Tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Picardin menetelmä Picardin menetelmä peräkkäisille approksimaatioille

Tämä menetelmä edustaa likimääräisten menetelmien luokkaa

Menetelmän idea on erittäin yksinkertainen ja perustuu menettelyyn

approksimaatiot integraaliyhtälön ratkaisemiseksi, johon

alkuperäinen differentiaaliyhtälö on annettu.

Asetetaan Cauchyn ongelma

,

Integroimme kirjoitetun yhtälön

. (5.2)

Picard-menetelmän peräkkäisten approksimaatioiden proseduuri toteutetaan seuraavan kaavion mukaisesti

, (5.3)

Esimerkki . Ratkaise Picardin yhtälö

,

Tämän yhtälön ratkaisua ei ilmaista alkeisfunktioilla.

,

Voidaan nähdä, että , sarja konvergoi nopeasti. Menetelmä on kätevä, jos integraalit voidaan ottaa analyyttisesti.

Todistakaamme Picardin menetelmän konvergenssi. Päästä sisään joitain rajoitettuja

alueella, oikea puoli on jatkuva ja lisäksi täyttää Lipschitzin ehdon muuttujan suhteen, ts.

missä on jokin vakio.

Johtuen alueen rajallisuudesta, epätasa-arvosta

Vähennämme kaavan (5.2) kohdasta (5.3), saamme oikean ja vasemman moduulille

,

.

Lopuksi Lipschitzin jatkuvuusehtoa käyttämällä saadaan

, (5.4)

missä on likimääräisen ratkaisun virhe.

Kaavan (5.4) peräkkäinen soveltaminen at antaa seuraavan relaatioketjun sen huomioon ottaen

,

,

.

Koska , sitten meillä on

.

Korvaamalla Stirlingin kaavalla saadaan lopulta arvio likimääräisen ratkaisun virheestä

. (5.5)

Kohdasta (5.4) seuraa, että virhemoduulille, ts.

likimääräinen ratkaisu konvergoi tasaisesti tarkalleen.

5.2.2. Runge-Kutta menetelmät

Nämä menetelmät ovat numeerisia.

Käytännössä käytetään Runge-Kutta-menetelmiä, jotka tarjoavat post-

eri tarkkuuden swarming-erokaaviot (menetelmät). Suurin osa

toisen ja neljännen tilauksen yhteiset suunnitelmat (menetelmät). Me ja he

harkitse alla.

Otetaan ensin käyttöön joitakin käsitteitä ja määritelmiä. verkko päälle

segmentti on kiinteä joukko tämän segmentin pisteitä.

Näissä kohdissa määriteltyä funktiota kutsutaan ruudukkofunktioksi.

Pisteiden koordinaatit täyttävät ehdot

Pisteet ovat ruudukon solmuja. Tasainen ruudukko on joukko pisteitä

, ,

missä on ruudukon väli.

Päätettäessä differentiaaliyhtälöt likimääräinen menetelmä on konvergenssin pääkysymys. Erotusmenetelmiin sovellettaessa konvergenssin käsite for on perinteisesti yleisempi. Merkitään ruudukkofunktion arvot differentiaaliyhtälön (5.1) tarkan ratkaisun arvoina solmussa - (ne ovat likimääräisiä arvoja). Konvergenssi tarkoittaa seuraavaa. Korjaamme pisteen ja rakennamme ruudukon siten, että (jossa). Silloin katsotaan, että numeerinen menetelmä konvergoi pisteessä jos

osoitteessa ,. Menetelmä konvergoi segmenttiin, jos se konvergoi joka pisteessä. Menetelmän sanotaan olevan tarkkuuden luokkaa, jos luku voidaan löytää siten, että klo.

Seuraavaksi esittelemme erotusyhtälön jäännös- tai approksimaatiovirheen käsitteen, joka korvaa tietyn differentiaaliyhtälön alkuperäisen yhtälön ratkaisussa, ts. poikkeama johtuu yhtälön (5.1) täsmällisen ratkaisun korvaamisesta erotusyhtälöllä. Esimerkiksi (5.1) voidaan korvata seuraavalla yksinkertaisella erotusyhtälöllä

, .

Sitten poikkeama määritetään seuraavalla lausekkeella

.

Likimääräinen ratkaisu ei yleensä ole sama kuin , joten ero pisteessä ei ole nolla. Esitetään seuraava määritelmä: numeerinen menetelmä approkimoi alkuperäistä differentiaaliyhtälöä, jos , ja sen tarkkuus on :nnen kertaluokan, jos .

On osoitettu, että differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen käytettävän numeerisen menetelmän tarkkuusjärjestys osuu yhteen approksimaatiojärjestyksen kanssa melko yleisillä olettamuksilla.

Siirrytään nyt Runge-Kutta-järjestelmien analyysiin. Käännytään ensin

toisen asteen tarkkuuskaaviot.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Taylorin kaavan avulla

(5.1) voidaan esittää muodossa

, (5.6)

missä mainittu, ,.

Huomaa, että kohdan (5.1) mukaan ,.

johdannainen seuraavasti

,

missä ovat tuntemattomat määrät. Antaa

Merkitään ratkaisun likimääräistä arvoa solmussa numerolla kautta (tämä ratkaisu saadaan, kun rajataan sarja termeihin, joiden kertaluku ei ole suurempi kuin sekunti).

Tässä syötetyt parametrit on määritettävä.

Laajennamalla oikeaa puolta Taylor-sarjassa ja tuomalla samanlaisia ​​termejä saamme

peräkkäin

Parametrien valinnan ehto ja asetamme lausekkeen läheisyyden

suhde (5.7) sarjaan (5.6), sitten

, ,.

Yksi parametri jää vapaaksi. Olkoon sitten

, ,

ja lopuksi alkaen (5.7), ottaen huomioon löydetyt suhteet ja

Relaatio (5.8) kuvaa yhden parametrin perheen kaksitermisiä Runge-Kutta-kaavoja.

Erikoiskirjallisuudessa on todistettu, että jos on jatkuva ja rajattu yhteen toisten derivaattojensa kanssa, niin kaavion (5.8) likimääräinen ratkaisu konvergoi tasaisesti eksaktioon virheellisesti. , eli kaavion (5.8) tarkkuus on toinen.

Laskennassa käytetään kaavoja (5.8) parametrin , arvoille.

(5.8):sta päätämme

Kaavan (5.9) soveltaminen rajoittuu seuraavaan vaihesarjaan:

1. Funktioarvo lasketaan karkeasti (katkoviivakaavion mukaan)

2. Määritetään integraalikäyrän kaltevuus pisteessä ().

3. Löytyy funktion derivaatan keskiarvo vaiheessa

4. Funktion arvo lasketaan ()-solmussa

Tällä järjestelmällä on erityinen nimi "ennustaja-korjaaja".

(5.8) mukaan saamme

Ongelma ratkaistaan ​​seuraavilla vaiheilla:

1. Lasketaan funktion arvo puolisolmussa

.

2. Derivaatan arvo solmussa määritetään

.

3. Funktion arvo löytyy ()-solmusta

Edellä käsiteltyjen kahden termisten kaavioiden lisäksi laskennassa käytetään laajalti neljännen kertaluokan Runge-Kutta -kaavioita. Vastaavat kaavat on annettu alla ilman johtamista.

(5.10)

Järjestelmiä, joissa on paljon jäseniä, ei käytännössä käytetä. Viisi-

jäsenkaavat tarjoavat neljännen tarkkuuden, kuuden termin kaavat kuudennen kertaluvun, mutta niiden muoto on erittäin monimutkainen.

Yllä olevien Runge-Kutta-kaavioiden virheet määräytyvät maksimin mukaan

vastaavien johdannaisten arvot.

On helppo saada arvio virheistä oikeuden erikoistapauksessa

differentiaaliyhtälön osia

.

Tässä tapauksessa yhtälön ratkaisu voidaan pelkistää kvadratuuriksi ja

kaikki eroratkaisukaaviot muunnetaan kaavoiksi numeerista integrointia varten

kiertävä. Esimerkiksi kaavio (5.9) saa muodon

,

eli se on puolisuunnikkaan kaavan muotoinen ja kaavio (5.10) siirtyy kaavioon

joka on Simpsonin kaava vaiheella .

Suuret virhearviot puolisuunnikkaan ja Simpsonin kaavoille ovat tiedossa (katso kohta 3.2). Kohdista (3.4) ja (3.5) voidaan nähdä, että Runge-Kutta -kaavioiden tarkkuus on melko korkea.

Yhden tai toisen edellä mainituista järjestelmistä tietyn ongelman ratkaisemiseksi

dacha määräytyy seuraavien näkökohtien perusteella. Jos toiminto sisään

yhtälön oikea puoli on jatkuva ja rajoitettu sekä jatkuva ja

sen neljännet johdannaiset ovat rajallisia, silloin saavutetaan paras tulos

käytettäessä kaaviota (5.10). Siinä tapauksessa, että toiminto

ei ole edellä mainittuja johdannaisia, rajoittava (neljäs) järjestys

kaaviota (5.10) ei voida saavuttaa, ja se osoittautuu tarkoituksenmukaiseksi

käyttämällä yksinkertaisempia kaavoja.

Runge-Kutta-kaavioiden lisäksi käytännön kiinnostavia ovat monivaiheiset menetelmät, jotka voidaan kuvata seuraavalla yhtälöjärjestelmällä

Missä , a - numeeriset kertoimet, ,.

Tämän yhtälön mukaan laskenta alkaa . Tässä tapauksessa saamme muodon suhteen

nuo. aloittaaksesi laskemisen, sinulla on oltava alkuarvot. Nämä arvot on laskettava jollain muulla menetelmällä, esimerkiksi Runge-Kutta -menetelmällä.

Monivaiheisista menetelmistä yleisin on Adamsin menetelmä, jonka toteutuskaavio seuraa kohdasta (5.11) ja varten :

.

Sillä , Adamsin menetelmä osoittautuu eksplisiittiseksi, kun taas :lle se on implisiittinen.

Työn tavoite: muodostaa opiskelijoiden ymmärrystä kauko-ohjauksen soveltamisesta eri aloilla; juurruttaa kyky ratkaista Cauchyn ongelma kaukosäätimelle klo" = f(x,y) segmentillä [ a, b] tietylle alkuehdolle klo 0 = f(x 0) Picard, Euler, Runge-Kutta, Adamsin menetelmät; kehittää taitoja tarkistaa saatuja tuloksia sovellusohjelmien avulla.

Picardin menetelmä

Esimerkki 5.1.

: klo h= 0,1 Picard-menetelmällä askeleella h.

Ilmoita raportissa: työn edistyminen, ohjelma - toiminto, virhe, graafinen esitys ratkaisusta.

Ratkaisu.

1. Syötä tiedot (kuva 5.1)

a= 1,7 b= 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3 i = 0..n

Kuva 5.1. Alkutietojen asettaminen

2. Asetamme funktion, joka palauttaa ensimmäisen derivaatan arvot muuttujan suhteen klo(kuva 5.2).

f derive( y) =

Kuva 5.2. Funktio, joka palauttaa funktion ensimmäisen derivaatan arvon

3. Muodosta funktio, joka palauttaa DE:n ratkaisun menetelmällä

Picard. Tässä: f- alkuperäinen toiminto; f deriv –

Johdannainen funktiosta suhteessa klo; a,b- segmentin päät; h- askel; klo 0 –

muuttujan alkuarvo klo.

4. Etsi DE:n ratkaisu Picardin menetelmällä (kuva 5.3).

fnPikan(fn, fn derivaat, a, b, h, y0)=

Riisi. 5.3. Määritetään funktio, joka palauttaa ratkaisun DE:hen

Picard-menetelmä (tiedosto fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derivaat, a, b, 0,1, y0) =

Riisi. 5.4. DE:n numeerisen ratkaisun löytäminen Picardin menetelmällä

Eulerin menetelmä ja sen muunnelmat

Esimerkki 5.2.

klo(1.7) = 5.3 ja integrointivaihe h= 0,1 Euler-menetelmällä ja parannetulla Euler-menetelmällä askelein h Ja h/2.

Ratkaisu.

Ongelman ratkaisun kulku Euler-menetelmällä on esitetty kuvassa. 5,5 - 5,7.

a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Kuva 5.5. Mathcad-laskentataulukon fragmentti ratkaisulla

yhtälöt Euler-menetelmällä askeleella h Ja h/2 ja grafiikka

Euler-menetelmän visualisointi.

1. Luodaan ohjelma, joka toteuttaa Euler-menetelmän (Kuva.

Kuva 5.6. Ohjelmaluettelo, joka toteuttaa Euler-menetelmän

2. Saadaan DE:n ratkaisu Euler-menetelmällä (kuva 5.7.).

ES h = Eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = Eyler(f, a, b, , y0)

Riisi. 5.7. DE:n numeerisen ratkaisun löytäminen Euler-menetelmällä

Huomautus

Laadi itse funktio, joka palauttaa DE:n ratkaisun parannetulla Euler-menetelmällä.

Riisi. 5.8 Kaukosäätimen valinta parannetulla menetelmällä

Euler askeleilla h Ja h/2

5.3. Runge-Kutta -menetelmä

Käytännössä käytetään useimmiten neljännen asteen Runge-Kutta-menetelmää.

Esimerkki 5.3.

Ratkaise Cauchyn ongelma DE:lle tietyn NU:n segmentillä klo(1.7) = 5.3 ja integrointivaihe h= 0,1 neljännen asteen Runge-Kutta-menetelmällä askeleella h ja 2 h.

Ilmoita raportissa: työn edistyminen, ohjelma, toiminto, virhe, graafinen esitys ratkaisusta ja arvio approksimaatiovirheestä.

Ratkaisu.

1. Syötä tehtävän tiedot (kuva 5.9).

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3

i= 0..n

Kuva 5.9. Alkutietojen asettaminen

2. Muodostetaan funktio, joka palauttaa ensimmäisen kertaluvun DE:n ratkaisun Runge-Kutta-metodilla. Tässä: fn – annettu toiminto; a, b- segmentin päät; h- askel; y 0 on funktion alkuarvo.

3. Etsitään ensimmäisen asteen DE:n ratkaisu Mathcadin sisäänrakennetuilla funktioilla (kuva 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2t, y0)

Riisi. 5.10. Luettelo funktiosta, joka palauttaa numeerisen arvon

DE-ratkaisu Runge–Kutta-menetelmällä

Adamsin menetelmä

Esimerkki 5.4.

Ratkaise Cauchyn ongelma DE:lle tietyn NU:n segmentillä klo(1.7) = 5.3 ja integrointivaihe h= 0,1 Adamsin menetelmä askeleella h.

Lähetä raporttiin: manuaalinen tilitys, ohjelma - funktio, virhe, graafinen kuva ratkaisusta ja arvio approksimaatiovirheestä.

Ratkaisu.

1. Etsi neljä ensimmäistä lukua Runge-Kutta -kaavalla (kuva 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Riisi. 5.11. Numeerisen ratkaisun neljän ensimmäisen arvon laskeminen Runge-Kutta-kaavalla

2. Muodostetaan funktio, joka toteuttaa Adamsin menetelmän (kuva 2.10.3). Tässä a, b- segmentin päät; y 1 – funktion alkuarvo; h- askel.

Riisi. 5.12 Funktio, joka palauttaa numeerisen ratkaisun

Adamsin DE-menetelmä

3. Kuvassa on graafinen esitys DE:n ratkaisusta eri menetelmillä. 5.13.

Riisi. 5.13. DE-ratkaisun visualisointi eri menetelmillä

Aiheeseen liittyviä kysymyksiä

1. Mitä Cauchyn ongelman ratkaiseminen ensimmäisen asteen DE:lle tarkoittaa?

2. DE:n numeerisen ratkaisun graafinen tulkinta.

3. Mistä DE:n ratkaisumenetelmistä riippuen

ratkaisun muoto?

4. Mikä on puristusperiaatteen ydin

kartoituksia?

5. Picard-menetelmän rekursiivinen kaava.

6. Mikä on Eulerin katkoviivamenetelmän ydin?

7. Sovellus, millä kaavoilla voit saada arvoja

haluttu funktio Euler-menetelmällä?

8. Eulerin menetelmän graafinen tulkinta ja

parannettu Euler-menetelmä. Mikä niiden ero on?

9. Mikä on Runge-Kutta-menetelmän ydin?

10. Kuinka määrittää oikeiden numeroiden lukumäärä numerossa,

joka on DE:n ratkaisu Euler-menetelmällä,

parannettu menetelmä Euler, Picard, Runge-

Tehtävä laboratoriotyöstä nro 5

Tehtävä 5.1.

Ratkaise Cauchyn ongelma DE:lle y’ = f(x, y) segmentillä [ a, b] tietyssä NU:ssa klo(A) = Kanssa ja integraatiovaihe h(alkuparametrit on annettu taulukossa 2.10.1):

1) Euler-menetelmä ja parannettu Euler-menetelmä askeleella h Ja h/2;

2) Runge–Kutta-menetelmällä askeleella h ja 2 h;

3) Adamsin menetelmä;

4) Picard-menetelmällä.

Ratkaisun tulee sisältää: työn edistyminen, menetelmän ohjelma, yhtälön graafinen ratkaisu ja approksimaatiovirheen estimointi. Numeroissa jätä 5 numeroa desimaalipilkun jälkeen.

Taulukko 5.1. Vaihtoehdot suoritettaville tehtäville itsenäinen työ

№	f( x, y)	[a, b]	v 0	h
	3X 2 + 0,1hu		klo(0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0.7 x)) + 1,843y		klo(0,2) = 0,25	0,1
			klo(1,6) = 4,6	0,1
			klo(0,2) = 1,1	0,1
			klo(1,4) = 2,5	0,1
			klo(1,7) = 5,3	0,1
			klo(2,6) = 3,5	0,2
			klo(2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5 v2		klo(0) = 0,3	0,1
			klo(1,8) = 2,6	0,1
			klo(2,1) = 2,5	0,1
	e 2x + 0,25y 2		klo(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	klo(-2) = 3	0,1
	0,133 ( x2+ synti(2 x)) + 0,872y		klo(0,2) = 0,25	0,1
	synti( x + y) +1,5		klo(1,5) = 4,5	0,1
			klo(0,4) = 0,8	0,1
	2,5x+ cos( y + 0,6)		klo(1) = 1,5	0,2
	cos(1,5 y +x) 2 + 1,4		klo(1) = 1,5	0,1
			klo(1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3x		klo(0) = 1,3	0,1
	cos(1,5 x – y 2) – 1,3	[-1; 1]	klo(-1) = 0,2	0,2
			klo(1,6) = 4,6	0,1
	e -(y – 1) + 2x		klo(0) = 0,3	0,05
	1 + 2y synti x – y 2		klo(1) = 0	0,1
			klo(0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + sin(1,1 x)) + 0,883y		klo(0,2) = 0,25	0,1
			klo(1,7) = 5,6	0,1
			klo(1,4) = 2,5	0,1
			klo(0,6) = 0,8	0,1
			klo(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8y synti x - 2y 2		klo(0) = 0	0,1
			klo(0,5) = 1,8	0,1
			klo(1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 synti x + 1,5y 2		klo(0) = 0	0,1
			klo(0) = 0	0,1
			klo(0) = 0	0,1
			klo(0) = 0	0,1
	0,2x 2 + y 2		klo(0) = 0,8	0,1
	x 2+v		klo(0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1y 2		klo(0) = 0,5	0,1

Kirjallisuus

Pääkirjallisuus:

Alekseev G.V., Voronenko B.A., Lukin N.I. Matemaattiset menetelmät V

Elintarviketekniikka: Oppikirja. - Pietari: "Lan", 2012. - 212 s.

Alekseev G.V. Matemaattiset menetelmät tekniikassa: Tutkimusmenetelmä. korvaus. - Pietari: NRU ITMO; IHiBT. 2012. - 39 s.

Alekseev G.V., Kholyavin I.I. Numeerinen taloudellinen ja matemaattinen mallinnus ja optimointi: opetusohjelma yliopistoille, GIEFPT, 2011, 211 s.

Makarov E.G. Mathcad: Harjoituskurssi. - Pietari: Pietari, 2009. - 384 s.

lisäkirjallisuutta:

Porshnev S.V., Belenkova I.V. Mathcadiin perustuvat numeeriset menetelmät. -

Pietari: BHV-Petersburg, 2005. - 464 s.

Agapiev B.D., Belov V.N., Kesamanly F.P., Kozlovsky V.V., Markov S.I. Kokeellisten tietojen käsittely: Proc. lisäys / SPbGTU. SPb., 2001.

Gorelova G.V. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot esimerkeissä ja tehtävissä Excelillä. – M.: Phoenix, 2005. – 476 s.

Adler Yu.P., Markova E.V., Granovsky Yu.V. Kokeen suunnittelu optimaalisten olosuhteiden etsimiseksi.-M .: Nauka, 1976

Asaturyan V.I. Kokeilun suunnittelun teoria.-M .: Radio ja viestintä, 1983

Brodsky V.Z. Johdatus kokeen tekijäsuunnitteluun - M .: Nauka, 1976

Demidenko E.Z. Lineaarinen ja epälineaarinen regressio.-M.: Talous ja tilastot, 1981

Krasovsky G.I., Filaretov G.F. Kokeilun suunnittelu - Minsk: BSU, 1982

Markova E.V., Lisenkov A.N. Kombinatoriset suunnitelmat monitekijäisen kokeen tehtävissä - M .: Nauka, 1979

Frolkis V.A. Lineaarinen ja epälineaarinen optimointi.-Pietari. 2001. 306 s.

Kuritsky B.Ya. Etsi optimaalisia ratkaisuja Excel 7.0:lla. - Pietari: BHV, 1997, 384c

ohjelmistot ja Internet-resurssit:

http://www.open-mechanics.com/journals - Ruoan tuotantoprosessit ja -laitteet

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Neste- ja kaasumekaniikka, hydrauliikka ja hydraulikoneet

http://elibrary.ru/defaultx.asp - tieteellinen digitaalinen kirjasto Kirjasto

Johdanto

1.Laboratoriotyöt#1: Approksimaatioteoria

1.1. Absoluuttiset ja suhteelliset virheet

1.2. Pyöristysvirhe

1.3. Aritmeettiset virheet

1.4. Perustoimintojen virheet

1.5. Rajojen tapa

1.6. Virheteorian käänteinen ongelma

1.7. Aiheeseen liittyviä kysymyksiä

1.8. Laboratoriotyön nro 1 toimeksiannot

2. Laboratoriotyö nro 2: Numeeriset ratkaisumenetelmät

skalaariyhtälöt

1.1. sointumenetelmä

1.2. Tangenttimenetelmä

1.3. Yksinkertainen iterointimenetelmä

1.4. Aiheeseen liittyviä kysymyksiä

1.5. Laboratoriotyön nro 2 tehtävät

3. Laboratoriotyö nro 3: Numeeriset menetelmät järjestelmien ratkaisemiseksi

epälineaariset yhtälöt

3.1. Newtonin menetelmä

3.2. Aiheeseen liittyviä kysymyksiä

3.3. Tehtävä laboratoriotyöstä nro 3

4. Lab #4: Numeerinen integrointi

4.1. Suorakaide menetelmä

4.2. Simpsonin menetelmä

4.3. Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä

4 .4. Monte Carlon menetelmä

4.5. Aiheeseen liittyviä kysymyksiä

4.6. Tehtävä laboratoriotyöstä nro 4

5. Lab #5: Tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

5.1. Picardin menetelmä

5.2. Eulerin menetelmä ja sen muunnelmat

5.3. Runge-Kutta menetelmä

Muistutamme hyvin tunnetut Picardin ja Peanon lauseet tietyn ongelman ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta (Cauchyn ongelma).

PEANO-lause sanoo, että Cauchyn ongelman ratkaisu on olemassa jossain pisteen X o ympäristössä, jos funktio f(x,Y) on jatkuva pisteen (X 0 ,Y 0) läheisyydessä.

PICARD-lause sanoo, että jos ei vain funktio f (x, Y), vaan myös sen osittaisderivaatta f "y (x, Y) on myös jatkuva pisteen (X 0, Y 0) läheisyydessä, niin ratkaisu Cauchyn ongelma on ainutlaatuinen jollain välillä, joka sisältää pisteen X 0.

Picardin lauseen todistus seuraa yleinen käytäntö kartoitusten tekeminen ei ole helppoa, mutta sillä on merkittävä etu - se on rakentavaa. Lisäksi siihen rakennettu funktiojono Y n (x) konvergoi ratkaisuun tasaisesti janalla geometrisen etenemisen nopeudella. Picard-menetelmässä funktiojono Y n (x) rakennetaan rekursiivisen kaavan mukaan:

Jos n = 0,1,2,...,

ja nollaapproksimaatio on vakio Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Ymmärtääksemme tämän toistuvan kaavan alkuperän, huomaamme, että integraaliyhtälö

on sama kuin alkuperäinen Cauchyn ongelma, koska mikä tahansa funktio Y (x), joka on sen ratkaisu, täyttää alkuehdon Y (X o) \u003d Y o ja yhtälön Y "(x) \u003d f (x, Y ( x)) ja päinvastoin.

Kysymys: Miksi tämä todella on niin?

Esimerkki 4.1 Ratkaistaan ​​Picard-menetelmällä yhtälö Y"=Y alkuehdolla Y(0)=1. Tämä tehtävä vastaa ratkaisun löytämistä integraaliyhtälöön Y=1+òY(t)dt.

Alkuapproksimaationa otetaan funktio Y o =1.

Silloin Y 1 =1+òY o (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y3 = 1+òY2(t)dt= 1+ò(1+t+t 2/2)dt= 1+x+x 2/2+x 3/6.

Voit varmistaa, että Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Harjoitus 4.1 Todista viimeinen yhtälö tarkasti käyttäen matemaattisen induktion periaatetta.

Harjoitus 4.2 Etsi esimerkistä 4.1 tarkka ratkaisu Y(X) ja arvioi tasaisen konvergenssin nopeus Y n (x) -> Y(X) janalla .

Yleensä likimääräiset menetelmät tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi voidaan jakaa kolmeen tyyppiin:

· analyyttinen, jolloin saadaan likimääräinen ratkaisu Y(x) kaavan muodossa,

· graafinen, mikä mahdollistaa ratkaisun Y(x) kuvaajan approksimoinnin, ts. integraalikäyrä,

· numeerinen, jonka tuloksena saadaan funktion Y(x) likimääräisten arvojen taulukko,

vaikka tällainen jako on jokseenkin mielivaltainen.

Picard-menetelmän lisäksi analyyttisiä menetelmiä ovat mm

menetelmä tuntemattoman funktion Y(x) laajentamiseksi sarjassa,

joihin nyt keskitymme.

Kirjoita Y(X):n formaalinen laajennus Taylor-sarjaan pisteeseen a:

Tämä yhtälö sisältää tuntemattoman funktion Y(X) derivaatat pisteessä a, mutta juuri tässä pisteessä voimme ongelman ehtoja käyttäen löytää peräkkäin minkä tahansa määrän derivaattoja ja saada ratkaisun tarvittava approksimaatio. . SISÄÄN yleisnäkymä se näyttää tältä: Y o (a)=Y(a)= Y o; Y "(a) \u003d f (a, Y (a)) \u003d f (a, Y o)

Eriyttämällä meille annetun yhtälön X:n suhteen saamme

Y "" (X) \u003d f " x (x, Y (x)) + f" y (x, Y (x)) * Y "(x), josta Y "" (a) \u003d f " x (a ,Yo)+f" y (a,Yo)*f(a,Yo).

Samalla tavalla saamme kolmannen ja muiden derivaattojen arvot pisteessä a - erottelemme vaaditun määrän kertoja alkuperäiseen yhtälöön ja korvaamme aiemmin pisteessä a saatujen derivaattojen arvot.

Esimerkki 4.2 Kirjoitetaan laajennuksen ensimmäiset ehdot funktion Y(x) sarjaan, joka täyttää yhtälön Y "=2xY ja alkuehdon Y(0)=1.

Y"""(x)=2 Y"(x)+2 Y"(x)+2x*Y""(x)= 4Y"(x)+2xY"""(x), josta Y"""( 0) = 0.

Y (4) (x)=4Y""(x)+2xY"""(x), josta Y (4) (0) = 6.

Saamme likimääräisen ratkaisun Y(x)»1+x 2 +0,5x 4 .

Harjoitus 4.3 Kirjoita Leibnizin kaavalla funktioiden tulon n:nnen derivaatan avulla esimerkissä 4.2 etsityn funktion laajennus Taylor-sarjaan.

Harjoitus 4.4 Etsi tarkka ratkaisu esimerkistä 4.2 ja arvioi esimerkin 4.2 approksimoinnin laatu segmentillä [-0.5,0.5].

Yllä kuvattuja menetelmiä ei käytetä usein käytännössä, koska Picard-menetelmässä jokaisessa vaiheessa on tarpeen laskea integraali, mikä vaikeuttaa laskelmia ja huonontaa tarkkuutta, ja sarjalaajennusmenetelmässä prosessin formalisointi on erittäin vaikeaa. johdannaisten löytäminen millä tahansa kielellä korkea järjestys, ja pienelle määrälle laajennustermejä tämä menetelmä antaa hyvän likiarvon vain lähellä pistettä a.

GRAFIIKKA joukossa harkita

Picardin menetelmä Picard Charles Emile (1856-1941) ranskalainen matemaatikko.

Tällä menetelmällä voidaan saada likimääräinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön (1) analyyttisesti esitetyn funktion muodossa.

Olkoon, että olemassaololauseen ehdoilla on löydettävä ratkaisu yhtälöön (1) alkuehdon (2) kanssa. Integroidaan yhtälön (1) vasen ja oikea osa rajoissa alkaen -:

Integraaliyhtälön (9) ratkaisu täyttää differentiaaliyhtälön (1) ja alkuehdon (2). Itse asiassa osoitteessa , saamme:

Samalla integraaliyhtälö (9) mahdollistaa peräkkäisten approksimaatioiden menetelmän soveltamisen. Käsittelemme kaavan (9) oikeaa puolta operaattorina, joka kuvaa minkä tahansa funktion (funktioluokasta, jolle (9) sisältyvä integraali on olemassa) toiseen saman luokan funktioon:

Jos tämä operaattori on supistuva (mikä seuraa Picardin lauseen ehdosta), on mahdollista muodostaa sarja approksimaatioita, jotka konvergoivat täsmälliseen ratkaisuun. Kun alkuperäinen approksimaatio otetaan, ja ensimmäinen approksimaatio löydetään

Oikeanpuoleinen integraali sisältää vain muuttujan x; kun tämä integraali on löydetty, saadaan analyyttinen lauseke approksimaatiolle muuttujan x funktiona. Seuraavaksi korvataan yhtälön (9) oikealla puolella oleva y löydetyllä arvolla ja saadaan toinen approksimaatio

jne. Yleisessä tapauksessa iteratiivisella kaavalla on muoto

(n=1, 2…) (10)

Kaavan (10) syklinen soveltaminen antaa funktioiden sarjan

konvergoimalla integraaliyhtälön (9) (ja näin ollen differentiaaliyhtälön (1) ratkaisuun alkuehtojen (2) kanssa). Tämä tarkoittaa myös sitä k-jäsen sekvenssi (11) on likiarvo yhtälön (1) täsmälliseen ratkaisuun tietyllä kontrolloidulla tarkkuudella.

Huomaa, että peräkkäisten approksimaatioiden menetelmää käytettäessä differentiaaliyhtälön oikean puolen analyyttisyys ei ole välttämätöntä, joten tätä menetelmää voidaan käyttää myös tapauksissa, joissa differentiaaliyhtälön ratkaisun laajentaminen potenssisarjassa on mahdotonta.

Picardin virhe

Virheestimaatti k:nnelle approksimaatiolle saadaan kaavasta

missä y(x) on tarkka ratkaisu, on Lipschitzin vakio epäyhtälöstä (4).

Käytännössä Picard-menetelmää käytetään hyvin harvoin. Yksi syy on se, että peräkkäisiä approksimaatioita muodostettaessa laskettavia integraaleja ei useimmiten löydy analyyttisesti, ja niiden käyttäminen numeeristen menetelmien laskemiseen monimutkaistaa ratkaisua niin paljon, että on paljon kätevämpää soveltaa suoraan muita aluksi numeerinen.

Esimerkkejä ongelman ratkaisemisesta Maplessa

Tehtävä 1: Etsi peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä arvo, jossa on differentiaaliyhtälön ratkaisu: alkuehdon täyttyminen, segmentillä, askeleen ottaminen (laske toiseen approksimaatioon).

Annettu: - differentiaaliyhtälö

Alkukunnossa

Intervalli

Löytö: merkitys

Ratkaisu:

> y1:=yksinkertaistaa(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= yksinkertaistaa (1+int (x+yksinkertaistaa (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Etsi arvo x=0,5:

Tehtävä #2: Etsi peräkkäisten approksimaatioiden menetelmää käyttäen differentiaaliyhtälön likimääräinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdon.

Annettu: - differentiaaliyhtälö

Alkukunnossa

Löytö: merkitys

Ratkaisu:

Löydämme tämän DE:n likimääräisen ratkaisun segmentillä, jossa on askel (valittu mielivaltaisesti).

Kirjoita tähän tapaukseen kaava muodossa (10)

> y1:=yksinkertaistaa(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=yksinkertaistaa (1+int (x*yksinkertaistaa (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Samalla tavalla löydämme kolmannen likiarvon:

>y3:=yksinkertaistaa (1+int (x*yksinkertaistaa (1+int (x*yksinkertaistaa (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… x));

Etsitään likimääräinen ratkaisu tälle DE:lle, tälle kolmannessa approksimaatiossa x:n sijasta, korvataan ja saadaan:

Verrataan saatua likimääräistä tulosta differentiaaliyhtälön täsmälliseen ratkaisuun:

Taulukon tulosten perusteella voidaan nähdä, että laskentavirhe on hyvin pieni.

Tarkastellaan ensimmäisen asteen tavallista differentiaaliyhtälöä (ODE).

alkutilanteen kanssa

y(x 0) \u003d y 0, (2)

jossa f(x) on jokin annettu, yleisessä tapauksessa kahden muuttujan epälineaarinen funktio. Oletetaan, että tietylle ongelmalle (1)-(2), jota kutsutaan alkuongelmaksi tai Cauchyn ongelmaksi, täyttyvät vaatimukset, jotka varmistavat sen ratkaisun y=y segmentin [x 0 ,b] olemassaolon ja ainutlaatuisuuden. (x).

Huolimatta yhtälön (1) ulkoisesta yksinkertaisuudesta, ratkaise se analyyttisesti, ts. löytö yhteinen päätös y \u003d y (x, C), jotta siitä sitten valitaan tietyn pisteen (x 0; y 0) läpi kulkeva integraalikäyrä y \u003d y (x), se on mahdollista vain joillekin erikoistyyppejä sellaiset yhtälöt. Tästä syystä, kuten (1)-(2) liittyvien integraalien laskentaongelmassa, on käytettävä likimääräisiä menetelmiä ODE:n alkuongelmien ratkaisemiseksi, jotka voidaan jakaa kolmeen ryhmään:

1) likimääräiset analyysimenetelmät;

2) graafiset tai tietokonegrafiset menetelmät;

3) numeeriset menetelmät.

Ensimmäisen ryhmän menetelmät sisältävät sellaisia, joiden avulla ratkaisun y(x) approksimaatio voidaan löytää välittömästi jonkin "hyvän" funktion muodossa. φ (X). Esimerkiksi tutut tehosarjamenetelmä, jonka yksi toteutuksista perustuu halutun funktion y(x) esittämiseen Taylor-sarjan segmentillä, jossa korkeamman asteen derivaatat sisältävät Taylor-kertoimet löydetään itse yhtälön (1) peräkkäisellä differentiaatiolla. Toinen tämän menetelmäryhmän edustaja on peräkkäisten approksimaatioiden menetelmä, jonka ydin on esitetty alla.

Nimi graafiset menetelmät puhuu halutun ratkaisun y(x) likimääräisestä esityksestä intervallilla graafin muodossa, joka voidaan rakentaa tiettyjen tämän ongelman graafiseen tulkintaan liittyvien sääntöjen mukaan. Tietyn tyyppisten yhtälöiden alkuongelmien fyysinen tai, ehkäpä olisi tarkempaa sanoa, sähköinen tulkinta on tietokonegrafisten likimääräisen ratkaisun menetelmien taustalla. Toteamalla annetut sähköprosessit fysikaalisella ja teknisellä tasolla, näitä prosesseja kuvaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen käyttäytymistä seurataan oskilloskoopin näytöllä. Yhtälön parametrien muuttaminen johtaa riittävään muutokseen ratkaisujen käyttäytymisessä, mikä on erikoistuneiden analogisten tietokoneiden (ACM) perusta.

Lopuksi, tällä hetkellä merkittävimmät, joille on ominaista digitaalisen tietojenkäsittelyn nopea kehitys ja tunkeutuminen kaikille ihmisen toiminnan osa-alueille, ovat numeeriset menetelmät differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, joihin sisältyy numeerisen taulukon hankkiminen halutun ratkaisun y likimääräisistä arvoista y i. (x) tietyssä ruudukossa
x-argumentin arvot. Nämä menetelmät ovat seuraavan keskustelun aiheena. Mitä tehdä ratkaisun tuloksena oleville numeerisille arvoille, riippuu ongelman sovelletusta muotoilusta. Jos puhumme vain y(b:n) arvon löytämisestä, niin piste b sisältyy laskettujen pisteiden x i järjestelmän viimeiseksi pisteeksi ja kaikki likimääräiset arvot y i ≈y(x i) viimeistä lukuun ottamatta. yksi, osallistua vain välitoimijoina, ts. eivät vaadi ulkoa tai käsittelyä. Jos tarvitset likimääräisen ratkaisun y(x) missä tahansa pisteessä x, niin tuloksena olevaan numeeriseen arvojen y i taulukkoon voit käyttää mitä tahansa aiemmin käsiteltyä taulukkofunktioiden approksimointimenetelmää, esimerkiksi interpolointia tai spline-interpolointia. . Myös muut ratkaisun numeeriset käyttötavat ovat mahdollisia.

Tarkastellaan yhtä likimääräistä analyyttistä menetelmää alkutehtävän (1)-(2) ratkaisemiseksi, jossa haluttu ratkaisu y \u003d y (x) jossain pisteen x 0 oikealla naapurustossa on sekvenssin raja. funktiot y n (x), jotka on saatu tietyllä tavalla.

Integroimme yhtälön (1) vasemman ja oikean osan rajoissa x 0 - x:

Näin ollen, kun otetaan huomioon se tosiasia, että yksi y"(x):n antijohdannaisista on y(x), saadaan

tai käyttämällä alkuehtoa (2),

(3)

Siten tämä differentiaaliyhtälö (1) alkuehdon (2) kanssa on muutettu integraaliyhtälöksi (tässä tuntematon funktio tulee integraalimerkin alle).

Tuloksena oleva integraaliyhtälö (3) on muodoltaan kiinteän pisteen ongelma operaattorin puolesta
Muodollisesti yksinkertaisten iteraatioiden menetelmää voidaan soveltaa tähän ongelmaan

Tarkastellaan riittävän yksityiskohtaisesti lineaaristen ja epälineaaristen algebrallisten ja transsendenttisten yhtälöiden järjestelmien suhteen. Ottaen alkufunktioksi y 0 (x) kohdassa (2) määritetty vakio y 0, saadaan kaavan (4) mukaan kohdassa n=0 ensimmäinen approksimaatio

Sen substituutio (4):ssä arvolle n=1 antaa toisen approksimaation

jne. Näin ollen tämä likimääräinen analyyttinen menetelmä, jota kutsutaan peräkkäisten approksimaatioiden menetelmäksi tai Picard-menetelmäksi, määritellään kaavalla

(5)

jossa n = 0, 1, 2,... ja y 0 (x) = y 0.

Huomioimme kaksi Picardin peräkkäisten approksimaatioiden menetelmän ominaisuutta, jotka voidaan luokitella negatiivisiksi. Ensinnäkin antijohdannaisten tehokkaan löytämisen tunnetuista ongelmista johtuen menetelmä (5) toteutetaan harvoin puhtaassa muodossaan. Toiseksi, kuten yllä olevasta lausunnosta voidaan nähdä, tätä menetelmää tulisi pitää paikallisena, sopivana ratkaisun approksimoimiseen alkupisteen pienellä oikealla alueella. Picardin menetelmä on tärkeämpi Cauchyn ongelman ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden todistamisessa kuin sen käytännön löytämisessä.

Oppitunti numero 17. Euler-menetelmät.

Kohde - perehdyttää opiskelijat Eulerin menetelmiin Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi tavallisille differentiaaliyhtälöille.