Trigonometrian kaavat. Trigonometriset peruskaavat ja identiteetit sin, cos, tg, ctg Ryhmä VII. Puoli argumenttia

Trigonometrian peruskaavat. Oppitunti 1

Trigonometriassa käytettyjen kaavojen määrä on melko suuri ("kaavoilla" emme tarkoita määritelmiä (esim. tgx=sinx/cosx), vaan identtisiä yhtäläisyyksiä kuten sin2x=2sinxcosx). Jotta voisimme navigoida helpommin tässä kaavojen runsaudessa eikä väsyttää opiskelijoita merkityksettömään tukkuun, on tarpeen erottaa niistä tärkeimmät. Niitä on vähän - vain kolme. Kaikki loput johtuvat näistä kolmesta kaavasta. Tämä on trigonometrinen perusidentiteetti ja kaavat summan ja erotuksen sinille ja kosinille:

Sin2x+cos2x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Ehdottomasti kaikki sinin ja kosinin ominaisuudet seuraavat näistä kolmesta kaavasta (jaksollisuus, jaksoarvo, siniarvo 30 0 = π/6=1/2 jne.) Tästä näkökulmasta katsottuna koulun opetussuunnitelma käytetään paljon muodollisesti tarpeetonta, tarpeetonta tietoa. Joten kaavat "1-3" ovat trigonometrisen valtakunnan hallitsijat. Siirrytään kaavoihin-seuraamuksiin:

1) Useiden kulmien sinit ja kosinit

Jos korvaamme (2) ja (3) arvon x=y, saamme:

Sin2x=2sinxcosx; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2x-sin 2x; cos0=cos2x+sin2x=1

Päätimme, että sin0=0; cos0=1 viittaamatta sinin ja kosinin geometriseen tulkintaan. Vastaavasti, soveltamalla kaavoja "2-3" kahdesti, voimme johtaa lausekkeita sin3x; cos3x; sin4x; cos4x jne.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

Tehtävä opiskelijoille: johda samanlaisia ​​lausekkeita cos3x:lle; sin4x; cos4x

2) Vähennyskaavat

Ratkaise käänteisongelma ilmaisemalla sinin ja kosinin potenssit useiden kulmien kosineina ja sineina.

Esimerkki: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, joten: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, eli sin 2 x=1/2-cos2x/2

Näitä kaavoja käytetään hyvin usein. Niiden ymmärtämiseksi paremmin suosittelen piirtämään kaaviot niiden vasemmasta ja oikeasta osasta. Kosinin ja sinin neliöiden kaaviot "kiertyvät" suoran "y \u003d 1/2" kaavion ympärille (tämä on cos 2 x ja sin 2 x keskiarvo monille jaksoille). Tässä tapauksessa värähtelytaajuus kaksinkertaistuu alkuperäiseen verrattuna (cos 2 x sin 2 x -funktioiden jakso on 2π /2=π), ja värähtelyamplitudi puolittuu (kerroin 1/2 cos2x:n edessä).

Tehtävä: express sin 3 x; cos 3x; sin4x; cos 4 x kosineina ja useiden kulmien sininä.

3) Valokaavat

Ne käyttävät trigonometristen funktioiden jaksollisuutta, jolloin voit laskea niiden arvot missä tahansa trigonometrisen ympyrän neljänneksissä ensimmäisen neljänneksen arvoista. Pelkistyskaavat ovat "pää"kaavojen (2-3) erikoistapauksia. Esimerkiksi: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

Joten Cos(x+ π/2) =sinx

Tehtävä: johda pelkistyskaavat sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)

4) Kaavat, jotka muuntavat kosinin ja sinin summan tai erotuksen tuloksi ja päinvastoin.

Kirjoitetaan kaava kahden kulman summan ja eron sinille:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx(1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx(2)

Lisäämme näiden yhtälöiden vasemman ja oikean osan:

Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Kuten ehdot peruutetaan, niin:

sin(x+y) + sin(x-y) = 2sinxcozy(*)

a) Kun luemme (*) oikealta vasemmalle, saamme:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Kahden kulman sinien tulo on puolet näiden kulmien summan ja eron sinien summasta.

b) luettaessa (*) vasemmalta oikealle, on kätevää merkitä:

x-y = s. Täältä löydämme X Ja klo kautta R Ja Kanssa, lisäämällä ja vähentämällä näiden kahden yhtälön vasen ja oikea puoli:

x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (p-c) / 2, korvaa johdetut uudet muuttujat kirjaimella (*) (x + y) ja (x-y) R Ja Kanssa, edustavat sinien summaa tuotteen kautta:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Joten suora seuraus peruskaavasta kulmien summan ja eron sinille on kaksi uutta relaatiota (4) ja (5).

c) nyt sen sijaan, että lisäisimme yhtälöiden (1) ja (2) vasemman ja oikean puolen, vähennämme ne toisistaan:

sin(x+y) - sin(x-y) = 2sinycosx(6)

Tämän identiteetin lukeminen oikealta vasemmalle johtaa kaavaan, joka on samanlainen kuin (4), joka osoittautuu epämiellyttäväksi, koska tiedämme jo kuinka jakaa sinin ja kosinin tulot sinien summaksi (katso (4)). Lukemalla (6) vasemmalta oikealle saadaan kaava, joka taittaa sinien eron tuotteeksi:

sinp - sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Joten yhdestä perusidentiteetistä sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx olemme saaneet peräti kolme uutta (4), (5), (7).

Samanlainen työ toisella perusidentiteetillä cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny johtaa jo neljään uuteen:

Cosxcosy = ½(cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) - cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Tehtävä: Muunna sinin ja kosinin summa tuloksi:

sinx +mukava = ? Ratkaisu: jos yrität olla johtamatta kaavaa, vaan kurkkaat vastauksen heti johonkin trigonometristen kaavojen taulukkoon, et ehkä löydä lopullista tulosta. Opiskelijoiden tulee ymmärtää, että ei tarvitse muistaa ja syöttää taulukkoon toista kaavaa sinx + cosy = ..., koska mikä tahansa kosini voidaan esittää sininä ja päinvastoin käyttämällä pelkistyskaavoja, esimerkiksi: sinx = cos (π / 2 - x), kodikas \u003d synti (π / 2 - y). Siksi: sinx + kodikas \u003d sinx + sin (π / 2 - y) \u003d 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.

Trigonometrian peruskaavat ovat kaavoja, jotka muodostavat suhteita trigonometristen perusfunktioiden välille. Sini, kosini, tangentti ja kotangentti liittyvät toisiinsa monien suhteiden kautta. Alla annamme tärkeimmät trigonometriset kaavat, ja mukavuuden vuoksi ryhmittelemme ne käyttötarkoituksensa mukaan. Näiden kaavojen avulla voit ratkaista melkein minkä tahansa tehtävän tavallisesta trigonometriakurssista. Huomaamme heti, että alla annetaan vain itse kaavat, ei niiden johtamista, joille omistetaan erilliset artikkelit.

Trigonometrian perusidentiteetit

Trigonometriset identiteetit antavat suhteen yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välillä, jolloin yksi funktio voidaan ilmaista toisella tavalla.

Trigonometriset identiteetit

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α 1

Nämä identiteetit seuraavat suoraan yksikköympyrän, sinin (sin), kosinin (cos), tangentin (tg) ja kotangentin (ctg) määritelmistä.

Valokaavat

Valukaavojen avulla voit siirtyä mielivaltaisten ja mielivaltaisen suurten kulmien työskentelystä 0–90 asteen kulmien työskentelyyn.

Valokaavat

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s sin π + α + 2 π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α sin α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Pelkistyskaavat ovat seurausta trigonometristen funktioiden jaksotuksesta.

Trigonometriset summauskaavat

Trigonometrian summauskaavojen avulla voit ilmaista kulmien summan tai eron trigonometrisen funktion näiden kulmien trigonometrisinä funktioina.

Trigonometriset summauskaavat

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± ± g α t t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Summauskaavojen perusteella johdetaan trigonometriset kaavat usealle kulmille.

Useita kulmakaavoja: double, triple jne.

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d α 2 - 2 cos u003d 2 t g α 1 - t g 2 α t g 2 α \u003d t g 2 α - 1 2 t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α 3 α, sinu 3 α d 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α gt g 1 - 2 3 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Puolikulmakaavat

Trigonometrian puolikulmakaavat ovat seurausta kaksoiskulmakaavoista ja ilmaisevat puolikulman perusfunktioiden ja koko kulman kosinin välisen suhteen.

Puolikulmakaavat

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Vähennyskaavat

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Usein laskelmissa on hankalaa toimia vaivalloisilla voimilla. Astevähennyskaavojen avulla voit pienentää trigonometrisen funktion astetta mielivaltaisen suuresta ensimmäiseen. Tässä on heidän yleinen näkemyksensä:

Pelkistyskaavojen yleinen muoto

jopa n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

paritolle n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Trigonometristen funktioiden summa ja erotus

Trigonometristen funktioiden ero ja summa voidaan esittää tulona. Sinien ja kosinien erojen faktorointia on erittäin kätevä soveltaa ratkaisussa trigonometriset yhtälöt ja ilmaisujen yksinkertaistaminen.

Trigonometristen funktioiden summa ja erotus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 β cos α - 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Trigonometristen funktioiden tulo

Jos funktioiden summan ja eron kaavat antavat sinun siirtyä niiden tuloon, trigonometristen funktioiden tulon kaavat suorittavat käänteisen siirtymän - tulosta summaan. Kaavat sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulolle otetaan huomioon.

Kaavat trigonometristen funktioiden tulolle

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Universaali trigonometrinen substituutio

Kaikki trigonometriset perusfunktiot - sini, kosini, tangentti ja kotangentti - voidaan ilmaista puolikulman tangenttina.

Universaali trigonometrinen substituutio

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 g = 2 t 1 α 2 2 t g α 2

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter