După cum poate fi reprezentat ca o fracție zecimală. Cum să reprezinte o fracție ca zecimală. De ce sunt necesare fracții?

Pentru a scrie un număr rațional m/n ca fracție zecimală, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, câtul este scris ca o fracție zecimală finită sau infinită.

Scrieți acest număr ca o fracție zecimală.

Soluţie. Împărțiți numărătorul fiecărei fracții într-o coloană la numitorul ei: A)împărțiți 6 la 25; b)împărțiți 2 la 3; V)împărțiți 1 la 2 și apoi adăugați fracția rezultată la unu - partea întreagă a acestui număr mixt.

Fracții ordinare ireductibile ai căror numitori nu conțin alți factori primi decât 2 Și 5 , sunt scrise ca o fracție zecimală finală.

ÎN exemplu 1 când A) numitorul 25=5·5; când V) numitorul este 2, deci obținem zecimale finale 0,24 și 1,5. Când b) numitorul este 3, deci rezultatul nu poate fi scris ca o zecimală finită.

Este posibil, fără împărțire lungă, să se transforme într-o fracție zecimală o astfel de fracție obișnuită, al cărei numitor nu conține alți divizori decât 2 și 5? Să ne dăm seama! Ce fracție se numește zecimală și se scrie fără bară de fracții? Răspuns: fracția cu numitorul 10; 100; 1000 etc. Și fiecare dintre aceste numere este un produs egal număr de doi și cinci. De fapt: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 etc.

În consecință, numitorul unei fracții ordinare ireductibile va trebui reprezentat ca produsul dintre „doi” și „cinci”, apoi înmulțit cu 2 și (sau) 5, astfel încât „doi” și „cinci” să devină egali. Atunci numitorul fracției va fi egal cu 10 sau 100 sau 1000 etc. Pentru a ne asigura că valoarea fracției nu se modifică, înmulțim numărătorul fracției cu același număr cu care am înmulțit numitorul.

Exprimați următoarele fracții comune sub formă de zecimale:

Soluţie. Fiecare dintre aceste fracții este ireductibilă. Să factorăm numitorul fiecărei fracții în factori primi.

20=2·2·5. Concluzie: lipsește un „A”.

8=2·2·2. Concluzie: lipsesc trei „A”.

25=5·5. Concluzie: lipsesc doi „doi”.

Cometariu.În practică, adesea nu folosesc factorizarea numitorului, ci pur și simplu pun întrebarea: cu cât trebuie înmulțit numitorul, astfel încât rezultatul să fie unul cu zerouri (10 sau 100 sau 1000 etc.). Și apoi numărătorul este înmulțit cu același număr.

Deci, în caz că A)(exemplul 2) din numărul 20 puteți obține 100 înmulțind cu 5, prin urmare, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 5.

Când b)(exemplul 2) din numărul 8 nu se va obține numărul 100, dar numărul 1000 se obține prin înmulțirea cu 125. Atât numărătorul (3) cât și numitorul (8) al fracției se înmulțesc cu 125.

Când V)(exemplul 2) de la 25 obțineți 100 dacă înmulțiți cu 4. Aceasta înseamnă că numărătorul 8 trebuie înmulțit cu 4.

Se numește o fracție zecimală infinită în care una sau mai multe cifre se repetă invariabil în aceeași succesiune periodic ca zecimală. Setul de cifre care se repetă se numește perioada acestei fracții. Pentru concizie, perioada unei fracții se scrie o singură dată, cuprinsă între paranteze.

Când b)(exemplul 1) există o singură cifră care se repetă și este egală cu 6. Prin urmare, rezultatul nostru 0,66... va fi scris astfel: 0,(6) . S-au citit: zero punct, șase în punct.

Dacă există una sau mai multe cifre care nu se repetă între punctul zecimal și prima perioadă, atunci o astfel de fracție periodică se numește fracție periodică mixtă.

O fracție comună ireductibilă al cărei numitor este împreună cu alţii multiplicatorul conține multiplicatorul 2 sau 5 , devine amestecat fracție periodică.

Scrie numerele ca zecimale.

Zecimal fracțiune- varietate fractii, care are un număr „rotund” la numitor: 10, 100, 1000 etc., De exemplu, fracțiune 5/10 are o notație zecimală de 0,5. Pe baza acestui principiu, fracțiune poate fi reprezentat în formă zecimal fractii.

Instrucțiuni

Să spunem că trebuie să ne imaginăm formă zecimal fracțiune 18/25.
Mai întâi trebuie să vă asigurați că unul dintre numerele „rotunde” apare la numitor: 100, 1000 etc. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți numitorul cu 4. Dar va trebui să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu 4.

Înmulțirea numărătorului și numitorului fractii 18/25 cu 4, rezultă 72/100. Aceasta este înregistrată fracțiuneîn zecimală formă deci: 0,72.

În matematică, o fracție este un număr rațional egal cu una sau mai multe părți în care este împărțită unitatea. În acest caz, înregistrarea fracției trebuie să conțină o indicație a două numere: unul dintre ele indică exact în câte acțiuni a fost împărțită unitatea la crearea acestei fracții, iar celălalt indică câte dintre aceste acțiuni include fracția. Dacă aceste două numere sunt scrise ca numărător și numitor separate printr-o linie, atunci acest format de înregistrare se numește fracție „comună”. Cu toate acestea, există un alt format pentru scrierea fracțiilor numit „zecimal”.

Forma cu trei etaje de scriere a numerelor, în care numitorul este situat deasupra numărătorului și există și o linie de despărțire între ele, nu este întotdeauna convenabilă. Acest inconvenient a început să se manifeste în special odată cu răspândirea masivă a computerelor personale. Forma zecimală de reprezentare a fracțiilor nu are acest dezavantaj - nu necesită specificarea numărătorului, deoarece prin definiție este întotdeauna egală cu zece cu puterea negativă. Prin urmare, un număr fracționar poate fi scris pe o singură linie, deși lungimea lui în majoritatea cazurilor va fi mult mai mare decât lungimea fracției obișnuite corespunzătoare.

Un alt avantaj al scrierii numerelor ca zecimale este că sunt mult mai ușor de comparat. Deoarece numitorul fiecărei cifre a două astfel de numere este același, este suficient să comparați doar două cifre ale cifrelor corespunzătoare, în timp ce atunci când comparați fracțiile obișnuite este necesar să luați în considerare atât numărătorul, cât și numitorul fiecăreia dintre ele. Acest avantaj este important nu numai pentru oameni, ci și pentru computere - compararea numerelor în format zecimal este destul de ușor de programat.

Există reguli vechi de secole pentru adunare, înmulțire și alte operații matematice care vă permit să faceți calcule pe hârtie sau în cap cu numere în format zecimal. Acesta este un alt avantaj al acestui format față de fracțiile obișnuite. Deși odată cu dezvoltarea tehnologiei informatice, atunci când până și ceasurile au un calculator, acesta devine din ce în ce mai puțin vizibil.

Avantajele descrise ale formatului zecimal pentru înregistrarea numerelor fracționale arată că scopul său principal este de a simplifica lucrul cu mărimi matematice. Acest format are și dezavantaje - de exemplu, pentru a scrie fracții periodice într-o fracție zecimală, trebuie să adăugați și un număr în paranteze, iar numerele neraționale în format zecimal au întotdeauna o valoare aproximativă. Cu toate acestea, la nivelul actual de dezvoltare a oamenilor și a tehnologiilor lor, este mult mai convenabil de utilizat decât formatul obișnuit pentru scrierea fracțiilor.

În acest articol vom vedea cum conversia fracțiilor în zecimale, și luați în considerare, de asemenea, procesul invers - conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite. Aici vom schița regulile de conversie a fracțiilor și vom oferi soluții detaliate la exemple tipice.

Navigare în pagină.

Conversia fracțiilor în zecimale

Să notăm succesiunea în care ne vom ocupa conversia fracțiilor în zecimale.

În primul rând, ne vom uita la cum să reprezentăm fracții cu numitorii 10, 100, 1.000, ... ca zecimale. Acest lucru se explică prin faptul că fracțiile zecimale sunt în esență o formă compactă de scriere a fracțiilor obișnuite cu numitori 10, 100, ....

După aceea, vom merge mai departe și vom arăta cum se scrie orice fracție obișnuită (nu doar cele cu numitorii 10, 100, ...) ca fracție zecimală. Când fracțiile obișnuite sunt tratate în acest fel, se obțin atât fracții zecimale finite, cât și fracții zecimale periodice infinite.

Acum să vorbim despre totul în ordine.

Conversia fracțiilor comune cu numitorii 10, 100, ... în zecimale

Unele fracții adecvate necesită „pregătire preliminară” înainte de a fi convertite în zecimale. Acest lucru se aplică fracțiilor obișnuite, numărul de cifre al căror numărător este mai mic decât numărul de zerouri din numitor. De exemplu, fracția comună 2/100 trebuie mai întâi pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală, dar fracția 9/10 nu necesită nicio pregătire.

„Pregătirea preliminară” a fracțiilor ordinare adecvate pentru conversia în fracții zecimale constă în adăugarea atât de multe zerouri la stânga în numărător, încât numărul total de cifre de acolo devine egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, o fracție după adăugarea zerourilor va arăta ca .

Odată ce ați pregătit o fracție adecvată, puteți începe să o transformați într-o zecimală.

Să dăm regula pentru transformarea unei fracții comune propriu-zise cu un numitor de 10, sau 100, sau 1.000, ... într-o fracție zecimală. Acesta constă din trei etape:

scrie 0;
după el punem o virgulă zecimală;
Notăm numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate, dacă le-am adăugat).

Să luăm în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Transformați fracția proprie 37/100 într-o zecimală.

Soluţie.

Numitorul conține numărul 100, care are două zerouri. Numătorul conține numărul 37, notația sa are două cifre, prin urmare, această fracție nu trebuie să fie pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală.

Acum scriem 0, punem virgulă zecimală și scriem numărul 37 de la numărător și obținem fracția zecimală 0,37.

Răspuns:

0,37 .

Pentru a consolida abilitățile de conversie a fracțiilor ordinare proprii cu numărătorii 10, 100, ... în fracții zecimale, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția proprie 107/10.000.000 ca zecimală.

Soluţie.

Numărul de cifre din numărător este 3, iar numărul de zerouri din numitor este 7, așa că această fracție comună trebuie pregătită pentru conversia într-o zecimală. Trebuie să adăugăm 7-3=4 zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. Primim.

Tot ce rămâne este să creați fracția zecimală necesară. Pentru a face acest lucru, în primul rând, scriem 0, în al doilea rând, punem o virgulă, în al treilea rând, scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile 0000107, ca urmare avem o fracție zecimală 0,0000107.

Răspuns:

0,0000107 .

Fracțiile improprii nu necesită nicio pregătire atunci când se convertesc în zecimale. Ar trebui respectate următoarele reguli de conversie a fracțiilor improprii cu numitorii 10, 100, ... în zecimale:

notează numărul de la numărător;
Folosim virgulă zecimală pentru a separa atâtea cifre din dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Să ne uităm la aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția improprie 56.888.038.009/100.000 într-o zecimală.

Soluţie.

În primul rând, notăm numărul de la numărătorul 56888038009, iar în al doilea rând, separăm cele 5 cifre din dreapta cu un punct zecimal, deoarece numitorul fracției originale are 5 zerouri. Ca rezultat, avem fracția zecimală 568880,38009.

Răspuns:

568 880,38009 .

Pentru a converti un număr mixt într-o fracție zecimală, al cărei numitor al părții fracționale este numărul 10, sau 100, sau 1.000, ..., puteți converti numărul mixt într-o fracție ordinară improprie și apoi convertiți rezultatul fracție într-o fracție zecimală. Dar puteți folosi și următoarele regula pentru conversia numerelor mixte cu numitorul fracționar de 10, sau 100, sau 1.000, ... în fracții zecimale:

dacă este necesar, efectuăm „pregătirea preliminară” a părții fracționale a numărului mixt original prin adăugarea numărului necesar de zerouri la stânga în numărător;
notează partea întreagă a numărului mixt original;
pune virgulă zecimală;
Notăm numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate.

Să ne uităm la un exemplu în care parcurgem toți pașii necesari pentru a reprezenta un număr mixt ca fracție zecimală.

Exemplu.

Convertiți numărul mixt într-o zecimală.

Soluţie.

Numitorul părții fracționale are 4 zerouri, dar numărătorul conține numărul 17, format din 2 cifre, prin urmare, trebuie să adăugăm două zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri la numitor. După ce a făcut acest lucru, numărătorul va fi 0017.

Acum notăm partea întreagă a numărului original, adică numărul 23, punem un punct zecimal, după care scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate, adică 0017, și obținem zecimala dorită. fracția 23,0017.

Să scriem pe scurt întreaga soluție: .

Desigur, a fost posibil să se reprezinte mai întâi numărul mixt ca o fracție improprie și apoi să-l convertească într-o fracție zecimală. Cu această abordare, soluția arată astfel: .

Răspuns:

23,0017 .

Conversia fracțiilor în zecimale periodice finite și infinite

Puteți converti nu numai fracțiile obișnuite cu numitorii 10, 100, ... într-o fracție zecimală, ci și fracțiile obișnuite cu alți numitori. Acum ne vom da seama cum se face acest lucru.

În unele cazuri, fracția ordinară inițială este ușor redusă la unul dintre numitorii 10, sau 100, sau 1.000, ... (vezi aducerea unei fracții obișnuite la un nou numitor), după care nu este dificil să se reprezinte fracția rezultată ca fracție zecimală. De exemplu, este evident că fracția 2/5 poate fi redusă la o fracție cu numitorul 10, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2, ceea ce va da fracția 4/10, care, conform regulile discutate în paragraful anterior, este ușor convertită în fracția zecimală 0, 4 .

În alte cazuri, trebuie să utilizați o altă metodă de conversie a unei fracții obișnuite într-o zecimală, pe care acum o luăm în considerare.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, numărătorul fracției este împărțit la numitor, numărătorul este mai întâi înlocuit cu o fracție zecimală egală cu orice număr de zerouri după virgulă zecimală (am vorbit despre asta în secțiunea egal și fracții zecimale inegale). În acest caz, împărțirea se efectuează în același mod ca și împărțirea printr-o coloană de numere naturale, iar în cât se pune un punct zecimal când se termină împărțirea întregii părți a dividendului. Toate acestea vor deveni clare din soluțiile la exemplele prezentate mai jos.

Exemplu.

Transformați fracția 621/4 într-o zecimală.

Soluţie.

Să reprezentăm numărul din numărătorul 621 ca o fracție zecimală, adăugând un punct zecimal și câteva zerouri după el. Mai întâi, să adăugăm 2 cifre 0, mai târziu, dacă este necesar, putem adăuga oricând mai multe zerouri. Deci avem 621,00.

Acum să împărțim numărul 621.000 la 4 cu o coloană. Primii trei pași nu diferă de împărțirea numerelor naturale la o coloană, după care ajungem la următoarea imagine:

Așa ajungem la punctul zecimal al dividendului, iar restul este diferit de zero. În acest caz, punem un punct zecimal în coeficient și continuăm împărțirea într-o coloană, fără să acordăm atenție virgulelor:

Aceasta completează împărțirea și, ca rezultat, obținem fracția zecimală 155,25, care corespunde fracției ordinare inițiale.

Răspuns:

155,25 .

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Convertiți fracția 21/800 într-o zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti această fracție comună într-o zecimală, împărțim cu o coloană a fracției zecimale 21.000... la 800. După primul pas, va trebui să punem o virgulă zecimală în coeficient și apoi să continuăm împărțirea:

În cele din urmă, am primit restul 0, aceasta completează conversia fracției comune 21/400 într-o fracție zecimală și am ajuns la fracția zecimală 0,02625.

Răspuns:

0,02625 .

Se poate întâmpla ca atunci când împărțim numărătorul la numitorul unei fracții obișnuite, să nu obținem tot restul de 0. În aceste cazuri, împărțirea poate fi continuată pe termen nelimitat. Totuși, începând de la un anumit pas, resturile încep să se repete periodic, iar numerele din coeficient se repetă și ele. Aceasta înseamnă că fracția originală este convertită într-o fracție zecimală infinit periodică. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplu.

Scrie fracția 19/44 ca zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, efectuați împărțirea pe coloană:

Este deja clar că în timpul împărțirii reziduurile 8 și 36 au început să se repete, în timp ce în coeficient se repetă numerele 1 și 8. Astfel, fracția comună inițială 19/44 este convertită într-o fracție zecimală periodică 0,43181818...=0,43(18).

Răspuns:

0,43(18) .

Pentru a încheia acest punct, ne vom da seama care fracții obișnuite pot fi convertite în fracții zecimale finite și care pot fi convertite doar în fracții periodice.

Să avem în fața noastră o fracție ordinară ireductibilă (dacă fracția este reductibilă, atunci mai întâi reducem fracția) și trebuie să aflăm în ce fracție zecimală poate fi convertită - finită sau periodică.

Este clar că dacă o fracție obișnuită poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1.000, ..., atunci fracția rezultată poate fi ușor convertită într-o fracție zecimală finală conform regulilor discutate în paragraful anterior. Dar la numitorii 10, 100, 1.000 etc. Nu sunt date toate fracțiile obișnuite. Doar fracțiile ai căror numitori sunt cel puțin unul dintre numerele 10, 100, ... pot fi reduse la astfel de numitori.Și ce numere pot fi divizori ai lui 10, 100, ...? Numerele 10, 100, ... ne vor permite să răspundem la această întrebare și sunt următoarele: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Rezultă că divizorii sunt 10, 100, 1.000 etc. Pot exista doar numere ale căror descompunere în factori primi conțin doar numerele 2 și (sau) 5.

Acum putem face o concluzie generală despre conversia fracțiilor obișnuite în zecimale:

dacă în descompunerea numitorului în factori primi sunt prezente doar numerele 2 și (sau) 5, atunci această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală finală;
dacă, în plus față de doi și cinci, există și alte numere prime în expansiunea numitorului, atunci această fracție este convertită într-o fracție periodică zecimală infinită.

Exemplu.

Fără a converti fracțiile obișnuite în zecimale, spuneți-mi care dintre fracțiile 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 poate fi convertită într-o fracție zecimală finală și care pot fi convertite doar într-o fracție periodică.

Soluţie.

Numitorul fracției 47/20 este factorizat în factori primi ca 20=2·2·5. În această expansiune există doar doi și cinci, astfel încât această fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1.000, ... (în acest exemplu, la numitorul 100), prin urmare, poate fi convertită la o zecimală finală. fracțiune.

Descompunerea numitorului fracției 7/12 în factori primi are forma 12=2·2·3. Deoarece conține un factor prim de 3, diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o zecimală finită, ci poate fi convertită într-o zecimală periodică.

Fracțiune 21/56 – contractil, după contracție ia forma 3/8. Factorizarea numitorului în factori primi conține trei factori egali cu 2, prin urmare, fracția comună 3/8 și, prin urmare, fracția egală 21/56, poate fi convertită într-o fracție zecimală finală.

În cele din urmă, expansiunea numitorului fracției 31/17 este însăși 17, prin urmare această fracție nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finită, ci poate fi convertită într-o fracție periodică infinită.

Răspuns:

47/20 și 21/56 pot fi convertite într-o fracție zecimală finită, dar 7/12 și 31/17 pot fi convertite doar într-o fracție periodică.

Fracțiile obișnuite nu se convertesc în zecimale infinite neperiodice

Informațiile din paragraful anterior dau naștere la întrebarea: „În împărțirea numărătorului unei fracții la numitor poate rezulta o fracție neperiodică infinită?”

Raspuns: nu. Când convertiți o fracție comună, rezultatul poate fi fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Să explicăm de ce este așa.

Din teorema privind divizibilitatea cu rest, este clar că restul este întotdeauna mai mic decât divizorul, adică dacă împărțim un număr întreg la un întreg q, atunci restul poate fi doar unul dintre numerele 0, 1, 2. , ..., q−1. Rezultă că după ce coloana a încheiat împărțirea părții întregi a numărătorului unei fracții ordinare la numitorul q, în cel mult q pași va apărea una dintre următoarele două situații:

sau vom obține un rest de 0, aceasta va încheia împărțirea și vom obține fracția zecimală finală;
sau vom obține un rest care a apărut deja înainte, după care resturile vor începe să se repete ca în exemplul anterior (deoarece la împărțirea numerelor egale la q se obțin resturi egale, ceea ce reiese din teorema de divizibilitate deja menționată), aceasta va rezulta o fracție zecimală periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni, prin urmare, la conversia unei fracțiuni obișnuite într-o fracție zecimală, nu se poate obține o fracție zecimală neperiodică infinită.

Din raționamentul dat în acest paragraf mai rezultă că lungimea perioadei unei fracții zecimale este întotdeauna mai mică decât valoarea numitorului fracției ordinare corespunzătoare.

Conversia zecimale în fracții

Acum să ne dăm seama cum să convertim o fracție zecimală într-o fracție obișnuită. Să începem prin a converti fracțiile zecimale finale în fracții obișnuite. După aceasta, vom lua în considerare o metodă de inversare a fracțiilor zecimale periodice infinite. În concluzie, să spunem despre imposibilitatea transformării fracțiilor zecimale neperiodice infinite în fracții obișnuite.

Conversia zecimalelor finale în fracții

Obținerea unei fracții care este scrisă ca zecimală finală este destul de simplă. Regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-o fracție comună constă din trei etape:

în primul rând, scrieți fracția zecimală dată în numărător, după ce ați aruncat anterior punctul zecimal și toate zerourile din stânga, dacă există;
în al doilea rând, scrieți unul la numitor și adăugați-i atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă zecimală în fracția zecimală originală;
în al treilea rând, dacă este necesar, reduceți fracția rezultată.

Să ne uităm la soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Convertiți zecimala 3,025 într-o fracție.

Soluţie.

Dacă eliminăm punctul zecimal din fracția zecimală inițială, obținem numărul 3.025. Nu există zerouri în stânga pe care le-am arunca. Deci, scriem 3.025 la numărătorul fracției dorite.

Scriem numărul 1 la numitor și adăugăm 3 zerouri în dreapta acestuia, deoarece în fracția zecimală inițială există 3 cifre după virgulă.

Deci avem fracția comună 3.025/1.000. Această fracție poate fi redusă cu 25, obținem .

Răspuns:

Exemplu.

Convertiți fracția zecimală 0,0017 într-o fracție.

Soluţie.

Fără virgulă zecimală, fracția zecimală originală arată ca 00017, eliminând zerourile din stânga obținem numărul 17, care este numărătorul fracției ordinare dorite.

Scriem unul cu patru zerouri la numitor, deoarece fracția zecimală originală are 4 cifre după virgulă.

Ca urmare, avem o fracție obișnuită 17/10.000. Această fracție este ireductibilă, iar conversia unei fracții zecimale într-o fracție obișnuită este completă.

Răspuns:

Când partea întreagă a fracției zecimale finale inițiale este diferită de zero, poate fi convertită imediat într-un număr mixt, ocolind fracția comună. Să dăm regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-un număr mixt:

numărul înainte de virgulă zecimală trebuie scris ca o parte întreagă a numărului mixt dorit;
în numărătorul părții fracționale trebuie să scrieți numărul obținut din partea fracțională a fracției zecimale inițiale după ce ați aruncat toate zerourile din stânga;
în numitorul părții fracționale trebuie să scrieți numărul 1, la care adăugați atâtea zerouri la dreapta câte cifre sunt după virgulă zecimală în fracția zecimală originală;
dacă este necesar, reduceți partea fracțională a numărului mixt rezultat.

Să ne uităm la un exemplu de conversie a unei fracții zecimale într-un număr mixt.

Exemplu.

Exprimați fracția zecimală 152,06005 ca număr mixt

O fracție zecimală este o fracție în care numitorul este o putere naturală a lui 10. Aceasta, de exemplu, este fracția. Această fracție poate fi scrisă sub următoarea formă: notează cifrele numărătorului pe o linie și separă cât mai multe dintre ele cu virgulă la dreapta, deoarece există zerouri în numitor, și anume:

Într-o astfel de notație, numerele din stânga zecimalei formează partea întreagă, iar numerele din dreapta zecimalei formează partea fracțională a fracției zecimale date.

Fie p/q un număr rațional pozitiv. Din aritmetică, procesul de împărțire este bine cunoscut, permițându-vă să reprezentați un număr ca o fracție zecimală. Esența procesului de împărțire este de a găsi mai întâi cel mai mare număr întreg de ori q este conținut în p; dacă p este un multiplu al lui q, atunci aici se termină procesul de împărțire. În caz contrar, apare un rest. Apoi, ei află câte zecimi de q conține acest reziduu, iar la acest pas procesul se poate termina, sau va apărea un nou reziduu. În acest din urmă caz, găsiți câte sutimi de q conține, etc.

Dacă numitorul q nu are alți factori primi decât 2 sau 5, atunci după un număr finit de pași restul va fi egal cu zero, procesul de împărțire se va încheia și fracția obișnuită dată se va transforma într-o fracție zecimală finală. De fapt, în acest caz, este întotdeauna posibil să se selecteze un număr întreg astfel încât după înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții date cu acesta, să se obțină o fracție egală, în care numitorul va reprezenta o putere naturală de zece. De exemplu, aceasta este fracția

care poate fi reprezentat astfel:

Totuși, fără a face aceste transformări, împărțind numărătorul la numitor, cititorul va obține același rezultat:

Dacă numitorul unei fracții ireductibile are cel puțin un divizor prim altul decât 2 sau 5, atunci procesul de împărțire cu q nu se va încheia niciodată (niciunul dintre resturile ulterioare nu va ajunge la zero).

După ce am efectuat împărțirea, găsim

Pentru a scrie rezultatul obținut în acest exemplu, numerele repetate periodice 0 și 6 sunt incluse în paranteze și scrise:

În acest exemplu și în alte cazuri similare, acțiunea de împărțire nu are ca rezultat un rezultat final ca zecimală. Este posibil, generalizând conceptul de fracție zecimală, să spunem totuși că câtul 965/132 este reprezentat de o fracție periodică infinită.Numerele care se repetă 06 se numesc perioada acestei fracții, iar numărul lor, egal în exemplul nostru, este durata perioadei.

Pentru a înțelege motivul fenomenului de periodicitate a unei fracții, să examinăm, de exemplu, procesul de împărțire la 7. Dacă împărțirea nu este complet efectuată, atunci apare un rest, care poate avea doar una dintre următoarele valori: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Și la fiecare dintre pașii următori restul va avea din nou una dintre aceste șase valori. Prin urmare, nu mai târziu de pasul al șaptelea, vom întâlni inevitabil una dintre valorile rămase care au apărut deja înainte. Începând din acest punct, procesul de împărțire va deveni periodic. Atât valorile soldurilor, cât și numerele coeficientului se vor repeta periodic. Același raționament se aplică oricărui alt divizor.

Astfel, fiecare fracție obișnuită este reprezentată ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită. Este remarcabil că, invers, fiecare fracție zecimală periodică poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită. Să arătăm cum se realizează această acțiune. În acest caz, se utilizează formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare (clauza 92).

poate fi inteles astfel:

aici termenii din dreapta, începând de la al doilea, formează o progresie geometrică infinită cu numitorul și primul termen

Folosind formula (92.2):

Este clar că același proces va permite oricărei fracții periodice infinite date să fie reprezentată sub forma unei fracții obișnuite (și, după cum se poate arăta, tocmai aceea din care, în procesul de împărțire, fracția periodică infinită dată în se obţine rândul). Cu toate acestea, există o excepție aici. Luați în considerare fracția

și aplicați procesul de transformare într-o fracție comună:

Am ajuns la numărul 1/2, care pare a fi o fracție zecimală finită

Un rezultat similar se va obține ori de câte ori perioada unei fracții infinite date are forma (9). Prin urmare, identificăm perechi de numere, cum ar fi, de exemplu,

Uneori este util să permiteți și înregistrările formularului

reprezentând formal fracții zecimale finite ca infinite cu perioada (0).

Tot ceea ce s-a spus despre conversia unei fracții obișnuite într-o fracție zecimală periodică și invers s-a aplicat numerelor raționale pozitive. În cazul unui număr negativ, o puteți face în două moduri.

1) Luați numărul pozitiv opus numărului negativ dat, convertiți-l într-o zecimală și apoi puneți semnul minus în fața lui. De exemplu, pentru - 5/3 obținem

2) Prezentați un număr rațional negativ dat ca sumă a părții sale întregi (negative) și a părții sale fracționale (nenegative), apoi convertiți numai această parte fracțională a numărului într-o fracție zecimală. De exemplu:

Pentru a scrie numerele prezentate ca suma dintre părțile lor întregi negative și o fracție zecimală finită sau infinită, se acceptă următoarea notație (o formă artificială de scriere a unui număr negativ):

Aici semnul minus este plasat nu în fața întregii fracții, ci deasupra întregii sale părți, pentru a sublinia că numai întreaga parte este negativă, iar partea fracțională care urmează virgulei zecimale este pozitivă.

Această notație creează uniformitate în notația fracțiilor zecimale pozitive și negative și va fi folosită în viitor în teoria logaritmilor zecimali (secțiunea 28). Pentru practică, invităm cititorul să verifice trecerea de la o înregistrare la alta în exemple:

Acum putem formula concluzia finală: fiecare număr rațional poate fi reprezentat printr-o fracție periodică zecimală infinită și, invers, fiecare astfel de fracție specifică un număr rațional. Fracția zecimală finită permite și două forme de scriere sub forma unei fracții zecimale infinite: cu punct (0) și cu punct (9).

Deja în școala elementară, elevii sunt expuși la fracții. Și apoi apar în fiecare subiect. Nu poți uita acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte nu sunt complicate, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viața de zi cu zi îi împinge în mod constant pe oameni să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata este formată din mai multe bucăți. Luați în considerare o situație în care țigla lui este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Poate fi împărțit cu ușurință în trei. Dar nu va fi posibil să oferi cinci persoane un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unei unități. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Ceea ce este în jos (dreapta) este numitorul.

În esență, slash-ul se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Ce fracții există?

În matematică există doar două tipuri: fracții ordinare și zecimale. Elevii se familiarizează cu primii din școala elementară, numindu-i pur și simplu „fracții”. Acesta din urmă se va învăța în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o linie. De exemplu, 4/7. O zecimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de numărul întreg printr-o virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să înțeleagă clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca fracție comună.

Ce subtipuri au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începeți în ordine cronologică, pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul său.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul său.

Reductibil/ireductibil. Se poate dovedi a fi corect sau greșit. Un alt lucru important este dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci este necesar să împărțiți ambele părți ale fracției cu ele, adică să o reduceți.

Amestecat. Un număr întreg este alocat părții sale fracționale obișnuite (neregulate). Mai mult, este mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite între ele. Adică conține trei linii fracționale simultan.

Fracțiile zecimale au doar două subtipuri:

finit, adică unul a cărui parte fracțională este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere pe baza regulii - după cum aud, așa că scriu. Adică, trebuie să o citiți corect și să o scrieți, dar fără virgulă, dar cu o bară fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, trebuie să vă amintiți că este întotdeauna unul și mai multe zerouri. Trebuie să scrieți atâtea dintre acestea din urmă câte cifre există în partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă partea lor întreagă lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Tot ce rămâne este să notăm părțile fracționale. Primul număr va avea numitorul 10, al doilea va avea numitorul 100. Adică, exemplele date vor avea următoarele numere ca răspuns: 9/10, 5/100. Mai mult, se pare că acesta din urmă poate fi redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris ca 1/20.

Cum puteți converti o fracție zecimală într-o fracție obișnuită dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. În ambele exemple, întreaga parte este citită și valoarea ei este scrisă. În primul caz este 5, în al doilea este 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Aceeași operațiune ar trebui să fie efectuată cu ei. Primul număr apare 23/100, al doilea - 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul oferă următoarele fracții mixte: 5 23/100 și 13 27/25000.

Cum se transformă o fracție zecimală infinită într-o fracție obișnuită?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu va fi posibilă. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită într-o fracție finită sau periodică.

Singurul lucru pe care îl poți face cu o astfel de fracție este rotunjirea ei. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: convertirea în zecimală nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt convertite în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită ca fracție obișnuită?

În aceste numere, există întotdeauna una sau mai multe cifre după virgulă zecimală care se repetă. Ele sunt numite o perioadă. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” este în perioada. Ele sunt clasificate drept raționale deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracționată începe cu câteva numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită ca fracție comună va fi diferită pentru cele două tipuri de numere indicate. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finite, acestea trebuie convertite: notați perioada la numărător, iar numitorul va fi numărul 9, repetat de câte ori numărul de cifre conține perioada.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să începeți imediat cu partea fracțională. Scrie 5 ca numărător și 9 ca numitor, adică răspunsul va fi fracția 5/9.

Regula despre cum se scrie o fracție periodică zecimală obișnuită care este amestecată.

Uită-te la durata perioadei. Cam atat va avea numitorul.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența dintre două numere. Toate numerele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Deductibilă - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului conține o cifră. Deci va fi un zero. Există, de asemenea, un singur număr în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scădeți 5 din 58. Rezultă 53. De exemplu, ar trebui să scrieți răspunsul ca 53/90.

Cum se convertesc fracțiile în zecimale?

Cea mai simplă opțiune este un număr al cărui numitor este numărul 10, 100 etc. Apoi numitorul este pur și simplu aruncat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Trebuie doar să înmulțiți nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă este utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri posibile: o fracție zecimală finită sau periodică.

Operații cu fracții obișnuite

Adunare si scadere

Elevii se familiarizează cu ei mai devreme decât alții. Mai mult, la început fracțiile au aceiași numitori, apoi au alții diferiți. Regulile generale pot fi reduse la acest plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii specificați pentru ei.

Adunați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflăm dacă avem un număr mixt sau o fracție proprie.

În primul caz, trebuie să împrumutați unul din întreaga parte. Adaugă numitorul la numărătorul fracției. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea, este necesar să se aplice regula scăderii unui număr mai mare dintr-un număr mai mic. Adică, din modulul subtraendului, scădeți modulul minuendului și, ca răspuns, puneți semnul „-”.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a le efectua, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru facilitează efectuarea acțiunilor. Dar încă vă cer să respectați regulile.

Când înmulțiți fracții, trebuie să vă uitați la numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă rezultatul este o fracție reductibilă, atunci trebuie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu fracția reciprocă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând de la punctul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.

Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți converti oricând o zecimală într-o fracție. Și acționează conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Adăugați numărul de zerouri lipsă.

Scrieți fracțiile astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru a înmulți, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, ignorând virgulele.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul drept al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să transformați divizorul: faceți-l un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o fracție zecimală la un număr natural.

Pune o virgulă în răspunsul tău în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.

Ce se întâmplă dacă un exemplu conține ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. În astfel de sarcini există două soluții posibile. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel optim.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă diviziunea sau translația rezultă în fracții finite. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

Al doilea mod: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică se dovedește a fi convenabilă dacă partea de după virgulă zecimală conține 1-2 cifre. Dacă sunt mai multe, s-ar putea să ajungeți la o fracție comună foarte mare, iar notația zecimală va face sarcina mai rapidă și mai ușor de calculat. Prin urmare, trebuie întotdeauna să evaluați cu atenție sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.