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.

По този начин пресечната точка на правата и равнината и, следователно, проекцията на точка P върху правата е P"(0,0,1).

2. Координатите на точката Q, която е симетрична на точката P спрямо дадената права, се определят от условия (1):

XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,

VQ \u003d 2ur / - 2 / p \u003d 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0.

Отговор. Точка Q има координати (-2,1,0).

ЗАДАЧИ УСЛОВИЯ. Намерете координатите на точка, симетрична на точка P спрямо дадена права.

Проекцията на точка върху права линия се намира доста просто и при извършване на някои операции нулевото приближение се изчислява като проекция на точка върху допирателна линия. Помислете за това специален случайобща задача.

Нека е дадена права линия

и точка. Приемаме, че линейният вектор w има произволна дължина. Правата минава през точката, в която параметърът t е равен на нула и има посока на вектора w. Необходимо е да се намери проекцията на точка върху права линия. Този проблем има уникално решение. Нека построим вектор от точка на права до точка и изчислим скаларното произведение на този вектор и линейния вектор w. На фиг. 4.5.1 показва насочващия вектор на правата w, нейната начална точка Co и проекцията; дадена точка. Ако разделим това скаларно произведение на дължината на вектора w, получаваме дължината на проекцията на вектора върху права линия.

Ориз. 4.5.1. Проекция на точка върху права линия

Ако разделим този скаларен продукт на квадрата на дължината на вектора w, тогава получаваме дължината на проекцията на вектора върху правата линия в единици дължина на вектора w, т.е. получаваме параметъра t за проекцията на точка върху права линия.

Така проекционният параметър на точка върху права линия и радиус-векторът на проекцията ; изчислени по формули

(4.5.3)

Ако дължината на вектора w е равна на единица, тогава в (4.5.2) не се изисква да се дели на Разстоянието от точка до нейната проекция върху кривата обикновено се изчислява като дължината на вектора . Разстоянието от точка до нейната проекция върху права линия може да се определи без да се изчислява проекцията на точката, но с помощта на формулата

Особени случаи.

Проекцията на точка върху аналитични криви може да се намери и без използване на числени методи. Например, за да намерите проекцията на точка върху конично сечение, трябва да транслирате проектираната точка в локалната координатна система на коничното сечение, да проектирате тази точка върху равнината на коничното сечение и да намерите параметъра на двата -размерна проекция на дадената точка.

Общ случай.

Нека се изисква да се намерят всички проекции на точка върху крива линия. Всяка желана точка от кривата удовлетворява уравнението

(4.5.5)

Това уравнение съдържа една неизвестна величина - параметърът t. Както вече споменахме, ще разделим решението на този проблем на два етапа. На първия етап определяме нулевите приближения на параметрите на проекциите на точка върху кривата, а на втория етап намираме точните стойности на параметрите на кривата, които определят проекциите на дадена точка върху кривата линия с

С този онлайн калкулатор можете да намерите проекцията на точка върху права. дадено подробно решениес обяснения. За да изчислите проекцията на точка върху права линия, посочете размерността (2-ако се разглежда права линия в равнина, 3- ако се разглежда права линия в пространството), въведете координатите на точката и елементите на уравнението в клетките и щракнете върху бутона "Решаване".

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Проекция на точка върху права - теория, примери и решения

Нека разгледаме този проблем в двумерни и тримерни пространства.

1. Нека е дадена точка в двумерното пространство М 0 (х 0 , г 0) и директно Л:

Алгоритъм за намиране на проекцията на точка върху права линия Лсъдържа следните стъпки:

• изградете права линия Л 1, преминаваща през точката М 0 и перпендикулярна на правата Л,
• намерете пресечната точка на линиите ЛИ Л 1 (точка М 1)

Уравнение на права, минаваща през точка М 0 (х 0 , г 0) има следната форма:

Нека отворим скобите

(5)

Заменете стойностите хИ гна 4):

Където х 1 =mt"+х", г 1 =точка"+y".

Пример 1. Намерете проекцията на точка М 0 (1, 3) директно

Тези. м=4, стр=5. От уравнението на правата (6) се вижда, че тя минава през точката М" (х", y")=(2, −3)(лесно се проверява това - замествайки тези стойности в (6) получаваме идентичността 0=0), т.е. х"=2, y"=-3. Заменете стойностите m, p, x 0 , г 0 ,x", y"на 5"):

2. Нека е дадена точка в тримерното пространство М 0 (х 0 , г 0 , z 0) и директно Л:

Намиране на проекцията на точка върху права Лсъдържа следните стъпки:

• построи самолет α преминаващ през точката М 0 и перпендикулярна на правата Л,
• намерете пресечната точка на равнината α и директно Л(точка М 1)

Уравнение на равнина, минаваща през точка М 0 (х 0 , г 0 , z 0) има следната форма:

Нека отворим скобите

Заменете стойностите хИ гна 9):

Тази статия разглежда концепцията за проекцията на точка върху права линия (ос). Ще го дефинираме с помощта на обяснителна фигура; ще изучаваме метод за определяне на координатите на проекцията на точка върху права линия (върху равнина или в тримерно пространство); нека да разгледаме примери.

В статията „Проекция на точка върху равнина, координати“ споменахме, че проекцията на фигура е обобщена концепция за перпендикулярна или ортогонална проекция.

всичко геометрични фигурисе състои от точки, съответно проекцията на тази фигура е множеството от проекциите на всички нейни точки. Следователно, за да можете да проектирате фигура върху права линия, е необходимо да придобиете умението да проектирате точка върху права линия.

Определение 1

Проекция на точка върху права- това е или самата точка, ако принадлежи на дадена права, или основата на перпендикуляра, пуснат от тази точка на дадена права.

Разгледайте фигурата по-долу: точката H 1 служи като проекция на точката M 1 върху правата a, а точката M 2, принадлежаща на правата, е проекция на себе си.

Това определение е вярно за случая в равнината и в триизмерното пространство.

За да се получи проекцията на точка M 1 върху правата a в равнината, се начертава права b, минаваща през дадената точка M 1 и перпендикулярна на правата a. По този начин точката на пресичане на линиите a и b ще бъде проекцията на точката M 1 върху линията a.

В триизмерното пространство точката на пресичане на линията a и равнината α, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на линията a, ще служи като проекция на точка върху права линия.

Намиране на координатите на проекцията на точка върху права линия

Нека разгледаме този въпрос в случаите на проекция върху равнина и в тримерно пространство.

Нека ни е дадена правоъгълна координатна система O x y, точка M 1 (x 1, y 1) и права линия a. Необходимо е да се намерят координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия a.

Нека прокараме през дадена точка M 1 (x 1, y 1) правата b, перпендикулярна на правата a. Маркираме пресечната точка като H 1 . Точка H 1 ще бъде проекционната точка на точката M 1 върху правата линия a.

От описаната конструкция можем да формулираме алгоритъм, който ви позволява да намерите координатите на проекцията на точка M 1 (x 1, y 1) върху линията a:

Съставяме уравнението на права (ако не е зададено). За извършване на това действие е необходимо умение за съставяне на основни уравнения на равнина;

Записваме уравнението на правата b (минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на правата a). Тук ще помогне статия за уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права;

Дефинираме желаните проекционни координати като координатите на пресечната точка на правите a и b. За целта решаваме система от уравнения, чиито компоненти са уравненията на правите a и b.

Пример 1

В равнината O x y са дадени точки M 1 (1, 0) и права линия a (общото уравнение е 3 x + y + 7 = 0). Необходимо е да се определят координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия a.

Решение

Уравнението на дадената права е известно, следователно, съгласно алгоритъма, преминаваме към стъпката на записване на уравнението на правата b. Правата b е перпендикулярна на правата a, което означава, че нормалният вектор на правата a служи като вектор на посоката на правата b. Тогава насочващият вектор на правата b може да се запише като b → = (3 , 1) . Пишем и каноничното уравнение на правата b, тъй като са ни дадени и координатите на точката M 1, през която минава правата b:

Последната стъпка е да се определят координатите на пресечната точка на прави a и b. Да продължим от канонични уравненияправа линия b към нейното общо уравнение:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Съставяме система от уравнения от общите уравнения на правите a и b и я решаваме:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

В крайна сметка получихме координатите на проекцията на точка M 1 (1, 0) върху правата 3 x + y + 7 = 0: (- 2, - 1) .

Отговор: (- 2 , - 1) .

Нека разгледаме по-подробно случая, когато е необходимо да се определят координатите на проекцията на дадена точка върху координатните линии и линиите, успоредни на тях.

Нека са дадени координатните прави O x и O y, както и точката M 1 (x 1 , y 1) . Ясно е, че проекцията на дадената точка върху координатната права O x от вида y = 0 ще бъде точката с координати (x 1 , 0) . Така проекцията на дадена точка върху координатната права O y ще има координати 0 , y 1 .

Всяка произволна права линия, успоредна на оста x, може да бъде дадена непълна общо уравнение B y + C \u003d 0 ⇔ y = - C B и права линия, успоредна на ординатната ос - A x + C = 0 ⇔ x \u003d - C A.

Тогава проекциите на точката M 1 (x 1, y 1) върху линиите y \u003d - C B и x \u003d - C A ще бъдат точки с координати x 1, - C B и - C A, y 1.

Пример 2

Определете координатите на проекцията на точката M 1 (7, - 5) върху координатната права O y, както и върху линията, успоредна на правата O y 2 y - 3 = 0.

Решение

Нека запишем координатите на проекцията на дадената точка върху правата O y: (0 , - 5) .

Записваме уравнението на правата линия 2 y - 3 = 0 във формата y = 3 2 . Става ясно, че проекцията на дадената точка върху правата y = 3 2 ще има координати 7 , 3 2 .

Отговор:(0 , - 5) и 7 , 3 2 .

Нека в тримерното пространство са дадени правоъгълна координатна система O x y z , точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и права a. Нека намерим координатите на проекцията на точка M 1 върху правата линия a.

Нека построим равнина α, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на правата a. Проекцията на дадената точка върху правата a ще бъде пресечната точка на правата a и равнината α. Въз основа на това представяме алгоритъм за намиране на координатите на проекцията на точка M 1 (x 1, y 1, z 1) върху правата a:

Нека запишем уравнението на правата a (ако не е дадено). За да разрешите този проблем, трябва да прочетете статията за уравненията на права линия в пространството;

Нека съставим уравнението на равнината α, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на правата a (вижте статията „Уравнението на равнината, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадената права линия“);

Нека намерим желаните координати на проекцията на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху правата a - това ще бъдат координатите на пресечната точка на правата α и равнината α (за помощ - статията "Координати на пресечната точка на правата и равнината").

Пример 3

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z, в която има точка M 1 (0, 1, - 1) и права a. Правата a съответства на канонични уравнения от вида: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . Определете координатите на проекцията на точка M 1 върху правата a.

Решение

Използваме горния алгоритъм. Уравненията на правата a са известни, затова пропускаме първата стъпка от алгоритъма. Нека напишем уравнението на равнината α . За целта определяме координатите на нормалния вектор на равнината α. От дадените канонични уравнения на правата a избираме координатите на насочващия вектор на тази права: (3 , - 4 , 1) , който ще бъде нормалният вектор на равнината α, перпендикулярна на правата a . Тогава n → = (3 , - 4 , 1) е нормалният вектор на равнината α . Така уравнението на равнината α ще изглежда така:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Сега намираме координатите на пресечната точка на правата a и равнината α, за това използваме два метода:

1. Дадените канонични уравнения ни позволяват да получим уравненията на две пресичащи се равнини, които определят правата a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

За да намерим пресечните точки на правата 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 и равнината 3 x - 4 y + z + 5 = 0, решаваме системата от уравнения:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

В този случай използваме метода на Cramer, но е възможно да приложим всеки удобен:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Така проекцията на дадената точка върху правата a е точката с координати (1 , 2 , 0)

1. Въз основа на дадените канонични уравнения е лесно да се напишат параметричните уравнения на права линия в пространството:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Нека заместим в уравнението на равнината, което има формата 3 x - 4 y + z + 5 = 0, вместо x, y и z, техните изрази чрез параметъра:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Нека изчислим желаните координати на пресечната точка на правата a и равнината α, като използваме параметричните уравнения на правата a за λ = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Така проекцията на дадената точка върху правата a има координати (1 , 2 , 0)

Отговор: (1 , 2 , 0)

Накрая отбелязваме, че проекциите на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху координатните линии O x, O y и O z ще бъдат точки с координати (x 1, 0, 0) , (0 , y 1 , 0 ) и (0 , 0 , z 1) съответно.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter