Biografia lui Diophantus. Biografia lui Diophantus Scurtă biografie a lui Diophantus

Introducere

Se poate observa că pe o perioadă de peste o mie și jumătate de ani, știința matematică din Grecia a avut realizări semnificative.

În istoria matematicii, perioada de existență a școlii alexandrine pe care am considerat-o se numește „Prima școală alexandrină”. De la începutul erei noastre, pe baza lucrărilor matematicienilor alexandrini, a început dezvoltarea rapidă a filozofiei idealiste: ideile lui Platon și Pitagora au fost reînviate, iar această filozofie a neoplatoniștilor și neo-pitagoreenilor a redus rapid semnificația științifică a lucrări ale unor noi reprezentanţi ai gândirii matematice. Dar gândirea matematică nu se stinge, ci apare din când în când în lucrările unor matematicieni individuali, precum Diophantus.

Dezvoltarea algebrei a fost împiedicată de faptul că notația simbolică nu intrase încă în utilizare suficientă, un indiciu pe care îl întâlnim pentru prima dată în lucrările lui Diophantus, care a folosit doar simboluri individuale și abrevieri de notație.

Scopul lucrării este de a explora aritmetica lui Diophantus.

Biografia lui Diophantus

Diofantul prezintă unul dintre cele mai dificile mistere din istoria științei. Nu știm vremea în care a trăit și nici predecesorii săi care ar fi lucrat în același domeniu. Lucrările lui sunt ca un foc sclipitor în mijlocul unui întuneric complet impenetrabil.

Perioada de timp în care ar fi putut trăi Diophantus este de jumătate de mileniu! Limita inferioară a acestui interval este determinată fără dificultate: în cartea sa despre numerele poligonale, Diofant îl menționează în repetate rânduri pe matematicianul Hypsicles din Alexandria, care a trăit la mijlocul secolului al II-lea î.Hr. Pe de altă parte, în comentariile lui Theon din Alexandria către „Almagestul” celebrului astronom Ptolemeu, este plasat un fragment din opera lui Diofantus. Theon a trăit la mijlocul secolului al IV-lea d.Hr. Aceasta determină limita superioară a acestui interval. Deci, 500 de ani!

Istoricul francez al științei Paul Tannery, editorul celui mai complet text al lui Diophantus, a încercat să reducă acest decalaj. În biblioteca Escurial a găsit fragmente dintr-o scrisoare a lui Michael Psellos, un om de știință bizantin din secolul al XI-lea, în care se afirmă că „cel mai învățat Anatolius, după ce a adunat cele mai esențiale părți ale acestei științe (vorbim despre introducerea grade de necunoscutul și desemnările lor), le-a dedicat prietenului său Diophantus”. Anatoly of Alexandria a compilat de fapt o „Introducere în aritmetică”, fragmente din care sunt citate în lucrările existente ale lui Iamblichus și Eusebiu. Dar Anatoly a trăit în Alexandria la mijlocul secolului al III-lea d.Hr. și chiar mai precis – până în anul 270, când a devenit episcop al Laodaciei. Aceasta înseamnă că prietenia lui cu Diophantus, pe care toată lumea îl numește Alexandria, trebuie să fi avut loc înainte de aceasta. Deci, dacă faimosul matematician alexandrin și prietenul lui Anatoly, pe nume Diophantus, sunt o singură persoană, atunci timpul vieții lui Diophantus este mijlocul secolului al III-lea d.Hr.

„Aritmetica” în sine a lui Diofant este dedicată „venerabilului Dionisie”, care, după cum se poate vedea din textul „Introducerii”, era interesat de aritmetică și de învățătura ei. Deși numele Dionysius era destul de comun la acea vreme, Tannery a sugerat că „venerabilul” Dionysius ar trebui căutat printre oamenii celebri ai epocii care dețineau poziții proeminente. Și așa s-a dovedit că în 247, un anume Dionisie a devenit episcopul Alexandriei, care conducea gimnaziul creștin al orașului din 231! Prin urmare, Tannery l-a identificat pe acest Dionysius cu cel căruia Diophantus i-a dedicat opera și a ajuns la concluzia că Diophantus a trăit la mijlocul secolului al III-lea d.Hr. Putem, în lipsa de ceva mai bun, să acceptăm această dată.

Dar locul de reședință al lui Diophantus este binecunoscut - aceasta este celebra Alexandria, centrul gândirii științifice a lumii elenistice.

După prăbușirea imensului imperiu al lui Alexandru cel Mare, Egiptul la sfârșitul secolului al IV-lea î.Hr. a mers la comandantul său Ptolemeu Lagus, care a mutat capitala într-un oraș nou - Alexandria. Curând, acest oraș comercial multilingv a devenit unul dintre cele mai frumoase orașe din antichitate. Roma a depășit-o mai târziu ca mărime, dar multă vreme nu a avut egal. Și acest oraș a devenit centrul științific și cultural al lumii antice timp de multe secole. Acest lucru s-a datorat faptului că Ptolemeu Lagus a fondat Muzeul, templul Muzelor, ceva asemănător cu prima Academie de Științe, unde au fost invitați cei mai importanți oameni de știință și li s-a atribuit conținut, astfel încât activitatea lor principală a fost reflecția și conversațiile. cu elevii. La Muzeu a fost construită o renumită bibliotecă, care în cele mai bune zile conținea peste 700.000 de manuscrise. Nu este surprinzător faptul că oameni de știință și tineri înfometați de cunoștințe din întreaga lume s-au adunat în Alexandria pentru a asculta filozofi celebri, pentru a învăța astronomie și matematică și pentru a avea ocazia să se aprofundeze în studiul manuscriselor unice în sălile răcoroase ale bibliotecii. .

Muzeul a supraviețuit dinastiei Ptolemaice. În primele secole î.Hr. a căzut în declin temporar asociat cu declinul general al casei lui Ptolemeu în legătură cu cuceririle romane (Alexandria a fost în cele din urmă cucerită în anul 31 î.Hr.), dar apoi în primele secole d.Hr. a fost reînviat, sprijinit de împărații romani. Alexandria a continuat să fie centrul științific al lumii. Roma nu a fost niciodată rivala ei în acest sens: știința romană (ne referim la științe naturale) pur și simplu nu a existat, iar romanii au rămas fideli preceptelor lui Vergiliu, care a scris:

Mai fin, alții vor forja bronzul care respira viața, -

Cred că vor crea fețe vii din marmură,

Mișcările cerului vor fi mai elocvente în curți

Cu bastonul lor vor desena și vor calcula stelele răsare,

Tu, Roman, știi să conduci națiunile.

Iar dacă în secolele III-II î.Hr. Muzeul a strălucit cu numele de Euclid, Apollonius, Eratosthenes, Hiparh, apoi în secolele I-III d.Hr. Aici au lucrat oameni de știință precum Heron, Ptolemeu și Diophantus.

Pentru a epuiza tot ce se știe despre personalitatea lui Diophantus, vă prezentăm o poezie de ghicitori care a ajuns până la noi:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt; minunați-vă de ea – și de piatră

Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.

Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.

Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.

Era abia a șaptea zi când s-a logodit cu iubita lui.

După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul;

Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.

A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.

De două ori în doi ani, părintele a plâns o durere grea,

Aici am văzut limita vieții mele triste.

De aici este ușor de calculat că Diophantus a trăit 84 de ani. Cu toate acestea, pentru aceasta nu este nevoie să stăpâniți arta lui Diophantus! Este suficient să poți rezolva o ecuație de gradul 1 cu o necunoscută, iar scribii egipteni au reușit să facă asta cu 2 mii de ani î.Hr.

Instituție de învățământ municipală

„Liceul nr. 10” Perm

Diophantus. Ecuații diofantine

Am făcut treaba

Ilyina Yana,

elev de clasa a XI-a

Supraveghetor

Zolotukhina L.V.

profesor de matematică

Perm, 2010

Introducere…………………………………………………………………………………………….3

1. Diofantul……………………………………………………………………………………………..…4

2. Numere și simboluri…………………………………………………………………6

3. Ecuația diofantină……………………………………………………..…8

4. Soluții…………………………………………………………..12

Concluzie……………………………………………………………………………………………15

Referințe………………………………………………………16

Introducere

Școlarii de astăzi rezolvă diverse ecuații. În partea C a sarcinilor de examinare unificată de stat există o ecuație interesantă numită ecuația diofantină. În lucrările sale, Diophantus nu numai că a pus problema rezolvării ecuațiilor nedefinite în numere raționale, dar a oferit și câteva metode generale de rezolvare a acestora. Aceste metode vor fi foarte utile pentru elevii de astăzi de clasa a XI-a care urmează să susțină examenul de matematică.

Diophantus a avut o contribuție la fel de mare la dezvoltarea matematicii ca și Arhimede. Așa a făcut Arhimede, de exemplu: la determinarea ariilor unei elipse, a unui segment de parabolă, a suprafeței unei sfere, a volumelor unei sfere și a altor corpuri, a folosit metoda sumelor integrale și metoda trecerii. la limită, dar nicăieri nu a dat o descriere generală abstractă a acestor metode. Oamenii de știință din secolele al XVI-lea și al XVII-lea au trebuit să studieze cu atenție și să-și rearanjeze lucrările într-un mod nou pentru a izola metodele lui Arhimede de acolo. Situația este similară cu Diofantul. Metodele sale au fost înțelese și aplicate la probleme noi de către Viethe și Fermat, adică. în acelaşi timp când a fost rezolvat Arhimede.

1. Diofantul

Diofantul prezintă unul dintre cele mai dificile mistere din istoria științei. Nu știm vremea în care a trăit și nici predecesorii săi care ar fi lucrat în același domeniu. Lucrările lui sunt ca un foc sclipitor în mijlocul unui întuneric complet impenetrabil. Perioada de timp în care ar fi putut trăi Diophantus este de jumătate de mileniu! Limita inferioară a acestui interval este determinată fără dificultate: în cartea sa despre numerele poligonale, Diofant îl menționează în repetate rânduri pe matematicianul Hypsicles din Alexandria, care a trăit la mijlocul secolului al II-lea î.Hr. e. Pe de altă parte, în comentariile lui Theon din Alexandria către „Almagestul” celebrului astronom Ptolemeu, este plasat un fragment din opera lui Diofantus. Theon a trăit la mijlocul secolului al IV-lea d.Hr. e. Aceasta determină limita superioară a acestui interval. Deci, 500 de ani!

Dar locul de reședință al lui Diophantus este binecunoscut - aceasta este celebra Alexandria, centrul gândirii științifice a lumii elenistice.

Pentru a epuiza tot ce se știe despre personalitatea lui Diophantus, vă prezentăm o poezie de ghicitori care a ajuns până la noi:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt; minunați-vă de ea – și de piatră
Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.
Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.
Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.
Era abia a șaptea zi când s-a logodit cu iubita lui.
După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul;
Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.
A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.
De două ori în doi ani, părintele a plâns o durere grea,
Aici am văzut limita vieții mele triste.

De aici este ușor de calculat că Diophantus a trăit 84 de ani. Cu toate acestea, pentru aceasta nu este nevoie să stăpâniți arta lui Diophantus! Este suficient să poți rezolva o ecuație de gradul 1 cu o necunoscută, iar scribii egipteni au reușit să facă asta cu 2 mii de ani î.Hr. e.

Dar cea mai misterioasă este opera lui Diophantus. Au ajuns la noi șase cărți din 13, care au fost combinate în „Aritmetică”. Stilul și conținutul acestor cărți diferă puternic de lucrările antice clasice despre teoria numerelor și algebră, exemple despre care știm din Elementele lui Euclid, datele sale și lemele din lucrările lui Arhimede și Apollonius. „Aritmetica” a fost, fără îndoială, rezultatul a numeroase studii care ne-au rămas complet necunoscute. Putem doar ghici despre rădăcinile sale și să ne minunăm de bogăția și frumusețea metodelor și rezultatelor sale.

„Aritmetica” de Diophantus este o colecție de probleme (sunt 189 în total), fiecare dintre ele echipată cu o soluție (sau mai multe metode de rezolvare) și explicațiile necesare. Prin urmare, la prima vedere pare că nu este o lucrare teoretică. Cu toate acestea, o lectură atentă arată că problemele sunt atent selectate și servesc la ilustrarea unor metode foarte specifice, strict gândite. După cum era obișnuit în antichitate, metodele nu sunt formulate într-o formă generală, ci sunt repetate pentru a rezolva probleme similare.

2. Numere și simboluri

Diophantus începe cu definiții de bază și o descriere a simbolurilor literelor pe care le va folosi.

În matematica greacă clasică, care și-a găsit completarea în Elementele lui Euclid, sub numărul άριJμός - „ aritmii" sau " aritmul"; de unde denumirea de „aritmetică” pentru știința numerelor) a fost înțeles ca un set de unități, adică. întreg. Nici fracțiile, nici iraționalitatea nu au fost numite numere. Strict vorbind, nu există fracții în Principia. Unitatea este considerată indivizibilă și în loc de fracții dintr-o unitate, sunt luate în considerare rapoartele întregilor; iraționalitățile apar ca rapoarte ale segmentelor incomensurabile, de exemplu, numărul pe care îl notăm acum √2 era pentru grecii clasici raportul dintre diagonala unui pătrat și latura lui. Nu s-a vorbit despre numere negative. Nici măcar nu existau echivalente pentru ei. Găsim o imagine complet diferită în Diophantus.

Diophantus dă definiția tradițională a numărului ca un set de unități, dar mai târziu își caută problemele rațional pozitiv soluții și numește fiecare astfel de soluție un număr (άριJμός - „ aritmii »).

Dar chestiunea nu se oprește aici. Diophantus introduce numere negative: le numește termenul special λει̃ψις - „ lepsis" - derivat din verbul λει̃πω - " leipo”, care înseamnă a lipsi, a lipsi, astfel încât termenul în sine să poată fi tradus prin cuvântul „lipsă”. Apropo, asta face celebrul istoric rus al științei I. Timchenko. Diophantus numește un număr pozitiv cuvântul ΰπαρξις - „ iparxis”, care înseamnă existență, ființă, iar la plural acest cuvânt poate însemna proprietate sau proprietate. Astfel, terminologia lui Diophantus pentru numerele relative este apropiată de cea folosită în Evul Mediu în Orient și Europa. Cel mai probabil, a fost pur și simplu o traducere din greacă în arabă, sanscrită, latină și apoi în diferite limbi ale Europei.

Rețineți că termenul λει̃ψις este „ lepsis" - nu poate fi tradus ca „scădere”, așa cum fac mulți traducători ai lui Diofant, deoarece pentru operația de scădere Diofantul folosește termeni complet diferiți, și anume άφελει̃ν - " afelein"sau άφαιρει̃ν - " afirerain", care sunt derivate din verbul άφαιρεω - " afireo"- la pachet. Atunci când transformă ecuațiile, Diophantus însuși folosește adesea expresia standard „adăugați λει̃ψις la ambele părți”.

Ne-am oprit atât de detaliat asupra analizei filologice a textului lui Diofant pentru a convinge cititorul că nu ne vom abate de la adevăr dacă traducem termenii lui Diofant ca „pozitiv” și „negativ”.

Diophantus formulează regula semnelor pentru numerele relative:

„un negativ înmulțit cu un negativ dă un pozitiv, în timp ce un negativ înmulțit cu un pozitiv dă un negativ, iar semnul distinctiv pentru un negativ este o (litera) ψ inversată și scurtată.”

„După ce v-am explicat înmulțirea, devine clară și împărțirea termenilor propuși; Acum va fi bine să începeți să exersați adunarea, scăderea și înmulțirea unor astfel de termeni. Adăugați termeni pozitivi și negativi cu coeficienți diferiți la alți termeni care sunt fie pozitivi, fie la fel de pozitivi și negativi, iar din termeni pozitivi și alți termeni negativi scădeți alți termeni pozitivi și la fel de pozitivi și negativi.”

Rețineți că, deși Diophantus caută doar soluții pozitive raționale, în calculele intermediare folosește de bunăvoie numere negative.

Putem observa astfel că Diophantus a extins câmpul numeric într-un câmp de numere raționale în care toate cele patru operații ale aritmeticii pot fi efectuate fără piedici.

3. Ecuația diofantină

Definiție - ecuații algebrice sau sisteme de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, având un număr de necunoscute care depășește numărul de ecuații, și pentru care se caută soluții întregi sau raționale.

topor + de = 1

Unde AȘi b- numere întregi coprime

Numerele coprime mai multe numere întregi astfel încât divizorii comuni pentru toate aceste numere să fie doar + 1 și - 1. Cel mai mic multiplu al unei perechi de numere prime este egal cu produsul lor.

are infinite de solutii:

Dacă x0Și y0- o soluție, apoi numerele

X = x0 + bn

la = y0 -un

(n- orice număr întreg) vor fi, de asemenea, soluții.

Un alt exemplu de D. u.

x2 + y2 = z2

Soluțiile întregi pozitive ale acestei ecuații reprezintă lungimile catetelor X , la si ipotenuza z Triunghiurile dreptunghiulare cu lungimea laturii întregi se numesc numere pitagorice.

triple ale numerelor naturale astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale (sau egale) cu aceste numere să fie dreptunghiular.

Toate tripletele numerelor pitagorice coprime pot fi obținute folosind formulele

X = m2 - n2

la = 2mn

z = m2 + n2

Unde mȘi n- numere întregi ( m > n > 0).

Această ecuație se definește în plan R 2 algebric curbaΓ. Vom numi soluția rațională (2) punct rațional curba Γ. În cele ce urmează, vom recurge adesea la limbajul geometriei, deși Diophantus însuși nu îl folosește nicăieri. Cu toate acestea, limbajul geometric a devenit acum o parte integrantă a gândirii matematice, încât multe fapte vor fi mai ușor de înțeles și explicat cu ajutorul lui.

În primul rând, este necesar să se dea o oarecare clasificare a ecuațiilor (2) sau, ceea ce este același, a curbelor algebrice. Cel mai natural și mai timpuriu care a apărut este clasificarea lor în ordine.

Să vă reamintim că în ordine curba (2) este ordinul maxim al termenilor polinomului f (X , y), unde ordinea unui termen este înțeleasă ca suma puterilor la XȘi y. Sensul geometric al acestui concept este că o linie dreaptă intersectează o curbă de ordine n exact la n puncte. Atunci când numărați punctele, trebuie, desigur, să țineți cont de multiplicitatea punctelor de intersecție, precum și de punctele complexe și „la infinit de distanță”. Deci, de exemplu, un cerc X 2 + y 2 = 1 și drept X + y= 2 se intersectează în două puncte complexe și hiperbola X 2 – y 2 = 1 și drept y =X- în două puncte la infinit, aceeași hiperbolă cu linie dreaptă X=1 are un punct comun de multiplicitate 2.

Cu toate acestea, pentru scopuri analiză diofantină(acest nume a fost dat domeniului matematicii care a apărut din problemele de rezolvare a ecuațiilor nedeterminate; totuși, acum este mai des numită geometrie diofantină) clasificarea după ordine s-a dovedit a fi prea aspră.

Orez. 1.

Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Să fie dat un cerc C : X 2 + y 2 = 1 și orice linie dreaptă cu coeficienți raționali, de exemplu, L : y=0. Să arătăm că punctele raționale ale acestui cerc și ale dreptei pot fi puse într-o corespondență unu-la-unu. Acest lucru se poate face, de exemplu, astfel: fixați punctul A(0,–1) cercuri și atribuiți fiecărui punct rațional B Drept L punct B" cerc C, situată la intersecție Cși drept AB(Fig. 1). Că coordonatele punctului B" va fi rațional, îl vom lăsa pe cititor să demonstreze singur sau să citească o dovadă similară din Diofant (va fi prezentată în paragraful următor). Evident, aceeași corespondență poate fi stabilită între punctele raționale ale oricărei secțiuni conice, dacă pe ea se află cel puțin un punct rațional, și o dreaptă rațională. Vedem că din punctul de vedere al analizei diofantine cercul Cși drept L nu se pot distinge: seturile lor de soluții raționale sunt echivalente. Și asta în ciuda faptului că ordinele ambelor curbe sunt diferite.

Mai subtilă este clasificarea curbelor algebrice după gen, care a fost introdusă abia în secolul al XIX-lea de către Abel și Riemann. Această clasificare ia în considerare numărul de puncte singulare ale curbei Γ.

Presupunem că în ecuația (2) a curbei Γ polinomul f (X , y) este ireductibilă asupra câmpului numerelor raționale, adică. nu se extinde într-un produs de polinoame cu coeficienți raționali. După cum se știe, ecuația tangentei la curba Γ în punctul P (X 0 , y 0) va

y – y 0 = k (X – X 0),

Dacă la punct P derivat fx" sau fy" este diferit de zero, apoi panta k tangenta are un sens foarte definit (daca fy" (X 0 , y 0) = 0, a fx" (X 0 , y 0) ≠ 0, atunci k=∞ și tangentă la P va fi verticală).

Dacă la punct P ambele derivate parțiale dispar,

fx" (X 0 , y 0) = 0 și fy" (X 0 , y 0) = 0,

apoi punct P numit special .

De exemplu, la curbă y 2 = X 2 + X 3 punct (0, 0) va fi special, deoarece în el fx" = –2X – 3X 2 și fy" = 2y mergi la zero.

Orez. 2.

Cele mai simple puncte singulare sunt cele duble, la care cel puțin una dintre derivate f xx "" , f xy ""Și f yy "" este diferit de zero. În fig. Figura 2 prezintă un punct dublu în care curba are două tangente diferite. Alte puncte singulare mai complexe sunt prezentate în Fig. 3.

Orez. 3.

4. Soluții

Regula 1. Dacă c nu este divizibil cu d, atunci ecuația ax + vy = c nu are soluții în numere întregi. N.O.D.(a,b) = d.

Regula 2. Pentru a găsi o soluție a ecuației ax + vy = c cu coprime a și b, trebuie mai întâi să găsiți o soluție (X o; y o) a ecuației ax + y = 1; numerele CX o, Su o formează o soluție a ecuației ax + vy = c.

Rezolvați ecuația în numere întregi (x,y)

5x - 8y = 19 ... (1)

Prima cale. Găsirea unei anumite soluții folosind metoda de selecție și înregistrarea soluției generale.

Știm că dacă N.O.D.(a;b) =1, i.e. a și b sunt numere coprime, apoi ecuația (1)

are o soluție în numere întregi x și y. N.O.D.(5;8) =1. Folosind metoda de selecție găsim o soluție particulară: X o = 7; y o =2.

Deci, perechea de numere (7;2) este o soluție particulară a ecuației (1).

Aceasta înseamnă că egalitatea este valabilă: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 ... (2)

Întrebare: Cum, având în vedere o soluție, scrieți toate celelalte soluții?

Scădem egalitatea (2) din ecuația (1) și obținem: 5(x -7) – 8(y - 2) =0.

Prin urmare x – 7 = . Din egalitatea rezultată este clar că numărul (x – 7) va fi un întreg dacă și numai dacă (y – 2) este divizibil cu 5, i.e. y – 2 = 5n, unde n este un număr întreg. Deci, y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, unde n Z.

Astfel, toate soluțiile întregi ale ecuației inițiale pot fi scrise în următoarea formă:

A doua cale . Rezolvarea unei ecuații pentru o necunoscută.

Rezolvăm această ecuație în raport cu necunoscuta care are cel mai mic coeficient (modulo). 5x - 8y = 19 x = .

Resturile când se împarte la 5: 0,1,2,3,4. Să înlocuim aceste numere cu y.

Dacă y = 0, atunci x = =.

Dacă y = 1, atunci x = =.

Dacă y = 2, atunci x = = = 7 Z.

Dacă y = 3, atunci x = =.

Dacă y = 4 atunci x = =.) Concluzie

Între timp, majoritatea istoricilor științei, spre deosebire de matematicieni, au subestimat până acum lucrările lui Diophantus. Mulți dintre ei credeau că Diophantus se limitează la a găsi o singură soluție și foloseau tehnici artificiale pentru aceasta, diferite pentru diferite probleme. Dar, de fapt, în majoritatea ecuațiilor diofante observăm algoritmi de soluție similari.

Astăzi, după cum vedem, există mai multe soluții diferite, ai căror algoritmi sunt ușor de reținut. După cum am menționat mai devreme, această ecuație se găsește de obicei în sarcina C6 de la examenul de stat unificat. Studierea algoritmilor pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine poate ajuta la rezolvarea acestei sarcini, care valorează un număr semnificativ de puncte.

Bibliografie

1. Diofantul Alexandriei. Aritmetică și o carte despre numerele poligonale (traducere din greaca veche de I. N. Veselovsky; editare și comentarii de I. G. Bashmakova). M., „Știință”, 1974.

2. B. L. Van der Waerden, Awakening Science (traducere de I. N. Veselovsky). M., Fizmatgiz, 1959.

3. G. G. Tseyten, Istoria matematicii în antichitate și Evul Mediu (traducere de P. Yushkevich). M.–L., Gostekhizdat, 1932

4. A. V. Vasiliev, Integer. Petersburg, 1919

5. I. V. Yashchenko, S. A. Shestakov, P. I. Zakharov, Matematică, examen de stat unificat, MTsNMO, 2010

Caracatițele au 8 picioare, stelele de mare au 5.

Câte animale marine sunt în acvariu dacă în total sunt 39 de membre?

Diophantus din Alexandria este un matematician antic grec care probabil a trăit în secolul al III-lea d.Hr.

Nu se știe aproape nimic despre detaliile vieții sale. Pe de o parte, Diophantus citează Hypsicles (sec. II î.Hr.); pe de altă parte, Theon din Alexandria (aproximativ 350 d.Hr.) scrie despre Diofant, din care putem concluziona că viața sa s-a desfășurat în limitele acestei perioade. O posibilă clarificare a timpului vieții lui Diofantus se bazează pe faptul că „Aritmetica” sa este dedicată „cel mai venerabil Dionysius”. Se crede că acest Dionisie este nimeni altul decât Episcopul Dionisie al Alexandriei, care a trăit la mijlocul secolului al III-lea. n. e.

Antologia Palatină conține o epigramă-sarcină din care putem concluziona că Diophantus a trăit 84 de ani:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt; minunați-vă de ea și de piatră

Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.

Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.

Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.

Abia trecută de a șaptea zi, s-a logodit cu iubita lui.

După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul a avut un fiu;

Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.

A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.

De două ori în doi ani, părintele a plâns o durere grea,

Aici am văzut limita vieții mele triste.

Folosind metode moderne de rezolvare a ecuațiilor, este posibil să se calculeze câți ani a trăit Diophantus. Să creăm și să rezolvăm ecuația:

Soluția acestei ecuații este numărul 84. Astfel, Diophantus a trăit 84 de ani.

Lucrarea principală a lui Diophantus este „Aritmetica” în 13 cărți. Din păcate, doar primele 6 cărți din 13 au supraviețuit.

Prima carte este precedată de o introducere extinsă, care descrie notația folosită de Diophantus. Diophantus numește necunoscutul „număr” (?ριθμ?ς) și îl denotă cu litera ς, pătratul necunoscutului cu un simbol (prescurtarea de la δ?ναμις - „grad”). Semnele speciale sunt prevăzute pentru următoarele grade ale necunoscutului, până la al șaselea, numite cub-cub, și pentru gradele opuse acestora. Diophantus nu are un semn de adunare: el scrie pur și simplu termeni pozitivi unul lângă altul, iar în fiecare termen se scrie mai întâi gradul necunoscutului, apoi coeficientul numeric. Termenii scăzuți se scriu și ei unul lângă altul, iar în fața întregului lor grup este plasat un semn special sub forma unei litere inversate Ψ. Semnul egal este notat cu două litere ?σ (prescurtarea de la ?σος - „egal”). Au fost formulate regula pentru a aduce termeni similari și regula pentru a adăuga sau scădea același număr sau expresie de ambele părți ale ecuației: ceea ce al-Khwarizmi a ajuns să numească mai târziu „al-jabr și al-muqabala”. A fost introdusă o regulă semnului: minus ori minus dă plus; Această regulă este folosită la înmulțirea a două expresii cu termeni scăzuți. Toate acestea sunt formulate în termeni generali, fără referire la interpretări geometrice.

Cea mai mare parte a lucrării este o colecție de probleme cu soluții (există un total de 189 în cele șase cărți supraviețuitoare), selectate cu pricepere pentru a ilustra metode generale. Problema principală a „Aritmeticii” este găsirea de soluții raționale pozitive la ecuații nedeterminate. Numerele raționale sunt interpretate de Diophantus în același mod ca numerele naturale, ceea ce nu este tipic pentru matematicienii antici.

Mai întâi, Diophantus examinează sisteme de ecuații de ordinul 2 în 2 necunoscute; specifică o metodă de găsire a altor soluții dacă una este deja cunoscută. Apoi el aplică metode similare ecuațiilor de grade superioare.

În secolul al X-lea, „Aritmetica” a fost tradusă în arabă, după care matematicienii din țările islamice (Abu Kamil și alții) au continuat unele dintre cercetările lui Diophantus. În Europa, interesul pentru aritmetică a crescut după ce Raphael Bombelli a descoperit această lucrare în Biblioteca Vaticanului și a publicat 143 de probleme din ea în Algebra sa (1572). În 1621, a apărut o traducere latină clasică, bine comentată, a „Aritmeticii”, realizată de Bachet de Meziriak. Metodele lui Diophantus au avut o influență uriașă asupra François Viète și Pierre Fermat; a servit drept punct de plecare pentru studiile lui Gauss și Euler. Cu toate acestea, în timpurile moderne, ecuațiile nedefinite sunt de obicei rezolvate în numere întregi, și nu în numere raționale, așa cum a făcut Diophantus.

În secolul al XX-lea, sub numele de Diophantus, a fost descoperit textul arab al altor 4 cărți de Aritmetică. Unii istorici ai matematicii, după ce au analizat acest text, au înaintat ipoteza că autorul lor nu a fost Diophantus, ci un comentator bine versat în metodele lui Diophantus, cel mai probabil Hypatia.

Tratatul lui Diofant „Despre numerele poligonale” (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) nu a fost păstrat complet; în partea păstrată, un număr de teoreme auxiliare sunt derivate folosind metode de algebră geometrică.

Din lucrările lui Diofant „Despre măsurarea suprafețelor” (?πιπεδομετρικ?) și „Despre înmulțire” (Περ? πολλαπλασιασμο?) s-au păstrat și fragmente.

Cartea lui Diophantus „Porisme” este cunoscută doar din câteva teoreme folosite în aritmetică.

Astăzi ecuația este de formă

Unde P- o funcție întreagă (de exemplu, un polinom cu coeficienți întregi), iar variabilele iau valori întregi, numite în cinstea matematicianului grec antic - Diofantin.

Probabil cea mai faimoasă ecuație diofantină este

Soluțiile sale sunt tripleți pitagoreici: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

Dovada insolubilității în numere întregi a ecuației diofantine

la (Ultima teoremă a lui Fermat) a fost completată de matematicianul englez Andrew Wiles în 1994.

Un alt exemplu de ecuație diofantină este ecuația lui Pell

unde este parametrul n nu este un pătrat exact.

A zecea problemă a lui Hilbert este una dintre cele 23 de probleme pe care David Hilbert le-a propus la 8 august 1900 la cel de-al doilea Congres Internațional al Matematicienilor. În raportul lui Hilbert, formularea celei de-a zecea probleme este cea mai scurtă dintre toate:

Să fie dată o ecuație diofantică cu necunoscute arbitrare și coeficienți numerici raționali întregi. Indicați o metodă prin care este posibil, după un număr finit de operații, să determinați dacă această ecuație este rezolvabilă în numere întregi raționale.

Demonstrarea imposibilității algoritmice a acestei probleme a durat aproximativ douăzeci de ani și a fost finalizată de Yuri Matiyasevich în 1970.

În mare parte datorită activităților lui Pappus din Alexandria (secolul al III-lea), informațiile despre oamenii de știință antici și lucrările lor au ajuns la noi. După Apollonius (din secolul al II-lea î.Hr.), a început un declin în știința antică. Nu apar idei noi profunde. În 146 î.Hr. e. Roma cucerește Grecia, iar în 31 î.Hr. e. - Alexandria. Pe fondul stagnării și declinului general, se evidențiază puternic figura gigantică a lui Diofantus din Alexandria, ultimul dintre marii matematicieni antici, „părintele algebrei”.

Următoarele obiecte matematice poartă numele lui Diophantus:

• analiză diofantină
• Aproximații diofantine
• Ecuații diofantine

Un matematician antic grec din Alexandria, care este considerat unul dintre primii autori ai lucrărilor algebrice. În Evul Mediu a fost numit „părintele algebrei”.

A ajuns la noi 6 carti din 13 din tratatul său Arithmetica / Arithmetica, care dă soluția unui număr de ecuații algebrice până la gradul IV.

„Diophantus deține ideea extrem de importantă a simbolismului algebric - utilizarea simbolurilor în loc de numere; el, însă, nu a reușit să profite din plin de ea. El deplânge că „este imposibil să rezolvi ecuația absurdă 4 = 4x + 20. Imposibil? Ecuație absurdă? Din ecuație rezultă o valoare negativă: x = - 4. Fără conceptul de zero, pe care Diophantus nu-l cunoștea, conceptul de număr negativ este logic imposibil. Inovațiile remarcabile ale lui Diophantus par să fi fost ignorate de generațiile următoare. Au trecut 1500 de ani înainte ca opera sa să fie remarcată și apreciată în mod corespunzător: tratatul său a jucat un rol central în înflorirea algebrei în secolul al XVII-lea. Ecuațiile algebrice liniare de forma a + bx = c, cunoscute astăzi de toată lumea, poartă numele lui.”

Peter Bernstein, Against the Gods: Taming Risk, M., Olympus Business, 2006, p. XLVII-L.

„Aritmetica este prezentată ca o serie de probleme. În prefață Diophantus relatează că a scris-o ca o carte cu probleme pentru elevii săi. El a folosit un simbol special pentru necunoscut, precum și simboluri separate pentru pătratul și cubul; Acestea par a fi contracții ale dynamis (putere, forță) și kybos (cub). Notația nu este foarte bine structurată. Diophantus scrie adunarea pur și simplu ca așezând simbolurile unul lângă celălalt (acum facem asta pentru înmulțire), dar el folosește un simbol special pentru scădere. Există și un simbol pentru egalitate, deși este posibil să fi fost introdus de un copist mai târziu. Aritmetica se referă în principal la rezolvarea ecuațiilor. Prima carte supraviețuitoare discută ecuații liniare; celelalte cinci se ocupă cu diverse tipuri de ecuații pătratice, adesea pentru necunoscute multiple, precum și cu unele ecuații cubice speciale. O trăsătură caracteristică este că răspunsurile sunt întotdeauna numere întregi sau numere raționale. Astăzi numim o ecuație diofantică dacă soluțiile sale sunt limitate la numere întregi sau raționale.”

Ian Stewart, Adevăr și frumusețe: O istorie mondială a simetriei, M., „Astrel”; „Corpus”, 2010, p. 68.

Pot fi, Diophantus a trăit 84 de ani, după cum rezultă din sarcina-epitaf care i-a fost atribuită: „Diofant și-a petrecut a șasea parte a vieții în copilărie și a doisprezecea în adolescență; apoi s-a căsătorit și a trăit într-o căsătorie fără copii pentru a șaptea parte a vieții sale și încă cinci ani, după care a avut un fiu, care a ajuns doar la jumătatea vârstei tatălui său; tatăl a supraviețuit fiului său cu patru ani.”

Aparent, Diophantus s-a bazat pe lucrările antice ale babilonienilor și egiptenilor.

Diofantul Alexandriei(greaca antica Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; lat. Diophantus) este un matematician antic grec care probabil a trăit în secolul al III-lea d.Hr. e. Deseori denumit „părintele algebrei”. Autor al cărții „Aritmetică” – o carte dedicată găsirii de soluții raționale pozitive la ecuații nedeterminate. În zilele noastre, „ecuații diofantine” înseamnă de obicei ecuații cu coeficienți întregi, ale căror soluții trebuie găsite între numere întregi.

Biografie [ | ]

Traducere latină Aritmetic (1621)

Nu se știe aproape nimic despre detaliile vieții sale. Pe de o parte, Diophantus citează Hypsicles (sec. II î.Hr.); pe de altă parte, Theon din Alexandria (aproximativ 350 d.Hr.) scrie despre Diofant, din care putem concluziona că viața sa s-a desfășurat în limitele acestei perioade. O posibilă clarificare a duratei de viață a lui Diophantus se bazează pe faptul că el Aritmetic dedicat „cel mai venerabil Dionisie”. Se crede că acest Dionisie este nimeni altul decât Episcopul Dionisie al Alexandriei, care a trăit la mijlocul secolului al III-lea. n. e.

Este echivalent cu rezolvarea următoarei ecuații:

Această ecuație dă x = 84 (\displaystyle x=84), adică vârsta lui Diophantus este egală cu 84 de ani. Cu toate acestea, acuratețea informațiilor nu poate fi confirmată.

Aritmetic Diophanta[ | ]

Opera principală a lui Diophantus - Aritmeticîn 13 cărți. Din păcate, doar 6 (sau 10, vezi mai jos) din primele 13 cărți au supraviețuit.

Prima carte este precedată de o introducere extinsă, care descrie notația folosită de Diophantus. Diophantus numește necunoscutul „număr” ( ἀριθμός ) și este notat cu litera ς , pătrat necunoscut - simbol Δ Υ (scurt pentru δύναμις - „grad”), cubul necunoscutului - simbol Κ Υ (scurt pentru κύβος - "cub"). Semnele speciale sunt prevăzute pentru următoarele grade ale necunoscutului, până la al șaselea, numite cub-cub, iar pentru gradele lor opuse, până la minus al șaselea.

Diophantus nu are un semn de adunare: el scrie pur și simplu termeni pozitivi unul lângă altul, în ordinea descrescătoare a gradului, iar în fiecare termen se scrie mai întâi gradul necunoscutului, apoi coeficientul numeric. Termenii scăzuți se scriu și ei unul lângă altul, iar în fața întregului lor grup este plasat un semn special sub forma unei litere inversate Ψ. Semnul egal este reprezentat de două litere ἴσ (scurt pentru ἴσος - "egal").

Au fost formulate o regulă pentru a aduce termeni similari și o regulă pentru a adăuga sau scădea același număr sau expresie de ambele părți ale unei ecuații: ceea ce mai târziu al-Khorezmi a început să numească „algebră și almukabala”. A fost introdusă regula semnelor: „minus cu plus dă minus”, „minus cu minus dă plus”; Această regulă este folosită la înmulțirea a două expresii cu termeni scăzuți. Toate acestea sunt formulate în termeni generali, fără referire la interpretări geometrice.

Cea mai mare parte a lucrării este o colecție de probleme cu soluții (există un total de 189 în cele șase cărți supraviețuitoare, împreună cu cele patru din partea arabă - 290), selectate cu pricepere pentru a ilustra metode generale. Problemele principale Aritmetic- găsirea de soluții raționale pozitive la ecuații incerte. Numerele raționale sunt tratate de Diophantus în același mod ca numerele naturale, ceea ce nu este tipic pentru matematicienii antici.

În primul rând, Diophantus examinează sisteme de ecuații de ordinul doi în două necunoscute; specifică o metodă de găsire a altor soluții dacă una este deja cunoscută. Apoi el aplică metode similare ecuațiilor de grade superioare. Cartea VI examinează probleme legate de triunghiuri dreptunghiulare cu laturile raționale.

Influență Aritmetic pentru dezvoltarea matematicii[ | ]

În secolul al X-lea Aritmetic a fost tradusă în arabă, după care matematicienii din țările islamice (Abu Kamil și alții) au continuat unele dintre cercetările lui Diophantus. În Europa, interesul pentru Aritmetic a crescut după ce Raphael Bombelli a tradus și publicat această lucrare în latină și a publicat 143 de probleme din ea în Algebră(1572). În 1621, a apărut o traducere latină clasică, bine comentată Aritmetic, executat de Bachet de Meziriac.

Metodele lui Diophantus i-au influențat foarte mult pe François Viète și Pierre Fermat; cu toate acestea, în timpurile moderne, ecuațiile nedefinite sunt de obicei rezolvate în numere întregi, și nu în numere raționale, așa cum a făcut Diophantus. Când Pierre Fermat a citit Aritmetica lui Diophantus, editată de Bachet de Mezyriac, a ajuns la concluzia că una dintre ecuațiile similare cu cele considerate de Diophantus nu avea soluții în numere întregi și a notat în margine că a găsit „o dovadă cu adevărat minunată a această teoremă... cu toate acestea, marginile cărții sunt prea înguste pentru a o include.” Această afirmație este acum cunoscută sub numele de Ultima Teoremă a lui Fermat.

În secolul al XX-lea, textul arab al altor patru cărți a fost descoperit sub numele de Diophantus. Aritmetic. I. G. Bashmakova și E. I. Slavutin, după ce au analizat acest text, au formulat ipoteza că autorul său nu ar fi fost Diophantus, ci un comentator bine versat în metodele lui Diophantus, cel mai probabil Hypatia. Cu toate acestea, decalajul semnificativ în metodologia de rezolvare a problemelor din primele trei și ultimele trei cărți este bine completat de patru cărți de traducere în arabă. Acest lucru ne obligă să reconsiderăm rezultatele studiilor anterioare. . [ ]

Alte lucrări ale lui Diofantus[ | ]

Tratatul lui Diofantus Despre numerele poligonale (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) neconservat complet; în partea păstrată, un număr de teoreme auxiliare sunt derivate folosind metode de algebră geometrică.

Din operele lui Diofantus Despre măsurarea suprafețelor (ἐπιπεδομετρικά ) Și Despre înmulțire (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) de asemenea, au supraviețuit doar fragmente.

Cartea lui Diofantus Porisme cunoscute doar din câteva teoreme folosite în Aritmetic.