Қатты дененің тепе-теңдігінің бірінші және екінші шарттары. Денелердің тепе-теңдігі. I. Қайталау және білімді пысықтау

Статика.

Механикалық жүйелердің тепе-теңдік шарттарын оларға әсер ететін күштер мен моменттердің әсерінен зерттейтін механиканың бөлімі.

Күш тепе-теңдігі.

Механикалық тепе-теңдікстатикалық тепе-теңдік деп те аталады, дененің тыныштықтағы немесе бірқалыпты қозғалыстағы күйі, оған әсер ететін күштер мен моменттердің қосындысы нөлге тең.

Тепе-теңдік шарттары қатты.

Еркін қатты дененің тепе-теңдігінің қажетті және жеткілікті шарттары денеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің векторлық қосындысының нөлге теңдігі, еркін оське қатысты сыртқы күштердің барлық моменттерінің қосындысының нөлге теңдігі, дененің ілгерілемелі қозғалысының бастапқы жылдамдығының нөлге теңдігі және айналудың бастапқы бұрыштық жылдамдығының нөлге теңдігі шарты.

Баланс түрлері.

Дене тепе-теңдігі тұрақты, егер сыртқы байланыстар рұқсат еткен тепе-теңдік күйінен кез келген кішкене ауытқулар үшін жүйеде денені бастапқы күйіне қайтаруға бейім күштер немесе күш моменттері пайда болады.

Дене тепе-теңдігі тұрақсыз, егер сыртқы байланыстар рұқсат ететін тепе-теңдік күйінен кем дегенде кейбір шамалы ауытқулар үшін жүйеде күштер немесе күш моменттері пайда болса, денені бастапқы тепе-теңдік күйінен одан әрі ауытқуға бейім.

Дененің тепе-теңдігі индиферентті деп аталады, егер сыртқы байланыстар рұқсат еткен тепе-теңдік күйінен кез келген аздаған ауытқулар үшін жүйеде денені бастапқы күйіне қайтаруға бейім күштер немесе күш моменттері туындаса

Қатты дененің ауырлық центрі.

Ауырлық орталығыдене – жүйеге әсер ететін жалпы ауырлық моменті нөлге тең болатын нүкте. Мысалы, икемсіз таяқшамен қосылған және біркелкі емес гравитациялық өріске орналастырылған екі бірдей массадан тұратын жүйеде (мысалы, планета) массалар центрі таяқшаның ортасында болады, ал центрі Жүйенің ауырлық күші планетаға жақын орналасқан таяқтың ұшына ауысады (өйткені массаның салмағы P = m g гравитациялық өріс параметріне байланысты болады) және, жалпы айтқанда, тіпті өзекшенің сыртында орналасқан.

Тұрақты параллель (біркелкі) гравитациялық өрісте ауырлық центрі әрқашан массалар центрімен сәйкес келеді. Сондықтан іс жүзінде бұл екі орталық сәйкес келеді (өйткені ғарыштық емес есептердегі сыртқы гравитациялық өрісті дене көлемінің шегінде тұрақты деп санауға болады).

Дәл сол себепті массалар центрі және ауырлық центрі ұғымдары бұл терминдер геометрияда, статикада және осыған ұқсас салаларда қолданылған кезде сәйкес келеді, мұнда оның физикамен салыстырғанда қолданылуын метафоралық деп атауға болады және олардың эквиваленттік жағдайы жасырын түрде қабылданады. (себебі нақты гравитациялық өріс жоқ және оның гетерогенділігін ескеру мағынасы бар). Бұл қолданбаларда дәстүрлі түрде екі термин де синоним болып табылады және көбінесе екіншісі ескі болғандықтан ғана таңдалады.

« Физика – 10 сынып»

Күш сәтінің не екенін есте сақтаңыз.
Дене қандай жағдайда тыныштықта болады?

Егер дене таңдалған санақ жүйесіне қатысты тыныштықта болса, онда бұл дене тепе-теңдікте деп аталады. Ғимараттар, көпірлер, тіректері бар арқалықтар, машина бөлшектері, үстел үстіндегі кітап және көптеген басқа денелер оларға басқа денелерден күш түскеніне қарамастан тыныштықта. Денелердің тепе-теңдік шарттарын зерттеу міндеті үлкен маңызға ие практикалық маңызымашина жасау, құрылыс, аспап жасау және технологияның басқа салаларына арналған. Барлық нақты денелер оларға әсер ететін күштердің әсерінен пішіні мен өлшемін өзгертеді немесе олар айтқандай, деформацияланады.

Тәжірибеде кездесетін көптеген жағдайларда денелердің тепе-теңдікте болған кездегі деформациялары шамалы болады. Бұл жағдайларда деформацияларды елемеуге болады және денені ескере отырып, есептеулерді жүргізуге болады мүлдем қиын.

Қысқаша айтқанда, абсолютті қатты денені атаймыз қатты дененемесе жай дене. Қатты дененің тепе-теңдік шарттарын зерттей отырып, біз олардың деформацияларын ескермеуге болатын жағдайларда нақты денелердің тепе-теңдік шарттарын табамыз.

Абсолютті қатты дененің анықтамасын есте сақтаңыз.

Абсолют қатты денелердің тепе-теңдік жағдайларын зерттейтін механиканың бөлімі деп аталады. статикалық.

Статикада денелердің өлшемдері мен пішіні ескеріледі, бұл жағдайда күштердің мәні ғана емес, сонымен қатар олардың әсер ету нүктелерінің жағдайы да маңызды.

Алдымен Ньютон заңдарын қолдана отырып, кез келген дене қандай жағдайда тепе-теңдікте болатынын анықтайық. Осы мақсатта бүкіл денені ойша бөлшектейік үлкен саншағын элементтер, олардың әрқайсысын материалдық нүкте ретінде қарастыруға болады. Әдеттегідей басқа денелерден денеге әсер ететін күштерді сыртқы, ал дененің элементтері өзара әрекеттесетін күштерді ішкі деп атаймыз (7.1-сурет). Сонымен, 1,2 күш 2 элементтен 1 элементке әсер ететін күш. 1 элементтен 2 элементке 2,1 күш әсер етеді. Бұл ішкі күштер; бұларға 1.3 және 3.1, 2.3 және 3.2 күштері де кіреді. Ішкі күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең болатыны анық, өйткені Ньютонның үшінші заңы бойынша

12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13, т.б.

Статика - жеке оқиғадинамика, өйткені күштер әсер еткен денелердің қалған бөлігі қозғалыстың ерекше жағдайы болып табылады ( = 0).

Жалпы алғанда әрбір элементке бірнеше сыртқы күштер әсер ете алады. 1, 2, 3 және т.б. арқылы біз 1, 2, 3, ... элементтеріне сәйкес келетін барлық сыртқы күштерді түсінеміз. Сол сияқты «1, «2, «3 және т.б. арқылы біз 2, 2, 3, ... элементтеріне сәйкес келетін ішкі күштердің геометриялық қосындысын белгілейміз (бұл күштер суретте көрсетілмеген), яғни.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... т.б.

Егер дене тыныштықта болса, онда әрбір элементтің үдеуі нөлге тең болады. Демек, Ньютонның екінші заңы бойынша кез келген элементке әсер ететін барлық күштердің геометриялық қосындысы да нөлге тең болады. Сондықтан біз жаза аламыз:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Осы үш теңдеудің әрқайсысы қатты дене элементінің тепе-теңдік жағдайын өрнектейді.

Қатты дененің тепе-теңдігінің бірінші шарты.

Қатты дене тепе-теңдікте болу үшін оған әсер ететін сыртқы күштер қандай шарттарды қанағаттандыру керектігін анықтайық. Ол үшін (7.1) теңдеулерді қосамыз:

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

Бұл теңдіктің бірінші жақшаларында денеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің векторлық қосындысы, ал екіншісінде - осы дененің элементтеріне әсер ететін барлық ішкі күштердің векторлық қосындысы жазылады. Бірақ, белгілі болғандай, жүйенің барлық ішкі күштерінің векторлық қосындысы нөлге тең, өйткені Ньютонның үшінші заңы бойынша кез келген ішкі күш оған шамасы бойынша тең және бағыты бойынша қарама-қарсы күшке сәйкес келеді. Демек, соңғы теңдіктің сол жағында денеге әсер ететін сыртқы күштердің геометриялық қосындысы ғана қалады:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

Абсолют қатты дене жағдайында (7.2) шарт шақырылады оның тепе-теңдігінің бірінші шарты.

Бұл қажет, бірақ жеткіліксіз.

Сонымен, егер қатты дене тепе-теңдікте болса, онда оған әсер ететін сыртқы күштердің геометриялық қосындысы нөлге тең болады.

Егер сыртқы күштердің қосындысы нөлге тең болса, онда бұл күштердің координаталық осьтерге проекцияларының қосындысы да нөлге тең болады. Атап айтқанда, OX осіне сыртқы күштердің проекциялары үшін мынаны жазуға болады:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Сол теңдеулерді OY және OZ осьтеріндегі күштердің проекциялары үшін де жазуға болады.

Қатты дененің тепе-теңдігінің екінші шарты.

Қатты дененің тепе-теңдігі үшін (7.2) шарт қажет, бірақ жеткіліксіз екеніне көз жеткізейік. 7.2-суретте көрсетілгендей, әртүрлі нүктелерде үстелдің үстінде жатқан тақтаға шамасы бірдей және қарама-қарсы бағытталған екі күшті қолданайық. Бұл күштердің қосындысы нөлге тең:

+ (-) = 0. Бірақ тақта бәрібір айналады. Дәл осылай шамасы бірдей және қарама-қарсы екі күш велосипедтің немесе автомобильдің рульін айналдырады (7.3-сурет).

Қатты дене тепе-теңдікте болу үшін сыртқы күштердің қосындысы нөлге тең болудан басқа тағы қандай шарт орындалуы керек? Кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманы қолданайық.

Мысалы, О нүктесінде горизонталь осьте топсалы өзекшенің тепе-теңдік шартын табайық (7.4-сурет). Бұл қарапайым құрылғы, негізгі мектеп физика курсынан белгілі, бірінші түрдегі тұтқа.

Өзекшеге перпендикуляр рычагқа 1 және 2 күштер түсірілсін.

1 және 2 күштерінен басқа рычагқа рычаг осінің жағынан вертикаль жоғары қалыпты реакция күші 3 әсер етеді. Рычаг тепе-теңдікте болғанда, барлық үш күштің қосындысы нөлге тең: 1 + 2 + 3 = 0.

Рычагты өте кішкентай α бұрышы арқылы бұрғанда сыртқы күштердің атқаратын жұмысын есептейік. 1 және 2 күштердің әсер ету нүктелері s 1 = BB 1 және s 2 = CC 1 жолдарының бойымен қозғалады (кіші α бұрыштарындағы BB 1 және CC 1 доғаларын түзу кесінділер деп санауға болады). 1 күштің А 1 = F 1 s 1 жұмысы оң болады, өйткені В нүктесі күш бағытымен қозғалады, ал 2 күштің А 2 = -F 2 с 2 жұмысы теріс, өйткені С нүктесі бағытта қозғалады. күш бағытына қарама-қарсы 2. Күш 3 ешқандай жұмыс істемейді, өйткені оның қолдану нүктесі қозғалмайды.

s 1 және s 2 жүріс жолдарын радианмен өлшенетін a тұтқасының айналу бұрышы арқылы көрсетуге болады: s 1 = α|VO| және s 2 = α|СО|. Осыны ескере отырып, жұмыс үшін өрнектерді келесі түрде қайта жазайық:

A 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A 2 = -F 2 α|CO|.

1 және 2 күштердің әсер ету нүктелерімен сипатталған дөңгелек доғалардың BO және СО радиустары осы күштердің әсер ету сызығына айналу осінен түсірілген перпендикулярлар болып табылады.

Өздеріңіз білетіндей, күштің қолы айналу осінен күштің әсер ету сызығына дейінгі ең қысқа қашықтық болып табылады. Күш иін d әрпімен белгілейміз. Содан кейін |VO| = d 1 - күш иіні 1, және |СО| = d 2 - күш иіні 2. Бұл жағдайда (7.4) өрнектер пішінді алады

A 1 = F 1 αd 1, A 2 = -F 2 αd 2. (7.5)

(7.5) формулалардан әрбір күштің жұмысы күш моменті мен рычагтың айналу бұрышының көбейтіндісіне тең екені анық. Демек, жұмысқа (7.5) өрнектерді пішінде қайта жазуға болады

A 1 = M 1 α, A 2 = M 2 α, (7.6)

және сыртқы күштердің жалпы жұмысын формуламен өрнектеуге болады

A = A 1 + A 2 = (M 1 + M 2)α. α, (7,7)

1 күш моменті оң және тең M 1 = F 1 d 1 (7.4-суретті қараңыз), ал 2 күш моменті теріс және M 2 = -F 2 d 2 тең болғандықтан, онда А жұмысы үшін біз өрнек жаза алады

A = (M 1 - |M 2 |)α.

Дене қозғала бастағанда оның кинетикалық энергиясы артады. Кинетикалық энергияны арттыру үшін сыртқы күштер жұмыс істеуі керек, яғни бұл жағдайда A ≠ 0 және сәйкесінше M 1 + M 2 ≠ 0.

Егер сыртқы күштердің жұмысы нөлге тең болса, онда дененің кинетикалық энергиясы өзгермейді (нөлге тең болып қалады) және дене қозғалыссыз қалады. Содан кейін

M 1 + M 2 = 0. (7.8)

(7 8) теңдеу қатты дененің тепе-теңдігінің екінші шарты.

Қатты дене тепе-теңдікте болғанда оған әсер ететін барлық сыртқы күштердің кез келген оське қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болады.

Мәселен, жағдайда кез келген санабсолютті қатты дене үшін сыртқы күштердің тепе-теңдік шарттары келесідей:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Екінші тепе-теңдік шартын қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуінен шығаруға болады. Бұл теңдеу бойынша, мұнда M денеге әсер ететін күштердің толық моменті, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε - бұрыштық үдеу. Егер қатты дене қозғалыссыз болса, онда ε = 0, демек, M = 0. Сонымен, екінші тепе-теңдік шарты M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0 түрінде болады.

Егер дене абсолютті қатты болмаса, онда оған түсірілген сыртқы күштердің әсерінен сыртқы күштердің қосындысы мен олардың кез келген оське қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болса да, ол тепе-теңдікте қалмауы мүмкін.

Мысалы, резеңке баудың ұштарына шамасы бірдей және сым бойымен қарама-қарсы бағытта бағытталған екі күш түсірейік. Сыртқы күштердің қосындысы нөлге тең және сымның кез келген нүктесі арқылы өтетін оське қатысты моменттерінің қосындысы тең болса да, бұл күштердің әсерінен сым тепе-теңдікте болмайды (шнур созылады). нөлге дейін.

Денеге әсер ететін барлық күштердің векторлық қосындысы нөлге тең болса, дене тыныштықта болады (немесе бірқалыпты және түзу сызықты қозғалады). Олар күштер бір-бірін теңестіреді дейді. Біз белгілі бір геометриялық пішінді денемен жұмыс істегенде, нәтиже күшін есептегенде, барлық күштерді дененің масса центріне қолдануға болады.

Денелердің тепе-теңдік шарты

Айналмайтын дене тепе-теңдікте болуы үшін оған әсер ететін барлық күштердің нәтижесі нөлге тең болуы керек.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .

Жоғарыдағы суретте қатты дененің тепе-теңдігі көрсетілген. Блок оған әсер ететін үш күштің әсерінен тепе-теңдік күйінде болады. F 1 → және F 2 → күштерінің әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысады. Ауырлық күшінің әсер ету нүктесі дененің массалар центрі С болып табылады. Бұл нүктелер бір түзудің бойында жатыр және нәтижелік күшті есептегенде F 1 →, F 2 → және m g → С нүктесіне келтіріледі.

Дене белгілі бір осьтің айналасында айнала алатын болса, барлық күштердің нәтижесі нөлге тең болу шарты жеткіліксіз.

Күштің иіні d – күштің әсер ету сызығынан оның әсер ету нүктесіне дейін жүргізілген перпендикуляр ұзындығы. М күш моменті күш иінінің және оның модулінің көбейтіндісі болып табылады.

Күш моменті денені өз осінің айналасында айналдыруға бейім. Денені сағат тіліне қарсы бұратын сәттер оң деп саналады. Күш моментінің өлшем бірлігі халықаралық жүйе SI - 1 Ньютон метр.

Анықтама. Момент ережесі

Егер қозғалмайтын айналу осіне қатысты денеге қолданылған барлық моменттердің алгебралық қосындысы нөлге тең болса, онда дене тепе-теңдік күйінде болады.

M 1 + M 2 + . . +Mn=0

Маңызды!

Жалпы жағдайда денелер тепе-теңдікте болуы үшін екі шарт орындалуы керек: нәтижелік күш нөлге тең болуы және моменттердің ережесі сақталуы керек.

Механикада тепе-теңдіктің әртүрлі түрлері бар. Осылайша, тұрақты және тұрақсыз, сондай-ақ немқұрайлы тепе-теңдік арасындағы айырмашылық жасалады.

Индифферентті тепе-теңдіктің типтік мысалы ретінде кез келген нүктеде тоқтаған жағдайда тепе-теңдік күйінде болатын доңғалақ (немесе шар) болып табылады.

Тұрақты тепе-теңдік деп денені тепе-теңдік күйге қайтаруға бейім болатын аз ауытқулар, күштер немесе күш моменттері пайда болған кездегі дененің тепе-теңдігі болып табылады.

Тұрақсыз тепе-теңдік - күштер мен күш моменттері денені одан да көп тепе-теңдіктен шығаруға бейім болатын шамалы ауытқуы бар тепе-теңдік күйі.

Жоғарыдағы суретте шардың орны (1) – индифферентті тепе-теңдік, (2) – тұрақсыз тепе-теңдік, (3) – тұрақты тепе-теңдік.

Айналу осі бекітілген дене сипатталған тепе-теңдік күйлерінің кез келгенінде болуы мүмкін. Егер айналу осі массалар центрінен өтсе, индифференциялық тепе-теңдік пайда болады. Тұрақты және тұрақсыз тепе-теңдікте массалар центрі айналу осі арқылы өтетін тік түзуде орналасқан. Масса центрі айналу осінен төмен болса, тепе-теңдік тұрақты болады. Әйтпесе, бәрі керісінше.

Тепе-теңдіктің ерекше жағдайы - тіректегі дененің тепе-теңдігі. Бұл жағдайда серпімділік күші бір нүктеден өтуге емес, дененің бүкіл негізіне таралады. Масса центрі арқылы жүргізілген тік сызық тірек аймағын қиып өткенде дене тепе-теңдік күйінде болады. Әйтпесе, масса центрінен шыққан сызық тірек нүктелерін қосатын сызықтармен қалыптасқан контурға түспесе, дене төңкеріледі.

Тіректегі дене тепе-теңдігінің мысалы - әйгілі Пиза мұнарасы. Аңыз бойынша, Галилео Галилей денелердің еркін түсуін зерттеу бойынша тәжірибе жасаған кезде одан шарларды тастаған.

Мұнараның масса центрінен жүргізілген сызық негізді оның центрінен шамамен 2,3 м қашықтықта қиып өтеді.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

АНЫҚТАУ

Тұрақты тепе-теңдік- бұл тепе-теңдік күйінен шығарылған және өзіне қалдырылған дене бұрынғы қалпына келетін тепе-теңдік.

Бұл дененің бастапқы орнынан кез келген бағытта аздап ығысуы кезінде денеге әсер ететін күштердің нәтижесі нөлге тең емес болып, тепе-теңдік жағдайына бағытталған болса орын алады. Мысалы, шар тәрізді ойпаттың түбінде жатқан шар (1 а-сурет).

АНЫҚТАУ

Тұрақсыз тепе-теңдік- бұл тепе-теңдік күйден шығарылып, өзіне қалдырылған дене тепе-теңдік күйінен одан да көп ауытқитын тепе-теңдік.

Бұл жағдайда дененің тепе-теңдік күйінен аздап ығысуымен оған әсер ететін күштердің нәтижесі нөлге тең емес және тепе-теңдік күйден бағытталған. Мысал ретінде дөңес сфералық беттің жоғарғы нүктесінде орналасқан шарды келтіруге болады (сурет 1 б).

АНЫҚТАУ

Индифферентті тепе-теңдік- бұл тепе-теңдік күйден шығарылып, өз еркіне қалдырылған дене өз орнын (күйін) өзгертпейтін тепе-теңдік.

Бұл жағдайда дененің бастапқы орнынан аздаған ығысулары кезінде денеге әсер ететін күштердің нәтижесі нөлге тең болады. Мысалы, тегіс жерде жатқан доп (1в-сурет).

1-сурет. Тіректегі дене тепе-теңдігінің әртүрлі түрлері: а) тұрақты тепе-теңдік; б) тұрақсыз тепе-теңдік; в) немқұрайлы тепе-теңдік.

Денелердің статикалық және динамикалық тепе-теңдігі

Егер күштердің әрекеті нәтижесінде дене үдеу алмаса, ол тыныштықта болуы немесе түзу сызықта бірқалыпты қозғалуы мүмкін. Сондықтан статикалық және динамикалық тепе-теңдік туралы айтуға болады.

АНЫҚТАУ

Статикалық тепе-теңдік- бұл келтірілген күштердің әсерінен дене тыныштықта болған кездегі тепе-теңдік.

Динамикалық тепе-теңдік- бұл күштердің әсерінен дене өз қозғалысын өзгертпейтін тепе-теңдік.

Кабельдерге немесе кез келген құрылыс конструкциясына ілінген шам статикалық тепе-теңдік күйінде. Динамикалық тепе-теңдікке мысал ретінде үйкеліс күштері болмаған кезде тегіс бетке домалап тұратын дөңгелекті қарастырайық.