Тригонометрични формули. Основни тригонометрични формули и тъждества sin, cos, tg, ctg VII група. Половин аргумент

Основни формули на тригонометрията. Урок 1

Броят на формулите, използвани в тригонометрията, е доста голям (под "формули" имаме предвид не дефиниции (например tgx=sinx/cosx), а идентични равенства като sin2x=2sinxcosx). За да се ориентирате по-лесно в това изобилие от формули и да не уморявате учениците с безсмислено натъпкване, е необходимо да се откроят най-важните сред тях. Те са малко - само три. Всичко останало следва от тези три формули. Това е основната тригонометрична идентичност и формулите за синус и косинус на сбора и разликата:

Sin2x+cos2x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Абсолютно всички свойства на синуса и косинуса следват от тези три формули (периодичност, стойност на периода, стойност на синуса 30 0 = π/6=1/2 и т.н.) От тази гледна точка, в училищна програмаизползва се много формално излишна, излишна информация. И така, формулите "1-3" са владетелите на тригонометричното царство. Нека да преминем към формули-последствия:

1) Синуси и косинуси на множество ъгли

Ако заместим в (2) и (3) стойността x=y, получаваме:

Sin2x=2sinxcosx; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2x-sin 2x; cos0=cos2x+sin2x=1

Ние заключихме, че sin0=0; cos0=1 без да се позовава на геометричната интерпретация на синус и косинус. По същия начин, като прилагаме формулите "2-3" два пъти, можем да извлечем изрази за sin3x; cos3x; sin4x; cos4x и т.н.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 х

Задача за ученици: изведете подобни изрази за cos3x; sin4x; cos4x

2) Формули за намаляване

Решете обратната задача, като изразите степените на синуса и косинуса чрез косинусите и синусите на множество ъгли.

Например: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, следователно: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, следователно: sin 2 x=1/2-cos2x/2

Тези формули се използват много често. За да ги разберете по-добре, ви съветвам да начертаете графики на лявата и дясната им част. Графиките на квадратите на косинуса и синуса се „увиват“ около графиката на правата линия „y \u003d 1/2“ (това е средната стойност на cos 2 x и sin 2 x за много периоди). В този случай честотата на трептене се удвоява в сравнение с първоначалната (периодът на функциите cos 2 x sin 2 x е 2π /2=π), а амплитудата на трептене се намалява наполовина (коефициент 1/2 пред cos2x).

Задача: изразете sin 3 x; cos 3x; sin4x; cos 4 x по косинуси и синуси на множество ъгли.

3) Актьорски формули

Те използват периодичността на тригонометричните функции, което ви позволява да изчислите техните стойности във всяка четвърт от тригонометричния кръг от стойностите в първата четвърт. Формулите за редукция са много специални случаи на "главни" формули (2-3). Например: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

Така че Cos(x+ π/2) = sinx

Задача: изведете редукционни формули за sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)

4) Формули, които преобразуват сумата или разликата на косинус и синус в произведение и обратно.

Нека напишем формулата за синуса на сумата и разликата на два ъгъла:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx(1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx(2)

Събираме лявата и дясната част на тези равенства:

Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Както условията се отменят, така че:

sin(x+y) + sin(x-y) = 2sinxcozy(*)

а) при четене (*) отдясно наляво получаваме:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Произведението на синусите на два ъгъла е половината от сбора на синусите на сбора и разликата на тези ъгли.

б) при четене (*) отляво надясно е удобно да се означава:

x-y = s. От тук намираме хИ припрез РИ с, добавяйки и изваждайки лявата и дясната страна на тези две равенства:

x \u003d (p + c) / 2, y \u003d (p-c) / 2, замествайки в (*) вместо (x + y) и (x-y) получените нови променливи РИ с, представлява сумата от синусите чрез произведението:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

И така, пряко следствие от основната формула за синус на сбора и разликата на ъглите са две нови отношения (4) и (5).

в) сега вместо да събираме лявата и дясната страна на равенствата (1) и (2), ще ги извадим едно от друго:

sin(x+y) - sin(x-y) = 2sinycosx(6)

Четенето на тази идентичност отдясно наляво води до формула, подобна на (4), която се оказва безинтересна, тъй като ние вече знаем как да разложим произведенията на синус и косинус в сбор от синуси (виж (4)). Четенето на (6) отляво надясно дава формула, която сгъва разликата на синусите в произведение:

sinp - sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

И така, от една фундаментална идентичност sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, получихме цели три нови (4), (5), (7).

Подобна работа, извършена с друга фундаментална идентичност cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny вече води до четири нови:

Cosxcosy = ½(cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc ​​​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) - cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Задача: преобразувайте сумата от синус и косинус в произведение:

sinx +cosy = ? Решение: ако се опитате да не изведете формулата, а незабавно да надникнете отговора в някоя таблица с тригонометрични формули, тогава може да не намерите крайния резултат. Учениците трябва да разберат, че няма нужда да запомнят и въвеждат в таблицата още една формула за sinx + cosy \u003d ..., тъй като всеки косинус може да бъде представен като синус и обратно, като се използват формули за намаляване, например: sinx \u003d cos (π / 2 - x), cosy \u003d sin (π / 2 - y). Следователно: sinx + cozy \u003d sinx + sin (π / 2 - y) \u003d 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.

Основните формули на тригонометрията са формули, които установяват връзки между основните тригонометрични функции. Синус, косинус, тангенс и котангенс са свързани помежду си с много отношения. По-долу даваме основните тригонометрични формули и за удобство ги групираме според предназначението им. Използвайки тези формули, можете да решите почти всеки проблем от стандартния курс по тригонометрия. Веднага отбелязваме, че по-долу са дадени само самите формули, а не тяхното извеждане, на което ще бъдат посветени отделни статии.

Основни тъждества на тригонометрията

Тригонометричните идентичности дават връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл, което позволява една функция да бъде изразена чрез друга.

Тригонометрични тъждества

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Тези идентичности следват директно от дефинициите на единичната окръжност, синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).

Актьорски формули

Формулите за отливане ви позволяват да преминете от работа с произволни и произволно големи ъгли към работа с ъгли, вариращи от 0 до 90 градуса.

Актьорски формули

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Редукционните формули са следствие от периодичността на тригонометричните функции.

Тригонометрични събирателни формули

Формулите за добавяне в тригонометрията ви позволяват да изразите тригонометричната функция на сумата или разликата на ъглите по отношение на тригонометричните функции на тези ъгли.

Тригонометрични събирателни формули

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Въз основа на формулите за добавяне се извеждат тригонометрични формули за кратен ъгъл.

Формули за множество ъгли: двоен, троен и т.н.

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α с t g 2 α \u003d с t g 2 α - 1 2 с t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Формули за половин ъгъл

Формулите за полуъгъл в тригонометрията са следствие от формулите за двоен ъгъл и изразяват връзката между основните функции на полуъгъла и косинуса на целия ъгъл.

Формули за половин ъгъл

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формули за намаляване

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Често при изчисленията е неудобно да се работи с тромави мощности. Формулите за намаляване на степента ви позволяват да намалите степента на тригонометрична функция от произволно голяма до първата. Ето общия им изглед:

Обща форма на формули за редукция

за дори n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

за нечетно n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Сума и разлика на тригонометрични функции

Разликата и сумата на тригонометричните функции могат да бъдат представени като произведение. Разлагането на разликите на синусите и косинусите е много удобно за прилагане при решаване тригонометрични уравненияи опростяване на изразите.

Сума и разлика на тригонометрични функции

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Произведение на тригонометрични функции

Ако формулите за сумата и разликата на функциите ви позволяват да отидете до техния продукт, тогава формулите за произведението на тригонометричните функции извършват обратния преход - от продукта към сумата. Разглеждат се формули за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.

Формули за произведение на тригонометрични функции

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Универсално тригонометрично заместване

Всички основни тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс - могат да бъдат изразени чрез тангенса на половин ъгъл.

Универсално тригонометрично заместване

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter