Үшбұрышты қоршап тұрған шеңбер.Шеңберге сызылған үшбұрыш. Синус теоремасы. Түзу кесіндісіне перпендикуляр биссектрисаның қасиеттері. Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі мен перпендикуляр биссектрисаларының қиылысу нүктесі c қанша градусқа тең

Үшбұрышта төрт тамаша нүкте деп аталатындар бар: медианалардың қиылысу нүктесі. Бисектрисалардың қиылысу нүктесі, биіктіктердің қиылысу нүктесі және перпендикуляр биссектрисалардың қиылысу нүктесі. Олардың әрқайсысын қарастырайық.

Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі

1-теорема

Үшбұрыштың медианаларының қиылысында: Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады және қиылысу нүктесін шыңынан бастап $2:1$ қатынасында бөледі.

Дәлелдеу.

$ABC$ үшбұрышын қарастырайық, мұндағы $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ оның медианасы. Өйткені медианалар қабырғаларды екіге бөледі. Қарастырыңыз ортаңғы сызық$A_1B_1$ (1-сурет).

Сурет 1. Үшбұрыштың медианалары

1-теорема бойынша $AB||A_1B_1$ және $AB=2A_1B_1$, демек $\бұрыш ABB_1=\бұрыш BB_1A_1,\ \бұрыш BAA_1=\бұрыш AA_1B_1$. Демек, $ABM$ және $A_1B_1M$ үшбұрыштары бірінші үшбұрыштың ұқсастық критерийіне сәйкес ұқсас. Содан кейін

Сол сияқты, бұл дәлелденген

Теорема дәлелденді.

Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі

2-теорема

Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысында: Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.

Дәлелдеу.

$ABC$ үшбұрышын қарастырайық, мұндағы $AM,\BP,\CK$ оның биссектрисалары. $O$ нүктесі $AM\ және\ BP$ биссектрисаларының қиылысу нүктесі болсын. Осы нүктеден үшбұрыштың қабырғаларына перпендикуляр сызыңыз (2-сурет).

Сурет 2. Үшбұрыштың биссектрисалары

Теорема 3

Кеңеймеген бұрыштың биссектрисасының әрбір нүктесі оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан.

3-теорема бойынша бізде: $OX=OZ,\ OX=OY$. Демек $OY=OZ$. Демек, $O$ нүктесі $ACB$ бұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтықта және сондықтан оның $CK$ биссектрисасында жатыр.

Теорема дәлелденді.

Үшбұрыштың перпендикуляр биссектрисаларының қиылысу нүктесі

Теорема 4

Үшбұрыштың қабырғаларының перпендикуляр биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.

Дәлелдеу.

$ABC$ үшбұрышына оның перпендикуляр биссектрисалары $n,\ m,\ p$ берілсін. $O$ нүктесі $n\ және\ m$ перпендикуляр биссектрисаларының қиылысу нүктесі болсын (3-сурет).

Сурет 3. Үшбұрыштың перпендикуляр биссектрисалары

Дәлелдеу үшін бізге келесі теорема қажет.

5-теорема

Кесіндіге перпендикуляр биссектрисаның әрбір нүктесі берілген кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан.

3-теорема бойынша бізде: $OB=OC,\ OB=OA$. Демек $OA=OC$. Бұл $O$ нүктесі $AC$ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта және, демек, оның $p$ перпендикуляр биссектрисасында жатқанын білдіреді.

Теорема дәлелденді.

Үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі

Теорема 6

Үшбұрыштың биіктіктері немесе олардың ұзартулары бір нүктеде қиылысады.

Дәлелдеу.

$ABC$ үшбұрышын қарастырайық, мұндағы $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ оның биіктігі. Үшбұрыштың әрбір төбесінен төбеге қарама-қарсы жаққа параллель түзу жүргізіңіз. Біз $A_2B_2C_2$ жаңа үшбұрышын аламыз (4-сурет).

Сурет 4. Үшбұрыштың биіктіктері

$AC_2BC$ және $B_2ABC$ ортақ қабырғасы бар параллелограммдар болғандықтан, $AC_2=AB_2$, яғни $A$ нүктесі $C_2B_2$ қабырғасының ортасы болады. Сол сияқты $B$ нүктесі $C_2A_2$ қабырғасының ортасы, ал $C$ нүктесі $A_2B_2$ жағының ортасы екенін аламыз. Құрылымнан бізде $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ бар. Демек, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ $A_2B_2C_2$ үшбұрышының перпендикуляр биссектрисалары. Сонда 4-теорема бойынша $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ биіктіктері бір нүктеде қиылысады.

Планиметрия терминдерінің глоссарийі- Мұнда планиметриядан терминдердің анықтамалары жинақталған. Осы сөздіктегі терминдерге сілтемелер (осы бетте) курсивпен берілген. # A B C D E F F G I K L M N O P R S ... Уикипедия

коллинеар нүктелер

Бәсекеге қабілетті тікелей- Мұнда планиметриядан терминдердің анықтамалары жинақталған. Осы сөздіктегі терминдерге сілтемелер (осы бетте) курсивпен берілген. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Уикипедия

Аполлоний шеңбері- Мұнда планиметриядан терминдердің анықтамалары жинақталған. Осы сөздіктегі терминдерге сілтемелер (осы бетте) курсивпен берілген. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Уикипедия

Жазықтық түрлендіру- Мұнда планиметриядан терминдердің анықтамалары жинақталған. Осы сөздіктегі терминдерге сілтемелер (осы бетте) курсивпен берілген. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Уикипедия

Чевиана- Мұнда планиметриядан терминдердің анықтамалары жинақталған. Осы сөздіктегі терминдерге сілтемелер (осы бетте) курсивпен берілген. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Уикипедия

Планиметрия глоссарийі- Бұл бет глоссарий. Сондай-ақ негізгі мақаланы қараңыз: Планиметрия Мұнда планиметриядан алынған терминдердің анықтамалары жинақталған. Осы сөздіктегі терминдерге сілтемелер (осы бетте) курсивпен ... Wikipedia

Аполлоний мәселесі- Аполлонийдің тапсырмасы циркуль мен түзудің көмегімен берілген үш шеңберге жанама шеңбер салу. Аңыз бойынша, мәселені біздің дәуірімізге дейінгі 220 жылы Пергелік Аполлоний тұжырымдаған. e. жоғалған «Түртіп алу» кітабында ... Википедия

Аполлоний мәселесі- Аполлонийдің тапсырмасы циркуль мен түзудің көмегімен берілген үш шеңберге жанама шеңбер салу. Аңыз бойынша, мәселені біздің дәуірімізге дейінгі 220 жылы Пергелік Аполлоний тұжырымдаған. e. жоғалған, бірақ ... ... Википедия болған «Түртіп алу» кітабында

Вороной диаграммасы- жазықтықтағы нүктелердің кездейсоқ жиыны Жазықтықтағы S нүктелерінің ақырлы жиынының Вороной диаграммасы жазықтықтың осындай бөлімін көрсетеді, онда ka ... Wikipedia

Сегментке ортаңғы перпендикуляр

Анықтама 1. Сегментке ортаңғы перпендикулярдеп аталады, осы кесіндіге перпендикуляр және оның ортасынан өтетін түзу (1-сурет).

Теорема 1. Кесіндіге перпендикуляр биссектрисаның әрбір нүктесі болып табылады ұштарынан бірдей қашықтықта бұл сегмент.

Дәлелдеу. АВ кесіндісіне перпендикуляр биссектрисада жатқан ерікті D нүктесін қарастырайық (2-сурет) және ADC және BDC үшбұрыштарының тең екендігін дәлелдеңдер.

Шынында да, бұл үшбұрыштар AC және BC катеттері тең, ал DC катеттері ортақ болатын тік бұрышты үшбұрыштар. ADC және BDC үшбұрыштарының теңдігінен AD және DB сегменттерінің теңдігі шығады. 1-теорема дәлелденді.

2-теорема (1-теоремаға кері). Егер нүкте кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта болса, онда ол осы кесіндіге перпендикуляр биссектрисада жатады.

Дәлелдеу. 2-теореманы «қайшылық арқылы» әдісімен дәлелдейік. Осы мақсатта кейбір Е нүктесі кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта, бірақ осы кесіндіге перпендикуляр биссектрисада жатпайды делік. Бұл болжамды қайшылыққа келтірейік. Алдымен Е және А нүктелері перпендикуляр биссектрисаның қарама-қарсы қабырғаларында жатқан жағдайды қарастырайық (3-сурет). Бұл жағдайда EA кесіндісі перпендикуляр биссектрисаны қандай да бір нүктеде қиып өтеді, оны D әрпімен белгілейміз.

АЕ кесіндісі EB кесіндісінен ұзынырақ екенін дәлелдейік. Шынымен,

Сонымен, Е және А нүктелері перпендикуляр биссектрисаның қарама-қарсы қабырғаларында жатқан жағдайда, біз қайшылықты алдық.

Енді Е және А нүктелері перпендикуляр биссектрисаның бір жағында жатқан жағдайды қарастырайық (4-сурет). EB кесіндісі AE кесіндісінен ұзынырақ екенін дәлелдейміз. Шынымен,

Алынған қайшылық 2-теореманы дәлелдеуді аяқтайды

Үшбұрышты сызып тұрған шеңбер

Анықтама 2. Үшбұрышты қоршап тұрған шеңбер, үшбұрыштың барлық үш төбесінен өтетін шеңберді атаймыз (5-сурет). Бұл жағдайда үшбұрыш деп аталады шеңберге сызылған үшбұрышнемесе сызылған үшбұрыш.

Үшбұрышқа сызылған шеңбердің қасиеттері. Синус теоремасы

Сурет	Сурет салу	Меншік
Ортаңғы перпендикулярлар үшбұрыштың қабырғаларына		бір нүктеде қиылысады .
Орталық шеңбердің сүйір үшбұрышының айналасында сызылған		туралы баяндалған орталық өткір бұрышты ішінде үшбұрыш.
Орталық тікбұрышты үшбұрышқа сызылған шеңбер		туралы сипатталған орталық тікбұрышты гипотенузаның ортаңғы нүктесі .
Орталық шеңбердің доғал үшбұрышының айналасында сызылған		туралы баяндалған орталық доғал дөңгелек үшбұрыш жатыр сыртында үшбұрыш.
		,
Шаршы үшбұрыш		S= 2Р 2 күнә Акүнә Бкүнә C ,
Шектелген шеңбердің радиусы		Кез келген үшбұрыш үшін теңдік ақиқат:

Үшбұрыштың қабырғаларына ортаңғы перпендикулярлар

Барлық перпендикуляр биссектрисалар ерікті үшбұрыштың қабырғаларына сызылған, бір нүктеде қиылысады .

Үшбұрышты сызып тұрған шеңбер

Кез келген үшбұрышты шеңбермен қоршауға болады. . Үшбұрышқа сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген барлық перпендикуляр биссектрисалардың қиылысу нүктесі болып табылады.

Сүйір үшбұрышқа сызылған шеңбердің центрі

туралы баяндалған орталық өткір бұрышты дөңгелек үшбұрыш жатыр ішінде үшбұрыш.

Тік бұрышты үшбұрышқа сызылған шеңбердің ортасы

туралы сипатталған орталық тікбұрышты шеңбер үшбұрыш болып табылады гипотенузаның ортаңғы нүктесі .

Доғал үшбұрышқа сызылған шеңбердің ортасы

туралы баяндалған орталық доғал дөңгелек үшбұрыш жатыр сыртында үшбұрыш.

Кез келген үшбұрыш үшін теңдіктер жарамды (синус теоремасы): , мұндағы a, b, c – үшбұрыштың қабырғалары, A, B, C – үшбұрыштың бұрыштары, R – сызылған шеңбердің радиусы.

Үшбұрыштың ауданы

Кез келген үшбұрыш үшін теңдік ақиқат: S= 2Р 2 күнә Акүнә Бкүнә C , Мұндағы A, B, C – үшбұрыштың бұрыштары, S – үшбұрыштың ауданы, R – сызылған шеңбердің радиусы.

Шектелген шеңбердің радиусы

Кез келген үшбұрыш үшін теңдік ақиқат: Мұндағы a, b, c – үшбұрыштың қабырғалары, S – үшбұрыштың ауданы, R – сызылған шеңбердің радиусы.

Үшбұрышқа сызылған шеңбердің қасиеттері туралы теоремаларды дәлелдеу

Теорема 3. Ерікті үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген барлық орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.

Дәлелдеу. ABC үшбұрышының АС және АВ қабырғаларына жүргізілген екі перпендикуляр биссектрисаларды қарастырайық және олардың О әрпімен қиылысу нүктесін белгілеңіз (6-сурет).

О нүктесі AC кесіндісіне перпендикуляр биссектрисада жатқандықтан, 1-теореманың күшімен теңдік орындалады.

Өткен сабақта біз үшбұрышқа қоршалған және еркін бұрыштың биссектрисасының қасиеттерін қарастырдық. Үшбұрыш үш бұрышты қамтиды және олардың әрқайсысы үшін биссектрисаның қарастырылған қасиеттері сақталады.

Теорема:

Үшбұрыштың AA 1, BB 1, CC 1 биссектрисалары бір О нүктесінде қиылысады (1-сурет).

Күріш. 1. Теоремаға иллюстрация

Дәлелдеу:

BB 1 және СС 1 алғашқы екі биссектрисасын қарастырайық. Олар қиылысады, О қиылысу нүктесі бар. Мұны дәлелдеу үшін, керісінше делік: берілген биссектрисалар қиылыспасын, бұл жағдайда олар параллель болады. Сонда BC сызығы секант және бұрыштардың қосындысы болады , бұл бүкіл үшбұрышта бұрыштардың қосындысы болатынына қайшы келеді.

Сонымен, екі биссектрисаның қиылысуының О нүктесі бар. Оның қасиеттерін қарастырыңыз:

О нүктесі бұрыштың биссектрисасында жатыр, бұл оның BA және BC қабырғаларынан бірдей қашықтықта екенін білдіреді. Егер ОК ВС-қа перпендикуляр болса, OL BA перпендикуляр болса, онда бұл перпендикулярлардың ұзындықтары --ға тең болады. Сондай-ақ О нүктесі бұрыштың биссектрисасында жатыр және оның CB және CA қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан, OM және OK перпендикулярлары тең.

Біз келесі теңдіктерді алдық:

, яғни О нүктесінен үшбұрыштың қабырғаларына түсірілген барлық үш перпендикуляр бір-біріне тең.

Бізді OL және OM перпендикулярларының теңдігі қызықтырады. Бұл теңдік О нүктесінің бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта екенін айтады, демек ол АА 1 биссектрисасында жатыр.

Осылайша, үшбұрыштың үш биссектрисасы да бір нүктеде қиылысатынын дәлелдедік.

Сонымен қатар, үшбұрыш үш сегменттен тұрады, яғни бір сегменттің қасиеттерін қарастыру керек.

AB сегменті берілген. Кез келген кесіндінің ортасы бар, ал ол арқылы перпендикуляр жүргізілуі мүмкін - оны р деп белгілейміз. Сонымен p - перпендикуляр биссектриса.

Күріш. 2. Теоремаға иллюстрация

Перпендикуляр биссектрисада жатқан кез келген нүкте кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан.

Мұны дәлелдеңіз (Cурет 2).

Дәлелдеу:

Үшбұрыштарды және . Олар тікбұрышты және тең, өйткені олардың ортақ катеттері бар OM, ал AO және OB катеттері шарт бойынша тең, осылайша бізде екі катетінде тең екі тік бұрышты үшбұрыш бар. Осыдан үшбұрыштардың гипотенузалары да тең болады, яғни дәлелденуі тиіс болатын.

Керісінше теорема ақиқат.

Кесіндінің шеттерінен бірдей қашықтықта орналасқан әрбір нүкте осы кесіндіге перпендикуляр биссектрисада жатыр.

АВ кесіндісі берілген, оған перпендикуляр биссектриса р, М нүктесі кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан. М нүктесі кесіндіге перпендикуляр биссектрисада жатқанын дәлелдеңдер (3-сурет).

Күріш. 3. Теоремаға иллюстрация

Дәлелдеу:

Үшбұрышты қарастырайық. Бұл шарт бойынша тең қабырғалы. Үшбұрыштың медианасын қарастырайық: О нүктесі – АВ табанының ортасы, OM – медианасы. Мүлікке сәйкес тең қабырғалы үшбұрыш, оның табанына түсірілген медиана биіктігі де, биссектрисасы да болады. Осыдан былай шығады. Бірақ p түзуі де АВ-ға перпендикуляр. О нүктесіне АВ кесіндісіне бір перпендикуляр жүргізуге болатынын білеміз, бұл OM және p түзулерінің сәйкес келетінін білдіреді, осыдан М нүктесінің р түзуіне жататыны шығады, оны дәлелдеу қажет болды.

тікелей және қарама-қарсы теоремажалпылауға болады.

Нүкте кесіндінің перпендикуляр биссектрисасында, егер ол осы кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта болса ғана жатады.

Сонымен, біз үшбұрышта үш кесінді бар екенін және перпендикуляр биссектрисаның қасиеті олардың әрқайсысына қолданылатынын қайталаймыз.

Теорема:

Үшбұрыштың перпендикуляр биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.

Үшбұрыш беріледі. Оның қабырғаларына перпендикуляр: P 1 ВС жағына, P 2 АС жағына, P 3 АВ жағына.

Р 1 , Р 2 және Р 3 перпендикулярлары О нүктесінде қиылысатынын дәлелдеңдер (4-сурет).

Күріш. 4. Теоремаға иллюстрация

Дәлелдеу:

Екі орта перпендикулярды қарастырайық P 2 және P 3 , олар қиылысады, О қиылысу нүктесі бар. Бұл фактіні қарама-қайшылықпен дәлелдеп көрейік - P 2 және P 3 перпендикулярлары параллель болсын. Сонда бұрыш түзу болады, бұл үшбұрыштың үш бұрышының қосындысы - дегенге қайшы келеді. Сонымен, үш перпендикуляр биссектрисаның екеуінің қиылысуының О нүктесі бар. О нүктесінің қасиеттері: ол АВ қабырғасына перпендикуляр биссектрисада жатыр, бұл оның АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта екенін білдіреді:. Ол сондай-ақ AC қабырғасына перпендикуляр биссектрисада жатыр, сондықтан . Біз келесі теңдіктерді алдық.