Legea normală a distribuției probabilităților. Legea normală a distribuției probabilităților Interval simetric față de așteptările matematice

Se spune că CB X are distributie uniformaîn zona de la a la b, dacă densitatea sa f(x) în această zonă este constantă, adică

.

De exemplu, o măsurare a unei cantități se face folosind un dispozitiv cu diviziuni brute; cel mai apropiat număr întreg este luat ca valoare aproximativă a mărimii măsurate. SV X - eroarea de măsurare este distribuită uniform pe zonă, deoarece niciuna dintre valorile variabilei aleatoare nu este în vreun fel preferabilă celorlalte.

Exponenţial este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care este descrisă de densitate

unde este o valoare pozitivă constantă.

Un exemplu de variabilă aleatoare continuă distribuită conform unei legi exponențiale este timpul dintre apariția a două evenimente consecutive ale fluxului cel mai simplu.

Adesea, durata funcționării fără defecțiuni a elementelor are o distribuție exponențială, a cărei funcție de distribuție
determină probabilitatea defecțiunii elementului pe o durată de timp t.

— rata de defecțiuni (numărul mediu de defecțiuni pe unitatea de timp).

Legea normală distribuție (uneori numită legea lui Gauss) joacă un rol extrem de important în teoria probabilității și ocupă o poziție deosebită printre alte legi ale distribuției. Densitatea de distribuție a legii normale are forma

,

unde m este așteptarea matematică,

- abaterea standard X.

Probabilitatea ca un SV X distribuit normal să ia o valoare aparținând intervalului este calculată prin formula: ,

unde Ф(X) - Funcția Laplace. Valorile sale sunt determinate din tabelul din anexa manualului despre teoria probabilității.

Probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare X distribuite normal de la așteptarea sa matematică în valoare absolută să fie mai mică decât un număr pozitiv dat este calculată prin formula

.

EXEMPLE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

EXEMPLU 13.2.41. Valoarea unei diviziuni a scalei ampermetrului este 0,1 A. Citirile sunt rotunjite la cea mai apropiată diviziune întreagă. Aflați probabilitatea ca în timpul citirii să se facă o eroare care depășește 0,02 A.

Soluţie. Eroarea de rotunjire poate fi considerată ca CB X, care este distribuit uniform în intervalul dintre două diviziuni adiacente. Densitatea de distribuție uniformă , unde (b-a) este lungimea intervalului care conține valorile posibile ale lui X. În problema luată în considerare, această lungime este 0,1. De aceea . Asa de, .

Eroarea de citire va depăși 0,02 dacă este în intervalul (0,02; 0,08). Conform formulei avem

EXEMPLU 13.2.42. Durata de funcționare fără defecțiuni a unui element are o distribuție exponențială. Găsiți probabilitatea ca pe o perioadă de ore:

a) elementul defectează;

b) elementul nu va ceda.

Soluţie. a) Funcția determină probabilitatea de defectare a unui element pe o perioadă de timp t, prin urmare, prin substituirea , se obține probabilitatea de defectare: .

b) Evenimentele „elementul va eșua” și „elementul nu va eșua” sunt opuse, deci probabilitatea ca elementul să nu eșueze este de .

EXEMPLU 13.2.43. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu parametri. Aflați probabilitatea ca SV X să se abate de la așteptările sale matematice m cu mai mult de .

Această probabilitate este foarte mică, adică un astfel de eveniment poate fi considerat aproape imposibil (poți greși în aproximativ trei cazuri din 1000). Aceasta este „regula celor trei sigma”: dacă o variabilă aleatorie este distribuită în mod normal, atunci valoarea absolută a abaterii ei de la așteptarea matematică nu depășește de trei ori abaterea standard.

EXEMPLU 13.2.44. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt egale, respectiv, cu 10 și, respectiv, 2. Aflați probabilitatea ca în rezultatul testului X să ia o valoare conținută în intervalul (12, 14).

Soluție: Pentru o cantitate distribuită normal

.

Înlocuind, obținem

Găsim de pe masă.

Probabilitatea cerută.

Exemple și sarcini pentru soluții independente

Rezolvați probleme folosind formule de probabilitate pentru variabile aleatoare continue și caracteristicile acestora

3.2.9.1. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare X distribuite uniform în intervalul (a,b).

Reprezentant.:

3.2.9.2. Trenurile de metrou circulă regulat la intervale de 2 minute. Un pasager intră pe platformă la un moment dat. Aflați densitatea de distribuție a SV T - timpul în care va trebui să aștepte trenul; . Găsiți probabilitatea ca nu va trebui să așteptați mai mult de jumătate de minut.

Reprezentant.:

3.2.9.3. Minutele unui ceas electric sare la sfârșitul fiecărui minut. Găsiți probabilitatea ca, la un moment dat, ceasul să arate un timp care diferă de timpul real cu cel mult 20 s.

Reprezentant.:2/3

3.2.9.4. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe suprafața (a,b). Aflați probabilitatea ca, în urma experimentului, să se abate de la așteptările sale matematice cu mai mult de .

Reprezentant.:0

3.2.9.5. Variabilele aleatoare X și Y sunt independente și distribuite uniform: X în intervalul (a,b), Y în intervalul (c,d). Aflați așteptările matematice ale produsului XY.

Reprezentant.:

3.2.9.6. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite exponențial.

Reprezentant.:

3.2.9.7. Scrieți funcția de densitate și distribuție a legii exponențiale dacă parametrul .

Reprezentant.: ,

3.2.9.8. Variabila aleatoare are o distribuție exponențială cu parametrul . Găsi .

Reprezentant.:0,233

3.2.9.9. Timpul de funcționare fără defecțiuni al unui element este distribuit conform legii exponențiale, unde t este timpul, ore.Găsiți probabilitatea ca elementul să funcționeze fără defecțiuni timp de 100 de ore.

Reprezentant.:0,37

3.2.9.10. Testați trei elemente care funcționează independent unul de celălalt. Durata de funcționare fără defecțiuni a elementelor este distribuită conform legii exponențiale: pentru primul element ; pentru al doilea ; pentru al treilea element . Aflați probabilitatea ca în intervalul de timp (0; 5) ore: a) un singur element să cedeze; b) doar două elemente; c) toate cele trei elemente.

Reprezentant.: a)0,292; b)0,466; c)0,19

3.2.9.11. Demonstrați că dacă o variabilă aleatoare continuă este distribuită conform legii exponențiale, atunci probabilitatea ca X să ia o valoare mai mică decât așteptarea matematică M(X) nu depinde de valoarea parametrului; b) găsiți probabilitatea ca X > M(X).

Reprezentant.:

3.2.9.12. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt egale, respectiv, cu 20 și, respectiv, 5. Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare conținută în intervalul (15; 25).

Reprezentant.: 0,6826

3.2.9.13. O substanță este cântărită fără erori sistematice. Erorile aleatorii de cântărire sunt supuse legii normale cu o abatere standard r. Aflați probabilitatea ca a) cântărirea să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 10 r în valoare absolută; b) din trei cântăriri independente, eroarea a cel puţin uneia nu va depăşi 4g în valoare absolută.

Reprezentant.:

3.2.9.14. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu așteptări matematice și abatere standard. Aflați intervalul, simetric față de așteptarea matematică, în care, cu o probabilitate de 0,9973, valoarea X va cădea în urma testului.

Reprezentant.:(-5,25)

3.2.9.15. Instalația produce bile pentru rulmenți, al căror diametru nominal este de 10 mm, iar diametrul real este aleatoriu și distribuit conform legii normale cu mm și mm. În timpul inspecției, toate bilele care nu trec printr-o gaură rotundă cu diametrul de 10,7 mm și toate cele care trec printr-o gaură rotundă cu diametrul de 9,3 mm sunt respinse. Găsiți procentul de bile care vor fi respinse.

Reprezentant.:8,02%

3.2.9.16. Mașina ștampilă piesele. Lungimea piesei X este controlată, care este distribuită normal cu o lungime de proiectare (așteptări matematice) egală cu 50 mm. De fapt, lungimea pieselor fabricate nu este mai mică de 32 și nu mai mult de 68 mm. Aflați probabilitatea ca lungimea unei părți luate aleatoriu: a) să fie mai mare de 55 mm; b) mai mic de 40 mm.

Sugestie: Din egalitate găsi în prealabil.

Reprezentant.:a)0,0823; b)0,0027

3.2.9.17. Cutiile de ciocolată sunt ambalate automat; greutatea lor medie este de 1,06 kg. Aflați varianța dacă 5% dintre cutii au o masă mai mică de 1 kg. Se presupune că masa cutiilor este distribuită conform legii normale.

Reprezentant.:0,00133

3.2.9.18. Un bombardier care zbura de-a lungul podului, care are 30 m lungime și 8 m lățime, a aruncat bombe. Variabilele aleatoare X și Y (distanța de la axele de simetrie verticală și orizontală a podului până la locul în care a căzut bomba) sunt independente și distribuite normal cu abateri standard egale cu 6, respectiv 4 m și așteptări matematice egale cu zero. Aflați: a) probabilitatea ca o bombă aruncată să lovească podul; b) probabilitatea de distrugere a podului dacă sunt aruncate două bombe și se știe că o lovitură este suficientă pentru a distruge podul.

Reprezentant.:

3.2.9.19. Într-o populație distribuită normal, 11% din valorile X sunt mai mici de 0,5 și 8% dintre valorile X sunt mai mari de 5,8. Găsiți parametrii lui m și această distribuție. >
Exemple de rezolvare a problemelor >

După cum am menționat mai devreme, exemple de distribuții de probabilitate variabilă aleatoare continuă X sunt:

• distributie uniforma
• distribuție exponențială probabilitățile unei variabile aleatoare continue;
• distribuția normală de probabilitate a unei variabile aleatoare continue.

Să dăm conceptul unei legi de distribuție normală, funcția de distribuție a unei astfel de legi și procedura de calcul a probabilității ca o variabilă aleatoare X să cadă într-un anumit interval.

№	Index	Legea distribuției normale	Notă
	Definiție	Numit normal distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate are forma
			unde m x este așteptarea matematică a variabilei aleatoare X, σ x este abaterea standard
2	Funcția de distribuție
	Probabilitate se încadrează în intervalul (a;b)		- Funcția integrală Laplace
	Probabilitate faptul că valoarea absolută a abaterii este mai mică decât un număr pozitiv δ		la m x = 0

Un exemplu de rezolvare a unei probleme pe tema „Legea distribuției normale a unei variabile aleatoare continue”

Sarcină.

Lungimea X a unei anumite piese este o variabilă aleatorie distribuită conform legii distribuției normale și are o valoare medie de 20 mm și o abatere standard de 0,2 mm.
Necesar:
a) notează expresia pentru densitatea distribuției;
b) aflați probabilitatea ca lungimea piesei să fie între 19,7 și 20,3 mm;
c) aflați probabilitatea ca abaterea să nu depășească 0,1 mm;
d) determinați ce procent sunt piesele a căror abatere de la valoarea medie nu depășește 0,1 mm;
e) găsiți ce abatere ar trebui stabilită astfel încât procentul pieselor a căror abatere de la medie nu depășește valoarea specificată să crească la 54%;
f) găsiți un interval simetric față de valoarea medie în care va fi situat X cu probabilitate 0,95.

Soluţie. A) Găsim densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X distribuită conform unei legi normale:

cu condiția ca m x =20, σ =0,2.

b) Pentru o distribuție normală a unei variabile aleatoare, probabilitatea de a cădea în intervalul (19.7; 20.3) este determinată de:
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0, 2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Am găsit valoarea Ф(1,5) = 0,4332 în anexe, în tabelul de valori al funcției integrale Laplace Φ(x) ( masa 2 )

V) Găsim probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv 0,1:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Am găsit valoarea Ф(0,5) = 0,1915 în anexe, în tabelul de valori al funcției integrale Laplace Φ(x) ( masa 2 )

G) Deoarece probabilitatea unei abateri mai mici de 0,1 mm este de 0,383, rezultă că, în medie, 38,3 părți din 100 vor avea o astfel de abatere, i.e. 38,3%.

d) Deoarece procentul pieselor a căror abatere de la medie nu depășește valoarea specificată a crescut la 54%, atunci P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Folosind aplicația ( masa 2 ), găsim δ/σ = 0,74. Prin urmare δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 mm.

e) Deoarece intervalul necesar este simetric față de valoarea medie m x = 20, acesta poate fi definit ca mulțimea de valori a lui X care satisface inegalitatea 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Conform condiției, probabilitatea de a găsi X în intervalul dorit este 0,95, ceea ce înseamnă P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Folosind aplicația ( masa 2 ), găsim δ/σ = 1,96. Prin urmare, δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Interval de căutare : (20 – 0,392; 20 + 0,392) sau (19,608; 20,392).

Probabilitatea ca abaterea CB X de la M.O. ei. Aîn valoare absolută va fi mai mică decât un număr pozitiv dat, egal

Dacă punem această egalitate, obținem

s w:space="720"/>"> ,

Adică un SV distribuit normal X se abate de la M.O. A, de regulă, cu mai puțin de 3. Acesta este așa-numitul regula 3 sigma, care este adesea folosit în statistica matematică.

Funcția unei variabile aleatoare. Așteptările matematice ale unei funcții de un SV.(tetr)

Dacă fiecare valoare posibilă a unei variabile aleatoare X corespunde unei valori posibile a unei variabile aleatoare Y , Acea Y numit funcția unui argument aleatoriu X: Y = φ (X ).

Să aflăm cum să găsim legea de distribuție a unei funcții pe baza legii de distribuție cunoscută a argumentului.

1) Lasă argumentul X – variabilă aleatoare discretă, cu valori diferite X valori diferite corespund Y . Apoi probabilitățile valorilor corespunzătoare X Și Y egal .

2) Dacă valori diferite X aceleași valori pot corespunde Y , apoi se adună probabilitățile valorilor argumentului la care funcția ia aceeași valoare.

3) Dacă X – variabilă aleatoare continuă, Y = φ (X ), φ (X ) este o funcție monotonă și diferențiabilă și ψ (la ) – funcție inversă φ (X ).

Așteptarea matematică a unei funcții a unui argument aleatoriu.

Lăsa Y = φ (X ) – funcția unui argument aleatoriu X , și se cere să-și găsească așteptările matematice, cunoscând legea distribuției X .

1) Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, atunci

2) Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, atunci M (Y ) pot fi căutate în diferite moduri. Dacă se cunoaşte densitatea distribuţiei g (y ), Acea

21. Funcția a două argumente aleatorii. Distribuția funcției Z=X+Y pentru SV-uri independente discrete X și Y. (tetr)

Dacă fiecare pereche de valori posibile ale variabilelor aleatoare X și Y corespunde unei valori posibile a variabilei aleatoare Z, atunci Z se numește funcție a două argumente aleatoare X și Y și se scrie Z=φ(X,Y) . Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente discrete, atunci pentru a găsi distribuția funcției Z=X+Y, este necesar să găsim toate valorile posibile ale lui Z, pentru care este suficient să adăugați fiecare valoare posibilă a X cu toate valorile posibile ale lui Y; probabilitățile valorilor posibile găsite Z sunt egale cu produsele probabilităților valorilor adăugate X și Y. Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente continue, atunci densitatea distribuției g(z) a sumei Z = X+Y (cu condiția ca densitatea de distribuție a cel puțin unuia dintre argumente să fie dată în intervalul (- oo, oo) printr-o formulă) poate fi găsită prin formula , sau printr-o formulă echivalentă , unde f1 și f2 sunt densitățile de distribuție a argumentelor; dacă valorile posibile ale argumentelor sunt nenegative, atunci densitatea de distribuție g(z) a valorii Z=X + Y se găsește folosind formula sau o formulă echivalentă. În cazul în care ambele densități f1(x) și f2(y) sunt date pe intervale finite, pentru a găsi densitatea g(z) a mărimii Z = X+Y este recomandabil să găsim mai întâi funcția de distribuție G(z) si apoi diferentiati-l fata de z : g(z)=G'(z). Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente specificate de densitățile de distribuție corespunzătoare f1(x) și f2(y), atunci probabilitatea ca un punct aleator (X, Y) să cadă în regiunea D este egală cu integrala dublă din această regiune. a produsului densităţilor de distribuţie: P [( X, Y)cD] = . Variabilele aleatoare independente discrete X și Y sunt specificate prin distribuții:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Aflați distribuția variabilei aleatoare Z = X + K. Rezolvare. Pentru a crea o distribuție a valorii Z=X+Y, este necesar să găsiți toate valorile posibile ale lui Z și probabilitățile acestora. Valorile posibile ale lui Z sunt sumele fiecărei valori posibile a lui X cu toate valorile posibile ale lui Y: Z 1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z3 =3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Să aflăm probabilitățile acestor valori posibile. Pentru ca Z=3 este suficient ca valoarea X sa ia valoarea x1=l si valoarea K-valoare y1=2. Probabilitățile acestor valori posibile, după cum rezultă din aceste legi de distribuție, sunt egale cu 0,3 și, respectiv, 0,6. Deoarece argumentele X și Y sunt independente, evenimentele X = 1 și Y = 2 sunt independente, prin urmare, probabilitatea apariției lor comune (adică probabilitatea evenimentului Z = 3) conform teoremei înmulțirii este 0,3 * 0,6 = 0,18. În mod similar găsim:

I B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42;

P(Z = a treia = 7) =0,7-0,4 = 0,28. Să scriem distribuția necesară adunând mai întâi probabilitățile evenimentelor incompatibile Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):

Z357; P 0,18 0,54 0,28. Control: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.

În practică, majoritatea variabilelor aleatoare care sunt influențate de un număr mare de factori aleatori se supun legii distribuției normale a probabilității. Prin urmare, în diverse aplicații ale teoriei probabilităților, această lege are o importanță deosebită.

Variabila aleatoare $X$ respectă legea distribuției normale a probabilității dacă densitatea distribuției sale de probabilitate are următoarea formă

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Graficul funcției $f\left(x\right)$ este prezentat schematic în figură și se numește „curba gaussiană”. În dreapta acestui grafic se află bancnota germană de 10 mărci, care a fost folosită înainte de introducerea monedei euro. Dacă te uiți cu atenție, poți vedea pe această bancnotă curba Gauss și descoperitorul ei, cel mai mare matematician Carl Friedrich Gauss.

Să revenim la funcția noastră de densitate $f\left(x\right)$ și să dăm câteva explicații cu privire la parametrii de distribuție $a,\ (\sigma )^2$. Parametrul $a$ caracterizează centrul de dispersie al valorilor unei variabile aleatoare, adică are semnificația unei așteptări matematice. Când parametrul $a$ se modifică și parametrul $(\sigma )^2$ rămâne neschimbat, putem observa o deplasare în graficul funcției $f\left(x\right)$ de-a lungul abscisei, în timp ce graficul densității el însuși nu își schimbă forma.

Parametrul $(\sigma )^2$ este varianța și caracterizează forma curbei graficului densității $f\left(x\right)$. La modificarea parametrului $(\sigma )^2$ cu parametrul $a$ neschimbat, putem observa cum graficul densității își schimbă forma, comprimându-se sau întinzându-se, fără a se deplasa de-a lungul axei absciselor.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să se încadreze într-un interval dat

După cum se știe, probabilitatea ca o variabilă aleatorie $X$ să cadă în intervalul $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ poate fi calculată $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Aici funcția $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ este Funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt preluate din . Pot fi observate următoarele proprietăți ale funcției $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, adică funcția $\Phi \left(x\right)$ este impară.

2 . $\Phi \left(x\right)$ este o funcție crescătoare monotonă.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ stânga(x\dreapta)\ )=-0,5$.

Pentru a calcula valorile funcției $\Phi \left(x\right)$, puteți utiliza și vrăjitorul funcției $f_x$ în Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\dreapta )-0,5$. De exemplu, să calculăm valorile funcției $\Phi \left(x\right)$ pentru $x=2$.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ să se încadreze într-un interval simetric în raport cu așteptarea matematică $a$ poate fi calculată folosind formula

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Regula trei sigma. Este aproape sigur că o variabilă aleatoare distribuită normal $X$ va intra în intervalul $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Exemplul 1 . Variabila aleatoare $X$ este supusă legii distribuției normale a probabilității cu parametrii $a=2,\ \sigma =3$. Aflați probabilitatea ca $X$ să cadă în intervalul $\left(0.5;1\right)$ și probabilitatea de a satisface inegalitatea $\left|X-a\right|< 0,2$.

Folosind formula

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

găsim $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\peste (3))\right)-\Phi \left((((0.5-2)\ peste (3) ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \stanga(0.33\right)=0.191- 0,129=0,062 USD.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Exemplul 2 . Să presupunem că în cursul anului prețul acțiunilor unei anumite companii este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale cu o așteptare matematică egală cu 50 de unități monetare convenționale și o abatere standard egală cu 10. Care este probabilitatea ca pe o selecție aleatorie ziua perioadei în discuție prețul promoției va fi:

a) mai mult de 70 de unități monetare convenționale?

b) sub 50 pe acţiune?

c) între 45 și 58 de unități monetare convenționale pe acțiune?

Fie variabila aleatoare $X$ prețul acțiunilor unei companii. Prin condiție, $X$ este supus unei distribuții normale cu parametrii $a=50$ - așteptare matematică, $\sigma =10$ - abatere standard. Probabilitatea $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\peste (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ peste (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Exemplul 1. Așteptările matematice ale unui SV continuu distribuit normal X M(X) = 6, iar abaterea standard s( X) = 2.

Găsiți: 1) probabilitatea de a atinge valorile SV Xîn interval (2; 9);

3) interval simetric în raport cu A X cu probabilitatea g = 0,9642.

Soluţie. 1) Găsiți probabilitatea de a atinge valorile SV Xîn intervalul (2; 9).

Valorile funcției Laplace luat de pe masă. Proprietatea ciudățenie a funcției Ф(– X) = – Ф( X).

2) Determinați probabilitatea

Deoarece A = M(X) = 6 și s = s( X) = 2, atunci

3) Găsiți un interval care este simetric față de A, care conține valorile SV X cu probabilitatea g = 0,9642.

Din tabelul de valori al funcției Laplace găsim că d = 4,2. Atunci intervalul este –4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

Exemplul 2. Valoare aleatoare T(ore) – timpul de funcționare al dispozitivului are o distribuție exponențială. Găsiți probabilitatea ca dispozitivul să funcționeze fără reparații timp de cel puțin 600 de ore dacă durata medie de funcționare fără defecțiuni a dispozitivelor de acest tip este de 400 de ore.

Soluţie. M(T) = 400 ore, deci, conform formulei (1.46) Deoarece pentru distribuția exponențială Acea
0,2233.

Exemplul 3. Valoare aleatoare X distribuite uniform pe segment [ A, b]. Găsiți probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X pentru un segment
, cuprins în întregime în segmentul [ A, b].

Soluţie. Să folosim formula unde este densitatea de probabilitate

.

Prin urmare

Exemplul 4. Trenurile electrice circulă strict conform programului, la intervale de timp
20 de minute. Găsiți probabilitatea ca un pasager care sosește pe peron să aștepte mai mult de 10 minute pentru următorul tren electric, precum și timpul mediu de așteptare.

Soluţie. X– timpul de așteptare (min.) pentru un tren electric poate fi considerat o variabilă aleatoare distribuită uniform cu densitate:

și acesta este timpul mediu de așteptare pentru un tren electric.

Exemplul 5. Mașina produce bucșe. Bucșa este considerată potrivită dacă abaterea X diametrul său din dimensiunea de proiectare în valoare absolută este mai mic de 1 mm. Presupunând că variabila aleatoare X distribuit normal cu abaterea standard s = 0,5 mm și așteptări matematice A= 0, aflați câte bucșe potrivite vor fi între 100 fabricate, precum și probabilitatea ca abaterea de la dimensiunea de proiectare să fie nu mai mică de 0,4 mm și nu mai mare de 0,8 mm.

Soluţie. Să folosim formula () la d = 1, s = 0,5 și A = 0.

Rezultă că aproximativ 95 de bucșe din 100 vor fi potrivite.

Pentru a găsi probabilitatea ca abaterea de la dimensiunea designului să fie nu mai mică de 0,4 mm și nu mai mare de 0,8 mm, folosim formula (1,54)

la A= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Valorile funcției Ф( X) găsim din tabel.

Opțiuni de sarcină

OPȚIUNEA 1

X (CB X) este dat de seria de distribuție:

F(X M(X), varianță D(XX), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Sarcina 2. Fiecare trăgător trage în țintă o dată. Probabilitatea ca primul, al doilea și al treilea trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură este, respectiv, egală cu 0,8; 0,6 și 0,9. Pentru
CB X– numărul total de lovituri pe țintă în condițiile specificate, întocmește o serie de distribuție și găsește F(X), M(X), s( X) Și D(X).

Problema 3. Probabilitatea producerii unui eveniment Aîn fiecare experiment este 0,6. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție de discrete CB X– numărul de apariții ale evenimentului Aîn patru experimente independente; 2) estimați probabilitatea ca într-o serie de 80 de experimente independente acest eveniment să apară de cel puțin 60 de ori.

Problema 4. Discret CB X dat de seria de distribuție:

Găsiți serii de distribuție CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) Și D(Y).

Problema 5. Continuă CB X

Aflați: a) densitatea distribuției f(X); b) M(X); V) d) probabilitatea ca în trei încercări independente CB X va lua valori care aparțin intervalului de exact două ori

Problema 6. Dată o funcție

A CB X. Găsi F(X), M(X) Și D(X). Construiți un grafic F(X).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 14 și s( X NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric A CB X cu probabilitatea g = 0,8385.

Problema 8. Scara cronometrului are o valoare a diviziunii de 0,2 s. Timpul este numărat până la cea mai apropiată diviziune întreagă, rotunjit la cel mai apropiat punct. Eroarea de numărare în condițiile specificate poate fi considerată o variabilă aleatoare distribuită uniform.

Găsiți probabilitatea de cronometrare folosind acest cronometru cu o eroare de a) mai mică de 0,05 s; b) nu mai puțin de 0,01 s și nu mai mult de 0,05 s.

OPȚIUNEA 2

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(X); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abateri standard( X), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Problema 2. Există 100 de bilete la loterie, dintre care 10 sunt câștigătoare. Cineva cumpără 4 bilete. Pentru SV X– numărul de bilete câștigătoare dintre cele care vor fi achiziționate, creați o serie de distribuție și găsiți F(X), M(X), s( X).

Sarcina 3. Rapoartele sunt compilate independent unul de celălalt. Probabilitatea de a face o eroare la întocmirea fiecărui raport este de 0,3. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X – numărul de rapoarte cu erori dintre cele patru compilate; calculati M(X), D(X) și s( X); 2) estimați probabilitatea ca atunci când sunt întocmite 50 de rapoarte, să fie 20 de rapoarte cu erori.

Problema 4. Se știe că discret CB X poate lua doar două valori X 1 = –2 și X 2 = 3 și așteptările sale matematice M(X) = 1,5. Compilați serii de distribuție CB XȘi CB Z= Găsiți F(z) și s( Z).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

f(X); 2) M(X) Și D(X);
3) 4) probabilitatea ca în trei încercări independente CB X exact o dată va lua o valoare aparținând intervalului (1; 4).

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului A, în care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(X), M(X), D(X). Construiți un grafic F(X).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 12 și s( X NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric A intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,4515.

Problema 8. Eroarea de măsurare aleatorie a unei anumite piese este supusă legii normale cu parametrul s = 20 mm. Aflați probabilitatea ca: a) piesa să fi fost măsurată cu o eroare care să nu depășească 22 mm în valoare absolută; b) în nici una dintre cele două măsurători efectuate eroarea nu va depăşi 22 mm în valoare absolută.

OPȚIUNEA 3

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(X); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abateri standard( X), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Problema 2. Dintre cei trei sportivi incluși în lotul național de tineret la competiția de sărituri în înălțime se poate trece starturi calificate cu o probabilitate de 0,9, al doilea cu o probabilitate de 0,8 și al treilea cu o probabilitate de 0,6. Pentru CB X– numărul de sportivi de echipă care vor trece la următoarea rundă de competiții, vor crea o serie de distribuție și vor găsi M(X), s( X).

Sarcina 3. O serie de focuri independente sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură este de 0,8. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X – numărul de lovituri cu trei lovituri; 2) estimați probabilitatea ca cu 100 de lovituri să fie cel puțin 90 de lovituri.

Problema 4. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți seria și funcția de distribuție CB Y = 2X + 1, M(Y) Și D(Y).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

Aflați: 1) densitatea distribuției f(X); 2) M(X) Și D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X exact de două ori vor lua valori aparținând intervalului (–2,3; 1,5).

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului A, în care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(X), Și M(X). Construiți un grafic F(X).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 13 și s( X NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric A intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,9973.

Problema 8. Se știe că timpul de reparare a televizorului este o variabilă aleatorie X, distribuite conform unei legi exponenţiale, timpul mediu de reparare a televizorului fiind de două săptămâni. Găsiți probabilitatea că va dura: a) mai puțin de 10 zile pentru a repara un televizor adus la atelier; b) de la 9 la 12 zile.

OPȚIUNEA 4

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(X); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abateri standard( X), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Problema 2. Însoțitorul are 5 chei diferite pentru camere diferite. Scotând o cheie la întâmplare, încearcă să deschidă ușa uneia dintre camere. Pentru discret CB X– numărul de încercări de deschidere a ușii (cheia bifată nu este folosită a doua oară), compilați o serie de distribuție și găsiți F(X) Și M(X).

Problema 3. Probabilitatea de a produce o piesă cu parametrii de precizie dați dintr-o piesă standard pentru fiecare piesă este de 0,8.

Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X– numărul de piese cu caracteristici de precizie date care vor fi realizate din cinci semifabricate standard; 2) estimați probabilitatea ca 70 de piese cu caracteristici de precizie date să fie fabricate din 90 de semifabricate.

CB XȘi Y:

Creați o serie de distribuție CB Z = Y – X. Găsi M(Z) Și D(Z).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

Aflați: 1) densitatea distribuției f(X); 2) M(X); 3) CB X va lua valori care aparțin intervalului de exact trei ori

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului A, în care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(X), M(X) Și D(X). Construiți un grafic F(X).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 16 și s( X) = 2 continuu distribuit normal NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric A intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,9281.

Problema 8. Înălțimea unui bărbat adult este SV X, distribuit conform legii normale cu parametri A= 175 cm și s = 10 cm.Aflați probabilitatea ca înălțimea unui om ales aleatoriu să fie: a) mai mică de 180 cm; b) nu mai puțin de 170 cm și nu mai mult de 175 cm.

OPȚIUNEA 5

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(X); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abateri standard( X), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Problema 2. Ținta este formată dintr-un cerc și două inele concentrice. Lovirea cercului valorează 6 puncte, inelul 2 valorează 4 puncte, iar inelul 3 valorează două puncte. Probabilitățile de a intra în cerc și, respectiv, inelele 2 și 3, sunt 0,2; 0,3 și 0,5. Pentru discret SV X– suma punctelor eliminate în urma a trei hit-uri, compilați o serie de distribuție și găsiți F(X), M(X), s( X).

Sarcina 3. Linia automată constă din n maşini care acţionează independent de acelaşi tip. Probabilitatea ca o mașină să necesite ajustare în timpul unei ture pentru fiecare mașină este de 0,3. Necesar: 1) construiți o serie de distribuție CB X– numărul de utilaje care vor necesita ajustare în timpul unei ture, dacă n= 4; 2) estimați probabilitatea ca 20 de mașini să necesite ajustare pe schimb, dacă n = 100.

Problema 4. Distribuția comună a discretelor CB XȘi Y dat de tabel:

Creați o lege de distribuție CB Z = Y + X. Găsi M(Z) Și D(Z).

Problema 5. Continuă CB X dat de funcţia de distribuţie

Aflați: 1) densitatea distribuției f(X); 2) M(X) Și D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X exact de două ori vor lua valori aparținând intervalului (3; 9).

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului A, în care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(X), M(X). Construiți un grafic F(X).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 10 și s( X) = 4 continuu distribuit normal NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric A intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,5161.

Problema 8. Minutele unui ceas electric se mișcă brusc la sfârșitul fiecărui minut. Valoare aleatoare X– diferența dintre ora afișată pe afișaj și ora reală are o distribuție uniformă. Găsiți probabilitatea ca la un moment dat ceasul să indice un timp care diferă de cel adevărat: a) cu nu mai puțin de 10 s și nu mai mult de 25 s; b) pentru cel puțin 25 s.

OPȚIUNEA 6

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(X); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abateri standard( X), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Problema 2. Într-un grup sunt 12 studenți, dintre care 5 locuiesc într-un cămin. 4 elevi sunt selectați la întâmplare din listă. Pentru SV X– numărul studenților care locuiesc în cămin dintre cei care vor fi selectați, întocmește o serie de distribuție și află F(X), M(X) Și D(X).

Problema 3. Când se produc piese de același tip folosind echipamente învechite, fiecare piesă se poate dovedi a fi defectă cu o probabilitate de 0,1. Construiți o serie de distribuție CB X< 3);
4) probabilitatea ca în patru încercări independente CB X va lua valori aparținând intervalului (1; 3) de exact două ori.

Problema 6. Dată o funcție

Definiți valoarea parametrului A, în care această funcție specifică densitatea distribuției de probabilitate a unor continue CB X. Găsi F(X), M(X) Și D(X). Construiți un grafic F(X).

Problema 7. Având în vedere M(X) = 11 și s( X) = 3 continuu distribuit normal NE X. Găsi:

1) probabilitate ;

2) probabilitate ;

3) relativ simetric A intervalul în care se încadrează valorile CB X cu probabilitatea g = 0,9973.

Problema 8. Timpul de funcționare al unei anumite mărci de televizor este o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi normale cu parametri A= 12 ani și s = 2 ani. Găsiți probabilitatea ca televizorul să funcționeze fără reparații: a) de la 9 la 12 ani;
b) cel puţin 10 ani.

OPȚIUNEA 7

Problema 1. Variabilă aleatoare discretă X (CB X) este dat de seria de distribuție:

Găsiți: 1) funcția de distribuție F(X); 2) caracteristici numerice: așteptarea matematică M(X), varianță D(X), abateri standard( X), Modă M 0 (X); 3) probabilitate P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(X).

Problema 2. Un muncitor întreține 4 mașini care funcționează independent. Probabilitatea ca într-o oră mașina să nu necesite atenția unui muncitor pentru prima mașină este de 0,7; pentru al doilea – 0,75; pentru al treilea – 0,8; pentru al patrulea – 0,9. Pentru discret SV X- numărul de utilaje care nu vor necesita atenția unui muncitor într-o oră, creați o serie de distribuție și găsiți F(X), M(X) Și D(X).

Problema 3. Disponibil n mașini care funcționează independent. Construiți o serie de distribuție CB X– numărul de mașini care lucrează la un moment dat, dacă n= 6, iar probabilitatea ca mașina să funcționeze la un moment dat este de 0,9; calculati M(X) Și D(X). Evaluați probabilitatea ca întreprinderea care are n= 180 și probabilitatea de funcționare pentru fiecare mașină este 0,98, numărul de mașini care lucrează în prezent va fi de cel puțin 170.

Problema 4. Legile distribuției discretelor independente CB XȘi Y:

Creați o serie de distribuție CB Z = X Y+ 2. Găsiți M(Z) Și D(Z).