Мултипликативната група на пръстен. мултипликативна група. Нека някакво число n е представено като произведение на взаимно прости числа по двойки. Китайската теорема за остатък гласи, че броят на

Нека А?<А, ·>- мултипликативна група,

H е подмножество на множеството A, H?.

Определение 1.<Н,·>- Наречен подгрупа на мултипликативната групаИ ако са изпълнени следните условия:

1. H - затворен по отношение на двоичната операция "*" a, b H, ab H;

2. Има eH = eA - единственият елемент спрямо "°";

3. a H съществува a-1 H.

Определение 2. Ако H = A или H = (e), тогава<Н,·>се нарича неправилна подгрупа на група А.

Ако H A, H е правилно подмножество на множеството A, тогава подгрупата се извиква собствена подгрупа от група А.

H \u003d A - самата група A.

H \u003d (e) - една подгрупа.

циклична подгрупа мултипликативна група

Пример. Дали<А, ·>, където A \u003d (1, - 1, i, - i), i е въображаемата единица, група?

1) Проверете условията на мултипликативната група.

"·" е двоична асоциативна операция върху множеството A.

Таблица на Кейли за "·" на комплект A.

<А, ·>- подгрупа.

Важен пример за мултипликативни подгрупи са т.нар мултипликативни циклични подгрупи.

Позволявам<А, ·>- група. Елементът e A е елементът за идентичност. елемент а? д, а А.

(a) - набор от цели степени на елемента a: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)

справедлив

Теорема 1.< (а), ·>е подгрупа на групата<А, ·>.

Доказателство. Нека проверим условията на мултипликативната подгрупа.

1) H \u003d (a) - затворен по отношение на "·":

x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, защото n+lZ;

2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x;

3) x = a H, x -1 = a -n H: a n a -n = a -n a n = a 0 = 1.

От 1) - 3) по дефиниция H имаме< (а), ·>е подгрупа на мултипликативната група А.

Определение 3. Нека<А, ·>е някаква мултипликативна група и

Редът на елемента aсе нарича най-малко естествено число n, така че a n = e.

Пример. Намерете реда на елементите a = - 1, b = i, c = - i от мултипликативната група A = (1; - 1; i; - i)

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. следователно

n = 2 - ред на елементите - 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. следователно

n = 4 - редът на елемент i.

i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. следователно

n = ред на 4 елемента - i.

Теорема 2. Нека<А, ·>- група, а А, а? e, a е елемент от n-ти ред, тогава:

1) Подгрупа (а) от група А има формата: (а) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1) -

n - елементно множество от неотрицателни степени на елемента a;

2) Всяка цяла степен на елемента a k , k Z, принадлежи на множеството (a) и

a k = e<=>k = nq, nN, qZ.

Доказателство. Нека покажем, че всички елементи (а) са различни. Да приемем обратното: a k = a l, k > l, тогава a k-l = e. к-л< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Нека покажем, че a k , K Z, принадлежи на множеството (a).

Нека k = n, k: n, a k = a nq + r = a k × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,

0? r? н? 1 => a k (a). Ако r = 0, тогава k = nq<=>a k = e.

Определение 4. Подгрупа< (а), ·>, където (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1), групи A, a е елемент от n-тия ред, се нарича циклична подгрупа на група А(мултипликативна циклична подгрупа на A).

Определение 5. Група, съвпадаща със своята подгрупа<А, ·>, < (а), ·>, мултипликативна циклична подгрупа, се нарича циклична група.

Теорема 3. Всеки мултипликатив циклична групае абелев.

Доказателство. А = (а), а? e, a - генериращ елемент на групата

a k, a l A, a k N a l = a l N a k. Наистина, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k , l,k Z.

Ти не си роб!
Затворено образователен курсза децата на елита: „Истинското устройство на света“.
http://noslave.org

От Уикипедия, свободната енциклопедия

Мултипликативна остатъчна пръстенна групапо модул ме мултипликативната група от обратими елементи на пръстена от остатъци по модул м. В този случай всяка редуцирана система от остатъци по модул м.

Намалената система на удръжки

Намалената система на удръжкипо модул м- множеството от всички числа на пълната система от остатъци по модул м, съвместно с м. Като редуцирана система от остатъци по модул мобикновено се приемат относително първични с мномера от 1 преди m - 1 .

Пример: редуцираната система от остатъци по модул 42 ще бъде: ( 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 ).

Имоти

Система с намалени остатъци с модулно умножение мобразува група т.нар мултипликативна групаили група от обратими елементи на пръстена от остатъци по модул м , което се обозначава texvc или Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)_m) .

Ако мпърви, тогава, както е отбелязано по-горе, елементи 1, 2, ..., м-1 включен в Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathbb(Z)_m^(\times). В такъв случай Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathbb(Z)_m^(\times)е поле.

Форми за влизане

Модуло остатъчен пръстен нобозначавам Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathbb(Z)/n\mathbb(Z)или Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \mathbb(Z)_n. Неговата мултипликативна група, както в общия случай на групи от обратими елементи на пръстени, се обозначава Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^*, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^\times, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.: E(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathbb(Z)_n^(\times), Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)_n) .

Най-простият случай

Да се ​​разбере структурата на групата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc , можем да разгледаме специалния случай Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): n=p^a, Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc - просто число и го обобщете. Обмисли най-простият случай, Кога Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): a=1, т.е. Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): n=p .

Теорема: Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc е циклична група.

Пример : Помислете за група Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))= (1,2,4,5,7,8) Генераторът на групата е числото 2. Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^1 \equiv 2\ \pmod 9 Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^2 \equiv 4\ \pmod 9 Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^3 \equiv 8\ \pmod 9 Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^4 \equiv 7\ \pmod 9 Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^5 \equiv 5\ \pmod 9 Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^6 \equiv 1\ \pmod 9Както можете да видите, всеки елемент от групата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))могат да бъдат представени във формата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 2^l, Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 1\le\ell< \varphi(m) . Това е група Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))- цикличен.

Общ случай

За да разгледаме общия случай, е необходимо да дефинираме примитивен корен. Примитивен корен по простия модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): pе число, което заедно със своя остатъчен клас генерира група Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z)) .

Примери: 2 11 ; 8 - примитивен корен по модул 11 ; 3 не е примитивен корен по модул 11 .

В случай на цял модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): nдефиницията е същата.

Структурата на групата се определя от следната теорема: Ако p е нечетно просто число и l е положително цяло число, тогава има примитивни корени по модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): p^(l), това е Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/p^(l)\mathbb(Z))е циклична група.

Simplicity Witness Подгрупа

Позволявам Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc - нечетно числопо-голямо от 1. Число Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc ясно представени във формата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m-1 = 2^s \cdot t, Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): tстранно. Цяло число Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): a , Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 1< a < m , е наречен свидетел на простотатачисла Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): mако е изпълнено едно от следните условия:

  • Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): a^t\equiv 1\pmod m
  • има цяло число Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): k , Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 0\leq k , така че Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): a^(2^kt)\equiv m-1\pmod m.

Ако номер Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m- съставен, има подгрупа на мултипликативната група на остатъчния пръстен, наречена подгрупа на свидетелите на простотата. Неговите елементи, издигнати до властта Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m-1, съвпадение с Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc по модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m .

Пример : Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m=9. Яжте Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 6остатъци взаимно прости с Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc , Това Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ за настройка.): 1,2,4,5,7И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc . Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 8еквивалентно на Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): -1по модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 9, Средства Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 8^(8)еквивалентно на Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 1по модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 9. означава, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 1И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 8- свидетели на простотата на номера Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 9. В този случай (1, 8) е подгрупа от свидетели на простотата.

Имоти

Групов изложител

Генериращ комплект

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))е циклична група тогава и само ако Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varphi(n)=\lambda(n).В случай на циклична група генераторът се нарича примитивен корен.

Пример

Редуцирана система от остатъци по модул Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 10включва Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 4класове за приспадане: Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): _(10), _(10), _(10), _(10). По отношение на умножението, дефинирано за класове остатъци, те образуват група и Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): _(10)реципрочен (т.е. Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), А Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): _(10)И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): _(10)са обратни на себе си.

Групова структура

Записване Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): C_nозначава "циклична група от ред n".

Групова структура Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))
Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc генератор Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): n\; Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varphi(n) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при конфигурацията.): \lambda(n)\; генератор
2 C1 1 1 1 33 C2 × C10 20 10 10, 2
3 C2 2 2 2 34 C 16 16 16 3
4 C2 2 2 3 35 C2 × C12 24 12 6, 2
5 C4 4 4 2 36 C2 × C6 12 6 19, 5
6 C2 2 2 5 37 С 36 36 36 2
7 C6 6 6 3 38 C 18 18 18 3
8 C2 × C2 4 2 7, 3 39 C2 × C12 24 12 38, 2
9 C6 6 6 2 40 C2 × C2 × C4 16 4 39, 11, 3
10 C4 4 4 3 41 C40 40 40 6
11 C 10 10 10 2 42 C2 × C6 12 6 13, 5
12 C2 × C2 4 2 5, 7 43 C42 42 42 3
13 C 12 12 12 2 44 C2 × C10 20 10 43, 3
14 C6 6 6 3 45 C2 × C12 24 12 44, 2
15 C2 × C4 8 4 14, 2 46 С 22 22 22 5
16 C2 × C4 8 4 15, 3 47 C46 46 46 5
17 C 16 16 16 3 48 C2 × C2 × C4 16 4 47, 7, 5
18 C6 6 6 5 49 C42 42 42 3
19 C 18 18 18 2 50 C 20 20 20 3
20 C2 × C4 8 4 19, 3 51 C2 × C16 32 16 50, 5
21 C2 × C6 12 6 20, 2 52 C2 × C12 24 12 51, 7
22 C 10 10 10 7 53 С 52 52 52 2
23 С 22 22 22 5 54 C 18 18 18 5
24 C2×C2×C2 8 2 5, 7, 13 55 C2 × C20 40 20 21, 2
25 C 20 20 20 2 56 C2 × C2 × C6 24 6 13, 29, 3
26 C 12 12 12 7 57 C2 × C18 36 18 20, 2
27 C 18 18 18 2 58 С 28 28 28 3
28 C2 × C6 12 6 13, 3 59 С 58 58 58 2
29 С 28 28 28 2 60 C2 × C2 × C4 16 4 11, 19, 7
30 C2 × C4 8 4 11, 7 61 C60 60 60 2
31 C 30 30 30 3 62 C 30 30 30 3
32 C2 × C8 16 8 31, 3 63 C6 × C6 36 6 2, 5

Приложение

История

Приносът в изследването на структурата на мултипликативната група на остатъчния пръстен е направен от Артин, Биелхарц, Брауер, Уилсън, Гаус, Лагранж, Лемер, Уоринг, Ферма, Хули, Ойлер. Лагранж доказа лемата, че ако Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): f(x) \in k[x]и k е поле, тогава f има най-много n различни корена, където n е степента на f. Той също така доказа важно следствие от тази лема, което се състои в сравнение Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): x^(p-1)-1 ≡ Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README за помощ при настройка.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Ойлер доказва малката теорема на Ферма. Уоринг формулира теоремата на Уилсън, а Лагранж я доказа. Ойлер предполага съществуването на примитивни корени по модул на просто число. Гаус го доказа. Артин изложи своята хипотеза за съществуването и количественото определяне прости числа, по модул на което даденото цяло число е примитивен корен. Брауър допринесе за изследването на проблема за съществуването на набори от последователни цели числа, всяко от които е k-та степен по модул p. Биелхарц доказа аналог на хипотезата на Артин. Хули доказва хипотезата на Артин с предположението, че разширената хипотеза на Риман е валидна в полетата с алгебрични числа.

Напишете отзив за статията "Множествена остатъчна пръстенна група"

Бележки

Литература

  • Ирландия К., Росен М.Класическо въведение в съвременната теория на числата. - М .: Мир, 1987.
  • Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузмин А.С. Черемушкин А.В.Основи на криптографията. - Москва: "Хелиос АРВ", 2002 г.
  • Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б.Теоретична криптография. - Санкт Петербург: НПО "Професионалист", 2004 г.

Връзки

  • Бухщаб А. А.Теория на числата. - М .: Образование, 1966.
  • Вайсщайн, Ерик У.(английски) на уебсайта Wolfram MathWorld.

Откъс, характеризиращ мултипликативната група на остатъчния пръстен

„Не съм странен – просто съм жив. Но аз живея сред два свята - на живите и мъртвите... И виждам това, което мнозина, за съжаление, не виждат. Защото, вероятно, никой не ми вярва ... Но всичко би било много по-лесно, ако хората слушат и поне за минута се замислят, дори и да не вярват ... Но мисля, че ако това се случи, когато някой ден, със сигурност няма да се случи днес ... Но днес трябва да живея с това ...
„Съжалявам, скъпа…“ прошепна мъжът. „Знаеш ли, тук има много хора като мен. Тук има хиляди... Сигурно ще ви е интересно да поговорите с тях. Дори има истински герои, не като мен. Тук има много...
Изведнъж ме обзе диво желание да помогна на този тъжен, самотен човек. Всъщност нямах абсолютно никаква идея какво мога да направя за него.
„Искаш ли да създадем друг свят за теб, докато си тук?“ неочаквано попита Стела.
Беше страхотна идея и се почувствах малко засрамен, че не ми беше хрумнала първа. Стела беше прекрасен човек и по някакъв начин винаги намираше нещо хубаво, което можеше да достави радост на другите.
- Какъв "друг свят"?.. - изненада се мъжът.
„Виж, виж…“ и в неговата тъмна, мрачна пещера внезапно блесна ярка, радостна светлина!.. „Как ти харесва такава къща?“
Очите на нашия „тъжен“ приятел светнаха радостно. Той се огледа объркано, без да разбира какво се е случило тук ... И в неговата ужасна, тъмна пещера слънцето грееше ярко и весело, буйната зеленина ухаеше, песните на птиците звъняха и имаше миризма на невероятни миризми от цъфнали цветя... А в най-отдалеченото му ъгълче весело шумеше ручейче, пръскайки капчици от най-чистата, свежа, кристална вода...
- Ето! Както искаш? – весело попита Стела.
Човекът, напълно зашеметен от видяното, не каза нито дума, само погледна цялата тази красота с разширени от изненада очи, в които треперещи капки „щастливи“ сълзи блестяха като чисти диаманти ...
- Господи, колко време не съм виждал слънцето!.. - тихо прошепна той. - Коя си ти, момиче?
- О, аз съм просто мъж. Също като теб - мъртъв. И ето я, вече знаете - жива. Понякога се разхождаме тук заедно. И помагаме, ако можем, разбира се.
Беше ясно, че бебето е доволно от ефекта и буквално се върти от желание да го удължи ...
- Наистина ли харесваш? Искаш ли да си остане така?
Мъжът само кимна, без да може да произнесе нито дума.
Дори не се опитвах да си представя какво щастие трябваше да изпита след онзи черен ужас, в който беше ежедневно и толкова дълго! ..
„Благодаря ти, скъпа…“ тихо прошепна мъжът. „Само ми кажи как може да остане?“
- О, лесно е! Вашият свят ще бъде само тук, в тази пещера, и никой няма да го види освен вас. И ако не си тръгнеш оттук, той ще остане с теб завинаги. Е, ще дойда при вас да проверя... Казвам се Стела.
- Не знам какво да кажа за това... Не го заслужих. Това вероятно е грешно ... Казвам се Светило. Да, все още не е донесла много „светлина“, както виждате ...
- О, нищо, донеси още! - личеше си, че бебето е много гордо от стореното и се пръска от кеф.
„Благодаря ви, скъпи...” Светилото седеше с гордо наведена глава и внезапно се разплака като дете...
- Добре, а другите, същите?.. - тихо прошепнах в ухото на Стела. - Трябва да са много, нали? Какво да правим с тях? В крайна сметка не е честно да се помага на един. И кой ни даде право да съдим кой от тях е достоен за такава помощ?
Лицето на Стелино веднага се намръщи...
– Не знам... Но със сигурност знам, че е правилно. Ако не беше правилно, нямаше да можем. Има други закони...
Изведнъж ми просветна:
"Чакай малко, но какво да кажем за нашия Харолд?! .. Той беше рицар, така че и той уби?" Как успя да остане там, на „горния етаж“? ..
– Той плати за всичко, което направи... Питах го за това – плати много скъпо... – отвърна сериозно Стела, сбърчвайки смешно чело.
- Какво плати? - Не разбрах.
„Есенция...“ – тъжно прошепна момиченцето. - Той даде част от същността си за това, което направи приживе. Но неговата същност беше много висока, следователно, дори и да даде част от нея, той все още успя да остане „на върха“. Но много малко хора могат да направят това, само наистина много високо развити субекти. Обикновено хората губят твърде много и отиват много по-ниско, отколкото са били първоначално. Колко светло...
Беше невероятно... И така, след като направиха нещо лошо на Земята, хората загубиха част от себе си (или по-скоро част от еволюционния си потенциал) и дори в същото време все още трябваше да останат в онзи кошмарен ужас, който беше наречен - "долен" Астрал... Да, за грешките и в интерес на истината трябваше да се плати скъпо...
- Е, сега можем да тръгваме - изчурулика момиченцето и махна доволно с ръка. - Довиждане, Светлина! Ще дойда при теб!
Продължихме напред, а нашият нов приятел все още седеше, замръзнал от неочаквано щастие, жадно поглъщаше топлината и красотата на света, създаден от Стела, и се потапяше в него така дълбоко, както би направил умиращ човек, попивайки внезапно върнатия в него живот. ..
- Да, точно така, ти беше напълно прав!.. - казах замислено.
Стела засия.
Тъй като бяхме в най-„дъговото“ настроение, тъкмо се бяхме обърнали към планините, когато огромно същество с шипове с нокти изведнъж се появи от облаците и се втурна право към нас ...
- Пази се! - изписка Стела и аз просто успях да видя два реда остри като бръснач зъби и от силен удар в гърба се претърколи на земята...
От дивия ужас, който ни завладя, ние се втурнахме като куршуми през широка долина, без дори да мислим, че можем бързо да отидем на друг „етаж“ ... Просто нямахме време да мислим за това - бяхме твърде уплашени.
Съществото летеше точно над нас, силно щракайки със зейналата си зъбата човка и ние се втурнахме доколкото можахме, пръскайки гнусни лигави спрейове отстрани и мислено се молейки нещо друго да заинтересува тази ужасна „птица чудо“ ... Усещаше се, че е много по-бързо и просто нямахме шанс да се откъснем от него. Като зло, наблизо не растеше нито едно дърво, нямаше храсти, дори камъни, зад които човек да се скрие, само зловеща черна скала се виждаше в далечината.
- Там! - извика Стела, сочейки с пръст същата скала.
Но изведнъж, неочаквано, точно пред нас, отнякъде се появи същество, чиято гледка буквално смрази кръвта ни във вените... То се появи сякаш „от нищото“ и беше наистина ужасяващо. .. Огромният черен труп беше изцяло покрит с дълга твърда коса, което го правеше да изглежда като коремна мечка, само че тази „мечка“ беше висока колкото триетажна къща ... Неравната глава на чудовището беше „омъжена“ с два огромни извити рога и чифт невероятно дълги зъби, остри като ножове, украсяваха ужасната му уста, само гледайки върху която, с уплаха, краката се поддадоха ... И тогава, изненадвайки ни неописуемо, чудовището лесно скочи нагоре и .... вдигна летящата "мръсотия" на един от огромните си зъби... Замръзнахме онемели.
- Да бягаме!!! Стела изпищя. - Да бягаме, докато той е "зает"! ..
И бяхме готови да се втурнем отново, без да поглеждаме назад, когато изведнъж зад гърба ни прозвуча тънък глас:
- Момичета, чакайте! Няма нужда да бягаш! .. Дийн те спаси, той не е враг!
Обърнахме се рязко - малко, много красиво чернооко момиче стоеше отзад ... и спокойно погали чудовището, което се приближи до нея! .. Очите ни изскочиха от изненада ... Беше невероятно! Със сигурност - това беше ден на изненади!.. Момичето, гледайки ни, се усмихна приветливо, без изобщо да се страхува от косматото чудовище, което стоеше наблизо.
Моля те, не се страхувай от него. Той е много мил. Видяхме, че Овара те преследва и решихме да помогнем. Дийн е добър човек, успя навреме. Наистина, добре ми е?
„Добре“ измърка, което прозвуча като леко земетресение, и като наведе глава, облиза лицето на момичето.
„А коя е Овара и защо тя ни нападна?“ Попитах.
Тя напада всички, тя е хищник. И много опасно — отговори спокойно момичето. „Мога ли да попитам какво правите тук?“ Вие не сте от тук, момичета, нали?
- Не, не от тук. Просто се разхождахме. Но същият въпрос за вас - какво правите тук?
Отивам при майка ми ... - натъжи се момиченцето. „Умряхме заедно, но по някаква причина тя се озова тук. И сега живея тук, но не й казвам това, защото тя никога няма да се съгласи с това. Тя мисли, че просто идвам...
— Не е ли по-добре просто да дойдеш? Тук е толкова ужасно! .. - Стела потрепери рамене.
„Не мога да я оставя тук сама, гледам я да не й се случи нещо. И ето го Дийн с мен... Той ми помага.
Направо не можех да повярвам... Това мъничко смело момиченце доброволно напусна своя красив и мил "под", за да живее в този студен, ужасен и чужд свят, защитавайки майка си, която беше много "виновна" за нещо! Не много, мисля, биха били толкова смели и безкористни (дори възрастни!) Хора, които биха се решили на такъв подвиг ... И веднага си помислих - може би тя просто не разбираше на какво щеше да се осъди ?!
- А ти откога си тук, момиче, ако не е тайна?
– Напоследък... – тъжно отговори черноокото момиченце, дърпайки с пръсти черния кичур на къдравата си коса. - Попаднах в толкова красив свят, когато умрях!.. Той беше толкова мил и светъл!.. И тогава видях, че майка ми не е с мен и се втурнах да я търся. В началото беше толкова страшно! По някаква причина я нямаше никъде... И тогава попаднах в този ужасен свят... И тогава я намерих. Бях толкова ужасен тук... Толкова самотен... Мама ми каза да си тръгна, дори ми се скара. Но не мога да я оставя... Сега имам приятел, добрият ми Дийн, и мога някак да съществувам тук.
Нейният „добър приятел“ отново изръмжа, което накара нас със Стела да настръхнем яко „долен астрал“... Събрах се, опитах се да се успокоя малко и започнах да оглеждам внимателно това космато чудо... А той веднага усещайки, че той забеляза, ужасно оголи зъбите си ... Отскочих назад.
- О, моля те, не се страхувай! Той е този, който ви се усмихва - „успокои“ момичето.
Да... От такава усмивка ще се научиш да бягаш бързо... - помислих си.
— Но как се случи така, че станахте приятели с него? – попита Стела.
- Когато за първи път дойдох тук, бях много уплашен, особено когато чудовища като теб бяха нападнати днес. И тогава един ден, когато почти умрях, Дийн ме спаси от цял ​​куп страховити летящи „птици“. И аз се страхувах от него в началото, но после разбрах какво златно сърце има... Той е най-добрият приятел! Никога не съм имал такова, дори когато съм живял на Земята.
Как свикна толкова бързо? Външният му вид не е съвсем, да кажем, познат ...
- И тук разбрах една много проста истина, която по някаква причина не забелязах на Земята - външният вид няма значение, ако човек или същество има добро сърце... Майка ми беше много красива, но на моменти и много ядосана . И тогава цялата й красота изчезна някъде ... И Дийн, макар и страшен, винаги е много мил и винаги ме защитава, чувствам неговата доброта и не се страхувам от нищо. Можеш да свикнеш с външния вид...

4) Мултипликативна група от остатъци по
по модул n.
Малко по-трудно за дефиниране
групиране на мултипликативен остатък по
по модул n. Елементите на тази група формират
множество Z*n, състоящо се от елементи Zn,
относително прости към n. Концепцията за взаимност
простотата има следното значение:
ако k е цяло число, тогава gcd(a,n) = 1
е еквивалентно на gcd(a+kn,n) =1.

Теорема 7.

Система
е крайна абелева група.

Доказателство.

Нека проверим дали всеки елемент има
обратна в смисъл на групова операция.
(Неутралният елемент е клас C1).
За да намерите обратното на a, помислете
тройката (d,x,y), получена от процедурата
Разширено-Евклид(a,n). Тъй като
, числата a и n
взаимнопрости и d= gcd(a,b) = 1, така че
ax + ny = 1 и
, По този начин,
елемент е обратен на
в група
.

Уникалността на обратното може да бъде доказана
(както за всяка група), както следва:
ако x и x' са обратни на a, тогава
,
и пренареждане на скобите по асоциативност,
получаваме
и т.н.

По-нататък за простота ще означаваме събирането и умножението по модул с обичайните знаци + и ∙ (понякога пропускайки знака за умножение) и добавяме

По-нататък за простота ще означаваме
събиране и умножение по конвенционален модул
+ и ∙ знаци (понякога се пропуска знакът за умножение) и
адитивни и мултипликативни групи
остатъците по модул n ще бъдат означени с Zn и Z*n
(без да споменавам груповата операция). елемент,
обратен (по отношение на операцията умножение)
към a, ще обозначим a-1mod n. Както обикновено,
частното a/b в Z*n се определя като
ab-1 (mod n). Например в
ние имаме
(мод 15),
тъй като
, където
.

5) Броят на обратимите елементи в остатъчния пръстен.

Брой реверсивни елементи в пръстена
удръжки, т.е. брой елементи в
,
означено
. Функцията се извиква
- Функция на Ойлер.

Можем да докажем следната формула за функцията на Ойлер: (3) където p1,….,ps е списъкът на всички прости делители на n. Тази формула може да се обясни по следния начин:

Възможно е да се докаже такава формула за функцията
Ойлер:
(3)
където p1,….,ps е списъкът на всички прости делители
номер n. Можете да обясните тази формула по следния начин:
произволното число t е относително просто спрямо n, ако
не се дели на p1 (вероятността за което е
(1-1/p1)), неделимо на p2 (вероятност (1-1/p2))
и т.н., и тези събития са независими.

Например,
,
тъй като простите делители на 45
са числата 3 и 5. За просто число
ние имаме
(4)
защото всички числа 1,2,…, p -1 са относително прости на p.
Ако n е съставно число, тогава

6) Подгрупи.

Позволявам
е група и
.
Ако
също е група, тогава
наречена подгрупа на групата
. Например,
четните числа образуват подгрупа от цели числа
(с операция за добавяне).

10. Ако е подгрупа на крайна група, тогава се дели.

Теорема 8 (Лагранж).
Ако
е подгрупа на крайна група
Че
разделя.
,

11. Доказателство.

Може да се намери в учебниците по алгебра (група S
разделени на незастъпващи се класове
мил
, всяка от които съдържа
елементи).
Подгрупа S' на група S, която не съвпада с
цялата група се нарича собствена
подгрупа.

12. Следствие 8.1.

Ако S' е правилна подгрупа на крайна
група S, тогава
.
Това е (очевидно) следствие от теоремата на Лагранж
използвани при вероятностния анализ
Алгоритъм на Шилер-Рабин
(проверка за простота).

13. 7) Подгрупа, генерирана от елемент на група.

Нека a е някакъв елемент от ограничено
група S. Разгледайте последователността
елементи
По аналогия с правомощията (групова операция
съответства на умножение) ще запишем
и т.н.
Лесно е да се види това
,
в частност
. Подобен
твърдение също може да бъде формулирано за
"отрицателни сили"
в частност
.

14. Ако групата S е крайна, тогава последователността ще бъде периодична (следващият елемент се определя от предишния, така че веднъж повторен, ел.

Ако групата S е крайна, тогава
подпоследователност
ще бъде периодичен (следващият елемент
определен от предишния, така че веднъж
повтаряйки, елементите ще се повтарят в
цикъл). Така че последователността
има формата
(всичко се повтаря) и съдържа t
различни елементи, където t е най-малкият
положително число, за което
.
Това число се нарича ред на елемента a и
означен като ord(a).

15. Посочените t елемента образуват подгрупа, т.к груповата операция съответства на събирането на "експоненти". Тази подгрупа се нарича

Посочените t елемента образуват
подгрупа, т.к групова операция съответства
добавяне на експоненти. Тази подгрупа
се нарича генериран от елемента a и
обозначено или, ако искаме изрично да уточним
групова операция,
). Елемент а
наречен генератор на подгрупата
; Те казват,
че генерира тази подгрупа.
Например елемент a=2 от група Z6
генерира подгрупа, състояща се от елементи
0,2,4.

16. Ето няколко подгрупи на групата Z6, генерирани от различни елементи: . Подобен пример за мултипликативна група: тук От казаното

Ето някои подгрупи от групата Z6,
генерирани от различни елементи:
. Подобен
пример за мултипликативна група
:
Тук
От казаното следва теорема 9.

17. Нека е крайна група. Ако, тогава броят на елементите в подгрупата, генерирана от a, съвпада с реда на a (т.е.).

Теорема 9.
Позволявам
- финална група. Ако
, след това числото
елементи в подгрупата, генерирана от a съвпада с
поръчайте (т.е.
).

18. Следствие 9.1.

Последователност
има период
t=ord(a);
с други думи
, тогава и само тогава,
Кога
.
Периодичността ви позволява да продължите
последователност в двете посоки, определяне
как
за всяко цяло число i, включително
отрицателен.

19. Следствие 9.2.

Във финалната група
с единица e за всяко
равенство
.
Доказателство. По теорема на Лагранж ord(a)
разделя откъде
, Където
и т.н.

20. 8) Решаване на линейни диофантови уравнения.

Ще се интересуваме от цели числа.
решение на уравнението
(5)
(тук a, b и n са цели числа; такива уравнения
наречен „линеен диофантинов“.
уравнения"). Ясно е, че само
остатък от деленето на x на n, така че решението на (5)
естествено е да назовем не цяло число, а елемент
група Zn, (класът от числа, даващи същото
остатък при деление на n). Следователно е възможно
формулирайте проблема по следния начин: има елементи
,
търсим всичко
, за което
.

21. Припомнете си, че означаваме подгрупата, генерирана от елемента a (в този случай подгрупата на групата Zn). Следователно по дефиниция уравненията

Припомнете си това чрез
означено
подгрупата, генерирана от елемента a (в дадения
случай подгрупа на групата Zn). А-приори
, така че уравнение (5)
има поне едно решение тогава и само
тогава когато
. Колко елемента в
?
По теоремата на Лагранж (T8) това число е
делител n. В Zn груповата операция е
допълнение, защото Zn е адитивна група, така че
.

22. Нека уравнението е разрешимо и е негово решение. Тогава уравнението има d =gcd(a,n) решения в Zn, дадени по формулата, където i = 0,1,2,... , n - 1.

Теорема 10.
Нека уравнението
разрешими и
е неговото решение. Тогава уравнението има
d =gcd(a,n) на решения в Zn, дадени по формулата
, където i = 0,1,2,... , n - 1.

23. Доказателство.

Започвайки от и движейки се на стъпки от n/d, ние
нека направим d стъпки, преди да затворим кръга, защото
. Всички преминали числа ще бъдат
решения на уравнението
, тъй като при
увеличаване на x с n/d продукт ax
нараства с n(a/d), т.е. кратно на n. Така
Така изброихме всички d решения.
a=b
a(+n/d)=a +an/d=a +na/d=a +kn≡a
h.t.d.

24. Нека n > 1. Ако gcd(a, n) = 1, тогава уравнението има уникално решение (в Zn). Случаят b=1 е особено важен - тук намираме обратния елемент на x

Следствие 10.1
Нека n > 1. Ако gcd(a, n) = 1, тогава уравнението
има уникално решение (в Zn).
Случаят b=1 е особено важен, тъй като ние
намираме елемента, обратен на x по модул n, т.е.
обратен елемент в групата.

25. Следствие 10.2

Нека n > 1. Ако gcd(a, n) = 1, тогава
уравнение ax ≡ 1 (mod n)
(6)
има уникално решение в Zn.
За gcd(a, n) > 1 това уравнение от решения не е така
То има.
Така се научихме да изчисляваме
обратен елемент в група в O(log n)
аритметични операции.

26. 9) Китайска теорема за остатъка.

Около 100 г. пр.н.е. Песента на китайския математик
Tsu реши следната задача: намери число, което дава
когато се раздели на 3, 5 и 7, остатъците са 2, 3 и 2
съответно ( обща формарешения 23+105к
за цяло число k). Следователно твърдението за
еквивалентност на системата за взаимно сравнение
прости модули и модулни сравнения
произведения се наричат ​​„китайска теорема за
остатъци."

27. Нека дадено число n е представено като произведение на двойки взаимно прости числа. Китайската теорема за остатък гласи, че броят на

Нека някакво число n бъде представено като
произведения на двойки взаимно прости числа
. Китайска теорема за остатък
заявява, че остатъчният пръстен Zn е структуриран като
продукт от остатъчни пръстени
(с покомпонентно събиране и умножение).
Това съответствие също е полезно с алгоритмични
гледна точка, тъй като е по-лесно за изпълнение
операции върху всички множества Zni отколкото
директно в Zn.

28. 10) Степени на елемент.

Помислете в мултипликативната група
удръжки
степенна последователност
някакъв елемент а:
(7)
Започваме да броим от нула, ако приемем
;
i-тият член на редицата от степени на числото 3 в
модул 7 има формата:
и за степени на 2 по модул 7 имаме:

29. 11) Теорема 11 (Ойлер).

Ако n>1 е цяло число, тогава
за всички
, Където
(8)
- Фи-функция на Ойлер.
Без доказателства.
За просто n теоремата се превръща в "малка
Теорема на Ферма.

30. 12) Теорема 12 (малката теорема на Ферма).

Ако p е просто число, тогава
(9)
за всички
.
Доказателство. Тъй като p е просто число,
\u003d p-1, h.t.d.

31. Следствие 12.1. Нека p е просто число. Следствие 12.2. Нека p е просто число, тогава теоремата на Ферма ще бъде приложима за a=0.

32. 13) Теорема 13 (Засилване на теоремата на Ойлер).

Нека n=pq, където p и q са различни прости числа.
След това за всяко цяло число a и за всяко
естествено k ние имаме идентичността
.

33. ч.т.д.

Доказателство.
h.t.d.

34. 14) Изчисляване на степени чрез повторно повдигане на квадрат.

Степененето по модул играе важна роля
роля при проверка на числата за основност, както и в
RSA криптосистема. Що се отнася до обикновените числа,
многократното умножение не е най-бързото
начин; по-добре е да използвате алгоритъма
повторна квадратура.

35. Нека искаме да изчислим ab mod n, където a е остатъкът по модул n, а b е неотрицателно цяло число, което има формата (bk,bk-1,...,b1,b0) в двоичен запис ( номер 3

Нека искаме да изчислим ab mod n, където
a е остатък по модул n, a b е цяло число
неотрицателно число в двоична система
записи във формата (bk,bk-1,... ,b1,b0) (брой знаци
считаме за равно на k + 1; старши чинове, като
обикновено отляво). Изчисляваме ac mod n за
някои c, което се увеличава и, в края
в крайна сметка става равно на b.

36. Когато c се умножи по 2, числото ac се повдига на квадрат, когато c се увеличи с 1, числото ac се умножи по a. На всяка стъпка двоичното представяне на c се измества

1 наляво, след
какво, ако е необходимо (bi=1), последната цифра
двоичната нотация се променя от 0 на 1. (3 Забележка,
че променливата c всъщност не се използва и
може да се пропусне.)

37. Преценете продължителността на процедурата. Ако трите числа, които са неговите начални данни, имат не повече от β бита, тогава броят на аритметичните операции ec

Нека изчислим продължителността на процедурата. Ако
три числа, които са неговият оригинал
данните имат най-много β бита, след това числото
аритметични операции е O(β) и числото
битови - O (β 3).
Пример (a = 7, b = 560, n=561) е показан в
фигура.
Поставянето на квадрат е преместване с 1 наляво
степен на числото.

38.

аз
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
би
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
° С
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
д
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Ориз. Работна процедура монтаж в
степен по модул n
с a = 7, b = 560 = (1000110000) и n = 561.
Стойностите на променливите се показват след това
следващото изпълнение на тялото на for цикъла.
Процедурата връща отговор 1.

    Телата са група, чиито елементи са всички ненулеви елементи на даденото тяло, а операцията е същата като операцията умножение в тялото. M. g. полетата са абелева група. О. А. Иванова ... Математическа енциклопедия

    Съкратената система от остатъци по модул m е множеството от всички числа на пълната система от остатъци по модул m, взаимнопрости на m. Редуцираната система от остатъци по модул m се състои от φ(m) числа, където φ( ) е функцията на Ойлер. Като намалена система от удръжки ... ... Wikipedia

    Теория на групите ... Уикипедия

    Група в абстрактната алгебра е непразно множество с бинарна операция, дефинирана върху него, което удовлетворява следните аксиоми. Клонът на математиката, който се занимава с групите, се нарича теория на групите. Всички знаят реални числанадарен с ... ... Уикипедия

    Групата на автоморфизма на някаква полулинейна форма f на десния K модул E, където K е пръстен; освен това f и E (и понякога K) отговарят на допълнителни условия. Няма точна дефиниция на K. g. Приема се, че f е или нула, или не е изродено... ... Математическа енциклопедия

    Групата на всички обратими матрици от степен n върху асоциативния пръстен K с идентичност; обща нотация: GLn(K) или GL(n, K). П. л. г. GL(n, K) може също да се дефинира като група автоморфизми АutK(V) на свободен десен K модул Vс… … Математическа енциклопедия

    За общо описание на теорията на групите вижте Група (математика) и Теория на групите. Курсивът показва връзка към този речник. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Рейтинг на статията:
1 звезда2 звезди3 звезди4 звезди5 звезди(Все още няма оценки)
Зареждане...
Сподели с приятели:
Подобни публикации