Kaarevaintegraalin riippumattomuus integrointipolusta kaarevaintegraalin potentiaalikentän laskeminen potentiaalin potentiaalikentän laskennassa suorakulmaisina koordinaatteina. Edellytykset toisen tyyppisen kaarevan integraalin riippumattomuudelle integraalin polusta

Luento 4

Aihe: Greenin kaava. Itsenäisyyden ehdot kaareva integraali integraatiopolulta.

Vihreän kaava.

Greenin kaava muodostaa yhteyden tason suljetun ääriviivan Г kaarevan integraalin ja tietyn ääriviivan rajoittaman alueen yli olevan kaksoisintegraalin välille.

Suljetun ääriviivan Г suora-integraali on merkitty symbolilla. Suljettu ääriviiva Г alkaa tämän ääriviivan jostain pisteestä B ja päättyy pisteeseen B. Suljetun ääriviivan integraali ei riipu pisteen B valinnasta.

Määritelmä 1. Ääriviivan Г ohitus katsotaan positiiviseksi, jos ääriviivaa Г ohitettaessa alue D jää vasemmalle. G + - piiri G ohitetaan positiivisessa suunnassa, G - - piiri ohitetaan negatiivisessa suunnassa, ts. vastakkaiseen suuntaan

.

Samoin on todistettu, että:

Yhtälöistä (1) ja (2) saadaan:

Siten,

Greenin kaava tehtyjen oletusten perusteella on todistettu.

Huomautus 1. Greenin kaava pysyy voimassa, jos alueen D raja Г leikkaa useammassa kuin kahdessa pisteessä joidenkin 0X- tai 0Y-akselin suuntaisten suorien kanssa. Lisäksi Greenin kaava pätee myös n-liitetyille alueille.

Edellytykset kaarevan integraalin riippumattomuudelle integraatioreitistä tasossa.

Tässä osiossa selvitetään olosuhteet, joissa käyräviivainen integraali ei riipu integroinnin polusta, vaan riippuu integraation aloitus- ja loppupisteestä.

Lause 1. Jotta kaareva integraali ei riipu integraation polusta yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa, on välttämätöntä ja riittävää, että tämä integraali, joka on otettu minkä tahansa suljetun paloittain sileän ääriviivan tällä alueella, on yhtä suuri kuin nolla.

Todiste: välttämättömyys. Annettu: ei riipu integraatiopolusta. On todistettava, että kaareva integraali minkä tahansa suljetun paloittain sileän ääriviivan yli on yhtä suuri kuin nolla.

Otetaan mielivaltainen paloittain sileä suljettu ääriviiva Г tarkasteltavasta alueella D. Otetaan ääriviivalta Г mielivaltaiset pisteet B ja C.

, eli

Riittävyys. Annettu: Kaareva integraali mitä tahansa suljettua paloittain sileää ääriviivaa pitkin on yhtä suuri kuin nolla.

Meidän on todistettava, että integraali ei riipu integraatiopolusta.

Tarkastellaan kaarevaa integraalia kahden paloittain tasaisen ääriviivan yli, jotka yhdistävät pisteet B ja C. Ehdon mukaan:

Nuo. kaareva

integraali ei riipu integraatiopolusta.

Lause 2. Olkoot jatkuvat yhdessä osittaisten derivaattojen kanssa yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa D. Jotta kaareva integraali olisi riippumaton integraatioreitistä, on välttämätöntä ja riittävää, että identiteetti täyttyy alueella D

Todiste: Riittävyys. Annettu: . Meidän on todistettava, että se ei riipu integraatiopolusta. Tämän tekemiseksi riittää sen todistaminen on yhtä suuri kuin nolla millä tahansa suljetulla paloittain sileällä ääriviivalla. Greenin kaavan mukaan meillä on:

Välttämättömyys. Annettu: Lauseen 1 mukaan kaareva integraali ei riipu integroinnin polusta. Se on todistettava

Aluetta kutsutaan yksinkertaisesti yhdistetyksi, jos sen raja on yhdistetty joukko. Aluetta kutsutaan n-kytketyksi, jos sen raja jakautuu n-kytketyksi joukoksi.

Kommentti. Greenin kaava pätee myös moninkertaisesti toisiinsa liittyville alueille.

Jotta integraali (A, B – mitkä tahansa pisteet D:stä) ei riipu integrointipolusta (mutta vain alku- ja loppupisteistä A, B), on välttämätöntä ja riittävää, että mitä tahansa suljettua käyrää pitkin (mitä tahansa ääriviiva) D:ssä oleva integraali oli yhtä suuri kuin nolla =0

Todistus (välttämättömyys). Olkoon (4) riippumaton integrointipolusta. Tarkastellaan mielivaltaista ääriviivaa C, joka sijaitsee alueella D, ja valitse kaksi mielivaltaista pistettä A, B tälle muodolle. Tällöin käyrä C voidaan esittää kahden käyrän AB=G2, AB=G1, C=Г - 1 + G2 yhdistelmänä.

Lause 1. Jotta kaareva integraali olisi riippumaton integrointipolusta D:ssä, on välttämätöntä ja riittävää, että

alueella D. Riittävyys. Jos tämä on totta, Greenin kaava mille tahansa ääriviivalle C on jolloin vaadittua lausetta seuraa lemma. Välttämättömyys. Minkä tahansa ääriviivan lemmalla = 0. Sitten Greenin kaavalla tämän ääriviivan rajoittamalle alueelle D = 0. Keskiarvolauseella = mD tai = = 0. Siirtymällä rajaan, supistamalla ääriviivaa pisteeseen, saamme sen tässä pisteessä.

Lause 2. Jotta kaareva integraali (4) olisi riippumaton integroinnin polusta D:ssä, on välttämätöntä ja riittävää, että integrandilauseke Pdx+Qdy on jonkin funktion u kokonaisdifferentiaali alueella D. du = Pdx+Qdy. Riittävyys. Anna sen täyttyä, sitten välttämättömyys. Olkoon integraali riippumaton integraatiopolusta. Kiinnitetään jokin piste A0 alueeseen D ja määritetään funktio u(A) = u(x,y)=

Tässä tapauksessa

XО (xО). Siten on olemassa derivaatta =P. Samalla tavalla tarkistetaan, että =Q. Tehtyjen oletusten mukaan funktio u osoittautuu jatkuvasti differentioituvaksi ja du = Pdx+Qdy.

32-33. 1. ja 2. tyypin kaarevien integraalien määritelmä

Kaareva integraali kaaren pituuden yli (1. tyyppi)

Olkoon funktio f(x,y) määritelty ja jatkuva tasaisen käyrän K kaaren AB pisteissä. Jaa kaari mielivaltaisesti n peruskaareen pisteillä t0..tn olkoon lk tietyn kaaren pituus k kaari. Otetaan jokaisella peruskaarella mielivaltainen piste N(k,k) ja kerrotaan tämä piste vastaavalla pisteellä. kaaren pituus muodostuu kolmesta kokonaissummasta:

1 =f(k,k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k,k)yk, missä хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1

Ensimmäisen lajin kaarevaa integraalia kaaren pituudella kutsutaan integraalisumman rajaksi 1, mikäli max(lk)  0

Jos integraalisumman raja on 2 tai 3 kohdassa   0, niin tätä rajaa kutsutaan. 2. tyyppinen kaareva integraali, funktio P(x,y) tai Q(x,y) käyrällä l = AB ja sitä merkitään:
tai

määrä:
+
Sitä on tapana kutsua toisen tyypin yleiseksi kaarevaksi integraaliksi ja merkitä sitä symbolilla:
tässä tapauksessa funktioita f(x,y), P(x,y), Q(x,y) kutsutaan integroitaviksi käyrällä l = AB. Itse käyrää l kutsutaan ääriviivaksi tai integroinnilla A on alkupiste, B on lopullinen integrointipiste, dl on kaaren pituuden differentiaali, siksi kutsutaan 1. tyyppistä kaarevaa integraalia. kaareva integraali käyrän kaaren yli ja toisen tyyppinen funktion yli.

Kaarevien integraalien määritelmästä seuraa, että 1. tyypin integraalit eivät riipu suunnasta, johon käyrä l ajetaan A:sta ja B:stä tai B:stä ja A:sta. Ensimmäisen tyypin kaareva integraali AB:tä pitkin:

, toisen tyypin kaareville integraaleille käyrän suunnan muutos johtaa etumerkin muutokseen:

Siinä tapauksessa, että l on suljettu käyrä, eli piste B osuu yhteen pisteen A kanssa, niin suljetun ääriviivan kahdesta mahdollisesta kulkemissuunnasta l kutsutaan positiiviseksi suuntaa, jossa ääriviivan sisällä oleva alue jää vasemmalle kunnioitus??? kierroksen tekeminen, eli liikkeen suunta on vastapäivään. Läpikulkusuuntaa kutsutaan negatiiviseksi. Kaareva integraali AB suljetun ääriviivan l pitkin positiiviseen suuntaan on merkitty symbolilla:

Tilakäyrää varten otetaan samalla tavalla käyttöön yksi 1. tyyppinen integraali:

ja kolme 2. tyypin integraalia:

kutsutaan kolmen viimeisen integraalin summaa. yleinen kaareva 2. tyyppinen integraali.

Joitakin ensimmäisen tyypin kaarevien integraalien sovelluksia.

1. Integral
- kaaren pituus AB

2. Ensimmäisen tyypin integraalin mekaaninen merkitys.

Jos f(x,y) = (x,y) on materiaalikaaren lineaarinen tiheys, niin sen massa:

3. Materiaalikaaren massakeskipisteen koordinaatit:

4. Happitasossa olevan kaaren hitausmomentti koordinaattien ja pyörimisakseleiden origon suhteen ox, oy:

5. Ensimmäisen tyypin integraalin geometrinen merkitys

Olkoon funktiolla z = f(x,y) – pituus f(x,y)>=0 kaikissa oksitasossa olevan materiaalikaaren pisteissä, niin:

, jossa S on lieriömäisen pinnan pinta-ala, kissa koostuu kohtisuorasta okha-tasoon nähden, itään. AB-käyrän pisteissä M(x,y).

Jotkut 2. tyypin kaarevien integraalien sovellukset.

Tasaisen alueen D pinta-alan laskeminen rajalla L

2. Voimankäyttö. Liikkukoon aineellinen piste voiman vaikutuksesta jatkuvaa litteää käyrää BC pitkin B:stä C:hen, tämän voiman työ on:

Tarkastellaan 2. tyypin kaarevaa integraalia, jossa L– käyrä, joka yhdistää pisteitä M Ja N. Anna toiminnot P(x, y) Ja Q(x, y) joilla on jatkuvia osittaisia ​​derivaattoja jollakin alueella D, joka sisältää koko käyrän L. Määritetään olosuhteet, joissa tarkasteltava kaareva integraali ei riipu käyrän muodosta L, mutta vain pisteiden sijainnista M Ja N.

Piirretään kaksi mielivaltaista käyrää MPN Ja MQN, makaa alueella D ja liitoskohdat M Ja N(Kuva 1).

M N Riisi. 1. P

Oletetaan, että se on

Sitten missä L– kaarista muodostuva suljettu ääriviiva MPN Ja N.Q.M.(siis sitä voidaan pitää mielivaltaisena). Siten ehto toisen tyyppisen kaarevan integraalin riippumattomuudelle integrointipolusta vastaa ehtoa, että tällainen integraali minkä tahansa suljetun ääriviivan yli on yhtä suuri kuin nolla.

Lause 1. Olkoon jossain alueen kaikissa kohdissa D toiminnot ovat jatkuvia P(x, y) Ja Q(x, y) ja niiden osittaiset johdannaiset ja . Sitten, jotta kaikki suljetut ääriviivat L, makaa alueella D, ehto täyttyi

On välttämätöntä ja riittävää, että = kaikissa alueen kohdissa D.

Todiste .

1) Riittävyys: olkoon ehto = täyttyy. Harkitse mielivaltaista suljettua silmukkaa L alueella D, rajoittaa aluetta S, ja kirjoita sille Greenin kaava:

Riittävyys on siis todistettu.

2) Välttämättömyys: oletetaan, että ehto täyttyy jokaisessa pisteessä alueella D, mutta tällä alueella on ainakin yksi piste, jossa - ≠ 0. Olkoon esimerkiksi pisteessä P(x 0 , y 0)-> 0. Koska epäyhtälön vasen puoli sisältää jatkuvan funktion, se on positiivinen ja suurempi kuin jokin δ > 0 jollain pienellä alueella D` sisältää pisteen R. Siten,

Täältä saamme Greenin kaavalla, että , missä L`- aluetta rajoittava ääriviiva D`. Tämä tulos on ristiriidassa ehdon kanssa. Siksi = alueen kaikissa kohdissa D, joka oli todistettava.

Huomautus 1 . Samoin kolmiulotteiselle avaruudelle voidaan todistaa, että kaarevan integraalin riippumattomuudelle ovat välttämättömät ja riittävät ehdot

integraatiopolulta ovat:

Huomautus 2. Jos ehdot (28/1.18) täyttyvät, lauseke Pdx + Qdy + Rdz on jonkin funktion kokonaisero Ja. Tämän avulla voimme vähentää kaarevan integraalin laskemista arvojen välisen eron määrittämiseen Ja integrointiääriviivan loppu- ja aloituspisteissä, alkaen

Tässä tapauksessa toiminto Ja löytyy kaavan avulla

Missä ( x 0, y 0, z 0)– piste alueelta D,a C– mielivaltainen vakio. Itse asiassa on helppo varmistaa, että funktion osittaiset derivaatat Ja, jotka on annettu kaavalla (28/1,19), ovat yhtä suuret P, Q Ja R.

Harkitse kaarevaa integraalia

otettu jotain tasokäyrää pitkin L liitäntäpisteitä M Ja N. Oletetaan, että toiminnot P(x, y) Ja Q(x, y) on jatkuvia osittaisia ​​johdannaisia ​​tarkasteltavalla alueella D. Selvitetään, millä ehdoilla kirjoitettu käyräintegraali ei riipu käyrän muodosta L, mutta riippuu vain aloitus- ja loppupisteiden sijainnista M Ja N.

Tarkastellaan kahta mielivaltaista käyrää MPN Ja MQN, makaa tarkasteltavalla alueella D ja liitoskohdat M Ja N. Antaa

(1)

Sitten kaarevien integraalien ominaisuuksien 1 ja 4 perusteella meillä on:

nuo. suljetun silmukan integraali L

Viimeisessä kaavassa viivaintegraali otetaan suljetun ääriviivan yli L, muodostuu käyristä MPN Ja N.Q.M.. Tämä piiri L voidaan tietysti pitää mielivaltaisena.

Eli ehdosta:

että minkä tahansa kahden pisteen M ja N suoraintegraali ei riipu niitä yhdistävän käyrän muodosta, vaan riippuu vain näiden pisteiden sijainnista, tästä seuraa, että Mitä minkä tahansa suljetun ääriviivan viivaintegraali on nolla .

Myös päinvastainen johtopäätös on totta:

jos viivaintegraali minkä tahansa suljetun ääriviivan yli on nolla, tämä viivaintegraali ei riipu mitä tahansa kahta pistettä yhdistävän käyrän muodosta, mutta riippuu vain näiden paikasta pisteitä . Todellakin, tasa-arvo (2) tarkoittaa tasa-arvoa (1)

Lause

Olkoot funktiot P(x, y), Q(x, y) osittaisderivaattaineen jatkuvia jonkin alueen D kaikissa pisteissä. Sitten, jotta kaareva integraali minkä tahansa tällä alueella sijaitsevan suljetun ääriviivan L päällä olisi yhtä suuri kuin nolla, ts. to

(2΄)

se on välttämätöntä ja riittävää tasa-arvon toteutumiseksi

kaikissa pisteissä alueella D.

Todiste

Harkitse mielivaltaista suljettua silmukkaa L alueella D ja sille kirjoitamme Greenin kaavan:

Jos ehto (3) täyttyy, niin vasemmalla oleva kaksoisintegraali on identtisesti nolla ja siksi

Täten, riittävyyttä ehto (3) on todistettu.

Todistetaan nyt välttämättömyys tämä ehto, ts. Osoitetaan, että jos yhtälö (2) täyttyy mille tahansa suljetulle käyrälle L alueella D, niin tämän alueen jokaisessa pisteessä ehto (3) täyttyy.

Oletetaan päinvastoin, että yhtäläisyys (2) täyttyy, ts.

ja ehto (3) ei täyty, ts.

ainakin jossain vaiheessa. Olkoon esimerkiksi jossain vaiheessa epätasa-arvo

Koska eriarvoisuuden vasemmalla puolella on jatkuva toiminto, silloin se on positiivinen ja suurempi kuin tietty luku jokaisessa pisteen sisältävän riittävän pienen alueen kaikissa kohdissa. Otetaan tämän alueen eron kaksoisintegraali. Hänellä tulee olemaan positiivinen arvo. Todella,

Mutta Greenin kaavan mukaan viimeisen epäyhtälön vasen puoli on yhtä suuri kuin alueen rajalla oleva kaareva integraali, joka oletuksena on nolla. Näin ollen viimeinen epäyhtälö on ristiriidassa ehdon (2) kanssa, ja tämä tarkoittaa, että oletus, että se on eri kuin nolla ainakin yhdessä kohdassa, ei pidä paikkaansa. Tästä seuraa, että

kaikissa tämän alueen kohdissa D.

Siten lause on täysin todistettu.

Opiskellessaan differentiaaliyhtälöt on todistettu, että ehdon täyttyminen

vastaa lauseketta Pdx + Qdy joissakin toiminnoissa on täydellinen ero u(x, y), eli

Mutta tässä tapauksessa vektori

on funktion gradientti u(x, y);

Toiminto u(x, y), jonka gradientti on yhtä suuri kuin vektori, kutsutaan potentiaalia tämä vektori.

Todistetaan se tässä tapauksessa riviintegraali millä tahansa käyrällä L, joka yhdistää pisteitä M ja N, on yhtä suuri kuin funktion arvojen välinen ero ja näissä kohdissa:

Todiste

Jos Рdx + Qdy on funktion kokonaisero u(x, y), silloin käyräviivainen integraali saa muodon

Tämän integraalin laskemiseksi kirjoitamme parametriset yhtälöt kiero L liitäntäpisteitä M Ja N:

Suluissa oleva lauseke on funktio t, joka on täydellinen johdannainen funktiosta suhteessa t. Siksi

Kuten näemme kokonaisdifferentiaalin viivaintegraali ei riipu sen käyrän muodosta, jota pitkin integrointi suoritetaan.

Täten:

toisen tyyppisten kaarevien integraalien riippumattomuuden ehdot lomakkeesta integrointipolut ovat seuraavat:

Jos jollain alueella P(x, y) Ja Q(x, y) ovat jatkuvia yhdessä heidän ja kanssa, sitten:

1. alueella D ei riipu muodosta integraatiotapoja, jos sen arvot ovat kaikkia mahdollisia paloittain sileitä käyriä pitkin, joka sijaitsee tietyllä alueella ja jolla on yhteinen alku ja yhteinen loppu ovat samat.

2. integraali mitä tahansa suljettua käyrää pitkin L, makaa alueella D on nolla.

3. on sellainen toiminto u(x, y), jolle ilmaisu Pdx+Qdy on täysi erotus, ts.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. tällä alueella ehto täyttyy

jokaisessa pisteessä alueella D.

Integraalin laskeminen integrointimuodosta riippumattomana

Edullisimmaksi integrointipoluksi kannattaa valita pisteitä yhdistävä katkoviiva, jonka linkit ovat yhdensuuntaiset Ox- ja Oy-akselien kanssa.

Integrand P(x, y)dx + Q(x, y)dy näissä olosuhteissa ovat täysi erotus jokin toiminto u = u(x, y) nuo.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Toiminto u(x, y)(antiderivaattinen) voidaan löytää laskemalla vastaava katkoviiva, jossa on mikä tahansa kiinteä piste, kaareva integraali, B(x, y) on muuttuva piste, ja pisteellä on koordinaatit X Ja . Sitten meillä on ja dy = 0, ja olemme mukana x = vakio Ja dx = 0.

Saamme seuraavan kaavan:

Vastaavasti integroimalla katkoviivaa pitkin sinne, missä olemme

Esimerkkejä

1. Laskea

Tämä integraali ei riipu integroinnin ääriviivasta, koska

Valitaan integrointipoluksi katkoviiva, jonka linkit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa. Ensimmäisessä osiossa:

Toisessa osiossa:

Siten,

2. Etsi antijohdannainen u, Jos

Vaikka se on ääriviiva TO on katkennut viiva OMN. Sitten

3. Etsi jos

Tässä lähtökohtaa origosta ei voida ottaa, koska toiminnon tässä vaiheessa P(x, y) Ja Q(x, y) ei ole määritelty, ja siksi otamme esimerkiksi lähtökohtana. Sitten

4. Etsi ellipsin rajoittama alue

XOU-tasossa sijaitsevan ja suljetulla viivalla C rajatun kuvion pinta-ala lasketaan kaavalla

,

jossa kierretään ääriviivaa C positiiviseen suuntaan.

Muunnamme kaarevan integraalin määrätyksi integraaliksi tekemällä korvauksen

Parametri t käyttää arvoja 0 - 2π.

Täten

3. Laske suoraintegraali kaaren pituudelta L, Jos L- tämä on sykloidin kaari

TEHTÄVÄ AIHEESTA ”KÄYRÄINEN INTEGRAALI”

Vaihtoehto 1

Missä L on XOY-tasoon kuuluvien pisteiden A (0;-2) ja B (4;0) suora segmentti.

Katkoviivaa pitkin L:OAB, missä O(0,0), A(2,0), B(4,5). Piirin kiertäminen vastapäivään.

Koordinaateilla, jos L on ensimmäisellä neljänneksellä olevan ellipsin kaari.

Missä L on kolmion ääriviiva, jonka kärjet ovat A(1,1), B(2,2), C(1,3). Piirin kiertäminen vastapäivään.

, ja löydä se.

7. Voimakentän muodostaa voima F(x,y), joka on yhtä suuri kuin sen sovelluspisteen etäisyys koordinaattien origosta ja joka on suunnattu koordinaattien alkupisteeseen. Etsi työ, jonka kenttävoimat liikkuvat aineellinen kohta yksikkömassa paraabelin y 2 kaaria pitkin =8x pisteestä (2;4) pisteeseen (4;4).

Vaihtoehto 2

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

Missä L on suora segmentti, joka yhdistää pisteet O (0;0) ja A (1;2).

2. Laske suoraintegraali , jos L on paraabelin kaari pisteestä A(-1,1) pisteeseen B(1,1). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali jos L on ympyrän kaari makaa ruuduissa 1 ja 2. Kävele kiertoradan ympäri myötäpäivään.

4. Laske integraali Greenin kaavalla , jossa L on OX-akselin linjan ja segmentin muodostama ääriviiva, kun ääriviivaa ajetaan vastapäivään.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Jokaisessa voimakentän pisteessä voima on negatiivisen ordinaatin puoliakselin suuntainen ja on yhtä suuri kuin sovelluspisteen abskissan neliö. Etsi kentän työ siirrettäessä yksikkömassaa paraabelia pitkin pisteestä (1,0) pisteeseen (0,1).

Vaihtoehto 3

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

1. jossa L on paraabelin katkaiseman paraabelin kaari.

2. Laske suoraintegraali jos L on suora jana, joka yhdistää pisteet A(0,1), B(2,3). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske kaareva integraali, jos L on sykloidin ensimmäisen kaaren kaari Kävele ääriviivan ympäri myötäpäivään.

4. Laske integraali Greenin kaavalla jossa L on ellipsi. Siirrä ääriviivaa vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin riippumattomuusehto integrointipolusta , ja löydä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Laske työ, jonka voima tekee liikutettaessa materiaalipistettä ellipsin yläpuoliskoa pitkin pisteestä A (a,0) pisteeseen B (-a,0).

Vaihtoehto 4.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

1. missä L on neliön ääriviiva

2. Laske kaareva integraali, jos L on paraabelin kaari pisteestä A (0,0) pisteeseen B (1,1). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali jos L on ellipsin ylempi puolisko Kävele kiertoradan ympäri myötäpäivään.

4. Laske Greenin kaavalla integraali, jossa L on kolmion ääriviiva, jonka kärjet ovat A (1;0), B (1;1), C (0,1). Piirin kiertäminen vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin ehto integraalin polusta riippumattomuudelle integraalille ja selvitä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Ympyrän jokaiseen pisteeseen kohdistetaan voima, jonka projektiot koordinaattiakselilla ovat Määritä työ, jonka voima tekee liikutettaessa materiaalipistettä ympyrän ympäri. Miksi työ on yhtä kuin nolla?

Vaihtoehto 5.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

jossa L on suora viiva, joka yhdistää pisteet 0 (0,0) ja A (4;2)

2. Laske suoraintegraali, jos L on pisteen A (0,1) ja pisteen B (-1,e) yhdistävän käyrän kaari. Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali, jos L on ympyrän 1. neljännes Kävele kiertoradan ympäri myötäpäivään.

4. Laske integraali Greenin kaavalla jossa L on ääriviiva, rajoitettu ja Ohita ääriviiva vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin riippumattomuusehto integrointipolusta , ja löydä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Kentän muodostaa voima / / = suunta, joka muodostaa kulman sen sovelluspisteen säteen suunnan -vektorin kanssa. Etsi kentän työ siirrettäessä materiaalipistettä, jonka massa on m, pitkin ympyräkaarta pisteestä (a,0) pisteeseen (0,a).

Vaihtoehto 6.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

Missä L on neljännes ympyrästä, joka sijaitsee ensimmäisessä kvadrantissa.

2. Laske suoraintegraali jos L on katkennut ABC, A(1;2), B (1;5), C(3;5). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali, jos L on ympyrän yläpuoli Kävele kiertoradan ympäri myötäpäivään.

4. Laske integraali Greenin kaavalla jossa L on ääriviiva, jota rajoittaa , ääriviivan ohittaminen vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin ehto integraalin polusta riippumattomuudelle integraalille ja selvitä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Laske orioon suunnatun kimmovoiman tekemä työ, jos voiman kohdistamispiste kuvaa neljäsosaa ellipsistä vastapäivään makaa I-kvadrantissa. Tämän voiman suuruus on verrannollinen pisteen etäisyyteen origosta.

Vaihtoehto 7.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

Missä L on paraabelin osa pisteestä (1, 1/4) pisteeseen (2;1).

2. Laske suoraintegraali jossa L on suora jana, joka yhdistää pisteet B(1;2) ja B(2;4). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali, jos L on sykloidin ensimmäinen kaari.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin riippumattomuusehto integrointipolusta , ja löydä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Yksikkömassainen aineellinen piste liikkuu voiman vaikutuksesta ympyrän ympäri, jonka projektio akselin koordinaatilla on . Muodosta voima jokaisen ympyrän alkuun. Etsi työtä ääriviivaa pitkin.

Vaihtoehto 8.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

Missä L on suorakulmion ääriviiva, jonka kärjet ovat pisteissä 0 0 (0;0), A (4;0), B (4;2), C (0;2).

2. Laske kaareva integraali, jos L on paraabelin kaari pisteestä A (0;0) pisteeseen B (1;2). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali jos L on neliössä 1 oleva ympyrän osa. Kävele ääriviivan ympäri myötäpäivään.

4. Laske Greenin kaavalla integraali, jossa L on kolmion ääriviiva, jonka kärjet ovat A (0;0), B (1;0), C (0;1) Kävele ääriviivan ympäri vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin ehto integraalin polusta riippumattomuudelle integraalille ja selvitä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Materiaalipiste liikkuu ellipsiä pitkin sellaisen voiman vaikutuksesta, jonka suuruus on yhtä suuri kuin pisteen etäisyys ellipsin keskustasta ja joka on suunnattu ellipsin keskustaan. Laske voiman työ, jos piste kiertää koko ellipsin.

Vaihtoehto 9.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

Missä L on pisteiden välissä olevan paraabelin kaari

A, B (2;2).

2. Laske suoraintegraali jos L on suora jana, joka yhdistää pisteet A(5;0) ja B(0.5). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3. Laske suoraintegraali jos L on ellipsin kaari pisteiden välillä, jotka vastaavat ääriviivan liikettä myötäpäivään.

4. Laske Greenin kaavalla integraali, jossa L on ympyrä Ajamalla ääriviivaa vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin riippumattomuusehto integrointipolusta , ja löydä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Käyrän jokaiseen pisteeseen kohdistetaan voima, jonka projektiot koordinaattiakseleilla ovat. Määritä voiman työ siirrettäessä materiaalia, jonka massayksikkö on pisteestä M (-4; 0) pisteestä M pisteeseen. N (0; 2).

Vaihtoehto 10.

1. Laske käyrän integraali kaaren pituudelta (korteesiset koordinaatit).

Missä L on suora jana, joka yhdistää pisteitä A

2. Laske suoraintegraali, jos L on käyrän kaari pisteestä A(1;0) pisteeseen B(e,5). Piirin kiertäminen vastapäivään.

3.Laske suoraintegraali jos L on 1U neliössä olevan ympyrän kaari. Kävele kiertoradan ympäri myötäpäivään.

4. Laske Greenin kaavalla integraali, jossa L on kolmion ääriviiva, jonka kärjet ovat A (1;0), B (2;0), C (1;2). Piirin kiertäminen vastapäivään.

5. Selvitä, täyttyykö integraalin riippumattomuusehto integrointipolusta , ja löydä se.

6. Tarkista, onko annettu lauseke funktion U(x,y) kokonaisdifferentiaali, ja etsi se.

7. Jokaisessa suoran pisteessä kohdistetaan voima, jonka projektio koordinaattiakseleille Laske työ, jonka voima tekee siirrettäessä materiaalipistettä viivaa pitkin pisteestä M(1;0) pisteeseen N(0;3).

2. laji integraation polulta

Tarkastellaan 2. tyyppistä kaarevaa integraalia, jossa L on pisteet M ja N yhdistävä käyrä. Olkoon funktioilla P(x, y) ja Q(x, y) jatkuvat osittaiset derivaatat jossain alueella D, jossa käyrä L Määritetään olosuhteet, joissa tarkasteltava käyrän integraali ei riipu käyrän L muodosta, vaan vain pisteiden M ja N sijainnista.

Piirretään kaksi mielivaltaista käyrää MSN ja MTN, jotka sijaitsevat alueella D ja yhdistävät pisteitä M ja N (kuva 14).

Oletetaan, että ts.

jossa L on suljettu silmukka, joka koostuu MSN- ja NTM-käyristä (täten sitä voidaan pitää mielivaltaisena). Siten ehto toisen tyyppisen kaarevan integraalin riippumattomuudelle integrointipolusta vastaa ehtoa, että tällainen integraali minkä tahansa suljetun ääriviivan yli on yhtä suuri kuin nolla.

Lause 5 (Greenin lause). Olkoot funktiot P(x, y) ja Q(x, y) ja niiden osittaiset derivaatat jatkuvia jonkin alueen D kaikissa pisteissä. Sitten, jotta mikä tahansa alueella D oleva suljettu ääriviiva L täyttäisi ehdon

on välttämätöntä ja riittävää, että = kaikissa alueen D pisteissä.

Todiste.

1) Riittävyys: ehto = täyttyy. Tarkastellaan mielivaltaista suljettua ääriviivaa L alueella D, joka rajoittaa aluetta S, ja kirjoitetaan sille Greenin kaava:

Riittävyys on siis todistettu.

2) Välttämättömyys: oletetaan, että ehto täyttyy jokaisessa pisteessä alueella D, mutta tällä alueella on ainakin yksi piste, jossa -? 0. Olkoon esimerkiksi pisteessä P(x0, y0): - > 0. Koska epäyhtälön vasen puoli sisältää jatkuvan funktion, onko se positiivinen ja suurempi kuin jokin? > 0 jollain pienellä alueella D`, joka sisältää pisteen P.

Tästä saamme sen Greenin kaavalla

missä L` on aluetta D` rajoittava ääriviiva. Tämä tulos on ristiriidassa ehdon kanssa. Näin ollen = alueen D kaikissa kohdissa, mikä on todistettava.

Huom. 1. Samoin kolmiulotteiselle avaruudelle voidaan todistaa, että kaarevan integraalin riippumattomuudelle ovat välttämättömät ja riittävät ehdot

integraatiopolulta ovat:

Huomautus 2. Jos ehdot (52) täyttyvät, lauseke Pdx + Qdy + Rdz on jonkin funktion u kokonaisdifferentiaali. Tämä mahdollistaa kaarevan integraalin laskemisen vähentämisen arvojen eron määrittämiseen integrointiääriviivan loppu- ja alkupisteissä, koska

Tässä tapauksessa funktio ja löytyy kaavan avulla

missä (x0, y0, z0) on piste alueelta D ja C on mielivaltainen vakio. On todellakin helppo varmistaa, että funktion ja kaavan (53) osittaiset derivaatat ovat yhtä suuria kuin P, Q ja R.

Esimerkki 10

Laske 2. tyyppinen viivaintegraali

mielivaltaista käyrää, joka yhdistää pisteet (1, 1, 1) ja (2, 3, 4).

Varmistetaan, että ehdot (52) täyttyvät:

Siksi toiminto on olemassa. Etsitään se kaavalla (53) siten, että x0 = y0 = z0 = 0.

Siten funktio määräytyy mielivaltaiseen vakiotermiin asti. Otetaan C = 0, sitten u = xyz. Siten,